Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1."

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 1. Đặng Văn Cường, Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính rốn của mặt đối chiều hai spacelike trong Ln+1."

TÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1 §Æng V¨n Cêng (a) Tãm t¾t. Trong bµi bµo nµy chóng t«i giíi thiÖu ph¬ng ph¸p sö dông c«ng cô n± -¸nh x¹ Gauss ®Ó kh¶o s¸t tÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong kh«ng r gian Lorent-Minkowski Ln+1 . I. Më ®Çu B»ng c¸ch ®Æt t¬ng øng mét ®iÓm trªn mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike chÝnh quy trong kh«ng gian Lorentz-Minkoski Ln+1 víi mét cÆp vect¬ chØ ph¬ng cña 2- ph¼ng ph¸p trong n-kh«ng gian hyperbolic t©m v b¸n kÝnh 1, trong ®ã v = (0, 0, ..., 0, 1) ∈ Ln+1 , ta cã kh¸i niÖm n± -¸nh x¹ Gauss. Tõ kh¸i niÖm nµy chóng ta cã c¸c kh¸i niÖm: r n± -¸nh x¹ Weigarten, n± -®é cong chÝnh, n± -®é cong Gauss-Kronecker, ®iÓm n± -rèn, r r r r mÆt n± -rèn ...vµ th«ng qua c¸c kh¸i niÖm nµy chóng t«i tiÕn hµnh kh¶o s¸t tÝnh rèn r cña mÆt. II. KiÕn thøc c¬ së 2.1. Kh«ng gian Lorentz-Minkowski n+1 Kh«ng gian Lorentz-Minkowski n-chiÒu L lµ kh«ng gian vect¬ Rn+1 cïng víi mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®îc x¸c ®Þnh bëi n x, y = xk yk − xn+1 yn+1 , k=1 víi x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ), y = (y1 , y2 , . . . , yn+1 ) ∈ Rn+1 . D¹ng song tuyÕn tÝnh trªn ®îc gäi lµ gi¶ tÝch v« híng trªn Ln+1 . Víi x ∈ Ln+1 , ®é dµi cña vect¬ x ®îc x¸c ®Þnh theo (gi¶) tÝch v« híng ||x|| = | x, x |. 2.2. C¸c lo¹i vect¬ Cho x ∈ Ln+1 , x = 0. Khi ®ã x ®îc gäi lµ spacelike nÕu x, x > 0, timelike nÕu x, x < 0 vµ lightlike nÕu x, x = 0. Hai vect¬ x, y ∈ Ln+1 ®îc gäi lµ trùc giao víi nhau nÕu x, y = 0. 2.3. NhËn xÐt (i) Hai vect¬ lightlike phô thuéc tuyÕn tÝnh th× trùc giao víi nhau. (ii) HÖ vect¬ gåm hai vect¬ kh¸c lo¹i th× ®éc lËp tuyÕn tÝnh. NhËn bµi ngµy 30/7/2009. Söa ch÷a xong 10/9/2009. 1
2.4. C¸c lo¹i ph¼ng Cho Π lµ m-ph¼ng trong Ln+1 . (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng spacelike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π chØ chøa c¸c vect¬ spacelike hoÆc vect¬ 0; (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng timelike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π cã chøa Ýt nhÊt mét vect¬ timelike ; (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng lightlike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π chøa Ýt nhÊt mét vect¬ lightlike vµ kh«ng chøa vect¬ timelike nµo. 2.5. NhËn xÐt (1) Cho Π lµ mét m-ph¼ng trong Ln+1 . Khi ®ã Π chØ cã thÓ lµ m-ph¼ng spacelike, hoÆc m-ph¼ng timelike, hoÆc lµ m-ph¼ng lightlike. (2) Cho HP (q, c) = {x ∈ Ln+1 | x, q = c} (víi q lµ vector cè ®Þnh vµ c lµ h»ng sè) lµ mét siªu ph¼ng trong Ln+1 . Khi ®ã HP (q, c) lÇn lît lµ siªu ph¼ng spacelike, siªu ph¼ng timelike, siªu ph¼ng lightlike nÕu vµ chØ nÕu q t¬ng øng lÇn lît lµ vect¬ timelike, vect¬ spacelike, vect¬ lightlike. 2.6. n-kh«ng gian hyperbolic (i) Siªu mÆt hyperbolic n-chiÒu, ký hiÖu Hn (−1), ®îc x¸c ®Þnh nh sau Hn (−1) = {x ∈ Ln+1 | x, x = −1}. (ii) n-kh«ng gian hyperbolic, ký hiÖu H+ (−1), ®îc x¸c ®Þnh nh sau n H+ (−1) = {x ∈ Ln+1 | x, x = −1, xn+1 > 0}. n (iii) n-kh«ng gian hyperbolic t©m a ∈ Ln+1 , b¸n kÝnh r ∈ R+ , ký hiÖu H+ (a, r), ®îc n x¸c ®Þnh nh sau H+ (a, r) = {x ∈ Ln+1 | x − a, x − a = −r, xn+1 ≥ 0}. n 2.7. C¸c lo¹i siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic LÊy siªu ph¼ng HP (q, c) giao víi n-kh«ng gian hyperbolic H+ (−1) (nÕu kh¸c rçng n vµ kh¸c mét ®iÓm) ta nhËn ®îc c¸c lo¹i siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic. HP (q, c) ∩ H+ (−1) lÇn lît ®îc gäi lµ siªu cÇu (hypersphere), siªu mÆt c¸ch ®Òu n (equidistant hypersurface), siªu cùc h¹n (hyperhorosphere) trong hyperbolic nÕu t¬ng øng HP (q, c) lµ siªu mÆt spacelike, siªu mÆt timelike, siªu mÆt lightlike. T¬ng tù, lÊy siªu ph¼ng HP (q, c) giao víi n-kh«ng gian hyperbolic H+−1 (a, r) t©m n a b¸n kÝnh r ta còng nhËn ®îc c¸c lo¹i siªu mÆt trong H+ (a, r). Trêng hîp ®Æc biÖt n−1 siªu ph¼ng lµ {xn+1 = c} víi c lµ mét h»ng sè, c¾t mét hyperbolic H (a, r) ta ký hiÖu SH (a, r, c) = H (a, r) ∩ {xn+1 = c}, vµ ®îc gäi lµ siªu cÇu ®Æc biÖt. DÔ dµng kiÓm tra ®îc, c¸c siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic lµ c¸c ®a t¹p
tr¬n (n − 1)-chiÒu. Trong phÇn nghiªn cøu tÝnh rèn (umbilic) cña mÆt ®èi chiÒu hai chóng ta sÏ quan t©m nhiÒu ®Õn c¸c lo¹i siªu mÆt nµy. 2.8. n± - ¸nh x¹ Gauss r Trong môc nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1 , giíi thiÖu c¸ch x©y dùng n± -¸nh x¹ Gauss vµ c¸c kh¸i niÖm liªn quan. Cuèi cïng r chóng t«i giíi thiÖu mét tÝnh chÊt cña n± -¸nh x¹ Gauss t¬ng tù nh ¸nh x¹ Gauss r trong h×nh häc vi ph©n cæ ®iÓn. C¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc chøng minh chi tiÕt trong [5]. Cho M = X (U ) lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai trong Ln+1 . M ®îc gäi lµ mÆt spacelike (spacelike surface) nÕu tÝch v« híng trªn Ln+1 c¶m sinh mét metric Riemann g trªn M , x¸c ®Þnh nh sau gp (w1 , w2 ) = w1 , w2 , ∀w1 , w2 ∈ Tp M, ∀p ∈ M. Nãi c¸ch kh¸c, M ®îc gäi lµ mÆt spacelike nÕu mäi vect¬ trªn Tp M ®Òu lµ vect¬ spacelike. Víi mçi p ∈ M , kh«ng gian ph¸p cña M t¹i p, ký hiÖu lµ Np M , ®îc x¸c ®Þnh nh sau n+1 Np M = N ∈ L | N , Xui (p) = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1 . NÕu M lµ mét mÆt spacelike th× víi mçi p ∈ M kh«ng gian tiÕp xóc Tp M lµ (n − 1)- ph¼ng spacelike vµ kh«ng gian ph¸p Np M lµ 2-ph¼ng timelike. §Ó x©y dùng n± -¸nh x¹ Gauss ®èi víi mÆt ®èi chiÒu hai spacelike M ta quan t©m r ®Õn n-kh«ng gian Hyperbolic t©m v, b¸n kÝnh 1 ®îc x¸c ®Þnh H+ (v, 1) = {x ∈ Rn+1 | x − v, x − v = −1, xn+1 ≥ 0}, n víi v = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Ln+1 . H+ (v, 1) nhËn ®îc b»ng c¸ch tÞnh tiÕn n-kh«ng gian n hyperbolic däc theo trôc xn+1 ®Õn vÞ trÝ cã ®Ønh n»m ë gèc to¹ ®é. 2.9. Bæ ®Ò ([5]) Cho Π lµ 2-ph¼ng timelike ®i qua gèc to¹ ®é. Khi ®ã, víi mçi r > 0 cho tríc, tËp hîp n {x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) ∈ Π ∩ H+ (v, 1) | xn+1 = r} chøa ®óng hai vect¬. Cho M lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1, khi ®ã víi mçi p ∈ M siªu ph¼ng {xn+1 = r}, (r > 0) c¾t hyperbola Np M ∩ H+(v, 1) t¹i hai ®iÓm n ± (p), ta quy íc chän c¸c vect¬ n± (p) sao cho nr r det(Xu1 , Xu2 , . . . , Xun−1 , n+ (p), n− (p)) > 0. r r Ký hiÖu HS+ (v, 1) = H+ (v, 1) ∩ {xn+1 = r}, r > 0. r n 2.10. §Þnh nghÜa ([5]) Víi c¸c ký hiÖu trªn, ¸nh x¹ n± : M r → HS+ (v, 1) r → n± (p) p r
®îc gäi lµ n± -¸nh x¹ Gauss cña mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike M trong r Ln+1 . Cho p = X (u1 , u2 , . . . , un−1 ) lµ mét ®iÓm cña M , khi ®ã n± (p) ®îc x¸c ®Þnh tõ hÖ r ph¬ng tr×nh   Xui , n = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1,  (0.1) n − v, n − v = −1,   nn+1 = r > 0. §Æt Npn M = Np M ∩ Tn± (p) H+ (v, 1), ta cã ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ± n r r ± dn± n n : Tp M → Tn± (p) H+ (v, 1) = Tp M ⊕ Np r M. r p r XÐt c¸c phÐp chiÕu trùc giao n± (p) n± (p) ± ± ± n n n πT r : Tp M ⊕ Np r M → Tp M, πNr : Tp M ⊕ Np r M → Np r M ⊂ Np M, ta cã tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh ± Anr : Tp M → Tp M p víi An = −πT (p) ◦ dn± p . ± ± n r r p r Khi ®ã: (i) ¸nh x¹ An ®îc gäi lµ n± -¸nh x¹ Weingarten cña M t¹i ®iÓm p; ± r p r (ii) c¸c gi¸ trÞ riªng k1 (p), k2 (p), . . . , kn−1 (p) cña An (nÕu tån t¹i) ®îc gäi lµ c¸c ± ± ± ± n n n r r r r p n± -®é cong chÝnh cña M t¹i p; r (iii) n± -®é cong Gauss - Kronecker cña M t¹i p, ký hiÖu Kp , ®îc ®Þnh nghÜa tõ ± n r r n± -¸nh x¹ Weingarten nh sau r ± ± Kp r = det(Anr ). n p (iv) n± -¸nh x¹ Gauss ®îc gäi lµ song song nÕu πNr = 0, ∀p, khi ®ã ta cã n± (p) r ± dn± n ≡ Ap r . r p C¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø nhÊt cña M ®îc x¸c ®Þnh nh sau gij = Xui , Xuj , i = 1, 2, . . . , n − 1. C¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø hai cña M t¹i p ∈ M ®îc x¸c ®Þnh nh sau ∂2X ± bnr (p) = (p), n± (p) , i, j = 1, 2, . . . , n − 1. r ij ∂ui ∂uj 2.11. MÖnh ®Ò ([5]) Cho p lµ mét ®iÓm tuú ý cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike M trong Ln+1 , khi ®ã ta cã
(1) n± - ¸nh x¹ Weingarten lµ mét to¸n tö tù liªn hîp cña Tp M ; r (2) c¸c n±-®é cong chÝnh kin cña M t¹i p lµ c¸c nghiÖm cña ± (p), i = 1, 2, . . . , n − 1 r r ph¬ng tr×nh (Èn k) (0.2) ± det(bnr (p) − kgij (p)) = 0; ij (3) n± -®é cong Gauss-Kronecker Kp r ®îc x¸c ®Þnh ± n r ± det(bnr (p)) n± n± n± n± ij Kp r = k1 r (p).k2 r (p) . . . kn−1 (p) = . r det(gij (p)) III. TÝnh rèn cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike Trong môc nµy chóng t«i ®a ra c¸c kh¸i niÖm rèn, tõ ®ã t×m c¸ch ph©n biÖt c¸c kh¸i niÖm vµ chØ ra khi nµo th× c¸c kh¸i niÖm ®ã trïng nhau. Chóng t«i chøng minh ®îc c¸c siªu mÆt trong c¸c hyperbolic lµ c¸c mÆt rèn vµ mét mÆt n+ -rèn cã n+ -¸nh x¹ r r Gauss song song tháa m·n ®iÒu kiÖn (0.3) khi vµ chØ khi nã chøa trong mét siªu cÇu ®Æc biÖt (SH (a, r, c)). 3.1. §Þnh nghÜa Cho M lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike. 1. p ∈ M ®îc gäi lµ ®iÓm n+ -rèn (n+ -umbilic) nÕu An = kp idT M , trong ®ã kp = + + + n n r r r r r p p k1 (p) = k2 (p) = · · · = kn−1 (p) lµ c¸c n+ -®é cong chÝnh cña M t¹i p (r cè ®Þnh). + + + n n n r r r r T¬ng tù víi kh¸i niÖm ®iÓm n− -rèn. r 2. M ®îc gäi lµ mÆt n+ -rèn (n− -rèn) nÕu mäi ®iÓm thuéc M ®Òu n+ -rèn (n− -rèn) r r r r (r cè ®Þnh). M ®îc gäi lµ mÆt n± -rèn nÕu M võa n+ -rèn võa n− -rèn. r r r 3. M ®îc gäi lµ mÆt H + -rèn (H − -rèn), nÕu víi mäi p ∈ M tån t¹i rp sao cho p lµ ®iÓm n+ -rèn (n− -rèn). M ®îc gäi lµ mÆt H ± -rèn nÕu M võa H + -rèn võa lµ r r p p H − -rèn. Khi kh«ng cÇn ph©n biÖt râ, mét trong c¸c trêng hîp nµy ta sÏ gäi M lµ mÆt H -rèn. 4. M ®îc gäi lµ mÆt hoµn toµn rèn nÕu nã lµ mÆt n+ -rèn (n− -rèn) víi mäi r. r r 3.2. NhËn xÐt NÕu M lµ mÆt n+ -rèn hoÆc n− -rèn th× suy ra M lµ mÆt H -rèn. r r §iÒu ngîc l¹i nãi chung kh«ng ®óng, vÝ dô sau sÏ lµm râ kh¼ng ®Þnh nµy. 3.3. VÝ dô XÐt mÆt tham sè hãa π π X : (0, ) × (− , 0) → L4 ; (u, v ) → (u, sin v, v, cos u). 2 2
DÔ dµng chØ ra ®îc M lµ mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike. Th«ng qua viÖc t×m c¸c gi¸ trÞ riªng cña An ta cã c¸c ®é cong chÝnh cña M lµ + r r2 cos2 u + 2r r + n+ n k1 r = ; k2 r = sin v . (1 + cos2 v )3 cos u VËy, víi mçi p = X (u, v) ∈ M tån t¹i duy nhÊt mét gi¸ trÞ 2 sin2 v rp = (1 + cos2 v )3 − cos2 u sin2 v ®Ó p lµ ®iÓm n+ -rèn. Gi¸ trÞ rp hoµn toµn phô thuéc vµo ®iÓm p vµ nã kh«ng chung cho rp tÊt c¶ c¸c ®iÓm p ∈ M nªn M lµ mÆt H -rèn mµ kh«ng lµ mÆt n± -rèn. r VÝ dô trªn cho thÊy, M lµ mÆt H -rèn kh«ng suy ra ®îc M lµ mÆt n± -rèn. r §Þnh lÝ sau cho ta mét ®iÒu kiÖn ®Ó mÆt n+ -rèn cã ®é cong chÝnh lµ mét hµm h»ng. r 3.4. §Þnh lý Cho U ⊂ Rn−1 lµ mét tËp liªn th«ng. M = X (U ) lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike. Khi ®ã nÕu tån t¹i r > 0 sao cho M lµ n+-rèn vµ r (0.3) [(n+ )T ]u = [(n+ )T ]u ru ru j i i j th× c¸c n+ -®é cong chÝnh k1 = k2 = · · · = kn−1 = kn lµ mét hµm h»ng. T¬ng tù ®èi + + + + n n n r r r r r víi nr − -¸nh x¹ Gauss. Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt M lµ n+-rèn, víi p ∈ M ta cã r + −(n+ )T ◦ dn+ |p = k nr (p)idTp M , r r suy ra −(n+ )T ◦ dn+ |p (Xu (p)) = kn (p)Xui (p), i = 1, 2, . . . , n − 1, hay + r r r i + −(n+ )Ti (u1 , u2 , . . . , un+1 ) = k nr (p).Xui (p), i = 1, 2, . . . , n − 1. ru LÊy ®¹o hµm theo biÕn uj ®¼ng thøc −(n+ )T víi chó ý (n+ )T lµ ¸nh x¹ tuyÕn + = k nr Xui ru r tÝnh ta nhËn ®îc i + + [−(n+ )Ti ]uj = kuj .Xui + k nr .Xui uj . nr ru T¬ng tù ta cã + + −[(n+ )Tj ]ui = kuir .Xui + k nr .Xuj ui . n ru MÆt kh¸c −[(n+ )T ]u vµ Xu u nªn = −[(n+ )Ti ]uj = Xuj ui ru ru i ij j + + n nr kuir Xuj − kuj Xui = 0. H¬n thÕ, hÖ {Xu , Xu } ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn ku = ku = 0, víi mäi p ∈ M . Tõ gi¶ + + n n r r i j i j thiÕt U lµ mét tËp liªn th«ng suy ra kn lµ mét hµm h»ng trªn U . + r
3.5. NhËn xÐt NÕu M lµ mÆt n+ -rèn th× hµm n+ -®é cong chÝnh kn nãi chung phô thuéc vµo c¸c + r r r ®iÓm trªn M vµ kh«ng lµ mét hµm h»ng. §iÒu kiÖn (0.3) lµ kh«ng thÓ bá qua. 3.6. VÝ dô Trong L4 cho mÆt tham sè hãa M = X (R2 ) víi u2 + v 2 + 1 − 1); (u, v ) ∈ R2 . X (u, v ) = (0, u, v, §©y chÝnh lµ siªu mÆt trong H+ (v, 1) víi siªu ph¼ng c¾t lµ {x1 = 0} nªn nã lµ mét mÆt 3 ®èi chiÒu hai spacelike. Th«ng qua viÖc t×m c¸c gi¸ trÞ riªng cña An ta cã hµm ®é cong ± r chÝnh cña M lµ −r + n kp r = √ u2 + v 2 + 1 vµ râ rµng nã kh«ng lµ mét hµm h»ng. 3.7. HÖ qu¶ Cho M lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike. NÕu M lµ mÆt n+-rèn vµ M cã n+-¸nh x¹ r r Gauss song song th× n+ -¸nh x¹ Gauss tháa m·n ®iÒu kiÖn (0.3), tõ ®ã suy ra hµm n+-®é r r cong chÝnh cña M lµ mét hµm h»ng. Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt M lµ mÆt n+ -rèn vµ cã n+-¸nh x¹ Gauss song song nªn r r (n+ )ui = kXui , i = 1, 2, ..., n r .Suy ra (n+ )T = (n+ )u , i = 1, 2, ..., n. VËy nªn ®iÒu kiÖn (0.3) tháa m·n. Tõ §Þnh lÝ ru r i i 0.7 suy ra k lµ mét hµm h»ng. TiÕp theo chóng ta xÐt tÝnh rèn cña c¸c siªu mÆt trong hyperbolic. 3.8. MÖnh ®Ò C¸c siªu mÆt d¹ng M = HP (q, c) ∩ H+(v, 1) lµ c¸c mÆt hoµn toµn rèn. n Chøng minh. Gi¶ sö M lµ mét siªu mÆt trong n-kh«ng gian hyperbolic t©m v b¸n kÝnh 1, M = HP (q, c) ∩ H+ (v, 1). Víi p ∈ M , gi¶ sö M cã tham sè hãa ®Þa ph¬ng t¹i p lµ n n+1 , khi ®ã X:U →L X − v, X − v = −1 ⇒ Xui , X − v = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1 nªn Xu , i = 1, 2, . . . , n − 1 lµ c¸c vect¬ spacelike, hay M lµ mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike. i §Æt Y = X − v, ta sÏ chøng minh hÖ {Y, q} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt ta cã ngay Y lµ vect¬ timelike vËy nªn, nÕu q lµ spacelike hoÆc lightlike th× hÖ {Y, q } ®éc lËp tuyÕn tÝnh. NÕu q lµ vect¬ timelike, gi¶ sö {Y, q } phô thuéc tuyÕn tÝnh, khi ®ã tån t¹i m ∈ R sao cho Y = mq. Ta cã X, q = c ⇒ Y + v, q = c ⇒ m q , q = c − qn+1 .
V× q lµ vector timelike nªn q, q = 0 suy ra m lµ mét h»ng sè, khi ®ã M lµ mét ®iÓm, v« lý hay {Y, q} lu«n ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Tõ gi¶ thiÕt cña mÆt M ta cã Xui , Y = 0, Xui , q = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1, nªn Y, q ∈ Np M . VËy {Y, q} lµ mét c¬ së cña Np M . Gäi n lµ ¶nh cña n± -¸nh x¹ Gauss, r n ∈ Np M nªn n = λY + µq . Víi r > 0, n tháa m·n hÖ ph¬ng tr×nh   − λ2 + 2λµ(c − qn+1 ) + µ2 q , q − 2r = 0, n − v, n − v = −1, (0.4) qn+1 r ⇔ λ = − µ+ . nn+1 = r, yn+1 yn+1 Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (0.4) suy ra λ, µ chØ phô thuéc vµo yn+1 , vµ theo gi¶ thiÕt Y , Y = −1 nªn yn+1 = 0. Theo Bæ ®Ò 2.9, tån t¹i c¸c hµm ϕ1 , ϕ2 , ψ1 , ψ2 : U → R sao cho bé nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (0.4) ®îc x¸c ®Þnh (λ1 , µ1 ) = (ϕ1 (u1 , u2 , . . . , un−1 ), ψ1 (u1 , u2 , . . . , un−1 )), (λ2 , µ2 ) = (ϕ2 (u1 , u2 , . . . , un−1 ), ψ2 (u1 , u2 , . . . , un−1 )). Ta viÕt n± = ϕY + ψq, r víi p = X (u1 , u2 , . . . , un−1 ) ∈ M, ϕ, ψ : U → R. Khi ®ã (0.5) (n± )ui = ϕui Y + ϕYui + ψui q = ϕui Y + ϕXui + ψui q, , i = 1, 2, ..., n r nªn c¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø hai ®îc x¸c ®Þnh bij (n± ) = n± , Xui uj = − (n± )uj , Xui = −ϕ Xui , Xuj = −ϕgij r r r víi i, j = 1, 2, . . . , n − 1. VËy An = ϕidT M , hay M lµ mÆt hoµn toµn rèn. ± r p p 3.9. NhËn xÐt C¸c kÕt qu¶ trªn kh«ng thay ®æi khi thay H+ (v, 1) bëi H+ (a, r) víi a ∈ Rn+1 , r ∈ R+ . n n Hay nãi c¸ch kh¸c, nÕu giao cña mét n-kh«ng gian hyperbolic t©m a b¸n kÝnh r víi mét siªu ph¼ng mµ kh¸c rçng vµ kh¸c mét ®iÓm th× nã lµ mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike rèn. 3.10. MÖnh ®Ò Cho M = HP (q, c) ∩ H+(v, 1) lµ mét siªu mÆt trong mét hyperbolic. Khi ®ã c¸c ph¸t n biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng (i) n+-¸nh x¹ Gauss song song; r (ii) n+-®é cong Gauss-Kronecker cña M lµ mét hµm h»ng kh¸c kh«ng; r (iii) M lµ mét siªu cÇu ®Æc biÖt SH (a, r, c).
Chøng minh. (i) ⇒ (ii) : Tõ c«ng thøc (0.5) ta thÊy, nÕu n+ -¸nh x¹ Gauss song song th× ϕu Y + ψu q = r 0, i = 1, 2, ..., n, mµ {Y, q } ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn ϕu = ψu = 0, i = 1, 2, ..., n. Suy ra i i i i ϕ lµ mét hµm h»ng. Tõ nhËn xÐt 3.9 ta cã n+ -®é cong Gauss-Kronecker lµ mét hµm r h»ng. (ii) ⇒ (iii) ϕ lµ mét hµm h»ng, víi ϕ ®îc x¸c ®Þnh trong chøng minh MÖnh ®Ò 3.8. − ϕ2 + 2ϕψ (c − qn+1 ) + ψ 2 q , q − 2r = 0 (0.6) ϕyn+1 + ψqn+1 = r. Tõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (0.6) ta cã, nÕu ϕ lµ hµm h»ng th× ψ còng lµ mét hµm h»ng. ThÕ vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ (0.6) suy ra yn+1 lµ mét hµm h»ng. VËy täa ®é thø n + 1, xn+1 cña tham sè hãa cña mÆt lµ mét hµm h»ng. Tõ ®ã suy ra M lµ mét siªu cÇu ®Æc biÖt. (iii) ⇒ (i) NÕu c¾t n-kh«ng gian hyperbolic bëi mét siªu ph¼ng vu«ng gãc víi trôc xn+1 , ta lu«n gi¶ sö ph¸p vect¬ cña siªu ph¼ng lµ q = (0, . . . , 0, 1). Khi ®ã theo chøng minh trªn ta cã X, q = c ⇒ xn+1 = c ⇒ yn+1 = c − 1 = const, mÆt kh¸c hµm ϕ chØ phô thuéc vµo yn+1 nªn nã lµ mét hµm h»ng. ϕ h»ng th× suy ra ψ h»ng, tõ c«ng thøc (0.5) suy ra mÆt M cã n+ -¸nh x¹ Gauss song song. r 3.11. §Þnh lý Cho M lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike, khi ®ã ta cã c¸c ph¸t biÓu sau t¬ng ®¬ng (i) M lµ mÆt n+ -rèn, cã n+ -¸nh x¹ Gauss song song; r r (ii) M chøa trong mét siªu cÇu ®Æc biÖt SH (a, r, c). Chøng minh. ((i) =⇒ (ii)) : M lµ mÆt n+ -rèn vµ cã n+ -¸nh x¹ Gauss song song nªn tõ HÖ qu¶ 3.7 r r tån t¹i λ ∈ R, λ = 0 sao cho πT ◦ dnr p+ | = λdX | , ∀p ∈ M . VËy + n (p) r p dn+ = λdX ⇔ d(λX − n+ ) = 0 ⇒ ∃X 0 ∈ Ln+1 : r r (0.7) λX − n+ = X 0 . r Hay 10 1 1 1 1 (X + v ) = (n+ − v ) ⇒ X − (X 0 + v ), X − (X 0 + v ) = − 2 . X− r λ λ λ λ λ Nãi c¸ch kh¸c, M chøa trong mét hyperboloid t©m λ (X 0 + v), b¸n kÝnh λ1 . 1 2 Tõ (0.7) suy ra 10 xn+1 (u1 , . . . , un−1 ) = (x + r) = c = const. λ n+1 VËy M chøa trong SH (X 0 + v, λ1 , c).2 ((i) ⇐= (ii)) : NÕu M chøa trong mét SH (a, r, c) th× theo MÖnh ®Ò 3.8 suy ra M lµ mét mÆt rèn, hiÓn nhiªn nã lµ n± -rèn, víi mäi r. Tõ MÖnh ®Ò 3.10 ta suy ra n± -¸nh r r x¹ Gauss cña nã lµ song song.
3.12. NhËn xÐt Mét mÆt H -rèn kh«ng suy ra ®îc nã chøa trong mét hyperbolic. ThËt vËy xÐt mÆt trong VÝ dô 3.3 ta cã M lµ mét mÆt H -rèn vµ M kh«ng chøa trong mét hyperbolic nµo. Tµi liÖu tham kh¶o [1] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, The lightcone Gauss map and the lightcone developable of a spacelike curve in Minkowski 3-space, Glasgow. Math. J., (42), 2000, 75-89. [2] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, Singularities of hyperbolic Gauss maps. Pro- ceedings of the London Mathematical Society (86), 2003, 485-512. [3] S. Izumiya, D. Pei and M.C. Romero-Fuster, Umbilicity of spacelike submanifolds of Minkowski space, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, (134A), 2004, 375- 387. [4] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, Horospherical surface of curve in Hyperbolic space, Publictiones Mathematicae (Debrecen) (64), 2004, 1-13. [5] §Æng V¨n Cêng, TÝnh dÑt cña mÆt ®èi chiÒu hai Spacelike trong Ln+1 , T¹p chÝ khoa häc, Trêng §¹i Häc Vinh, TËp XXXVII, sè 2A, 2008, 11-20. summary The Umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in Ln+1 In this paper we use the notion of n± -Gauss map for a spacelike surfaces of codi- r mension two in the Lorentz-Minkowski space Ln+1 in order to study the umbicity of such surfaces. (a) Khoa KH-TN, trêng ®¹i häc duy t©n, K7/25 Quang Trung, ®µ n½ng.