TIẾT 41 BẤT ĐẲNG THỨCVỀ GIÁTRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

I. Mục tiêu bài dạy.

Về tư duy: Hướng dẫn học sinh :phát hiện, hiểu được, nắm được các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,

bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm.

Về kĩ năng:

_ Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản bằng cách áp dụng các bất đẳng thức nêu trong bài học.

_ Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến.

II . Những điều cần lưu ý.

+ Học sinh đã hiểu, biết về bất đẳng thức, các tính chất của bất đẳng thức, học sinh cũng đã biết về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.

+ Cho một hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Muốn chứng minh số M (hay m) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f(x) trên D, ta làm như sau: _ Chứng minh bất đẳng thức f(x)  M (f(x)  m) với mọi xD; _ Chỉ ra một (Không cần tất cả) giá trị x = 0x D sao cho f(x) = M ( f(x) = m )

II Chuẫn bị của giáo viên và học sinh.

** Các tính chất của bất đẳng thức, phương pháp chứng minh các bất đẳng thức nhờ tính chất và nhờ vào tính chất âm dương của một số thực

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 1

** Bảng phụ, đồ dùng dạy học.

III Tiến trình bài dạy.

Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng

a =

  a

a

Hoạt động1.Cho HS nhắc lại định a khi a  0 , nên ta nghĩa trị tuyệt đối của số a.  a khi a  0 (cid:0)  a   a a   a    luôn có a (cid:0)      a a x a x  0

      a a x x x

  0

 a  a a

a

b

a b

 

a

b

.

Hoạt động 2 Cho HS ghi các tính chất của bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

a

b

a b

 

a

b

.

(cid:0) Dựa vào tính chất của BĐT và BĐT giá trị tuyệt đối ở trên, chứng minh:

 a b

b

.

a

b

a b

 

a

b

.

a

b

 a b

.

Học sinh trao đổi nhau về BĐT giá trị tuyệt đối, suy nghĩ thảo luận để đi đến kết luận hai BĐT quan trọng Hoạt động 3 Vận dụng BĐT trên để chứng minh: a

ab

Do đó V Bât đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

 ba 2

Đinh lý.`Nếu a  0 và  0 thì . Hoạt động 4 Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững bất đẳng thức trung bình cộng vã trung bình nhân.

Dấu “=” xảy ra  a = b.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 2

ab

Với a  0 và  0 chứng minh

 ba 2

rằng . Học sinh tham gia giải quyết

Với a  0 và b  0 thì Dấu “=” xảy ra khi nào ?

ab

ba  2

2

gọi là bất đẳng thức Côsi.  a + b  2 ab 

(

a 

b

)

a + b - 2 ab  0  0(hiển nhiên). Hoạt động 5.Vận dụng

Dấu “=” xảy ra  a = b. Cho hai số dương âm a và b.

Hệ quả . Chứng minh

 )  4 ?

1 a

1 b

Ta có: (cid:0) Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng (a + b)( đạt giá trị lớn nhất khi hai số đố bằng nhau.

a + b  2 ab , dấu “=” xảy ra

  2

1 a

1 b

1 ab

Dấu “=” xảy ra khi nào ?  a = b. (cid:0) . Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. , dấu “=” xảy ra

 a = b.

 )  4.

ở hình vẽ dưới đây, cho AH = a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Từ đó suy ra

1 a

1 b

 (a + b)(

Dấu “=” xảy ra  a = b.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 3

D

C

D

C

B

O

A

OD

Học sinh tham gia trả lời:

H

 a b 2

B

O

A

H

ab .

và HC  ab . Vì

OD HC

 a b 2 cach chứng minh bằng hình học)

nên (Đây là

Cho hai số x, y dương có tổng

S = x + y không đổi.

ý nghĩa hình học . Tìm GTLN của tích của hai số này ? (cid:0) Trongtất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình x  0 và y  0, S = x + y. vuông có diện tích lớn nhất.

2s 4

2s 4

. x + y  xy  xy  Cho hai số dương, y có tích P = xy không đổi. (cid:0) TRong tất các hình chỡ nhậtcó cùng diệt tích,hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Tích hai số đó dạt GTLN bằng Hãy xác định GTNN của tổng hai số này ?

Dấu “=” xảy ra  x = y.

Giả sử x > 0 và y > 0, đặt P = xy.

x + y  xy 

x + y  P.

Hoạt động 6. Hướng đẫn học sinh nắm vững các bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, đồng thời biết áp dụng và giải toán. Dấu “=” xảy ra  x = y.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 4

|x| = ?

Nhận xét gì về

|a + b| và |a| + |b|, Học sinh tóm tắt, củng cố kiến thức cơ bản. |a - b| và |a| + |b| Ví dụ:  x, y, z  R, chứng minh: x  0 x |x| = . |x +y| + |y + z|  |x - z|.  xx  0   

Chứng minh. Ta có x  0 x * |x| = .  xx  0    * |a + b|  |a| + |b|, dấu “=” xảy ra  ab  0 |x - z| = |(x - y) + (y - z)|  |x +y| + |y + z|.

* |a - b|  |a| + |b|, dấu “=” xảy ra  ab  0. * |x|  0, dấu “=” xảy ra  x = 0.

* |x|  x, dấu “=” xảy ra  x  0.

* |x|  0, dấu “=”  x  0

ab

* Bất đẳng thức Cô Si:

 ba 2

Nếu a  0 và  0 thì .

ab

 ba 2

Dấu “=” xảy ra  a = b. * Nếu a  0 và  0 thì .

Dấu “=” xảy ra  a = b.

Làm các bài tập sgk :Số 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 5

Mở rộng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm.

.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 6