ET 2060
Biểu diễn tín hiệu và hệ thống LTI
trên miền tần số
TS. Đặng Quang Hiếu
http://ss.edabk.org
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Vai trò của biến đổi Fourier
◮Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặc
biệt là xử lý tín hiệu.
◮Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm
1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổi
tiếng khác. Phân loại:
◮Chuỗi Fourier (FS)
◮Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS)
◮Biến đổi Fourier (FT)
◮Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT)
◮Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh
(các thuật toán FFT).
Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số
1
-1
12345t
x(t)
1 2 3-1-2-3 f
|X(f)|
Hàm riêng của hệ thống LTI (1)
Xét hệ thống LTI với đầu vào là dãy lũy thừa x[n] = ejωn
y[n] =
∞
X
k=−∞
h[k]ejω(n−k)=ejωnH(ejω)
trong đó,
H(ejω) =
∞
X
k=−∞
h[k]e−jωk
◮ejωn- hàm riêng (eigenfunction) của hệ thống LTI
◮H(ejω)- trị riêng (eigenvalue)
Hàm riêng của hệ thống (2)
ejωnH(ejω)ejωn
h[n]
Nếu biểu diễn đầu vào bất kỳ theo các hàm riêng
x[n] = X
k
akejωkn
thì
y[n] = X
k
akH(ejωk)ejωkn
◮Không phải thực hiện phép chập!!!
◮H(ejω)gọi là đáp ứng tần số của hệ thống
Outline
Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian
Chuỗi Fourier (FS)
Tín hiệu x(t)tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T=2π
Ω0có thể được
biểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau:
x(t) =
∞
X
k=−∞
ckejkΩ0t
trong đó
ck=1
TZT
0
x(t)e−jkΩ0tdt
là các hệ số FS của x(t)(ck,c−k– thành phần hài bậc |k|).
Ví dụ về FS
Hãy tìm khai triển chuỗi Fourier cho các tín hiệu sau với chu kỳ cơ
bản Ω0=2π/T.
(a) x(t) = cos(Ω0t)
(b) x(t) = P∞
k=−∞ δ(t−kT)
(c) Xét trong một chu kỳ,
x(t) = 1,|t| ≤ T0
0,T0<|t|<T/2
t
x(t)
T0
−T0T
2
−T
2
Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn
0.25
4 8 12 16 20-4-8-12-16-20
bbbbbbbb
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
bbbbbbbb
k
ak
T0
T=1
8
8 16-8-16
bbbbbbbbbbbbb
b
b
b
b
bbbbbbb
b
b
b
b
bbbbbbbbbbbbb
k
akT0
T=1
16
Điều kiện tồn tại FS
Các điều kiện Dirichlet:
1. x(t)bị chặn
2. x(t)có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ
3. x(t)có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ
Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ:
ZT
|x(t)|2dt <∞