Chuyên đề luyện thi đại học toán 2012: Kinh nghiệm và tài liệu hay

TRẦN ANH TUẤN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

Các chuyên đề

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2011

Mục lục

I Đại số - Lượng giác - Giải tích

9

Chương 1 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 11

1.1. Phương trình, bất phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Phương trình, bất phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Phương trình trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3. Phương trình, bất phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Phương trình, bất phương trình chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1. Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba) theo

một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.4. Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 3 : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6. Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Chương 2 Bất đẳng thức 37

2.1. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2. Một số hệ quả trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3. Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4. Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3 Lượng giác 51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

. . . . . . 3.1. Phương trình cơ bản . . . . . 3.2. Phương trình dạng a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Đưa phương trình về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5. Phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7. Lượng giác trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Chương 4 Tổ hợp 69

4.1. Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Giải phương trình, bất phương trình, hệ 4.3. Hệ số của xk trong khai triển . . . . . . . . . . . 4.4. Hệ số của xk trong khai triển nhị thức (a + b)n . . 4.5. Hệ số của xk trong khai triển (a + b)n(c + d)m . . 4.6. Hệ số của xk trong khai triển (a + b + c)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

n .

k=0

4.7. Tính tổng các hệ số tổ hợp : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 . . . . . . akCk

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.8. Phương pháp cơ bản với ak chỉ là hàm số mũ theo biến k 4.9. Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k . . . 4.10. Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k . . . . . . . 4.11. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

83 Chương 5 Hàm số

5.1. Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ . . . . . . . . . . . . . 91

Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . . 92

5.2. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

. . . . . . . . . 94

Vấn đề 1 : Sử dụng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 để xác định các điểm cực trị của hàm số . . . Vấn đề 2 : Điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x = x0 hoặc đồ thị hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 số đạt cực trị tại điểm (x0; y0)

Vấn đề 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vấn đề 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vấn đề 2 : Các bài toán về tiệm cận có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4. Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vấn đề 1 : Tâm đối xứng, trục đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vấn đề 2 : Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5. Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6. Bài toán về sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7. Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vấn đề 1 : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vấn đề 2 : Hai đường cong tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Vấn đề 3 : Tiếp tuyến đi qua một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Vấn đề 4 : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.8. Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.9. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chương 6 Mũ và lôgarít 127

6.1. Hàm số mũ, hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2. Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3. Phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Vấn đề 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4. Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6. Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chương 7 Tích phân 149

7.1. Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 3 : Tìm hằng số C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.2. Các dạng toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.5. Tích phân trong các kì thi ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.6. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

167 Chương 8 Số phức

173 II Hình học

175 Chương 9 Phương pháp tọa độ trong trong mặt phẳng

9.1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.2. Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.1. Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.2. Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.3. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.3. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.4. Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

. 9.5. Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

. 9.6. Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.7. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng qua các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Chương 10 Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song song 191

10.1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy . . . . . . . . . . . 193

Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.2. Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Vấn đề 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.3. Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng . . . . . . . 197

Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác

Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.4. Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . 199

Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc 201

11.1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.2. Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước . . . . . 211

11.4. Hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P)) . . . . . 216

11.5. Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . 219

11.6. Khối đa diện và thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Vấn đề 3 : Dùng công thức thể tích để giải một số bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.7. Phân loại một số hình khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.7.1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.7.2. Hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.7.3. Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11.7.4. Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

11.7.5. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau . . 233

11.7.6. Hình hộp - Hình lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

11.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 239

12.1. Mặt cầu, khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.2. Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ trong không gian 249

13.1. Hệ toạ độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước . 249

Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13.2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . 254

Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13.3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

. . . . . . . . . . . . . . . 260

. . . . . . . . . . . . . . . 261

. . . . . . . . . . . . . . . 262

Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆′ trong không gian . . . Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) . . . . . . . . Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng

hoặc mặt phẳng khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′ Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Vấn đề 11 : Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

13.4. Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

13.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

III Hướng dẫn và đáp số

287 Phần I

Đại số - Lượng giác - Giải tích

Chương 1

Phương trình, bất phương trình, hệ đại số

1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức

1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai

Bài 1.1 : Giải và biện luận các phương trình sau :

a 2)x2 1. (m 2mx + m + 1 = 0 ; 2. = 2. − − x 1 a − + 1 x − Bài 1.2 : Cho phương trình :

(m2 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0. −

1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 1.3 : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm :

c2 x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = 0. − −

Bài 1.4 : Cho phương trình :

x2 (2m + 3)x + m2 + 2m + 2 = 0. −

1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2.

, . 2. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 x1 1 x2

3. Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với tham số m.

4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 = 2x2.

cos a.x + sin a 1 = 0. Bài 1.5 : Cho phương trình : x2 − −

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi a.

2. Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với a.

1 x2 2.

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của E = (x1 + x2)2 + x2

Bài 1.6 : Cho phương trình :

mx2 2(m 2)x + m 3 = 0. − − − Tìm m để phương trình có :

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. hai nghiệm trái dấu ; 2. hai nghiệm dương phân biệt ; 3. đúng một nghiệm âm.

Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau :

x2 + 1 3. ; < 1 1. x ; 2 x + 2 2 ≤ 4x + 3 2x − 3 −

4. x2 + (x + 1)2 ; − x2 + 3x 2)(x2 5x + 6) 2. ( 0 ; 4 − x2 + 2x 15 x2 + x + 1 ≤ − − − ≥

Bài 1.8 : Giải và biện luận các bất phương trình sau :

2(m 1)x + 3m 3 1. x2 mx + m + 3 > 0 ; 2. (m + 1)x2 0 ; − − − − ≥

x2 0 7x + 6 − Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau : x2 ≤ 8x + 15 0 ≥ − Bài 1.10 : Tìm m để :

mx + m + 3 x x mx x 1. x2 0, R ; 2. mx2 + 4x + m > 0, R ; 3. mx2 5 < 0, R. − ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ − − ∀ ∈

R : Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với mọi x ∈

1. y = È m(m + 2)x2 + 2mx + 2 ; 2. y = ; (1 m)x2 1 2mx + 5 9m − − −

2(m 1)x + 3m 3. Tìm m để bất phương trình : Bài 1.12 : Cho f (x) = (m + 1)x2 − − −

f (x) 1. f (x) < 0 vô nghiệm. 2. 0 có nghiệm. ≥

(cid:12)

Bài 1.13 : Tìm m để các bất phương trình sau có tập nghiệm là R :

(cid:12)

< 6 ; 1. 1 2. < 2 ; 3x2 2x2 mx + 5 x + 1 ≤ x2 + mx + 1 x2 + 1 − −

0. Tìm m để bất phương trình : Bài 1.14 : Cho bất phương trình : x2 + 6x + 7 + m ≤

1. vô nghiệm.

2. có đúng một nghiệm.

3. có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

4x + 3m + 1 > 0 với mọi x > 0. Bài 1.15 : Tìm m để f (x) = mx2 −

0 với mọi x 1; 1]. Bài 1.16 : Tìm m để f (x) = 2x2 + mx + 3 ≥ ∈

2mx m [ − 0 với mọi x > 0. Bài 1.17 : Tìm m để f (x) = x2

− ≥ 2(m + 1)x m + 5 > 0 với mọi x < 1. − Bài 1.18 : Tìm m để f (x) = mx2 − −

(3m + 1)x (3m + 9) 0 với mọi x 2; 1]. Bài 1.19 : Tìm m để f (x) = 2x2 ≤ [ − ∈ − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 12

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.1.2 Phương trình trình bậc ba

Bài 1.20 : Cho phương trình :

x3 (m2 m + 7)x (3m2 + m 6) = 0. − − − −

1. Tìm m để phương trình có một nghiệm là 1. −

2. Với m > 0 tìm được ở câu trên, hãy giải phương trình .

Bài 1.21 : Giải các phương trình sau :

6x2 + 11x 5x2 + 7x 1. x3 6 = 0 ; 2 = 0 ; 3. x3 − −

− 3 √3x2 + 7x − 2. 2x3 + x + 3 = 0 ; 4. x3 √3 = 0 ; − −

Bài 1.22 : Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :

(2m + 1)x2 + 3(m + 4)x m 2mx2 (2m 1. x3 12 = 0 ; 2. mx3 1)x + m + 1 = 0 ; − − − − − −

Bài 1.23 : Tìm m để phương trình :

mx3 (3m 4)x2 + (3m 7)x m + 3 = 0 − − − −

có ba nghiệm dương phân biệt.

1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn

Bài 1.24 : Giải các phương trình sau :

35x3 + 62x2 6. 6x4 35 + 6 = 0 ; 1. x4 3x2 + 4 = 0 ; −

1)(x + 5)(x − 7. x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0 ; 2. (x 3)(x + 7) = 297 ; − −

5x3 + 10x2 3)(x + 1)(x + 6) = 8. x4 10x + 4 = 0 ; − 3. (x + 2)(x 36 ; − −

x2 + 6x − 9 = 0 ; 9. x4 4. x4 + (x − 1)4 = 97 ; −

− 15x2 x3 − 10. 2x4 x + 3 = 0. 5. (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 ; − − −

Bài 1.25 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

x4 + (1 2m)x2 + m2 1 = 0. − −

1. Vô nghiệm ; 2. Có hai nghiệm phân biệt ; 3. Có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 1.26 : Tìm các giá trị của a sao cho phương trình

(a 1)x4 ax2 + a2 1 = 0 − − −

có ba nghiệm phân biệt.

Bài 1.27 : Cho phương trình :

(m 1)x4 + 2(m 3)x2 + m + 3 = 0. − −

Tìm m để phương trình trên vô nghiệm.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 13

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 1.28 : Cho phương trình :

x4 (2m + 1)x2 + m + 3 = 0. −

Tìm m để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bé hơn 2 và ba nghiệm còn lại lớn hơn 1. − − Bài 1.29 : Tìm h để phương trình sau đây có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau :

x4 + hx3 + x2 + hx + 1 = 0.

Bài 1.30 : Cho phương trình :

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m.

Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

1. Phương trình (bất phương trình) + g(x) < 0 (hoặc = , hoặc > , hoặc , hoặc ) tương đương với ≥ ≤ f (x) | |

f (x) 0 f (x) < 0 ≥ hoặc f (x) + g(x) < 0 f (x) + g(x) < 0. −

Một số phương trình hoặc bất phương trình chứa nhiều hơn một dấu giá trị tuyệt đối thì việc phá dấu giá trị tuyệt đối

sẽ phức tạp hơn nhiều, phải chia thành nhiều trường hợp bằng cách lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị

tuyệt đối.

2. Phương trình (bất phương trình) (hoặc = , hoặc > , hoặc , hoặc ) phương pháp đơn giản là bình < f (x) | | g(x) | | ≥ ≤ phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử.

•

3. Một số phương trình và bất phương trình thông dụng (giả sử a > 0).

•

= a x = a hoặc x = a. | − ⇔ < a a < x < a. | ⇔ − a a x a. | ⇔ − ≤ ≤ x < a hoặc x > a. | ⇔ − a x a hoặc x a. x | x | x | ≤ > a x | x | ≥ | ⇔ ≤ − ≥

x2 = x 3. Bài 1.31 : Giải phương trình − − 8x + 15 | | Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :

x2 x2 + x 1. = x2 + 6x + 5; 2x + 5; 3. 5x + 4 | − | 1 | ≤

x = 2x | − x2 − x2 2. 1; 4. | 1 | − − | x | ≤ | − 1 . | −

(cid:12)

Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :

(cid:12)

(cid:12) ≤

(cid:12) ≥

= 4. 2. 3; 3. 1; = 2; 1. 2x + 3 | | 4 | 3x . | − 3x + 4 2 x 2x x x2 2 − x + 1 − 3 − 3 −

Bài 1.34 : Giải các bất phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 14

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x2 5x + 4 2x + 1 1. x2 + 6x + 5; 2. 4x2 + 4x 5. | − | ≤ − | | ≥

(cid:12)

Bài 1.35 : Giải các bất phương trình sau :

(cid:12)

(cid:12) ≥

(cid:12)

(cid:12) < x2 1

(cid:12)

(cid:12) < x + 1 ; 5

< 1 6. x ; 1 1. ; 1 | − || 1 2 − x | | 1 + | + 2x 8x x | − x2 3x 5 ; 7. − − − 7 | − − 0 ; 2. log5 log¹⁄œ₂ 4 x | | 7 ≤ | (cid:12)x2 x2 3x 8. x | ‚ x2 − x | − | − − | − x2 2x 3. > 2x ; + x x 5 | − > 3 + x ; 9. 8 | − | − | | −

x3 7x 4. < x3 + x2 + 3 ; 0 ; 10. log3 | 3 | − | − ≥ − 4x | x − | x3 + x3 x2 2x 2 3x 4x 5. 0 ; 11. 1 ; | − x2 + 4 | − − ≤ − 1 | x2 − x2 + 3x + 4x || 2 | + 3 5 | 8 | ≤ 9 | − − − −

Bài 1.36 : Giải các bất phương trình sau :

+ + x 1. < 11 ; 3. > 3 + x ; 2x | 3x + 2 | | | 1 | 2 | − x |

− + + 3x x2 x 7x − x2 3x 17 x2 5x 2. 4. > 3. < x + 15 ; 3x2 | 9 | 7 | − − − − − | | − − | − | 7 | − −

x x + 4x + 6p + 12 0. 2 | − p | + 5 | 3p | − ≤

Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :

< x 21p. 2x + 21p | | − 2x 2 | 21p | − −

Bài 1.40 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình

x2 x x + 3 0 − | − a | − | − 1 | ≥

đúng với mọi x R. ∈ Bài 1.41 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x2 + 2x 1 + x − | a | −

lớn hơn 2.

Bài 1.42 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

+ y = x2 + x x | a | − | − 1 |

lớn hơn 2.

Bài 1.43 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = ax + x2 4x + 3 | − |

lớn hơn 1.

Bài 1.44 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = 4x x2 + x m − | | −

nhỏ hơn 4.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 15

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn

Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản

(cid:17)

Phương pháp chung là tìm cách bình phương hai vế (để giảm số căn, hoặc mất căn) với điều kiện là hai vế của phương trình

phải không âm.

f (x) 0) 0 (hoặc cũng có thể xét g(x) ≥ 1. Phương trình √ f (x) = √g(x) ⇔ ≥ f (x) = g(x).

g(x) 0 ≥ 2. Phương trình √ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = (g(x))2 .

g(x) 0 3. Bất phương trình √ f (x) > √g(x) (hoặc ) tương đương với ≥ ≥ f (x) > g(x).

f (x) 0 ≥ 4. Bất phương trình √ f (x) < g(x) (hoặc ) tương đương với g(x) 0 ≤ ≥ f (x) < (g(x))2 .

5. Bất phương trình √ f (x) > g(x) (hoặc ) tương đương với ≥

g(x) 0 f (x) 0 ≥ ≥ hoặc (II) (I) g(x) < 0 f (x) > (g(x))2 .

Bài 1.45 : Giải phương trình √x2 + 56x + 80 = x + 20.

2x 15 < x 3. Bài 1.46 : Giải bất phương trình √x2 − − − 1 > x + 2. Bài 1.47 : Giải bất phương trình √x2 − Bài 1.48 : Giải các phương trình sau :

2x2 1 = x + 1; 3. √x2 + 2x = 4x + 3; 1. √2x2 + 4x − − −

4. √(x + 1)(x + 2) = x2 + 3x 2. √4x2 + 101x + 64 = 2(x + 10); 4. −

Bài 1.49 : Giải các bất phương trình:

6 < x 1 > 1 1; 3. √2x2 x; 1. √x2 + x − − − −

1 2x 5x 14 2x 2. √2x 3; 4. √x2 1. − ≤ − − − ≥ −

Bài 1.50 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:12)

(cid:12)x2 + 3x

4 1. y = È x + 8; 3. y = ; − − x2 1 x2 + 2x + 5 1 7x + 5 −

; 2. y = − √x2 5x 14 4. y = x + 3. 2 − − − x2 + x + 1 x 1 | − − − 2x |

Bài 1.51 : Giải các phương trình sau :

6x 4 = 2(x 1. √5x2 1); 2. √x2 + 3x + 12 = x2 + 3x. − − −

Bài 1.52 : Giải các bất phương trình sau :

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ

x 12 x 1. √x2 + 6x + 8 2x + 3; 4. √x2 1; ≤ − − ≥ 2x 4 4x 5. √x2 − 12 > 2x + 3; > 1; 2. − 10 √x2 − 3x − < 1. 6. − 2)(x 3) x2 3. 6 √(x 34x + 48 ; − √x + 5 x 1 − − ≤ − −

(cid:17)

Chúng ta thường sử dụng một số quy tắc đặt ẩn phụ như sau :

1. Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể

(a) Đặt u = n√ax + b, rút x, thế vào phương trình được phương trình ẩn u.

(b) Hoặc cũng có thể đặt u = n√u(x), v = m√v(x), lũy thừa để rút ra ràng buộc giữa u và v để được 1 phương trình

theo u, v. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, v.

2. Đặt u = n√u(x), lũy thừa hai vế được phương trình chứa u, x. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn

u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương một số).

3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u = √u(x), đưa về phương trình bậc hai theo u với x coi như là tham số.

√b. 4. Nếu phương trình chứa √a √b và √ab ta thường đặt u = √a ± ±

5. phương trình đẳng cấp, chẳng hạn đẳng cấp bậc 2 : A.x2 + B.xy + C.y2 = 0. Có cách giải như sau :

, đưa được về phương trình bậc hai theo u. (a) Xét y = 0, rút được x; (b) Xét y , 0, chia cả hai vế cho y2, đặt u = x y

Bài 1.53 : Giải các phương trình sau :

3x + 2 = x √3x 1. 3x2 + 21x + 18 + 2 √x2 + 7x + 7 = 2 ; 4. 2x2 2 ; −

− 1) √6x2 10x + 5 (4x 2. x2 + √x + 1 = 1 ; 5. 6x2 6x + 5 = 0 ; − − −

− 4√97 3. 2(x2 + 2) = 5(x3 + 1) ; 6. x + 4√x = 5 ; −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3√x

Bài 1.54 : Giải các phương trình sau :

7. 1 + 3√x + 1 = x 3√2 ; −

3√x + 3√x

; 1. √x + 3 + √3x + 1 = 2 √x + √2x + 2 ; 2. √2x2 + x + 6 + √x2 + x + 2 = x + 4 x 16 = 3√x 8. 8 ; − −

3√2x3

x 3. x2 + 2x = 3x + 1 ; 1 + 3√1 9. x3 = x ; − − 4. 1 x − 4√x + 4√x + 1 = 2 4√2x + 1 ;

10. √x2 x + 1 + √x2 + x + 1 = 2 ; − 5. √x2 + 4x + 3 + √x2 + x = √3x2 + 4x + 1 ;

3√x + √5

x 3 ; x + 1 = x + 4. 6. 11. √2x2 + x + 9 + √2x2 − ≤ −

Bài 1.55 : Giải các phương trình sau :

x + √1 + x + 2 √1 1. √1 x2 = 4 ; 3. x2 + 2x + √x + 3 + 2x √x + 3 = 9 ; − −

4. 2x2 + x + √x2 + 3 + 2x √x2 + 3 = 9 ; 2. 2x + √x + 1 + √x + 2 √x2 + x = 1 ;

Bài 1.56 : Giải các phương trình sau :

4. = √x + 2 ; x + 2 + x √2x + 1 x + √2x + 1 1. 2x2 + x + 3 = 3x √x + 3 ; 2. √x + 8 = 3x2 + 7x + 8 ; 4x + 2

3. √x2 + x + 2 = 3x2 + 3x + 2 ; 5. ( √x + 3 √x + 1)(x2 + √x2 + 4x + 3) = 2x. 3x + 1 −

Bài 1.57 : Giải các phương trình sau :

3√x + 1 + 3√x + 2 = 1 + 3√x2 + 3x + 2 ;

3√x + 1 + 3√x2 = 3√x + 3√x2 + x ;

1. 6. √x + 3 + = 4 √x ; 4x √x + 3 2.

4√x + 1 + √x = 1 + 4√x3 + x2 ;

; 7. 4 √x + 3 = 1 + 4x + 3 x 3.

x 4 ; 8. 2 √x + 3 = 9x2 4. √x + 3 + 2x √x + 1 = 2x + √x2 + 4x + 3 ; − −

5. √x3 + x2 + 3x + 3 + √2x = √x2 + 3 + √2x2 + 2x ; 1 = 3x + 9 ; 9. 12 √x + 2 √x −

Bài 1.58 : Giải các phương trình sau :

4. 2x + 1 + x √x2 + 2 + (x + 1) √x2 + 2x + 3 = 0 ; 1. √x + 3 + 3√x = 3 ;

4√x + 4√x

5)2 √5 x) ; 5. x2 √x + (x x = 11( √x + √5 2. 1 = 4√x + 1 ; − − −

; 6. 2x3 = 1 + 3 x2 = (2 3. √2 √x)2 ; − r x + 1 2 − −

8√1

Bài 1.59 : Giải các phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

1. x = 3 ; x + 8√x = 1 ; 3. √x + 4 + √x + √1 − 2 + √x x ; 4. = √x + √1 2x = 1 ; − 2. 2 √x + 4√1 − − 3 + √1 x − Trang 18

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp

(cid:17)

Dạng 1 : Phương trình dạng √u(x) √v(x) = f (x), trong đó f (x) và u(x) v(x) có cùng nghiệm x = x0. − ±

(a) Phương trình trở thành = f (x). u(x) √u(x) v(x) √v(x)

(b) Chuyển vế, đặt (x − ∓ x0) làm nhân tử chung. −

n√v1(x)) + ( m√u2(x)

m√v2(x)) = f (x), trong đó f (x); u1(x)

Dạng 2 : Phương trình dạng ( n√u1(x) v1(x); u2(x) v2(x) có − − ±

± cùng nghiệm x = x0 (ở đây f (x) có thể đồng nhất bằng 0). Phương pháp giải loại này là chúng ta nhân liên hợp theo từng cụm, đặt (x x0) làm nhân tử chung. −

Bài 1.60 : Giải các phương trình, các bất phương trình sau :

€

1 = (x + 2) √x2 1. 3(2 + √x 2) = 2x + √x + 6; 2x + 2; 6. x2 + x − − −

3√x + 24 + √12

Š2 > x

2. 4; 7. x = 6; − − x2 1 + √1 + x

7x + 10 = x + √x2 8. 2 √x2 12x + 20; 2 + √4 x = x2 6x + 11; 3. √x − − − −

r 1

2 + √4 − x = 2x2 5x 4. √x 1; 11x + 21 = 3 3√4x 9. 2x2 4; − − − − − x 5. 1 + 3√9 x = 2x2 + 3x 10. √5x 1. − x − = 2x + x2 1 + x2 ; − − −

Bài 1.61 : Giải các phương trình sau :

√2x + 3 = x 5. 2 + √x + 6 = √2x + 5 + √x + 3 ; 1 ; 1. √x + 4 −

+ ; 6. 1 + 4√x + 3 = x + √2x ; 2. x + √2x = 1 x − x + 1 x

3. (x 7. √x + 2 + √x + 6 = √2x + 5 + √2x + 1 ;

4√x + 8 + √x + 4 = √2x + 3 + √3x

Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá

+ √2x + 4 ; 4. 8. 1) √x + 1 + √2x + 1 = √x + 2 ; − + √x + 5 = 1 x 1 x2

(cid:17)

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.

Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :

(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)

nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 19

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Phương pháp giải là :

(a) Nhận thấy x = x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.

(b) Nếu x > x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.

(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0.

Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với

u = v.

Cách 3 : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương

trình.

f (x) = c Cách 4 : Nếu f (x) c và g(x) c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với ≥ ≤ g(x) = c.

Bài 1.62 : Giải các phương trình sau :

√x + 3 1. √x + 3 + 3√x = 3 ; + √2x 4. 1 = 2 ; − 1 + √2 x − 2. √x + 3 + x + √x + 8 = 4 ;

Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số

x + 4 + √2x 1 = 5 ; 3. √x2 5. √x2 x + 1 + √x2 + 7x + 1 = 4 √x ; − − −

(cid:17)

1. Sử dụng phương trình, bất phương trình cơ bản;

2. Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn;

3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai;

4. Sử dụng phương pháp hàm số để chỉ ra điều kiện có nghiệm.

m = 2x 1 : Bài 1.63 : Tìm điều kiện của m để phương trình √x2 + 2x − −

1. có nghiệm thực ; 2. có đúng một nghiệm thực ; 3. có hai nghiệm thực phân biệt.

+ = m có nghiệm thực. Bài 1.64 : Tìm điều kiện của m để phương trình x + x + 1 2

x2 4 = 0 có nghiệm thực. Bài 1.65 : Tìm điều kiện của m để phương trình √16 − − x + 1 4 m √16 x2 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 20

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

r x

r x + 2 1 x

m + 2 = 0 có nghiệm thực. Bài 1.66 : Tìm điều kiện của m để phương trình 1 − x + 2 −

m √x − 1 + 2 4√x2 1 = 0 có nghiệm thực. Bài 1.67 : Tìm điều kiện của m để phương trình √x + 1 − − 2x − 3 = x + m Bài 1.68 : Tìm điều kiện của m để phương trình √x2 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 21

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. có nghiệm thực ; 2. có hai nghiệm thực phân biệt.

x = m. Bài 1.69 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình √x + 1 + √1 − x = √ x2 + 9x + m có nghiệm thực. Bài 1.70 : Tìm điều kiện m để phương trình √x + √9

− x + 4 √x − 4 + x + √x Bài 1.71 : Tìm điều kiện m để phương trình − − 6 √x x + 6 √x 9 + x có nghiệm thực. Bài 1.72 : Tìm điều kiện m để phương trình − − −

4 = m có nghiệm thực. 9 = x + m 6 Bài 1.73 : Tìm m để phương trình √x4 + 4x + m + 4√x4 + 4x + m = 6 có nghiệm thực.

x2 + 2 3√1 x2 = m : Bài 1.74 : Tìm điều kiện của m để phương trình √1 − −

1. có nghiệm thực duy nhất ; 2. có nghiệm thực.

= √2x 1 + mx luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m. Bài 1.75 : Chứng tỏ rằng phương trình − 1 1 3x2 √2x

r x + 1 3 x

− − 3)(x + 1) + 4(x 3) = m có nghiệm thực. Bài 1.76 : Tìm m để phương trình (x

− − x + 3√1 + x = m có nghiệm thực. − Bài 1.77 : Tìm m để phương trình 3√1

− Bài 1.78 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m √x2 + 2 = x + m.

2x 3 = mx + m có nghiệm thực x , 1. Bài 1.79 : Tìm m để phương trình √x2 − − − Bài 1.80 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

√x + √1 x + 2m x(1 x) 2 4 x(1 x) = m. − − − −

x + √x2 x + 1 = m có nghiệm thực. Bài 1.81 : Tìm m để phương trình − Bài 1.82 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thực :

4√x2 + 1

√x2 1. √x2 + x + 1 x + 1 = m ; 2. √x = m. − − −

Bài 1.83 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

€ √5

. x √x + √x + 12 = m x + √4 x − −

(cid:16)

(cid:17)

Bài 1.84 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

4√x2

m √x 2 + 2 √x + 2 = 2 4 4. − − − −

Bài 1.85 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

4) √1 x + m 1 = 0. (4m 3) √x + 3 + (3m − − − −

(cid:16)

(cid:17)

Bài 1.86 : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt :

m √1 + x2 √1 x2 + 2 = 2 √1 x4 + √1 + x2 √1 x2. − − − − −

Bài 1.87 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

√x2 2x = √mx + 1. −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 22

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 1.88 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

x + √1 x2 = m. −

Bài 1.89 : Cho phương trình :

x2 + 2x + 4 (3 x)(x + 1) = m 3. − − −

1. Tìm m để phương trình có nghiệm.

2. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.90 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

√x + 1 + √3 (x + 1)(3 x) = m. x − − −

Bài 1.91 : Cho phương trình :

+ m x = (m + 1) √x2 1. x + 1 | | 1 | | − −

1. Giải phương trình khi m = 2 ;

2. Tìm m để phương trình trên có nghiệm.

Bài 1.92 : Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm :

x + √x + 5 √x 3 1. √4 m ; 2. mx m + 1. − ≥ − ≤ −

(cid:16)

(cid:17)

Bài 1.93 : Tìm m để bất phương trình

”

—

m √x2 2x + 2 + 1 + x(2 x) 0 − ≤ −

0; 1 + √3 có nghiệm trong đoạn .

x2 x) 2x + m nghiệm đúng với mọi x 4; 6]. Bài 1.94 : Tìm m để bất phương trình √(4 + x)(6 − ≤ − [ − ∈

1.4 Hệ phương trình

1.4.1 Phương pháp thế

Bài 1.95 : Giải các hệ phương trình sau :

x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2 4x + 1 x = y − 1 y − 1. 4. xy + x + 1 = x2 1 x − 2y = x3 + 1

x3y = 16 2. 5. 3x + y = 8 √x + y = 3√x + y y = 3√x y 12 √x − − −

y = 2 y(1 + x2) = x(1 + y2) √x + y √x 3. 6. − − x2 + y2 + È x2 y2 = 4 x2 + 3y2 = 1 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 23

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

x3 8x = y3 + 2y √3x = 2 − 7. 11. x2 3 = 3(y2 + 1) 1 = 4 √2 √7y − 1 + 1 x + y 1 x + y −

+ y = 1 x2 x3 + 3xy2 = 49 8. − 12. − | x2 + 2x | = 1 x2 8xy + y2 = 8y 17x − −

= 1 y | | x2 + y2 + 2xy x + y 13. 9. √y( √x + √x + 3) = 3 √x + √y = x + 1 y √x + y = x2 −

r x y √xy + √y + 1 + √1

= √x + √7x + y + √2x + y = 5 1 + 1 y 14. 10. y = 2 x = 1 √2x + y + x − −

1.4.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba)

theo một ẩn

Bài 1.96 : Giải các hệ phương trình sau :

x3 + 3y2 x = 4 3x3 = x2 + 2y2 x − 1. 3. 5. y3 + 3x2y = 4; 3y3 = y2 + 2x2; y ; 3y = 4y x 3x = 4x y −

x2 + y + 1 = 0 x3 = 3x + 8y x3 = 5x + y 2. 4. 6. x + y2 + 1 = 0; y3 = 3y + 8x; y3 = 5y + x.

Bài 1.97 : Giải các hệ phương trình sau :

x2 = 3x + 2y y2 = (5x + 4)(4 x) 1. 5. y2 = 3y + 2x − 4xy + 16x y2 5x2 8y + 16 = 0 − − −

2y2 = 2x + y x2 x3 + 1 = 2y − 2. 6. 2x2 = 2y + x y2 y3 + 1 = 2x −

x3 = 2x + y y = 1 + È x2 y2 − − 3. 7. y3 = 2y + x √x + y + √x √x + √y = 1

xy + x + y = x2 2y2 x2y + 2x + 3y = 6 4. 8. y √x − 1 = 2x 2y 3xy + x + y = 5 x √2y − − −

1.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1.98 : Giải các hệ phương trình sau :

x + xy + y = 11 1. x xy + y = 1; −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 24

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= 4 = 26 5 6. 2. 9. ; x y x2 + y x y2 = 24; = 4; x2y + xy2 = 20 = 5 1 4 x + 1 y − x + y + x y x + y + x2 y + y x + y2 x

x2 + y2 = 2x2y2 3. 10. + 1 x + y + 1 = 3xy; xy = 1; x2 + y2 + xy = 3 x + y + x2y2 = 3xy 1 x y − 7. xy3 + yx3 = 2; x y + xy = 1 x2 + y2 + xy = 3x2y2 − 4. 11. x2 + y2 = 2; x2 + y2 xy = x2y2; −

= 2 x2 + y2 + x2y2 = 1 + 2xy x + xy + y = 7 8. 12. 5. + x + y = 4; (x y)(1 + xy) = 1 xy; x2 + xy + y2 = 13; x y 1 x + y x + 1 y − −

Bài 1.99 : Giải các hệ phương trình sau :

= 7 x2 + y2 = 1 x + y + xy = 5 3 (x + y)2 9. 1. 5. x2 + y2 + xy = 7 y = 2 √x + y + √x = 3 − 4xy + 4(x2 + y2) + 2x + 1 x + y

x2 + xy + y2 = 19(x y)2 x2 3xy + y2 = 1 = 13 6 10. 2. − 6. x2 xy + y2 = 7(x − y) x + y x y x + y = 5 − 3x2 xy + 3y2 = 13 − − −

x2 + xy + y2 = 1 2x2 4xy + y2 = 1 11. − 3. 7. x √y + y √x = 30 x √x + y √y = 35 x y xy = 3 − 3x2 + 2xy + 2y2 = 7 − −

3xy = 4 y2 x2 + 1 + y(x + y) = 4y x2 + y2 + √2xy = 8 √2 − 12. 4. 8. 4xy + y2 = 1 x2 (x2 + 1)(y + x 2) = y √x + √y = 4 − −

Bài 1.100 : Giải các hệ phương trình sau :

x2 + x + y + 1 + x + È y2 + x + y + 1 + y = 18 6. 1. x + È y2 + x + y + 1 y = 2; x2 + x + y + 1 √x + √y = 4 √x + 5 + √y + 5 = 6; −

r x y

+ + 1 x + y √xy = 7 − 7. 2. x2 + y2 + xy = 133; − É y = 7 √xy x x √xy + y √xy = 78;

(x y)(x2 y2) = 7 x2 + y2 + √2xy = 8 √2 − 8. 3. − (x + y)(x2 + y2) = 175; √x + √y = 4;

y = 4 9. 4. √x + y + √x − x2 + y2 = 128; x √x + y √y = 2 √xy √x + √y = 2;

y = 1 + È x2 y2 √x + √y = 1 − 5. 10. + = 1; √x + y + √x − √x + √y = 1; x | | y | |

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 25

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

r x y

É y x x + y = 10

+ 3 + 2x2y x4y2 + x4(2 2x2) = y4 = 5 2 17. 11. 1 + È − 1 + (x − y)2 = x3(x3 x + 2y2); − −

(cid:16)

(cid:17)

12. 18. x √y + y √x = 30 x √x + y √y = 35; √x + √y = 10 √x + 6 + √y + 6 = 14

3√x + 3√y = 6

2(x + y) = 3 x2y + 3 xy2 13. x + È x2 y2

É x + y 6x √xy = 9;

r x y

É y x x √xy + y √xy = 7;

(cid:18)

(cid:19)

= 9x 5 19. + 6x x + y = 5 2 x x y 14. − x2 y2 − − = 5 + 3x 6y 30 − x + y − x + y + È x2 y2 = 12 = + 20. 7 2 + √xy 15. − y2 = 12. y x2 −

(cid:18)

(cid:19)

r 20y x 16x 5y

y = √x + y + √x 3 √2y = 4 − 21. 16. y − 3 + √x = 2 = √x + y √x − − 5 y + 42x 5 y + 42x

Bài 1.101 : Giải các hệ phương trình sau :

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

2x + x2 y2 = 3 y(x2 + 1) = 2x(y2 + 1) = 4 − 1. 7. 12. x2 + y2 = 1 (x2 + y2) = 24 = 3 1 + 1 x2y2 2x + y + 1 x x2 + xy + 1 x

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)2

= 5 2. 1 + 1 xy 8. x2 + y2 = 1 2 2x3 + 6y2 x = 1 13. = 4 = 3 (x + y) xy + 1 xy x2y + 2y + x = 4xy + x 1 x2 y + 1 xy x3 + 3y2 x = y 3. (x + y) x2 + 3y2 = 1 9. = 6 (cid:19)2 14. (x2 + y2) = 18 1 + 1 xy 1 + 1 xy + x2y2 = 3; x2y + y = 2 x2 + 1 x2 4.

(cid:18)

(cid:19)3

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

y x − 1 xy x + y − 1 + xy 3x x 2y y (x2 + y2) = 9 = 1 − 3 − = 1 − 2 − 10. (x + y)(1 + xy) = 18xy 15. (x3 + y3) = 27 5. = 4; 1 + 1 xy 1 + 1 xy x2 + y2 + x + y = 4xy 1 x + y x2 + x y2 + 1 y (x2 + y2)(1 + x2y2) = 208x2y2

(cid:18) x y ‚ x2 y2

(x + y) = 15 = 4 2y(x2 y2) = 3x 11. 6. − 16. (x2 + y2) = 85 = 4 x(x2 + y2) = 10y. + y x + y2 x2 (x + y) xy + 1 xy 1 + 1 xy + x2 + y2 xy

Bài 1.102 : Giải các hệ phương trình :

x2 + y2 3x + 4y = 1 1. 3x2 − 2y2 9x 8y = 3 − −

Trang 26 − TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

(x + y) x xy y = 1 y + xy2 = 6x2 3. 5. 2. − x2y − xy2 = 6 1 + x2y2 = 5x2; (x y) − 1 2 xy − 2 + 1 xy = 9 2 = 5 2 −

x(x + 2)(2x + y) = 9 1 + x3y3 = 19x3 4. 6. x2 + 4x + y = 6 y + xy2 = 6x2. −

x + xy + y = a + 1 Bài 1.103 : Cho hệ phương trình : x2y + xy2 = a.

Tìm a để hệ có ít nhất một nghiệm (x; y) thỏa mãn : x > 0 và y > 0.

Bài 1.104 : Cho hệ phương trình :

√x + 1 + √y + 1 = 3

x √y + 1 + y √x + 1 + √y + 1 + √x + 1 = m.

1. Giải hệ phương trình với m = 6.

2. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.

1.4.4 Phương pháp hàm số

Bài 1.105 : Giải các hệ phương trình sau :

x3 5x = y3 5y y = 4 √x + 1 + √7 ex − − − 1. 4. − 7. x8 + y4 = 1 x = 4 √y + 1 + √7 − log2 y + log √2 4y3 = 10 − ey = x x 2

1 + 1 2x + 2 = 3y −

1 + 1 2y + 2 = 3x −

x + √x2 ln(1 + x) ln(1 + y) = x y − 2. 5. − − 8. y + È y2 √x + √x + 3 = 3 √y √y + √y + 3 = 3 √x 2x2 5xy + y2 = 0 − −

1 + 2x 1 x3 3x = y3 3y y = √2 x2 = √y √x + √2 − − − − − 3. 6. 9. y2 = √x 1 + 2y 1 x6 + y6 = 1 x = √2. √y + √2 − − −

Bài 1.106 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

y = m √x + 1 + √3 − x = m √y + 1 + √3 −

Bài 1.107 : Chứng minh rằng với mọi m > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :

3x2y 2y2 m = 0 − − 3y2 x 2x2 m = 0 − −

1.4.5 Phương pháp đánh giá

Bài 1.108 : Giải các hệ phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 27

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3√x + 3√y = 1 4√x + 4√y = 1

3√x2

x + √x + √y + 1 = 1 1. 7. 4. y + √y + √x + 1 = 1 = 4 x + y + 1 + 1 = 4 x y + 1 x2 + y2 + 1 y2 x2 2xy = x2 + y x + x + È 2 y2 = 2 x2 + 2y2 = 3 2x + 9 − 2. 8. − 2xy 5. = y2 + x y + y + √2 x2 = 2; x2(y2 + 1) = 4 − y2 2y + 9 −

4√x + √32

y = x3 + 3x + 4 x3 y3 = 7 y2 = x 3 √x + 4√32 − − − 3. 6. 9. − x = 2y3 6y 2 − xy(x y) = 2 x + 6y = 24. − − − −

1.5 Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình

Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có đúng k nghiệm thực phân biệt trong miền D.1

(cid:17)

Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x D (tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra ∈ được số nghiệm của phương trình.

Cách 2 : Dựa vào hai định lí :

Định lí 1 : Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có tối đa một nghiệm trong khoảng (a; b). Định lí 2 : Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a). f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).

Bài 1.109 : Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm duy nhất :

1. x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 = 0; 2. ex(x2 + 1) 4 = 0. −

1 = 0 có nghiệm duy nhất. Bài 1.110 : Chứng minh rằng phương trình : x3 + √x − Bài 1.111 : Chứng minh rằng phương trình xx+1 = (x + 1)x có một nghiệm dương duy nhất.

Bài 1.112 : Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :

Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt

ey = ln(1 + x) ln(1 + y) ex − y − x = a −

(cid:17)

1Nếu k = 0 tức là phương trình vô nghiệm

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 28

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có nghiệm duy nhất). Từ đó

suy ra được phương trình có tối đa 2 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 2

nghiệm.

Bài 1.113 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :

x2 2x 4x3 6x2 + 12x 1. x4 1 = 0; 3. 3x4 20 = 0; − − −

Vấn đề 3 : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt

− 3x3 2x 2. x4 − 1 = 0; 4. x3 − √x + 1 = 0. − − − −

(cid:17)

Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có đúng 2 nghiệm). Từ đó

suy ra được phương trình có tối đa 3 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 3

nghiệm.

Bài 1.114 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng ba nghiệm thực phân biệt :

2. 4x(4x2 + 1) = 1. 1. sin x = 0; x 2 −

1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH

x my = 1 − có nghiệm (x; y) thỏa mãn xy < 0. Bài 1.115 (CĐ08) : Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình mx + y = 3

2 √5x + 1. Bài 1.116 (CĐ09) : Giải bất phương trình √x + 1 + 2 √x − ≤ 2x y 2 √2x + y = 3 − (x, y R). Bài 1.117 (CĐ10) : Giải hệ phương trình ∈ − y2 = 2 x2 2xy

x − = y 1 y − Bài 1.118 (A03) : Giải hệ phương trình : − 1 x − 2y = x3 + 1.

16) + √x 3 > . Bài 1.119 (A04) : Giải bất phương trình : − 2(x2 √x − 3 x 3 − 7 − √x −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 29

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1 √x 1 > √2x 4. Bài 1.120 (A05) : Giải bất phương trình : √5x − − x + y − (x, y R). Bài 1.121 (A06) : Giải hệ phương trình : ∈ − − √xy = 3 √x + 1 + √y + 1 = 4

1. Bài 1.122 (A07) : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : 3 √x −

1 + m √x + 1 = 2 4√x2 5 4 (x, y R). Bài 1.123 (A08) : Giải hệ phương trình : ∈ x4 + y2 + xy(1 + 2x) = − x2 + y + x3y + xy2 + xy = − 5 4 −

4√2x + √2x + 2 4√6

Bài 1.124 (A08) : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :

x + 2 √6 x = m (m R). ∈ −

5x − 8 = 0. Bài 1.125 (A09) : Giải phương trình 2 3√3x − − − x 2 + 3 √6 √x 1. Bài 1.126 (A10) : Giải bất phương trình − 2(x2 x + 1) ≥ 1 −

− (4x2 + 1)x + (y 2y = 0 3) √5 (x, y R). Bài 1.127 (A10) : Giải hệ phương trình ∈ − 4x2 + y2 + 2 √3 − 4x = 7 −

3√x

y − − Bài 1.128 (B02) : Giải hệ phương trình :

Bài 1.129 (B03) : Giải hệ phương trình : . y = √x x + y = √x + y + 2. 3y = y2 + 2 x2 3x = x2 + 2 y2

(cid:16)

(cid:17)

Bài 1.130 (B04) : Xác định m để phương trình sau có nghiệm :

m √1 + x2 √1 x2 + 2 = 2 √1 x4 + √1 + x2 √1 x2. − − − − −

Bài 1.131 (B06) : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : √x2 + mx + 2 = 2x + 1.

Bài 1.132 (B07) : Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

x2 + 2x 8 = È m(x 2). − −

x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 (x, y R). Bài 1.133 (B08) : Giải hệ phương trình : ∈ x2 + 2xy = 6x + 6

xy + x + 1 = 7y Bài 1.134 (B09) : Giải hệ phương trình x2y2 + xy + 1 = 13y2.

√6 x + 3x2 14x 8 = 0 (x R). Bài 1.135 (B10) : Giải phương trình √3x + 1 − ∈ − 3x 2 − 3x) √2x2 − 0. Bài 1.136 (D02) : Giải bất phương trình : (x2 − ≥ −

− 4y Bài 1.137 (D02) : Giải hệ phương trình : − = y. 23x = 5y2 4x + 2x+1 2x + 2

Bài 1.138 (D04) : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : 3m. √x + √y = 1 x √x + y √y = 1 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 30

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 1.139 (D04) : Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm :

x5 x2 2x 1 = 0. −

− x + 2 + 2 √x + 1 − √x + 1 = 4. Bài 1.140 (D05) : Giải phương trình : 2

1 + x2 − 3x + 1 = 0 (x R). Bài 1.141 (D06) : Giải phương trình : √2x − ∈ − Bài 1.142 (D07) : Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :

= 15m 10. x + 1 x x3 + 1 x3 + y + 1 = 5 y + y3 + 1 y3 −

xy + x + y = x2 2y2 (x, y R). Bài 1.143 (D08) : Giải hệ phương trình : ∈ y √x − 1 = 2x 2y x √2y − − −

3 = 0 Bài 1.144 (D09) : Giải hệ phương trình (x + y)2 x(x + y + 1) − 5 + 1 = 0. x2 −

1.7 Bài tập tổng hợp

4 = 2x 12 + 2 √x2 16. Bài 1.145 : Giải phương trình : √x + 4 + √x − − − √x 3 + √2x + 1. Bài 1.146 : Giải bất phương trình : √x + 12 − ≥ x2 + y2 + x + y = 4 Bài 1.147 : Giải hệ phương trình : x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2.

√2x + y + 1 √x + y = 1 − Bài 1.148 : Giải hệ phương trình : 3x + 2y = 4.

6x + 1 4x + 1 0. Bài 1.149 : Giải bất phương trình : √8x2 − √5 x ≤ √3x 2. − Bài 1.150 : Giải bất phuơng trình : √2x + 7 − − ≥ − 72x+ √x+1 72+ √x+1 + 2005x 2005 − ≤ Bài 1.151 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : x2 (m + 2)x + 2m + 3 0. ≥

− (x2 + 1) + y(y + x) = 4y (x, y R). Bài 1.152 : Giải hệ phương trình : ∈ (x2 + 1)(y + x 2) = y −

8x = y3 + 2y x3 − (x, y R). Bài 1.153 : Giải hệ phương trình : ∈ 3 = 3(y2 + 1) x2 −

(x y)(x2 + y2) = 13 (x, y R). Bài 1.154 : Giải hệ phương trình : ∈ − (x + y)(x2 y2) = 25 − 2 + √x 1 = 4x 9 + 2 √3x2 5x + 2, x R. Bài 1.155 : Giải phương trình : √3x − − ∈ − x2 − xy + y2 = 3(x y) − − (x, y R). Bài 1.156 : Giải hệ phương trình : ∈ x2 + xy + y2 = 7(x y)3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 31

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:16)

(cid:17)

x = 2 √x 1 + √ x2 + 8x 7 + 1, x R. Bài 1.157 : Giải phương trình : x + 2 √7 − − − − ∈ Bài 1.158 : Tìm m để phương trình :

”

—

√x2 2x + 2 + 1 + x(2 x) 0 m − ≤ −

0; 1 + √3 có nghiệm thuộc đoạn .

x4 x3y + x2y2 = 1 Bài 1.159 : Giải hệ phương trình : − x3y x2 + xy = 1.

4√x4

− 4√x2 + 1 √x = m có nghiệm. Bài 1.160 : Tìm m để phương trình : − 13x + m + x 1 = 0 có đúng một nghiệm. Bài 1.161 : Tìm m để phương trình : − 6 √x x − 4 + 2 √x 3 x 4 + 5 = m có đúng hai nghiệm thực. Bài 1.162 : Tìm m để phương trình : − − −

− 2x y − m = 0 − có nghiệm duy nhất. Bài 1.163 : Tìm m để hệ phương trình : − x + √xy = 1

Bài 1.164 : Với giá trị nào của a thì hệ có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x, y > 0. Với các giá trị a tìm được hãy tìm tất cả

các nghiệm của hệ đã cho :

= 4

. = √2 a2 + 2 x + y + 1 x x2 + y2 + 1 x2 + 1 y + 1 y2 1 a2 + a2 + 1 a − −

y3 + y2x + 3x 6y = 0 − Bài 1.165 : Giải hệ phương trình : x2 + xy = 3.

x2 + y2 = m Bài 1.166 : Cho hệ phương trình : x + y = 6.

1. Giải hệ phương trình với m = 26 ; 3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ;

2. Tìm m để hệ vô nghiệm ; 4. Tìm m để hệ hai nghiệm phân biệt.

x + xy + y = m + 2 Bài 1.167 : Cho hệ phương trình : x2y + xy2 = m + 1.

2. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. 3 ; 1. Giải hệ phương trình với m = −

(x 2)2 + y2 = m Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 1.168 : Cho hệ phương trình : − x2 + (y 2)2 = m. −

x = y2 y + m − Bài 1.169 : Cho hệ phương trình : y = x2 x + m. −

1. Giải hệ phương trình với m = 0 ;

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ;

3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 32

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

| + x

= y + x2 + a 2| x | Bài 1.170 : Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất : | x2 + y2 = 1.

x2 + 2xy 7y2 Bài 1.171 : Tìm a để hệ sau có nghiệm : − 3x2 + 10xy ≥ 5y2 1 a − 1 + a 2. − ≤ − Bài 1.172 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

√4 x + √x + 5 = m. −

4√x + 4√1

Bài 1.173 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

x + √x + √1 x = m. − −

Bài 1.174 : Tìm a để hệ sau có nghiệm :

x2 2xy 3y2 = 8 − − 2x2 + 4xy + 5y2 = a4 4a3 + 4a2 12 + √105. − −

x2 + x √17 x2 = m. Bài 1.175 : Cho phương trình x + √17 − −

1. Giải phương trình khi m = 9;

2. Tìm m để phương trình có nghiệm thực;

3. Tìm m để phương trình có nghiệm thực duy nhất.

x2 3 5x 3x 6 0. Bài 1.176 : Giải bất phương trình 2x2 − x − − − ≥

Bài 1.177 : Chứng tỏ rằng với mọi số m không âm thì phương trình sau luôn có nghiệm thực

3x2 + (3m2 7) √x2 + 4 m3 + 6 = 0. −

√x2 + 2 + È − y2 + 3 + x + y = 5 Bài 1.178 : Giải hệ phương trình √x2 + 2 + √2 + 3 y = 2. x − −

x2 + y3 = 2y2 Bài 1.179 : Giải hệ phương trình x + y3 = 2y.

1 √x + 2 > x 2. Bài 1.180 : Giải bất phương trình 2 √x − − − √2x + 3 > √x + 2. Bài 1.181 : Giải bất phương trình √3x + 7

− 2x2 + x + y2 = 7 Bài 1.182 : Giải hệ phương trình xy x + y = 3. −

(x + 3) √2x 1 + (y + 3) √2y 1 = 2 √(x + 3)(y + 3) − Bài 1.183 : Giải hệ phương trình

− x + y = 2xy. x + 3x = 3 Bài 1.184 : Giải hệ phương trình = 0. y y − x2 + y2 x + 3y x2 + y2 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 33

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3 √x + 6 = 4 √(x + 6)(2x 1) 1) + 3 √x + 2. Bài 1.185 : Giải phương trình √(x + 2)(2x − − − − y √x + y = 2 √x Bài 1.186 : Giải hệ phương trình − − x2 + y2 + È x2 y2 = 4.

− x2 + xy + y2 = 7(x y)2 − Bài 1.187 : Giải hệ phương trình y). x2 xy + y2 = 3(x −

− y2 = 12 x + y + È x2 Bài 1.188 : Giải hệ phương trình − y2 = 12. y x2 −

(2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3 Bài 1.189 : Giải hệ phương trình xy + x = 1. − x √2x2 + 4. Bài 1.190 : Giải phương trình (x2 + 1)2 = 5

− y3 + 2 = 0 x3 − Bài 1.191 : Giải hệ phương trình x2 + y2 + x y = 0.

− = √2(1 x + √1 x2 2x2). Bài 1.192 : Giải phương trình | | − − x2 + 6y = y + 3 Bài 1.193 : Giải hệ phương trình y = 4. √x + y + √x − Bài 1.194 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

x3 + x2 + x m(x2 + 1)2 = 0. − 1 1 > . Bài 1.195 : Giải bất phương trình 1 √2x2 + 3x 5 − 2 có nghiệm thực. − − + = 3 2x − mx + 13 = x r 2y x Bài 1.197 : Giải hệ phương trình Bài 1.196 : Tìm m để phương trình √2x2 2x y y + xy = 3. x

1 = 4 − √x + 1 + √y − Bài 1.198 : Giải hệ phương trình √x + 6 + √y + 4 = 6.

Bài 1.199 : Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực

x2 + y2 + 2(x + y) = 2 xy(x + 2)(y + 2) = 2m(2m+1 1). −

2010 hệ phương trình sau có không quá một nghiệm thực Bài 1.200 : Chứng minh rằng với mọi m ≥

√x + 27 2010)y + 1 √y + 1 = (m − − √x + 1 = (m 2010)x + 1. √y + 27 − −

Bài 1.201 : Giải phương trình √x + 1 + 1 = 4x2 + √3x.

x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3 30 = 0 Bài 1.202 : Giải hệ phương trình − 11 = 0. x2y + x(1 + y + y2) + y −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 34

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x3 + 4y = y3 + 16x Bài 1.203 : Giải hệ phương trình

1 + y2 = 5(1 + x2). 2 + 6y = x 2y √x y − Bài 1.204 : Giải hệ phương trình − 2y = x + 3y 2. x + √x

x − x2 x 2 − √2 x. Bài 1.205 : Giải bất phương trình x √2 − − − − ≤ − x3 + y3 = 1 Bài 1.206 : Giải hệ phương trình x2y + 2xy2 + y3 = 2.

(cid:16)

(cid:17)

Bài 1.207 : Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

x(4 x) + m √x2 4x + 5 + 2 0 − − ≤

[2; 2 + √3]. nghiệm đúng với mọi giá trị của x ∈ 2x2y + y3 = 2x4 + x6 Bài 1.208 : Giải hệ phương trình (x + 2) √y + 1 = (x + 1)2.

x 2y √xy = 0 Bài 1.209 : Giải hệ phương trình − √x 1 = 2. − 1 + √4y −

x √x − 8 √y = √x + y √y Bài 1.210 : Giải hệ phương trình − y = 5. x −

x3 y3 + 3y2 2 = 0 3x − có nghiệm thực. Bài 1.211 : Tìm m để hệ phương trình − x2 + √1 x2 − 2y 3 y2 + m = 0 − − − Bài 1.212 : Giải phương trình √x + 3 + 2x √x + 1 = 2x + √x2 + 4x + 3.

x có đúng một nghiệm thực − Bài 1.213 : Xác định các giá trị của tham số m để phương trình √2x2 + 2mx + m + 1 = 1 dương.

x2 + y2 + x2y2 = 1 + 2xy Bài 1.214 : Giải hệ phương trình x + x2y + xy = xy2 + y + 1.

√2x2 2 = x + 1. Bài 1.215 : Giải phương trình √2x2 + 3x + 1 − − 1 x2 = 0 có nghiệm thực. Bài 1.216 : Xác định các giá trị của tham số m để phương trình √x − − + x 3 + x4 Bài 1.217 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực = m. m √x + 6√x3 − = 1 y 3 + y4 8 xy 9 + 3x4 + 3y4 + x4y4 1 + = 2. Bài 1.218 : Giải phương trình 1 x √2 x2

− x2 + y2 = 5 Bài 1.219 : Giải hệ phương trình 1(x + y 1) = (y √y 2) √x + y. − − −

x2 + 1 + y2 + xy = 4y Bài 1.220 : Giải hệ phương trình . x + y 2 = y x2 + 1 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 35

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

m √4 x = 3m có nghiệm thực. Bài 1.221 : Tìm m để phương trình √x + √x + 4 − − x3y = 24 Bài 1.222 : Giải hệ phương trình 2 √x3 + y = 6 3√3.

€

√x 1 = 3 1 + √y Bài 1.223 : Giải hệ phương trình − x + y − 1)(y 1) = 5. √(x − − √x − 2 + 2 4√x2 4 √x + 2 = 2 4√x2 4 có nghiệm. Bài 1.224 : Tìm m để phương trình m − − −

− x2 + y2 + x + y = 18 Bài 1.225 : Giải hệ phương trình x(x + 1)y(y + 1) = 72.

√7x + y + √2x + y = 5 Bài 1.226 : Giải hệ phương trình √2x + y + 20x + 5y = 38.

xy + x2 = 1 + y Bài 1.227 : Giải hệ phương trình xy + y2 = 1 + x.

√x x có nghiệm. x2 = √x + √1 Bài 1.228 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m + 2 3 − −

+ 5. Bài 1.229 : Giải bất phương trình 5 √x + 5 2x + 1 2x 2 √x ≤

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 36

Chương 2

Bất đẳng thức

2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích

Cho ba số không âm a, b, c, ta có :

a + b 1. √ab, dấu bằng xảy ra khi a = b ;

3√abc, dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

2. 2 ≥ a + b + c 3 ≥

2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp

Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo và tổng.

Cho ba số dương a, b, c có :

+ 1 + 1 1. ; 2. . 1 a 4 a + b 1 a + 1 b 9 a + b + c b ≥ c ≥

Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương và tồng.

Cho ba số thực a, b, c có :

1. 2(a2 + b2) (a + b)2 ; 2. 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c). ≥ ≥

Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương và tích.

Cho ba số thực a, b, c có :

1. (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) ; 2. a2 + b2 + c2 ab + bc + ca. ≥ ≥

2.1.3 Bài tập đề nghị

‹3

Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng :

(cid:129) a + b 2

ab(a + b) 2 (a + b)(a2 + ab + b2) 6 a3 + b3 2 (a2 + b2)3 (a + b)3 . ≤ ≤ ≤ ≤

1. Chứng minh rằng : Bài 2.2 : Cho a, b > 0 và a + b ≤

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

+ 1 + a + b 1. 4 ; 2. 5. 1 a 1 a + 1 b b ≥ ≥

3. Chứng minh rằng : Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤

1. a + b + c ab + bc + ca ; ab + bc + ca. 2. √a + √b + √c ≥ ≥

(1 + √xy)2.

≥ + 1 2( √x + √y). Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x2 + y2 + 1 x y ≥

+ 1 xy + y + z . z + 1 y + 1

+ b2 . Bài 2.8 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : 1 Bài 2.6 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = x x + 1 1 3 a2 a + 1 b + 1 ≥ Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :

+ + + + . 1 a + 3b 1 b + 3c 1 2a + b + c 1 2b + c + a 1 2c + a + b 1 c + 3a ≥

Bài 2.10 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 đều có :

+ + + + 1. 2. 1 b(c + a) 1 a(b + c) 27 2(a + b + c)2 ; 1 b(b + c) 27 2(a + b + c)2 . 1 c(a + b) ≥ 1 c(c + a) ≥

+ . 1 a(a + b) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + 1 ab √ab a + b Bài 2.11 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ Bài 2.12 : Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b √ab

. Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c 3 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c + 1 a + 1 b + 1 c ≤

√2(xy + yz). Bài 2.14 : Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z đều có : x2 + y2 + z2 ≥ Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4. Chứng minh rằng :

+ + 1. ab a + b + 2c bc b + c + 2a ca c + a + 2b ≤

Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

+ + . ab a + 3b + 2c bc b + 3c + 2a a + b + c 6 ca c + 3a + 2b ≤

Bài 2.17 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

+ c + a + c2 1. 6 ; 3. ; a + b c + b + c a b ≥ a2 b + c a + b ≥

+ b + c + c3 2. ; 4. . a b + c c + a 3 2 a3 b + c + b2 c + a + b3 c + a a + b + c 2 a2 + b2 + c2 2 a + b ≥ a + b ≥

Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

; ; + b2 √b c + a

+ + 4. S = ; ; 3. R = a2 √a b + c bc a2b + a2c + c2 √c a + b ca b2c + b2a ab c2a + c2b 1. P = a2 b + c 2. Q = a3 b + c + b2 c + a + b3 c + a + c2 a + b + c3 a + b

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 38

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 và xyzt = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

+ + + . P = 1 x3(yz + zt + ty) 1 y3(zt + tx + xz) 1 z3(tx + xy + yt) 1 t3(xy + yz + zx)

Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

+ + + + . 2. Q = , m N, m > 2.1 1. P = a b + 2c b c + 2a c a + 2b a b + mc b c + ma c a + mb ∈

Bài 2.21 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

1. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; + ba 2. a + b + c. ≥ bc a + ca b c ≥

Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

+ + + + 1. 3 ; 2. a + b + c. a b + c b c + a c a + b b a c ≥ a2 b + c b2 c + a c2 a + b b a c ≥ − − − − − −

1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng : Bài 2.23 :

. (p a)(p b)(p c) abc 8 − − − ≤

2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng :

4(a3 + b3 + c3) + 15abc 27. ≥

‹

(cid:129) 1

‹ (cid:129) 1 1

Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :

1 81. a − b − c − d − ≥

‹

1 + b √a 1 1. Chứng minh rằng : a √b ab. Bài 2.25 : Cho a, b − − ≤ . 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≥ Bài 2.26 : Cho a, b, c 10 27 ≥ ≤

(cid:129) 1 ab

. Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 2 a2 + bc ≤

+ 16. Bài 2.28 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : 1 2 3 ab + 1 ac 2 a2 + b2 ≥

+ 1 + 1 2. Chứng minh rằng : abc . Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 và 1 1 + a 1 + b 1 8 1 + c ≥ ≤

(cid:18)

(cid:19)

(cid:129)

‹

2 √2. Bài 2.30 : Cho a > b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng : a2 + b2 a

b ≥ − + (1 + y) với x, y > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 1. Bài 2.31 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (1 + x) 1 + 1 x 1 + 1 y

Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2 + z + x . P = y − x2 − y2 − z2

Bài 2.33 : Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng :

1Một cách tổng quát, tìm giá trị nhỏ nhất của R =

với a, b, c, x, y là những số dương

a xb + yc

b xc + ya

c xa + yb

3 3√abc. alogb c + blogc a + cloga b ≥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 39

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:129)

‹ (cid:129)

‹

Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :

‹2

64. 1 + 1 a 1 + 1 b 1 + 1 c ≥

(cid:129) 1 a

‹

8. Bài 2.35 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : (a + b)2 + + 1 b ≥ Bài 2.36 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

(cid:129) 1 a

+ + . bc a2b + a2c ca b2c + b2a 1 2 + 1 b + 1 c ab c2a + c2b ≥

Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

+ ca . ab a + b + bc b + c a + b + c 2

. Bài 2.38 : Cho a ≥

Bài 2.39 : Cho a c + a ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1 a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1 a2 . ≥ 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥

. S = a + b + c + 1 abc

+ . Bài 2.41 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = y y √1 x √1 x − − 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥

S = 3√a + b + 3√b + c + 3√c + a.

Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a(b + 2c) + 3 b(c + 2a) + 3 c(a + 2b). S = 3

2; b 6; c 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2.44 : Cho a ≥ ≥ ≥

‹

‹2

6 + ab 4√c 12 . S = bc √a − −

(cid:129) a b

(cid:129) a + b c

với mọi a, b, c > 0. Bài 2.45 : Chứng minh rằng : + b c + c a 3 2 + c + a b 2 + ca 3√b − abc + b + c a ≥ Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

+ + . a3 (a + b)(a + c) b3 (b + c)(b + a) 3 4 c3 (c + a)(c + b) ≥

Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

+ + 1. a3 b(2c + a) b3 c(2a + b) c3 c(2b + c) ≥

Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :

+ b3 + c3 . a3 b + 2c c + 2a 1 3 a + 2b ≥

Bài 2.49 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :

+ c3 . a3 a + b + b3 b + c 1 2 c + a ≥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 40

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

+ + . 3 2 a √1 + a2 b √1 + b2 c √1 + c2 ≤

Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

+ + . 1 a(a + b) 1 b(b + c) 9 2 1 c(c + a) ≥

Bài 2.52 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :

+ + . a (b + c)2 b (c + a)2 9 4 c (a + b)2 ≥

+ ca 3. Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng : ab c + bc a b ≥ Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :

+ + . 1 2 bc √a + bc ca √b + ca ab √c + ab ≤

Bài 2.55 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2. Chứng minh rằng :

+ + 1. bc √2a + bc ca √2b + ca ab √2c + ab ≤

Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :

+ + . a3 (1 + b)(1 + c) b3 (1 + c)(1 + a) 3 4 c3 (1 + a)(1 + b) ≥

Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :

‹

(cid:129) 1

+ + . 1 a3(b + c) 1 b3(c + a) 3 2 1 c3(a + b) ≥

+ 1 + 1 + 1 2 . Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 a + 1 b b + c c + a c ≥

+ + 9. 1. Chứng minh rằng : Bài 2.59 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c 1 b2 + 2ca 1 c2 + 2ab ≥ ≤

a + b 1 a2 + 2bc + 1 1. Chứng minh rằng : 6. Bài 2.60 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ ab ≥

+ 4ab 1. Chứng minh rằng : 7. Bài 2.61 : Cho a, b > 0 và a + b 1 a2 + b2 1 a2 + b2 + 1 ab ≥ ≤ Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :

+ + < . 1 a + 2b + 3c 1 b + 2c + 3a 1 c + 2a + 3b 3 16

+ + với a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Bài 2.63 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = a 1 + b a b 1 + c b c 1 + a c − − − Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

+ + P = x y2 + z2 y z2 + x2 z x2 + y2 .

Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

xy) P = (x + y)(1 − (1 + x2)2(1 + y2)2 .

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 41

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = √2x + 3 + √2y + 3 + √2z + 3.

4x+1 + 4y+1 + 4z+1. Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : 8x + 8y + 8z ≥ b c d e và a + b + c + d + e = 1. Chứng minh rằng : Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ ≤ ≤ ≤

. a(bc + be + cd + de) + cd(b + e a) 1 25 − ≤

Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :

+ b2 + c2 . a2 a + bc b + ca a + b + c 4 c + ab ≥

Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :

+ + 2. b + c 4(b3 + c3) c + a 4(c3 + a3) b + 3 a + b 4(a3 + b3) ≤ c + 3 a + 3

Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :

+ + . 1 a3 + b3 + abc 1 b3 + c3 + abc 1 abc 1 c3 + a3 + abc ≤

Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :

+ + 2. a3 + b3 a2 + ab + b2 b3 + c3 b2 + bc + c2 c3 + a3 c2 + ca + a2 ≥

Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :

+ 2 √c 2 √a a3 + b2 + 2 √b b3 + c2 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 . c3 + a2 ≤

Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

+ + . 1 a2 + bc 1 b2 + ca a + b + c 2abc 1 c2 + ab ≤

1. Chứng minh rằng : Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao cho ab + bc + ca ≥

+ b3 + c3 . a3 b2 + 1 c2 + 1 √3 4 a2 + 1 ≥

2.2 Bất đẳng thức hình học

R. Chứng minh rằng : Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈

√a2 + b2 + 4c2 + 4ac + √a2 + b2 + 4c2 4ac 2 √a2 + b2. − ≥

R. Chứng minh rằng : Bài 2.77 : Với mọi a, b, c, d ∈

√a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd √a2 + b2 + √c2 + d2. ≤

Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :

14(x + y + z). √x + 2 √y + 3 √z ≤

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 42

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

R thỏa mãn a2 + b2 = 1 và c + d = 3. Chứng minh rằng : Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈

. ac + bd + cd 9 + 6 √2 4 ≤

R. Chứng minh rằng : Bài 2.80 : Với mọi a, b, c ∈

√a2 + ab + b2 + √a2 + ac + c2 √b2 + bc + c2. ≥

R. Chứng minh rằng : Bài 2.81 : Với mọi x, y ∈

4 cos2 x cos2 y + sin2(x y) + 4 sin2 x sin2 y + sin2(x y) 2. − − ≥

R. Chứng minh rằng : Bài 2.82 : Với mọi x, y ∈

4x2 + y2 + 12x + 9 + 4x2 + y2 4x 6y + 10 5. − − ≥

Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 với a, b, c , 0. Chứng minh rằng :

√9a2 + a2 x2 + 9b2 + b2y2 + 9c2 + c2z2 5. ≥

Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a2 ab √2 + b2 + b2 bc √3 + c2 a2 ac 2 √3 + c2. − ≥ − − −

Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 và abc + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :

+ + √3. √b2 + 2a2 ab √c2 + 2b2 bc √a2 + 2c2 ac ≥

y2 √5 √6. Bài 2.86 : Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng : x2 √5 + 2xy − ≤

x2 + xy + y2 = 3 và x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : xy + yz + zx 8. Bài 2.87 : Cho ≤ y2 + yz + z2 = 16

Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng :

x2 + xy + y2 + y2 + yz + z2 + z2 + zx + x2 √3(x + y + z). ≥

Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng :

3a + 2 √a + 1 + 3b + 2 √b + 1 + 3c + 2 √c + 1 3 √17. ≥

2. Chứng minh rằng : Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z và x + y + z ≤

+ + . 4z2 + 1 4x2 + 1 x2 4y2 + 1 y2 √145 2 z2 ≥

R thỏa mãn : x2 + y2 = 1; u2 + v2 + 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ∈ Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v 2(ux + vy). P = 8u + 4v −

Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3x2 + 3y2 + z2.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 43

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình

- phương pháp miền giá trị

4y)2 , với x2 + y2 > 0. Bài 2.93 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f (x) = 2x2 + 7x + 23 x2 + 2x + 10 Bài 2.94 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 (x − − x2 + 4y2

(cid:16)

(cid:17).

Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức :

P = (x2 + 3y2) x2 + 12y2 xy2 x + È

3√x( 3√x

1. Bài 2.96 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2, với 2x2 + y2 + xy

1) + 3√y( 3√y ≥ 1) = 3√xy. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của − − Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : biểu thức : P = 3√x + 3√y + 3√xy.

xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + xy 2y2. Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x2 − − 3 √x + 1 = 3 √y + 2 y. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu − − Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x thức P = x + y.

Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 2(x + y) + 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3√x(x 2) + 3√y(y 2). − 3xy + 3y2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức − − Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x2 P = x2 + xy 2y2. −

Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : √x + √y = 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √x + 1 + √y + 9.

Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + 3y x2 y2. x + 1 − −

0 và a2 + b2 + ab = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 3x y + 1 Bài 2.104 : Cho a, b ≥

P = a4 + b4 + 2ab a5b5. −

Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = (x3 + 2)(y3 + 2).

2.4 Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(x3 + y3) 3xy. − 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ≤ . Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y A = 1 x + 1 √xy

1. Chứng minh rằng : Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z

+ + z2 + 1 √82. x2 + 1 x2 ≤ y2 + 1 y2 z2 ≥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 44

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= 4. Chứng minh rằng : Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 x + 1 y + 1 z

+ + 1. 1 2x + y + z 1 x + 2y + z 1 x + y + 2z ≤

xy. Tim giá trị lớn −

Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x , 0, y , 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2 + y2 nhất của biểu thức A = 1 x3 + 1 y3 .

Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

+ z2(x + y) . + y2(z + x) z √z + 2x √x P = x2(y + z) y √y + 2z √z x √x + 2y √y

Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có :

‹x

(cid:129) 12 5

(cid:129) 15 4

(cid:129) 20 3

5(y + z)3. ≤ (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) ‹x + + 33 + 4x + 5x. R, ta có : Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng với mọi x ≥ ∈ Khi nào đẳng thức xảy ra.

Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

(x 1)2 + y2 + (x + 1)2 + y2 + A = − y | − . 2 |

(cid:19)

‹

Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

(cid:18) x 2

(cid:129) y 2

(cid:18) z 2

. P = x + y + z + 1 yz + 1 xz + 1 xy

Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x2 + 6xy) 1 + 2xy + 2y2 .

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy

A = 3(x4 + y4 + x2 + y2) ≥ 2(x2 + y2) + 1. −

Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 √a2 + b2 + c2.

Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

(cid:129)

‹b

‹a

+ + 3 √3. 1 + x3 + y3 xy 1 + y3 + z3 yz √1 + z3 + x3 zx ≥

b > 0. Chứng minh rằng : . Bài 2.120 (D07) : Cho a 2a + 1 2a 2b + 1 2b ≥ ≤ Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = (x − − y)(1 xy) (1 + x)2(1 + y)2 .

Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

√ x2 + 4x + 21 x2 + 3x + 10. Bài 2.123 (D10) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √ − − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 45

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2.5 Bài tập tổng hợp

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

. Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 S = 4 x + 1 4y

+ c a < b < c < d 50. Chứng minh a b b2 + b + 50 50b d ≥ ≤ ≤ . + c d Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 1 và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = a b Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :

√3 + 4x + √3 + 4y + √3 + 4z 6. ≥

‚

(cid:129)

‹

Œ2

Bài 2.127 : Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :

(1 + x) 256. 1 + y x ≥ 1 + 9 √y

3√a + 3b + 3√b + 3c + 3√c + 3a

. Chứng minh rằng : Đẳng thức xảy ra khi nào. Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = 3 4

3. ≤

Khi nào đẳng thức xảy ra?

y x . Đẳng thức xảy ra khi nào ? y √x Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 1 thì x √y 1 4 ≤ ≤ − ≤ ≤ Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng :

+ z2 . x2 1 + y + y2 1 + z 3 2 1 + x ≥

3. Chứng minh rằng : Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + xy + y2 ≤

4 √3 3 x2 xy 3y2 4 √3 3. − − ≤ −

Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3−

+ + . 9x 3x + 3y+z 9y 3y + 3z+x ≤ − − y + 3− z = 1. Chứng minh rằng : x + 3− 9z 3z + 3x+y ≥

(cid:129)

‹

3x + 3y + 3z 4 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ≥ . Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện x + y 3x2 + 4 4x + 2 + y3 y2

(cid:19)

+ 4 , x > 0. Bài 2.134 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x + 11 2x 1 + 7 x2 Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

(cid:18) x y2

. P = 3 4(x3 + y3) + 3 4(y3 + z3) + 3 4(z3 + x3) + 2 + y z2 + z x2

Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3. Chứng minh rằng :

+ ab . a2 + b2 + 3 2 + 3b a + 1 a + b ≤

. 3a b + 1 Bài 2.137 : Cho x, y > 0 và xy = 100. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 y x −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 46

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:18)

(cid:19)

‹

(cid:129)

b)(2a Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, trong đó P = (a . − a(a c) − b + c)

. − Bài 2.139 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 1 y2 y2 + 1 x2

Bài 2.140 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các số nguyên không âm :

+ 1 + √c 3 3 + a + b + c. + 1 + √b 1 + √c ≤ 1 + √a ≤ 1 + √a 1 + √b

[0; 1]. Chứng minh rằng : Bài 2.141 (*) : Cho 6 số thực x1, x2, . . . , x6 ∈

. x1) 1 16 (x1 − x2)(x2 − ≤

x4)(x4 − + 2y + Bài 2.142 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : x3)(x3 − 2x x6 + y4 y6 + z4 + 1 y4 + 1 z4 . x6)(x6 − x5)(x5 − 1 2z z6 + x4 ≤ x4

i=1 4

i=1

x4 i . Bài 2.143 : Cho x1, x2, x3, x4 > 0 thỏa mãn x1 = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T =

i=1

x3 i

+ Bài 2.144 : Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = y x2 + y4 .

x x4 + y2 Bài 2.145 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = x + y. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x3 + y3 + x2y + xy2.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Bài 2.146 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2

+ + P = 1 xy + z2 1 yz + x2 ≤ 1 zx + y2 .

Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng

1 1 1 + + . a(2a 1)2 b(2b 1)2 c(2c 1 2 1)2 ≥ − − −

y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ≤ − + 9 Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy P = x2 y2 y3 x3 .

Bài 2.149 : Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx + . 5 x + y + z

+ y3 + Bài 2.150 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x3 x2 + yz y2 + zx

. z3 z2 + xy Bài 2.151 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 13x + 5y + 12z = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy 2x + y + 3yz 2y + z

+ 6xz 2z + x Bài 2.152 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của A = x3(y + z) + y3(z + x) + z3(x + y).

R thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1, u2 + v2 + 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ∈ Bài 2.153 : Giả sử x, y, u, v 2(ux + vy). M = 8u + 4v −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 47

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 2.154 : Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện a + b + c = √3. Tính giá trị nhỏ nhất của

P = √a2 + ab + b2 + √b2 + bc + c2 + √c2 + ca + a2.

2x R thỏa mãn x2 + y2 4y + 4 = 0. Chứng minh rằng Bài 2.155 : Cho x, y ∈ −

− y2 + 2 √3xy x2 2(1 + 2 √3)x + (4 2 √3)y 4 √3. 5 − − − −

≤ Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng

8x + 8y + 8z 4x+1 + 4y+1 + 4z+1. ≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

. Bài 2.157 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2(y + z) + y2(z + x) zx + z2(x + y) xy yz

Bài 2.158 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

+ + . P = 1 2a + b + 6 1 2b + c + 6 1 2c + a + 6

y x + . Bài 2.159 : Cho x, y > 0 và thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng 2 √3 √1 x2 1 y2 ≥ − − Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x3 + y3 (x2 + y2).

− Bài 2.161 : Cho a, b, c là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 4. Chứng minh rằng 1 1 1 + + 1. (a b)2 (b c)2 (c a)2 ≥ − − − Bài 2.162 : Cho x, y, z là ba số thực thuộc (0; 1]. Chứng minh rằng

+ + . 1 xy + 1 1 yz + 1 5 x + y + z 1 zx + 1 ≤

‹

(cid:129) 1

Bài 2.163 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

+ + + + a < 2. 3a + b 1 3a + c 2 2a + b + c b 3a + c c 3a + b

Bài 2.164 : Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng

+ 1 + 1 + + . 1 a + b b + c 4 a2 + 7 4 b2 + 7 4 c2 + 7 c + a ≥

R, chứng minh rằng . x | 1 + ∈ ≤ y + | | 1 + y | | x | | 1 + | y | x | y + 2x . − 4

. y Bài 2.165 : Cho x, y − | x | − Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4x + y xy Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (1 + a)(1 + b)(1 + c) c) b)(1 a)(1 (1 − − − Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng :

1. c √ab 1 + √1 + c2; ≥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 48

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. ab + bc + ca 3 + √a2 + 1 + √b2 + 1 + √c2 + 1. ≥

Bài 2.169 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng :

+ + . 1 1 + a2(b + c) 1 1 + b2(c + a) 1 abc 1 1 + c2(a + b) ≤

Bài 2.170 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

+ + 1. 1 x + y + 1 1 y + z + 1 1 z + x + 1 ≤

+ + 2 √z Bài 2.171 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 2 √x x3 + y2 2 √y y3 + z2 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 . z3 + x2 ≤

Bài 2.172 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

(cid:129)

‹ (cid:129)

‹

(cid:129)

‹ (cid:129)

‹

+ + 26. 4a b + c a 9b c + a b 16c a + b c ≥ − − − Bài 2.173 : Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng :

. a2 + b + 3 4 b2 + a + 3 4 2a + 1 2 2b + 1 2 ≥

Bài 2.174 : Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = a. Chứng minh rằng :

+ c2 + a 2. a2 + b b + c + b2 + c c + a a + b ≥

Bài 2.175 : Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :

+ y2 + z2 0. x2 xy − x + y yz − y + z zx − z + x ≥

Bài 2.176 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

+ 3 2(a + b + c). 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ≥

3 . Chứng minh rằng x (y + z). − Bài 2.177 : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = yz 3x 2 √3 6

x y ≤ . Chứng minh rằng cos x + cos y và 0 1 + cos(xy). Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 π 3 π 3 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ n+1 xn+1 + yn+1. Đẳng ≥ Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) và hai số thực không âm x, y. Chứng minh rằng n√xn + yn thức xảy ra khi nào?

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 49

Chương 3

Lượng giác

3.1 Phương trình cơ bản

(cid:129)

‹

Bài 3.1 : Giải các phương trình sau :

•

c) sin 3x = cos 2x ; b) 3 cos = 1 ; a) sin x = ; 2x + π 6 √3 2 −

(cid:129)

‹

; π của phương trình : Bài 3.2 : Tìm tất cả các nghiệm thuộc π 2 −

‹

= . tan 3x + π 3 − 1 √3

(cid:129) π 2

. sin x . Bài 3.3 : Giải phương trình : cos (π. sin x) = cos

= 0. Bài 3.4 : Giải phương trình :

sin 2x 1 + sin x cos 2x cos x = 0. Bài 3.5 : Giải phương trình : − √cos x

Bài 3.6 : Giải phương trình : cos x cot 2x = sin x.

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

Bài 3.7 : Giải phương trình :

a) cos2 2x + sin2 = 0 ; b) cos 2x. sin = 0 ; x + π 4 x + π 4

x2. cos 2x = 0.

− = 0. Bài 3.9 : Giải phương trình :

= 1. Bài 3.10 : Giải phương trình : Bài 3.8 : Giải phương trình : √3π2 cos 8x sin 4x sin 3x sin 2x

Bài 3.11 : Giải phương trình : cos3 x sin 3x + sin3 x cos 3x = 3 8 Bài 3.12 : Giải phương trình : sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin3 4x.

. Bài 3.13 : Giải phương trình : cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos3 3x. Bài 3.14 : Giải phương trình : cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1 16 tan x tan 3x = 2. − . Bài 3.15 : Giải phương trình : tan2 x Bài 3.16 : Giải phương trình : tan2 x + cot2 x + cot2 2x = 11 3

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:129)

‹

(cid:129) π

cot2 x tan2 x = 16(1 + cos 4x). Bài 3.17 : Giải phương trình : − cos 2x

cot cot x . Bài 3.18 : Giải phương trình : sin4 x + cos4 x = 7 8 x + π 3 6 −

2(1 + cos x) = 0. Bài 3.19 : Giải phương trình : 3(sin x + tan x) tan x sin x − − Bài 3.20 : Giải phương trình : cos 3x tan 5x = sin 7x.

(tan x + cot 2x). Bài 3.21 : Giải phương trình : sin4 x + cos4 x sin 2x = 1 2

3.2 Phương trình dạng a sin x + b cos x = c

Bài 3.22 : Tìm nghiệm của phương trình :

cos 7x √3 sin 7x = √2 − −

< x < thỏa mãn điều kiện 2π 5 6π 7

. Bài 3.23 : Giải phương trình : √3 sin x + cos x = 1 cos x

√3 cos 3x = 2 sin 2x. Bài 3.24 (CĐ08) : Giải phương trình : sin 3x − Bài 3.25 : Giải phương trình : cos x + √3 sin x = 2 cos 2x.

‹

(cid:129) π

cos 6x = √3(sin 6x + cos 8x). Bài 3.26 : Giải phương trình : sin 8x − x √3 cos x sin 4x. Bài 3.27 : Giải phương trình : sin x sin 4x = 2 cos

‹

(cid:129) x

(cid:129) x 5

(cid:129) 3x 5

6 − − √3 sin 2x = 1 sin 7x sin 5x. Bài 3.28 : Giải phương trình : cos 7x cos 5x − (cid:129) x √6 sin = 2 sin 2 sin . Bài 3.29 : Giải phương trình : √2 cos − π 12 π 12 + 2π 3 + π 6 5 − − 5 − −

Bài 3.30 : Giải phương trình : 3 cos2 x = sin2 x + sin 2x.

1 = 3 sin x √3 cos 3x. Bài 3.31 : Giải phương trình : 4 sin3 x − − Bài 3.32 : Giải phương trình : 4(sin4 x + cos4 x) + √3 sin 4x = 2.

2 + cos 2x + √3 sin 2x = sin x √3 cos x. Bài 3.33 : Giải phương trình : − 2 cos2 x = 2 √2 + 2 cos 2x. Bài 3.34 : Giải phương trình : √3 sin 2x − sin x + √3 cos x = 2. Bài 3.35 : Giải phương trình : sin x + √3 cos x +

(cid:129)

‹

√3 sin 2x √3 sin x cos x + 4 = 0. Bài 3.36 : Giải phương trình : cos 2x − − √3 cos 9x = 1 + 4 sin3 3x. − Bài 3.37 : Giải phương trình : 3 sin 3x

− sin 2x cos 2x + 2 2 cos x = 0. Bài 3.38 : Giải phương trình : tan x 1 cos x − −

. Bài 3.39 : Giải phương trình : 8 sin x =

− + 1 sin x 3 sin 2x + cos 2x = 8. √3 cos x Bài 3.40 : Giải phương trình : 9 sin x + 6 cos x − 4 cos x. Bài 3.41 : Giải phương trình : sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x 4. Bài 3.42 : Giải phương trình : 2 sin 2x

(cid:129)

‹

€

− 2. Bài 3.43 : Giải phương trình : sin 2x − − − cos 2x = 3 sin x + cos x Š2 sin 2x + √3 cos 2x 2x 5 = cos . Bài 3.44 : Giải phương trình : π 6 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 52

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

cos 2x . Bài 3.45 : Giải phương trình : 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0. Bài 3.46 : Giải phương trình : 1 + cot 2x = 1 − sin2 2x

€

sin 4x. Bài 3.47 : Giải phương trình : 4(sin4 x + cos4 x) + √3 sin 4x = 2. Bài 3.48 : Giải phương trình : 1 + sin3 2x + cos3 2x = 1 2

(cid:129)

‹

3 cot x = 4 sin x + √3 cos x . Bài 3.49 : Giải phương trình : tan x − cos x.

. Bài 3.51 : Giải phương trình : cos4 x + sin4 Bài 3.50 : Giải phương trình : sin3 x + cos3 x = sin x x + π 4 − = 1 4

‹

Bài 3.52 : Giải phương trình : 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 √3 cos 4x = 3.

(cid:129) π 6

(cid:129) 5π 6

4 sin + x + x sin + 2 tan x = 0. Bài 3.53 : Giải phương trình :

sin 2x) cos2 x = cos 2x. cos2 x Bài 3.54 : Giải phương trình : 1 + 2(cos 2x tan x

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

(cid:129) 2x

(cid:129) 3x

− sin x) = cos x(cos x 1). Bài 3.55 : Giải phương trình : sin x(1 − sin − 2x + 1 = √3(1 + 2 cos x). Bài 3.56 : Giải phương trình : cos x + sin 2x + π 6 −

(cid:129) 2x 3

(cid:129) x 6

√6 sin = 2 sin 2 cos . Bài 3.57 : Giải phương trình : √2 sin π 3 π 6 − + π 6 π 6 + 2π 3 3 − − 2 − − Bài 3.58 : Giải các phương trình sau :

(cid:129)

‹

d) 8 sin2 2x cos 2x = √3 sin 2x + cos 2x ; = 1 ; a) 2 cos2 x + sin 2x √3 e) = √3 ; cos x − 2 cos2 x + sin x 2 sin x cos x 1 b) 4 cos2 + sin 2x = 1 ; x + π 3 − √3 sin 2x = 1 f) cos 7x cos 5x sin 7x sin 5x ; − −

g) 4(sin4 x + cos4 x) + √3 sin 4x = 2 ; c) 2 √2(sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x ;

sin x cos x cos2 x = m. Bài 3.59 : Cho phương trình : 2 sin2 x − −

a) Tìm m để phương trình có nghiệm ;

1. −

sin 2x = m. b) Giải phương trình khi m = Bài 3.60 : Cho phương trình : √3 sin2 x + 1 2

a) Giải phương trình khi m = √3 ;

b) Xác định m để phương trình có nghiệm ;

Bài 3.61 : Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm :

2 sin2 x sin x cos x cos2 x = m. − −

3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

+ cos 2x + 4 sin x = 2 + √2(1 sin x). Bài 3.62 : Giải phương trình : cos 2x + π 4 −

cos(π + x) sin = 0. Bài 3.63 : Giải phương trình : 1 π 4 − (cid:129) 3π + x 2 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 53

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

‹

9 3 cos 2x = 0. Bài 3.64 : Giải phương trình : −

‹

(cid:129)

‹

(cid:129)

1 + x . Bài 3.65 : Giải phương trình : cot −

‹

(cid:129)

‹

(cid:129) 3π 2 x + π 3 3x + π 2 cos 2x + 3 cot 2x + sin 4x

+ 4 cos x . Bài 3.66 : Giải phương trình : cos 2 4 sin2 2x + 6 sin2 x − cos x tan2 x = cos 2x − cos2 x π 6 − = 5 2 (cid:129) π 3x cos2 3x 3 cos + 2 = 0. Bài 3.67 : Giải phương trình : cos2 − − 2 −

= 2. Bài 3.68 : Giải phương trình : cot 2x cos 2x − cos x(cos x + 2 sin x) + 3 sin x(sin x + √2) = 1. 1

− cos2 2x. Bài 3.69 : Giải phương trình : sin 2x Bài 3.70 : Giải phương trình : sin8 x + cos8 x = 17 16

= 5 cos3 x sin Bài 3.71 : Giải phương trình : sin 5x 2 x 2

(cid:129)

‹

+ 1 = 3 cos . Bài 3.72 : Giải phương trình : sin 2x(cot x + tan 2x) = 4 cos2 x. Bài 3.73 : Giải phương trình : 2 cos2 6x 5 8x 5

‹

‹ = cos4 4x.

x = tan x 1. Bài 3.74 : Giải phương trình : tan3 π 4 − −

(cid:129) π 4

Bài 3.75 : Giải phương trình : sin4 2x + cos4 2x (cid:129) π x tan + x tan

(1 + cot 2x cot x) = 0. Bài 3.76 : Giải phương trình : 48 4 − 1 cos4 x − 2 sin2 x

cos 2x.

. − Bài 3.77 : Giải phương trình : sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + 5 4 Bài 3.78 : Giải phương trình : sin 2x + 2 tan x = 3. Bài 3.79 : Giải phương trình : 2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x + 1 sin 2x

Bài 3.80 : Giải phương trình : 3 cot2 x + 2 √2 sin2 x = (2 + 3 √2) cos x.

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

π; π] thỏa mãn phương trình : Bài 3.81 : Tìm x [ − ∈

. cos4 x + sin4 x + cos x sin 3x π 4 π 4 = 3 2 − −

cos x(2 sin x + 3 √2) 2 cos2 x 1 = 1. Bài 3.82 : Giải phương trình : −

sin x sin cos sin . Bài 3.83 : Giải phương trình : cos x cos x 2 3x 2 = 1 2 − 1 + sin 2x 3x 2 −

. Bài 3.85 : Giải phương trình : 2 sin 3x − x 2 Bài 3.84 : Giải phương trình : 4 cos3 x + 3 √2 sin 2x = 8 cos x. = 2 cos 3x + 1 1 cos x sin x 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0. Bài 3.86 : Giải phương trình : 3 cos 4x −

− sin 2x.

2 cos2 3x = 1. Bài 3.87 : Giải phương trình : 3 cos 4x Bài 3.88 : Giải phương trình : 1 + sin3 x + cos3 x = 3 2 Bài 3.89 : Giải phương trình : sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.

Bài 3.90 : Giải phương trình : tan x + 2 cot 2x = sin 2x.

Bài 3.91 : Giải phương trình : 1 + 3 tan x = 2 sin 2x.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 54

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:129)

‹

= 2. Bài 3.92 : Giải phương trình : sin x + cot x 2

x = 1. Bài 3.93 : Giải phương trình : sin 2x + √2 sin

π 4 − sin x cos x = 1. Bài 3.94 : Giải phương trình : √2(sin x + cos x) −

√1 + sin x cos x.

− sin 4x. Bài 3.95 : Giải phương trình : sin x cos x + 2 sin x + 2 cos x = 2. Bài 3.96 : Giải phương trình : sin x + cos x = 2 √3 3 Bài 3.97 : Giải phương trình : (1 + √2)(sin x cos x) + 2 sin x cos x = 1 + √2. Bài 3.98 : Giải phương trình : 1 + sin3 2x + cos3 2x = 3 2

+ 2 tan2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0. Bài 3.99 : Giải phương trình : 2 sin2 x

‹

(cid:129)

3 sin x sin2 x cos x = 0. Bài 3.100 : Giải phương trình : 4 sin3 x + 3 cos3 x − − sin x) + 3. − . Bài 3.101 : Giải phương trình : sin2 x(tan x + 1) = 3 sin x(cos x Bài 3.102 : Giải phương trình : 2 tan x cot x = √3 + 2 sin 2x

= cos 3x. Bài 3.103 : Giải phương trình : 8 cos3

sin 2x. Bài 3.104 : Giải phương trình : x + π 3 1 + sin3 x + cos3 x = 3 2

‹

(cid:129) π

− Bài 3.105 : Giải phương trình : √2(sin x + cos x) = tan x + cot x.

= 8 cos2 . Bài 3.106 : Giải phương trình : 3 tan3 x x 2 − 4 −

tan x + 3(1 + sin x) cos2 x sin x = 2 cos3 x cos x + cos 2x. Bài 3.107 : Giải phương trình : 2 sin3 x − − Bài 3.108 : Giải phương trình : sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x.

sin3 x) + cos3 x 1 = 0. Bài 3.109 : Giải phương trình : tan2 x(1

− cos x) 5(tan x − sin x) = 2. Bài 3.110 : Giải phương trình : 3(cot x − − − Bài 3.111 : Giải phương trình : 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1.

cos x)(sin x cos x). Bài 3.112 : Giải phương trình : cos 2x + 5 = 2(2 − − Bài 3.113 : Giải phương trình : sin3 x + cos3 x = cos 2x.

Bài 3.114 : Giải phương trình : 3 tan2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3 cot2 x + 2 = 0.

Bài 3.115 : Giải phương trình : tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = 6

+ 2 tan2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0. Bài 3.116 : Giải phương trình :

‹

√3 sin 2x = 1 + sin2 x. 2 sin2 x Bài 3.117 : Giải phương trình : cos2 x

(cid:129) π 2

(cid:129) 3π 2

(cid:129) 5π 2

x) + 2 sin + x cos + x 5 sin2 + x = 0. − Bài 3.118 : Giải phương trình : 3 sin2(3π −

− 4 sin3 x 3 cos x sin2 x + sin x = 0. Bài 3.119 : Giải phương trình : cos3 x − 4 sin2 x cos2 x + sin4 x = 0. − Bài 3.120 : Giải phương trình : 3 cos4 x − Bài 3.121 : Giải phương trình : sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.

Bài 3.122 : Giải phương trình : sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0.

. Bài 3.123 : Giải phương trình : 6 sin x 2 cos 2x 2 cos3 x = 4 sin 4x cos x − 4 sin3 x + cos x = 0. Bài 3.124 : Giải phương trình : sin x −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 55

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

‹

(cid:129)

‹

(cid:129)

= 2 sin x. Bài 3.126 : Giải phương trình : √2 sin3

x Bài 3.127 : Giải phương trình : sin3 Bài 3.125 : Giải phương trình : 2 cos3 x = sin 3x. x + π 4 π = √2 sin x. 4 −

. Bài 3.128 : Giải phương trình : 2 sin x + 2 √3 cos x = √3 cos x + 1 sin x Bài 3.129 : Giải các phương trình sau :

3 sin cos 1. sin x cos 2x = 6 cos x(1 + 2 cos 2x). 2. sin3 x = 0. sin2 x 3 x 3 cos2 x 3 + 3 cos3 x 3 3 − x 3 −

‹

(cid:129)

6 cos3 2x + 2 sin3 2x 3. = cos 4x.

‹

(cid:129) π

− 40 2 − = sin x. 4. 25 cos 16 sin sin 2x cos3 x 2 x 2 3 cos 2x sin3 x x 2 −

(cid:129) π 2

‹

x + 3 cos2 + x cos x 5 cos2 x sin + x 5. 2 sin x cos2 = 0. −

(cid:129) 3π 2

2 − (cid:129) 3π 2x + 3 sin 2x sin2 + 2x cos + 2 cos3 2x = 0. 6. 3 sin2 x 2

= sin 2x. 7. 2 − 2(cos3 x + 2 sin3 x) 2 sin x + 3 cos x

3 cos3 x = 0.

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

9. − = cos 2x.

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

− x + 3 sin3 10. sin3 = cos x + sin 2x. x + π 3

+ √2 cos 2x sin 2 cos 11. sin = 0. 3π 2 x + π 2 3x + π 4 − −

8. sin3 x + sin x sin 2x sin3 x + cos3 x sin x 2 cos x π 6 − 3x + π 4 1 + sin 2x cos 2x = 10 cot x. 12. − − cos2 x 8 sin 2x −

(cid:129)

‹

(cid:129)

•

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹˜

2 cos x)(1 sin 2x cos 2x) = 1 13. (sin x . 2 + 5 sin 2x 1 + cos 2x − − −

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

sin3 + cos3 x − π 6 − cos 2x + sin . 14. = 2 3 π 6 2x + π 3 − − x + π 3 √3 sin x + cos x

(cid:129)

‹

(cid:129)

sin + cos 3x + π 6 15. cos 2x sin π 6 3x + 2π 3 − ‹ = sin x + √3 cos x. 2x + π 3 − −

2 sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x). Bài 3.130 : Giải phương trình : tan x sin2 x − Bài 3.131 : Cho phương trình :

(4 6m) sin3 x + 3(2m 1) sin x + 2(m 2) sin2 cos x (4m 3) cos x = 0. − − − − −

•

a) Giải phương trình khi m = 2 ;

0; . b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn π 4

Bài 3.132 : Giải các phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 56

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

; . 1. √3 sin x + cos x = 1 cos x 2. 4 sin x + 6 cos x = 1 cos x

‹

(cid:129) π

(cid:129) 3π

Bài 3.133 : Giải các phương trình sau :

‹

x + 4 sin(π + x) cos x + 2 sin x 1. 4 sin x cos cos(π + x) = 1. 2 − 2 −

(cid:129) π 2

(cid:129) 3π 2

+ x 3 sin(π x) cos x + sin + x 2. 2 sin x cos cos x = 0. − −

= 6 cos 2x + 4 sin 2x. 3. tan x + cot x tan x cot x − Bài 3.134 : Giải các phương trình sau :

b) = cos 2x. a) 8 sin x = . sin3 x + cos3 x sin x 2 cos x √3 cos x + 1 sin x −

Bài 3.135 : Giải các phương trình sau :

a) 1 + 3 sin2 2x = 2 tan x ; e) tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = 6 ;

(cid:129)

‹

b) tan x + cot x = 2(sin 2x + cos 2x) ; f) 2 cos3 x = sin 3x ;

c) sin3 x + cos3 x = sin 2x + cos x + sin x + 1 ; g) 8 cos3 = cos 3x ; x + π 3 9 3 cos 2x d) = 0 ; − − h) tan x + 2 sin 2x = 3 ; 4 sin2 2x + 6 sin2 x cos x

Bài 3.136 : Tìm a để phương trình sau có nghiệm :

sin6 x + cos6 x = a | . sin 2x |

sin3 x = m. Bài 3.137 : Cho phương trình : cos3 x −

•

a) Giải phương trình khi m = 1 ;

; b) Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm trên đoạn π 4 π 4 −

Bài 3.138 : Cho phương trình :

2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = m(sin x + cos x).

•

a) Giải phương trình khi m = 2 ;

•

0; b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn π 2

0; . Bài 3.139 : Cho phương trình : m(sin x + cos x) = 1 + sin 2x. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn π 2

Bài 3.140 : Cho phương trình : cos3 x + sin3 x = m sin x cos x.

a) Giải phương trình khi m = √2 ;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

sin x) = m. Bài 3.141 : Cho phương trình : sin 2x + 4(cos x −

a) Giải phương trình khi m = 4.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 57

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

(cid:129)

‹

Bài 3.142 : Cho phương trình :

+ 1 = 0. m(sin x + cos x) + 1 + 1 2 tan x + cot x + 1 sin x cos x

(cid:129)

‹

; a) Giải phương trình khi m = 1 2

0; b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên . π 2

(2m + 1) cos x + m + 1 = 0. −

‹

; Bài 3.143 : Cho phương trình : cos 2x a) Giải phương trình khi m = 3 2

(cid:129) π 2 m cos x) = m sin2 x.

; b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng . 3π 2

Bài 3.144 : Cho phương trình : (cos x + 1)(cos 2x −

•

a) Giải phương trình khi m = 2 ; −

0; b) Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm trên . 2π 3

a) tan2 x + 1 + 3a = 0. Bài 3.145 : Cho phương trình (1 2 cos x − −

(cid:129)

‹

; a) Giải phương trình khi a = 1 2

0; b) Tìm a để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên . π 2

Bài 3.146 : Cho phương trình : cos 4x + 6 sin x cos x = m.

•

a) Giải phương trình khi m = 1 ;

0; . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên

π 4 4 sin5 x cos x = sin2 4x + m. Bài 3.147 : Cho phương trình : 4 cos5 x sin x −

a) Biết x = π là một nghiệm của phương trình trên. Hãy giải phương trình trong trường hợp này ;

b) Cho biết x = là một nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm tất cả các nghiệm thỏa mãn x4 3x2 + 2 < 0. π 8 − −

Bài 3.148 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương

2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (1)

4 cos2 x cos 3x = a cos x + (4 a)(1 + cos 2x) (2) − −

Bài 3.149 : Cho phương trình : cos 4x = cos2 3x + a sin2 x.

(cid:129)

‹

a) Giải phương trình khi a = 1 ;

0; b) Tìm a để phương trình có nghiệm trên . π 12

Bài 3.150 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

sin6 x + cos6 x = m . sin 2x | |

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 58

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 3.151 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

+ 3 cot2 x + m(tan x + cot x) 1 = 0. 3 cos2 x −

Bài 3.152 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

cos4 x 2 sin2 x + m = 0. −

Bài 3.153 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

4(sin4 x + cos4 x) 4(sin6 x + cos6 x) sin2 4x = m. − −

Bài 3.154 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

= m tan 2x. sin6 x + cos6 x sin2 x cos2 x −

Bài 3.155 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

sin2 2x + m = 0. sin4 x + cos4 x cos 2x + 1 4 −

Bài 3.156 : Cho phương trình :

+ cot2 x + m(tan x + cot x) + 2 = 0. 1 cos2 x

; a) Giải phương trình khi m = 5 2

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Bài 3.157 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

sin 2x m(cos x sin x) = m. − −

Bài 3.158 : Tìm a để phương trình :

(cid:129)

‹

+ 1 + 3a = 0 a) tan2 x (1 2 cos x − −

0; co nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng . π 2

Bài 3.159 : Tìm m để phương trình :

‹

2 cos x cos 2x cos 3x + m = 7 cos 2x

(cid:129) π 8

; có nhiều hơn 1 nghiệm trong . 3π 8

Bài 3.160 : Tìm m để phương trình :

(cid:129)

‹

cos 3x cos 2x + m cos x = 1 −

; 2π . có đúng 7 nghiệm trong khoảng π 2 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 59

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3.4 Đưa phương trình về dạng tích

Bài 3.161 : Giải phương trình : cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Bài 3.162 : Giải phương trình : sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x.

Bài 3.163 : Giải phương trình : 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0.

Bài 3.164 : Giải phương trình : cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Bài 3.165 : Giải phương trình : sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + sin 6x = 0.

sin x + sin 2x = 0. Bài 3.166 : Giải phương trình : sin 3x

cos 8x cos 6x + 1 = 0. − Bài 3.167 : Giải phương trình : cos 10x − − Bài 3.168 : Giải phương trình : 1 + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x.

Bài 3.169 : Giải phương trình : tan x = sin 4x.

1)(2 sin 2x + 1) = 3 4 cos2 x. Bài 3.170 : Giải phương trình : (2 sin x − − 4) + 4 cos2 x = 3. Bài 3.171 : Giải phương trình : (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − sin x) cos x sin x = cos x cos 2x. Bài 3.172 : Giải phương trình : (cos x − Bài 3.173 : Giải phương trình : sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x.

‹

(cid:129) π

Bài 3.174 : Cho phương trình :

. sin x cos 4x sin2 2x = 4 sin2 x 2 7 2 4 − − −

x Tìm các nghiệm của phương trình thỏa mãn < 3. 1 | | − Bài 3.175 : Giải phương trình : sin 2x cos 3x = sin 5x cos 6x.

Bài 3.176 : Giải phương trình : sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x.

3 sin x sin2 x cos x = 0. Bài 3.177 : Giải phương trình : 4 sin3 x + 3 cos3 x − − Bài 3.178 : Giải phương trình : cos3 x sin3 x = sin 2x + sin x + cos x.

Bài 3.179 : Giải phương trình : cos2 x + sin3 x + cos x = 0.

2 = 0. Bài 3.180 : Giải phương trình : cos3 x + cos2 x + 2 sin x

− Bài 3.181 : Giải phương trình : sin x + sin2 x + cos3 x = 0.

sin x = 2 cos3 x cos x + cos 2x. Bài 3.182 : Giải phương trình : 2 sin3 x − − Bài 3.183 : Giải phương trình : 4 cos3 x + 3 √2 sin 2x = 8 cos x.

= sin 2x. 2 −

‹

(cid:129)

+ 1 = 0. (sin x + 3) sin2 x 2 2 −

+ 1 . Bài 3.187 : Giải phương trình : 2 √2 sin Bài 3.184 : Giải phương trình : sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x. sin4 x Bài 3.185 : Giải phương trình : cos4 x 2 Bài 3.186 : Giải phương trình : (sin x + 3) sin4 x x + π 4 cos x

+ 1 = . Bài 3.188 : Giải phương trình : sin 2x = 1 sin x 2 sin 4x 1 cos x Bài 3.189 : Giải phương trình : (sin6 x + cos6 x) = 2(sin8 x + cos8 x).

Bài 3.190 : Giải phương trình : sin 2x(cot x + tan 2x) = 4 cos2 x.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 60

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

. Bài 3.191 : Giải phương trình : 2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x + 1

(1 (1 + sin x) + tan2 x. Bài 3.192 : Giải phương trình : − sin 2x tan2 x sin x = 1 2 cos x)2 + (1 + cos x)2 sin x) 4(1 − cot2 2x + cot 3x. − Bài 3.193 : Giải phương trình : tan2 x cot2 2x cot 3x = tan2 x − . Bài 3.194 : Giải phương trình : = sin 5x 5

= 1. Bài 3.195 : Giải phương trình : sin 3x 3 sin 5x 5 sin x

. Bài 3.196 : Giải phương trình : 2 cos 2x 8 cos x + 7 = 1 cos x − Bài 3.197 : Giải các phương trình sau :

tan 2x ; 1. sin 6x + sin 2x = 1 2

‹

(cid:129) π

3 = 3 cos x ; 2. − cos2(1 + cot x) cos x sin x

•

‹

‹˜

(cid:129) π

+ 6x x + cos 3. cos x sin sin 6x = cos 6x + cos 4x ; − (cid:129) π 2 2 −

‹

(cid:129) π

2 sin2 x = (sin x + cos x)2 sin x sin 3x 4. ; √2 2 − 1 + cot2 x 4 − − 4 −

‹

(cid:129) π

sin x cos sin2 x = 2 cos2 5. 1 + sin ; x 2 x 2 x 2 − 4 −

cos2 = 1 ; 6. 2x 2 − 1 + cos 2x 1 cos2 2x −

5 sin x 5 tan x + 4(1 7. cos x) = 0. − sin x + tan x

(cid:129)

‹

− Bài 3.198 : Giải phương trình : cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0.

0; của phương trình : Bài 3.199 : Tìm các nghiệm thuộc khoảng π 2

sin2 4x cos2 6x = sin(10, 5π + 10x). −

sin6 x = cos 2x. Bài 3.200 : Giải phương trình : cos6 x − Bài 3.201 : Giải phương trình : sin x + cos x = cos 2x.

Bài 3.202 : Giải phương trình : 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

2. Bài 3.203 : Giải phương trình : sin 2x

. − Bài 3.204 : Giải phương trình : 2 sin 3x

sin x sin cos sin = 0. 1 sin x − x 2 3x 2 3x 2 −

. cos 2x = 3 sin x + cos x − = 2 cos 3x + 1 cos x x Bài 3.205 : Giải phương trình : cos x cos 2 Bài 3.206 : Giải phương trình : 3 tan 3x + cot 2x = 2 tan x + 2 sin 4x Bài 3.207 : Giải các phương trình sau :

(cid:129)

‹

c) 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0 ; ; a) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 3 2

d) sin3 = √2 sin x ; 3 cos 2x = 3(4 sin x b) 4 sin 2x 1) ; x + π 4 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 61

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

cos x) 5(tan x e) 3 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x ; g) 3(cot x sin x) = 2 ; − − −

f) sin x + 2 cos x + cos 2x 2 sin x. cos x = 0 ; h) 9 sin x + 6 cos x 3 sin 2x + cos 2x = 8 ; − −

2m) sin2 x. Bài 3.208 : Cho phương trình : sin 3x = m sin x + (4 −

a) Giải phương trình khi m = 3 ;

b) Tìm m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] ;

. Bài 3.209 : Chp phương trình : m sin x m 2 − 2 cos x 2 − 2 sin x − = m cos x m − a) Giải phương trình khi m = 1.

•

b) Khi m , 0; √2, phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc [20π; 30π]. ±

0; : Bài 3.210 : Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thuộc 3π 4

sin 2x + m = sin x + 2m cos x.

Bài 3.211 : Cho phương trình :

(2 sin x 1)(2 cos 2x + 2 sin x + m) = 3 4 cos2 x. − −

Tìm m để phương trình

a) có nhiều hơn 2 nghiệm trong khoảng (0; π) ;

b) có đúng 8 nghiệm thuộc đoạn [0; 7] ;

3.5 Phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số

cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x. Bài 3.212 : Giải phương trình : (cos 2x −

cos2 3x = 2(1 + sin2 2x). Bài 3.213 : Giải phương trình : cos 3x + √2 −

Bài 3.214 : Giải phương trình : cos5 x + sin5 x + cos 2x + sin 2x = 1 + √2.

4 √3 cos x + 2 √3 tan x + 4 = 0. Bài 3.215 : Giải phương trình : 4 cos2 x + 3 tan2 x −

= cos x. Bài 3.216 : Giải phương trình : 1 x2 2 −

Bài 3.217 : Giải các phương trình sau :

a) sin x + cos x = √2(2 sin 3x) ; sin4 x ; −

cos 2x ; b) tan x + cot x = √2(sin x + cos x) ; e) sin3 x + cos3 x = 2 − f) sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + 5 4

sin √x

c) cos13 x + sin14 x = 1 ; sin2 3x = sin x. sin2 3x ;

| =

g) sin2 x + 1 4 cos 6x + 4(3 sin x h) cos 2x 4 sin3 x + 1) = 0 ; ; d) π| − − cos x | |

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 62

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3.6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lượng giác

cos 2x.

(cid:129)

‹2

sin6 x. Bài 3.218 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = cos x + 1 2 Bài 3.219 : Tìm GTLN của hàm số : y = sin3 x − Bài 3.220 : Tìm GTNN của : + . y = 1 + 1 1 + 1 cos2 x sin2 x

(cid:129)

‹2

Bài 3.221 : Tìm GTNN của hàm số :

+ . y = sin2 x + 1 cos2 x + 1 cos2 x sin2 x

Bài 3.222 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số :

; ; a) y = sin x + 2 cos x + 1 sin x + cos x + 2 b) y = sin x + 2 cos x + 3 2 sin x + cos x + 3

Bài 3.223 : Cho x, y > 0 và x2 + y2 = 1. Tìm GTLN của P = x3 + y3.

Bài 3.224 (CĐ-2008) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(x3 + y3) 3xy. −

Bài 3.225 (ĐH-KB2008) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(x2 + 6xy) 1 + 2xy + 2y2 .

3.7 Lượng giác trong các kì thi tuyển sinh ĐH

√3 cos 3x = 2 sin 2x. Bài 3.226 (CĐ08) : Giải phương trình : sin 3x − Bài 3.227 (CĐ09) : Giải phương trình : (1 + 2 sin x)2 cos x = 1 + sin x + cos x.

(cid:129)

‹

cos + 2(8 sin x 1) cos x = 5. Bài 3.228 (CĐ10) : Giải phương trình 4 cos 5x 2 3x 2 − Bài 3.229 (A02) : Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :

5 = cos 2x + 3. sin x + cos 3x + sin 3x 1 + 2 sin 2x

+ sin2 x sin 2x. Bài 3.230 (A03) : Giải phương trình : cot x 1 = cos 2x 1 + tan x 1 2 − −

Bài 3.231 (A04) : Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện : cos 2A + 2 √2 cos B + 2 √2 cos C = 3. Tính ba góc của tam giác ABC.

€

cos2 x = 0. Bài 3.232 (A05) : Giải phương trình : cos2 3x cos 2x

€

sin x cos x 2 = 0. Bài 3.233 (A06) : Giải phương trình : − cos6 x + sin6 x √2

€ 7π

€

1 + cos2 x sin x = 1 + sin 2x. Bài 3.234 (A07) : Giải phương trình :

Š = 4 sin

4 −

3π 2

(cid:129)

‹

+ x . Bài 3.235 (A08) : Giải phương trình : 1 + sin2 x 1 sin x − 2 sin x − cos x + € 1 x sin − (1 2 sin x) cos x = √3. Bài 3.236 (A09) : Giải phương trình : − (1 + 2 sin x)(1 sin x) − (1 + sin x + cos 2x) sin x + π 4 cos x. Bài 3.237 (A10) : Giải phương trình 1 + tan x = 1 √2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 63

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

cos2 4x = sin2 5x cos2 6x. Bài 3.238 (B02) : Giải phương trình : sin2 3x

− tan x + 4 sin 2x = . Bài 3.239 (B03) : Giải phương trình : cot x

(cid:129)

‹

2 = 3(1 − 2 sin 2x sin x) tan2 x. − Bài 3.240 (B04) : Giải phương trình : 5 sin x − − Bài 3.241 (B05) : Giải phương trình : 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

1 + tan x tan = 4. Bài 3.242 (B06) : Giải phương trình : cot x + sin x

x 2 1 = sin x. Bài 3.243 (B07) : Giải phương trình : 2 sin2 2x + sin 7x − √3 cos3 x = sin x cos2 x √3 sin2 x cos x. Bài 3.244 (B08) : Giải phương trình : sin3 x − − Bài 3.245 (B09) : Giải phương trình : sin x + cos x sin 2x + √3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).

sin x = 0. Bài 3.246 (B10) : Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x

− Bài 3.247 (D02) : Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình :

‹

(cid:129) x

cos 3x 4 cos 2x + 3 cos x 4 = 0.

(cid:129)

‹

(cid:129)

tan2 x − = 0. Bài 3.248 (D03) : Giải phương trình : sin2 cos2 x 2 − 2 − − π 4 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x Bài 3.249 (D04) : Giải phương trình : (2 cos x − − 3x x sin = 0. Bài 3.250 (D05) : Giải phương trình : cos4 x + sin4 x + cos sin x. π 4 3 2 − − cos x π 4 − 1 = 0. − − ‹2 + cos sin + √3 cos x = 2. Bài 3.252 (D07) : Giải phương trình : Bài 3.251 (D06) : Giải phương trình : cos 3x + cos 2x x 2 x 2 Bài 3.253 (D08) : Giải phương trình : 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.

2 sin 3x cos 2x sin x = 0. Bài 3.254 (D09) : Giải phương trình : √3 cos 5x − cos 2x + 3 sin x − cos x 1 = 0. Bài 3.255 (D10) : Giải phương trình sin 2x − − −

3.8 Bài tập tổng hợp

€

Bài 3.256 : Xác định m để phương trình :

Š + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0

•

sin4 x + cos4 x 2

0; có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .

(cid:129)

‹

cot 2x . Bài 3.257 : Giải phương trình : π 2 sin4 x + cos4 x 5 sin 2x 1 8 sin 2x − = 1 2 sin2 2x) sin 3x . Bài 3.258 : Giải phương trình : tan4 x + 1 = (2 −

cos4 x cos2 x = sin x 1 + tan x tan . Bài 3.259 : Giải phương trình : tan x + cos x x 2 − Bài 3.260 : Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là :

A B B C C A . + cos2 C cos cos cos 2 = 1 4 − 2 − 2 − 2 2 −

= a (1) (a là tham số). Bài 3.261 : Cho phương trình :

+ cos2 B cos2 A 2 2 2 sin x + cos x + 1 2 cos x + 3 sin x − 1. Giải phương trình (1) khi a = 1 . 3

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 64

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

r 1

2. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm ?

= sin x. Bài 3.262 : Giải phương trình : 8 cos2 x

‹

Bài 3.263 : Cho tam giác ABC diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc lần lượt là 3 2 độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng :

(cid:129) 1 a

‹ (cid:129) 1 ha

3. + 1 b + 1 c ≥ + 1 hb + 1 hc

tan x(tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0. Bài 3.264 : Giải phương trình : 3 − 1) = 2. Bài 3.265 : Giải phương trình : cos 2x + cos x(2 tan2 x − 4p(p a) bc trong đó BC = a, CA = b, AB = Bài 3.266 : Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng : 3 − sin sin sin − A 2 ≤ B 2 C 2 = 2 √3 8

‹

c, p = a + b + c . 2 Bài 3.267 : Giải phương trình : 3 cos 4x 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0. (cid:129) x − √3) cos x 2 sin2 (2 π 4 2 − − = 1. Bài 3.268 : Giải phương trình : 1 − 2 cos x 1) cos2 x(cos x − = 2(1 + sin x). Bài 3.269 : Giải phương trình : − sin x + cos x Bài 3.270 : Cho các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức :

Q = sin2 A + sin2 B + sin2 C

. đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3.271 : Giải phương trình : cot x = tan x + 2 cos 4x sin 2x Bài 3.272 : Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng :

(p a) sin2 A + (p b) sin2 B = c. sin A sin B, − −

(cid:129)

‹

trong đó BC = a, CA = b, AB = a, p = a + b + c . 2 Bài 3.273 : Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình :

(cid:129)

‹

. 4 sin2 x √3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x 3π 4 2 − −

‹

(cid:129) π 2 (cid:129) 3π

x 3 cos x sin x = 0. Bài 3.274 : Giải phương trình : 2 √2 cos3 − − 1 + x . Bài 3.275 : Giải phương trình : tan π 4 − 3 tan2 x = cos 2x − cos2 x

− + sin x x = 2. Bài 3.276 : Giải phương trình : tan 1 + cos x 2 − Bài 3.277 : Giải phương trình : sin 2x + cos 2x + 3 sin x −

(cid:129)

‹

2 = 0. cos x − sin 3x sin3 x = 2 + 3 √2 . Bài 3.278 : Giải phương trình : cos 3x cos3 x 8

2x + 4 sin x + 1 = 0. Bài 3.279 : Giải phương trình : 2 sin − π 6 − cos x) = 0. Bài 3.280 : Giải phương trình : cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − 1) tan2 2x + 3(2 cos2 x 1) = 0. Bài 3.281 : Giải phương trình : (2 sin2 x − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 65

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 3.282 : Giải phương trình : cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1.

Bài 3.283 : Giải phương trình : 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.

= 2 cot 2x. Bài 3.284 : Giải phương trình : sin 2x + sin x 1 sin 2x 1 2 sin x − −

‹

(cid:129) x

(cid:129) 5x

Bài 3.285 : Giải phương trình : 2 cos2 x + 2 √3 sin x cos x = 3(sin x + √3 cos x).

cos = √2 cos . Bài 3.286 : Giải phương trình : sin π 4 3x 2 2 −

(cid:129)

‹

= tan x cot x. Bài 3.287 : Giải phương trình : π 2 − 4 − + cos 2x sin x sin 2x cos x

x − cos x = 1. Bài 3.288 : Giải phương trình : 2 √2 sin π 12 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x. Bài 3.289 : Giải phương trình : (1 − Bài 3.290 : Giải các phương trình sau :

r 1

1 15. 2(1 + sin x)(tan2 x + 1) = cos x ; − cot x = 1 1; sin x + cos x cos2 x − −

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

(cid:129) π 4 sin x

16. 3 sin x + 1 = sin4 x cos4 x; + sin2 x 2. cot x sin 2x; 1. tan x + 1 9 1 = cos 2x 1 + tan x 1 2 − − x + cos cos 2x 1; 17. cos − x + π 4 = 1 3 π 4 √2 cos + x − − (1 + sin 2x) = 1 + cot x; 3. cos8 x) = cos2 2x 18. 2(sin8 x cos 2x; − − 3 sin x 4. 3 cos x tan x sin x + sin x tan2 x = 0; − 19. tan x + tan 2x = sin 3x cos 2x; − 5. ; − − 1 cos 2x 1 + cos 2x = 1 1 cos3 x sin3 x 20. 2(sin4 x + cos4 x) + √3 sin 4x = 2; − −

(cid:129)

‹

6. = 1; sin 5x 5 sin x 21. 4 cos3 x + 2 sin3 x = 3 sin x;

(cid:129)

‹

sin 3x(2 sin2 2x) 2 cos x 2 sin x) = 3 tan x; 7. (sin 3x 22. = tan4 x + 1; 1 cos x − − − cos4 x

(cid:129) π

(cid:129) 5x

cot x + = 2 sin 8. ; sin 2x sin x + cos x x + π 2 cos = √2 cos 23. sin ; 1 √2 π 4 x 2 3x 2 4 − − cot x) + cos2 x(cos x 9. sin3 x(1 sin x) = cos x + sin x; − − = 2 cos 2x; 2 − 24. sin2 x + (1 + cos 2x)2 2 sin 2x 10. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0;

(cid:129)

‹

(cid:129) π

‹ = x

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

25. sin3 x(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = 2 √sin x cos x; sin3 x sin 3x + cos3 x cos 3x ; 11. 1 8 − tan tan cos 2x 7 = 0; x + π 3 − − 6 − 12. sin 4x + 2 cos 2x + 4(sin x + cos x) = 1 + cos 4x; sin3 x 26. 8 cos x + 6 sin x cos3 x 2 27. cos x; 2 sin 3x cos x sin x = 0; 2 − 2 + sin x = 1 3

+ sin2 − = 2 sin x x = 2 sin2 x 14. cos2 ; 28. 2 sin2 tan x. 13. cos 5x + sin 5x + 2 cos 3x x + π 3 − x + π 6 − 1 2 π 4 − − −

Bài 3.291 : Giải các phương trình sau :

cos x 1. 1 + sin x sin 2x + cos 2x = 0; 4. 8 cos4 x + 1 = cos 4x + 12 sin x; −

− 2. sin 4x + 2 = cos 3x + 4 sin x + cos x;

2 tan x + 2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

4 cos 3x cos x 2 cos 4x 4 cos x + tan x − 5. = 0; = 3. ; − 2 sin x √3 1 tan x + cot 2x √2(cos x cot x sin x) 1 − − − Trang 66

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

6. 2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x + 1 ; 11. + 2 tan 2x + cos 2x = 0; sin 2x

(cid:129)

‹

€

ŠŠ

€ π

4 −

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

x = 2 sin2 x − 12. 2 sin2 tan x; 3 sin 3x 4 cos x sin x + cos x cos x sin x π 4 − − π 6 − − = 0; 7. sin 3x − 1 − 13. cos x + cos 3x = 1 + √2 sin ; 2x + π 4 (sin x + cos x)2 2 sin2 x sin x sin 3x 8. = √2 2 − 1 + cot2 x − ; 14. + 2(sin4 x + cos4 x) = 3; 1 + cot 2x cot x cos2 x = ; 9. √2(cos x cot x sin x) 1 2 cos sin 3x 15. cos2 2x = 2; x + 3π 4 π 4 − − − (cid:129) 5π = 4 sin x 9; 10. 5 cos sin 2x + sin x + cos x − 1 = 0. 16. 2 sin2 x 1 tan x + cot 2x 2x + π 3 − 6 − − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 67

Chương 4

Tổ hợp

4.1 Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

Bài 4.1 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh

trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau :

a) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau ;

b) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau ;

Bài 4.2 : Có 10000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau.

Bài 4.3 : Với 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau.

Bài 4.4 : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

Bài 4.5 : Xét một dãy số gồm 7 chữ số (mỗi số được chọn từ 0, 1, . . . , 8, 9) mà chữ số ở vị trí số 3 là số chẵn, chữ số ở vị

trí cuối không chia hết cho 5, các chữ số ở vị trí số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.6 : Cho 10 chữ số 0, 1, 2,. . . , 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các số trên.

Bài 4.7 : Một người viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng.

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.

Bài 4.8 : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 9.

. Bài 4.9 : Cho X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 } {

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một ;

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 5 ;

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 9 ;

. Hỏi có thế lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 0, 1, 2, 3, 4, 5 } { Bài 4.10 : Cho X = 3.

Bài 4.11 : Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho :

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

a) C ngồi chính giữa ; b) A, E ngồi hai đầu ghế ;

Bài 4.12 : Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và

5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, nếu :

a) các học sinh ngồi tùy ý ;

b) các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ;

Bài 4.13 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có

bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn xếp kề nhau.

thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Bài 4.14 : Từ X = { chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.

Bài 4.15 : Xét các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà :

a) 5 chữ số 1 sắp kề nhau ; b) các chữ số được sắp xếp tùy ý ;

Bài 4.16 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn

không nằm liền nhau.

Bài 4.17 : Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người,

biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.

Bài 4.18 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất

thiết phải có hai chữ số 1 và 5.

Bài 4.19 : Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường

thẳng song song với CA.

a) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác ;

b) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành).

Cho biết không có 3 đường thẳng nào của họ là đồng quy.

Bài 4.20 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên.

Bài 4.21 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn

các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { Bài 4.22 : Từ X = chữ số 5.

Bài 4.23 : Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.

có thể lập được bao nhiếu số gồm 5 chữ số mà là : Bài 4.24 : Cho X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } {

a) số chẵn ;

b) một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.

Bài 4.25 : Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập được bao nhiêu số

có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 70

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 4.26 : Từ 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều phải có

mặt 0 và 1.

Bài 4.27 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng

các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

Bài 4.28 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số

Bài 4.29 : Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Bài 4.30 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 5 người (một trưởng đoàn,

một thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.31 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 4 người đi dự trại hè. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn :

a) tùy ý ;

b) hai học sinh A và B không đi cùng nhau ;

c) hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi.

Bài 4.32 : Một đoàn tàu có ba toa trở khách : toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu, biết rằng

mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên ba toa ;

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có một toa trong đó có 3 trong 4 vị khách.

Bài 4.33 (B04) : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó, có thể lập được

bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không

ít hơn 2.

Bài 4.34 : Một chi đoàn có 20 đoàn viên, trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ công tác có 5 người. Có bao nhiêu cách

chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ.

Bài 4.35 : Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công

nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.

Bài 4.36 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em trong

đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Bài 4.37 : Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại B và 4

người còn lại trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.

Bài 4.38 : Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm

cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học lẫn nhà Vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.

Bài 4.39 : Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách :

a) chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau ;

b) chọn 5 người, trong đó có không quá 1 nam ;

Bài 4.40 : Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3

tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn, một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu các làm như vậy.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 71

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 4.41 : Có hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho.

Bài 4.42 : Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội nghị của trường

sao cho trong đó có ít nhất một cán bộ lớp.

Bài 4.43 : Có 16 học sinh, gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành hai tổ, mỗi

tổ 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.

Bài 4.44 : Một người có 12 cây giống, trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn 6 cây giống để

trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho :

a) mỗi loại có đúng 2 cây ; b) mỗi loại có ít nhất 1 cây ;

Bài 4.45 : Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập một tốp ca. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ.

Bài 4.46 : Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử.

Bài 4.47 : Một tổ có 20 sinh viên, trong đó có 8 sinh viên biết nói tiếng Anh, 7 SV biết nói tiếng Pháp, 5 SV biết nói tiếng

Đức (không SV nào biết nói cả 2 trong 3 ngoại ngữ trên). Cần chọn một nhóm đi thực tế gồm 3 SV biết tiếng Anh, 4 SV

biết tiếng Pháp, 2 SV biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm.

Bài 4.48 : Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên

4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu.

Bài 4.49 : Một hộp có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng được

đánh số từ 1 đến 4.

a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu ; 3 quả cầu cùng số ;

b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ; 3 quả cầu khác màu và khác số ;

Bài 4.50 : Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra :

a) 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ;

b) 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ ;

Bài 4.51 : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau). Người

ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn bó hoa, trong đó :

a) có đúng một bông hồng đỏ ;

b) có ít nhất một bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ;

Bài 4.52 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống.

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ;

b) Có bao nhiêu cách xếp, sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau ;

Bài 4.53 : Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu

cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu.

Bài 4.54 : Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ ba đỉnh của H.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 72

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh của H ?

b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là một cạnh của H ? Có mấy tam giác không có cạnh nào là cạnh của H ?

Bài 4.55 : Trên mặt phẳng cho một thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba đỉnh của thập giác. Hỏi trong số

các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác.

2) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh là N và n ≥ ∈ Bài 4.56 (B02) : Cho đa giác A1A2 . . . A2n (n 3 trong 2n đỉnh A1, A2, . . . , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1, A2, . . . , A2n. Tìm n.

Bài 4.57 : Trong một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu "cháu ngoan Bác Hồ" trong đó có 4 cặp anh em sinh

đôi. Cần chọn một nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội "cháu ngoan Bác Hồ", sao cho trong nhóm không

có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.58 : Một tập thể có 14 người, gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm

6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau :

a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ ;

b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ;

Bài 4.59 : Một Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh văn và 3 sách Hóa. Ông

lấy ra 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.

a) Giả sử Thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên những cuốn sách thuộc loại Anh văn và Văn. Hỏi có bao nhiêu cách

tặng ;

b) Giả sử Thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong, mỗi loại Văn, Anh văn, Hóa còn ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu

cách tặng.

Bài 4.60 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.

Bài 4.61 : Cho hai đường thẳng song song d1, d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. ≥ Bài 4.62 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, và mỗi số lập

được đều nhỏ hơn 25000.

Bài 4.63 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có

đúng 2 chữ số lẻ và hai số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Bài 4.64 : Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học

sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy.

Bài 4.65 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007, mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.

. Bài 4.66 : Cho A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } {

a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2 ;

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 ;

Bài 4.67 : Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 trong đó 1 và 6 đều có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số

khác xuất hiện đúng 1 lần.

Bài 4.68 : a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ;

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 73

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ;

Bài 4.69 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, còn

các chữ số khác có mặt không quá 1 lần.

Bài 4.70 (B05) : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội

thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm Bài 4.71 (B06) : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 2 phần tử của A. Tìm k sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất. 1, 2, . . . , n } ∈ { Bài 4.72 (D06) : Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp

B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.73 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n, biết số tam giác có 3 đỉnh từ n + 6 điểm đã cho là 439.

4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ

Bài 4.74 : Chứng minh rằng :

1)Pn 1 ; − −

1 = (n a) Pn − Pn − b) 1 + P1 + 2P2 + 3P3 +

1 = Pn. 1)Pn −

‹n

+ (n − · · ·

(cid:129) n + 1 2 k < n thì :

. N có : n! Bài 4.75 : Chứng minh rằng với mọi n ≤ N và 2 ∈ Bài 4.76 : Chứng minh rằng với mọi n, k ∈ ≤

n+k ;

= k2An a) Ak n b) An+2 n+k + An+1 n+k = Ak 1 n − + kAk 1 1 ; − n −

N và n 2 thì : Bài 4.77 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ 1 + = n . − n · · · + 1 A2 n ≥ + 1 A2 3 1 A2 2

k N và 2 n. Chứng minh rằng : Bài 4.78 : Cho n, k ∈ ≤ ≤

2 1)Ck 2. − n −

k(k = n(n 1)Ck n − −

k n. Chứng minh rằng : Bài 4.79 : Cho 4 ≤ ≤

n+4.

= Ck Ck n + 4Ck 1 − n + 6Ck 2 − n + 4Ck 3 − n + Ck 4 − n

k N và 0 2008 thì : Bài 4.80 : Chứng minh rằng, nếu k ∈ ≤

2009

2009 ≤

≤ Ck + Ck+1 C1004 2009 + C1005 2009.

(cid:1)2 .

(cid:0)Cn 2n

2n+k.Cn Cn 2n

k ≤ −

k N và 0 n. Chứng minh rằng : Bài 4.81 : Cho mọi n, k ∈ ≤ ≤

n đạt giá trị lớn nhất tại k0 thì k0

. Chứng minh rằng, nếu Ck 0; 1; 2; . . . ; n } ∈ { n thỏa mãn . n + 1 2 Bài 4.82 : Cho n nguyên dương cố định và k k0 ≤ 1 − 2 ≤

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 74

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

N và 0 < m < n. Chứng minh rằng : Bài 4.83 : Cho m, n ∈

a) mCm n

1 −

+ b) Cm n + Cm m · · · = nCm 1 1 ; − n − + Cm 1 − 2 n − = Cm 1 − 1 n −

n+1

(n, k là các số nguyên dương, k n). Bài 4.84 (B08) : Chứng minh rằng + Cm 1 − m 1 − n + 1 ‚ 1 n + 2 Ck ≤ = 1 Ck n + 1 Ck+1 n+1

Bài 4.85 : Chứng minh rằng :

2008.C2006 2007

2008.C0 1

k 2008.C2007 − k 2008 −

+ + + C1 + Ck + C2007 = 1004.22008. C0 2008.C2007 2008 · · · · · ·

Bài 4.86 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng :

+ . + 3. + n. + 2. C1 n = n(n + 1) 2 · · · C2 n C1 n C3 n C2 n Cn n Cn 1 n −

Bài 4.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng :

n+2

+ . = 1 2 C0 n C1 · · · + C1 C2 n+3 + C2 C3 n+4 + Cn n Cn+1 2n+2

Bài 4.88 : Chứng minh rằng :

1 5Ck − n

n+5, với 5

5Ck n

5 5Ck − n

Š2 + €

+ + C1 + C5 = Ck k 1. C0 n. ≤ ≤

(cid:1)2.

· · · Š2 + = € C0 n C1 n + (cid:0)Cn n 2. Cn 2n · · ·

nCk m

1 nCk − m

2 nCk − m

nC0 m

n+m

Œ2

(cid:19)2

+ + C1 + C1 + Ck = Ck 3. C0

‚C0 n 1

‚C2 n 3

+ + + + . Bài 4.89 : Tính S = · · · ‚C1 n 2

(cid:18) Cn n n + 1 = 1005 2009

‚ 1 C1

2008

2009

· · · + 1 + + 1 + . Bài 4.90 : Chứng minh rằng : + 1 C2 1 C1 + 1 C2 · · · · · · C2008 2008 C2009 2009

2009 ( −

2n < 0.

Bài 4.91 : Chứng minh rằng : 1)k 1 + k2 Cn+k

k=1 Bài 4.92 : Giải các phương trình :

n+1

Š2

3. 3C2 + nP2 = 4A2 n ; 1. C3 n = 5C1 n ;

n+1 −

4n3 = € . 4. C2 ; A1 2n 2. Cn 14 + Cn+2 14 = 2Cn+1 14 A2 n − x! 1)! . Bài 4.93 : Giải phương trình :

< . Bài 4.94 : Giải bất phương trình : (x − − (x + 1)! Pn+4 PnPn+2

Bài 4.95 : Giải phương trình : PxA2 x = 1 6 15 Pn 1 − + 2Px). + 72 = 6(A2 x

= 22 A2 x N thỏa mãn hệ : Bài 4.96 : Tìm x, y ∈ = 66 + C3 y + C2 x

21x.

x ≤ 1 14P3

< . Bài 4.98 : Giải bất phương trình : A3 y + 5A2 Bài 4.97 : Giải bất phương trình : A3 x 3 Cn − n 1 − A4 n+1

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 75

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

. Bài 4.99 : Giải phương trình : 1 C x 4 − 1 C x 5 = 1 C x 6

Bài 4.100 : Tìm số nguyên dương x thỏa mãn phương trình :

= 9x2 14. C1 x + 6C2 x + 6C3 x −

x ≤

A2 + 10. Bài 4.101 : Giải bất phương trình : C3 x 1 2 6 x A2 2x −

Bài 4.102 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau :

n+1

5 4 A2 2 n −

x = 90

C3 1 < n − 7 A3 15 C4 1 − n − 4 Cn n+1 ≥ −

x + 5Cy 2Cy

x = 80

Bài 4.103 : Giải hệ phương trình : 2Ay 5Ay x

Bài 4.104 : Giải hệ phương trình : Cy − 1 x = 3Cy 2 5Cy − − x 1 x = Cy − x

n+2

n+3

n+4

n+1

n+1 (n + 1)!

+ 3A3 n + 2C2 + 2C2 + C2 , biết rằng C2 = 149. Bài 4.105 (D05) : Tính giá trị của M = A4

n −

= 12. Bài 4.106 : Tìm số nguyên n > 1 thỏa mãn đẳng thức : 2Pn + 6A2 PnA2 n

2005 đạt giá trị lớn nhất.

sao cho Ck Bài 4.107 : Tìm k 1, 2, . . . , 2005 } ∈ {

4.3 Hệ số của xk trong khai triển

4.4 Hệ số của xk trong khai triển nhị thức (a + b)n

‹18

2x)5 + x2(1 + 3x)10. Bài 4.108 (D07) : Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của : x(1 −

(cid:129) x 2

. Bài 4.109 : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển + 4 x

‹n

Bài 4.110 : Tìm hệ số của x5 trong khai triển : P = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7.

n+3

(cid:129) 1 x3

n+4 −

Š7

€ 3√16 + √3

+ √x5 Cn , biết : Cn+1 = 7(n + 3). Bài 4.111 (A03) : Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển

€

Š124

. Bài 4.112 : Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức

4√5

(cid:18)

(cid:19)7

√3 . Bài 4.113 : Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ : −

3√x + 1 4√x

…

Ǒn

. Bài 4.114 (D04) : Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển

28 15 = 79. x 3√x + x− Bài 4.115 : Trong khai triển hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng Cn n + Cn 1 − n + Cn 2 − n

(cid:129)

‹n

Bài 4.116 : Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x2 + 1)n bằng 1024. Hãy tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó.

thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6 bằng 4 lần hệ số của x4. Bài 4.117 : Tìm n > 5, biết trong khai triển x + 1 2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 76

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:16)

(cid:17)

€

(cid:17)n

1 €

Šn

x −

−

x 2

x − 2

x 3

x − 2

x 3

Š +

Bài 4.118 (A02) : Cho

2 + 2−

1 + Cn − n

. 2 2 2 2 2− 2− 2− = C0 n + C1 n + Cn 1 − n · · ·

‹10 x

Biết rằng C3 n

Bài 4.119 : Cho = a0 + a1 x + + a9x9 + a10 x10. = 5C1 n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x. (cid:129) 1 3 + 2 3 · · · Tìm số hạng ak lớn nhất.

(cid:18)

(cid:19)18

+ an xn, trong đó n N∗ và các hệ số a0, a1, . . . , an thỏa mãn · · · ∈ + = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, . . . , an. Bài 4.120 (A08) : Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1 x + a0 + a1 2 + an 2n · · ·

, (x > 0). Bài 4.121 (CĐ08) : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2x + 1 5√x

Bài 4.122 (B07) : Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x)n, biết :

1C1 3n − n

3C3 3n − n

n −

+ 3nC0 + ( = 2048. + 3n 2C2 − 1)nCn n · · · −

2n+1

+ + C3 3x)2n, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn : C1 Bài 4.123 : Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 − = 1024. + C2n+1 2n+1

n −

‹n

= 49. · · · Bài 4.124 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết : A3 8C2 n + C1 n

2n+1

(cid:129) 1 x4

+ + x7 , biết rằng C1

2n+1

+ Bài 4.125 (A06) : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của C2 = 220 + Cn 1. · · · −

4.5 Hệ số của xk trong khai triển (a + b)n(c + d)m

3x)5(1 + x)4. Bài 4.126 : a) Tìm hệ số của x2 trong khai triển (2 −

b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( √x + 3)6(1 + x)12.

3 = 26n. 3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n 3 là hệ số của x3n Bài 4.127 (D03) : Gọi a3n − − −

Bài 4.128 : Tìm hạng tử chứa x20 trong khai triển : (1 + x + x3 + x4)10.

4.6 Hệ số của xk trong khai triển (a + b + c)n

1)6. Bài 4.129 : a) Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2 + x −

€

Š8

b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2 + x 1)5. − Bài 4.130 : Tìm hệ số của x4 trong khai triển (1 + x + 3x2)10.

(cid:129)

‹10

x) . Bài 4.131 (A04) : Tìm hệ số của x8 trong khai triển

+ x . Bài 4.132 : Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển : 1 + x2(1 − 1 + 6 x

4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp :

akCk n

k=0

4.8 Phương pháp cơ bản với ak chỉ là hàm số mũ theo biến k

+ = 2048. Bài 4.133 (D08) : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C1 2n + C3 2n + C2n 1 − 2n · · ·

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 77

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

+ Bài 4.134 : Tính tổng C1 20 + C2 20 + C10 20.

1)16 ; · · · Bài 4.135 : a) Khai triển nhị thức (3x

16 − · · ·

− + 314C2 b) Chứng minh rằng : 316C0 = 216 ; 315C1 16 + C16 16

16 − Bài 4.136 : Chứng minh rằng :

+ = 3n ; a) 2nC0 n + 2n 1C1 − n + 2n 2C2 − n + Cn n · · ·

1C1 3n − n

n −

+ + ( b) 3nC0 = 2n ; + 3n 2C2 − n 1)nCn n · · · −

1 n −

Bài 4.137 : Chứng minh rằng :

1); 1)k = 0. = 2(2n 1 − Ck n Ck n( − −

k=1 2n.32 + C4

2n.34 +

k=0 1(22n + 1). 2n.32n = 22n −

+ C2n + C2 Bài 4.138 : Chứng minh : C0 2n · · · Bài 4.139 : Tính các biểu thức sau :

19 −

+ + C16 1. A = C0 C2 19 C18 19. · · ·

19 −

+ + C17 2. B = C1 C3 19 C19 19.

2n −

+ · · · + 9C4 + ( 3. C = C0 3C2 2n 3)nC2n 2n. 27C6 2n · · · −

+ = 243. Bài 4.140 (D02) : Tìm số nguyên dương n sao cho : C0 n + 2C1 n + 4C2 n + 2nCn n · · ·

4.9 Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k

Bài 4.141 : Chứng minh rằng :

+ = n.2n 1 ; − a) C1 n + 2C2 n + 3C3 n + nCn n · · ·

1Cn 1)n − n

n −

n − · · ·

+ 3C3 + ( b) C1 = 0 ; 2C2 n

1C1 c) 2n −

1C2 2n − n

1nCn 1)n − n

n −

+ ( = n ; − + 3.2n 3C3 − −

n − · · · 2)100 = a0 + a1 x + a2 x2 +

Bài 4.142 : Cho (x + a100 x100. Tính : · · · −

a) a97 ;

b) S = a0 + a1 + + a100 ; · · ·

c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + + 100a100 ; · · ·

2. Bài 4.143 : Cho f (x) = (1 + x)n với n ≥

a) Tính f ′′(1) ;

2. 1)2n −

+ + n(n = n(n b) Chứng minh : 2.1.C2 n + 3.2.C3 n + 4.3.C4 n 1)Cn n

− + = n.3n 1. −

1C1 Bài 4.144 : Chứng minh : 2n − n

+ 2n 1C2 − n − · · · + 4.2n + 3.2n 4C4 3C3 − − n n + nCn n

Bài 4.145 : Chứng minh : C1 · · · = n.4n 1. − + nCn n

3 + n.3n − + (

1 + 2C2 n.3n − 2C2 n

2 + 3C3 n.3n − 4C4 n

n −

+ + 3C3 Bài 4.146 : Tính A = C1 · · · 1nCn 1)n n. − · · · −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 78

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

€

N và n > 2 thì : Bài 4.147 : Chứng minh với n ∈

+ < n! C1 n + 2C2 n + 3C3 n + nCn n 1 n · · ·

Bài 4.148 : Chứng minh rằng :

2 ; 1)2n −

+ + (n = n(n a) 1.2C2 n + 2.3C3 n 1)nCn n · · ·

+ + ( b) 1.2C2 − 2(n 1)n − 2.3C3 n − = 0 ; 1)nCn n

2 ; 1)3n −

n − 1C2 c) 2n − n

− + + (n = n(n · · · + 3.2n 2C3 − n − + 3.4.2n 4C4 − n 1)nCn n · · ·

1C2 d) 2n −

2C3 3.2n − n

n −

n − · · ·

+ ( 1) ; + 3.4.2n 4C4 − − 2(n 1)n − − = n(n 1)nCn n − − −

Bài 4.149 : Chứng minh rằng :

1(6 + n) ; = 2n −

+ a) 3C0 n + 4C1 n + (n + 3)Cn n · · ·

n −

+ + ( b) 3C0 = 0 ; 4C1 n 1)n(n + 3)Cn n · · · −

Bài 4.150 (A05) : Tìm số nguyên dương n sao cho :

2n+1

2n+1 −

+ 2.2.C2 + 3.22.C3 4.23.C4 = 2005. + (2n + 1)22nC2n+1 2n+1 C1 2n+1 − · · ·

‹99

‹100

‹199

Bài 4.151 : Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của (x2 + x)100, chứng minh rằng :

100

(cid:129) 1 2

+ 100C0 101C1 = 0. + 200C100 100 − · · ·

4.10 Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k

N và n 2. Bài 4.152 : Cho n ∈

≥ x2(1 + x3)n dx ; a) Tính I =

+ + = 2n+1 b) Chứng minh : . − C0 n C1 n C2 n Cn n 1 3 + 1 6 + 1 9 1 3(n + 1) 1 3(n + 1)

1 · · · = 2n+1 . Bài 4.153 : Chứng minh :

k=0 + 22

n −

Ck n k + 1 1 1 1 − n + 1 + 23 + + 2n+1 Bài 4.154 (B03) : Tính C0 n C1 n C2 n − 2 − 3 · · · 1)n + . Bài 4.155 : Chứng minh rằng : 2.C0 .22.C1 n .23.C2 n .2n+1.Cn n 1 2 + 1 3 Cn n. − n + 1 1)n + ( − n + 1 = 1 + ( − n + 1 · · · Bài 4.156 : Chứng minh rằng :

1 1 1)n − 2

+ + 1 + ( a) ( ; 1)nC0 n C1 n Cn n 1)n = ( − n + 1 − −

n −

+ n + 1 = 1 + ( b) C0 C1 n Cn n 1 2 · · · 1)n 1 n + 1 n + 1 · · · −

x(1 x)19 dx ; Bài 4.157 : a) Tính −

19 −

+ C0 C18 C1 19 C2 19 C19 19. b) Rút gọn S = 1 2 1 3 + 1 4 + 1 20 1 21 · · ·

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 79

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x(1 x2)n dx ; Bài 4.158 : a) Tính −

n −

+ = C0 C2 b) Chứng minh : C1 n C3 n Cn n 1 2 1 4 1 8 1)n + ( − 2n + 2

· · · + 1 + 1 ; 2(n + 1) = 2n+1(n2 + n + 2) Bài 4.159 : Chứng minh : − C0 n C1 n Cn n + 1 6 + 1 4 1 3 n + 3 · · ·

1 C2n − 2n

+ = 22n . Bài 4.160 (A07) : Chứng minh rằng : C1 2n C3 2n C5 2n 1 2 + 1 4 + 1 6 2 (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 2n 1 − 2n + 1 · · ·

4.11 Bài tập tổng hợp

Bài 4.161 : Trong khai triển đa thức sau :

1 + (2x + 1)n(x + 2)n = a2n x2n + a2n 1 x2n − −

1 = 160. Tìm n, biết a2n −

2 −

+ a1 x + a0. · · ·

+ + C . + C4 2n 5 C6 2n 7 · · · x)3 + x)2 + 3(1 + C2n . Tìm n, biết S = 4096 2n 2n + 1 13 x)n thu được đa thức P(x) = − − − · · · . + C2 Bài 4.162 : Cho số nguyên dương n > 4 và S = C0 2n 2n 3 x + 2(1 + anxn. Tính hệ số a8, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn Bài 4.163 : Khai triển và rút gọn biểu thức 1 a0 + a1 x + a2 x2 + = 1 n · · · + C2n 1 2n − + n(1 1 C2 n − + 7 C3 n Bài 4.164 : Một tổ gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh lập nên đội

cờ đỏ. Gọi X là số học sinh nam của đội cờ đỏ. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

Bài 4.165 : Trong kì thi tuyển sinh năm 2009, trường THPT A có 5 học sinh gồm 3 nam, 2 nữ cùng đậu vào khoa X của

một trường ĐH. Số sinh viên đậu vào khoa X được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để một lớp có đúng 2 nam

và 1 nữ của trường THPT A.

Bài 4.166 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

n.3

n.32 + 3C3

n.33 +

n.3n = 33792.

C1 2C2 + ( 1)nnCn − · · · −

Bài 4.167 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện đúng

hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần, các số khác xuất hiện đúng một lần.

Bài 4.168 : Tìm số các số tự nhiên gồm 8 chữ số phân biệt được lập thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho

trong mỗi số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau.

Bài 4.169 : Tính tổng sau theo n

2n −

+ S = C0 + 9C4 + ( 3C2 2n 27C6 2n 3)nC2n 2n. · · · −

2n − + ( −

2n −

+ . Bài 4.170 : Tính C1 C3 2n 3 + C5 2n 9 · · · 1)n 1 1C2n − − 2n 1 3n − Bài 4.171 : Có hai tổ học sinh. Tổ thứ nhất gồm 8 học sinh nam, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh

và 2 học sinh Hưng Yên. Tổ thứ hai gồm 6 học sinh nữ, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh và 2 học

sinh Hưng Yên. Chọn mỗi tổ ra 3 học sinh. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn ra mỗi tỉnh có 1 học sinh nam và 1

học sinh nữ.

Bài 4.172 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt 1, 2, 3 và 2010 điểm phân biệt khác

A, B, C, D. Tính số tam giác được tạo thành mà có các đỉnh được lấy trong tập 2016 điểm nằm trên các cạnh của hình vuông

(khác các đỉnh của hình vuông).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 80

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 4.173 : Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính

khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?

Bài 4.174 : Tính giá trị của biểu thức sau :

2010

2010 −

+ S = C0 3C2 + 32C4 + 31004C2008 31005C2010 2010. · · ·

x + x2 Bài 4.175 : Đặt (1 x3)4 = a0 + a1 x + a2x2 + + a12 x12. Tính hệ số a7. − − · · · Bài 4.176 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần,

các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được

chọn chia hết cho 3.

Bài 4.177 : Tìm số nguyên dương n, biết

1 nCn n 1)n − 2n

(cid:129)

‹10

+ 3C3 . + ( 2C2 n 22 = 1 32 C1 n 2 − 23 − · · · −

+ x3 với x , 0. Bài 4.178 : Tìm hệ số của x10 trong khai triển 1 + 1 x Bài 4.179 : Từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có năm chữ số sao cho trong số có năm chữ số đó có hai

chữ số 1 còn các chữ số khác xuất hiện không quá một lần.

Bài 4.180 : Có 3 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh từ các học sinh

trên để mỗi lớp A, B, C đều có ít nhất một học sinh được chọn.

Bài 4.181 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó

(cid:18)

(cid:19)n

(cid:19)k

Šn

k −

phải có mặt chữ số 7.

€ √2x 1 −

n và số hạng thứ tư trong

k=0

1 + 1 3√2x

(cid:18) 1 3√2x

= = 2C2 Bài 4.182 : Cho √2x − Ck n , biết n thỏa mãn C1 n + C3 n

2010

khai triển trên bằng 2010n. Xác định n và x.

2010 1.2 −

2010 3.4 −

2010

+ 22C2 + . Bài 4.183 : Tính 1. A = 20C0 21C1 2.3 23C3 4.5 · · ·

+ . 2. B = 20C0 2010 1 21C1 2010 2 + 22C2 2010 3 23C3 2010 4 + 22010C2010 2010 2011.2012 + 22010C2010 2011 − − · · ·

Bài 4.184 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi trắng có cùng bán kính vào một dãy gồm 7 ô trống. Hỏi :

1. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.

2. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và ba bi trắng xếp cạnh nhau.

Œ2

(cid:19)2

Bài 4.185 : Tính tổng sau

‚C0 n 1

‚C1 n 2

(cid:18) Cn n n + 1

+ + + . S = · · ·

(cid:129)

(cid:16)

(cid:17)n

(cid:17)k

+ Bài 4.186 : Tính tổng S = C0 n + 2C1 n + 3C2 n · · · + (n + 1)Cn n. ‹12 1 x4 . Bài 4.187 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 x − − Bài 4.188 : Cho khai triển

k (cid:0)2x (cid:1)n −

1 2 −

k=0

= . 2x + 2 2 Ck n

Tìm x, biết tổng của số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 81

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 4.189 : Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển (1 + 0, 2)1000.

2n+1

+ 49. Bài 4.190 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 2)n, biết A3 n + C1 n − + x + Cn = 220 = 8C2 n + C2 1)n, biết C1 1. Bài 4.191 : Tìm hệ số của x6 trong khai triển (x2 − − · · · −

2n+1 Bài 4.192 : Tìm hệ số của x11 trong khai triển (x2 + 2)n(3x2 + 1)n, biết

1 3C2n − 2n

k 1)k3kC2n − 2n

2n −

(cid:129)

‹n

+ + C2n + ( = 1024. + 32nC0 2n · · · − · · ·

10 + 5 + a2 x3n = a0 x3n + a1 x3n − −

€

Š2 +

. Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 theo x3 + 1 2x2 · · ·

Š2 + 3

(cid:1)n, với n là số tự nhiên lẻ.

Bài 4.193 : Cho khai triển P(x) = thứ tự lập lập thành một cấp số cộng. Tính số hạng chứa x4. Š2 + 2 Bài 4.194 : Tính S = € C3 n C2 n C1 n + n (cid:0)Cn n · · · Bài 4.195 : Chứng minh rằng

2x ≥

+ = n(n + 1)2n 2. − 12C1 n + 22C2 n + n2Cn n · · · + + C2x 22003 1, với x N∗. Bài 4.196 : Giải bất phương trình C2 2x + C4 2x · · · − ∈ Bài 4.197 : Cho tập A gồm n phần từ (n > 4). Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần

tử là lẻ.

Bài 4.198 : Cho tập A có n phần tử (n > 7). Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3

phần tử.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 82

Chương 5

Hàm số

5.1 Tính đơn điệu

Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số

(cid:17) Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) ta tiến hành các bước như sau :

1. Tìm tập xác định D của hàm số;

2. Tính đạo hàm y′ = f ′(x);

3. Tìm các giá trị của x D để f ′(x) = 0 hoặc f ′(x) không xác định (gọi là các điểm tới hạn của hàm số); ∈

D; 4. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu y′ = f ′(x) trên từng khoảng x ∈

5. Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ ta suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

Bài 5.1 : Xét sự biến thiên của các hàm số sau :

1. y = x3 3x2 ; ; − x 2x2 + 18x 2. y = x3 1 ; 1 ; 11. y = − − − x3 − 3x2 + 24x + 26 ; 3. y = −

− 4. y = x3 + 3x2 + 3x + 2 ; 10. y = x + 2 1 − x2 + 2x x + 2 12. y = x2 + 4x + 3 ; x + 2

5. y = x4 2x2 + 7 ; ; 13. y = x + 4 x 6. y = 1 ; − 1 x4 + 2x2 4 − x2 ; 14. y = x + √1 − 7. y = x4 + 2x2 3 ; − −

15. y = √3x2 x3; 6x2 + 8x + 1 ; − −

8. y = x4 9. y = 2x ; 16. y = sin x với x (0; 2π). 1 − x + 1 ∈

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 5.2 : Chứng minh rằng hàm số :

4. y = √4 x2 nghịch biến trên [0; 2]; nghịch biến trên mỗi khoảng xác định; − 1. y = x + 1 1 2x − 5. y = sin x + x đồng biến trên R;

2. y = x3 x2 + x + 5 đồng biến trên R; 3 − cos x 6. y = x3 + x 4 đồng biến trên R; − −

Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

x3 + 6x2 3. y = 20x + 5 nghịch biến trên R; 7. y = cos 2x 2x + 3 nghịch biến trên R. 2 3 − − −

(cid:17) Sử dụng điều kiện cần : Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên D = (a; b) và f ′(x) = 0 tại không quá hữu hạn giá trị.

0 với mọi x D. 1. Hàm số y = f (x) đơn điệu tăng trên D khi và chỉ khi f ′(x) ≥ ∈

0 với mọi x D. 2. Hàm số y = f (x) đơn điệu giảm trên D khi và chỉ khi f ′(x) ≤ ∈

; a) và −∞ ). ∞

Chúng ta các bài toán sau : Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R hoặc trên ( (a; + Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí 1 : Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a , 0).

• f (x)

a > 0 0 với mọi x R khi và chỉ khi ≥ ∈ ∆ 0. ≤

• f (x)

a < 0 0 với mọi x R khi và chỉ khi ≤ ∈ ∆ 0. ≤

Chú ý : Định lí 1 còn đúng khi điều kiện của ta không phải là mọi x ∈ R mà thay bàng điều kiện với mọi x khác x1, x2, . . . Bài toán 2 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên (a; b) trong đó ít nhất a hoặc

b là hữu hạn.

• f (x)

Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí 2 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f (x), min f (x).

• f (x)

m với mọi x D khi và chỉ khi min f (x) m; ≥ ∈ ≥

m với mọi x D khi và chỉ khi max f (x) m. ≤ ∈ ≤

• Chuyển vế phương trình, bất phương trình về dạng một vế chỉ chứa ẩn (vế trái) và một vế chỉ chứa tham số;

• Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (hạn chế bảng biến thiên với điều kiện của ẩn đang xét);

• Tính đầu và cuối tất cả các mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản);

• Sử dụng định lí 2.

Một cách tổng quát với bài toán phương trình, bất phương trình có tham số chúng ta làm như sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 84

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài toán 3 : Tìm các giá trị của tham số biết độ dài của khoảng đồng biến hoặc nghịch biến. Với bài toán này ta phải lập bảng biến thiên và tính trực tiếp các nghiệm của y′ = 0 hoặc sử dụng định lí Viét.

x3 + 2x2 + (2m + 1)x 3m + 2 nghịch biến trên R. Bài 5.3 : Tìm m để hàm số : y = 1 3 − 1)x2 + (m2 − 4)x + 9 đồng biến trên R. Bài 5.4 : Tìm m để hàm số : y = x3 + (m − −

1) + (m + 1)x2 + 3x + 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Bài 5.5 : Cho hàm số y = (m2 x3 3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên R. Bài 5.6 : Tìm m để hàm số : y = x3 − Bài 5.7 : Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số :

y = x3 + (m 1)x2 + (m2 4)x + 9 − −

đồng biến trên R.

3x2 + 3mx + 3m + 4. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. − (m3 m2 + 2) nghịch biến trên các khoảng xác định. − − 2mx x − m − Bài 5.8 : Cho hàm số y = x3 Bài 5.9 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x2 Bài 5.10 : Tìm m để hàm số y = x + m sin x đồng biến trên R.

4 cos x mx + 1 đồng biến trên R. Bài 5.11 : Tìm m để hàm số y = 3 sin x − − Bài 5.12 : Tìm m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R.

m)x đồng biến trên R. Bài 5.13 : Tìm m đếh y = (2m + 3) sin x + (2

–

™

3)x − (2m + 1) cos x nghịch biến trên R. Bài 5.14 : Tìm m để hàm số y = (m −

(k2 2k) + kx + 3 x đồng biến trên tập xác định. − Bài 5.15 : Xác định k để hàm số y = x2 3 −

1 có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó.

3m3 + m2 2 . Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác − − m − Bài 5.16 : Tìm m để hàm số y = x2 + mx − 1 x − Bài 5.17 : Cho hàm số y = (m + 1)x2 2mx − x định.

Bài 5.18 : Chứng minh rằng hàm số :

y = x3 (m + 1)x2 (2m2 3m + 2)x + 2m(2m + 1) − − −

không thể luôn đồng biến

x3 3x2 + mx + 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng − − Bài 5.19 : Cho hàm số y = (0; + ). ∞ Bài 5.20 : Tìm a sao cho hàm số :

x) x3 + (a 1. y = x2(a a tăng trong khoảng (1; 2). 2. y = 1)x2 + (a + 3)x tăng trong khoảng (0; 3). − − − −

1; 1).

2mx2 + x đồng biến trên khoảng (0; 1). Bài 5.21 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m. Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( − Bài 5.22 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 85

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

+ (m 1)x2 + (m + 3)x 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng x3 3 − − − Bài 5.23 : Cho hàm số : y = (0; 3).

x) m đồng biến trên khoảng (1; 2). − − mx2 + (2m 1)x x3 m + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịc biến trên khoảng − − − 2; 0).

2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2). Bài 5.24 : Tìm m để hàm số : y = x2(m Bài 5.25 : Cho hàm số : y = 1 3 ( − Bài 5.26 : Cho hàm số : y = 2x3 + 3mx2 − ; 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên cả hai khoảng ( 1) và (2; + ). Bài 5.27 : Xác định m để hàm số : y = x3 −∞ − ∞ − mx2 + (2m x3 1)x m + 2. 1 3 − − − − 2; + ). ∞ − 1)x2 + 3(m (m x3 đồng biến trên khoảng (2; + ). 2)x + 1 3 − − − ∞

x3 (m + 1)x2 + m(m + 2)x + 7 đồng biến trên [4; 9].

. Tìm m sao cho hàm số : x Bài 5.28 : Cho hàm số y = Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên ( Bài 5.29 : Tìm m để : y = m 3 Bài 5.30 : Tìm m để : y = 1 3 − Bài 5.31 : Cho hàm số y = x + 3 m − 1. tăng trên (1; + ) ; 2. giảm trên ( ; 2). ∞ −∞

. Bài 5.32 : Cho hàm số : y = x2 − 2mx + 3m2 2m x − 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; + ). ∞

. Xác định m để hàm số nghịch biến trên (2; + ). ∞ k đồng biến trên khoảng (1; + ). − x + k ∞ 4m 2 . Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ). m)x + 1 + m Bài 5.33 : Cho hàm số : y = 2x2 + (1 − x + m − Bài 5.34 : Tìm k để hàm số y = 2x2 + kx + 2 1 − Bài 5.35 : Cho hàm số y = x2 − − − (m + 1)x + 4m2 1) (m ∞ −

. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; + ). x − 3x + m 1 − x ∞

. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; + ). ∞ − 2mx + 2 + m m x − m)x + 1 + m đồng biến trên (1; + ). − x ∞ − . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ). ∞ mx + 1 2 nghịch biến trên (1; + ). − ∞ 1; 1). Bài 5.36 : Cho hàm số y = 2x2 Bài 5.37 : Cho hàm số : y = x2 − Bài 5.38 : Tìm m để : y = 2x2 + (1 m Bài 5.39 : Cho hàm số : y = mx2 + x + m Bài 5.40 : Tìm m để : y = mx2 + 6x x + 2 Bài 5.41 : Tìm m để hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên ( − ; 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên các khoảng ( 1] và [2; + ). −∞ − 1)x2 + (m − x3 + 2(m 1)x + m đồng biến trên các khoảng ( ; 0] và [2; + ∞ ). − ∞ −∞ ; 0) và (3; + ). 5)x + 1 đồng biến trên các khoảng ( ∞ −∞ − 6mx2 + 2(12m 1 − x3 + mx2 + (3m 2)x đồng biến trên R. − − 3 − mx2 (2m2 7m + 7)x + 2(m 1)(2m 3) đồng biến trên [2; + ). Bài 5.42 : Tìm m để hàm số : y = x3 Bài 5.43 : Tìm m để hàm số : y = m 3 Bài 5.44 : Tìm m để hàm số : y = x3 Bài 5.45 : Tìm m để hàm số : y = m Bài 5.46 : Tìm m để hàm số : y = x3 − − − − − ∞ Bài 5.47 : Tìm m để hàm số :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 86

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

•

‹

x3 + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x m2 đồng biến trên [1; + ). − (m + 1)x2 (2m2 3m + 2)x + 1 đồng biến trên [2; + ∞ ). Bài 5.48 : Tìm m để hàm số : y = 2 3 Bài 5.49 : Tìm m để hàm số : y = x3 − − − 1)x2 + 3m(m 2; 3(m ∞ 2)x + 1 đồng biến trên các đoạn [ 1] và [1; 2]. Bài 5.50 : Tìm m để hàm số : y = x3 − − − − 2x2 + mx 0; − 1 đồng biến trên . 1 3 −

(cid:129)

‹

đồng biến trên (3; + ).

Bài 5.51 : Tìm m để hàm số : y = x3 − Bài 5.52 : Tìm m để hàm số : y = 2x2 − x 2x2 3x + m 1 3x + m ; + . nghịch biến trên − − 2x + 1 ∞ 1 2 − ∞ 3 đồng biến trên [4; + ). Bài 5.53 : Tìm m để hàm số : y = − Bài 5.54 : Tìm m để hàm số : y = mx2 − − ∞ 3mx + 5 đồng biến trên [2; 5]. − − 1

đồng biến trên (1; + ). − ∞

đồng biến trên (1; + ). − ∞ − m đồng biến trên (1; + ). − ∞

). (m + 1)x x 1)x2 Bài 5.55 : Tìm m để hàm số : y = (2m x − 2mx + 3m2 Bài 5.56 : Tìm m để hàm số : y = x2 x 2m − 2mx + m + 2 Bài 5.57 : Tìm m để hàm số : y = x2 m x Bài 5.58 : Tìm m để hàm số : y = 2x2 + mx + 2 1 − Bài 5.59 : Tìm m để hàm số : y = x2 đồng biến trên (1; + x + m 8x − 8(x + m) ∞

Bài 5.60 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3.

Bài 5.61 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1.

Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số

x3 + 6x2 + mx + 5 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1. Bài 5.62 : Tìm các giá trị của m để hàm số y = −

(cid:17) Bài toán 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].

[a; b].

1. Tính y′ = f ′(x), giải phương trình f ′(x) = 0 được các nghiệm xi ∈ 2. Tính y(a) = f (a), y(b) = f (b), y(xi) = f (xi).

x ∈

f (x). f (x), GTNN trong các giá trị trên là min [a;b] 3. GTLN trong các giá trị trên là max [a;b]

Bài toán 2 : GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên miền D tổng quát.

1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) chỉ xét với x D. ∈

2. Tính các giá trị dầu và cuối mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản).

3. Căn cứ bảng biến thiên ta có được GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.

trên [0; 2].

1 Bài 5.63 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = 3x − 3 x − Bài 5.64 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 87

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

•

0; 9. y = x + √2 cos x trên ; 1. y = x2 + x + 1 (x>0); π 2

x2; x 2. y = 1 + 4x x2; − −

•

trên [ 1; 2]; 2; 3]); 3. y = x4 2x2 + 5 (x − [ − ∈ 10. y = x + √4 11. y = x + 1 √x2 + 1

x; ; + sin2 x trên ; − 12. y = x 2 − 4. y = √x 2 + √4 − 5. y = 2x2 + 4x + 5 ; x2 + 1 sin 3x trên [0; π]; π π 2 2 − sin 2x + 1 13. y = 1 + x + sin x + 1 9 4 x2; − − 14. y = sin x + cos x;

; 6. y = 2x √1 7. y = x + 3 √x2 + 1 15. y = 2 sin x + cos 2x;

trên [2; 4]; 16. y = sin5 x + √3 cos x. 8. y = x + 9 x

Bài 5.65 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :

+ 1 1. y = sin x ; ; cos x + 1 2 − cos x | + 1

. 2. y = 2 sin x sin3 x trên [0; π]; 4 3 3. y = 2 cos2 + | cos x | | 4. y = 3 cos4 x + 4 sin2 x 3 sin4 x + 2 cos2 x −

•1 2

x2 + 2x ; 4 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên . Bài 5.66 : + 3 2 3 | − |

x3 + 3x2 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = trên [ 5; 5]. − | 72x + 90 | −

8x2 + 16x 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 9 trên (1; 3].

− x2)3 với x Bài 5.67 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1 − [ −

∈ Bài 5.68 : Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f (x) = lg2 x + − 1; 1] 1 lg2 x + 2

, x [1; e3]. ∈

•

2x2 + 3 trên [ Bài 5.69 : Tìm GTLN, GTNN của y = ln2 x x Bài 5.70 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x4 −

0; . Bài 5.71 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x + cos2 x trên 3; 2]. − π 4

x. Bài 5.72 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = √x −

− + cos + 1. Bài 5.73 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = sin 1 + √3 2x 1 + x2 4x 1 + x2

Bài 5.74 : Cho x, y là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x3 + y3 + xy.

5xy. −

Bài 5.75 : Cho x, y là hai số không âm, thỏa mãn xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x3 + y3 + x2y + xy2 Bài 5.76 : Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x + 1 4y

0, y 0, x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của Bài 5.77 : Cho x, y thỏa mãn x ≥ ≥

+ y . P = x y + 1 x + 1

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 88

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 5.78 : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn

= 4 1 x + 1 y + 1 z Tìm GTLN của

+ + 1 2x + y + z 1 x + 2y + z 1 x + y + 2z

Bài 5.79 : Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của

+ + 1 + x3 + y3 xy 1 + y3 + z3 yz √1 + z3 + x3 zx

(cid:129)

‹ (cid:129)

‹

+ y + z y + 1 z + 1

Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức

. Bài 5.80 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN x x + 1 Bài 5.81 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN a + 1 a b + 1 b c + 1 c

(cid:17)

• Đưa bất đằng thức về dạng f (x)

Bài toán 1 : Bất đẳng thức một biến.

• Xét hàm số y = f (x) với x

c với mọi x D. ∈ ≥

• Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x

D. ∈

• Từ bảng biến thiên ta có kết luận bài toán.

D. ∈

• Đưa bất đẳng thức về dạng f (a)

b (tương tự a b). Bài toán 2 : Bất đẳng thức "phản" đối xứng hai biến a và b với a ≥ ≤

• Sử dụng định nghĩa về tính đơn điệu : Giả sử y = f (x) xác định trên D = (a; b) và x1 < x2 thuộc khoảng đó

f (b). ≥

(i) y = f (x) đồng biến trên D thì f (x1) < f (x2); (ii) y = f (x) nghịch biến trên D thì f (x1) > f (x2).

• Biến đổi bất đẳng thức về dạng f (a, b)

Bài toán 3 : Bất đẳng thức đối xứng hai biến a và b.

• Đặt S = a + b và P = ab với (S 2

c hoặc f (a, b) c với c là hằng số (thường đưa về trường hợp c = 0). Quay ≥ ≤ về bài toán tìm max f (a, b) hoặc min f (a, b).

• Từ đó ta quay về bài toán tìm max, min của hàm một biến số

4P), từ các điều kiện ràng buộc ta đưa f (a, b) theo S (hoặc P) và tìm miền ràng ≥ buộc cho S và P tương ứng.

2x. Chứng minh rằng Bài 5.82 : Cho hàm số y = f (x) = tan x + sin x −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 89

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

•

‹

(cid:129)

‹

0; 0; 1. hàm số đồng biến trên . 2. sin x + tan x > 2x với mọi x . π 2 π 2 ∈

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

Bài 5.83 : Chứng minh rằng

< 0; + 1 0; 1. sin x > với x ; 2. . 2x π 4 π2 với x π 2 1 x2 π 2 ∈ ∈ − 1 sin2 x

•

‹

(cid:129)

‹

3x.Chứng minh rằng Bài 5.84 : Cho hàm số y = f (x) = tan x + 2 sin x −

(cid:129)

‹

0; 0; 1. hàm số đồng biến trên . 2. 2 sin x + tan x > 3x với mọi x . π 2 π 2 ∈

(cid:129)

‹

0; 1. Chứng minh rằng tan x > x với mọi x . Bài 5.85 : π 2 ∈

0; với mọi x . π 2 ∈

•

tan x. 2. Chứng minh rằng tan x > x + x3 3 Bài 5.86 : Cho hàm số y = f (x) = 4x π −

0; 1. Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) trên . 0; tan x với mọi . 2. Chứng minh rằng π 4 π 4 4x π ≥

n√n n

+ n 1 + 1 < 2. Bài 5.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng −

•

(cid:129)

‹

Bài 5.88 : Chứng minh rằng

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

‹3

0; 1. sin x x với mọi x ; 0; 3. cos x < 1 với mọi x ; π 2 ≤ ∈ x2 2 + x4 24 π 2 − ∈

(cid:129) sin x x

0; 0; 2. sin x > x với mọi x ; 4. > cos x với mọi x . x3 3! π 2 π 2 − ∈ ∈

Bài 5.89 : Chứng minh rằng

1. ex 1 + x với mọi x R; 2. ex với mọi x 0. ≥ ∈ 1 + x + x2 2 ≥ ≥

sin b < b 1. Cho a < b, chứng minh rằng sin a a; Bài 5.90 : −

(cid:129)

‹

2. Chứng minh rằng sin 2010 − 0; . tan < 3. tan . tan đồng biến trên . Từ đó suy ra 4. tan . π 36 π 20 π 30 π 18 π 4 − sin 2009 + 1 < 0. Bài 5.91 : Chứng minh rằng hàm số y = f (x) = tan x x

β3 6 α3 6

β − > . Bài 5.92 : Chứng minh rằng với 0 < α < β < √6 ta có sin β sin α α −

(cid:129)

‹b

‹a

x với mọi x 0. Bài 5.93 : Chứng minh rằng ln(1 + x) x2 2 ≥ − x ax2 đúng với mọi x 0. ≥ Bài 5.94 : Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức ln(1 + x) ≥ − ≥ 1 + x với mọi Bài 5.95 : Tìm tất cả các số thực dương a để ax

‹x+b

‹b

b > 0. Chứng minh rằng . Bài 5.96 : Cho a ≥ 2a + 1 2a 0. ≥ 2b + 1 2b ≥ ≤

(cid:129) x + a x + b

> . Bài 5.98 : Cho x, a, b > 0 và a , b. Chứng minh rằng Bài 5.97 : Chứng minh rằng (2x + 3x)y < (2y + 3y)x với mọi x > y > 0. (cid:129) a b Bài 5.99 : Chứng minh rằng x > ln(1 + x) với mọi x > 0.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 90

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ

(4; + ) ta luôn có 2x > x2. Bài 5.100 : Chứng minh rằng với x ∈ ∞

(cid:17)

f (x) = c 1. Nếu f (x) c và g(x) c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với ≥ ≤ g(x) = c.

2. Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f [u(x)] = f [v(x)] tương đương

với u(x) = v(x).

3. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

4. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số) nếu có

nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

5. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) f (v) tương đương với u v. ≥

≥ 6. Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) f (v) tương đương với u v. ≥ ≤

Bài 5.101 : Giải các phương trình

3√x + 2 + 3√x + 1 = 3√2x2 + 1 + 3√2x2;

3. 1. √3x + 1 + x + √7x + 2 = 4;

3√x + 1 + 3√x + 2 + 3√x + 3 = 0.

1 + 3√2x 4. 2. √5x3 1 + x = 4; − −

Bài 5.102 : Giải bất phương trình

1 + √x + 3 1. √5x 4; ≥ −

2x + 2x 2. 3 √3 6; − ≤ 5 √2x 1 − − 1) 3 √x + 6 4 √(x + 6)(2x 3. √(x + 2)(2x 1) + 3 √x + 2; − − ≤ −

x; − 4. √2x3 + 3x2 + 6x + 16 < 2 √3 + √4 −

5. √x + 9 + √2x + 4 > 5.

Bài 5.103 : Giải các hệ phương trình

x3 3x = y3 3y √2x + 1 y √2y + 1 = x x = y − − − 1 x − 2. 3. 1. x6 + y6 = 1. − 12xy + 9y2 + 4 = 0. x2 1 y − √x + y √y = 2. −

√1 3x + 4 = 0. Bài 5.104 : Giải phương trình : x5 + x3 − 2 + √x2 + 8. − Bài 5.105 : Giải phương trình : √x2 + 15 = 3x −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 91

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

7 + 4√7x 5 + 5√13x 7 < 8. Bài 5.106 : Giải bất phương trình : √x + 1 + 3√5x − − −

+ 1 2x3 + 5x2 7x + 17. Bài 5.107 : Giải bất phương trình : 2x + √x + √x + 7 + 2 √x2 + 7x < 49. Bài 5.108 : Giải phương trình : 5x + 4x + 3x + 2x = 1 2x + 1 3x 6x − −

Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số

cot x cot y = x y − (0; π) thỏa mãn hệ : Bài 5.109 : Tìm x, y ∈ − 5x + 8y = 2π.

(cid:17)

Bước 1 : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t.

Bước 2 : Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau:

f (t) = g(m); f (t) g(m); f (t) g(m); f (t) > g(m); f (t) < g(m). ≥ ≤

Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m.

Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số f (t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1.

Bước 4 : Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f (t). Sử dụng các kết quả đã nêu ở mục 2, để tìm ra kết luận của bài

toán.

x2+2x, x

−

t 1; 1] thì điều kiện 3 và nếu đặt 1 3 ≤ [ − ≤ ∈ Chú ý : điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t khi x biến thiên để phương trình t = u(x) có nghiệm. Chẳng hạn, nếu đặt t = 3x thì điều kiện t > 0, nhưng vẫn đặt t = 3x, x t = u(x) = 3 √ t [0; 2] điều kiện chặt của t phải là 1 3. ∈ ≤ ≤

3. Bài 5.110 : Cho hàm số : y = mx2 + 2mx −

1. Tìm m để phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong đoạn [1; 2].

2. Tìm m để bất phương trình f (x) 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn [1; 3]. ≥

3. Tìm m để bất phương trình f (x) 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn (1; 4). ≤

Bài 5.111 : Tìm m để phương trình :

•

2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0

0; có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn . π 2 Bài 5.112 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

2x2 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 x = 0. − −

Bài 5.113 : Tìm m để phương trình :

•

2 + 2 sin 2x = m(1 + cos x)2

; . có nghiệm trên đoạn π 2 π 2 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 92

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 5.114 : Tìm m để phương trình √x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.

1 + m √x + 1 = 2 4√x2 1 có nghiệm. Bài 5.115 : Tìm m để phương trình 3 √x − − 5; 1] Bài 5.116 : Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng với mọi x [ − ∈

x2 + 21+ √5 −

−

m. 4 √5 − ≤

m3x + 2m = 0. Bài 5.117 : Cho phương trình 9x −

1. Giải phương trình với m = 2. Tìm m để phương trình trên có nghiệm. 1; −

Bài 5.118 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = √1 + sin x + √1 + cos x.

= m tan 2x. Bài 5.119 : Cho phương trình

− 2. Tìm m để phương trình vô nghiệm. ; cos6 x + sin6 x sin2 x cos2 x 1. Giải phương trình khi m = 13 8

Bài 5.120 : Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)

x + m = 0. 4(log2 √x)2 log 1 2 −

Bài 5.121 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm :

•

4x m.2x m + 3 0 − − ≤

0; Bài 5.122 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn π 2

2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0.

Bài 5.123 : Tìm a để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt :

x2 = x2 5x + a. 5x + 4 |

x 2 − | √18 + 3x m2 x2 − m + 1 nghiệm đúng với mọi x 3; 6]. Bài 5.124 : Tìm m để : √3 + x + √6 − − [ − ∈ − 1 − √x 1)3 có nghiệm. ≤ a( √x Bài 5.125 : Tìm a để bất phương trình : x3 + 3x2 − ≤ x + √4 − − x) có nghiệm. Bài 5.126 : Tìm a để : x √x + √x + 12 = m( √5 − − Bài 5.127 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m( √1 + x2 √1 x2 + 2) = 2 √1 x4 + √1 + x2 √1 x2 − − − − −

Bài 5.128 : Cho phương trình :

3 x +

3 x + 1

log2 log2 2m 1 = 0. − −

1. Giải phương trình khi m = 2;

2. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √3].

x + √x + 2 = 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Bài 5.129 : Tìm m để phương trình 3√m −

5.2 Cực trị của hàm số

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 93

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 1 : Sử dụng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 để xác định các điểm cực trị của hàm số

Bài 5.130 : Xác định các điểm cực trị của các hàm số sau :

4. y = x3(1 x2); 7. y = 2); 1. y = 2x + 3 √x2 + 1; − − − 3x + 14 ; 2. y = cos 2x; 2 √4x 5. y = 1 x2; − −

x2 ; 6. y = ; (x x | | 8. y = cos x + 1 2 9. y = √3 sin x + cos x + 2x + 3 . √1 x2 2 − 2)(x + 3) (x − 3. y = 2x2 + 3x + 1 4x + 3 x2 −

Bài 5.131 : Tìm cực trị của các hàm số :

3x ;

1. y = x √3 x ; + 2 ; 4. y = x2 − 2 | x |

2. y = ; x x2 + 4

; 4x3 24x2 + 48x 3. y = 3x4 3 ; − 5. y = xe− 6. y = x ln x − − −

Vấn đề 2 : Điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x = x0 hoặc đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (x0; y0)

√3 cos x, x [0; π]. Bài 5.132 : Tìm cực trị của hàm số y = sin2 x − ∈ x)2. Bài 5.133 : Cho m là số nguyên dương, hãy tìm cực trị của hàm số : y = xm(4 −

(cid:17)

Chúng ta làm theo phương pháp điều kiện cần và đủ :

Bước 1 : Giả sử hàm số đạt cực trị tại x = x0 suy ra f ′(x0) = 0, tìm được tham số m.

Bước 2 : Với từng giá trị của m vừa tìm được, thử lại xem x0 có đúng là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).

Bước 3 : Kết luận.

• Có thể dùng dấu hiệu 2 để kiểm tả tại bước 2;

• Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp dấu hiệu 2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực đại tại

Chú ý :

f ′(x0) = 0 là lời giả sai lầm, ví dụ hàm số y = x4 đạt cực tiểu tại x = 0, nhưng x = x0 khi và chỉ khi f ”(x0) < 0,

f ′′(0) = 0 chứ không phải là f ′′(0) < 0.

3mx2 + (m2 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 5.134 : Tìm m để hàm số : y = x3 − − 1. Bài 5.135 : Xác định các số a, b, c để hàm số : y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị 0 khi x = 1 và đạt cực trị 0 khi x = −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 94

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 5.136 : Xác định hàm số bậc ba y = f (x), biết rằng nó có cực tiểu 2 khi x = 1 và nếu đem chia f (x) cho x2 + 3x + 2 thì còn dư x + 3. − (m + 3)x2 + mx + m + 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 5.137 : Cho hàm số : y = x3

− m)3 3x. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. − − a2 x3 + 2ax2 là điểm 9x + b đều là những số dương và x0 = 5 9 − − Bài 5.138 : Cho hàm số y = (x Bài 5.139 : Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5 3 cực đại.

3mx2 + 3(m2 1)x (m2 1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. − − − x3 + (m2 5 đạt cực tiểu tại x = 2. − − −

. − m + 2)x2 + (3m2 + 1)x + m sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = π 3

. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. x + m

đạt cực tiểu tại x = 0 và cực đại tại x = 4. bx + a

Vấn đề 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện

x4 ax2 + b có giá trị cực trị bằng 2 khi x = 1. Bài 5.140 : Cho hàm số y = x3 Bài 5.141 : Tìm m để hàm số : y = 1 3 Bài 5.142 : Cho hàm số y = a sin x + 1 3 Bài 5.143 : Cho hàm số y = x2 + mx + 1 Bài 5.144 : Tìm a, b để hàm số y = ax2 + bx + ab Bài 5.145 : Tìm a, b đẻ hàm số y = 1 4 − −

(cid:17) 1. Cực trị hàm bậc 3 : y = ax3 + bc2 + cx + d (a , 0) Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình y′ = 0. 2. Cực trị hàm bậc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a , 0)

- Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt;

x0)P(x) với P(x) là đa thức bậc 2, khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 đổi dấu 1

(a và d khác 0) dx + e

- Khi viết được y′ = (x − lần, tương đương với P(x0) = 0 hoặc ∆P(x) ≤ Chú ý : Hàm bậc 4 có số điểm cực tiểu nhiều hơn cực đại thì a > 0 và số điểm cực đại nhiều hơn cực tiểu thì a < 0. 3. Cực trị của hàm phân thức : y = ax2 + bc + c Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình y′ = 0. Chú ý :

- Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là điểm cực đại, điểm nào là điểm cực tiểu thì ta cần lập bảng biến thiên để xác định

điểm cực trị.

- Với bài toán có vai trò của điểm cực đại và điểm cực tiểu là như nhau thì ta thường dùng định lí Viét.

3mx2 + (m 1)x + 2 có cực trị với mọi giá trị của m. − − x3 + mx2 + (m + 6)x (2m + 1) có cực đại, cực tiểu. Bài 5.146 : Chứng minh rằng hàm số y = x3 Bài 5.147 : Tìm m để hàm số : y = 1 3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 95

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

5 có cực đại, cực tiểu. Bài 5.148 : Tìm m để hàm số : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − 3mx2 + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu. Bài 5.149 : Cho hàm số : y = x3 − (m 1)x 1. Với những giá trị nào của m thì hàm số không có cực trị. Bài 5.150 : Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 − − −

3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1, x2 với −

x3 + (m 2)x2 + (5m + 4)x + m2 + 1 đạt cực trị tại x1 < 1 < x2. − −

x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m2 m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn 1 < x1 < x2. − − (4m3 + 2). Tìm m để hàm số có : Bài 5.151 : Chứng minh rằng : với mọi m, hàm số y = 2x3 x2 − x1 không phụ thuộc vào m. Bài 5.152 : Tìm m để hàm số : y = 1 3 Bài 5.153 : Tìm m để hàm số : y = 1 3 3(m + 2)x2 + 6(5m + 1)x Bài 5.154 : Cho hàm số : y = 2x3 − −

1. đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.

2. hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.

3. ít nhất một điểm cực trị ( 1; 1). −

4. ít nhất một điểm cực trị lớn hơn 9.

5. ít nhất một điểm cực trị có giá trị tuyệt đối lớn hơn 4.

(m 3)x2 + (4m 1)x m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thoả mãn điều − − − −

− x3 (m 1)x2 + 3(m . Bài 5.155 : Cho hàm số y = x3 kiện x1 < 2 < x2. Bài 5.156 : Cho hàm số y = 1 3 2)x + 1 3 − − − Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1.

Bài 5.157 : Chứng minh rằng với mọi a, hàm số :

y = 2x3 3(2a + 1)x2 + 6a(a + 1)x + 1 −

luôn đạt cực trị tại x1, x2. Tìm a sao cho các giá trị cực trị tương ứng y1, y2 thỏa mãn y1 + y2 = 1.

3mx2 + (2m + 1)x + 3 m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực − −

2 ≤

x3 + (cos a 3 sin a)x2 8(cos 2a + 1)x + 1 đạt cực trị tại x1, x2. Chứng minh rằng : − − + x2

x3 sin 2a. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa (sin a + cos a)x2 + 3x 4 1 2 − + x2 2.

x3 + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x. Bài 5.158 : Cho hàm số : y = mx3 tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5.159 : Giả sử hàm số : y = 2 3 x2 18 với mọi a. 1 Bài 5.160 : Cho hàm số : y = 1 3 mãn : x1 + x2 = x2 1 Bài 5.161 : Cho hàm số : y = 2 3

1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm lớn hơn 1.

3. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm max của A = 2(x1 + x2) . |

x3 mx2 x1 x2 − | x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm cực trị là nhỏ nhất. −

x3 − mx2 + mx 8. 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn Bài 5.162 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 1 3 Bài 5.163 : Tìm m để hàm số y = 1 3 − − x1 − | x2| ≥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 96

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3ax2 + 4a3 đối xứng qua đường thẳng y = x. Bài 5.164 : Tìm a để các điểm cực trị của đồ thị hàm số : y = x3 − Bài 5.165 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số :

y = x3 3(m 1)x2 + 2(m2 3m + 2)x m(m 1). − − − − −

mx2 3x + m. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời − − Bài 5.166 : Cho hàm số y = 4x3 hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số là trái dấu.

3mx2 + (2m + 1)x + 3 m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. − Bài 5.167 : Cho hàm số y = mx3 − Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

1)x2 + (m2 4m + 1)x 2(m2 + 1). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 − − − (x1 + x2). Bài 5.168 : Cho hàm số y = x3 + 2(m = 1 sao cho : 2 1 x1

3x2 mx + 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực − − + 1 x2 Bài 5.169 : Cho hàm số y = x3 tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng y = x 1.

1)x2 + 6m(1 2m)x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường − − − Bài 5.170 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = 2x3 + 3(m thẳng y = 4x. −

Bài 5.171 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x3 + mx2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = 3x 7. − 1)x2 + (2m2 3m + 2) m(m 1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực − − − − Bài 5.172 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3(m trị tạo với đường thẳng y = x + 5 một góc 45◦. 1 4 −

x . Bài 5.173 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 5 3x2 + m2x + m có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = 1 2 2 3(3m + 1)x2 + 12(m2 + m)x + 1 có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường − − Bài 5.174 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.

3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x 2m(m + 2) có cực đại, cực tiểu. Viết phương − Bài 5.175 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.

3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường − Bài 5.176 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 thẳng y = x + 2.

3mx2 + (2m + 1)x + 3 m có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó − − Bài 5.177 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.178 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 2 có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

x2 + 2x 8m có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó đường thẳng đi − − Bài 5.179 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

(2m + 1)x2 + (3m + 1)x m 1 có đường thẳng đi qua hai đường thẳng cực − − − x + 1 một góc 45◦.

3x 3m + 2 luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để cực đại, cực − − . 1 4 4 −

2(1 x3 = 1. sin a)x2 + (1 + cos 2a)x + 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn : x2 1 + x2 2 Bài 5.180 : Tìm m để độ thị hàm số y = x3 trị tạo với đường thẳng y = 19 13 Bài 5.181 : Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x3 + 3mx2 tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x Bài 5.182 : Tìm a để hàm số y = 4 3 −

x3 − (sin a + cos a)x2 + 3 sin 2a x. Bài 5.183 : Cho hàm số y = 1 3 1 2 3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 97

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tìm a để hàm số đồng biến trên R.

2. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = x2 1 + x2 2.

x2 + m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 3m 2 −

(2m + 1) có cực trị. − − m2)x m x − . Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số trên. Bài 5.184 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 y = x. Bài 5.185 : Tìm m để hàm số y = mx2 + (2 2x + m + 2 Bài 5.186 : Cho hàm số y = x2 − x + m 1 − Bài 5.187 : Tìm m để các hàm số sau có cực trị :

m ; ; 5. y = x2 + (m + 2)x + 3m + 2 ; 1. y = x2 + 2m2x + m2 − x + 1 x + 1

m 1)x m ; ; 6. y = mx2 + (m + 1)x + 1 . − − 2. y = x2 + (m + 1)x x + 1 − x + 1 mx + 2

3. y = x2 + 2mx x + m 4. y = x2 + (m m2 . Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng qua các − x2 + mx m x − Bài 5.188 : Cho hàm số y = − điểm cực trị trên.

Bài 5.189 : Tìm α để các hàm số sau có cực đại, cực tiểu.

(cid:129)

‹

1. y = x2 + 2x cos α + 1 ; 2. y = x2 cos α + x + sin2 α cos α + sin α . x + 2 sin α

x + cos α a sin2 α) 0; . với a > 0 và α − − π 2 a cos α)(x x ∈ 2m 4 có cực đại và cực tiểu. −

m2)(mx + 1) có cực trị.

8 . − x Bài 5.190 : Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau : y = (x Bài 5.191 : Tìm m để hàm số y = x2 + mx − x + 2 Bài 5.192 : Tìm m để hàm số : y = 2m2 x2 + (2 − mx + 1 Bài 5.193 : Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x2 + mx m − (m3 m2 2) có cực trị thuộc khoảng (0; 2). 1 để hàm số y = (m + 1)x2 − − − 2mx x − m − có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số vuông x 2 − x .

5m + 3 (0; 2m). − đạt cực trị tại x0 ∈ 2)x có cực trị và tìm quỹ tích hai điểm cực trị đó. x m 1 . Tìm m để đồ thị hàm số trên có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị đó. Bài 5.194 : Tìm m , − Bài 5.195 : Tìm a, b, c để y = ax2 + bx + c góc với đường thẳng y = 1 − 2 Bài 5.196 : Tìm m > 0 để hàm số y = x2 + m2x + 2m2 x Bài 5.197 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x2 + (m − 1 − Bài 5.198 : Cho hàm số y = x2 + mx −

có = 4. − x + 1 x2 + 3x + m 4 x ycđ − | yct| − 2 có < 12. − yct | 2 − − có cực trị và ycđ.yct nhỏ nhất. ycđ − | m2 + 4m 1 − − . Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số có cực trị và khoảng cách giữa hai mx + m 1 − x − Bài 5.199 : Tìm m để hàm số y = − Bài 5.200 : Tìm m để hàm số y = 2x2 + 3x + m x + 2 (m + 1)x Bài 5.201 : Tìm m để hàm số y = x2 x Bài 5.202 : Cho hàm số y = x2 điểm cực trị không đổi.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 98

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

có cực trị nằm hai phía Ox. x

có cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía Ox. −

có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng y = 2x. − Bài 5.203 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx2 + 3mx + (2m + 1) 1 − m + 1 Bài 5.204 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 + (m + 1)x m x − x2 + 2mx 5 1 x − . Bài 5.205 : Tìm m để đồ thị hàm số y = − Bài 5.206 : Cho hàm số : y = x2 + 3x + a x + 1

1. Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị hàm số ấy có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của

hệ trục tọa độ.

2. Chứng minh rằng khi đó, đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.

có cực đại và cực tiểu. x + 1 m2)(mx + 1) . Chứng minh rằng với mọi m , 0 hàm số luôn có cực đại và cực − mx + 1

. Chứng minh rằng với mọi k, hàm số luôn có giá trị cực đại, cực tiểu trái − 2kx + k2 + 1 k x

. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời khoảng cách − − (3m + 2)x + m + 4 1 x −

. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu x + 1 1 = 0. −

. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu − (m + 3)x + 3m + 1 1 x − Bài 5.207 : Với giá trị nào của m thì hàm số : y = x2 + 2m2 x + m2 Bài 5.208 : Cho hàm số : y = 2m2x2 + (2 tiểu. Bài 5.209 : Cho hàm số y = x2 dấu. Bài 5.210 : Cho hàm số : y = x2 giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nhỏ hơn 3. Bài 5.211 : Cho hàm số y = x2 + mx + 3 của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng 2x + y Bài 5.212 : Cho hàm số y = x2 của hàm số cùng âm.

Bài 5.213 : Cho hàm số : y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.

1 hàm số luôn có cực đại, − 0.

4. Với giá trị nào của a thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực −

x4 . Bài 5.214 : Cho hàm số : y = x4 + (m + 3)x3 + 2(m + 1)x2. Chứng minh rằng : với mọi m , đồng thời xcđ ≤ Bài 5.215 : Cho hàm số : y = x4 + 8ax3 + 3(2a + 1)x2 đại. Bài 5.216 : Cho hàm số y = 1 2 mx2 + 1 2 −

1. Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

2. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác :

(a) đều ; (b) vuông ; . (c) có diện tích bằng 1 2

2mx2 + m 1. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Bài 5.217 : Cho hàm số y = x4 − − 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều. Bài 5.218 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x4 −

Bài 5.219 : Chứng minh rằng : hàm số y = x4 + mx3 + mx2 + mx + 1 không thể có đồng thời cực đại và cực tiểu với mọi m R. ∈

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 99

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

R x 256q 27p4. Bài 5.220 : Chứng minh rằng : x4 + px3 + q 0 ∀ ≥ ≥ ∈ 4x3 + x2 + mx ⇔ 1 có cực đại và cực tiểu. Bài 5.221 : Tìm m để hàm số : y = x4 − − Bài 5.222 : Cho hàm số : y = x4 + 2x3 + mx2. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

x4 8mx3 − − − x4 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

3(2m + 1)x2 + 4 chỉ có cục đại mà không có cực tiểu. mx2 + 3 2 − 1)x2 + (1 2m) chỉ có đúng một cục trị. Bài 5.223 : Tìm m để y = Bài 5.224 : Tìm m để hàm số y = 1 4 Bài 5.225 : Tìm m để y = mx4 + (m − − Bài 5.226 : Cho hàm số : y = 3x4 + 4mx3 + 6mx2 + 24mx + 1.

1. Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

2; 2].

x4 (m + 6)x + 1. Tìm m để hàm số có ba cực trị. 2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0 ∈ [ − 2x3 + 3 (m + 2)x2 2 − R − x 256q3 Bài 5.227 : Cho hàm số : y = 1 4 1. Chứng minh rằng : x4 + px + q 27p4. Bài 5.228 : 0 ∀ ≥ ⇔ ≥

0 x ∈ 27p4. Chứng minh rằng : qx4 + px3 + 1 2. Cho 256q3 R. ∀ ∈ ≥ 6mx2 + (m2 + 1)x + 3m2 luôn có ba cực trị, đồng thời gốc tọa độ là trọng tâm của − ≥ Bài 5.229 : Chứng minh rằng : y = 2x4 tam giác tạo bởi ba đỉnh là ba cực trị đó.

5.3 Tiệm cận

Vấn đề 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

(cid:17)

, với P(x), Q(x) là các đa thức. 1. Nếu y = P(x) Q(x)

. (a) Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x = x0 thì đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng. (b) Nếu P(x) và Q(x) có bậc bằng nhau thì đường thẳng y = hệ số cao nhất của P(x) hệ số cao nhất của Q(x)

tử cho mẫu).

2. Để xác định hệ số a, b trong đường tiệm cận xiên y = ax + b với a , 0 của đồ thị hàm số y = f (x) ta làm bước sau :

x →

( f (x) ax) ; − (a) a = lim + ∞

( f (x) ax). f (x) x − f (x) x x → (b) hoặc a = lim x →−∞ , và b = lim + ∞ , và b = lim x →−∞

Chú ý rằng nếu ở trên ta tính được a = 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên mà chỉ có tiệm cận ngang y = b.

Bài 5.230 : Tìm tiệm cận của các hàm số sau:

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 100

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1 ; ; 4. y = 2x 7. y = ; 3 x + 2 − √x + 3 x + 1

; 8. y = √x2 x + 1; − 5. y = 2x2 + x + 1 ; 1 − 3x + 2 − x + 1

; 6. y = √x2 1; 9. y = x + √x2 + 2x. 2 − 1. y = x + 1 2x + 1 2. y = 2x2 x2 − 3. y = 4 + 1 x −

Bài 5.231 : Cho đồ thị các hàm số :

4x + 5 1 ; b) y = x2 ; . c) y = − a) y = 3x2 + x + 1 x 1 − 2x + 1 x2 + x − x + 3 −

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chắn trên hai trục tọa độ.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 với các tiệm cận của đồ thị các hàm số

trên.

có đồ thị (C)1. M là một điểm tùy ý trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại M cắt tiệm cận x Bài 5.232 : Cho hàm số y = 2x + 1 2 − ngang và tiệm cận đứng tại A và B.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

2. Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

3. Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

Vấn đề 2 : Các bài toán về tiệm cận có tham số

sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có x Bài 5.233 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y = x + 1 1 − diện tích nhỏ nhất.

(cid:17)

+ = a c r cx + d

1. Đồ thị hàm số y = ax + b cx + d là đường tiệm cận ngang và x = là đường tiệm cận đứng. y = a c (với a và c khác 0) có tiệm cận đứng (ngang) khi và chỉ khi r , 0. Khi đó d c −

= px + q + 2. Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c r dx + e dx + e Khi đó y = px + q là đường tiệm cận xiên và x = là đường tiệm cận đứng. (với a và d khác 0) có tiệm cận đứng (xiên) khi và chỉ khi r , 0. e d −

có tiệm cận. m x

không có tiệm cận đứng. 3x + m m − x

và y = ax2 + bx + c

1Các khẳng định của bài này đúng cho mọi hàm số phân thức y = ax + b cx + d

dx + e

− 2 không có tiệm cận đứng. − Bài 5.234 : Tìm m để hàm số y = x2 − Bài 5.235 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x2 Bài 5.236 : Tìm m để hàm số y = mx2 + 6x x + 2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 101

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0). x2 + x + a x + a 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa x

, với α [0; π]. Bài 5.237 : Tìm a để y = − Bài 5.238 : Cho hàm số y = x2 + mx − 1 − độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 5.239 : Cho hàm số y = x2 + 2x cos α + 1 x + 2 sin α ∈

1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

2. Tìm α để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.

2)x 2 có đồ thị là (C). Bài 5.240 : Cho hàm số y = mx2 + (3m2 − − x + 3m

1. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của (C) bằng 45◦.

2. Tìm m để (C) có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4.

5.4 Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị

Vấn đề 1 : Tâm đối xứng, trục đối xứng

(cid:17)

1. Điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) nên y0 = f (x0).

2 2. Hai điểm M, N đối xứng qua điểm I khi và chỉ khi I là trung điểm MN, tức là . xI = xM + xN yI = yM + yN 2

MN ⊥−→u ∆ 3. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi Trung điểm I của MN thuộc ∆.

có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

(cid:129)

‹

các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(1; 1). 2x

Vấn đề 2 : Khoảng cách

0; các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I . 5 2 1 − các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x 1. 1 x − Bài 5.241 : Tìm m để trên đồ thị hàm số y = x2 + 2m2 x + m2 x + 1 Bài 5.242 : Tìm m để trên đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 9x + 4 có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. Bài 5.243 : Tìm trên đồ thị hàm số y = 3x + 4 1 − Bài 5.244 : Tìm trên đồ thị hàm số y = x2 + x + 2 x Bài 5.245 : Tìm trên đồ thị hàm số y = x2 −

(cid:17)

1. MN = È yN)2; (xM −

. | xN)2 + (yM − 2. M(x0; y0) và ∆ : Ax + By + C = 0 thì d(M, ∆) = | Ax0 + By0 + C √A2 + B2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 102

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3x2 + 1 có đồ thị (C). Bài 5.246 : Cho hàm số : y = x3 −

1. Tìm hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua điểm A(0; 2). −

2. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = x 1 là bằng √2, biết điểm M có tung độ − dương.

1 để OM đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng − Bài 5.247 : Tìm điểm M thuộc parabol (P) : y = x2 OM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.

để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

5 Bài 5.248 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = 3x − 2 x − 1 để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ x Bài 5.249 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x2 + 2x − 2 − nhất.

để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5.250 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x

6 để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ x − 3 1 − x + 1 Bài 5.251 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x2 + x − nhất.

các điểm M, N để độ dài MN nhỏ nhất.

5 các điểm M, N để độ dài MN nhỏ nhất. Bài 5.253 : Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số y = − − 9 Bài 5.252 : Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số y = 4x − 3 x − x2 + 2x 1 x −

(C). Bài 5.254 : Cho đồ thị hàm số y = x2 + 5x + 15 x + 3

1. Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên.

2. Tìm trên (C) các điểm M để khoảng cách từ M đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ M đến Oy.

5.5 Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị

x0; y0) đối xứng nhau qua gốc toạ độ. −

− − y0) đối xứng nhau qua trục hoành. x0; y0) đối xứng nhau qua trục trục tung. − + Hai điểm M0(x0; y0) và M1( + Hai điểm M0(x0; y0) và M2(x0; + Hai điểm M0(x0; y0) và M3( Vẽ đồ thị hàm số

3) . − (C0) x y = f (x) = (x + 1)(x 2 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 103

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

y = (x+1)(x − 2 x −

8 7 6 5 4 3 2 1

x O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − −

1 2 3 4 5 6 7 − − − − − − −

Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau:

3) . y = f (x) = − (C1) (x + 1)(x 2 x − − −

Từ (C0) chuyển sang (C1) bằng cách lấy đối xứng (C0) qua trục hoành.

(x+1)(x − 2 x −

y y = −

6 5 4 3 2 1

x O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − −

(cid:12)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 − − − − − − − − −

(cid:12)

f (x) nếu f (x) 0 (ở phía trên trục hoành) 3) = = ≥ y = − (C2) (x + 1)(x 2 x f (x) | | f (x) nếu f (x) < 0. − −

Từ (C0) chuyển sang (C2) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của (C0) qua trục hoành.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 104

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:12)

y 3) y = − (x + 1)(x 2 x −

8 7 6 5 4 3 2 1

x O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − −

1 2 3 4 5 6 7 − − − − − − −

f (x) nếu x 0 (ở bên phải trục tung) 3) = ≥ x | (C3) x | − 2 y = f ( | ) = ( x | | f ( x) nếu x < 0. + 1)( | x | − | −

Từ (C0) chuyển sang (C3) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung của (C0) qua trục tung.

+1)( x x | |− | 2 x |−

y = ( |

8 7 6 5 4 3 2 1

x O 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − − − − −

1 2 3 4 5 6 7 − − − − − − −

(x+1)(x − 2 x − (x+1)(x − 2 x −

= f (x) nếu x 1 (ở bên phải x = 1) 3) = ≥ − − y = | − (C4) = f (x) 1. nếu x < (x + 1) (x | 2 x − − − −

Từ (C0) chuyển sang (C4) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = 1 của (C0) qua trục hoành.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 105

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x+1 (x − | 2 x −

y = |

8 7 6 5 4 3 2 1

x O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − −

1 2 3 4 5 6 7 − − − − − − −

(x+1)(x − 2 x − (x+1)(x − 2 x −

= f (x) nếu x 3 (ở bên phải x = 3) = ≥ 3 | − (C5) x 2 = f (x) nếu x < 3. y = (x + 1) | x − − −

2, lấy đối xứng phần bên trái đường − Từ (C0) chuyển sang (C5) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = thẳng x = 2 của (C0) qua trục hoành. −

y = (x+1) 3 x | | − 2 x −

8 7 6 5 4 3 2 1

x O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − −

1 2 3 4 5 6 7 − − − − − − −

3) nếu x 2 (ở bên phải x = 2) 3) ≥ = (C6) = f (x) 3) x = f (x) nếu x < 2. − y = (x + 1)(x − 2 | − | (x + 1)(x − 2 x (x + 1)(x − 2 x − − −

1, lấy đối xứng phần bên trái đường − Từ (C0) chuyển sang (C6) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = thẳng x = 1 của (C0) qua trục hoành. −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 106

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

y = (x+1)(x − 2 x | −

8 7 6 5 4 3 2 1

x O 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 − − − −

1 2 3 4 5 6 7 − − − − − − − muốn vẽ đồ thị các hàm số y = . Ta giữ

v(x) (C1) hoặc y = u(x) u(x) v(x) | | | |

có đồ thị (C). Chú ý : Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y = u(x) v(x) nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng). Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành. Bài 5.255 : Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3 + 3x2 + m = 0. 1)2 Bài 5.256 : Cho hàm số y = (x − x + 2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) ;

2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình = m.

| 1)2 (x − x + 2 | 3x2 + 2 có đồ thị (C). Bài 5.257 : Cho hàm số y = x3 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) ;

k 2x 2 = 2. Biện luận theo k cố nghiệm phương trình x2 . x − − | − 1 | 3 . Bài 5.258 : Cho hàm số y = x2 + x − x + 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ;

2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình :

t4 + (1 m)t2 2m = 0. 3 − − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x2 + x + 1 ; Bài 5.259 :

+ 1 x + 1 m = 0. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x2 + (1 − − x4 2x2 Bài 5.260 : Tìm m để phương trình : x m) | | = log2 m có 6 nghiệm phân biệt. | − 1 | − ; 1. Khảo sát và vẽ đò thị hàm số y = 2x Bài 5.261 :

2. Tìm các giá trị của m để phương trình = m có đúng 2 nghiệm trên [0; π]. 1 − x + 2 2 sin x 1 − sin x + 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 + 3 ; Bài 5.262 :

− 2x2 = m4 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 2m2 ; − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 107

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

m). Bài 5.263 : Cho hàm số y = (x + 1)2(2 −

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên ;

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

(x + 1)2(2 x) = (m + 1)2(2 m). − −

5.6 Bài toán về sự tương giao

. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x Bài 5.264 : 1 − x + 1

2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đã cho 2. Với giá trị nào của m, đường thẳng dm đi qua điểm A( −

(a) Tại hai điểm phân biệt ? (b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?

. Bài 5.265 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x + 2 2x + 1

2. Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (C) khi m biến thiên. −

3. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (C).

. Bài 5.266 : x + 1 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 − x − 2. Với giá trị nào của m đường thẳng y = m x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ? −

3. Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x 4m(m + 1) cắt trục hoành tại ba điểm phân − −

(cid:129)

‹

x và đường thẳng y = 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt đối − −

2; có đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm sao cho d cắt (C) 2 5

8 có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho − x Bài 5.267 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 biệt có hoành độ lớn hơn 1. Bài 5.268 : Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x2 + 2x x + 1 xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Bài 5.269 : Cho hàm số y = x2 + 3 x + 1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung điểm đoạn AB. Bài 5.270 : Cho hàm số y = x2 + mx m − tiếp tuyến với (C) tại A và B vuông góc với nhau.

x2 + 18mx 2m. Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành −

1 có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt đường thẳng y = x + m tại hai điểm phân biệt A x − Bài 5.271 : Cho đường cong y = x3 − độ x1, x2, x3 sao cho x1 < 0 < x2 < x3. Bài 5.272 : Cho hàm số y = x2 + x − 1 − và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C).

có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y = m luôn cắt (C) tại hai điểm x2 + x + 1 1 x −

có đồ thị (C). Tìm k để đường thẳng y = 2kx k cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh 3x 2 − − −

có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y = mx + 2 m cắt (C) tại hai điểm thuộc x + 2 − Bài 5.273 : Cho y = − phân biệt A, B. Tìm m để A, B ngắn nhất. Bài 5.274 : Cho hàm số y = 2x2 x của (C). Bài 5.275 : Cho hàm số y = x2 + 4x + 1 cùng một nhánh của (C).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 108

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1 . Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm A, B thỏa mãn − x Bài 5.276 : Cho hàm số y = x2 + mx 1 − OA OB. ⊥

x m có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 3 − − 3mx2 + 3(m2 1)x m2 + 1. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành − − − Bài 5.277 : Tìm m để (Cm) : y = x3 + (1 + m)x2 + 2mx + m2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm. Bài 5.278 : Cho hàm số y = x3 Bài 5.279 : Cho (Cm) : y = x3 độ dương.

2mx2 + (2m2 1)x + m(1 m2). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có − − − Bài 5.280 : Cho (Cm) : y = x3 hoành độ dương.

1 tại hai điểm A, B phân biệt sao cho x − 1 − m + 2 cắt đồ thị hàm số y = x2 + x −

(C) và điểm A( 2; 5). Xác định đường thẳng d song song với đường thẳng x − − Bài 5.281 : Tìm m để đường thẳng y = mx tam giác OAB đều. Bài 5.282 : Cho đồ thị hàm số y = 2x + 1 1 y = x + 5 và cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều.

(cid:129)

‹

tại hai điểm A và B phân 1 − x + 3 + 3 x − Bài 5.283 : Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y = biệt. Tìm m để khoảng cách AB là ngắn nhất.

2; tại A, B phân Bài 5.284 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 2 5 sao cho d cắt đồ thị hàm số y = x2 + 3 x + 1 biệt và M là trung điểm AB.

5) + 10 cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm A, B phân biệt sao cho 2x + 9 2 − x − − Bài 5.285 : Tìm m để đường thẳng y = m(x M(5; 10) là trung điểm AB.

5.7 Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến

Vấn đề 1 : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm

(cid:17)

1. Tính x0 và y0;

x0) + y0. 2. Thay vào phương trình tiếp tuyến y = y′(x0)(x −

2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(0; 3). Bài 5.286 (TN07) : Cho hàm số y = x + 1

2x − x3 + 3x2 1 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn. Bài 5.287 (TN07) : Cho hàm số y = − −

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1; 7). −

− Bài 5.288 (TN07) : Cho hàm số y = x4 2x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C). − Bài 5.289 (TN07) : Cho hàm số y = x 1 − x + 2 Bài 5.290 (TN07) : Cho hàm số y = 3x + 4 3 2x − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; 4). Bài 5.291 (TN07) : Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. Bài 5.292 (TN08) : Cho hàm số y = x3 − 2x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng x = 2. Bài 5.293 (TN08) : Cho hàm số y = x4 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 109

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 5.294 : Trong các bài từ 5.286 đến 5.293 hãy tính diện tích tao giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai trục tọa độ.

. Tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số và viết phương trình tiếp tuyến tại các Bài 5.295 : Cho hàm số 2x x

x3 2x2 + 3x. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số tại điểm uốn và − 3 − 2 − điểm đó. Bài 5.296 : Cho hàm số y = 1 3 chứng minh rằng tiếp tuyến đó là tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất.

3x2 + 9x 4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đồ − − Bài 5.297 : Cho hàm số y = 2x3 thị các hàm số sau :

x2 + 8x 4x2 + 6x 1. d : y = 7x + 4; 2. (P) : y = 3; 7. 3. (C′) : y = x3 − − − −

x4 + 2mx2 Bài 5.298 : Cho hàm số y = 2m + 1 có đồ thị là (Cm). − −

1. Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.

2. Tìm m để hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.

có đồ thị là (C). Bài 5.299 : Cho hàm số y = x2 + 2x + 2 x + 1

1. Giả sử A là điểm thuộc (C) có hoành độ là a. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A.

2. Xác định a để d đi qua điểm M(1; 0).

(C). Tìm các cặp điểm phân biệt trên (C) mà các tiếp tuyến tại đó song song với 1 x + 1 − Bài 5.300 : Cho hàm số y = x nhau.

3x + 1. Tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm B không −

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là x0. Tìm tọa độ 1 − x + 1 Bài 5.301 : Cho điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị (C) hàm số y = x3 trùng với A. Tìm hoành độ của B theo x0. Bài 5.302 : Cho hàm số y = x các giao điểm của tiếp tuyến đó với các trục tọa độ và với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

m(x + 1) (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung. Tìm −

2 (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ tại hai điểm x − 2

, (C). Tìm các điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm 1

m)x (C) (với m , 0). Chứng minh rằng tại mọi điểm của (C) tiếp tuyến luôn cắt − mx + 2

8 (C). Xác định m để (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại − x

(C). Xác định m để (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại x + 1 Bài 5.303 : Cho hàm số y = x3 + 1 m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 5.304 : Cho hàm số y = x2 + x − A, B và tam giác OAB cân. Bài 5.305 : Cho hàm số y = x + 1 + 1 x − đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Bài 5.306 : Cho hàm số y = 2x2 + (6 hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. Bài 5.307 : Cho hàm số y = x2 + mx m − hai điểm đó vuông góc với nhau. Bài 5.308 : Cho hàm số y = 2x2 + mx + m hai điểm đó vuông góc với nhau.

m 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cố định của đồ thị hàm số. Bài 5.309 : Cho hàm số y = x3 + mx2

− − 3mx + 3m 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn luôn đi qua − − Bài 5.310 : Cho hàm số y = x3 một điểm cố định.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 110

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 5.311 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn đi qua điểm M(1; 0).

, biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục Bài 5.312 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 5. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm ấy vuông góc với nhau. Bài 5.313 : Tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 1 x

. tọa độ một tam giác có diện tích 1 2

Bài 5.314 : Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx+1 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc. 1 Bài 5.315 : Cho hàm số y = 2x − 1 x − tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm AB.

2. Chứng minh rằng S IAB không đổi.

3. Tìm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.

(C) và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Tiếp 3x + 4 2 − 2x − Bài 5.316 : Cho hàm số y = x2 tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm AB.

2. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là không đổi.

3. Chứng minh rằng S IAB không đổi.

Vấn đề 2 : Hai đường cong tiếp xúc

4. Tìm M để tam giác IAB nhỏ nhất.

(cid:17) Hai đường cong y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chit khi hệ phương trình

f (x) = g(x)

f ′(x) = g′(x)

có nghiệm. Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm tiếp xúc.

5x2 + 4 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x2 + a. − 3 − có đồ thị (Cm). Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) có đồ thị tiếp xúc với x + m Bài 5.317 : Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số y = x4 Bài 5.318 : Cho hàm số y = 2x2 + (m + 1)x parabol (P) : y = x2 + 5.

1)2 tiếp xúc với (P) : y = ax2 3. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến chung − −

Bài 5.319 : Tìm a để (C) : y = (x + 1)2(x của (P) và (C). Bài 5.320 : Cho y = mx2 + 3mx + 2m + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với d : y = m. x + 2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 111

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 3 : Tiếp tuyến đi qua một điểm

3(m + 3)x2 + 18mx Bài 5.321 : Cho y = 2x3 8. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. − − Bài 5.322 : Cho hàm số y = x3 + k(x + 1) + 1. Tìm tất cả giá trị k để đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số.

(cid:17) Yêu cầu bài toán là viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số y = f (x) biết tiếp tuyến đi qua A(xA; yA).

Cách 1 : (a) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc là k, khi đó phương trình tiếp tuyến là y = k(x xA) + yA. − f (x) = k(x xA) + yA − (b) Theo điều kiện tiếp xúc ta có hệ f ′(x) = k.

Cách 2 : x0) + y0.

− x0) + y0. Từ đó tìm được x0, vì vậy viết được phương trình (a) Giả sử hoành độ tiếp điểm là x0, khi đó phương trình tiếp tuyến là y = f ′(x0)(x (b) Do tiếp tuyến đi qua A, nên ta có yA = f ′(x0)(xA − tiếp tuyến.

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm

Bài 5.323 (TN05) : Cho hàm số y = 2x + 1 x + 1 A( 1; 3). − 3x2 + 2. Bài 5.324 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 1) và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 − 4x3 qua A(1; 3).

− có đồ thị (C). Chứng minh rằng qua A(1; 1) ta luôn vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông − Bài 5.325 : Viết phương trình tiếp tuyến của y = 3x Bài 5.326 : Cho y = x + 1 x + 1 góc.

‹

3x2 + 2 (C). Bài 5.327 : Cho hàm số y = x3 −

(cid:129) 23 9

; 2 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến xuất phát từ A . −

2. Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. −

x3 + 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). Bài 5.328 : Cho hàm số y =

12x + 12 (C). Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). − Bài 5.329 : Cho hàm số y = x3 − 12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = − 4 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến − − Bài 5.330 : Cho hàm số y = x3 đến đồ thị.

x4 + x2 1. − −

(C). Tìm các điểm M trên trục tung để từ đó kẻ được tiếp tuyến đến (C) song

6x + 9 − x + 2 − x.

có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một x

. x Bài 5.331 : Tìm điểm A trên trục tung, sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = Bài 5.332 : Cho hàm số y = x2 3 song với d : y = 4 − Bài 5.333 : Cho hàm số y = x + 1 1 − tiếp tuyến đến (C). Bài 5.334 : Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = x + 3 1 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 112

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

hai tiếp tuyến vuông góc với x + 1

Vấn đề 4 : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

3 . Bài 5.335 : Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ được đến đồ thị hàm số y = 2x2 + x + 1 nhau. Bài 5.336 : Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = x2 + x − x + 2

(cid:17)

1. Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì phương trình hoành độ tiếp điểm là f ′(x) = k.

2. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = . 1 a

− 3. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = a.

Trong trường hợp này ta phải kiểm tra điều kiện song song : Hai đường thẳng y = ax + b và y = a′ x + b′ song song

(cid:12)

a = a′ với nhau khi và chỉ khi b , b′.

(cid:12)

4. Tiếp tuyến hợp với đường thẳng y = ax + b một góc α thì tan α = . k a − 1 + ka

9x + 5. Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc − Bài 5.337 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 bé nhất.

x3 + 3x2 3x + 1. Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc − − Bài 5.338 : Cho hàm số y = lớn nhất.

3x2, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng − x + 5.

3x2 + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng −

, biết tiếp tuyến đó tạo với trục hoành một góc 45◦.

3x2 12x 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết Bài 5.339 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 y = 1 3 Bài 5.340 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 y = 9x + 2010. 2 Bài 5.341 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x − 1 x − Bài 5.342 : Cho hàm số y = 2x3 − − −

1. Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 6x 4.

2. Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = − 1 x + 2. 3 −

3. Tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng y = x + 5 một góc 45◦. 1 2 −

x3 2x2 + x 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết Bài 5.343 : Cho hàm số y = 1 3 − −

1. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2. −

2. Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc 60◦.

3. Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc 45◦.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 113

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

4. Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 75◦.

5. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2.

− 6. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2x 3. −

7. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3x + 7 góc 45◦.

8. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = x + 3 góc 30◦. 1 2 −

x4 x2 + x 5 song song với đường thẳng 1 3 x3 + 1 2 − − Bài 5.344 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1 4 y = 2x 1. − 2x2 + 4x 1 song song với đường thẳng y = x + 3. Bài 5.345 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 1 4 − − − 1 . x của đồ thị hàm số y = x2 x − − x + 1 −

. Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số có tiếp tuyến vuông góc với x + 1

, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 3 4 − − 2x. − , biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng y = 3x một

Bài 5.346 : Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = Bài 5.347 : Cho hàm số y = x2 + 3x + 4m đường phân giác thứ nhất. Bài 5.348 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x 5x y = 3 Bài 5.349 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x − 1 x − góc 45◦.

5.8 Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH

. 1 Bài 5.350 (CĐ08) : Cho hàm số y = x x − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

(2m 1)x2 + (2 m)x + 2 (1), với m là tham số thực. − Bài 5.351 (CĐ09) : Cho hàm số y = x3 − − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành

độ dương.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 1. Bài 5.352 (CĐ10) : −

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. − x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m là tham số). Bài 5.353 (A02) : Cho hàm số : y = − − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

x3 + 3x2 + k3 2. Tìm k để phương trình : 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt. − −

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

(1) (m là tham số ). Bài 5.354 (A03) : Cho hàm số : y = mx2 + x + m x 1 − Trang 114

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. −

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.

3 (1). Bài 5.355 (A04) : Cho hàm số : y = − x2 + 3x − 1) 2(x − 1. Khảo sát hàm số (1).

2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.

(*) (m là tham số). Bài 5.356 (A05) : Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : y = mx + 1 x

. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 1 4

. 2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ các điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 1 √2

9x2 + 12x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = 2x3 4. Bài 5.357 (A06) : − −

= m. 9x2 + 12 | x |

(1), m là tham số.

3 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : 2 x | | − Bài 5.358 (A07) : Cho hàm số : y = x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m

x + 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. −

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một

tam giác vuông tại O.

2)x 2 (1), với m là tham số thực. Bài 5.359 (A08) : Cho hàm số y = mx2 + (3m2 − − x + 2m

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45◦,

(1). Bài 5.360 (A09) : Cho hàm số y = x + 2 2x + 3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

phân biệt A và B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

2x2 + (1 m)x + m (1), m là tham số thực. Bài 5.361 (A10) : Cho hàm số y = x3 − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

3 <

+ x3 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x2 1 + x2 2

9)x2 + 10 (1) (m là tham số). Bài 5.362 (B02) : Cho hàm số : y = mx4 + (m2 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị.

3x2 + m (1) (m là tham số). Bài 5.363 (B03) : Cho hàm số : y = x3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 115

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

x2. − x3 2x2 + 3x (1) có đồ thị (C). Bài 5.364 (B03) : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = x + √4 Bài 5.365 (B04) : Cho hàm số : y = 1 3 −

1. Khảo sát hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ

nhất.

trên đoạn [1; e3].

) (m là tham số). Bài 5.366 (B04) : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ln2 x x Bài 5.367 (B05) : Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : y = x2 + (m + 1)x + m + 1 x + 1 ( ∗

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 1.

2. Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó

bằng √20.

1 . Bài 5.368 (B06) : Cho hàm số : y = x2 + x − x + 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị (C).

x3 + 3x2 + 3(m2 1)x 3m2 1 (1), m là tham số. Bài 5.369 (B07) : Cho hàm số : y = − − −

− 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O.

6x2 + 1 (1). Bài 5.370 (B08) : Cho hàm số : y = 4x3 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

1; 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm ( 9). − −

4x2 (1). Bài 5.371 (B09) : Cho hàm số y = 2x4 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

x2 2. Với các giá trị nào của m, phương trình x2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. 2 | − | 1 x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm − x −

. Bài 5.372 (B09) : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = phân biệt A và B sao cho AB = 4. Bài 5.373 (B10) : Cho hàm số y = 2x + 1 x + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích − 2. Tìm m để đường thẳng y = bằng √3 (O là gốc tọa độ).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 116

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

m2 (1) (m là tham số). Bài 5.374 (D02) : Cho hàm số : y = (2m − − x 1)x 1 − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = 1. −

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ.

3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = x2 (1). Bài 5.375 (D03) : 2x + 4 2 − x − 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. 2. Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 − trên đoạn [ 1; 2]. − Bài 5.376 (D03) : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x + 1 √x2 + 1

3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số. Bài 5.377 (D04) : Cho hàm số : y = x3 −

1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.

2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.

x3 ) (m là tham số). Bài 5.378 (D05) : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y = 1 3 x2 + 1 3 − ( ∗

m 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 2.

2. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường − thẳng 5x y = 0. −

3x + 2. Bài 5.379 (D06) : Cho hàm số : y = x3 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm

phân biệt.

. Bài 5.380 (D07) : Cho hàm số : y = 2x x + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích

bằng . 1 4

3x2 + 4 (1). Bài 5.381 (D08) : Cho hàm số : y = x3 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba − điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB.

Bài 5.382 (D09) : Cho hàm số y = x4 (3m + 2)x2 có đồ thị là (Cm), m là tham số. −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 0.

2. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

1 tại hai điểm − 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 + x x − Bài 5.383 (D09) : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = − phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 117

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x4 x2 + 6. Bài 5.384 (D10) : Cho hàm số y = − −

x 1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 6 −

mx2 + m 1 (1) (m là tham số). Bài 5.385 : Cho hàm số : y = x4 −

− 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 8.

2. Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

(1) (m là tham số). Bài 5.386 : Cho hàm số : y = x2 2x + m 2 − x − 1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [ 1; 0]. −

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

x3 + mx2 2x 2m (1) (m là tham số). Bài 5.387 : Cho hàm số : y = 1 3 1 3 − − −

. 1. Cho m = 1 2

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

(cid:129)

‹

(b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4x + 2.

0; 2. Tìm m thuộc sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đường thẳng : x = 0, x = 2, y = 0

5 6 có diện tích bằng 4.

m)3 3x (m là tham số). Bài 5.388 : Cho hàm số : y = (x − −

1. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1.

3. Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm :

k < 0

3 1 3x − − | − log2 x2 + 1 log2(x 3

1)3 1. x | 1 2 − ≤

(1) (m là tham số). Bài 5.389 : Cho hàm số : y = x2 + mx x − 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số (1) bằng 10 ?

x3 2x2 + 3x (1). Bài 5.390 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 1 3 −

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.

3 4x . Bài 5.391 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x2 − 2(x − 1) − 4x 3 + 2m x 2. Tìm m để phương trình 2x2 = 0 có hai nghiệm phân biệt. − − 1 | | −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 118

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(1) (m là tham số). Bài 5.392 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sin5 x + √3 cos x. Bài 5.393 : Cho hàm số : y = x2 + (2m + 1)x + m2 + m + 4 2(x + m)

1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.

1)(x2 + mx + m) (1) (m là tham số). Bài 5.394 : Cho hàm số : y = (x −

1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 4.

x2)3, với x 1; 1]. − [ − ∈ (1).

Bài 5.395 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x6 + 4(1 1 Bài 5.396 : Cho hàm số : y = 2x − 1 x − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc

với đường thẳng I M.

, x R. x2 2 ≥ − ∈

(1) (m là tham số). Bài 5.397 : Chứng minh rằng : ex + cos x 2 + x Bài 5.398 : Cho hàm số : y = x2 + 5x + m2 + 6 x + 3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; + ). ∞

3x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x3 1. Bài 5.399 : − −

2. Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0; 1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại ba điểm − phân biệt.

3m2 ) (m là tham số). − Bài 5.400 : Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : y = x2 + 2mx + 1 m x − ( ∗ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) ứng với m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.

. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x2 + x + 1 Bài 5.401 : x + 1

2. Viết phương trình đường thẳng qua M( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị (C).

− 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x4 6x2 + 5. Bài 5.402 :

6x2 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : x4 − log2 m = 0. − −

). Bài 5.403 : Cho hàm số : y = x2 + 2x + 2 x + 1 ( ∗

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).

2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I.

x3 + (2m + 1)x2 m 1 (1) (m là tham số). Bài 5.404 : Gọi Cm là đồ thị hàm số y = − − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 119

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

m 1. 2. Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x2 + 3x + 3 . Bài 5.405 : x + 1

= m có bốn nghiệm phân biệt. 2. Tìm m để phương trình

x2 + 3x + 3 x + 1 | |

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x2 + 2x + 5 . Bài 5.406 : x + 1

2. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm dương phân biệt :

x2 + 2x + 5 = (m2 + 2m + 5)(x + 1).

2(x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x4 1). Bài 5.407 : − 2 −

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và tiếp xúc với (C).

2m)x2 + (2 m)x + m + 2 (1). Bài 5.408 : Cho hàm số : y = x3 + (1 − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ

hơn 1.

1 . Bài 5.409 : Cho hàm số : y = x2 x − − x + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua A(0; 5). −

+ x2 + 3x . Bài 5.410 : Cho hàm số : y = x3 3 11 3 − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.

(C). x

Bài 5.411 : Cho hàm số : y = x + 3 1 − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Cho điểm M0(x0; y0) (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh M0 ∈ là trung điểm của đoạn AB.

. Bài 5.412 : Cho hàm số : y = − x2 + 4x + 3 2 x − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng

số.

(Cm). x 2 Bài 5.413 : Cho hàm số : y = x + m + m − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 120

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ O.

2x3 + 6x2 5. Bài 5.414 : Cho hàm số : y = − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

1; 13). − −

Bài 5.415 : Cho hàm số : y = (Cm). 2 x 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( x + 1 + m − − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm) cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông

cân.

(C). Bài 5.416 : Cho hàm số : y = − x + 1 2x + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.

(C). 1 Bài 5.417 : Cho hàm số : y = x x − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

, gọi đồ thị của hàm số là (C).

1 Bài 5.418 (TN2008) : Cho hàm số y = 2x − 1 x − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2; 3).

5.9 Bài tập tổng hợp

9x2 + 12x 4 có đồ thị là (C ). Bài 5.419 : Cho hàm số y = 2x3 − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Tìm m để

(a) Phương trình 2x3 1) = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. − + m = 0 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. − x | 9x2 + 12x + log2(m 9x2 + 12 | 9x2 + 12x + 2m (c) Phương trình 1 = 0 có nhiều hơn ba nghiệm thực phân biệt. − 3 x (b) Phương trình 2 | | 2x3 | − − 4 | 27 sin x + 4m 9 cos 2x − (d) Phương trình sin 3x 5 = 0 có nghiệm. − − −

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết

(a) Hoành độ tiếp điểm bằng -1.

(b) Tung độ tiếp điểm bằng 1.

(d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 12.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 121

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(e) Hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.

(f) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 36x + 5 = 0. −

4. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm E(1; 2). −

5. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua B(2; 0). Tìm k để đường thẳng d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt khác B

sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng . √2 2

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành.

7. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành quanh trục Ox.

x3 + 3x2 + 3(m2 1)x 3m2 Bài 5.420 : Cho hàm số y = 1 có đồ thị là (Cm). − − − −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số có cực trị và

(a) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ.

(b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 √5.

(c) Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 bằng , biết m > 0. 11 5 (d) Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị cách đều đường thẳng x = 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai

điểm cực trị đó.

3. Tìm m để hàm số

(a) Nghịch biến trên tập xác định.

(b) Nghịch biến trên ( ; 2).

1; 2). 4. Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm E( −

5. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 5.421 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng dk lần lượt có phương trình là

y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1. − −

1. Với m = 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

(a) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A, B. Chứng

minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).

(b) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∆ với (C).

∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. (c) Tìm E ∈ (d) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp

điểm là điểm cố định.

(e) Tìm M (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C). ∈

2. Với m là tham số

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 122

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(a) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.

(b) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.

(d) Định m để hàm số đồng biến trong (1; 2).

(e) Định m để hàm số nghịch biến trong (0; + ). ∞

(f) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

(g) Tìm điều kiện giữa k và m để dk cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để dk cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.

1; 1). (h) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm ( −

(i) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

Bài 5.422 : Cho hàm số y = x4 + 8ax3 4(1 + 2a)x2 + 3 có đồ thị là (Ca). −

1. Khi a = 0 :

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0).

(b) Xác định m để tiếp tuyến với (C0) tại M có hoành độ m cắt (C0) tại hai điểm P, Q khác điểm M. Tìm quỹ tích

trung điểm I của PQ khi M thay đổi. Xác định m để m là trung điểm PQ.

: 2. Khi a = 1 2 −

1 2

). (a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

− ) và có hệ số góc bằng -8. Tìm tọa độ các tiếp điểm.

1 2

−

(b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C

3. Khi a chưa biết :

(a) Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Tìm a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại.

(b) Trong trường hợp đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này.

(m3 m2 2) Bài 5.423 : Cho hàm số y = (m + 1)x2 − − − có đồ thị (Cm). 2mx x − m − 1. Khi m = 1 : −

1) tại hai điểm A, B phân −

(a) Gọi dm là đường thẳng có phương trình y = 2x + m. Chứng minh rằng dm luôn cắt (C

biệt. Xác định m để AB ngắn nhất.

1) để khoảng cách MN là ngắn nhất. −

(b) Tim hai điểm M, N thuộc hai nhánh của (C

1) để I M là ngắn nhất với I là giao điểm hai đường tiệm cận. Trong trường hợp này hãy chứng −

1) tại M sẽ vuông góc với I M. −

tỏ tiếp tuyến với (C

2. Khi m = 1 :

(a) Biện luận theo k số tiếp tuyến kẻ từ K(0; k) đến (C1);

(b) Tìm các điểm trên Ox các điểm từ đó vẽ được đúng 1 tiếp tuyến với (C1);

điểm EF và tam giác IEF có diện tích không đổi.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 123

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

4 cắt đường thẳng y = mx + 2 tại ba điểm phân −

2 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt

Bài 5.424 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 5.425 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 + 3x − x + 1 A, B sao cho OA OB. ⊥ 3x + 2 sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm − 3x + 2 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. − thì trực tâm của tam giác ABC x Bài 5.426 : Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng y = số y = x3 Bài 5.427 : Chứng minh rằng với ba điểm A, B, C phân biệt thuộc đồ thị hàm số y = x + 1 2 − cũng thuộc đồ thị hàm số này.

(m2 + 10)x2 + 9 luôn cắt trục hoành tại bốn điểm

Bài 5.428 : Chứng minh rằng với mọi m , 0 thì đồ thị hàm số y = x4 phân biệt trong đó có hai điểm nằm trong khoảng ( − 3; 3) và hai điểm nằm ngoài khoảng ( 3; 3). − − 3(m + 1)x2 + 9x 2. m đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho − x1 − | x2| ≤ , biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 3x + y = 0. x

Bài 5.429 : Tìm m để hàm số y = x3 − Bài 5.430 : Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 1 2 − 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y = m tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành Bài 5.431 : Tìm m để đường thẳng 2x + 2y x − x + 2 −

. 3 8

, biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số này tại M cắt hai trục Ox, Oy tại 1

3 và cách đều hai đường tiệm cận. − một tam giác có diện tích bằng Bài 5.432 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x x − hai điểm A, B và tam giác OAB có số đo các góc lập thành một cấp số cộng. 2x2 + 3x 1 x − có một điểm cực trị thuộc góc

+ 2 có giá sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = x 4 Bài 5.433 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y = − Bài 5.434 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx2 + (m2 + 1)x + 4m2 + m x + m phần tư thứ II và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt phẳng tọa độ. Bài 5.435 : Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y = 2x + 1 x + 1 trị nhỏ nhất.

3x2 + mx có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau − 2y 5 = 0. − mx2 + 2(m (m + 1)x3 1)x đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + x2 = 1. − − 2 3 − 2m(m 1)x2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh − − Bài 5.436 : Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x3 qua đường thẳng x − Bài 5.437 : Tìm m để hàm số y = 1 3 Bài 5.438 : Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x4 của một tam giác vuông.

9x2 + 1. Bài 5.439 : Cho hàm số y = 8x4 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

8 cos4 x [0; π]. 9 cos2 x + m = 0 với x −

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho m + 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y = − ∈ 2x + 3 x + 1 − Bài 5.440 : Tìm m để đường thẳng x + y IA IB, với I( 1; 4). ⊥ − 3x2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tung tại − Bài 5.441 : Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = 2x3 điểm có tung độ bằng 8.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 124

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích x

tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua 1 − x + 1 Bài 5.442 : Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 1 1 − không đổi. Bài 5.443 : Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = x đường thẳng x 2y + 3 = 0. − 2x2 + 2, biết tiếp tuyến này đi qua điểm A(0; 2). − x3 mx2 + (2m 1)x m + 2 có hai điểm cực trị với hoành độ − − − Bài 5.444 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 Bài 5.445 : Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 1 3 dương.

2(mx)2 + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông. − sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ

Bài 5.446 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 Bài 5.447 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm số y = 2x + 1 x + 1 nhất.

3(m + 1)x2 + 2mx m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng − − Bài 5.448 : Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x3 khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng x = 1.

3mx2 + 2(m 1)x 1 m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng − − − − Bài 5.449 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng x = 1.

3x + 2 (1). Bài 5.450 : Cho hàm số y = x3 −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

x3 2. Tìm a > 0 để phương trình = log2 a có đúng bốn nghiệm thực phân biệt. | 3x + 2 | −

= x2.

, biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

Bài 5.451 : Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2 x + 1 đạt cực đại tại x1, đạt cực tiểu tại x2 thỏa mãn x2 1 1 Bài 5.452 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x − 1 x A và B thỏa mãn OA = 4OB. −

Bài 5.453 : Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2m2x2 + 1 tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn có cực − Bài 5.454 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số y = 2x3 đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu là không đổi.

tại hai điểm phân biệt A, B x 1 − m + 2 cắt đồ thị hàm số y = 2x − Bài 5.455 : Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

2mx2 + 3m + 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng

sao cho khoảng cách từ điểm I( 1; 2) tới tiếp tuyến tại M là lớn 1 − x + 1 −

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có − (m + 5)x + m 1 x

x1 − x2| |

tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của − − 2mx + m2 1 x − Bài 5.456 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác có diện tích bằng 1. Bài 5.457 : Tìm điểm M thuộc dồ thị hàm số y = 2x nhất. Bài 5.458 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 hoành độ lần lượt là x1, x2 sao cho T = đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5.459 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 đồ thị tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = x.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 125

Chương 6

Mũ và lôgarít

6.1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa

(cid:16)

(cid:17)²⁄œ₃

– √x

Bài 6.1 : Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó :

™²⁄œ₃ .

€

Š2

–

™2

4√b

4√a + 4√b

4√a

5 . 3

√y √y : . + : 3. R = x + y³⁄œ₂ : √x x²⁄œ₃. 3√x x √x y − y √y − √x √x 1. P = x³⁄œ₂ + y³⁄œ₂ xy)²⁄œ₃ (x2 √y − − − Š2 + € 2 3√x − 2. Q = a3 a. √a. 4. T = √x2 + 8x + 16. a + √ab x 3√x 4 3√x − 1 4x¹⁄œ₂ − x¹⁄œ₂ − −

x)2

Bài 6.2 : Cho x < 0, chứng minh rằng :

x)2

1 + (2x 2− − = 1 2x 1 + 2x . − − 1 + (2x 2− 1 + 1 4 1 + 1 4 −

. 2 2− và g(x) = 2x Bài 6.3 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = 2x + 2− Bài 6.4 : Xét hàm số f (x) = 2x + 2− . Chứng minh rằng với mọi x1, x2 ta có các hệ thức sau : − 2 2

1. x2) = 2 f (x1) f (x2).

f (x1 + x2) + f (x1 − 2. g(2x1) = 2g(x1) f (x1).

‹

(cid:129) 1

(cid:129) 2

3. 1. −

(cid:129) 1992 1993

+ + f + f . Tính tổng : S = f . f (2x1) = 2 f 2(x1) Bài 6.5 : Cho hàm số f (x) = 4x 4x + 2 1993 1993 · · ·

6.2 Hàm số logarit

Bài 6.6 : Tính các đại lượng sau :

1. A = 92 log3 4+4 log81 2. , với a > 0, a , 1. 2. B = loga a2. 3√a. 5√a4 4√a

Bài 6.7 : Cho log12 27 = a. Tính theo a giá trị của log6 16.

127

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

135 theo a và b.

Bài 6.8 : Cho log14 28 = a. Tính theo a giá trị của log49 16. Bài 6.9 : log49 16 = 2a 2 − a 2 − Bài 6.10 : Cho lg 392 = a; lg 112 = b. Tính log5 7 theo a và b. Bài 6.11 : Biết log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c. Tính theo a, b, c giá trị của log140 63. Bài 6.12 : Cho log4 75 = a; log8 45 = b. Tính log 3√25 Bài 6.13 : Cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab. Chứng minh rằng với mọi α > 0, α , 1, ta có :

(cid:0)logα a + logα b(cid:1)

†

(cid:144)

logα a + b 3 = 1 2

5 5

}

. Bài 6.14 : Chứng minh rằng : 2008 = log5 log5 − . . . 5√5 2008 dấu căn

b a = 2 logc+b a. logc logc+b a + logc b a. − − β) = 1.

b , 1. Chứng minh Bài 6.15 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, với độ dài cạnh huyền là c. Giả sử c ± rằng :

− y) z) x) . Chứng minh rằng : Bài 6.17 : Giả sử : − − − Bài 6.16 : Cho log12 18 = α, log24 54 = β. Chứng minh rằng : α.β + 5(α = y(z + x lg y = z(x + y lg z x(y + z lg x

xyyx = zyyz = zx xz.

Bài 6.18 : Cho N > 0 và N , 1. Chứng minh rằng :

+ + + = . · · · 1 log3 N 1 log2008 N 1 log2008! N

1 1 1 1 lg x ; z = 10 1 log2 N 1 lg y . Chứng minh rằng : x = 10 1 lg z . Bài 6.19 : Cho y = 10 − − −

Bài 6.20 : Tìm các giới hạn sau :

e3 . . 3. C = lim 0 x → 1 . . e5x+3 − 2x ex − √x + 1 1 ln(1 + x3) 2x ln(1 + 2x) tan x 1. A = lim 0 x → 2. B = lim 0 x → 4. D = lim 0 x → −

Bài 6.21 : Cho hàm số y = ln . Chứng minh rằng : xy′ + 1 = ey.

1). Bài 6.22 : Cho hàm số y = 1 1 + x 1 1 + x + ln x . Chứng minh rằng : xy′ = y(y ln x − x sin x. Chứng minh rằng : y′′ + 2y′ + 2y = 0.

−

3x+1. −

(cid:129) 1 3

Bài 6.23 : Cho hàm số y = e− Bài 6.24 : Cho y = sin(ln x) + cos(ln x). Chứng minh rằng : y + xy′ + x2y′′ = 0. ‹2 và y = 3x2 Bài 6.25 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số y =

(cid:18)

(cid:19)

Bài 6.26 : Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1; y > x. Chứng minh rằng :

”

1 y x ln ln > 4. y 1 1 x − > . Bài 6.27 : Cho x > y > 0. Chứng minh rằng : x − x + y 2 y − − y x ln y ln x − −

1; e3 — , trên . Bài 6.28 : Chứng minh rằng, nếu x > 0 thì ln x < √x. Bài 6.29 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ln2 x x

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 128

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

6.3 Phương trình mũ và logarit

Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản

(cid:17)

• ax xác định khi 0 < a , 1;

• loga x xác định khi 0 < a , 1 và x > 0.

Khi giải phương trình chứa mũ hoặc logarit ta cần đặt điều kiện cho ẩn, cụ thể

Ta có một số phương trình cơ bản sau (giả sử 0 < a , 1) :

1. a f (x) = ag(x) f (x) = g(x).

2. a f (x) = b ⇔ f (x) = loga f (x). ⇔

f (x) > 0 (hoặc g(x) > 0) 3. loga f (x) = loga(g(x)) ⇔ f (x) = g(x).

f (x) = ab. 4. loga f (x) = b ⇔

Bài 6.30 : Giải các phương trình sau :

1. 2x = 8; 4. 42x+1 = 1; ; 7. log2 x = 1 2

2. 9x = 27; 5. ex = 2; 8. ln x = 0;

3. 3x = 5; 9. log x = 4. 6. log3 x = log3 5; −

Bài 6.31 : Giải các phương trình sau :

1. (2 + √3)2x = 2 √3; = log 1 (x2 x 1); 5. log2 − 1 x −

3x+2 = 4; −

2. 2x2 − 6. log4(x + 12). logx 2 = 1;

1 6.3x −

3. 2.3x+1 3x = 9; 7. log3 x + log9 x + log27 x = 11; − −

4. 9x+1 = 272x+1; 8. log3(3x + 8) = 2 + x.

Bài 6.32 : Giải các phương trình sau :

1)] = 1; √3; 1. log2 [x(x 3. log2 x + log4 x = log 1 log(2x log(x 9); 5. 1 − 1 2 1) = 1 2 − − −

2) = log 1 √3x 5. 6. 1) = 1; x) = 3; log2(x 2. log2 x + log2(x 4. log2(3 x) + log2(1 1 6 1 3 − − − − − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 129

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế

(cid:17)

Khi phương trình mỗi vế là tích của các hàm số mũ hoặc các hằng số.

Phương pháp là lấy logarit hai vế theo một cơ số thích hợp.

Bài 6.33 : Giải các phương trình sau :

1.2x2 = 8.4x 2; 1. 3x − −

€

4. 2x+1.5x = 200; 7. 34x = 43x ;

x+1 = 36;

x.5x+1;

1 Š5 10x −

1 = 10x.2− 8. 5x −

Šx

2. 2x.5x = 0, 2. log ; 5. 3x.8

3 = € 3. 0, 125.42x −

log3 x = 81x; 6. 32 −

x+5 7 = 0, 25.128 x −

x+17 3 . x −

Vấn đề 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ

4 √2 ; 9. 32

(cid:17)

1. Nếu đặt t = ax, điều kiện t > 0;

2. Nếu đặt t = loga x, về cơ bản không cần đặt điều kiện cho t;

3. Nếu phương trình chứa tham số ta cần đặt điều kiện chặt cho ẩn t.

4. Một số cách đặt thông thường :

x = 1 (a) Nếu t = ax thì a2x = t2, a− ; t (b) Nếu đặt t = loga b thì logb a = 1 t (c) Nếu đặt t = √u(x) thì u(x) = t2;

;

. (d) Với phương trình chứa (a √b) mà (a + √b)(a √b) = 1, nếu đặt t = (a + √b)x thì (a √b)x = 1 t ± − − (e) Với phương trình dạng α.ax + β.bx + γ.cx = 0, ta thường chia hai vế cho ax (hoặc bx hoặc cx) rồi đặt ẩn phụ.

Bài 6.34 : Giải các phương trình sau :

€

x = 29;

Š = 3

2 x

1. 32x+5 = 3x+2 + 2; 6. 3.4x 2.6x = 9x; ; 11. log2 x log4 2x = log8 4x log16 8x + = 3; 2. − 7. 3x+1 + 18.3− 6 log2 2x 4 log2 x2 3x+1 1). log3 − − 12. log3(3x 12; 3. log2 8. 27x + 12x = 2.8x; −

1 4 = 1 + log2(x 13. logx −

+ 4. = 1; 1); 9. log2 x3 20 log √x + 1 = 0; 3 log2 x + 2 = 0; 2 1 + log x 1 log x 5 − −

2 x = 2;

x + log2 14. 5 10. log9x 27 log3x 3 + log9 243 = 0; log2( x) = log2 √x2; − 5. log 1 2 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 130

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

log4 x+

log4 x

−

6ln x 17. 4ln x+1 2.3ln x2+2 = 0; 20. 2sin2 x + 4.2cos2 x = 6; 1 2 + 3 15. 3 1 2 = √x; 18. 3 − log2 x − log2 8x + 1 = 0; −

1 2

Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử

19. log2 = 8. (4x) + log2 7.41+cos 2x = 4 1 x + 6− 1 x = 9− 21. 43+2 cos 2x 1 x ; 16. 4− 1 2 . x2 8 −

(cid:17) Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng AB = 0, tương đương với

A = 0 B = 0.

€

Bài 6.35 : Giải các phương trình sau :

9 x = log3 x. log3

√2x + 1 1 4. 2. log2 ; 1. 8.3x + 3.2x = 24 + 6x;

x2 = 2(x+1)2 + 1.

5. 4x2 2. 12.3x + 3.15x 5x+1 = 20; − 3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7 + 1; − −

Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá

6. 4x2+x + 21 − 3. log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x. log7 x;

(cid:17)

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.

Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :

(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)

nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Phương pháp giải là :

(a) Nhận thấy x = x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.

(b) Nếu x > x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.

(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0.

Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với

u = v.

trình.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 131

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

f (x) = c Cách 4 : Nếu f (x) c và g(x) c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với ≥ ≤ g(x) = c.

Bài 6.36 : Giải các phương trình sau :

(cid:129) 1 3

1. 2x = 3 x; 5. 4x 3x = 1; − − ‹x 2. 2x = 2 log3 x; = x + 4; 6.

(cid:129)

‹x

x; − 3. log2 x = 3

+ sin cos = 1. 7. − 4. 3x + 4x = 5x; π 5 π 5

6.4 Bất phương trình mũ và logarit

Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản

(cid:17)

• Nếu cơ số a > 1 thì bất phương trình đạt được cùng chiều;

• Nếu cơ số 0 < a < 1 thì bất phương trình đạt được ngược chiều.

• Khi biến đổi bất phương trình phải bảo đảm biểu thức trong logarit là dương.

Giải bất phương trình chứa mũ và logarit chúng ta cần chú ý đến cơ số :

Dưới đây là một số dạng bất phương trình cơ bản :

1. a f (x) > ag(x), ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x);

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < g(x).

2. a f (x) < b. Khi b 0 thì bất phương trình vô nghiệm. Khi b > 0, ta có các khả năng sau : ≤

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < loga b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > loga b.

3. a f (x) > b. Khi b 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. Khi b > 0, ta có các khả năng ≤ sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > loga b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < loga b.

4. loga f (x) = loga g(x), ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x) > 0;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với 0 < f (x) < g(x).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 132

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

5. loga f (x) > b, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > ab;

f (x) > 0 (b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < ab.

6. loga f (x) < b, ta có các khả năng sau :

f (x) > 0 (a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < ab;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > ab.

6x > 1; 1. 23 −

Bài 6.37 : Giải các bất phương trình sau :

9. log0,5(4x + 11) < log0,5(x2 + 6x + 8);

2. 16x > 0, 125; x); (x + 1) > log3(2 10. log 1 3 −

1) < 1; 3. log5(3x 11. log0,1(x2 + x 2) > log0,1(x + 3); − −

•

(cid:129)

‹˜

€

+2log2 x −

x2 2

‹log 3 2

log 1 3

(5x 1) > 0; (x2 x) 4. log 1 3 0; 6x + 5) + 2 log3(2 12. log 1 3 − ≥ 5x + 6) 1; − 5. log0,5(x2 (x2 4) < 0; ≥ − − 6x + 18) + 2 log5(x 13. log 1 5 − − − (x2 1) < 1; 6. log3 log 1 2 − 2x 2; 14. log2 log0,5 31 16 − ≤ 2x 1 0; 7. log3 ≤

(cid:129) 1 3

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ

15. 1. − x 2x+3 2x+4 > 5x+1 8. 2x+2 5x+2; ≥ − − −

(cid:17)

Chúng ta thực hiện giống như phương pháp giải phương trình.

Bài 6.38 : Giải các bất phương trình sau :

1. 9x < 2.3x + 3; 5. 4x 2.52x < 10x; −

2. 52x+1 > 5x + 4; 6. 4x 3.2x + 2 > 0;

0,5 x + log0,5 x

3 x

x+1

2 3. log2 0; − 7. log2 0; 5 log3 x + 6 − ≤ − ≤

0,2 x

3 < 0; 8. log2 6; 4. 2x + 2− 5 log0,2 x < − − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 133

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử

(cid:17)

Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng

A 0 0 A ≥ ≤ 1. AB 0, tương đương với hoặc ≥ B 0 0. B ≥ ≤

A 0 0 A ≥ ≤ hoặc 2. AB 0, tương đương với ≤ B 0 0. B ≤ ≥

Chú ý rằng nếu biết chắc chắn một trong hai nhân tử A và B là dương hoặc âm thì ta có thể chia hai vế cho số đó. Tuy nhiên, 0 thì không được chia. Chẳng hạn, bất phương trình √AB 0 không thể tương đương với nếu chỉ biết A 0 hoặc A ≥ ≥ B ≤ 0, chúng ta xử lí bất phương trình này như sau :

• Nếu √A > 0, bất phương trình tương đương với B

≥ • Nếu √A = 0, bất phương trình luôn đúng với điều kiện thỏa mãn tập xác định.

0. ≥

1 + 22 1. 3 + x2(2x − −

x) > 3x2 + 22 −

x + 2x 1; −

€

x Š

Bài 6.39 : Giải các bất phương trình sau :

x2 < 24 x 1 (x2 ; 2. 2x+1 + (5x2 + 11)21 − 9)2− − − −

3x2 5x + 2 + 2x 3x.2x √ 3x2 3. √ − 5x + 2 + 4x2.3x; − − ≥ − −

6.5 Hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình mũ và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như phương pháp thế,

phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp biến đổi đưa về hệ phương trình đại số thông thường,

phương pháp đánh giá, phương pháp đưa về cùng cơ số,. . .

Bài 6.40 : Giải các hệ phương trình sau :

x + y = 20 x2 y2 = 2 − 1. 4. 7. y) = 1; 2x+y + 3y = 5 2x+y.3y 1 = 2; − log4 x + log4 y = 1 + log4 9; log2(x + y) log3(x − −

y + 2x = 21+y 22x −

2y = 0, 5;

2x + 4−

3.2x + 2.3y = 2, 75 x + y = 1 2. 5. 8. 2x 3y = 0, 75; 1(cid:1) = 4; 4− log2 x. (cid:0)log4 y − − −

x.2y = 1152 3− log √5(x + y) = 2;

xy = 1 9. 6. 3. log2 x + log2 y = 2; log5 x + log5 7. log7 y = 1 + log5 2 3 + log2 y = log2 5(1 + 3 log5 x);

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 134

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1 = x 2x −

log2(x + y) − − 11. 12. 10. = x2 + y = y2 + x 2x+y y. 1; 3y = 15 2 log2 x 3y. log2 x = 2 log2 x + 3y+1; log2(x log x log y − − − y) = 5 − log 4 − log 3 −

6.6 Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH

2(x + 1)

Bài 6.41 (CĐ08) : Giải phương trình : log2

3 x +

2m 1 = 0 (m là tham số). Bài 6.42 (A02) : Cho phương trình : log2 6 log2 √x + 1 + 2 = 0. − 3 x + 1 log2 − −

a) Giải phương trình khi m = 2 ;

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √3].

= 1 x) (y log4 log 1 4 1 y Bài 6.43 (A04) : Giải hệ phương trình : − − x2 + y2 = 25.

18x 2.27x = 0. Bài 6.44 (A06) : Giải phương trình : 3.8x + 4.12x − − 3) + log 1 (2x + 3) 2. Bài 6.45 (A07) : Giải bất phương trình : 2 log3(4x ≤ 1)2 = 4. 1) + logx+1(2x −

xy+y2 = 81

−

(x, y R). Bài 6.47 (A09) : Giải hệ phương trình ∈ − 1(2x2 + x Bài 6.46 (A08) : Giải phương trình : log2x − − log2(x2 + y2) = 1 + log2(xy) 3x2

(cid:0)log3(9x

72)(cid:1) 1. Bài 6.48 (B02) : Giải bất phương trình : logx

≤ y = 1 √x − 1 + √2 Bài 6.49 (B05) : Giải hệ phương trình : − 3 log9(9x2) − log3 y3 = 3.

2 + 1). 4 log5 2 < 1 + log5(2x − 2 √2 = 0.

‚

− Bài 6.50 (B06) : Giải bất phương trình : log5(4x + 144) − Bài 6.51 (B07) : Giải phương trình : ( √2 − −

< 0. Bài 6.52 (B08) : Giải bất phương trình : log0,7 log6 1)x + ( √2 + 1)x x2 + x x + 4

1) = x − (x, y R). Bài 6.53 (B10) : Giải hệ phương trình ∈ log2(3y 4x + 2x = 3y2

x2 = 3.

4y Bài 6.54 (D02) : Giải hệ phương trình : − = y.

−

Bài 6.55 (D03) : Giải phương trình : 2x2 23x = 5y2 4x + 2x+1 2x + 2 22+x −

− Bài 6.56 (D06) : Chứng minh rằng với mọi a, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :

ey = ln(1 + x) ln(1 + y) ex − y − x = a. −

−

4.2x2 22x + 4 = 0. Bài 6.57 (D06) : Giải phương trình : 2x2+x − − = 0. Bài 6.58 (D07) : Giải phương trình : log2(4x + 15.2x + 27) + 2 log2 1 4.2x 3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 135

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x2 0. − Bài 6.59 (D08) : Giải bất phương trình : log 1 2 3x + 2 x ≥

Bài 6.60 (D10) : Giải phương trình 42x+ √x+2 + 2x3 = 42+ √x+2 + 2x3+4x 4. −

4x + y + 2 = 0 x2 Bài 6.61 (D10) : Giải hệ phương trình 2) − 2 log2(x log √2 y = 0. − −

6.7 Bài tập tổng hợp

Bài 6.62 : Giải các phương trình sau :

1 = 51. 3.5x −

1. 5x+1 + 6.5x 4. log3 x(x + 2) = 1. −

3) 2. 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 9.5x + 5x+1 + 5x+2. 10) + 1 = 0. 5. log2(x2 log2(6x −

3. 3x.2x+1 = 72. − 5) = x. − 6. log2(2x+1 −

Bài 6.63 : Giải các phương trình sau :

+2 = x2.2| 3 x | −

+4 + 2x 1. 3 x − | −

175x 3. x2.2x+1 + 2| −

x2 = 2(x+1)2 + 1.

− .9x+2 = 6.4x+1 .9x+1. 4. 4x2+x + 21 − 1. 52x+1 + 7x+1 2. 3.4x + 1 3 35 = 0. 1 2 −

Bài 6.64 : Giải các phương trình sau :

5 x = 1.

2 = log x 2. 1. logx 2. log x 3. log2 x + log3 x + log4 x = log20 x. + log2 2. log5x 5 x

1+ √x2

Bài 6.65 : Giải các phương trình sau :

2 −

€

Šx

3. 8x + 18x = 2.27x ; 6 = 0 ; 1. 4x+ √x2 5.2x − −

Šx + 2

Šx = 0.

7.41+cos x 26 + 15 √3 7 + 4 √3 √3 2 2 2. 43+2 cos x − 2 = 0 ; 4. − − − −

€

Bài 6.66 : Giải các phương trình sau :

4x+1 + 4 1. log2 . log2(4x + 1) = 3 ;

(cid:0)log2 x(cid:1) + log2

(cid:0)log4 x(cid:1) = 2 ;

25 x = 1 ; 3. logx(125x). log2 4. logx 3 + log3 x = log √x 3 + log3 √x + 1 2

. 2. log4

Bài 6.67 : Giải các phương trình sau :

2 = 23(log4 x 1) ; 1. xlog4 x − −

2. xlg2 x+lg x3+3 = x.

‹4x+1

‹3x

2 −

Bài 6.68 : Giải các phương trình sau :

(cid:129) 2 5

(cid:129) 1 7

2. xlg x = 1000x2. = ; 1.

Bài 6.69 : Giải các phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 136

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(7 x) = 1 ; 6) ; 3. 1 + log2(9x 6) = log2(4.3x 1. log¹⁄œ₂(x 1) + log¹⁄œ₂(x + 1) log 1 √2 − − − − −

√x + 1 x) 1)3 = 0. 2. 3x.2x2 = 1 ; log8(x 4. log √2 log¹⁄œ₂(3 − − − −

x = 0.

2 + (3x Bài 6.70 : Giải phương trình : 3.25x −

2 + 3 10).5x −

− 7x) = − x3 + 8x2 19x + 12. Bài 6.71 : Giải phương trình : x2.3x + 3x(12 − −

€

− Bài 6.72 : Giải phương trình : log2(1 + √x) = log3 x.

− + 1 2x3 + 5x2 7x + 17. Bài 6.73 : Giải phương trình : log2 Bài 6.74 : Giải phương trình : xlog2 9 = x2.3log2 x Bài 6.75 : Giải phương trình : 5x + 4x + 3x + 2x = 1 2x 6x − − 2)(cid:3) = 15(x + 1). Bài 6.76 : Giải phương trình : 4(x x + 3log6 x Š = log6 x. xlog2 3. + 1 3x 3) + log3(x

− Bài 6.77 : Giải phương trình : 4sin x − 2) (cid:2)log2(x − − 21+sin x cos(xy) + 2| | = 0. y 8 . Bài 6.78 : Giải phương trình : 22x+1 + 23 2x = − 4x + 4) log3(4x2 −

Bài 6.79 : Giải hệ phương trình :

log2 x + log4 y + log4 z = 2 log3 x + log9 y + log9 z = 2 log4 x + log1 6y + log1 6z = 2.

4log3(xy) = 2 + (xy)log3 2 Bài 6.80 : Giải hệ phương trình : x2 + y2 3x 3y = 12. − −

xlog3 y + 2ylog3 x = 27 Bài 6.81 : Giải hệ phương trình : log3 y log3 x = 1. − Bài 6.82 : Giải các hệ phương trình sau :

x) = 1 log4 log¹⁄œ₄(y 1 y − 2. 1. log2(x2 + y2) = 5 2 log4 x + log2 y = 4. − x2 + y2 = 25;

Bài 6.83 : Giải các phương trình sau :

1 + x(3x 1. x2.3x −

1) ; 3x −

2x) = 2(2x 3. 3 log3(1 + √x + 3√x) = 2 log2 √x ;

3(x + 1) + 4(x + 1) log3(x + 1)

2. 4sin x 4. (x + 2) log2 16 = 0. − − 21+sin x cos(xy) + 2| | = 0 ; y − −

Bài 6.84 : Giải các bất phương trình sau :

x2 +1

3x+1 + 2 > 3x 2) > 9 ; 2 ; 1. √9x 4. log2(2x 1). log¹⁄œ₂(2x+1 − − − −

2 x + log¹⁄œ₂ x2

3 √x

log2 5. 3) ; ; − x2 +1 + 92x − 2. 252x − 34.152x − 3 > √5(log4 x2 − −

−

2 −

≥ 5 < 51+3 √x 2 ; 4.5x − − 3. 52x − 6. logx 2x logx(2x)3. − ≤

Bài 6.85 : Giải các bất phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 137

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3 lg x+1 > 1000. −

4 −

1. xlog2 x+4 < 32 ; 2. xlgx

1. Bài 6.86 : Giải bất phương trình : log2 x + log¹⁄œ₄(x + 3) ≥ Bài 6.87 : Giải các bất phương trình sau :

(cid:2)log9(3x

(cid:2)log2(4x

6)(cid:3) 9)(cid:3) < 1 ; 1. 1. logx 2. logx − ≤ −

x2. Bài 6.88 : Giải bất phương trình :5x + √6x2 + x3 x4. log2 x > (x2 x) log2 x + 5 + 5 √6 + x − − − Bài 6.89 : Giải các bất phương trình sau :

1. 25x + 15x 2.9x ; 2 > 0 ; 4. 3 Èlog¹⁄œ₂ x + log4 x2 ≥ −

0 ; 1) + log2 6 2. log¹⁄œ₂ x + 2 log¹⁄œ₄(x ≤

0,5 x + 4 log2 √x

log2 √2(4 5. 2) > 2 ; log16 x4). − 1) log2(2x+1 3. log2(2x ≤ − − −

Bài 6.90 : Giải bất phương trình : log7 x < log3(2 + √x).

(cid:19)

Bài 6.91 : Giải phương trình, bất phương trình sau :

(cid:18) 4x x

‹

2 x

¹⁄œ₂ x ;

¹⁄œ₂

‚ x3 8

(cid:129) 32 x2

; ; 3) = 1 + log4 1. logx2 13. log¹⁄œ₄(x 1 x 1 2 − ≥ | 2 − 2 | − 2. 4x+1 + 2x+4 = 2x+2 + 16 ; < 14. ; 1) 1 log4(x2 + 3x) 1 log2(3x − < 4 log2 log2 3. log4 1) 15. (4x + 2x 0 ; + 9 log2 2) log2(2x −

− 3√x+5+1 + 2.2 − ≥ 3√x+5+x = 2.4x ; 16. 4 4. 4.4x 9.2x+1 + 8 = 0 ;

4 + (x2 −

2 4).3x −

1 17. 3x2 0 ; − 5. 9x + 6x = 22x+1 ; − − ≥

‹

(cid:129) 89x

18. 5¹⁄œ₂ + 5¹⁄œ₂+log5 sin x = 15¹⁄œ₂+log15 cos x ; x + √1 + x 6. ( √1 x) = 0 ; 2). logx(x2 − − −

19. 3 + ; = logx 7. log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x. log7 x ; 25 2x 2 −

(3 + 2 √2)x = x 1 log32 x 20. ( √2 + 1)x+1 1 ; 8. 3x + 5x = 6x + 2 ; −

− 21. 2 ln x + ln(2x 3)2 = 0 ; 8.3x+ √x+4 9.9 √x+4 ; 9. 32x

√x2

1) ;

− 1) + 22. log2(3x = 2 + log2(x + 1) ; − 3x + 2) 1 ; − 10. log¹⁄œ₆ x(x2 − 1 logx+3 2 − ≥ −

1). log5(x+ √x2

1) = log20(x

log4(x

−

23. 11. log5 x = log7(x + 2) ;

3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7 + 1 ; −

3) 24. 4x2 10) + 1 = 0 ; 12. log2(x2 log2(6x − − −

‹

‹2x

2x − 2

y −

Bài 6.92 : Giải các hệ sau :

(cid:129) 2 3

(cid:129) 2 3 lg(3x

3. + 7. 6 = 0 2. 1. 2x + log2 y + 2x log2 y = 5 2 y = 5; 4x + log2 y) + lg(x + y) − 4 lg 2 = 0; − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 138

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

lg2 y = lg3 x 4 lg2 x + 7 lg x xlog8 y + ylog8 x = 4 − 3. 7. lg2 x = lg3 y 4 lg2 y + 7 lg y; log4 x log4 y = 1; − −

2 = 3.2y+3x 23x+1 + 2y −

ex ey = (log2 y log2 x)(xy + 1) − − 4. 8. 1; x2 + y2 = 1; log4(x2 + y2) log4(xy + 1) log4(2x) + 1 = log4(x + 3y) − log4(4y2 + 2y 2x + 4) = log4 x y − − −

3lg x = 4lg y 5. 9. 3x2 + 1 + xy = √x + 1; (4x)lg 4 = (3y)lg 3;

y − 8(x4 + y) = 6x4

y. −

9log2(xy) = 3 + 2(xy)log2 3 x4 + y = 3x4 6. 10. x2 + y2 = 3x + 3y + 6;

R : Bài 6.93 : Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈

a.9x + (a 1).3x+2 + a 1 > 0. − −

x + 2m 2m2) = 0. Xác định tham số m để phương trình 4m2) + log¹⁄œ₂(x2 + mx − −

x + m.42x2

−

(2m + 1)62x2 0. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với − ≤ Bài 6.94 : Cho phương trình : 2 log4(2x2 − + x2 trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 2 > 1. 1 Bài 6.95 : Cho bất phương trình : m.92x2 x mọi x thỏa mãn điều kiện . 1 2 x | ≥ | (22x+1 3.2x). Bài 6.96 : Giải bất phương trình : log 1 2 log 1 2

x2 + 2a + 1 = 0

Bài 6.97 : Giải phương trình : − 1)8 = log2(4x). log4(x 1 2 − (4x + 4) ≥ . log √2(x + 3) + 1 4 Bài 6.98 : Tìm a để phương trình sau có nghiệm :

91+ √1 − (a + 2).31+ √1 −

− + 3 = 0 x Bài 6.99 : Giải hệ phương trình : y 4 − | | log4 x log2 y = 0. − Bài 6.100 : Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm :

k < 0

3 1 3x − − | − log2 x2 + 1 log2(x 3

1)3 1. ≤ −

Bài 6.101 : Giải phương trình : 16 log27x3 x x | 1 2 3 log3x x2 = 0.

3x 5y) = 3 − − Bài 6.102 : Giải hệ phương trình : 3y 5x) = 3 − logx(x3 + 2x2 logy(y3 + 2y2 − −

Bài 6.103 : Giải hệ phương trình : logy √xy = logx y 2x + 2y = 3.

€

Š2

2x + 2x+1. Bài 6.104 : Giải bất phương trình : √15.2x+1 + 1 1 | − ≥ | Bài 6.105 : Tìm m để phương trình :

4 x + m = 0 log2 √x log 1 2 − có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 139

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x + 2 log 1 (x 0. 1) + log2 6 Bài 6.106 : Giải phương trình : log 1 2 − ≤

0. Bài 6.107 : Cho hàm số f (x) = x logx 2, với x > 0, x , 1. Tính f ′(x) và giải bất phương trình f ′(x)

≤ 4) = 1 x. Bài 6.108 : Giải phương trình : log5(5x − − Bài 6.109 : Giải các phương trình, bất phương trình, hệ ...

= 1 ; a) (2 ln(1 + x) ln(1 + y) = x y log3 x) log9x 3 1 − − − − f) 4 log3 x x2 12xy + 20y2 = 0; − 1) + + log2 √x + 2 ; b) log4(x − = 1 2 − 1 log2x+1 4 = 0 ; g) 2(log2 x + 1) log4 x + log2 1 4 1) = 2 ; c) log3(x 1)2 + log √3(2x h) 9x2+x 1 − 10.3x2+x 2 + 1 = 0 ; − − − −

1 + 1 2x + 2 = 3y −

1 + 1; 2y + 2 = 3x −

2x+1 + 2(2x 1) sin(2x + y i) 4x 1) + 2 = 0 ; x + √x2 − d) y + È y2 − 3) = 6 ; − j) log3(3x − 1) log3(3x+1 − −

− √x + 1 (3 x) 1)3 = 0 ; 0 ; log8(x e) (logx 8 + log4 x2) log2 √2x k) log √2 log 1 2 − − − − ≥

Bài 6.110 : Chứng minh rằng hệ :

ex = 2009 − 1 − ey = 2009 − y y2 x √x2 1 − có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.

2.(0, 4)x+1 + 1, 6 = 0. Bài 6.111 : a) Giải bất phương trình : (2, 5)x −

1 hãy chỉ ra nghiệm có tổng 2x + y lớn nhất. b) Giải phương trình : log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2. Bài 6.112 : Trong các nghiệm (x, y) của bất phương trình : logx2+2y2 (2x + y) ≥

1) + = 2 + log2(x + 1). Bài 6.113 : Giải phương trình : log2(3x − 1 logx+3 2

x 2

‹x

−|

2 Bài 6.114 : Tìm tập xác định của hàm số : y = È log2(x2 + 2). log2 − − Bài 6.115 : Giải các bất phương trình :

1 x |. −

−

(cid:129) 1 3

log2(x + 1)2 log3(x + 1)3 b) > 0. a) 3 √x2 − 3x 4 x2 ≥ −

5x + 6 + log 1 √x 2 > − (x + 3). Bài 6.116 : Giải bất phương trình : log3 √x2 log 1 3 1 2 − −

Œx

‚ 7

6lg x = 2.3lg(100x2). Bài 6.117 : Giải phương trình : 4lg(10x) − √4 x + log8(4 + x)3. Bài 6.118 : Giải phương trình : log4(x + 1)2 + 2 = log √2 − Œx

‚ 7 + 3 √5 2

+ a. = 8. Bài 6.119 : Cho phương trình : − 3 √5 2

a) Giải phương trình khi a = 7.

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 140

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1 y

x 2y

x2). Bài 6.120 : Tìm miền xác định của hàm số : y = √x2 + x 2 log3(9 − x2 − 14. log16x x3 + 40. log4x √x = 0. Bài 6.121 : Giải phương trình : log x 2 −

Bài 6.122 : Cho hệ phương trình : = 2x 4. 9 = 9 3 x + my x y −

a) Giải hệ phương trình với m = 3.

b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

m.2x+1 + 2m = 0. Bài 6.123 : Cho phương trình : 4x −

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3.

2(m 2)x + 2m 1). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định với − − − Bài 6.124 : Cho hàm số y = 2x + m + log2(mx2 mọi x.

Bài 6.125 : Giải các phương trình sau :

(cid:129)

‹sin x

a) log2(log3(log2 x)) = 1.

+ 5 + 2 √6 2 √6 5 b) = 2. −

x 2 < 0.

22x+1 12 Bài 6.126 : Giải bất phương trình : 3x+1 − Bài 6.127 : Giải phương trình : log x 2 − x 1 x Bài 6.128 : Giải phương trình : log9(x2 log √3 − 2 + log2(4x) = 3. 5x + 6)2 = 1 2 − 2 − + log3 | 3 . | − 0 : Bài 6.129 : Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x ≤

m.2x+1 + (2m + 1)(3 √5)x + (3 + √5)x < 0. −

Bài 6.130 : Giải bất phương trình : 4x2 + x.2x2+1 + 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12.

= 2 có nghiệm duy nhất. Bài 6.131 : Xác định giá trị của tham số m để phương trình lg(mx) lg(x + 1)

1 2

21 − 0. Bài 6.132 : Giải bất phương trình : − 2x ≤ − x + (2x + 5). log 1 x + 6 0. 2x + 1 1 Bài 6.133 : Giải bất phương trình : (x + 1) log2 ≥ 1)x = 2x. −

. Bài 6.134 : Cho phương trình : ( √5 + 1)x + a.( √5 a) Giải phương trình khi a = 1 4

b) Tìm mọi giá trị của a để phương trình có đúng một nghiệm.

2 = 0. Bài 6.135 : Giải phương trình : 9cot x + 3cot x

− 2 x log2 x2 < 0 Bài 6.136 : Giải hệ bất phương trình : − 3x2 + 5x + 9 > 0. log2 x3 3 − Bài 6.137 : Giải các phương trình sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 141

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2)3x + 2x a) 9x + 2(x 5 = 0. 1) = 2x + 1. b) log2(3.2x − − −

Bài 6.138 : Tìm m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với mọi x :

2x + m + 1) > 0. logm(x2 −

Bài 6.139 : Giải hệ phương trình : logx(6x + 4y) = 2 logy(6y + 4x) = 2.

1).4x + 2x+1 + m + 1 > 0. Bài 6.140 : Cho bất phương trình : (m −

a) Giải bất phương trình khi m = 1. −

€

b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

(cid:129)

‹

x x 3 1 < √10 + 3 √10 3 x + 1 x + 3 . Bài 6.141 : Giải bất phương trình : − − − Bài 6.142 : Tìm các giá trị của a để bất phương trình sau :

2 + 2x 2 > 0 x2 log2 1 + log2 1 + log2 a a + 1 a a + 1 a a + 1 − −

nghiệm đúng với mọi x.

Bài 6.143 : Tìm tất cả giá trị của x, thoả mãn x > 1, nghiệm đúng bất phương trình sau :

(x + m 1) < 0 − log 2(x2 + x) m

với mọi giá trị của m : 0 < m 4. ≤

(cid:129)

‹

1. Bài 6.144 : Giải bất phương trình sau : 2.3x 3x

x 2. Bài 6.145 : Giải bất phương trình : logx − 2x+2 − 2x ≤ − 1 4 ≥ 1) = log 1 (x 1). Bài 6.146 : Giải phương trình : log2(x2 − −

y) = 1 − với a là số dương khác 1. Xác định a để hệ phương Bài 6.147 : Cho hệ phương trình : log2(x + y) + loga (x x2 y2 = 1 − trình có nghiệm duy nhất và giải hệ phương trình trong trường hợp đó.

5x+1 = 20. Bài 6.148 : Giải phương trình : 12.3x + 3.15x − x 1

− x = 500. Bài 6.149 : Giải phương trình : 5x.8

3 )

Bài 6.150 : Tìm tất cả các cặp số dương thoả mãn hệ phương trình :

xy+4x = y5(y −

x3 = y−

3) > 0. − Bài 6.151 : Giải bất phương trình : (4x2 − lg(x2 16x + 7). log3(x 3x + 2) > 2. Bài 6.152 : Giải bất phương trình : − lg x + lg 2

2) = 2α(x 2)log2 4(x −

2)3. Bài 6.153 : Cho phương trình : (x − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 142

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

a) Giải phương trình với α = 2.

(cid:18)

(cid:19)

4. b) Xác định α để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : 5 2 ≤ x1, x2 ≤

25(x

−

1 1) (x 1) Bài 6.154 : Giải bất phương trình : 2 log2 log5 . log 1 5 ≥ − 1 1 − − Bài 6.155 : Giải bất phương trình : log √x+2 √2x log √x+1 2. − √x 2 ≤ Bài 6.156 : Tìm m để phương trình :

2 x + log 1

log2 x2 3) 3 = m(log4 x2 − −

(cid:16)

(cid:17)cos x

có nghiệm thuộc khoảng (32; + ). ∞ + 7 + 4 √3 7 4 √3 = 4. Bài 6.157 : Giải phương trình :

2 x + log 1 xlog2 6 = 2.3log2 4x2

log2 − 3 = È x2 3). Bài 6.158 : Giải bất phương trình : 5(log4 x2 − −

. Bài 6.159 : Giải phương trình : 4log2 2x − Bài 6.160 : Cho bất phương trình :

9x 2(m + 1).3x 2m 3 > 0 − − −

trong đó m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình trên luôn đúng với mọi số thực x.

Bài 6.161 : Giải hệ phương trình : 1. log4(x2 + y2) log4(xy + 1) log4(2x) + 1 = log4(x + 3y) − log4(4y2 + 2y 2x + 4) = log4 − − x y −

Bài 6.162 : Giải và biện luận theo tham số thực a hệ phương trình :

xy = 2

2a2 x + y + a = 1 .4x+y −

trong đó (x, y) là ẩn.

x4 = 1

36. 5√x7 = 0. Bài 6.163 : Tính tích các nghiệm của phương trình sau : xlog6(3x) −

y = 0. −

Bài 6.164 : Giải hệ phương trình : 8(x4 + y) − (x4 + y).3xy − 6x4 Bài 6.165 : Giải phương trình : 25x + 10x = 22x+1.

(cid:19)

x + y = 1 Bài 6.166 : Giải hệ phương trình : 2x 2y = 2.

log3

− (cid:18) x 2 − x < 1. Bài 6.167 : Giải bất phương trình : 5

√3)x = 4(2 + √3). Bài 6.168 : Giải phương trình : (2 + √3)x + (7 + 4 √3)(2 − . Bài 6.169 : Giải phương trình : logx 2 log4 x + 7 6 − Bài 6.170 : Cho phương trình :

(m + 3).16x + (2m 1).4x + m + 1. −

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

√3)x + (2 + √3)x = 14. Bài 6.171 : Giải phương trình : (2 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 143

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

‹

4x+3

−

| = m4

Bài 6.172 : Với giá trị nào của m thì phương trình :

(cid:129) 1 5

m2 + 1 −

có bốn nghiệm phân biệt.

x2. log3 x = 2x − − 52x2+4mx+m+2 = x2 + 2mx + m. Bài 6.173 : Giải phương trình : log3(x2 + x + 1) Bài 6.174 : Giải và biện luận phương trình : 5x2+2mx+2

‚ x2 + x + 3 2x2 + 4x + 5

− = x2 + 3x + 2. Bài 6.175 : Giải phương trình : log3

4x + 4) > 2 (x + 1) log 1 (2 x). −

Bài 6.176 : Giải bất phương trình : 2x + log2(x2 1) Bài 6.177 : Giải bất phương trình : log0,5(9x − − − 1 + 7). 2 > log0,5(3x − − Bài 6.178 : Giải và biện luận bất phương trình :

loga 2. loga(loga2 x) + loga2(loga x) 1 2

5mx2 + √6 √x 1), m là tham số. Bài 6.179 : Cho phương trình : log2(mx3 ≥ x) = log2+m(3 − − − −

a) Giải phương trình với m = 0.

b) Tìm các giá trị của x nghiệm đúng bất phương trình đã cho với mọi m 0. ≥

Bài 6.180 : Giải phương trình : log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log2 3. Bài 6.181 : Giải phương trình : 125x + 50x = 23x+1.

x) = 0. Bài 6.182 : Giải phương trình : ( √1 2). log2(x2 − − > . Bài 6.183 : Giải bất phương trình : − 1 (x + 1) log 1 3 log 1 3

5) = 1. Bài 6.184 : Giải phương trình : log5(5x x + √1 + x 1 3x + 1 √2x2 − 1). log25(5x+1

− − 2 = 3.2y+3x 23x+1 + 2y − Bài 6.185 : Giải hệ phương trình : 3x2 + 1 + xy = √x + 1.

< 1. Bài 6.186 : Giải bất phương trình : log3 2x 1 3 x − − , với 0 < a , 1. 1 a

1(2x

−

Œlogx −

1 x

1). − 2.6x = 3.9x. Bài 6.187 : Giải phương trình : loga(ax). logx(ax) = loga2 Bài 6.188 : Giải phương trình : 2(log9 x)2 = log3 x. log3( √2x + 1 Bài 6.189 : Giải phương trình : 4x −

−

‚ 5 √3 3

. Bài 6.190 : Giải bất phương trình : (0, 12)logx ≥

1) 0. Bài 6.191 : Giải phương trình : 2 log6( 4√x + 8√x) = log4 √x. 12.2x + 32). log2(2x Bài 6.192 : Giải bất phương trình : (4x − ≤

5 + 8 = 0. −

1 12.2x − −

(cid:16)

(cid:17) (cid:16)

(cid:17)

− Bài 6.193 : Giải phương trình : 2 log5 x √x2 logx 125 < 1. √x2 − 5 − Bài 6.194 : Giải phương trình : 4x − − 2)(cid:1)2 ( √2x 3 1) (x 2) . Bài 6.195 : Giải bất phương trình : 2 (cid:0)log121(x log 1 11 log 1 11 − − − 1) + log 1 (x x) < 0. ≥ − (2x + 2) + log √3(4 Bài 6.196 : Giải bất phương trình : log 1 3 − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 144

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1 + m = 0. Tìm m để phương trình trên có nghiệm? − 2.(0, 4)x+1 + 1, 6 < 0.

1)x2 Bài 6.197 : Cho phương trình : ( √2 + 1)x2 + ( √2 − Bài 6.198 : Giải bất phương trình : (2, 5)x − Bài 6.199 : Cho phương trình :

2 √2)tan x = m. (3 + 2 √2)tan x + (3 −

(cid:129)

‹

a) Giải phương trình khi m = 6.

2 x + xlog2 x

; b) Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng . π 2 π 2 −

4. Bài 6.200 : Giải bất phương trình : 2log2

log5(x2 + 1) < 1. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi − ≤ Bài 6.201 : Cho bất phương trình : log5(x2 + 4x + m) x thuộc khoảng (2; 3).

3 x + 4x log3 x

16 = 0. Bài 6.202 : Giải phương trình : (x + 1) log2 −

Bài 6.203 : Giải hệ phương trình : logx(3x + 2y) = 2 logy(3y + 2x) = 2

3) > lg(x2 2x + 1). Bài 6.204 : Giải bất phương trình : lg(x2 1 2 − −

2x2

x2 + 2m

28.9x2+x + 9 = 0. Bài 6.205 : Giải phương trình : 32x2+2x+1 − 1)3 1. Bài 6.206 : Giải bất phương trình : log4 x2 + log8(x ≤ − Bài 6.207 : Giải bất phương trình :

log9(3x2 + 4x + 2) + 1 > log3(3x2 + 4x + 2). 3 = 0. Bài 6.208 : Cho phương trình : 34 − 2.32 − − −

a) Giải phương trình khi m = 0.

b) Xác định m để phương trình có nghiệm?

x.2y = 1152

1) Bài 6.209 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 2 log3 x log3(x log3 m = 0. − − −

1(x + 1). −

Bài 6.210 : Giải hệ phương trình : 3− logx5 (x + y) = 2.

‹

(cid:129)

‹

x2 Bài 6.212 : Giải bất phương trình : 2x − − sin sin x − sin ≥ + cos 2x 3 + x log3(4x2). = 0. Bài 6.213 : Giải phương trình : log3 log3 x3 x 2

1(x + 1) > logx2 Bài 6.211 : Giải bất phương trình : logx − log3 8 + x2 log3(2x) x + log 1 2 −

Bài 6.214 : Tìm a để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x :

a.4x + (a 1).2x+2 + a 1 > 0. − −

Bài 6.215 : Giải và biện luận theo k hệ phương trình : logx(3x + ky) = 2 logy(3y + kx) = 2.

2x) > 2. Bài 6.216 : Giải bất phương trình : logx+1(

1) sin(2x + y 1) + 2 = 0. Bài 6.217 : Giải phương trình : 4x − − 2x+1 + 2(2x 2x 1 − = 1 + x 2x. − Bài 6.218 : Giải phương trình : log2 − − x | |

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 145

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

−

x2 + xy + 3 2 2x2y

= 2y 2 Bài 6.219 : Giải hệ phương trình : (x2y + 2x)2 4x + 1 = 0. −

2 x + x log7(x + 3) =

Bài 6.220 : Giải phương trình : log2 log2 x. + 2 log7(x + 3) − • x 2

√x

(cid:129)

‹

Bài 6.221 : Giải phương trình : 2 + (1 . log2x 2. log3 x) log 2 (4x2) = (1 + log2 x) log 2 (4x2) + 2 log3 3 x −

x . Bài 6.222 : Giải phương trình : ln(2 + sin 2x) = 2 cos2 π 4 −

= x3 1. Bài 6.223 : Giải phương trình : log2

(cid:129)

‹

4x2 + 2 x3 + 4x2 + 1 − 5.4x2+x + 42x+1 = 0. Bài 6.224 : Giải phương trình : 42x2 − 3) x . Bài 6.225 : Giải bất phương trình : log3(9x log3 − − ≤

3 log27(10x + 7) > 1.

2x − + 2x+1. 1 3 Bài 6.226 : Giải bất phương trình : 2 log3(x + 1) + 2 log9(4x + 1) Bài 6.227 : Giải bất phương trình : √15.2x+1 + 1 ≥ | 1 | − Bài 6.228 : Với giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm duy nhất :

(mx + 28) = 4x x2). log5(12 2 log 1 25 − − −

Bài 6.229 : Giải bất phương trình : log7(x2 + x + 1) log2 x.

(cid:129)

‹

≥ y2 + 2 + y = 4 + È Bài 6.230 : Giải hệ phương trình : . 2 lg 2 = lg x | | 1 lg x2 2 1 + y 2 −

‚ x2 + 5x + 8 x + 2

‹

= 4x + 4. Bài 6.231 : Giải phương trình : ln x2 − Bài 6.232 : Giải bất phương trình : log2(1 + √x) > log3 x.

√x2

‚ x3 + 1 2x2 + 1

(cid:129) 2x + 1 x2 + 1

1 −

. > logx+ √x2 Bài 6.233 : Giải bất phương trình : logx −

1 − 8.3x+ √x+4

9.9 √x+4 0. Bài 6.234 : Giải bất phương trình : 32x

− (cid:0)log3 x(cid:1) Bài 6.235 : Giải bất phương trình : log2 − log5 ≥ (cid:0)log7 x(cid:1).

(cid:18)

(cid:19)

‹

x) ≤ 2 log2(y + x) Bài 6.236 : Giải hệ phương trình : − = 0. log4 log2 log2 x = 1 + log2(3y (cid:129) y x − xy + 3 y + 3x 1 x2 − − Bài 6.237 : Giải bất phương trình : − log9(3x2 + 4x + 2) + 1 > log3(3x2 + 4x + 2).

€ √9

x |

‹

1) 2) < 1 + m có nghiệm trên (0; 2). Bài 6.238 : Tìm m để bất phương trình : m log2(3x log2(2.3x − − x x2 1 1. Bài 6.239 : Giải bất phương trình : log

x2 (sin 2x(cot x + tan x)).

log 1 2

− − (cid:129) 3 sin 2x ≥ − 2 sin x − sin 2x cos x = log7 −

.2log2 .

| Bài 6.240 : Giải bất phương trình : log7 − Bài 6.241 : Giải bất phương trình : 3 + x

2 x > 6.x 1 2 log2 x + ylog2 3 = 6

(x2 + 2x + 5) (2x2 + 4x + 3) 2. Bài 6.242 : Giải bất phương trình : log 1 2 log 1 2 ≥ −

Bài 6.243 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : log2 x + ylog2 √3 = 2m.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 146

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 6.244 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

25x + (m 1)5x + 2m + 3 = 0. −

1)2x + (a 1) > 0 với mọi x R. Bài 6.245 : Tìm các giá trị của a để 3x + (a − ∈ − Bài 6.246 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

(2x + 1) [ln(x + 1) + ln x] = (2y + 1) (cid:2)ln(y + 1) + ln y(cid:3)

1 1) + m √x + 1 = 0. √y 2 4√(y + 1)(x − − −

Bài 6.247 : Giải phương trình

3√x4 + x2 + 1 + log4(x4

x2 + 1). log2 √x2 + x + 1 + log16(x2 log2 x + 1)2 = 3 2 − −

x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Bài 6.248 : Tìm m để phương trình 4 log2 2 log 1 2 1 √x −

√x2 + 1 > log 1 (ax + a). Bài 6.249 : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm log 1 3

Bài 6.250 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình log5(25x log5 a) = x có nghiệm duy nhất.

− Bài 6.251 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2x x2) = 0. log0,5(m + 6x) + log2(3 − −

Bài 6.252 : Cho phương trình log(x2 + 10x + m) = 2 log(2x + 1) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 6.253 : Giải các phương trình, bất phương trình :

x(4x2

12x + 9) 4 = 0; 9. 2log2 2 x x2; 9x + 9) + log3 − − − ≤

2x(2x2 1. log3 − 2. log √2

−

(cid:129)

‹

√x2 6x − 3 2 = 3; 10. 42x2 5.4x2+x + 42x+1 = 0; − −

€

2 = 0;

3 + log √x2 − 1) + 1 = log √3(2x + 1); − 2) x 11. ; log2(4x log2 1 2 − ≥ − ; log3(2x 1)2 + log √3(x + 1) − 1)x + ( √5 + 1)x 2x+ 3 12. ( √5 − − 5) + 1; 3. 2 log3(3x 4. log3(x3 + 1) = 1 2 1 = 5 log7(6x 5. 6x −

€ √x2 + 1

5x + 6 + log 1 √x √x + 3; 13. log3 √x2 2 > log 1 3 x − € √x2 + 1 + x ; − − log2 log 1 log3 6. log 1 2 ≥ −

4 x = 3.2log2

2 x + 3.xlog4 x + 4;

14. 3log2 x = x2 1; 7. 64log2

3√1 + 2x log2 x

4x + (x 8(x 3) log2 8. . 15. 0. − − 2 ≥ log8 x log2(1 + 2x) ≤ − 11)2x − log2 x −

Bài 6.254 : Giải các phương trình, bất phương trình :

0,5 x + 4 log2 √x

x (cid:1)2 log2 x

4 √x2 3x + 2(5 1. log2 5. √x2 log16 x4; 3x + 2 log2 x2 log √x 2); ≤ − − ≤

− log2(x+6) > 1; − − 5x + 6 + log 1 √x 2 > (x + 3); 6. (cid:0)2x + 3.2− 2. log3 √x2 log 1 3 1 2 −

x+1 2

− 12)3x + 11 x = 0; 7. ( √3 + 1)log2 x + x.( √3 1)log2 x = 1 + x2; − −

x + 1; 2.2x 3 > 4 4x; 8. (4x log2(x + 2)3 + 2 log2 √4 3) log2 x 3. 9x + (x − 4. log4(x + 1)2 = 1 3 − − − − −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 147

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

4) + 3 2)2 = 4; 9. 2 log3(x2 log3(x + 2)2 log3(x < √4x + 9.2x+1 3. 10. √2x+3 − − − − − 2 + 2x + 1 √2

Bài 6.255 : Giải các hệ phương trình

y + log2 21 −

x = 0 2x 1 − 1. 2. − + log4 x + log4(x + 3y); x(1 y y) + 5y + 1 = 0. 2 = 2log3(xy) 4log3(xy) − log4(4x2 + 4y2) = 1 2 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 148

Chương 7

Tích phân

7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm

Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)

(cid:17) Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F′(x) = f (x) với mọi x

∈

1. Chứng minh rằng Bài 7.1 :

F(x) = 4 sin x + (4x + 5)ex + 1

là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cos x + (4x + 9)ex.

ln x + 1 khix > 0 x2 4 − F(x) = x2 2 1 khix = 0

x ln x khix > 0 ). trên [0; + là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ∞ 0 khix = 0

Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = − Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) √3 x √3 2x. − 2x 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . Bài 7.3 : 3 − 3x + 4 x2 − 2. Cho hàm số f (x) = xex và F(x) = (ax + b)ex. Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x). −

(cid:17)

Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau

149

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

+ C;

+ C

+ C;

+ C; R (ax + b)α dx = 1 a

(ax + b)α+1 α + 1

1. R 0 dx = C; R dx = R 1 dx = x + C; 2. R xα dx = xα+1 α + 1 1, a , 0); (với α ,

+ C (với 0 < α , 1);

(b) R cos(ax + b) dx = sin(ax + b) (c) R e(ax+b) dx = e(ax+b) a (d) R αx dx = αx ln α

ax + b

− dx = ln

+C; R

+C (a , 0);

3. R 1 x

1 ax + b

dx = 1 a

(a) R

dx = tan x + C;

4. Với a là hằng số khác 0

(b) R

dx =

cot x + C.

(a) R sin(ax + b) dx =

+ C;

−

cos(ax + b) a

1 cos2 x 1 sin2 x

−

Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

13.

;

− ex

x + √x + 1 3√x

2x;

8. e3 −

√x + 1(cid:1);

2. (cid:0) √x + 1(cid:1) (cid:0)x

14.

;

−

1 x(1 + x)2 ; x4 2 x3 x

(cid:16)

(cid:17)

− −

9. x(x + 1)(x + 2);

;

15. sin

(1 + sin 2x);

π 4

10.

;

− 16. sin x sin 2x cos 5x;

1 √x −

1 3√x

;

(cid:19)2

17. sin6 x + cos6 x;

(cid:18) 1

11.

;

− x

;

18.

−

cos x

−

;

12.

;

1 √2 + sin x 19. sin x cos2 x.

1 sin2 x cos2 x cos 2x sin x + cos x x3 + 1 x2 ; 1 1 (1 + x)(1

2x)

3x2 + 3x + 3 3x + 2 x3

−

Vấn đề 3 : Tìm hằng số C

Bài 7.5 :

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x3 + 3x2 + 3x − x2 + 2x + 1

, biết rằng F(1) = 1 3

, biết rằng F(0) = 2.

2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 1 + sin x 1 + cos x

Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau :

f ′(x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5);

f ′(x) = 2

x2 và f (2) = 7 3

−

Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (

1; 2) và thỏa mãn f ′(x) = ax + b

x2 , ở đây f (1) = 4 và f ′(1) = 0.

−

Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần

(cid:17)

Công thức

u dv = uv

v du.

−

Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.

Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 150

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. R (1

2x)e3x dx;

8. R ex sin x dx;

15. R √x ln x dx;

22. R x ln

dx;

−

1 + x x 1

16. R x2ex dx;

2. R (x2 + 2x

1)ex dx;

9. R e3x sin 5x dx;

−

17. R 3x cos x dx;

3. R x sin(2x + 1) dx;

10. R e3x cos 7x dx;

dx;

1) sin x dx;

11. R xex cos x dx;

4. R (x2

− 23. R cos (ln(tan x)) dx; 24. R x cos x sin2 x 25. R x2x dx;

− 5. R x ln(1

x) dx;

ex dx;

−

18. R xex sin 2x dx; 19. R 1 + sin x 1 + cos x

x dx;

26. R xe−

13. R x sin

dx;

6. R √x ln2 x dx;

20. R sin(ln x) dx;

12. R xe2x sin(2x + 1) dx; x 2

€

x + √1 + x2

7. R ex cos x dx;

14. R x2 cos x dx;

21. R ln

dx;

27. R 25e3x cos 4x dx.

Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số

(cid:17)

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức R f (u) du = F(u) + C thì

f [u(x)] u′(x) dx = F [u(x)] + C.

Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.

Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :

1. R 2(4x

1)6 dx;

11. R 3x2 √x3 + 1 dx;

22. R

dx;

−

12. R 2x3 √4

x4 dx;

dx;

2. R

dx;

23. R

−

cos x 1 + sin x x x2 + 4

−

dx;

13. R

dx;

3. R

1 dx;

−

3x 3 √2x + 1

€

14. R

dx;

4x + 5√3x + 2

4. R

dx;

e−

(cid:129)

‹

(cid:17)

3x2 x3 + 1 x (3x2 + 9)4 dx; 15. R 2x √ex2+4 dx;

24. R (x + 1) √x 25. R tan x sin2 x 4x

26. R

dx;

cos

5. R

dx;

2x2)

(cid:16) π 2

2 6x + 5

16. R

dx;

2x + 4 x2 + 4x

− 6. R (2x + 1)4 dx;

27. R

− t2 dx;

17. R x 3√2

− 4x 2x2)2 dx;

−

7. R 2x(x2 + 1)3 dx;

dx;

(1 − 28. R ln x x

8. R

dx;

19. R

dx;

x2 √x3

−

29. R

x dx;

9. R x √x

1 dx;

18. R cos xesin x dx; ex ex + 1 20. R cos x sin4 x dx;

−

dx.

30. R

10. R 2x √x2 + 1 dx;

21. R x √x + 1 dx;

x e− 1 + e− 1 x ln x

Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau :

10. R

dx;

6. R

dx;

e2x √ex + 1

dx;

2. R

11. R

3x2 dx;

7. R 3x √7

x √2x + 3 x (1 + x2)2 dx;

−

1. R (2x + 1)20 dx; x x2 + 1 3. R x2 √x3 + 5 dx;

9x2

8. R

dx;

12. R

x ;

√1

e−

−

dx;

9. R

dx;

1 √x(1 + √x)3

4. R e3 cos x sin x dx; 5. R ln4 x x

ex − 13. R ln2 x x

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 151

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

20. R sin2 x cos3 x dx;

17. R

, (a2 , b2);

dx;

14. R

sin x cos x √a2 sin2 x + b2 cos2 x

21. R e3 sin x cos x dx;

18. R

;

dx cos x sin2 x

dx;

19. R x √1 + x2 dx;

22. R (3x + 2)10 dx.

3√1 + ln x x 15. R cos x sin3 x dx; 16. R cos x + sin x √sin x cos x

−

Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau :

x2 dx;

6. R sin(ln x) dx;

1. R x3e−

dx;

15. R

;

dx sin x + cos x

‹

cos

dx;

11. R ln (tan x) cos2 x 12. R sin5 x 3

x 3

dx;

16. R

;

2. R sin √x dx; 3. R ln(ln x)

dx;

7. R cos2 √x dx; 1 (cid:129) 1 ln x

4 sin x + 7 cos x

cos

13. R 1

dx;

−

1 x

x 4. R cos2(ln x) dx;

dx;

8. R ln2 x − 9. R x cos x sin2 x

;

dx.

14. R

5. R e √x dx;

10. R sin (cid:0) √x + 1(cid:1) dx;

x2 sin dx 3 + 5 cos x

17. R 4 sin x + 6 cos x + 5 sin x + 2 cos x + 2

7.2 Các dạng toán tích phân

Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản

(cid:17)

Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì

(cid:12)

Z b

(cid:12)

= F(b)

F(a).

f (x) dx = F(x)

−

Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :

π 2

π 4

x(x + 1)2 dx;

;

(cid:0)2x2 + cos x(cid:1) dx;

13.

;

dx x2(x + 1)

dx (1 + tan2 x) cos4 x

π 3

π 2

sin3 x

π 6

10.

dx;

14.

cos2 2x dx;

(2 cos x

sin 2x) dx;

(sin 6x sin 2x

6) dx;

cos x

−

π 6

−

π 2

−

(cid:129)

‹

π 2

dx;

√x3

2x2 + x dx;

11.

15.

sin 2x sin 6x dx;

dx;

1 x(x + 1)

−

1 2

1 3 3√x2

π 2

π 3

€

ln 2

− π 6

12.

;

e x

dx;

tan x dx.

16.

dx sin2 x cos2 x

e2x+1 + 1 ex

−

π 6

Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối

(cid:17)

1. Công thức tách cận tích phân

Z b

Z c

Z b

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx.

f (x)

2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối

dx (giả sử a > b).

a |

[a; b], giả sử a

x1 < x2 <

≤

< xn ≤

· · ·

(a) Giải phương trình f (x) = 0, được các nghiệm xi ∈ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 152

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(b) Dùng công thức tách cận

f (x)

dx =

dx +

· · ·

(cid:12)

f (x) dx

(cid:12)

· · ·

(cid:12)

Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.

1. Cho

f (t) dt =

3 và

f (u) du = 4, tính

f (x) dx.

Bài 7.13 :

−

f (x) dx = 4.

2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f ′(1) = 2 và

f (x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b.

Bài 7.14 :

1. Cho hàm số f (x) = a.3x + b, biết rằng f ′(0) = 2 và

2π

f (x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b.

2. Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′(0) = 4 và

f (x) dx = 1 và

f (t) dt = 5. Tính tích phân I =

f (x) dx.

1. Cho

Bài 7.15 :

;

2. Cho a

và thoả mãn

cos(x + a2) dx = sin a. Tính giá trị của a.

• π 2

3π 2

∈

Bài 7.16 : Tính các tích phân sau :

2π

dx;

16.

√1 + cos x dx;

dx;

11.

−

0 |

3 |

0 |

−

π 2

dx;

√4

12.

dx;

√x2

cos x √cos x

17.

6x + 9 dx;

cos3 x dx;

−

− |

−

0 |

π 2

−

− π

2π

π 2

√1

13.

sin x dx;

√1

cos 2x dx;

x + 2

) dx;

sin x

dx;

18.

−

( |

| − |

−

π 2

−

− π 3

√3

− π

√tan2 x + cot2 x

14.

2 dx;

√x3

4x2 + 4x dx;

19.

√1 + cos 2x dx;

−

x2 1 1 + x2 dx; − |

π 6

2π

x2 + 2x

√1

15.

dx;

10.

dx;

sin 2x dx;

20.

√1 + cos x dx.

−

0 |

Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần

(cid:17)

(cid:12)

u dv = uv

v du.

a −

Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc

chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ.

Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại.

Chú ý :

• Tích phân I = R ex sin x dx đặt u = ex và dv = sin x dx . . .;

• Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã;

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 153

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

• Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm.

Bài 7.17 : Tính các tích phân sau :

ln 2

2x ln(x

xe2x dx;

(x2 + 1)e2x dx;

17.

1) dx;

−

18.

x ln2 x dx;

(2x

2x dx;

10.

(2x2 + x + 1)ex dx;

1)e−

−

€

π 2

11.

√x + 1e √x+1 dx;

x ln

x + √1 + x2

19.

dx;

x) sin x cos x dx;

−

π 4

12.

2 √x dx;

(ln(x

20.

ln(x + 1)) dx;

x sin x dx;

−

(x2 + 2x + 3) cos x dx;

13.

21.

ex cos2 x dx;

2x ln x dx;

π 2

14.

1) sin x dx;

22.

ex sin2(πx) dx;

x3 ln2 x dx;

−

π 2

15.

x cos x sin2 x dx;

23.

x2 cos x dx;

e2x sin 3x dx;

π 2

π 3

16.

dx;

−

ex cos 2x dx;

24.

x) sin x dx.

x sin x 1 + cos x

−

π 3

Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số

(cid:17)

R f (ax + b) d(ax + b);

(2x

3)3

R (2x

3)2d(2x

+ C.

VD : R (2x

− 3

3) = 1 2

− d(ax + b).

1. Phương pháp đổi biến số đơn giản (a) R f (ax + b) dx = 1 a 3)2 dx = 1 2 − Chú ý : d(ax + b) = a dx

− dx = 1 a

⇒ f (xn+1) d(xn+1), đặt t = xn+1;

(b) R f (xn+1)xn dx = 1 n + 1

VD : I = R (4x3 + 1)2x5 dx = R (4x3 + 1)2x3.x2 dx. Đặt t = 4x3 + 1

− 4

⇒

(cid:129) 1

Vậy I = R t2

dt = 12x2 dx và x3 = 1 ‹3 dt 12

− 4

· · ·

(c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm

sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó.

VD :

t2 = 2x3 + 1

i. I = R x2 √2x3 + 1 dx, đặt t = √2x3 + 1

2t dt = 6x2 dx

t dt 3

⇒

· · ·

rồi dùng phương

dt = 2x dx và x2 = t

x2 dx = t dt 3 ⇒ 1, nên I = R x2.ex2+1x dx = R (t

, nên I = R t. 1)et dt 2

⇒

−

cos

R sin t cos t dt =

R sin 2t dt.

iii. I = R 1

dx, đặt t = 1

dt =

ii. I = R x3.ex2+1 dx, đặt t = x2 + 1 pháp nguyên hàm từng phần. 1 x

1 x

dx x2 , nên I =

1 2

−

x ⇒

−

x2 sin 2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác

Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về một trong các dạng sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 154

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(a) R f (sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos2 x = 1

sin2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cos x

−

đều đưa được về sin x), đặt t = sin x

dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ).

⇒

(b) R f (cos x) sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin2 x = 1

cos2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sin x

−

đều đưa được về cos x), đặt t = cos x

sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ).

−

, đặt t = tan x

(tức là tích phân có lũy thừa của sin x và cos x cùng tính chẵn lẻ). Trường

dx cos2 x

⇒

dt = ⇒ dt = dx cos2 x hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos 2x cũng đặt t = tan x, khi đó sin 2x = 2t

1 + t2 , cos 2x = 1

t2 1 + t2 . −

(d) R f (cot x)

, đặt t = cot x

dt =

⇒

dx sin2 x

(cid:16)

(cid:17)

dx đặt t = sin x

cos x.

− (e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx hoặc sin

−

(cid:16)

(cid:17)

dx đặt t = sin x + cos x.

(f) Tích phân chứa (sin x

cos x) dx hoặc sin

. x + π 4 π 4

−

= R

cos x dx = R

cos x dx, đặt t = sin x.

VD : I = R

1 cos2 x

dx cos x

1 sin2 x

−

− = R cos x dx cos2 x 3. Phương pháp đổi biến với tích phân chứa √ax2 + bx + c

(a) Nếu chứa √a2

−

≤

(b) Nếu chứa √x2

và t , 0.

x2 đặt x = a sin t, a2 đặt x = a sin t

≤

< t <

− − (c) Nếu chứa √x2 + a2 đặt x = a tan t,

π 2 ≤ − π 2 ≤ π 2

π 2 π 2 π 2

−

VD :

)

(a) I = R

dx = √2 cos t dt. Ta được :

−

π 2 ≤

⇒

√2

√2 x2 − x2 = √2

= R dt = t + C.

−

π , đặt x = √2 sin t ( 2 ≤ 2 sin2 t = √2 cos2 t = √2 cos t, và I = R √2 cos t dt √2 cos t

(b) I = R √x2 + 1 dx, đặt x = tan t,

. Ta được :

và √x2 + 1 = 1 cos t

‹2

π < t < 2 (cid:129) (sin t + 1)

d(sin t)

= R

I = R

d(sin t) = . . .

−

π 2 − = 1 2

, nên dx = dt cos2 t (sin t 1) (sin t + 1)(sin t

− 1)

sin2 t)2

−

x + √x2 + a2

, đặt x = tan t và ta được I = ln

+ C.

dt cos3 t dx √x2 + a2

(d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan

x 2

4. Phương pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ

Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn :

dx, đặt t = ex

dt = ex dx = t dx

, vậy thì I = R

= . . ..

(a) I = R

ex ex + 1

t t + 1

dt t

⇒

= . . .

, đặt t = 2x

dt = 2x ln 2 dx = t ln 2 dx

, vậy thì J = R

(b) J = R

dx 2x + 1

dx = dt t dx = dt t ln 2

dt t ln 2 t + 1

⇒

5. Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức

dx x

, đặt t = ln x, ta được dt = dx x

dx, đặt t = ln x + 1

, vậy I = R t dt.

I = R f (ln x). VD : Tính I = R ln x + 1

dt = dx x

⇒

Bài 7.18 : Tính các tích phân sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 155

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

π 2

π 3

22 3

π2 4

12.

;

33.

3√3x + 5 dx;

23.

cos x dx;

sin 2x dx cos2 x 4

x dx cos2 x

π 2

13.

dx;

x3(1 + x4)3 dx;

24.

dx;

34.

dx;

ln(ln x) x

(1 + sin x)1+cos x 1 + cos x

14.

dx;

x2e3x3 dx;

− 2x √1 + x2 ln2 x x

π 2

25.

x3ex2 dx;

35.

(x + sin2 x) cos x dx;

ln 2

π 2

√ex

1 dx;

15.

dx;

sin x 1 + cos x

26.

cos(ln x) dx;

π 2

a 2

(cid:0)esin x + cos x(cid:1) cos x dx;

36.

16.

dx;

, (a > 0);

− √1 + ln x x

27.

dx;

−

1 + x ln x x

π 3

√a2 dx

17.

dx;

37.

sin x ln(tan x) dx;

√1 + x x

π 2

a2 + x2 , (a > 0);

π 4

28.

cos x ln(sin x) dx ;

π 4

x2 √2

18.

x2 dx;

;

−

dx x2 + x + 1

38.

;

π 4

x dx x4 + x2 + 1

29.

;

√1 + 4 sin x cos x dx;

19.

x dx 1 + sin 2x

x(1

x)5 dx;

−

ln π 2

ln 3

39.

e2x sin2(ex) dx;

π 2

30.

dx;

20.

dx;

xex √ex + 1

x3 + 2x2 + 10x + 1 x2 + 2x + 9

sin 2x √cos2 x + 2 sin2 x

π 3

π 4

xex cos x dx;

40.

31.

ex ln(ex + 1) dx;

dx;

10.

21.

dx (sin x + 2 cos x)2 ;

x + 1 3√3x + 1

√3

π 2

π 4

11.

x5 √1 + x2 dx;

22.

(cid:0)esin x + cos x(cid:1) cos x dx;

32.

;

41.

dx.

x sin x dx cos3 x

ln(ln x) x

Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác

π 3

π 2

sin4 x cos4 x dx;

23.

;

12.

cos 3x cos 5x dx;

dx 1 + sin x + cos x

π 2

π 3

π 4

− π 4

cos 3x tan x dx;

dx;

24.

;

13.

3 sin 2x + 4 cos 2x + 5 4 sin 2x + 5 3 cos 2x

dx 1 + cos 2x

π 2

sin x sin 2x cos 5x dx;

dx;

25.

14.

dx;

− 3 cos x + sin x + 2 2 sin x + cos x + 1

4 sin3 x 1 + cos x

€

π 3

π 6

π 2

cos10 x + sin10 x

sin4 x cos4 x

dx;

26.

dx;

−

dx;

15.

tan4 x cos 2x

cos x √1 + cos2 x

π 4

cos4 x dx;

π 4

;

27.

16.

(cid:0)tan2 x + tan4 x(cid:1) dx;

dx cos4 x

€

π 2

sin6 x + cos6 x

dx;

π 4

28.

sin3 x cos2 x dx;

17.

π 3

π 4

√tan2 x + cot2 x

2 dx;

π 2

dx;

29.

−

π 6

dx;

18.

sin5 x cos7 x

dx (sin x + 2 cos x)2 ; sin x + 7 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5

π 2

π 6

π 2

dx;

(cid:16)

30.

(cid:17) ;

4 sin3 x 1 + cos x

dx;

19.

cos x cos

9 sin x 2 cos x − cos x + 2 sin x + 1

x + π 4

π 2

sin 2x sin 5x dx;

π 4

dx;

20.

;

31.

π 2

−

sin x 3 + cos2 x

cos x

dx √2 + sin x

−

5π 12

π 4

10.

;

sin2 x cos4 x dx;

21.

32.

;

sin 2x + 2 √3 cos2 x + 2

√3

π 12

sin x dx 1 + sin 2x

−

(cid:16)

(cid:17)

π 2

√2 sin

π 3

π 4

−

cos x √cos x

22.

cos3 x dx;

33.

11.

dx;

sin 2x

2 sin x

−

cos x

π 3

π 2

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 156

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ

1 2

17.

;

dx;

33.

−

dx 1 + 4√x

dx √x + 1 + p

(x + 1)2

x5 x2

x3 √1

1 2

−

x2 √a2

18.

x2 dx, với a > 0;

dx;

1 2

−

x + 3 x √2x + 3

dx;

34.

É 1 + x x 1

19.

x √3 + x2 dx;

;

x dx 3√x + 1

− É 1

35.

dx;

x − 1 + x

20.

;

√x2

x dx 1 + √2 + x

√2

36.

dx;

− √x2 + x + 1

;

dx;

21.

dx √x + 3√x

− É x 2

−

x2 + 1

dx;

37.

√x2

4x + 3

;

22.

;

−

dx 2x + 2

dx 1 + 3√x

− 2x + 2 2x + 2

−

dx;

38.

√x2 x x + √x2 4

É 1

x 1 + 3√x

23.

;

dx;

x − 1 + x

dx 1) √x2

4x + 3

2+ √2

2 √3

−

;

39.

;

x2 √4

24.

x2;

dx x √x2 + 4

√5

√x + 1 + √x

−

− 0

40.

dx;

(x2 + x) √x + 1 dx;

√

25.

x(x + 2) dx;

É 1 + x x3

−

1 3

− 1

3 4

√3

√2x

26.

x2 dx;

10.

;

41.

x3 √x2 + 1 dx;

−

x dx √1

x2 √4

27.

x2 dx;

11.

;

−

x3 √1

42.

x2 dx;

− x dx 1 + √x

−

28.

;

12.

;

3√ 2

− dx √x + 9

√x

−

x5 3p

43.

5x3)2 dx;

−

dx 1 + x + √x2 + 1 x + 1

1 3√5

29.

dx;

;

13.

x dx √1 + x

44.

, n

dx;

30.

√x3

14.

2x2 + x dx;

∈

dx (1 + xn) n√1 + xn

−

√x2 x2 − √3 + 2x

2x + 2 − 2x + 5 x2

−

45.

x7 7√8x4 + 1 dx;

31.

dx;

15.

dx (x2 + 8)3

2x2 √1 + x

46.

x15 √1 + 3x8 dx.

x 3√1

16.

x dx;

32.

;

−

√4

−

Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ

(cid:17)

dx, với P(x) là một đa thức nào đó.

P(x) ax2 + bx + c

dx.

Xét tích phân dạng R VD : Tính I = R 2x3 + 3x2

x − x2 + 2x + 2

• Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được

(2x

I =

1) dx +

−

3x + 2 x2 + 2x + 2

−

dx.

−

vấn đề là cần tính I1 = R

3x + 2 x2 + 2x + 2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 157

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

• Tách tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là

(2x + 2) + 5, vậy :

3 3x + 2 = − 2

−

+ 5

I1 =

3 2

Z (2x + 2) dx x2 + 2x + 2

dx x2 + 2x + 2

−

= ln

x2 + 2x + 2

+ C.

= R d(x2 + 2x + 2) x2 + 2x + 2

, ta nhận thấy mẫu x2 + 2x + 2 vô nghiệm, nên x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 (tổng quát : ax2 + bx + c =

– Với R

(cid:129)

– Với R (2x + 2) dx x2 + 2x + 2 dx x2 + 2x + 2 ∆ ‹2

) và ta được

x + b 2a

dx x2 + 2x + 2

dx (x + 1)2 + 1

và (x + 1)2 + 1 = tan2 t + 1 = 1

, thay vào ta được

đặt x + 1 = tan t

dx = dt cos2 t

cos2 t

⇒

dt = t + C.

dx x2 + 2x + 2

dt cos2 t 1 cos2 t

Dạng tổng quát : R

x2 + x

dx và biến đổi như trên ta được :

x2 + a2 , đặt x = a tan t. Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt. VD : Tính I = R 2x3 − 2x2

− 3x + 1

I =

− (x + 1) dx +

dx =

5 − 3x + 1

2x2

(x + 1) dx + 3 4

2x2

3 − 3x + 1

11 4

dx 3x + 1

2x2

−

= ln

2x2

3x + 1

+ C.

• Với R

2x2

−

(cid:129)

‹

− 3x + 1) dx = R d(2x2 − 3x + 1 2x2 −

−

3x + 1 = 2(x

, nhận thấy mẫu 2x2

3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và

, nên 2x2

• Với R

1 2

3 − 3x + 1 dx 3x + 1

2x2

−

(cid:129)

‹

−

‚

−

(cid:129)

2).

Ta biến đổi

1 3x + 1

= 1 2

2x2

‹ = 1 2

−

1 2 −

−

1 2

1 2 − ‹ = 1 2

−

Ta được :

€

‚

(cid:12)

(cid:129)

‹

(cid:12)

1 2

(cid:12)

+ C.

(cid:12)

dx 3x + 1

2x2

dx 1

d(x x

1 2

−

(cid:12) −

−

dx 1 2 −

− 1 2

−

1) − 1 −

−

+ C.

VD : Tính R

Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép. R d(x + 1) = 1 = (x + 1)2 2

dx (x + 1)2

dx 4x + 2

= 1 2

2x2

1 2

1 x + 1

−

Chú ý rằng :

• Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x

x1)(x

x2).

− • Nếu ax2 + bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax2 + bx + c = a(x

− x0)2.

−

• d(x + a) = dx với mọi số thực a.

Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau :

1. R

;

3. R

;

7. R

;

dx;

dx 3x + 1

x + 1

2x2

dx x2(x + 1)

5. R x3 + 5x2 + 3x − x2 + 6x + 9

−

dx;

8. R

dx;

;

4. R

dx 4x + 4

6x + 10 6x + 8

7 − 3x + 2

6. R x2 x2

−

− −

−

2. R x2 + 3x − 2x + 3 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 158

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

9. R

12. R 3x + 1

14. R

dx;

1 (x2 + 3x + 2)2 dx; −

(x + 1)3 dx;

x dx (x2 + 1)2 ;

16. R x4 x3

1 x

− −

2x + 5

dx;

10. R

9x2

6x + 1

(x2 + 1) dx

11. R

13. R

17. R

;

dx;

15. R x2 + 2x + 1

− 2x + 1 4x + 4)3 dx;

(x2

x3 (x2 + 1)2 dx;

1)3(x + 3)

x2 + 1

−

Bài 7.22 : Tính các tích phân sau :

1 2

(x2 + 1) dx

x3 dx

;

11.

21.

;

(x2 + 3x

1)(x2 + 5x

dx (11 + 5x)2 ;

x dx x2 + x + 1

31. − 2

3x + 2

−

− 1

− (x2

4) dx

(x2

(x2 + 1) dx

;

22.

12.

;

−

;

32.

(x2

− 3x + 4)(x2

2x + 4)

4) dx 4x2 + 6x

2x3

− 3x3 dx x2 + 2x + 1

(x2 + 5x + 1)(x2

3x + 1)

−

− 3x + 8

23.

dx;

13.

;

33.

;

9x + 14

x dx x4 + x2 + 1

(4x + 2) dx (x2 + x)(x2 + x + 2)

−

24.

14.

;

− 6x2 + x + 2 (4x + 1)(x2 + 1) x4 + 5x2 + 4 x(x2 + 2)2 dx;

(x2

6) dx

x dx x4 + 4x2 + 3

1 2

34.

− (x2 + 3x + 2)(x2 + 9x + 18)

25.

dx;

(cid:16)

15.

;

(cid:17)2

− (x + 2)(x2 + 1)

x2 1 1 + x4 dx; − dx x4 + 4x2 + 3

35.

dx;

x 3x + 2

√2+ √6 2

1 2

−

16.

dx;

26.

dx;

;

x2 (1 + x)2 dx; 2x + 1 x2 + x

x2 + 1 x4 + 1

3x2

dx 2x

36.

−

‹2

− x dx (x2 + 1)2 ;

(cid:129) x

17.

dx;

27.

;

1 − x + 2

− dx 4x + 5

−

37.

dx;

− 1

5x + 3 2x2

28.

dx;

18.

−

;

−

x dx (x + 1)3 ; x2 1 − x4 + 1

dx 2x + 2

1 2

−

3 2

‹2

38.

;

19.

;

dx;

29.

x dx 5x2 + 4

−

(cid:129) 2x + 1 x + 1

1 2

8x + 13

20.

30.

39.

;

10.

;

− x2 dx x2 + 1

3x)4 (1 (2x + 1)3 dx; x3 dx (x2 + 1)2 ; x5 dx 4x6 + 4x3 + 1

x2 (x2 + 1)2 dx;

3x2 − (x + 3)(x

1)2 dx.

−

Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt

(cid:17)

1. Đối với hàm chẵn, lẻ

a; a] thì

−

(a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [ a

f (x) dx = 2

f (x) dx.

− (b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [

a; a] thì

−

f (x) dx = 0.

−

Nhận xét : Như vậy, trước khi tính tích phân ta cần chú ý đến hai cận, nếu thấy hai cận đối nhau ta cần để ý đến tính chẵn lẻ

của hàm số dưới dấu tích phân rồi áp dụng kết quả khẳng định trên.

2. Tích phân kết hợp giữa hàm chẵn và hàm mũ

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [

a; a]. Khi đó :

−

f (x) dx.

dx =

f (x) mx + 1

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 159

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau

f (a + b

Ta có hệ thức :

x) dx =

f (x) dx.

−

4. Tích phân hàm tuần hoàn

Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì

a+T

f (x) dx =

f (x) dx.

5. Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a + b

x) = f (x) thì

f (x) dx.

− x f (x) dx = a + b 2

f (sin x) dx.

Đặc biệt :

x f (sin x) dx = π 2

6. Tích phân của các hàm số đối xứng nhau - tích phân liên kết lượng giác

π 2

Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì

f (sin x) dx =

f (cos x) dx.

Đặc biệt

π 2

sink x (sin x + cos x)n

cosk x (sin x + cos x)n ;

sink x sinn x + cosn x

cosk x sinn x + cosn x

7. Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân

( f (x) + f (2a

f (x) dx =

x)) dx.

Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì

−

1. Chứng minh rằng

ecos x dx = 2

ecos x dx.

Bài 7.23 :

−

2. Tính các tích phân sau:

1 2

‹

cos x ln

dx.

I1 =

ln(x + √x2 + 1) dx; I2 =

(cid:129) 1 + x x 1

−

1 2

−

Bài 7.24 : Tính các tích phân sau :

π 3

1 2

cos7 x dx;

;

(ex + 1) √1

π 3

1 2

−

π 2

dx;

;

x6 + tan x x2 + 1

x2 sin x | | 2009x + 1

π 2

€

−

− a

sin x + √a2

dx (a > 0);

π 2

−

10.

dx;

”

€

sin x sin 2x cos 5x ex + 1

− 1

Š—2007

π 2

−

x + √1 + x2

dx;

€

(cid:129)

‹

− 1

11.

dx;

1 + √1 + x2 x ln (3x + 1) √1 + x2

x2 + cos 6x + sin

sin

dx;

−

3x 2

x 2

(cid:129) 2 + x x 2

− 1

12.

dx;

x2 ln(1 + x2) 2x + 1

dx;

−

− x3 + x x5 sin x x4 + x2 + 1 + cos x

x4 sin4 x + cos4 x

€

1 2

x ln

− 1

13.

dx;

;

1+x 1 x − ex + 1

dx (2x + 1)(x2 + 1)

1 2

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 160

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:129)

‹

π 2

tan2(cos x)

dx;

14.

dx;

27.

x2 cos x ex + 1

1 cos2(sin x) −

π 2

− π 4

π 2

15.

ln(1 + tan x) dx;

;

28.

1 x

sinn −

sinn x 1 x + cosn −

π 2

16.

29.

ln(tan x) dx;

4π

π 2

17.

dx;

ln(1 + x) 1 + x2 dx; sin7 3x cos8 5x 1 + cos10 x

30.

ln(sin x) dx;

”

—

π 2

tan2007 2x + sin2009 6x

18.

dx;

π 2

dx;

31.

dx 1 + tan2009 x

2007π

√1

cos 2x dx;

19.

−

√ln(9

dx;

32.

−

x) x) + √ln(x + 3)

√ln(9

5π 4

−

20.

dx;

3π

33.

sin x sin 2x sin 3x dx;

21.

;

sin 2x cos4 x + sin4 x x sin x dx 9 + 4 cos2 x

cos 7x dx;

34.

É sin 5x sin 3x

22.

x sin x dx;

2π

35.

√1 + sin x dx;

23.

x sin3 x dx;

36.

x sin x cos2 x dx;

24. I =

;

x sin x d x 1 + sin2 x

π 2

37.

dx;

;

25.

cos3 x sin x + cos x

cos4 x sin4 x + cos4 x

π 2

26.

38.

sin x (sin x + cos x)3 ;

x4 1 + 2x dx;

−

Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau :

xm(1

xn(1

x)n d x =

x)m dx;

−

x f (x) dx (a > 0; x > 0);

x3 f (x2) d x = 1 2

T 2

3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì

f (x) dx = 2

f (x) dx.

7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

1. elíp :

= 1, (a, b > 0).

+ y2 b2

x2 a2 2. đồ thị hàm số y = x3

1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành.

3. đồ thị hàm số y = 4

− x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.

−

4. parabol y = 2

x2 và đường thẳng y =

−

5. đường thẳng y = x + 2 và parabol y = x2 + x

−

6. đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và đường thẳng y = x

−

Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 161

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

và y = x2.

1. đồ thị các hàm số y = 27 x

, y = x2 27

6, trục hoành, và hai đường thẳng x =

2, x = 4.

2. parabol y = 2x2

−

− 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2) và B(4; 5).

3. parabol (P) : y = x2

− 4. đồ thị các hàm số y =

và y =

+ 5.

−

√4

| x2 và x2 + 3y = 0.

5. đồ thị các hàm số y =

− 6. đồ thị các hàm số y = sin

− và y =

π.

7. đồ thị các hàm số x2 = 4y và y =

| − 8 x2 + 4

Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2 + 1 và cho đường thẳng dm : y = mx + 2.

1. Chứng minh rằng với mọi m thì (P) và dm luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt.

2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và dm có diện tích nhỏ nhất.

Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

1. đồ thị các hàm số y = x2, y = x2 4

, y = 2 x

và y = 8 x

2. đồ thị các hàm số y2 = 2x, x

2y + 2 = 0 và trục hoành.

−

3. đồ thị hàm số y2 + x

5 = 0 và đường thẳng x + y

3 = 0.

−

4. đồ thị các hàm số x2 = 3y và y2 = 3x.

5. parabol y = x2

2x + 2 và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2;

2).

−

7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay

x2 và trục hoành.

Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x

−

1. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

2. Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy.

. Tính thể tích Vx, Vy của hình tròn xoay tạo bởi

và y = x2 27

Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2, y = 27 x khi quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng).

x2 và y = x2 + 2. Tìm thể tích Vx, Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay

−

Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4 S quanh trục Ox, Oy.

Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = 1. Tìm thể tích Vx, Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy.

Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành và đường thẳng x = 1 . Tìm thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = 0 và x = π. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = e. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 162

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH

2x + x(cid:1) ex dx.

Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I =

(cid:0)e−

dx.

Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I =

2x 1 − x + 1

4x + 3

, y = x + 3.

Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y =

−

2 √3

Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I =

dx x √x2 + 4

√5

dx.

Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I =

−

π 2

dx.

Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I =

x 1 + √x sin 2x + sin x √1 + 3 cos x

π 2

dx.

Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I =

sin 2x √cos2 x + 4 sin2 x

Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x.

π 6

dx.

Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I =

tan4 x cos 2x

π 2

(cid:0)cos3 x

1(cid:1) cos2 dx.

Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I =

−

dx.

Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I =

x2 + ex + 2x2ex 1 + 2ex

Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y =

x2 4

−

và y = x2 4 √2

dx.

Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I =

√1 + 3 ln x ln x x

π 2

dx.

Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I =

sin 2x cos x 1 + cos x

ln 5

Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I =

ln 3

dx ex + 2.e−

−

Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.

€

π 4

sin

π 4

Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I =

Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I =

Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I =

− sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) 3 + ln x (x + 1)2 dx. ln x x(2 + ln x)2 dx.

dx.

Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I =

−

0 | 3

ln(x2

x) dx.

Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I =

−

π 2

(cid:0)esin x + cos x(cid:1) cos x dx.

Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I =

2)e2x dx.

Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I =

−

x3 ln2 x dx.

Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I =

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 163

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I =

ln x x3 dx. dx

Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I =

−

(cid:129)

‹

dx.

Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I =

3 x

−

7.6 Bài tập tổng hợp

Bài 7.64 : Tính tích phân : I =

x3 dx x2 + 1

ln 3

Bài 7.65 : Tính tích phân : I =

ex dx (ex + 1)3

€

22x + 3√x + 1

dx.

Bài 7.66 : Tính tích phân : I =

− π 4

dx.

Bài 7.67 : Tính tích phân : I =

x 1 + cos 2x

x3 √1

x2 dx.

Bài 7.68 : Tính tích phân : I =

−

ln 5

Bài 7.69 : Tính tích phân : I =

e2x dx √ex 1

ln 2

− x3ex2 dx.

Bài 7.70 : Tính tích phân : I =

ln x dx.

Bài 7.71 : Tính tích phân : I =

x2 + 1 x

π 3

sin2 x tan x dx.

Bài 7.72 : Tính tích phân : I =

dx.

Bài 7.73 : Tính tích phân : I =

x + 2 3√x + 1

x2 ln x dx.

Bài 7.74 : Tính tích phân : I =

π 4

(tan x + esin x. cos x) dx.

Bài 7.75 : Tính tích phân :

dx.

Bài 7.76 : Tính tích phân : I =

ln2 x x √ln x + 1

π 2

(2x

1) cos2 x dx.

Bài 7.77 : Tính tích phân : I =

−

Bài 7.78 : Tính tích phân : I =

dx 2x + 1 + √4x + 1

x + 3 và đường thẳng d : y = 2x

2 Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2

−

√e

2 ln x

dx.

Bài 7.80 : Tính tích phân : I =

−

x √1 + 2 ln x

Bài 7.81 : Tính tích phân : I =

dx 2 √x

−

π 2

(x + 1) sin 2x dx.

Bài 7.82 : Tính tích phân : I =

2) ln x dx.

Bài 7.83 : Tính tích phân : I =

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 164

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

dx.

Bài 7.84 : Tính tích phân : I =

√2x + 1 1 + √2x + 1 Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y = x(1

x) − x2 + 1

x2.

Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = √2

−

dx.

Bài 7.87 : Tính tích phân : I =

1) 4

x(x x2

− − x2 cos x dx.

Bài 7.88 : Tính tích phân : I =

Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x 4

và y = x2 x + 1

x √2x + 1; y = 0; x = 1 xung

Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3− quanh trục Ox.

x = 2.

Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = x và 3y

−

và y = 2x.

Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

−

1)2 + (y

1)2 = 1. Tính thể tích vật thể khi quay D quanh trục Ox.

Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x

−

Bài 7.94 : Tính các tích phân sau :

14.

dx;

π 2R

ln x (1 + x)2 dx;

sin 2x 1 + cos4 x

1 e

dx;

(2x

x + sin x 1 + cos x cos3 x

1)2e3x dx;

π 4R

dx;

−

cos x

sin x

15.

;

−

x sin2 x dx sin 2x cos2 x

e+1

x2 ln(x

1) dx;

π 6

(cid:16)

(cid:17)

−

cos

9. R π 2 π 4R

dx;

10.

;

16.

dx;

π 4 − 3 cos x

dx x + √1

ln3 x x(ln2 x + 1)

−

x dx

;

11.

x sin x cos x dx;

√2 + x + √2

−

π 2R

(cid:2)3x(x

17.

1) + e1+cos x sin 2x(cid:3) dx;

0 π 4R

−

dx;

12.

dx;

x2 + 1 x √3x + 1

x sin x cos3 x

π 4

18.

1 dx;

13.

dx;

3x (cid:1) .

cos2 x (cid:0)1 + e−

ln(x2 + 3) x2

π 4

x3 − x 3√3x

4 −

−

Bài 7.95 : Tính các tích phân sau :

3 ln 2

ln √3

π 2

;

dx;

13.

;

e2x dx 1 + √3ex + 1

dx e2x + 1

x cos x sin3 x

π 4

;

dx;

ln 5

x √x x

− 5

dx 1 + √1

14.

;

−

dx 1) √ex

ln 2

(10.e−

−

€

0 π 2R

;

cos 2x

sin4 x + cos4 x

dx;

π 4

− 2

15.

dx;

x sin x cos3 x

10.

;

dx 1 + x + √1 + x2 x ln(x2 + 1) + x3 x2 + 1

dx x4 + 4x2 + 3

”

—

π 2

sin 2x

3 cos x

dx;

11.

16.

dx;

√x(2

x) + ln(4 + x2)

dx;

1 + x 1 + √x

− 2 sin x + 1

−

0 π 3R

√4

dx;

12.

dx;

17.

x + sin2 x 1 + cos 2x

− x2

sin x cos x √3 + sin2 x

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 165

Chương 8

Số phức

1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;

Bài 8.1 :

2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;

3. Với bất kì số phức z, số phức z.z

R là một số thực không âm ;

∈

4. z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;

5. z1.z2 = z1.z2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ;

1 ;

1 = (z)−

6. Với bất kì số phức z , 0, có z−

‹

, z2 , 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ;

(cid:129) z1 = z1 z2 z2 (z) = z + 2 2 ℜ

;

Bài 8.2 :

(z) = z và ℑ 1. Tính z = 5 + 5i 4i

− 2i + 20 4 + 3i

−

C. Chứng minh rằng số E = z1.z2 + z1.z2 là một số thực.

2. Giả sử z1, z2 ∈

Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :

(z)

và

;

z | ≤ ℑ

−|

z |

≤ |

z | ;

≤ | z |

z | ≤ ℜ = z | 2 ;

−| z | | 3. z.z =

| − z | =

(môđun của một tích bằng tích các môđun) ;

;

z1|

z2|

(cid:12)

, z2 , 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ;

(cid:12)

z1 −

z1|

z2|

| z1.z2| . z1| z2| | | z1 + z2| ≤ | z2| ≤ | z1| − | = 1, z , 0 ; z− z |− | z1| z1 = | z2| z2 | z2| ≤ | z2| ≤ | z1| − | Bài 8.4 : Chứng minh rằng

2 +

2 = 2(

z1 + z2|

z1 −

z2|

z1|

z2|

với mọi số phức z1, z2.

là số thực.

1, thì

Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu

= 1 và z1.z2 ,

z1|

z2|

−

z1 + z2 1 + z1z2

Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và

(cid:12)

= a

C∗ :

Ma =

(cid:12)

z + 1 z

∈

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

khi z

Ma.

z |

∈

167

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có

z + 1

z2 + 1

hoặc

| ≥

1 √2

Bài 8.8 : Chứng minh rằng :

z + z2

7 6

7 2 ≤ |

1 + z |

−

| ≤

với mọi số phức mà

= 1.

z |

Bài 8.9 : Xét tập

H =

C : z = x

1 + xi, x

R . }

∈

Chứng minh rằng có duy nhất số z

H sao cho

∈ với mọi w

− H.

∈

z { w |

∈

z | ≤ |

Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho

y = tx + (1

t)z, t

(0; 1).

−

∈

Chứng minh rằng

≥

z y | − | y z −

| |

z x | − | x z −

| |

y x | − | x y −

Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức

8(1

i)z + 63

16i = 0.

−

Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2 + px + q2 = 0 có cùng môđun, thì

là một số thực.

p q

Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với

| 1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2 = ac.

2. Nếu mỗi phương trình

az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0

có một nghiệm có môđun bằng 1, thì

−

Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C :

1. z2 + z + 1 = 0 ;

2. z3 + 1 = 0.

Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau :

3i)x2 + (3 + 2i)xy = 4y2

x2 + (3xy

3. (4

2y2)i.

1 2

−

= i ;

2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ; 1. (1 − + y x 3 − 3 + i 3

3 i

− −

Bài 8.16 : Tính :

‚

Œ6

i)(

3 + 2i)(5

1. (2

4i) ;

−

;

−

1 + i √3 2

i √7 2

4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(

2. (2

i) ;

−

‹16

‹8

(cid:129) 1

;

− (cid:129) 1 + i i 1

i − 1 + i

3 + 7i 2 + 3i

+ 5 2

8i 3i

−

− −

Bài 8.17 : Tính :

1. i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 ;

3. i1.i2.i3 . . . i2000 ;

5 + (

i)7 + (

100 + (

+ in, với n

1 ;

i)94.

4. i−

i)13 + i−

2. En = 1 + i + i2 +

· · ·

≥

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 168

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 8.18 : Giải phương trình trong C :

1. z2 = i ;

2. z2 =

i ;

3. z2 = 1

−

√2 2

2 −

Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z , 0 sao cho z + 1

z ∈

Bài 8.20 : Chứng minh rằng :

‹n

i √5)7

R ;

1. E1 = (2 + i √5)7 + (2

2. E2 =

−

∈

(cid:129) 19 + 7i i 9

(cid:129) 20 + 5i 7 + 6i

∈

−

2 +

2 =

2 +

2 ;

z3|

z1 + z2 + z3|

| 2 +

z1| | 2)(1 +

z2| )2 ;

2)(1

2 +

2 = 4(

2).

(cid:12)

− | z1 −

z2|

z3|

(cid:12)

| z2| )2 ; z2| z1 + z2 − z2 + z3| 2. Chứng minh rằng

z1| 2.

z1 + z2| 1 + z1z2| z1z2| 1 − − | z1 + z2 + z3| Bài 8.22 : Giả sử z

| − C∗ sao cho

(cid:12)

Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau : z3 + z1| z2 + z3| | 2 = (1 + z1| z2| z1 − 2 = (1 z1| z2| z1 − − | 2 + z1 + z2 + z3| 2 + z3 + 1 z3

z3| z + 1 z

(cid:12) ≤

∈

(cid:12) ≤

Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho :

z2 + z2

= 1 và

= 1 ;

2. 4z2 + 8

2 = 8 ;

3. z3 = z.

z |

C với

(z) > 1. Chứng minh rằng

Bài 8.24 : Xét số phức z

∈

ℜ

(cid:12)

1 2

1 z −

+ i

. Tính

Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω =

1 2

√3 2

−

(a + bω + cω2)(a + bω2 + cω).

Bài 8.26 : Giải các phương trình :

2z = 3

4i ;

4. iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 ;

−

5. z4 + 6(1 + i)z2 + 5 + 6i = 0 ;

z | − + z = 3 + 4i ; z |

3. z3 = 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y

Z ;

6. (1 + i)z2 + 2 + 11i = 0.

∈

Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình

z3 + (3 + i)z2

(m + i) = 0

−

có ít nhất một nghiệm thực.

Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho

1)(z + i)

z′ = (z

−

là một số thực.

(cid:12)

Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho

(cid:12)

1 z

z |

C là các số phức sao cho

= √3 và

= 1. Tính

z1 + z2|

z1|

z2|

z1 −

z2|

Bài 8.30 : Giả sử z1, z2 ∈ | Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

‚

Œn

i √3

= 2.

−

1 + i √3 2

− 2

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 169

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình

1 = iz.

zn −

Bài 8.33 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức với

= R > 0.

z1|

z2|

z3|

Chứng minh rằng

9R2.

z1 −

z2|

z3| u

z3 − v

| < 1,

1 nếu và chỉ nếu

z2 − Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức sao cho

z2| z1 − z1| | = 1 và w = v(u u.z

z1| ≤ z3 − z3| z) . Chứng minh rằng 1

| ≤

z | ≤

z2 − − −

Bài 8.35 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho

= 1.

z1 + z2 + z3 = 0 và

z1|

z2|

z3|

Chứng minh rằng

= 0.

z2 1

+ z2 2

+ z2 3

Bài 8.36 : Xét các số phức z1, z2, . . . , zn với

= r > 0.

z1|

z2|

zn|

· · ·

Chứng minh rằng số

E = (z1 + z2)(z2 + z3)

1 + zn)(zn + z1) (zn · · · − z1.z2 · · · zn

là số thực.

Bài 8.37 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức khác nhau sao cho

z3 > 0.

z1|

z2|

Nếu z1 + z2z3, z2 + z1z3 và z3 + z1z2 là các số thực, chứng minh rằng z1z2z3 = 1.

x + 1 = 0. Tính

Bài 8.38 : Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x2

−

+ xn

;

3. xn 1

2, với n

1. x2000 1

+ x2000 2

2. x1999 1

+ x1999 2

∈

Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau :

1. x4 + 16 ;

2. x3

27 ;

3. x3 + 8 ;

4. x4 + x2 + 1.

−

Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là :

3. i51 + 2i80 + 3i45 + 4i38.

1. (2 + i)(3

i) ;

;

−

5 + i i 2

−

Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau

z1 + z2|

z2 + z3|

z3 + z1| ≤ |

z1|

z2|

z3|

z1 + z2 + z3|

đúng với mọi số phức z1, z2, z3.

4 + 2i ; z3 =

4i ; z4 = 5

i ; z5 = 1 ; z6 =

3i ; z7 = 2i ;

−

Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z1 = 3 + i ; z2 = z8 =

−

Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây :

= 3 ;

> 3 ;

−

1 + 2i |

−

z + 2

< 1 ;

< 2 ;

z + i |

−

| − |

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 170

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

5. 0 <

(iz) < 1 ;

R ;

ℜ

1 <

(z) < 1 ;

= √10, với z = x + yi ;

−

ℑ

4 |

−

(cid:12)

‹

(cid:12)

10.

= 2.

= 0 ;

(cid:12)

1 + z z ∈ √x2 + 4 + i √y z + 1 z

(cid:129) z z

2 1

ℜ

− −

Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :

i ;

1 + i √3 ;

i √3.

1. z1 =

2. z2 = 2 + 2i ;

3. z3 =

4. z4 = 1

−

Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :

1 ;

3i.

1. z1 = 2i ;

2. z2 =

3. z3 = 2 ;

4. z4 =

−

Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức

z = 1 + cos a + i sin a, a

(0; 2π).

∈

(cid:12)

= 1.

= 1 và

Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho

(cid:12)

z z

+ z z

z |

Bài 8.48 : Tính (1 + i)1000.

Bài 8.49 : Chứng minh rằng

sin 5t = 16 sin5 t

20 sin3 t + 5 sin t; cos 5t = 16 cos5 t

20 cos3 t + 5 cos t.

−

Bài 8.50 : Tính z = (1

i)10( √3 + i)5 i √3)10 1

− (

−

Bài 8.51 : Tính :

1. (1

cos a + i sin a)n với a

[0; 2π) và n

N ;

2. zn + 1

= √3.

∈

−

zn , nếu z + 1

Bài 8.52 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho

= r > 0

z1|

z2|

z3|

và z1 + z2 + z3 , 0. Chứng minh rằng

(cid:12)

= r.

(cid:12)

z1z2 + z2z3 + z3z1 z1 + z2 + z3

Bài 8.53 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho

= r > 0.

z1|

z2|

Chứng minh rằng

‹2

1 r2 .

≥

(cid:129) z1 + z2 r2 + z1z2

z2 z1z2

(cid:129) z1 − r2 −

Bài 8.54 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho

= 1

z1|

z2|

z3|

và

+ 1 = 0.

z2 1 z2z3

+ z2 2 z3z1

+ z2 3 z1z2

Chứng minh rằng

1; 2

. }

z1 + z2 + z3|{ | = 1. Chứng minh rằng

Bài 8.55 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho

z1|

z2 + 1

z1z2 + 1

z2| | z1 + 1

| ≥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 171

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= 1. Chứng minh rằng

Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho

z |

1 + z2

1 + z3

1 + z2n

1 + z2n+1

2n.

1 + z |

· · ·

| ≥

Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính

+ C4

+ C16

C2 19

C18 19.

19 −

19 − · · ·

19 −

3i)z + (4 + i)z =

(1 + 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z.

Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2

−

(1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức.

Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2

−

2 +

Bài 8.60 (A09) : Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A =

z1|

z2|

√2i).

−

. Tìm môđun của số phức z + iz.

Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = ( √2 + i)2(1 Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z = (1

√3i)3 i = √10 và z.z = 25.

Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn

− 1 − (2 + i) |

−

Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn :

−

i |

(1 + i)z |

4i)

= 2.

Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

−

= √2 và z2 là số thuần ảo.

Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn :

z |

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 172

Chương 9

Phương pháp tọa độ trong trong mặt phẳng

9.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 9.1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(

1; 1), B(2; 5), C(4; 3). Tính tọa độ điểm D xác định bởi −−→AD = 3−−→AB

2−−→AC.

−

Bài 9.2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3). Tính tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình

bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành

1; 1).

Bài 9.3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M(1; 4), N(3; 0), P(

−

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

1), B(5;

3); đỉnh C trên trục Oy và trọng tâm G của tam

Bài 9.4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;

−

giác nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.

2). Tìm trên trục hoành điểm M sao cho đường trung trực của đoạn AM đi

Bài 9.5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1;

−

qua gốc tọa độ O.

1; 2), B(2; 0), C(

3; 1).

Bài 9.6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có : A(

−

a) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích tam giác ABM bằng

diện tích tam giác ABC.

1 3

3; 0), B(3; 0), C(2; 6).

Bài 9.7 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(

−

a) Tìm tạo độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng ba điểm I, H, G thẳng hàng và −→IH = 3−→IG.

3; 2), B(4; 3). Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB

Bài 9.8 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(

−

vuông tại M.

5), C(4;

1).

Bài 9.9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 5), B(

−

a) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài của góc A.

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

, với t , 0. Chứng minh rằng góc giữa hai

‚ √2 2

3 √2 2

Bài 9.10 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ −→a (2t; t), −→b = vectơ không đổi khi t thay đổi.

Bài 9.11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với −−→AB = (a1; a2) và −−→AC = (b1; b2). a) Chứng minh rằng diện tích S của tam giác ABC được tính theo công thức S = 1 2 |

a1b2 −

a2b1|

b) Áp dụng, tính diện tích tam giác ABC, biết A(

4), B(2; 8), C(10; 2).

−

175

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

9.2 Phương trình của đường thẳng

9.2.1 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng

4 = 0 và x + y

2 = 0 lần lượt

Bài 9.12 : Cho tam giác ABC đỉnh A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x

−

là phương trình các đường cao kẻ từ B và C của tam giác.

Bài 9.13 : Viết phương trình các đường trung trục của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB tương ứng là

1), N(1; 9), P(9; 1).

−

2y + 1 = 0, y = 0 là phương trình của hai đường trung tuyến của tam giác

Bài 9.14 : Biết rằng A(1; 3) là đỉnh của tam giác ABC và x

−

này. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 9.15 : Trong mặt phẳng tọa độ cho P(2; 5) và Q(5; 1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường

thẳng này bằng 3.

Bài 9.16 : Cho điểm A(8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12.

9.2.2 Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng

2; 4), C(

1; 4), D(3; 5). Giả sử ∆ là đường thẳng có phương trình 3x

Bài 9.17 : Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm A(1; 0), B(

−

5 = 0. Tìm điểm M trên ∆ sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

−

và hai điểm A, B có tọa độ là A(2;

3) và B(3;

2). Trọng tâm G của tam giác nằm

Bài 9.18 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng

3 2

−

trên đường thẳng 3x

8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.

−

7 = 0 và

−

Bài 9.19 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua B có phương trình x đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0. Xác định tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.

2y + 2 = 0 và hai điểm A(0; 6), B(2; 5). Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 9.20 : Cho đường thẳng d : x

−

Bài 9.21 : Viết phương trình đường thẳng đi qua M(4; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy thành một tam giác có diện tích bằng 3.

3 = 0, đường cao AH có phương trình

−

Bài 9.22 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Biết cạnh AC có phương trình x + 3y 1 = 0, đỉnh C nằm trên Ox, B nằm trên Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. x + y

−

5 = 0 và điểm M(

1; 4). Viết phương trình

y + 2 = 0 và d2 : 2x + y

−

Bài 9.23 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 : x đường thẳng ∆ cắt d1, d2 tại A và B tương ứng M là trung điểm của AB.

Bài 9.24 : Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; 0), B(2; 3). Viết phương trình đường thẳng d cách AB một khoảng bằng √10.

Bài 9.25 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), đường trung tuyến BM, phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x + y + 1 = 0 và x + y

1 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

−

7 = 0, một cạnh có phương trình x + 3y

3 = 0, một đỉnh là

−

Bài 9.26 : Một hình thoi có một đường chéo cho phương trình x + 2y (0; 1). Tìm phương trình các cạnh hình thoi.

3), B(

4; 3), C(9; 2).

Bài 9.27 : Cho tam giác ABC với A(

−

1. Viết phương trình ba cạnh của tam giác.

2. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.

3. Tìm điểm M trên AB, N thuộc AC sao cho MN song song BC và AM = CN.

Bài 9.28 : Trong mặt phẳng tọa độ cho d : 2x + 3y + 1 = 0 và điểm M(1; 1). Viết phương trình của các đường thẳng qua M và tạo với d góc 45◦.

1), C(3; 5), đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x

y = 0. Viết

Bài 9.29 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân, với A(1;

−

phương trình cạnh AB, BC.

2 = 0. Cạnh BC song song với d,

−

4y Bài 9.30 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng d : x phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của AB là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 176

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

‹

;

4 =

. Phương trình đường thẳng BC là x

(cid:129) 4 3

1 3

−

Bài 9.31 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân đỉnh A, có trọng tâm G 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

0, phương trình đường thẳng BG là 7x

−

2y + 1 = 0

−

Bài 9.32 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0), hai đường cao xuất phát từ B và C có phương trình x và 3x + y

1 = 0. Tìm diện tích tam giác ABC.

−

1). Lập phương trình

y + 5 = 0, d2 : 3x + 6y

−

1 = 0 và điểm P(2; Bài 9.33 : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d1 : 2x đường thẳng d qua P sao cho d cùng với d1, d2 tạo thành một tam giác cân đỉnh A, với A là giao điểm d1 và d2.

Bài 9.34 : Tìm trên trục hoành cho điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A(1; 2), B(3; 4) là nhỏ nhất.

2 = 0, 3x

y + 5 = 0, x

1 = 0. Viết phương

Bài 9.35 : Tam giác ABC có các cạnh AB, AC, BC tương ứng có phương trình x

−

trình các đường cao của tam giác.

3 = 0 đồng thời

y + 1 = 0; d2 : x

−

Bài 9.36 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2x chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau.

1) cos α + (y

1) sin α

4 = 0. Chứng minh rằng với mọi α, họ đường

−

Bài 9.37 : Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số α là dα : (x thẳng nói trên luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

9.2.3 Bài tập tổng hợp

Bài 9.38 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau :

a) ∆ đi qua hai điểm A(

2; 1) và B(1; 3).

−

b) ∆ cắt trục Ox tại điểm A(4; 0) và cắt trục Oy tại điểm B(0;

3).

−

a) ∆ đi qua điểm M(3;

Bài 9.39 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau : 5) và có hệ số góc k = 3 4

−

b) ∆ đi qua điểm M(8; 2) và song song với đường thẳng d : 2x

3y + 5 = 0.

−

c) ∆ đi qua điểm M(

3; 2) và vuông góc với đường thẳng d : 3x + 4y + 7 = 0.

−

và hợp với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 9.40 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau : a) ∆ có hệ số góc k = 1 2

b) ∆ đi qua điểm M(8; 6) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

4). Hãy lập

Bài 9.41 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết ba trung điểm các cạnh của một tam giác là M(2; 1), N(5; 3), P(3;

−

phương trình các cạnh của tam giác đó.

Bài 9.42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3; 1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;

2).

−

3).

Bài 9.43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(

−

a) Cho biết đường cao BH : 5x + 3y

25 = 0, CK : 3x + 8y

− 12 = 0. Viết phương trình cạnh BC.

−

b) Xác định tọa độ các đỉnh B và C nếu biết đường trung trực của AB là 3x + 2y

4 = 0 và tọa độ trọng tâm G(4;

2) của tam giác

−

ABC.

7 = 0 và điểm A(2; 3). Tìm điểm

−

Bài 9.44 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0).

−

Bài 9.45 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : x y + 1 = 0, ∆2 : 2x + y + 1 = 0 và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng ∆1, ∆2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

3 = 0 và điểm M(

2; 0). Viết

y + 5 = 0, d2 : x + y

−

Bài 9.46 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1, d2 làn lượt tại A và B sao cho −−→MA = 2−−→MB.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 177

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

7), phương trình một đường cao và một trung tuyến

−

Bài 9.47 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là : 3x + y + 11 = 0 và x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 9.48 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là : 2x + y + 1 = 0 và x + y

1 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng BC.

2y + 1 = 0 và

− Bài 9.49 : Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết A(1; 3) và hai trung tuyến có các phương trình là : x

−

1 = 0.

−

2y + 6 = 0, 4x + 7y

21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác

Bài 9.50 : Phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : 5x

−

ABC, biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.

1) và hai phân giác trong của góc B, C của tam giác ABC lần lượt có phương trình : x

2y+1 = 0 và x+y+3 = 0.

Bài 9.51 : Cho A(2;

−

Viết phương trình cạnh BC.

Bài 9.52 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua M(4; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9.53 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(27; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại

M và N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

my + 4

1 = 0.

Bài 9.54 : Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 : 4x

m = 0 và ∆2 : (2m + 6)x + y

−

Bài 9.55 : Cho hai đường thẳng d1 : (m + 1)x + 6y + m = 0 và d2 : x + (m + 2)y + 1 = 0. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2

a) cắt nhau.

b) song song với nhau.

c) trùng nhau.

1)y

a2 = 0.

Bài 9.56 : Cho hai đường thẳng d1 : (a + 1)x

1 = 0 và d2 : x + (a

−

a) Tìm giao điểm I của d1 và d2.

b) Tìm a để đường thẳng qua M(0; a), N(a; 0), với (a , 0) đi qua giao điểm I.

Bài 9.57 : Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là

AB : 2x + 3y

5 = 0; BC : 3x

4y + 1 = 0; CA : x

2y + 1 = 0.

−

Viết phương trình đường cao của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A.

x = (m

1)t

1)y + m

Bài 9.58 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : mx + (m

3 = 0 và d2

−

y = m

− 1

2t.

−

a) Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 trùng nhau.

1 = 0 đồng quy.

b) Tìm m để d1, d2 và ∆ : 2x + y

−

3y + 9 = 0.

Bài 9.59 : Tính góc giữa hai đường thẳng d1 : 2x

y + 3 = 0 và d2 : x

−

− x = 2 + at

và d2 : 3x + 4y + 12 = 0. Xác định a để góc hợp

Bài 9.60 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 :

y = 1

−

bởi d1 và d2 bằng 45◦.

Bài 9.61 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 1) và tạo với đường thẳng d : 2x + 3y + 4 = 0 một góc 45◦.

Bài 9.62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một tam giác cân có một cạnh đáy và một cạnh bên là có phương trình lần lượt là :

y + 5 = 0 ; x + 2y

1 = 0. Lập phương trình cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1;

3).

−

7 = 0.

Bài 9.63 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x

− y + 1 = 0 ; d2 : x + 2y

−

Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với d1, d2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm A của d1 và d2.

y + 5 = 0, đường thẳng AD đi qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ nhật là I(4; 5).

Bài 9.64 : Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB : 2x

−

Viết phương trình các cạnh còn lại.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 178

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

4; 5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng

Bài 9.65 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(

−

y + 8 = 0. Lập phương trình các cạnh của hình vuông.

−

1) và các đường thẳng :

Bài 9.66 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 1), B(2;

−

1)x + (m

2)y + 2

m)x + (m

1)y + 3m

5 = 0.

d1 : (m

m = 0 và d2 : (2

−

Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m để PA + PB đạt giá trị lớn nhất.

3). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : x

1 = 0 sao

Bài 9.67 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(4;

−

cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6.

y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d

−

Bài 9.68 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x và cách d một khoảng bằng √5.

Bài 9.69 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 5) và cách điểm A(3; 2) một khoảng bằng 1.

2; 5) một khoảng bằng 2 và cách điểm

−

Bài 9.70 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,viết phương trình đường thẳng ∆ cách điểm A( B(5; 4) một khoảng bằng 3.

Bài 9.71 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết đỉnh A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Bài 9.72 : Cho A(1; 1), hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và điểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều.

2)x + (m

1)y + 2m

1 = 0.

Bài 9.73 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆m : (m

−

a) Chứng minh rằng ∆m luôn đi qua một điểm cố định M khi m thay đổi.

b) Tìm m để ∆m cắt đoạn thẳng AB, với A(2; 3), B(1; 0).

c) Tìm m để khoảng cạh từ A đến ∆m là lớn nhất.

Bài 9.74 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 : 3x

5 = 0.

4y + 1 = 0, ∆2 : 8x + 6y

−

6 = 0

−

y + 2 = 0.

Bài 9.75 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 : 7x + y và d2 : x

−

3; 1), C(4;

2). Viết phương trình đường phân giác

Bài 9.76 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(6; 4), B(

−

trong của góc A.

Bài 9.77 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2). Viết phương trình đường phân giác trong

của góc A trong tam giác ABC.

2 = 0 và điểm M(6; 5).

Bài 9.78 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x + y

−

a) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

b) Xác định tọa độ điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d.

2y + 1 = 0 và điểm A(0; 3). Vẽ AH vuông góc với d tại H và

−

Bài 9.79 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2AH. Tìm tọa độ điểm B.

2y + 2 = 0 và hai điểm A(0; 6), B(2; 5). Trên đường thẳng d

Bài 9.80 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x

−

tìm tọa độ điểm M sao cho :

a) MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

đạt giá trị lớn nhất.

−

2y + 8 = 0 và điểm M(

1; 5). Viết phương trình đường thẳng

−

Bài 9.81 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x ∆ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 179

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 9.82 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng song song

3 = 0.

∆1 : 3x

2y + 1 = 0 và ∆2 : 6x

−

Viết phương trình đường thẳng ∆3 đối xứng với ∆1 qua ∆2.

y + 5 = 0 và d : x + 3y

8 = 0. Viết phương trình đường

−

Bài 9.83 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : 2x thẳng ∆′ đối xứng với ∆ qua d.

6 = 0.

Bài 9.84 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y

−

a) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đối xứng với ∆ qua trục Ox.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đối xứng với ∆ qua trục Oy.

9.3 Đường tròn

Bài 9.85 : Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a) (C) : x2 + y2

2 = 0.

−

− b) (C) : 16x2 + 16y2 + 16x

11 = 0.

−

Bài 9.86 : Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình :

x2 + y2 + 4mx

2my + 2m + 3 = 0.

−

a) Xác định m để (Cm) là đường tròn.

b) Tìm tập hợp tâm I của họ đường tròn.

Bài 9.87 : Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình :

x2 + y2

2mx + 2(m + 1)y

12 = 0.

−

a) Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn (Cm).

b) Tìm m sao cho bán kính đường tròn (Cm) nhỏ nhất.

c) Khi m, cho đường thẳng d : 3x

4y + 12 = 0. Tìm điểm M trên (C2) sao cho khoảng cách từ M đến d là ngắn nhất.

−

Bài 9.88 : Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình :

= 0.

x2 + y2

2mx + 2(m + 2)y + 2m2 + 4m

1 2

−

a) Chứng minh rằng (Cm) luôn là một đường tròn có bán kính không đổi.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm), từ đó suy ra (Cm) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng.

4; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x + 4y

16 = 0.

Bài 9.89 : Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(

−

Bài 9.90 : Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính AB, với A(1; 2), B(3; 4).

Bài 9.91 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3; 3), B(1; 1), C(5; 1).

2y + 4 = 0 một dây cung có độ dài bằng 4.

Bài 9.92 : Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường thẳng ∆ : x

−

1; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x

11 = 0.

Bài 9.93 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(

−

Bài 9.94 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = √10.

5 = 0, có

−

Bài 9.95 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x + y 3 = 0. bán kính R = √10 và tiếp xúc với đường thẳng d; 3x + y

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 180

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

31 = 0 tại

−

Bài 9.96 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x điểm A(1;

7) và có bán kính R = 5.

−

Bài 9.97 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d : x

7y + 10 = 0 tại điểm A(4; 2).

−

5 = 0 tại điểm B(3; 1).

Bài 9.98 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + 2y

−

2 = 0 và

−

y + 4 = 0.

Bài 9.99 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0 và d2 : 7x

−

Bài 9.100 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(2; 0) và khoảng

cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4) bằng 5.

y + 1

√2 = 0 và điểm A(

1; 1). Viết phương trình đường

Bài 9.101 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x

−

tròn (C) đi qua điểm A, qua gốc tạo độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.

1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox

Bài 9.102 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2;

−

và Oy.

1)2 + (y

1 = 0. Viết

−

2)2 = 4 và đường thẳng d : x Bài 9.103 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C′).

2x + 4y

20 = 0.

Bài 9.104 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x

7y + 10 = 0 và đường tròn (C′) : x2 + y2

−

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1;

2) và các giao điểm của đường thẳng d và (C′).

−

6; 8) và có bán kính R = 6.

Bài 9.105 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C′) : x2 + y2 = 100. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường tròn (C′) tại điểm M(

−

12x

4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C1)

−

Bài 9.106 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

1; 7), B(4;

3), C(

4; 1). Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội

Bài 9.107 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(

−

tiếp tam giác ABC.

1)2 + (y

2)2 = 9. Viết phương trình đường

−

Bài 9.108 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1) và đường tròn (C) : (x − thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho A là trung điểm EF.

1)2 + (y + 3)2 = 25 theo một dây cung

−

Bài 9.109 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C) : (x có độ dài bằng 8.

20 = 0 và điểm A(3; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt

−

Bài 9.110 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x − đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài :

a) lớn nhất ;

b) nhỏ nhất.

7 = 0

2x+4y+4 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x+4y

−

Bài 9.111 : Cho đường tròn (C) : x2+y2 và chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ lệ độ dài bằng 2.

2x + 4y

4 = 0 có tâm I và điểm M(

3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

−

Bài 9.112 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − − M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

y + 3 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2

2y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho

Bài 9.113 : Cho đường thẳng d : x

−

đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Bài 9.114 : Cho các đường tròn

2mx

1 = 0.

(C1) : x2 + y2

6y + 8 = 0 và (C2) : x2 + y2

−

Tìm m để (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau.

Bài 9.115 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1, đường tròn (C′) có tâm I(2; 2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB = √2. Viết phương trình đường thẳng AB.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 181

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 9.116 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm A(2; 1).

4y + 11 = 0 tại điểm M(4; 3).

Bài 9.117 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2

−

7y = 0 tại các giao điểm của (C) và đường thẳng

−

Bài 9.118 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2 d : 3x + 4y

3 = 0.

−

4x + 6y + 3 = 0, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3.

Bài 9.119 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2

−

2x + 8y + 1 = 0, biết rằng ∆ song song với đường thẳng

−

Bài 9.120 : Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đường tròn (C) : x2 + y2 d : 5x + 12y

6 = 0. Tìm tọa độ các tiếp điểm.

−

2y = 0.

Bài 9.121 : Cho A(3; 4) và đường tròn (C) : x2 + y2

−

a) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết rằng ∆ đi qua điểm A.

b) Giải sử các tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M và N. Hãy tính độ dài đoạn MN.

3; 1) và đường tròn (C) : x2 + y2

6y + 6 = 0. Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến

−

Bài 9.122 : Cho M( − (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.

y + 1 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x

4y = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng tiếp

−

Bài 9.123 : Cho đường thẳng d : x xúc với đường tròn (C) tại A và B sao cho góc ÕAMB = 60◦.

√2 = 0 và hai đường tròn

Bài 9.124 : Xét đường thẳng d : √2x + my + 1

−

2x + 4y

56 = 0.

(C1) : x2 + y2

4 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x

−

a) Gọi I là tâm đường tròn (C1). Tìm m sao cho d cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác

IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

b) Chứng minh (C1) tiếp xúc với (C2). Viết phương trình tổng quát của tất cả các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Bài 9.125 : Cho hai đường tròn

4x + 2y

10x

6y + 30 = 0

(C1) : x2 + y2

4 = 0 và (C2) : x2 + y2

−

có tâm lần lượt là I và J.

a) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H.

b) Gọi d là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2). Tìm tọa độ giao điểm K của d và đường thẳng I, J. Viết phương

trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H.

Bài 9.126 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

6x + 6y + 17 = 0.

(C1) : x2 + y2 = 1 và (C2) : x2 + y2

−

Bài 9.127 : Cho hai đường tròn

2y + 16 = 0.

(C1) : x2 + y2

2 = 0 và (C2) : x2 + y2

−

a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.

b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Bài 9.128 : Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn

12x

6y + 44 = 0.

(C1) : x2 + y2

6x + 5 = 0 và (C2) : x2 + y2

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 182

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

9.4 Đường elip

= 1. Xác định tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài các trục.

Bài 9.129 : Cho elip (E) :

= 1, với a > b > 0. Xác định tâm sai của elip trong mỗi trường hợp sau :

Bài 9.130 : Cho elip (E) :

x2 25 x2 a2

+ y2 16 + y2 b2

a) (E) có độ dài trục lớn bằng 3 lần trục nhỏ.

b) Khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp nhau của elip bằng

lần tiêu cự của nó.

3 2

c) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ của elip nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120◦.

Bài 9.131 : Lập phương trình chính tắc của elip, biết :

a) các tiêu điểm F1(

4; 0), F2(4; 0) và độ dài trục lớn bằng 10.

−

b) elip đi qua các điểm M(

2 √3; 1) và N( √3;

2).

−

‹

− ; √15

c) elip đi qua điểm M

và có hai tiêu điểm F1(

3; 0) và F2(3; 0).

(cid:129) 5 4

−

d) độ dài trục lớn bằng 4 √2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip nằm trên một đường tròn.

e) elip đi qua điểm M(

√5; 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.

−

f) elip đi qua điểm M(

2; √2) và phương trình các đường chuẩn x =

−

g) elip đi qua điểm M(8; 12) và MF1 = 20 với F1 là tiêu điểm bên trái của elip.

‚

;

h) elip đi qua điểm M

và×F1MF2 = 90◦, với F1, F2 là các tiêu điểm của elip.

3 √5 5

4 √5 5

= 1.

Bài 9.132 : Cho elip (E) có phương trình

x2 9

+ y2 4

1. Tìm tạo độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai, tính diện tích hình chữ nhật cơ sở.

2. Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.

3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

Bài 9.133 : Cho elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225. Đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2, cắt (E) tại hai điểm M và N.

1. Tìm tọa độ của M và N.

Bài 9.134 : Cho elip (E) :

+ y2 = 1 có các tiêu điểm F1, F2. Tìm tọa độ điểm M trên elip thỏa mãn :

2. Tính độ dài các đoạn thẳng MF1, MF2 và MN. x2 9

1. MF1 = 3MF2.

2. Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

3. Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một 120◦.

= 1 với tiêu điểm F(

c; 0). Tìm điểm M trên elip (E) sao cho độ dài F M là nhỏ nhất.

Bài 9.135 : Cho elip (E) :

x2 a2

+ y2 b2

−

= 1. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với

Bài 9.136 : Cho điểm C(2; 0) và elip (E) :

x2 4

+ y2 1 nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

= 1 và đường thẳng d : x

√2y + 2 = 0. Đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm B và C. Tìm tọa

Bài 9.137 : Cho elip (E) :

x2 8

= 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng

Bài 9.138 : Cho elip (E) :

+ y2 4 − độ điểm A trên elip sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. + y2 9

x2 16

MN luôn luôn tiếp xúc với elip (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 183

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

+ y2

Bài 9.139 : Cho (E) :

b2 (a > b > 0) với các tiêu điểm F1, F2.

x2 a2

1. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên elip (E) ta luôn có :

(a) OM2 + MF1.MF2 = a2 + b2.

(b) OM

≤

2. Gọi A và B là hai điểm thuộc elip (E) sao cho OA

OB. Chứng minh rằng :

1 OA2

+ 1 OB2

= 1 a2

+ 1 b2 .

⊥

Bài 9.140 : Cho hai đường tròn C1(F1; R1) và C2(F2; R2). (C1) nằm trong (C2) và F1 , F2. Đường tròn (C ) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với (C1) và tiếp xúc trong với (C2). Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C ) di động trên một elip.

Bài 9.141 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn

x = 5 cos t

y = 4 sin t

trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

Bài 9.142 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB băng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao choMB = 2MA.

1. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết nó có một tiêu điểm F(

2; 0) và khoảng cách từ F đến đỉnh trục nhỏ

Bài 9.143 :

−

bằng 3.

2. Hai đường thẳng d : mx

y = 0 và d′ : x + my = 0 lần lượt cắt (E) tại M, P và N, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì. Tính diện tích

− của tứ giác MNPQ theo m.

3. Tìm m để MNPQ là hình vuông.

Bài 9.144 : Cho elip (E) : 5x2 + 9y2 = 45 có tiêu điểm F1, F2. M là điểm bất kì trên (E).

lớn nhất.

1. Chứng minh rằng chu vi tam giác F1 MF2 không đổi. Tìm M để diện tích tam giác F1MF2 bằng 2. + 1 2. Tìm M sao cho : T = F1M + F2M + 1 F2M F1M

Bài 9.145 : Cho điểm M di động trên elip : 9x2 + 16y2 = 144. H và K là hình chiếu của điểm M lên hai trục tọa độ. Tìm M để diện tích tứ giác OHMK lớn nhất.

Bài 9.146 : Cho M, N là hai điểm bất kì trên elip : 4x2 + 9y2 = 36 và không trùng với các đỉnh. Gọi I là trung điểm của MN.

1. Chứng minh rằng tích hệ số góc của đường thẳng MN và đường thẳng OI có giá trị không đổi.

2. Viết phương trình đường thẳng MN, biết trung điểm I có tọa độ (1; 1).

9.5 Đường hypebol

Bài 9.147 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết :

1. Một tiêu điểm là (5; 0), một đỉnh là (

4; 0).

2. Độ dài trục ảo bằng 12, tâm sai bằng

− 5 4

3. Một đỉnh là (2; 0), tai sai bằng

3 2

4. Tâm sai bằng √2, (H) đi qua điểm A(

5; 3).

− 8; 2 √2).

5. (H) đi qua hai điểm P(6;

1) và Q(

−

− Bài 9.148 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 184

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. (H) có độ dài trục thực là 6, tiêu điểm là (4; 0).

2. (H) có một đỉnh là (5; 0) và tiệm cần là y = 2x.

3. (H) có tiệm cận là y =

√2x và qua điểm M(4; √2).

−

4. (H) qua hai điểm M(1; √3) và N(

√2; 2 √2).

−

‚

5. (H) có tiêu điểm F2(3; 0) và qua điểm

4 √5 5

Bài 9.149 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết :

, y =

1. Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x =

1 2

2. Một đỉnh là (3; 0) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là x2 + y2 = 16.

3. Một tiêu điểm là (

10; 0) và phương trình các đường tiệm cận là y =

4 3

−

4. (H) đi qua điểm N(6; 3) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60◦.

= 1.

Bài 9.150 : Cho hypebol (H) :

y2 3

x2 9 −

1. Tìm trên (H) điểm M có tung độ bằng 1.

2. Tìm trên (H) điểm M có góc F1MF2 bằng 90◦.

3. Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M = 2F2M.

y2 = 4 thỏa mãn :

Bài 9.151 : Tìm các điểm trên hypebol (H) : 4x2

−

1. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

2. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 120◦.

3. Có tọa độ nguyên.

1. Cho hypebol (H) :

Bài 9.152 :

= 1 có các tiêu điểm F1, F2. M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh tích khoảng cách

y2 b2

x2 a2 −

từ M đến hai tiệm cận có giá trị không đổi.

= 1. Một đường thẳng d bất kì có phương trình : y = x + m cắt (H) tại M, N và hai tiệm cận tại P, Q.

2. Cho hypebol (H) :

y2 2

x2 1 −

Chứng minh rằng MP = NQ.

Bài 9.153 : Cho đường tròn (C ) di động, luôn chắn trên hai trục tạo độ hai dây cung có độ dài là 6 và 4. Chứng minh rằng tâm đường tròn di động trên một hypebol cố định.

1; 0), B(1; 0) và đường thẳng ∆ : x

= 0.

Bài 9.154 : Cho hai điểm A(

1 4

−

1. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB = 2MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆.

2. Tìm tập hợp các điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN có tích các hệ số góc bằng 2.

Bài 9.155 : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, AB = 3a, BC = a. Điểm I di động trên đường thẳng d vuông góc với AC tại B. Các tiếp tuyến vẽ từ A và C đến đường tròn tâm I, bán kính IB, cắt nhại tại D. Chứng minh rằng D di động trên một hypebol cố

định.

Bài 9.156 : Tìm tập hợp tâm đường tròn chắn trên hai trục Ox, Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 10 và 6.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 185

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

9.6 Đường parabol

Bài 9.157 : Lập phương trình chính tắc của parabol có đỉnh O và trục đối xứng Ox, biết :

1. parabol đi qua điểm A(1; 2) ;

2. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 3 ;

3. dây cung MN của parabol vuông góc với trục Ox tại tiêu điểm F có độ dài 4 ;

4. dây cung MN vuông góc với trục Ox có độ dài là 8 và khoảng cách từ đỉnh đến dây cung MN bằng 2 ;

5. dây cung vuông góc với trục Ox tại trung điểm I của đoạn OF có độ dài bằng 2 √2, với F là tiêu điểm của parabol ;

6. đường thẳng d : 2x

4 = 0 chắn trên (P) một đoạn có độ dài bằng 3 √5 ;

−

Bài 9.158 : Chp parabol (P) : y2 = 8x. Tìm điểm M thuộc parabol (P), biết bán kính qua tiêu của M bằng 8.

Bài 9.159 : Cho parabol (P) : y2 = 32x. Tìm điểm M trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng ∆ : 4x + 3y + 10 = 0 bằng 2.

Bài 9.160 : Cho parabol (P) : y2 = 4x có tiêu điểm F. Tìm điểm M trên parabol (P) sao cho tam giác F MN vuông góc tại điểm F, với N(2; 2 √2).

Bài 9.161 : Cho parabol (P) : y2 = x và điểm I(0; 2). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho −−→I M = 4−→IN.

Bài 9.162 : Cho parabol (P) : y2 = x. Tìm hai điểm A và B trên parabol (P) đối xứng nhau qua trục hoành sao cho tam giác OAB đều.

Bài 9.163 : Cho parabol (P) : y2 = 64x. Tìm điểm M trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng ∆ : 4x + 3y + 86 = 0 là nhỏ nhất.

1), B(9; 3) nằm trên (P). Gọi M là điểm thuộc cung AB của (P) (phần của (P)

−

Bài 9.164 : Cho parabol (P) : y2 = x và hai điểm A(1; bị chắn bởi dây AB). Xác định vị trí của M trên cung AB sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

m = 0. Gọi A và B là các giao điểm của d và (P). chứng minh

−

Bài 9.165 : Cho parabol (P) : y2 = 2x và đường thẳng d : 2mx đường tròn đường kính AB luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi m thay đổi.

Bài 9.166 : Cho parabol (P) : y2 = 4x. Một đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm của parabol đã cho và cắt parabol tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của parabol là một đại lượng không đổi.

Bài 9.167 : Chp parabol (P) : y2 = 6x. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 1) và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

3y + 46 = 0. Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường

−

Bài 9.168 : Cho parabol (P) : y2 = 64x và đường thẳng ∆ : 4x thẳng ∆, tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất.

Bài 9.169 : Cho parabol (P) : y2 = 8x và điểm I(2; 4) nằm trên parabol. Xét góc vuông thay đổi quay quanh điểm I và hai cạnh góc vuông cắt parabol tại hai điểm M và N (khác với điểm I). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 9.170 : Cho điểm A và đường thẳng ∆ cố định không qua A. Tìm tập hợp điểm M là tâm của đường tròn (C) luôn qua A và tiếp xúc ∆.

Bài 9.171 : Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm BC. M là điểm di động trên cạnh AB. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của MD

và MC với AE. Gọi H là giao điểm của NC và DP, I là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng DH với đường thẳng vuông

góc với AH tại H. Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh AB thì I di động trên một đường cố định.

Bài 9.172 : Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Tìm quỹ tích tâm I của các đường tròn tiếp xúc với (O) và tiếp xúc

với d lần lượt tại hai điểm M, N phân biệt.

Bài 9.173 : Cho đường tròn (O) cố định tâm O và hai đường kính AB, CD vuông góc nhau. M là điểm tùy ý trên (O), H là hình chiếu

của M trên CD. Tìm tập hợp giao điểm I của OM và AH khi M di động trên (O).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 186

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

9.7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng qua các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 9.174 (CĐ08) : Tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d :

2y + 3 = 0.

−

2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ

−

Bài 9.175 (CĐ09) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C( từ B lần lượt có phương trình là 5x + y

9 = 0 và x + 3y

5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.

−

3 = 0 và ∆2 : x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ .

Bài 9.176 (CĐ09) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng ∆1 : x − điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆2 bằng

− 1 √2

√3 = 0, các đỉnh

−

Bài 9.177 (A02) : Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là √3x A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

√3;

1). Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 9.178 (A04) : Cho hai điểm A(0; 2), B(

−

1 = 0.

Bài 9.179 (A05) : Cho hai đường thẳng : d1 : x

−

− y = 0 và d2 : 2x + y Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

2y = 0.

Bài 9.180 (A06) : Cho các đường thẳng : d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x

4 = 0, d3 : x

−

− Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường

thẳng d2.

2) và C(4;

2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung

Bài 9.181 (A07) : Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(

−

điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.

và hình chữ nhật cơ sở của (E) có cho vi bằng 20.

Bài 9.182 (A08) : Viết phương trình elíp (E), biết rằng (E) có tâm sai bằng

√5 3

−

Bài 9.183 (A09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC 5 = 0. Viết phương trình và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y đường thẳng AB.

−

2m+3 = Bài 9.184 (A09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

−

y = 0. Gọi (T ) là đường tròn Bài 9.185 (A10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : √3x + y = 0 và d2 : √3x tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T ), biết tam giác ABC có

diện tích bằng

và điểm A có hoành độ dương.

√3 2

3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của

−

Bài 9.186 (A10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; cạnh AB và AC có phương trình x + y tam giác đã cho.

‹

; 0

, phương trình đường thẳng AB : x

2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ

Bài 9.187 (B02) : Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I

(cid:129) 1 2

−

độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm.

‹

; 0

1) là trung điểm cạnh BC và G

là trọng tâm tam

(cid:129) 2 3

−

Bài 9.188 (B03) : Cho tam giác ABC có AB = AC, ÔBAC = 90◦. Biết M(1; giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x

1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường

Bài 9.189 (B04) : Cho hai điểm A(1; 1), B(4;

−

thẳng AB bằng 6.

Bài 9.190 (B05) : Cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng

cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

6y + 6 = 0 và điểm M(

3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ

−

Bài 9.191 (B06) : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 187

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 9.192 (B07) : Cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng

8 = 0.

d1 : x + y

2 = 0 và d2 : x + y

−

Tìm toạ độ các điểm B, C lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

1),

Bài 9.193 (B08) : Tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(

−

đường phân giác trong của góc A có phương trình x

y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y

1 = 0,

−

− và hai đường thẳng ∆1 : x

2)2 + y2 = 4 5

−

y = 0, 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2

−

Bài 9.194 (B09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x ∆2 : x và tâm K thuộc đường tròn (C).

1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường

−

Bài 9.195 (B09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A( thẳng ∆ : x

4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C và biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

−

4; 1), phân giác trong góc A có phương

−

Bài 9.196 (B10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C( trình x + y

5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

−

Bài 9.197 (B10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; √3) và elip (E) :

x2 3

+ Y 2 2

= 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường

Bài 9.198 (D02) : Cho elíp (E) :

= 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2. + y2 9

x2 16

thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ điểm M, N để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

1)2 + (y

2)2 = 4 và đường thẳng d : x

1 = 0.

Bài 9.199 (D03) : Cho đường tròn (C) : (x

−

Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các giao điểm của (C) và (C′).

1; 0), B(4; 0), C(0; m), với m , 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 9.200 (D04) : Cho tam giác ABC có các đỉnh A(

−

theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

= 1. Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng

Bài 9.201 (D05) : Cho điểm C(2; 0) và elíp (E) :

x2 4

+ y2 1

nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x

y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d

−

Bài 9.202 (D06) : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x

4y + m = 0.

Bài 9.203 (D07) : Cho đường tròn (C) : (x

−

Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam

giác PAB đều.

Bài 9.204 (D08) : Cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1; 4). Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc ÔBAC = 90◦. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 9.205 (D09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến

và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x

3 = 0 và 6x

4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.

−

1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ

−

− Bài 9.206 (D09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x điểm M thuộc (C) sao cho ÔI MO = 30◦.

7), trực tâm là H(3;

1), tâm đường tròn ngoại tiếp

Bài 9.207 (D10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;

−

là I(

2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

−

Bài 9.208 (D10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

9.8 Bài tập tổng hợp

3y + 4 = 0, 3x + 2y + 5 = 0 tạo thành

Bài 9.209 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 1) và cùng với các đường thẳng 2x

−

một tam giác cân.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 188

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

4; 5) và đường chéo BD : 7x

y + 8 = 0.

Bài 9.210 : Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết A(

−

2y+1 = 0 và 3x

2 = 0.

Bài 9.211 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 6) và hai trung tuyến có phương trình x

−

2x + 6y

15 = 0 và điểm A(2; 1).

Bài 9.212 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2

−

Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN.

2) và C(4;

2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ

Bài 9.213 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(

−

B ; M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.

1)2 + (y

2)2 = 4 và đường thẳng d : x

1 = 0.

Bài 9.214 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x

−

Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d và tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C′).

1; 7), B(4;

3), C(

4; 1).

Bài 9.215 : Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC có ba đỉnh là A(

−

√3y + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm B nằm trên

−

Bài 9.216 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường thẳng d : x trục hoành và điểm C nằm trên đường thẳng d sao cho ∆ABC đều.

3 = 0 và e-líp (E) :

= 1. Tìm tọa độ điểm M

x2 4

+ y2 1

−

Bài 9.217 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng dLx + y thuộc (E) có khoảng cách đến d là ngắn nhất.

+ y2 = 1 và đường thẳng d : y = 2. Lập phương trình tiếp tuyến với

Bài 9.218 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp (E) :

x2 4

(E), biết tiếp tuyến tạo với d một góc 30◦.

1 = 0, các điểm A(0;

1), B(2; 1). Tứ giác ABCD là hình

−

Bài 9.219 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y thoi có tâm nằm trên ∆. Tìm tọa độ các điểm C, D.

‹

;

, đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh

(cid:129) 5 3

1 3

−

Bài 9.220 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G có phương trình x2 + y2

2x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

−

2 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua A

−

Bài 9.221 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(3; 3) và đường thẳng d : x + y cắt d tại B, C sao cho AB

AC và AB = AC.

⊥

Bài 9.222 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, AB = AC, ÔBAC = 90◦, đường thẳng AB có phương trình x

y + 1 = 0, trọng tâm là G(3; 2) và tung độ của điểm A lớn hơn 3. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

−

Bài 9.223 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, choi tam giác ABC với A(4; 2), B(1; 2) và tâm đường tròn nội tiếp tam giác là I(2; 3).

Xác định tọa độ điểm C.

Bài 9.224 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung

tuyến kẻ từ C lần lượt là 2x

y + 13 = 0; 6x

13y + 29 = 0. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

−

3) và có phương trình một đường chuẩn là x + 8 = 0.

Bài 9.225 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét elip (E) đi qua điểm M(

−

Viết phương trình chính tắc của elip.

Bài 9.226 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 8x. Đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng d biết AB = 8.

1 = 0, ∆ : 7x

y + 8 = 0.

−

Bài 9.227 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng ∆1 : 2x + y + 3 = 0, ∆2 : 3x Tìm điểm P

∆2 sao cho ∆ là đường trung trực của đoạn PQ.

∆1, Q

∈

4y + 1 = 0 với tâm là I. Tìm điểm

−

Bài 9.228 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm K(3; 2). Đường tròn (C) : x2 + y2 M

∈

Bài 9.229 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

10x + 21 = 0.

(C1) : x2 + y2 + 10x

39 = 0, (C2) : x2 + y2

−

1. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với (C1) và (C2) đồng thời có tâm thuộc đường thẳng y = 3.

2. Chứng minh rằng tâm các đường tròn đồng thời tiếp xúc với (C1) và (C2) nằm trên một đường Hypebol. Viết phương trình

Hypebol đó.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 189

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= 1 và đường thẳng d : √5x + 3 √2y

3 √10 = 0. Gọi A, B là

Bài 9.230 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :

x2 9

+ y2 5

−

các giao điểm của (E) và d. Tìm tọa độ điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại C.

2x = 0 và ∆2 : y + 2x = 0. Gọi A

∆1, B

∆2 thỏa mãn

−

∈

Bài 9.231 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : y −−→OA.−−→OB = 3. Hãy tìm tập hợp trung điểm M của AB.

5 = 0,

−

Bài 9.232 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc A có phương trình x + 2y đường cao đi qua A có phương trình 4x + 13y

10 = 0 và điểm C(4; 3). Tìm tọa độ điểm B.

−

2y + 6 = 0 và các điểm B(2;

3), C(4; 1). Xác

−

Bài 9.233 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 6x định tọa độ điểm A thuộc đường tròn sao cho tam giác ABC cân tại A và có diện tích nhỏ nhất.

Bài 9.234 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1. Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦.

y2 = 4. Tìm điểm N trên (H) sao cho N nhìn hai tiêu điểm

−

Bài 9.235 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Hypebol (H) : 4x2 góc 120◦.

6y + 9 = 0, điểm K(

−

1; 4) và đường thẳng 3 = 0. Tìm các điểm trên đường thẳng ∆ để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) sao cho đường thẳng đi qua các

−

Bài 9.236 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x ∆ : x tiếp điểm cũng đi qua K.

Bài 9.237 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

6y + 6 = 0.

(C1) : x2 + y2

2y + 4 = 0 và (C2) : x2 + y2

−

Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau và viết phương trình các tiếp tuyến chung của chúng.

Bài 9.238 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(3; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và nhận Ox

làm tiếp tuyến.

Bài 9.239 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C, D.

Bài 9.240 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM : 2x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD : x + y

1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.

−

3 = 0 và

Bài 9.241 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng d : x

−

− , trung điểm của một cạnh là giao điểm của d và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

có hoành độ điểm I bằng

9 2

1)2 + (y + 2)2 = 4. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C)

Bài 9.242 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x

biết tiếp tuyến đi qua điểm A(

− 1; 2). Tìm tọa độ các tiếp điểm tương ứng.

−

2; 2) và trọng tâm các tam giác ABC và IBC lần

Bài 9.243 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I biết A(

‹

−

; 2

;

. Viết phương trình đường thẳng CD.

lượt là G

, G′

(cid:129) 4 3

(cid:129) 7 3

5 3

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 190

Chương 10

Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song

song

Sau khi học xong mục này, học sinh cần biết :

1. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây :

(a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

(b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.

(d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.

(e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng chéo với đường thẳng ấy.

(f) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa đường thẳng ấy.

(g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song :

(a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

(b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lưựơt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với

ít nhất một trong hai đường thẳng ấy.

(d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến song song với a.

(e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường

thẳng đó.

(f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.

(g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với l thì hai hình chiếu a′, b′ của a và b theo

phương l lên mặt phẳng (P) song song hoặc trùng nhau.

(h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a′ của a trên (P) song song với a.

3. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng :

(a) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau.

(b) Nếu a ∥ b, a 1 (P), b

(P) thì a ∥ (P).

⊂ (P), (P) ∥ (Q) thì a ∥ (Q).

⊂

(d) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đoạn thanửg đó cùng song song với

một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên).

191

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(e) a ∥ b, a ∥ (P), b 1 (P),

b ∥ (P).

⇒ (f) a ∥ (P), (P) ∥ (Q), a 1 (Q)

a ∥ (Q).

⇒

4. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song :

(a) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau.

(b) Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì ahi mặt phẳng đó sóng

song.

phẳng đó song song.

(d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

10.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ; xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ; chứng minh ba điểm

thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy ; tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ; chứng minh bốn điểm đồng phẳng.

Vấn đề 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

(cid:17)

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Vì vậy ta cần xác định được hai giao điểm của hai mặt phẳng đó. Muốn xác

b =

định giao điểm của hai mặt phẳng ta chọn hai đường thẳng a

(P) và b

(Q) sao cho a

⊂

∩

. Khi đó M là một giao điểm }

{

của hai mặt phẳng đó.

Bài 10.1 : Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với nhau. Gọi S là một điểm không

thuộc mặt phẳng (α).

1. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AC) và (S BD).

2. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

(cid:17)

1. Phương pháp chung là cần tìm đường thẳng ∆

(P) và ∆ cắt a, giao điểm đó chính là giao điểm của a và (P).

⊂

∆

(Q), (Q)

(P) = ∆

a = a

(P). Thường ta chọn mặt phẳng

⊂

∩

⇒

∩

2. Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) sao cho a (Q) sao cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P).

Bài 10.2 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC ta lần lượt lấy các điểm A′, B′, C′ không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC. Tìm điểm chung (giao điểm) của :

1. Đường thẳng B′C′ với mặt phẳng (OAM).

2. Đường thẳng OM với mặt phẳng (A′B′C′).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 192

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy

(cid:17)

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q). Khi đó A, B, C

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nên chúng thẳng hàng.

Còn nếu muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy, ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng rồi chứng minh giao

điểm đó thuộc đường thẳng còn lại. Hoặc có thể dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng.

Bài 10.3 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A′, B′, C′ lần lượt là các điểm lấy trên OA, OB, OC và không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng A′B′ và AB, B′C′ và BC, C′A′ và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Bài 10.4 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại

H. Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy.

Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

(cid:17)

Muốn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) ta tìm các đoạn giao tuyến của (α) giao với các mặt (bên và đáy) của hình

chóp.

Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mỗi mặt bên tại không quá hai điểm trong của các cạnh của mặt bên đó.

Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD. Điểm C′ nằm trên cạnh S C. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABC′).

Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

1. Điểm D thuộc những mặt phẳng nào ?

2. Chứng minh AC và BD chéo nhau.

3. Gọi Bx là đường thẳng đi qua B và song song với AD và M

AD. Gọi J là trung điểm đoạn BM. Nếu điểm M di động trên

∈ đường thẳng AD, điểm B di động trên đường thẳng Bx, chứng minh rằng khi đó đường thẳng CJ luôn luôn nằm trong mặt phẳng

cố định.

Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm phân biệt C, D.

1. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.

2. Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là điểm trên đoạn BD. Khi đó đường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được

không ?

3. Gọi O là điểm trên đoạn MN. Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt DM.

Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định bởi đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Gọi a′ là đường thẳng đi qua A và song song với a. Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (α).

1. Chứng minh rằng điểm M thuộc mặt phẳng (α).

2. Tìm điểm chung của các cặp mặt phẳng (ABM) và (α), (ABM) và (a′, B), (ABM) và (a, B).

3. Tìm điểm chung của ba mặt phẳng (α), (a′, B), (ABM).

4. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AB và MB . Chứng minh rằng IK song song với mặt phẳng (α).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 193

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 10.9 : Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và c là một đường thẳng cắt (α) tại I khác O.

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (O, c).

2. Gọi M là một điểm nằm trên c và không trùng với I. Tìm giao tuyến m của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b). Chứng minh rằng

khi M di động trên đường thẳng c, giao tuyến m này luôn nằm trong một mặt phẳng cố đinh.

Bài 10.10 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm lấy trên cạnh BD sao cho BK = 3KD.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (BCD).

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD).

Bài 10.11 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của các cặp mặt

phẳng sau:

1. (S AC) và (S BD) ;

2. (S AB) và (S CD) ;

3. (S AD) và (S BC).

Bài 10.12 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn

BC, CD, S O. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 10.13 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh S B, S D . Lấy một điểm P trên cạnh S C sao cho S P = 3PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt (S AC), (S AB), (S AD) và (ABCD) của hình chóp.

Bài 10.14 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt lấy trên các cạnh AC, BC sao cho MN không song song với AB. Gọi O là một điểm

thuộc miền trong tam giác ABD. Tìm giao điểm của AB và AD với mặt phẳng (OMN).

Bài 10.15 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh S C.

1. Tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (S BD).

2. Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của S D và mặt phẳng (AMN).

Bài 10.16 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của S C.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằng IA = 2I M.

2. Tìm giao điểm P của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM).

3. Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S BD).

Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên AC, AD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của:

1. MN và mặt phẳng (ABG).

2. AG và mặt phẳng (BMN).

3 KC. Một mặt phẳng (α)

Bài 10.18 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I, K là hai điểm cố định trên S A và S C với S I = 2IA và S K = 1 quay quanh IK cắt S B tại M và S D tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

1. Chứng minh rằng ba đường thẳng IK, MN, S O đồng quy.

= AD

= IN

2. Gọi

BC và

MK. Chứng minh rằng ba điểm S , E, F thẳng hàng.

{

}

∩

}

= IN

{ Q

∩ = MK

3. Gọi

AD và

BC. Chứng minh rằng khi (α) thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đinh.

{

}

∩

{

}

∩

Bài 10.19 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh S B.

1. Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mặt phẳng (S AC).

= AD

BC,

= S C

2. Gọi

OK. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.

O {

}

{

}

∩

Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD. Trên đoạn CA, CB, BD cho lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB , NP

không song song với CD. Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và tứ diện

ABCD.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 194

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 10.21 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, S O. Tìm thiết

diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 10.22 : Cho hình chóp S .ABCD. Trong tam giác S BC lấy một điểm M và trong tam giác S CD lấy một điểm N.

1. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).

2. Tìm giao điểm của cạnh S C với mặt phẳng (AMN).

3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài 10.23 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh S C.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằng IA = 2I M.

2. Tìm giao điểm F của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh S D và tứ giác ABMF

là một hình thang.

3. Gọi N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài 10.24 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M, N là các điểm lần lượt trên các đoạn BC và S D.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng BN với mặt phẳng (S AC) và giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).

2. Tìm thiết diện của hình chóp S .ABCD với mặt phẳng (BCN).

Bài 10.25 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các đoạn S B và AD. Đường thẳng

BN cắt CD tại I.

1. Chứng minh rằng ba điểm M, I và trọng tâm G của tam giác S AD thẳng hàng.

2. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CGM). Chứng minh rằng trung điểm của đoạn S A thuộc thiết diện nay.

3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AGM).

Bài 10.26 : Cho chóp S .ABCD có đáy ABCD là một tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là một điểm tùy ý nằm trên

cạnh S C (M không trùng với C và S ), mặt phẳng (ABM) cắt S D tại N.

1. Gọi I là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh S C thì I di động trên một đoạn thẳng cố

định. Hãy xác định đoạn thẳng đó.

2. Gọi J là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh S C thì J di động trên một đoạn thẳng cố định.

= 3. Chứng minh rằng M, N, I, J luôn đồng phẳng.

Bài 10.27 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho M và N nằm trên các cạnh BC và AD sao cho BM MC

= AN ND

10.2 Hai đường thẳng song song

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) ; chứng minh hai đường thẳng song song ; chứng minh hai đường thẳng

chéo nhau

Vấn đề 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song)

(cid:17)

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến củ (α) và (β) là

đường thẳng ∆ đi qua S và song song với d và d′.

Bài 10.28 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 195

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. (S AC) và (S BD) ;

2. (S AB) và (S CD) ;

3. (S AD) và (S BC).

Bài 10.29 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và

G là trọng tâm tam giác S AB.

1. Tìm giao tuyến của (S AB) và (I JG).

2. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (I JG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là

hình bình hành.

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song

(cid:17)

1. Dùng định nghĩa ( Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh thông thường,

thường áp dụng định lí Talet).

2. Dùng phản chứng

3. Dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng.

4. Dùng tính chất : Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song

song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

5. Dùng tính chất bắc cầu

Bài 10.30 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng I J ∥ CD.

Bài 10.31 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung

điểm S A, S B.

1. Chứng minh MN ∥ CD ;

2. Gọi P là giao điểm của S C và mặt phẳng (ADN), I là giao điểm AN và DP. Chứng minh rằng S I ∥ AB. Tứ giác S ABI là hình

gì.

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

(cid:17)

Chúng ta thường dùng phương pháp phản chứng.

Bài 10.32 : Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1, lấy hai điểm phân biệt A, B và trên d2 lấy hai điểm phân biệt C, D. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.

Bài 10.33 : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (α). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (α). M, N là hai điểm lần lượt di động trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

EA, IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ song song với Bx

1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định I khi M, N di động. 2. E thuộc đoạn AM và EM = 1 3 và (QMN) chứa một đường thẳng cố định khi M, N thay đổi.

Bài 10.34 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên BC, S C, S D, AD sao cho MN ∥ BS , NP ∥ CD, MQ ∥ CD.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 196

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Chứng minh rằng PQ ∥ S A.

2. Gọi K là giao điểm của MN và PQ, chứng minh rằng S K ∥ AD.

3. Qua Q dựng các đường thẳng Qx ∥ S C và Qy ∥ S B. Tìm giao điểm của Qx với (S AB) và của Qy với (S CD).

Bài 10.35 : Cho hình chóp S .ABCD đáy là hình thang, các cạnh đáy AD = a, BC = b. I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác S AD, S BC.

1. Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt phẳng (S BC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt phẳng (S AD).

2. Tính độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).

Bài 10.36 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.

1. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (I JK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

2. Tính diện tích thiết diện theo a.

Bài 10.37 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, mặt bên S AB là tam giác đều, ÔS AD = 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với S C.

1. Tìm giao điểm I của Dx và mặt phẳng (S AB). Chứng minh AI ∥ S B.

2. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AIC). Tính diện tích thiết diện.

10.3 Đường thẳng và mặt phẳng song song

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, dựng thiết diện song song với một đường thẳng

; dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác, xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ;

dựng mặt phẳng qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau a và b

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

(cid:17)

1. Dùng định nghĩa (thường là phản chứng).

2. Dùng tiêu chuẩn : Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (α) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trên

(α) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).

Chú ý : Nếu a không có sẵn ta thường chọn một mặt phẳng (β) chứa d và lấy a là giao tuyến của (α) và (β).

Bài 10.38 : Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O′ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF; G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng :

1. OO′ song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE) ;

2. G1G2 song song với mặt phẳng (CEF).

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

(cid:17)

(β) và (α)

Ta có thể dùng định lí sau : Cho đường thẳng d ∥ (α). Nếu d

(β) = d′ thì d′ ∥ d.

⊂

∩

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 197

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 10.39 : Cho hình chóp S .ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD và (α) là mặt phẳng qua MN và song song với S A.

1. Tìm các giao tuyến của (α) với (S AB) và (S AC).

2. Xác định thiết diện của hình chóp với (α). Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 10.40 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB′A′, ACC′A′ là các hình vuông. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1. Chứng minh rằng I J ∥ (ABC).

2. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (OI J). Chứng minh rằng thiết diện là hình thang cân và tính diện tích thiết diện.

Bài 10.41 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A và CD.

1. Chứng minh rằng (OMN) ∥ (S BC) ;

2. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và S AB. Gọi I là trung điểm S E, J là một điểm trên (ABCD)

và cách đều AB và CD. Chứng minh rằng I J ∥ (S AB).

3. Giả sử hai tam giác S AD, ABC đều cân tại A. Chứng minh rằng EF ∥ (S AD).

Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

(cid:17)

Cho a, b chéo nhau. Ta sẽ dựng mặt phẳng (P) chứa a và b ∥ (P) như sau :

Cách 1 : Xét một đường thẳng c cắt a và c ∥ b. Khi đó (P) là mặt phẳng chứa a và c.

(P) = a, (Q)

a =

Cách 2 : Xét một mặt phẳng (Q) chứa b, (R) chứa a. Ta có (R)

(R) = c và giả sử c

thì (P)

(Q) là đường

∩

{

}

∩

thẳng d qua M và song song với b.

Vậy (P) là mặt phẳng chứa a và d.

Bài 10.42 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là một điểm nằm giữa hai điểm S và C ; (α) là mặt phẳng chứa

AM và song song với BD.

1. Hãy xác định các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh S B, S D.

2. Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, A, J thẳng hàng.

Bài 10.43 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua

trung điểm M của AB, song song với các đường thẳng BD và S A.

Bài 10.44 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD.

1. Chứng minh MN song song với (S BC) và (S AD) ;

2. Gọi P là trung điểm S A. Chứng minh S B và S C đều song song với mặt phẳng (MNP).

3. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (S AB).

Bài 10.45 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC và G là trọng

tâm tam giác S AB.

1. Tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng (S AB) và (I JG) ;

2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (I JG). Tìm điều kiện của AB, CD để thiết diện là hình bình hành.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 198

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 10.46 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác S AB và S AD, M là trung

điểm CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (I JM).

Bài 10.47 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M, N là hai điểm trên AB, CD; (α) là mặt phẳng qua M và song song với S A.

1. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (S AB) và (S AC).

2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α);

3. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 10.48 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm A′B′.

1. Chứng minh CB′ song song với mặt phẳng (AHC′);

2. Tìm giao điểm của AC′ với (BCH);

3. Mặt phẳng (α) qua trung điểm của CC′, song song với AH và CB′. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia

các cạnh tương ứng của lăng trụ.

10.4 Hai mặt phẳng song song

Chứng minh hai mặt phẳng song song ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt

phẳng cho trước.

Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song

(cid:17)

1. Dùng định nghĩa (thường là phản chứng).

2. Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.

3. Dùng tiêu chuẩn : Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với một

mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.

Bài 10.49 : Cho hình chóp S .ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, S D.

1. Chứng minh rằng (OMN) song song với (S BC).

2. Gọi P là trung điểm của AB, Q trên đoạn ON sao cho OQ = 3ON. Chứng minh rằng PQ ∥ (S BC).

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

(cid:17)

Chúng ta thường dùng định lí : Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song thì mọi mặt phẳng (γ) đã cắt (α) đều phải cắt (β) và các giao

tuyến của chúng song.

Bài 10.50 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b, tam giác S BD đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (S BD) và đi qua điểm I trên đoạn AC khác A và C.

1. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 199

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.

Bài 10.51 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A, S D.

1. Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ;

2. Gọi P, Q là trung điểm AB và ON. Chứng minh PQ ∥ (S BC).

Bài 10.52 : Cho tứ diện ABCD, gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.

1. Chứng minh rằng (G1G2G3) ∥ (BCD).

2. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3). Tính diện tích thiết diện, biết diện tích tam giác là s.

3. M là điểm di động trong tứ diện sao cho G1 M luôn song song với mặt phẳng (ACD). Tìm tập hợp những điểm M.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 200

Chương 11

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :

1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :

• −→u .−→v = 0, ở đó −→u và −→v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′. • Góc giữa chúng bằng 90◦. • d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).

• d

(β) mà (β) chứa d.

(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥ ⊥

• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo

của định lí Pytago, . . .

2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :

• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).

(α).

• d ∥ d′ mà d′

⊥

• d

(β) mà (β) ∥ (α).

⊥

• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B, C).

• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).

• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)

(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và

⊥

(α) thì d

(α).

⊥

3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :

• Góc giữa chúng bằng 90◦.

• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.

4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.

201

Chương 11

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :

1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :

• d

(β) mà (β) chứa d.

(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥ ⊥

• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo

của định lí Pytago, . . .

2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :

• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).

(α).

• d ∥ d′ mà d′

⊥

• d

(β) mà (β) ∥ (α).

⊥

• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B, C).

• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).

• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)

(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và

⊥

(α) thì d

(α).

⊥

3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :

• Góc giữa chúng bằng 90◦.

• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.

4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.

201

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

•

;

• AB2 + AC2 = BC2 (Định lí Pytago); AC2 ; AH = AB.AC + 1

= 1 AB2

1 AH2

• AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC; • AM = BC 2

, nếu bC = 30◦ thì AB = BC 2

Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; ha, hb, hc và ma, mb, mc lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p = a + b + c là nửa chu vi tam giác.

1. Định lí hàm số cosin :

a2 = b2 + c2

−

2bc cos A; cos A = b2 + c2 2bc

−

2. Định lí hàm số sin :

= b

= c

= 2R

a = 2R sin A.

a sin A

sin B

sin C

⇒

3. Công thức trung tuyến :

−

m2 a

= 2(b2 + c2) 4

4. Công thức diện tích tam giác:

(a) Tam giác thường

= pr =

p(p

a)(p

b)(p

S = 1 2

a.ha = 1 2

b.c. sin A = abc 4R

ha = 2S a

, R = abc 4S

, r = S p

−

⇒

(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S = 1 2

AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S = a2 2

và đường cao bằng

;

a √3 2

5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2.

AC.BD. sin(AC, BD).

6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab. 7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin ÔBAD = 1 2

AC.BD.

cao

8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin ÔBAD = 1 2 9. Diện tích hình thang là S = ( đáy lớn + đáy nhỏ )

tích hai đường chéo.

10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = 1 2

11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

(cid:17) Nếu ba vectơ −→a , −→b , −→c không đồng phẳng thì vectơ −→d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→a , −→b , −→c ; nghĩa là tồn tại duy nhất bộ ba số m, n, p sao cho −→d = m−→a + n−→b + p−→c .

R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ −−→CB′, −→AI, −→I J theo ba vectơ −→a , −→b , −→c .

∈

Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đặt −−→AA′ = −→a , −−→AB = −→b , −−→AD = −→c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD′C′, J là điểm trên cạnh B′C′ sao cho JB′ = k.JC′ (k Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Đặt −→a = −−→AC′, −→b = −−→BA′, −→c = −−→CB′. Gọi M là trung điểm AA′ và G là trong tâm tam giác ABC. Hãy biểu diễn các vectơ −−→AA′, −−−→B′G, −−−→MN theo ba vectơ −→a , −→b , −→c .

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 202

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ

(cid:17)

1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.

2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.

Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng −−→AB + −−→AD + −−→AE = −−→AG.

Bài 11.4 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng −−→S A + −−→S C = −−→S B + −−→S D.

Bài 11.5 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng −−→S A2 + −−→S C2 = −−→S B2 + −−→S D2.

, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta

Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho

CA CB

= m n

−−→S B.

luôn có −−→S C =

n m + n

−−→S A + m m + n

Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi O và O′ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′.

1. Hãy biểu diễn các vectơ −−→AO, −−−→AO′ theo các vectơ −−→AA′, −−→AB, −−→AD.

2. Chứng minh rằng −−→AD + −−−→D′C′ + −−−→D′A′ = −−→AB.

Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là : −−→OA + −−→OC = −−→OB + −−→OD.

Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song

(cid:17)

1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể

• Chứng minh vectơ hai −−→AB và −−→AC cùng phương, tức là −−→AB = k−−→AC. • Chọn một điểm I nào đó và chứng minh −→IC = m−−→OA + n−−→OB với m + n = 1.

2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ −−→AB và −−→CD cùng phương.

3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD

(P) sao cho AB ∥ CD hoặc

⊂

−−→AB = x−→u + y−→v trong đó các vectơ −→u và −→v có giá song song hoặc nằm trên (P).

Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Xét các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′D sao cho −−−→MA′ = k−−→MC, −−−→NC′ = l−−→ND (k và l đều khác 1). Đặt −−→BA = −→a , −−→BB′ = −→b , −−→BC = −→c .

1. Hãy biểu thị các vectơ −−→BM và BN qua các vectơ −→a , −→b , −→c .

2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′.

Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho −−→MA = m−−→AB. Tìm điểm N trên đường thẳng B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m , 0).

2−−→MB, −−→ND =

2−−→NC. Các điểm I, J, K

−

Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho −−→MA = lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho −→IA = k−→ID, −−→JM = k−−→JN, −−→KB = k−−→KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt −→OI = −−−→AA1, −−→OJ = −−−→BB1, −−→OK = −−−→CC1. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 203

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

−−→AD. N là điểm trên đường thẳng BD1, P là

(cid:12)

Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B0, C0, D0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G0 là trọng tâm tam giác BCD và B0C0D0. Chứng minh rằng ba điểm A, G0, G thẳng hàng. Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên cạnh AD sao cho −−→AM = 1 3

(cid:12)

(cid:12)−−−→MN

(cid:12)

điểm trên đường thẳng CC1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính

(cid:12)

(cid:12)−−→NP

Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′, BC, C′D′ lân lượt tại M, N, P sao cho −−−→N M = 2−−→NP. Tính

MA MA′

Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.

1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc một đường thẳng.

2. Tính tỉ số

GA GC1

Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB′A′. M là một điểm trên OB′. Mặt phẳng (MD′C) cắt BC′ ở I và DA′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng.

Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A′B′C′, gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB′ và A′B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG′ song song với nhau.

, xác định vị trí của E, F.

Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1, AB1 của các mặt bên sao cho EF ∥ BC1. Tìm tỉ số

EF BC1

, xác định vị trí của E, F.

Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1. Trên đường chéo AB1, BC1 của các mặt bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số

EF CM

, xác định vị trí của E, F.

Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA1, CC1. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, AB1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ số

EF BN

= 3 4

= B1N BB1

= C1P CC1

EF B1P

Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA1, BB1, CC1 sao cho AM . Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A1N sao cho EF ∥ B1P. Tìm tỉ số AA1 Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất thuộc DC1 sao cho MN ∥ BD1. Tính tỉ số

MN BD1

Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD′ và DB sao cho −−→MA = k−−−→MD′, −−→ND = k−−→NB (k , 0, k , 1).

1. Chứng minh rằng MN ∥ (A′BC) ;

2. Khi đường thẳng MN ∥ A′C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD′ và DB.

Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G, G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A′D′ MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.

Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng

(cid:17) Muốn chứng minh các vectơ −→a , −→b , −→c đồng phẳng chúng ta có thể :

1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a , −→b , −→c có giá cùng song song với một mặt phẳng. 2. Ba vectơ −→a , −→b , −→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n−→b , trong đó −→a , −→b là hai vectơ không

cùng phương.

Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 204

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. −−→AB, −−−→A′C′, −−−→B′D′ ;

2. −−→AB, −−→BB′, −−−→B′C′ ;

3. −−→AB, −−−→B′D, −−−→C′D′.

3−−→NC.

−

Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho −−→AM = 3−−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho −−→NB = Chứng minh rằng ba vectơ −−→AB, −−→DC, −−−→MN đồng phẳng.

Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ −−→BD, −→IK, −−→GF đồng phẳng.

Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các

điểm M, N sao cho

= k (k > 0).

AM AC

= BN BD

Chứng minh rằng ba vectơ −−→PQ, −−→PM, −−→PN đồng phẳng.

Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ −−→BB′, −−−→CC′, −−−→DD′ đồng phẳng.

Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA′B′C′D′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng các vectơ −−→AA′, −−→BB′, −−−→CC′, −−−→DD′ đồng phẳng.

Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1 sao cho AM = BN. Chứng minh rằng ba vectơ −−−→MN, −−→AB, −−−→B1D đồng phẳng.

Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :

−−→OM = −−→OA + α−−→OB

2−−→OC; −−→ON = (α + 1)−−→OA + 2−−→OB + −−→OC; −−→OP = (α

2)−−→OB + 2−−→OC

−

với α là số thực. Tìm α để ba vectơ −−→OM, −−→ON, −−→OP đồng phẳng.

Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc dyOz, dzOx và phân giác ngoài của dxOy thuộc

một mặt phẳng.

Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D1 song song với DA1 và AB1. Mặt phẳng này cắt đường thẳng BC1 tại M, và giả sử −−→BM = k−−−→BC1. Hãy tính k ?

Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao

cho

. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

AR AC

= BS BD

2−−−→KB′.

−

Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB′ và A′C′. Điểm K thuộc B′C′ sao cho −−−→KC′ = Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

−−→BC, −−→AQ =

−−→AB, −−→BN = 2 3

Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho −−→MA = k1−−→MC ; N là điểm thuộc BD sao cho −−→NB = k2−−→ND. Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2. Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho −−→AM = 1 3 1 −−→AD, −−→DP = k−−→DC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng. 2

11.2 Hai đường thẳng vuông góc

Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ

(cid:17)

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu −−→OA = −→a , −−→OB = −→b thì (−→a , −→b ) = (−−→OA, −−→OB) = ÔAOB. Đặc biệt

• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức

(−−→OA, −−→OB) = (−−→AO, −−→BO) = ÔAOB.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 205

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức

ÔAOB.

(−−→AO, −−→OB) = (−−→OA, −−→BO) = 180◦

(−−→OA, −−→OB) = 180◦

−

2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(−→u , −→v ) = −→u .−→v . |−→v |

|−→u

Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1. −−→AC và −−→CD;

2. −−→CH và −−→CD.

Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1. −−−→A′C′ và −−→AB;

2. −−−→A′C′ và −−→AB′;

3. −−→A′B và −−−→B′D′.

Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ −−→OM và −−→BC.

Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = a và BC = a √2. Tính góc giữa hai vectơ −−→AB và −−→S C.

Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b

(cid:17)

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc

giữa a và b bằng góc giữa a′ và b′.

2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể

90◦ thì (×AB, CD) = (×−−→AB, −−→CD).

≤

(×−−→AB, −−→CD).

(cid:12)

• Nếu (×−−→AB, −−→CD) • Nếu (×−−→AB, −−→CD) > 90◦ thì (×AB, CD) = 180◦ − Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB, CD) =

cos(×−−→AB, −−→CD)

(cid:12)

Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

1. AC và DA′;

2. BD và AC′.

OB, OB

OC, OC

OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc

⊥

Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA giữa các cặp đường thẳng :

1. AM và BC ;

2. AM và OP, với P là trung điểm BC.

BC.

Bài 11.46 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A

⊥

1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.

2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho I J ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và I J không

phụ thuộc vào vị trí của I và J.

Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và

DM.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 206

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a √3.

Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M

và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất.

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

(cid:17)

Muốn chứng minh AB

CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90◦ hoặc chứng minh −−→AB.−−→CD = 0.

⊥

Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB′. Chứng minh rằng MN

A′C.

⊥

Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.

1. Chứng minh rằng AC

BD ;

2. Tính cosin góc giữa hai vectơ −−→AB, −−→CD.

⊥

Bài 11.52 : Trên các đường chéo D1A, A1B, B1C, C1D của các mặt của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 lấy các điểm M, N, P, Q sao cho :

−−−−→D1M = k−−−→D1A; −−→BN = k−−−→BA1; −−−→B1P = k−−−→B1C; −−→DQ = k−−−→DC1.

Tìm số thực k để MN

PQ.

⊥

CD.

Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA

⊥

MN.

Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB′ ta lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC′⊥ Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB

CD.

⊥

B′D′. Chứng minh rằng nếu

⊥

Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC ÔABC = ÕB′BA = ÕB′BC = 60◦ thì A′B′CD là hình vuông. Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho −−→MB = k−−→MC và −−→NA = k−−→ND, với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α = (−−−→MN, −−→BA), β = (−−−→MN, −−→CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45◦.

Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

1. Chứng minh rằng AD

BC.

⊥

2. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho −−→MA = k−−→MB, −−→ND = k−−→NB. Tính góc giữa hai đường thẳng

MN và BC.

AB, tính góc giữa các

AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK = 5 6

Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD = 4 3 đường thẳng CD với các đường thẳng I J và AB.

Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a2 cos α, b2 cos β, c2 cos γ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.

11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

(cid:17)

1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 207

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).

3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).

Bài 11.61 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.

1. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH

(S BC).

⊥

(ABC).

2. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G1G2⊥

Bài 11.62 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi và S A = S C.

1. Chứng minh rằng AC

(S BD).

⊥

2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.

Bài 11.63 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a, ÔAS B = 90◦, ÔBS C = 60◦, ÔAS C = 120◦. Gọi O là trung điểm cạnh AC. Chứng minh rằng S O

(ABC).

⊥

Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.

1. Chứng minh rằng BC

(AID).

⊥

2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH

(BCD).

⊥ Bài 11.65 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a √3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên S CD vuông tại D và có S D = a √5.

1. Chứng minh rằng S A

(ABCD) và tính S A.

⊥

2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên S C. Hãy

(S BC), AL

xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HI J). Chứng minh rằng AK

(S CD).

⊥

3. Tính diện tích tứ giác AKHL.

Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường

thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài 11.67 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O

(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.

⊥

Bài 11.68 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và ÔBAC = 120◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.

1. Chứng minh rằng BC

(S AD);

2. Tính góc giữa S B và (ABC).

⊥

Bài 11.69 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ( bA = 90◦), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời S A = S C = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M

(ABCD) và AC

(S BM).

⊥

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

(cid:17)

1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′ của a trên (P).

3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 208

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông

Bài 11.70 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A

⊥

góc của điểm A trên các cạnh S B, S C, S D.

(S AB), CD

(S AD), BD

1. Chứng minh rằng BC

(S AC).

⊥

2. Chứng minh rằng S C

(AHK) và điểm I

(AHK).

∈

⊥

3. Chứng minh rằng HK

(S AC), từ đó suy ra HK

AI.

⊥

Bài 11.71 : Hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = S C, S B = S D.

1. Chứng minh rằng S O

(ABCD).

⊥

2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK

(S BD) và IK

S D.

⊥

Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng:

BC, OB

CA, OC

1. OA

AB.

⊥

+ 1

2. H là trực tâm của tam giác ABC. + 1 OB2

= 1 OA2

1 OH2

OC2 .

4. Tam giác ABC nhọn

5. sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC).

= S 2

+ S 2

6. S 2

∆ABC

∆OAB

∆OBC

∆OCA.

Bài 11.74 : Hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các

mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông.

(ABC).

Bài 11.75 : Cho chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A

⊥

1. Chứng minh rằng BC

(S AB).

⊥

2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH

S C.

⊥

Bài 11.76 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S .

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.

(S CD), S J

1. Tính các cạnh của tam giác S I J và chứng minh rằng S I

(S AB).

⊥

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên I J. Chứng minh rằng S H

AC.

⊥

3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM

S A. Tính AM theo a.

⊥

Bài 11.77 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và S C = a √2. Gọi H, K là trung điểm AB, AD.

S K, CK

1. Chứng minh rằng S H

(ABCD) ;

2. Chứng minh rằng AC

S D.

⊥

(ABC). Chứng minh rằng

Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A′H

⊥

B′C′.

BC và AA′⊥

1. AA′⊥ 2. Gọi MM′ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA′) với mặt bên BCC′B′, trong đó M

B′C′. Chứng minh rằng tứ giác

BC và M′ ∈

∈

BCC′B′ là hình chữ nhật và MM′ là đường cao của hình chữ nhật đó.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 209

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.79 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là

CA, CD

điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD

(S CA).

⊥

Bài 11.80 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BC

(S AB) và CN

(S D).

⊥

2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.

(S I J), trong đó I, J tương ứng là

⊥

Bài 11.81 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD trung điểm của AB và CD.

(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H2 = HA.HC.

Bài 11.82 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A

⊥

Chứng minh rằng S C

(S AB).

⊥

Bài 11.83 : Cho hình chóp S .ABC có ÔBS C = 120◦; ÔCS A = 60◦; ÔAS B = 90◦ và S A = S B = S C. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và S I

(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.

⊥

Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

(cid:17)

1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a′ của a

trên mặt phẳng (P).

2. Nếu a ∥ (P) hoặc a

(P) thì góc giữa a và (P) bằng 0◦.

⊂

3. Nếu a

(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90◦.

⊥

4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông

góc H của B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng ÔBAH.

a′

(P)

Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy.

Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √6. Tính góc giữa

1. S C và (ABCD);

2. S C và (S AB);

3. S B và (S AC);

4. AC và (S BC).

Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a √2.

1. Tính góc giữa đường thẳng BC′ và (ABB′A′).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 210

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Gọi M là trung điểm CC′. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A′B′C′).

Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có bA = 120◦, BC = a √3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

1. Chứng minh rằng AO

(DBC).

⊥

2. Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi ÔBDC = 90◦.

(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm

Bài 11.88 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A

⊥

các cạnh S A và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60◦.

1. Tính độ dài MN và S O;

2. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).

Bài 11.89 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, ÔBAC = α. Biết S A, S B, S C đều hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α.

1. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Bài 11.90 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′B′ hợp với ABB′A′ góc 30◦.

1. Tính AA′.

2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA′C′).

3. Gọi N là trung điểm của cạnh BB′. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA′C′).

Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC vuông cân tại A, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B′C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC′B′) góc β.

1. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α;

2. Chứng minh rằng cos α = √2 sin β.

(ABCD) và S A = 2a. Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc

⊥

Bài 11.92 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A 30◦, cắt S A, S D lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BCN M.

Bài 11.93 : Cho hình chóp S .ABC có các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc α. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O

(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.

⊥

Bài 11.94 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a √3. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc 60◦. Tính góc tạo bởi

1. S A và (S BC);

2. S A và BC.

Bài 11.95 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a √2.Các cạnh bên S A, S B, S C, S D cùng tạo với đáy một góc 45◦. Gọi M là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BM

S A;

2. Tính góc giữa BM và S C.

⊥

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước

(cid:17)

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.

1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳng xác định bởi hai

đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 211

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc

chứa b).

(ABCD) và S A = 2a.

⊥

Bài 11.96 : Cho chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).

1. Tìm thiết diện của hình chóp S .ABCD với (α). Thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.

(ABC) và S A = 2a. Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông

Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A

⊥

góc với S C. Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.

(ABC), S A = a. Tìm thiết diện của tứ diện S ABC

Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A

⊥

với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

1. (α) qua S và vuông góc với BC.

2. (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.

3. (α) qua trung điểm M của S C và vuông góc với BC.

Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.

M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).

Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β).

Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi

1. mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.

2. mặt phẳng qua M và vuông góc với S C.

Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = BC = a, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho AM = x (với 0 < x < a). Xác định và tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện là lớn nhất.

Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CC′. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN.

Bài 11.103 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ÔABC = 600. Cạnh S C = a và vuông góc với (ABC). Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S ). Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.104 : Cho lăng trụ đứng OAB.O′A′B′ có đáy là tam giác vuông cân tại O với OA = OB = a, chiều cao AA′ = a √2. Gọi M là trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A′B. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α).

(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

⊥

Bài 11.105 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E, K, H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a √2.

Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a. Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc với AC. Đặt CM = x √3 2

1. Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q). Tính diện tích của thiết diện.

2. Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.

Bài 11.107 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ÔABC = 600. Cạnh S C = a và vuông góc với S A và vuông góc với S A. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện (ABC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M

∈

và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 212

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

11.4 Hai mặt phẳng vuông góc

Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng

(cid:17)

Giả sử cần tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau :

1. Sử dụng định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nghĩa là,

lấy a

(P) và b

(Q) thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.

⊥

⊥ 2. Giả sử c = (P)

(Q). Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc ϕ giữa

∩

(P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Trong nhiều bài toán thường có sẵn đường thẳng AB (A

(P) và B

(Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c

∈

ÔAHB (nếu

(cid:12)

90◦) và là góc 180◦ −

≤

(cid:12)

(cid:12)cos ÔAHB

(cid:12).

tại H. Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc ÔAHB (nếu ÔAHB ÔAHB > 90◦). Trong thực hành thường dùng công thức cos ϕ =

3. Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm trong mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H ′ . Khi

với S ′ là diện tích hình H ′ và S là diện tích hình H .

đó, cos ϕ = S ′ S

(ABCD) và S A = a √3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau

Bài 11.108 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A

⊥

1. (S BC) và (ABCD);

2. (S CD) và (ABCD);

3. (S BC) và (S CD).

(ABC).

Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có ÔABC = 90◦, AB = 2a, BC = a √3, S A = 2a và S A

⊥

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

2. Mọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.

3. Tính tan ϕ, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S MC).

Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa hai mặt phẳng

1. (ABCD) và (A′B′C′D′);

2. (ABCD) và (CDD′C′);

3. (ACC′A′) và (ABB′A′);

4. (A′BD) và (ABCD).

(ABCD) và S A = x.

Bài 11.111 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A

⊥

1. Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60◦.

2. Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).

Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a √5 và ÔBAC = 120◦. Gọi M là trung điểm cạnh CC1. Chứng minh rằng MB

MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

⊥

(ABCD) và

⊥

Bài 11.113 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, S A S A = a √3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AD) và (S BC);

2. (S CD) và (S BC).

(ABC), S A = a. Gọi E và F lần lượt

⊥

Bài 11.114 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A là trung điểm các cạnh AB và AC. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AC) và (S BC);

2. (S EF) và (S BC).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 213

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.115 : Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng sao cho dxOy = 90◦, dyOz = dzOx = 60◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và (zOx).

Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao cho OS = R. Gọi M và N là hai điểm khác nhau trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S , a) và (S , b) trong mỗi trường hợp sau :

1. MN là đường kính của đường tròn;

2. ÕMON = 90◦.

Bài 11.117 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (S CD) là các tam giác vuông lần lượt tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết ÔABC = ϕ.

1. Chứng minh rằng S O

(ABCD);

⊥

2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.

(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa

⊥

Bài 11.118 : Cho hình chóp S .ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ÔBAC = α, S A hai mặt bên (S AC) và (S BC).

2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60◦.

1. Chứng minh rằng tan α. tan β =

;

√1 + cos2 α cos α

Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA′ và CC′.

1. Chứng minh bốn điểm B′, M, D, N đồng phẳng. Tứ giác B′MDN là hình gì ?

2. Tính độ dài AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

3. Khi tứ giác B′MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B′MDN) và (ABCD).

Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

(cid:17)

1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90◦.

2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a

(Q).

⊥

. Chứng minh rằng (S BC)

(S AD) và (S AB)

(S AC).

Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D = a √6 2

⊥

(ABCD).

Bài 11.122 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông, S A

⊥

1. Chứng minh rằng (S AC)

(S BD).

⊥

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).

(S BC), (AEF)

3. Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)

⊥

, S O

Bài 11.123 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB = a √3 3

(S AC). ⊥ (ABCD), S O = a √6 3 ⊥

1. Chứng minh rằng ÔAS C = 90◦.

2. Chứng minh rằng (S AB)

(S AD).

⊥

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 214

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

. Chứng minh rằng (S AM)

(S MN).

Bài 11.124 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên BC, DC sao cho BM = a 2

; DN = 3a 4

⊥

Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB)

và (S AC) vuông góc với nhau.

. Đặt ÕBOM = α, ÕDON = β.

Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a. Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ở cùng nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M, N sao cho BM.DN = a2 2

1. Chứng minh rằng tan α. tan β = 1. Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)

(ACN).

⊥ 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Tính độ dài đoạn OH. Từ đó chứng minh AH

HC và (AMN)

(CMN).

⊥

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

(cid:17)

(P), (P)

1. Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)

(Q) = c rồi chứng minh a

⊥

∩

⊥

2. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).

Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ

AH vuông góc với BD, chứng minh AH

(BCD).

⊥

Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam

giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giác ACD.

1. Chứng minh rằng AB

(BCD).

⊥

(ADC), (DFK)

2. Chứng minh rằng (ABE)

(ADC).

⊥

⊥ 3. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng OH

(ADC).

⊥

Bài 11.129 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a √2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB.

1. Chứng minh rằng S M

(ABCD); BC

(S AB) và AC

S D.

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (S CD).

⊥

(ABCD).

Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)

⊥

1. Chứng minh rằng (S AB)

(S AD) và (S AB)

(S BC).

⊥

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).

3. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (S HC)

(S DI).

⊥

Bài 11.131 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có ÔS AB = 30◦. Tính góc giữa mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.132 : Cho hình chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại A, ÔABC = 60◦, M là trung điểm AB. Các mặt phẳng (S AB) và (S CM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa S C và (ABC) là 60◦, tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân tại B. Hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACB′) cùng vuông góc với (ABC).

1. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 215

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (A′B′C′) bằng 30◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC′A′).

Bài 11.134 : Cho hình vuông ABCD. Mặt phẳng (P) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB. Điểm M di động sao cho ÕAMB = ÕAMD = 90◦.

1. Chứng minh rằng M thuộc mặt phẳng trung trục của BD;

BM′.

2. Giả sử MD cắt (P) tại M′. Chứng minh rằng AM′⊥

Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Trên hai cạnh AC, BF lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = BN = x (0 < x < a √2).

1. Chứng minh rằng AF

(ABCD).

⊥

M1N và MN ∥ (CDEF).

2. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Chứng minh rằng MM1⊥ 3. Tính MN theo a và x. Tìm x để MN nhỏ nhất.

4. Khi MN nhỏ nhất hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và MN ∥ DE.

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P))

(cid:17)

Từ một điểm trên a, dựng đường thẳng b vuông góc với (P). Mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng (Q) cần dựng.

(ABCD) và S O = 3a 4 ⊥

Bài 11.136 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Đường thẳng S O Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.

1. Chứng minh rằng (S OF)

(S BC).

⊥

2. Gọi O′, A′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, A trên (S BC). Tính độ dài các đoạn thẳng OO′, AA′.

3. Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC). Xác định thiết diện cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện đó. Tính góc

giữa (P) và (ABCD).

(ABCD) và S A = a. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và

Bài 11.137 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A

⊥

vuông góc với mặt (S CD).

1. Dựng mặt phẳng (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện đó.

(ABCD) và S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện

Bài 11.138 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A

⊥

của hình chóp S .ABCD với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:

1. (α) qua tâm O của đáy, trung điểm M của S D và vuông góc với (ABCD).

2. (α) qua A, trung điểm N của CD và vuông góc với (S BC).

Bài 11.139 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a √2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A′C′. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (α) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC′B′). Tính diện tích thiết diện và tính góc tạo bởi mặt phẳng (α) với mặt phẳng đáy.

Bài 11.140 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh S A

(ABCD) và S A = a.

⊥ 1. Chứng minh rằng (S AD)

(S CD) và (S AC)

(S CB).

⊥

2. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD), tính tan ϕ.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 216

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC). Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt

phẳng (α).

(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

⊥

Bài 11.141 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E, K, H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a √2.

(ABCD), S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện

Bài 11.142 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A

⊥

của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm của CD.

11.5 Khoảng cách

∆

Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

cho trước

(cid:17)

1. Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH

∆) tại H. Ta có d(M, ∆) = MH.

⊥

2. Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)

∆, cắt ∆ tại H. Ta có d(M, ∆) = MH.

⊥

(ABCD) và S A = a. Gọi I là trung điểm cạnh

Bài 11.143 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A

⊥

S C và M là trung điểm đoạn AB.

1. Chứng minh rằng OI

(ABCD).

2. Tính d(I, CM).

⊥

(ABC) và S B = a. Tính khoảng cách từ S đến

⊥

Bài 11.144 : Cho hình chóp S .ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B CM, với M thuộc đoạn AB và AM = a 3

(ABCD).

Bài 11.145 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a, ÔABC = 60◦ và S A

⊥

1. Chứng minh : BD

S C, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến S C.

⊥

2. Tính d(O; S B) và d(D; S C).

Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho AO = 4cm. Tính d(O, BC).

Ax và N

Cy với AM = a, CN = a √5. Chứng minh rằng AB

(BCy). Tính khoảng cách từ M đến BN.

∈

Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = a; BC = 2a). Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở về cùng một phía. Lấy M ⊥ Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy. Khoảng cách từ A đến Ox, Oy đều bằng a và AO = a √7 2 Tính khoảng cách từ A đến (xOy).

Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

(cid:17)

Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).

Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q). Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đường thẳng cần

dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P).

Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau :

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 217

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(P) =

2. Nếu AB

thì

1. Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)). = OA OB

d(A, (P)) d(B, (P))

O {

∩

}

(ABC). Hãy dựng hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (S BC).

Bài 11.149 (Bài toán có bản) : Cho hình chóp S .ABC có S A

⊥

Bài 11.150 (Bài toán cơ bản) : Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với (α) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng (α) tại A′ và B′. Chứng minh rằng ba điểm A′, O, B′ thẳng hàng và AA′ = BB′. Như vậy ta có hệ quả của bài toán này là : Hai điểm A và B phân biệt cách đều (P) (hoặc ∆) khi và chỉ khi AB ∥ (P) hoặc trung điểm M của AB thuộc (P) (tương ứng ∆).

(ABC), tam giác ABC đều cạnh a và S A = a √2. Xác định và tính khoảng cách từ A đến

Bài 11.151 : Cho hình chóp S .ABC có S A

⊥

mặt phẳng (S BC).

Bài 11.152 : Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

Bài 11.153 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên cùng bằng 2a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ở

đáy.

1. Chứng minh rằng S O

(ABCD).

⊥

2. Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.154 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6a; BC = BD = 5a; AC = AD = a √73. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD). Chứng minh rằng H nằm trên trung tuyến BI của tam giác BCD. Tính d(A, (BCD)).

(ABC). Tính d(B, (S AC)).

Bài 11.155 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác vuông tại B (AB = 2a, BC = a); S A

⊥

, I là trung điểm của CM.

(ABC); M là điểm thuộc đoạn S B sao cho

MS MB

= 1 2

⊥

Bài 11.156 : Cho hình chóp S .ABC có S A = h, S A Tính d(I, (ABC)).

(ABCD) và S A = 2a. Xác định và tính

Bài 11.157 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A

⊥

1. d(A, (S CD));

2. d(O, (S CD));

3. d(B, (S CD));

4. d(C, (S BD)).

(ABCD) và S A = a √3. Gọi G là trọng tâm tam giác S AB.

Bài 11.158 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A

⊥

Tính d(G, (S AC)).

(ABCD) và S A = a √3, G là trọng tâm tam

Bài 11.159 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, , S A

⊥

giác S AB. Tính

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 218

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. d(M, (ABCD));

2. d(A, (S BC));

3. d(O, (S BC));

4. d(G, (S AC)).

Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho dưới đây.

1. Điểm A và mặt phẳng (BDB′D′) ;

2. Điểm A và mặt phẳng (A′BD).

Bài 11.161 : Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính d(B, (ACD)).

Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng (AB′D′).

Bài 11.163 : Cho hình chóp đều S .ABC cạnh a. Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)).

(ABCD) với S H = a.

Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC = a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng S H

⊥

1. Tính d(H, (S CD)). Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S CD).

2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.165 : Cho góc vuông dxOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và khoảng cách từ M tới hai cạnh Ox, Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.

Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a √2 và tạo với (α) một góc 60◦.

1. Tính khoảng cách CH từ C tới (α).

2. Chứng minh rằng cạnh BC tạo với (α) một góc bằng 45◦.

Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a. Tính :

1. d(O; (S AB)) ;

2. d(A; (S CD)).

Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông tại A, S B = a, AC = 2a. Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC) góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC).

1. Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ;

, khi đó hãy tính d(C; (DAB)).

2. Tìm số đo α khi biết d = 2a √3

Bài 11.169 : Cho hình chóp S .ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60◦. Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trong mỗi trường hợp sau :

1. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền trong tam giác ABC.

2. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC.

(ABCD), gọi M là trung điểm S C. Tính

Bài 11.170 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A

⊥

1. d(A, (S CD));

3. d(O, (S CD));

5. d(M, (ABCDC));

2. d(B, (S CD));

4. d(C, (S BD));

6. d(M, (S AD)).

Bài 11.171 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √3 và các cạnh bên cùng hợp với đáy một góc 60◦.

1. Tình d(S , (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB));

2. Tính cosin góc giữa S B và AC;

3. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AC).

Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

(cid:17)

Ta xét các trường hợp sau đây:

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 219

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

b′

M′

a) Giả sử a, b là hai đường thẳng chéo nhau và a

⊥

- Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong (α) dựng BA

a tại A, ta được độ dài đoạn BA là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b (hình a).

⊥

b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Cách 1 : - Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).

(α) tại M′.

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM′⊥ - Từ A dựng AB ∥ MM′ cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2 : - Ta dựng mặt phẳng (α)

a tại O, (α) cắt b tại I (hình c).

⊥ - Dựng hình chiếu vuông góc của b là b′ trên (α).

- Trong mặt phẳng (α), vẽ OH

b′ tại H.

⊥

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Chú ý : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta thường làm như sau :

• Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).

• Lấy điểm M

b. Ta có d(a, b) = d(b, (α)) = d(M, (α)).

∈

Bài 11.172 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

1. OA và BC;

2. AI và OC.

Bài 11.173 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc ÔBAD = 60◦, S O

(ABCD), S O = 3a 4 ⊥

1. Tính d(O, (S BC)) và d(A, (S BC));

2. Tính d(AD, S B).

Bài 11.174 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A′C′, B′C′. Tính khoảng các giữa các cặp đường thẳng sau :

1. DE và AB′;

2. A′B và B′C′.

Bài 11.175 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 220

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. S B và CD;

2. S C và BD;

3. S C và AB;

4. AC và S D.

Bài 11.176 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính các khoảng cách :

1. d(A, (CDD′C′)) ;

3. d(AA′, (BB′D′D)) ;

5. d(BD, A′C) ;

7. d(AI, JC′).

2. d(A, CC′) ;

4. d((AIA′), (CJC′)) ;

6. d(AA′, BD′) ;

Bài 11.177 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, mặt đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A có bA = 120◦, cạnh bên bằng a.

1. Tính d(A, (BB′C′C)).

2. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA′ và B′C.

Bài 11.178 : Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = x, CD = y. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 11.179 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Tính d(A, (BDA′)), d((A′BD), (CB′D′)), d(A′D, D′C).

Bài 11.180 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a √3. Tính d(AA′, (BCC′B′)), d(A′, (ABC′)), d(A, (A′BC)).

Bài 11.181 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = S B = S C = S D = a √2. Tính d(S , (ABCD)), d(AD, S B).

Bài 11.182 : Cho hình chóp S .ABC có S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = a √2, đáy ABC là tam giác vuông tại B có BA = a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính d(S M, BC).

Bài 11.183 : Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 60◦, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By, lấy điểm C sao cho BC = a. Tính d(C, (B, Ax)), d(C, Ax) và tìm điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D.

Bài 11.184 : Cho tứ diện ABCD có bốn mặt là bốn tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai cạnh

đối diện cũng là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó.

Bài 11.185 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh bên bằng h. Biết khoảng cách giữa A′B′ và BC′ bằng d. Tính cạnh đáy của hình lăng trụ theo d và h.

. Tính góc giữa hai mặt

(ABC), S A = a √2 2 ⊥

Bài 11.186 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = a, S A phẳng (S AC) và (S BC); tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và S C, với I là trung điểm BC.

Bài 11.187 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, ÔCBA = ÔBAD = 90◦, S A = AB = BC = a và AD = 2a. Biết hai mặt phẳng (S AB) và (S AD) cùng vuông góc với đáy.

1. Tính d(S , (BCD)); d(A, (S CD)); d(AD, (S BC)).

2. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S CD) và (ABCD).

3. Tính d(S A, CD), d(BC, S D), d(S B, CD).

Bài 11.188 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có ABC và ABB′ là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

1. Tính d(B′, (ABC)); d(A, (BCC′B′)).

2. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và CC′.

Bài 11.189 : Cho khối chóp S .ABC có tam giác ABC đều cạnh A, chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của BC và góc

giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦.

1. Tính d(S A, BC); d(B, (S AC)).

2. Gọi G là trọng tâm tam giác S BC. Tính góc giữa (ABC) và (ABG), từ đó suy ra diện tích của tam giác ABG.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 221

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

11.6 Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp

S .h với hình chóp và V = S .h với hình lăng trụ, trong đó S là diện tích đáy còn h là độ dài đường cao.

(cid:17) Sử dụng công thức V = 1 3

1. Phương pháp xác định trực tiếp chân đường cao :

Dưới đây là một số đặc điểm thường gặp của hình chóp và vị trí chân đường cao tương ứng.

• Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và đường đi qua tâm của đáy (các cạnh bên bằng nhau).

• Hình chóp có hai mặt phẳng (cùng chứa đỉnh) vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

• Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính

là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Hình chóp có một mặt (chứa đỉnh) vuông góc với đáy, thì đường cao chính là đường cao (xuất phát từ đỉnh) của mặt bên

đó.

• Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau hoặc các mặt bên có các đường cao (xuất phát từ đỉnh) bằng nhau thì chân đường cao cách đều các cạnh của đáy. Nếu lúc này đáy là tam giác thì chân đường cao chính tâm đường tròn

nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác đáy.

2. Phương pháp gián tiếp xác định độ dài đường cao : Chúng ta sử dụng các phương pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến

mặt phẳng, cụ thể

(P) =

• Nếu AB

thì

• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)); = OA OB

d(A, (P)) d(B, (P))

O {

∩

}

Bài 11.190 : Cho chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, ÔS AC = 45◦. Tính thể tích hình chóp S .ABCD. Bài 11.191 : Cho hình chóp S .ABC có S B = S C = BC = CA = a; hai mặt bên (ABC) và (AS C) cùng vuông góc với (S BC). Tính thể tích khối chóp.

AB, N

C′D′. Chứng minh rằng tứ diện B′A′MN có thể tích

∈

Bài 11.192 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a. Lấy M không đổi.

Bài 11.193 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính thể tích khối tứ diện AB′MN.

Bài 11.194 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; (S AC)

(ABCD); ÔAS C = 90◦ và S A tạo với đáy một góc α. Tính

⊥

thể tích khối chóp.

(ABC). Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.195 : Cho hình chóp S .ABC có ÔBAC = 90◦, ÔABC = α; S BC là tam giác đều cạnh a, (S BC)

⊥ Bài 11.196 : Cho tứ diện ABCD có AD = b và 5 cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện.

Bài 11.197 : Cho hình chóp đều S .ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính cạnh của hình chóp biết thể tích của khối chóp bằng 9a3 √2 2

Bài 11.198 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC. Biết khoảng cách từ A đến (S BC) bằng d, góc giữa AB và mặt phẳng (S BC) là bằng

α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối chóp.

Bài 11.199 : Cho khối chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp đó.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 222

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.200 : Cho khối chóp S .ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a. Các mặt bên tạo với đáy một góc 60◦, chân đường cao của hình chóp nằm trong miền trong tam giác ABC. Hãy tính thể tích khối chóp đó.

Bài 11.201 : Cho khối chóp tam giác đều S .ABC có chiều cao bằng h và góc AS B bằng 2ϕ. Hãy tính thể tích khối chóp.

(ABC); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên S B tạo

Bài 11.202 : Cho khối chóp S .ABC có S A

⊥

với đáy một góc α và tạo với mặt (S AD) góc β. Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.203 : Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng

minh rằng

AB.CD.d. sin α.

VABCD = 1 6

(ABC), S C = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt

Bài 11.204 : Cho khối chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và S A

⊥

phẳng (S CB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.

Bài 11.205 : Cho khối chóp tứ giác đều S .ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa

mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất.

Bài 11.206 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau :

AB = CD = a; AC = BD = b; AB = BC = c.

Bài 11.207 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp A.BC′A′.

Bài 11.208 : Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm S . Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với S B tại K cắt S M tại H. Tìm vị trí của M để

thể tích khối chóp S .AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung ÷AM nhỏ hơn cung ÷BM.

Bài 11.209 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a. Cạnh bên của lăng trụ bằng a và vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng 6 đỉnh của lăng trụ nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

3. Tính góc giữa mặt phẳng (CA′B′) và mặt đáy (ABC).

Bài 11.210 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc bA = 60◦. Đường chéo A′C của lăng trụ hợp với đáy một góc bằng 60◦.

1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối lăng trụ đó.

2. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa DD′ cắt các cạnh AB, A′B′, BC và B′C′ lần lượt tại M, M′, N và N′. Giả sử AM = x, BN = y.

Tìm x, y để (P) và (Q) chia lăng trụ thành ba phần tương đương (có thể tích bằng nhau).

Bài 11.211 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA′ và BC′ là 30◦ và khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên chứa AA′ là 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ.

và hợp với BC′ một góc α với sin α =

a √3 4

. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.212 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′. Mặt phẳng (A′BC) cách A một khoảng bằng √15 10 Bài 11.213 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a và A′A = A′B = A′C = b.

1. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật.

2. Xác định b theo a để mặt bên (ABB′A′) hợp với đáy góc 60◦.

3. Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được.

Bài 11.214 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A′ có hình chiếu trùng với tâm O của tam giác ABC. Cạnh bên hợp với đáy một góc 45◦.

1. Tính thể tích của khối lăng trụ.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 223

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

Bài 11.215 : Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc α, đáy là hình thoi góc bA = α và AC = 2a. Mặt chéo ACC′A′ vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng BDD′B′ là hình chữ nhật và các mặt bên bằng nhau.

2. Tính thể tích khối lăng trụ.

3. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

Bài 11.216 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC = 2a, ÔBAC = 2α. Đỉnh A′ cách đều ba đỉnh A, B, C. Các cạnh bên hợp với đáy một góc 60◦.

1. Tính thể tích khối lăng trụ.

2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

= 45◦.

Bài 11.217 : Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc bA = 60◦. Hình chiếu của A′ xuống dưới mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Cho biết ÕBAA′

1. Tính thể tích khối lăng trụ.

2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

Bài 11.218 : Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài dg chéo mặt bên bằng 5.

1. Hạ AK

A1D (K

A1D). Chứng minh rằng AK = 2.

⊥

∈

2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.

Bài 11.219 : Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là một tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy một góc 30◦ và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.220 : Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và ÔBAD = 45◦. Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.

Bài 11.221 : Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, ÕA1AB = ÔBAD = ÕA1AD = α (0◦ < α < 90◦). Hãy tính thể tích của khối hộp.

Bài 11.222 : Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình chữ nhật với AB = a √3, AD = a √7. Hai mặt bên (ABB′A′) và (ADD′A′) lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết cạnh bên bằng 1.

Bài 11.223 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 mà mặt bên ABB1A1 có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa CC1 và mặt phẳng (ABB1A1) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng √2. Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = √3, góc ÕA1AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (AA1C) và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

= k (a, b

Bài 11.224 : Cho hai đường thẳng chéo nhau Ax, By. Gọi C và D là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho

a AC

+ b BD

là độ dài cho trước, k là số thực dương cho trước).

1. Chứng minh rằng đoạn CD luôn luôn cắt một đoạn thẳng cố định.

2. Xác định vị trí của C, D để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất.

Bài 11.225 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, ta lấy điểm M. Gọi H là trực

tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác BCM.

1. Chứng minh rằng MC

(BHK) và HK

(BCM).

⊥

⊥ 2. Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích tứ diện KABC.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 224

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

a). Trên nửa đường

≤

Bài 11.226 : Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, lấy điểm M sao cho AM = x(0 thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng hình vuông tại điểm A, lấy điểm S sao cho S A = y(y > 0).

1. Chứng minh rằng (S AB)

(S BC).

⊥

2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (S CA).

3. Tính thể tích khối chóp S .ABCM theo a, y và x.

4. Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S .ABCM.

Bài 11.227 : Hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại a và AC = b, bC = 60◦. Đồng thời đường chéo BC′ của mặt bên BB′C′C tạo với mặt phẳng (AA′C′C) một góc 30◦.

2. Tính thể tích của khối lăng trụ.

1. Tính độ dài đoạn A′C ;

Bài 11.228 : Cho chóp tứ giác đều S .ABCD.

1. Biết AB = a và S A = l, tính thể tích khối chóp theo a và l.

2. Biết S A = l và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Tính thể tích khối chóp theo α và l.

Bài 11.229 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD.

1. Biết AB = a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α, tính thể tích khối chóp theo a và α.

2. Biết độ dài của đoạn thẳng nối đỉnh hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ,

tính thể tích khối chóp theo d và ϕ.

Bài 11.230 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Hơn nữa góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60◦ và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A′B′C′) trùng với trung điểm của cạnh B′C′.

1. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy.

2. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC′.

3. Tính góc giữa mặt phẳng (ABB′A′) và mặt đáy.

4. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.231 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh S B, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ

diện CMNP.

Bài 11.232 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc nhau. Tìm thể tích khối lăng trụ đó.

Bài 11.233 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có độ dài cạnh đáy AB bằng a và góc S AB bằng α. Tính thể tích khối chóp S .ABCD

theo a và α.

Bài 11.234 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a √2. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 11.235 : Cho hình lập phương OBCD.O1B1C1D1 có độ dài mỗi cạnh bằng a.

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng O1B và B1C.

2. Gọi N là trung điểm của BD1. Tính thể tích khối chóp ONBB1.

3. Gọi M là một điểm bất kì thuộc OO1. Chứng minh rằng tỉ số thể tích khối chóp MBCC1B1 và hình lăng trụ OCBO1B1C1 không

phục thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 11.236 : Chứng minh rằng nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích của tứ diện đó lớn nhất là

1 8

Bài 11.237 : Kí hiệu S và V lần lượt là diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đều n - giác.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 225

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Với các giá trị cho trước n và S , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích V.

2. Tính các cạnh đáy và đường cao của tất cả các hình chóp với n = 4, S = 114, V = 64.

Bài 11.238 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a √2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông

góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 11.239 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M.

Bài 11.240 : Cho hình chóp S .ABCD đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ω (0◦ < ω < 90◦). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (S AB), (ABCD). Tính thể tích khối chóp theo a, ω.

Bài 11.241 : Cho hình chóp S .ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh S A vuông góc với đáy, góc ÔACB = 60◦, BC = a, S A = a. Gọi M là trung điểm cạnh S B. Chứng minh mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng (S BC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.

Bài 11.242 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, ÔBAD = ÔABC = 90◦, AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A, S D. Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S .BCN M theo a.

Bài 11.243 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √2. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 11.244 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a √3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai đường

thẳng S M, DN.

Bài 11.245 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 11.246 : Cho tứ diện ABCD có BC = CD = a, BC là đoạn vuông góc chung giữa AB và CD, góc giữa −−→BA và −−→CD bằng 60◦ và AD

AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a.

⊥

Bài 11.247 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc ϕ. Mặt phẳng qua AC, vuông góc với

(S AD) cắt cạnh S D tại E. Tính thể tích khối đa diện S BCEA theo a và ϕ.

Bài 11.248 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều, góc giữa mặt bên (S AB) và đáy bằng 60◦, I là trung điểm S C. Tính thể tích khối chóp S AIB.

Bài 11.249 : Trong không gian cho hình chóp S .ABCD với ABCD là hình thoi tâm O, có cạnh a, góc ÔABC = 60◦, chiều cao S O của

hình chóp bằng

. Gọi M là trung điểm AD, (P) là mặt phẳng qua BM và song song với S A, cắt S C tại K.

a √3 2

Tính thể tích khối chóp K.BCDM.

Bài 11.250 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AD = a √2, CD = 2a. Cạnh S A vuông góc với đáy và S A = 3a √2. Gọi K là trung điểm AB. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (S DK) và tính thể tích khối chóp S .CDK

theo a.

Bài 11.251 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh AA′ = A′B = CA′, biết góc giữa mặt bên ABB′A′ tạo với đáy của lặng trụ một góc bằng 60◦. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ theo a.

Bài 11.252 : Cho hình vuông ABCD cạnh a nằm trên mặt phẳng (P). Dựng hai nửa đường thẳng Bx và Dy cùng vuông góc với mặt

Bx, N

Dy sao cho

∈

(ACN), hãy

⊥

phẳng (P) và nằm cùng phía với mặt phẳng (P). Trên hai nửa đường thẳng Bx, Dy lần lượt lấy hai điểm M ∈ BM = b, DN = c (b, c > 0). Tính thể tích khối tứ diện ACMN theo a, b, c. Khi M, N thay đổi trên Bx, Dy sao cho (ACM) xác định b, c theo a để thể tích khối tứ diện ACMN là nhỏ nhất.

Bài 11.253 : Trong mặt phẳng (p) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao chi AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho Û((S AB), (S BC)) = 60◦. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên S B, S C. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S .ABC.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 226

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh S D tại N. Tính thể tích khối chóp

, ÔBAD = 60◦. Gọi M, N lần lượt là trung

(BDMN) và tính thể tích A.BDMN.

Bài 11.254 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo với mặt đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM = a √3 3 S .BCN M. Bài 11.255 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ = a √3 2 điểm của A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′⊥ Bài 11.256 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc ÔBDC = 90◦. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 11.257 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc ÔBAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a. Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

Bài 11.258 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.

Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp

(cid:17)

1. Ta thường phải so sánh đường cao, diện tích đáy của hình chóp, diện tích đáy của hình chóp phải tính với một hình chóp đã biết

(hay dễ tính toán hơn).

2. Dùng phương pháp chia tách khối đa diện.

3. Sử dụng kết quả sau: Cho khối chóp S .ABC. Trên tia S A, S B, S C lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ khác với S . Khi đó

= S A S A′

S B S B′

S C S C′

VS .ABC VS .A′B′C′

Chú ý : Công thức tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và chung các cạnh bên.

Bài 11.259 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD, N thuộc cạnh AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diện BMNP theo P.

Bài 11.260 : Cho hình chóp S .ABCD có thể tích là V; ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CD, S D. Tính thể tích tứ diện AMNP theo V.

Bài 11.261 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Từ A kẻ đường AD vuông góc với S B và AE vuông góc với S C. Biết AB = a, BC = b, S A = c. Hãy tính thể tích hình chóp S .ADE.

Bài 11.262 : Cho hình chóp đều S .ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′, C′, D′. Biết rằng AB = a,

S B′ S B

= 2 3

1. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S .AB′C′D′ và S .ABCD.

2. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.263 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy và đường cao cùng bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm S B, S D ; P là giao điểm của mặt phẳng (AMN) với S C. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

(ABCD). Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với S C, cắt

Bài 11.264 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông, cạnh a, có S A

⊥

S B, S C, S D lần lượt tại B′, C′, D′ và biết

. Tính thể tích hình chóp S .AB′C′D′.

S B′ S B

= 2 3

(ABCD) và S A = a √2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu

Bài 11.265 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, có S A

⊥

của A lên S B và S D. Chứng minh rằng S C

(AHK). Tính thể tích khối chóp OAHK.

⊥

(ABCD) và S A = a. Gọi C′ là trung điểm của S C.

⊥

Bài 11.266 : Cho hình chóp S .ACBD có đáy là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD cắt các cạnh S B, S D lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 227

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

. Mặt phẳng (α) đi qua

Bài 11.267 : Cho khối chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = 2a. Gọi B′, D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B và S D. Mặt phẳng (AB′D′) cắt S C tại C′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′. Bài 11.268 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc CC′ sao cho CK = 2a 3 A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó.

(ABCD), S A = a. Gọi C′ là trung điểm S C. Mặt

⊥

Bài 11.269 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp tại B′, D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.270 : Cho hình chóp S .ABC, có S A = a, S B = b, S C = c. Tính thể tích khối chóp S .ABC, biết :

1. ÔAS B = ÔBS C = ÔCS A = 60◦ ;

2. ÔAS B = 90◦; ÔBS C = 120◦; ÔCS A = 60◦.

Bài 11.271 : Biết thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′ là V. Tính thế tích khối tứ diện ACB′D′.

Bài 11.272 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A′B′, B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

Bài 11.273 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, BB′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc các cạnh BB′ và DD′ sao cho BE = 1 EB′, DF = 1 FD′. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) 2 2 và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H).

Bài 11.274 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính thể tích của (H) và (H′).

Bài 11.275 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E, F lần lượt là trung điểm B′C′, C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).

PQ. Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện MNIQ và MNIP.

Bài 11.276 : Cho khối hộp MNPQ.M′N′P′Q′ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện P′ MNP theo V. Bài 11.277 : Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI = 1 3

Bài 11.278 : Cho hình chóp đều S ABCD. Đáy là ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. Cạnh bên S A = a √5. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng (S CD), và (P) lần lượt cắt C và S D tại C′ và D′.

1. Tính diện tích tứ giác ABC′D′.

2. Tính thể tích của khối đa diện ABCDD′C′.

Bài 11.279 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a.

1. Tính thể tích khối chóp.

2. Gọi M, N, P là trung điểm của AB, AD, S C. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng

nhau.

Vấn đề 3 : Dùng công thức thể tích để giải một số bài toán hình học

(cid:17)

1. Chúng ta có thể dùng công thức tỉ số thể tích để chứng minh một số hệ thức.

2. Hoặc dùng công thức thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoăc tính diện tích đa giác đáy, cụ thể

d(A, (S BC)) = 3.VS ABC S ∆S BC

và tổng quát h = 3V S đáy

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 228

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.280 : Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Đường thẳng AM cắt mặt phẳng (BCD) tại A′, BM cắt mặt phẳng (ACD) tại B′, CM cắt mặt phẳng (ABD) tại C′, DM cắt mặt phẳng (ABC) tại D′. Chứng minh rằng :

VM.BCD VABCD

= MA′ AA′

và suy ra

= 1.

MA′ AA′

+ MB′ BB′

+ MC′ CC′

+ MD′ DD′

Bài 11.281 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh S A, S B, S C, S D lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh rằng

+ 1 S D′

= 1 S B′

+ 1 S C′

(ACD)); MC′ ∥ AC

. Từ đó suy ra

(ABC)). Chứng minh rằng BM và AB′ cắt nhau trên CD và

= MB′ BA

1 S A′ Bài 11.282 : Cho tứ diện ABCD và M là một điểm nằm miền trong tam giác BCD. Vẽ MB′ ∥ AB (B′ ∈ (C′ ∈

(ABD)); MD′ ∥ AD (D′ ∈

VMACD VBACD

= 1.

MB′ BA

+ MC′ CA

+ MD′ DA

Bài 11.283 : Cho tứ diện ABCD cso điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng bằng r. Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các cạnh đối diện. Chứng minh rằng

1 r

= 1 hA

+ 1 hB

+ 1 hC

+ 1 hD

Bài 11.284 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Biết AB = a, BC = b, S A = c. Hãy tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.285 : Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d′. Trên d lấy hai điểm A và B, trên d′ lấy hai điểm C và D sao cho AB = a, CD = c. Biết góc giữa d và d′ bằng 60◦ và khoảng cách giữa d và d′ bằng h.

1. Tính thể tích tứ diện ABCD.

2. Giả sử BC vuông góc với CD và BC = b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 11.286 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

1. Tính thể tích hình chóp M.AB′C.

2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).

Bài 11.287 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a; M, N lần lượt là trung điểm của AB và C′D′. Chứng minh rằng A′MCN là hình thoi và tính khoảng cách từ B′ đến (A′MCN).

Bài 11.288 : Cho hình chóp S .ABC, đáy là tam giác đều cạnh a √3, đường cao S A = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với S B tại H cắt S C tại K. Tính S K và diện tích tam giác AHK.

Bài 11.289 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện BDC′B′ và suy ra khoảng cách từ B′ đến (BDC′).

CM CA

= DN DA

. Biết d(D, (MNP)) = h, tính diện tích tam giác MNP.

= 2 3

Bài 11.290 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V; M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh AC, AD, BD sao cho DP DB Bài 11.291 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm DD′. Tính khoảng cách giữa CK và A′D.

Bài 11.292 : Trong không gian, cho các điểm A, B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA = a(a > 0), OB = a √2, OC = c(c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC, (P) là mặt phẳng đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.

1. Gọi E là giao điểm của (P) với đường thẳng OC, tính độ dài của đoạn thẳng OE.

2. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).

3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 229

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

11.7 Phân loại một số hình khối đa diện

11.7.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 11.293 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết AB = a, S A = a √2 và S A

(ABCD).

⊥

1. Chứng minh các tam giác S BC và S DC là các tam giác vuông.

S B, AH

2. Kẻ AJ

S C. Chứng minh rằng : (JAH)

(S DC).

⊥

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau : (S DC) và (ABCD) ; (S DC) và (S AD).

4. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AD và S B ; AD và S C.

Bài 11.294 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi E trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến BE.

Bài 11.295 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC) bằng 60◦. Tính độ dài đoạn thẳng S A theo a.

Bài 11.296 : Cho hình chóp O.ABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c.

1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

2. Chứng minh rằng tam giác ABC nhọn.

3. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt (OBC), (OCA), (OAB) với mặt (ABC). Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Bài 11.297 (B06) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a √2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC)

vuông góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 11.298 (D02) : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

Bài 11.299 (D06) : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M.

Bài 11.300 (D07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang, ÔABC = ÔBAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √2. Gọi H là hình chiếu của A trên S B. Chứng minh rằng tam giác S CD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S CD).

Bài 11.301 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (S BC) theo a, biết rằng S A = a √6 2

Bài 11.302 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với

các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng :

cos α + cos β + cos γ

√3.

≤

Bài 11.303 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M là trung điểm của S C. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Bài 11.304 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

abc(a + b + c).

≥

. Mặt phẳng (BCM) cắt S D tại N. Tính thể tích khối

Bài 11.305 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM = a √3 2 chóp S .BCN M.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 230

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.306 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a. Gọi C′ là trung điểm của cạnh S C. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.307 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy. Cho AB = a, S A = a √2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên S B, S D. Chứng minh S C

(AHK) và tính thể tích hình chóp O.AHK.

⊥

Bài 11.308 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H, K lầ lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC.

11.7.2 Hình chóp đều

ĐỊNH NGHĨA : Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (đường cao vuông góc với đáy tại tâm

đáy).

Chóp tứ giác thì chọn gốc tọa độ là tâm đáy ; chóp tam giác thì chọn gốc tọa độ là trung điểm M của BC (hình dưới) :

Câu hỏi : Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp ở trên, biết độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

Các yếu tố xác định hình chóp đều : biết cạnh dáy là a và

1. độ dài đường cao là h ;

2. độ dài cạnh bên bằng b, khi đó sẽ tính được chiều cao ;

3. góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α, khi đó sẽ tính được chiều cao ;

4. góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β, khi đó sẽ tính được chiều cao.

Câu hỏi 1 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Hãy gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz như hình trên và tìm tọa độ

các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp sau :

1. Đường cao bằng a √2 ;

3. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30◦ ;

4. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

2. Cạnh bên bằng a √3 ;

2 3

Câu hỏi 2 : Hãy làm bài toán trên với giả thiết là hình chóp đều S .ABC có độ dài cạnh đáy bằng a.

Chú ý : Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạch bằng nhau. Bài 11.309 : Cho hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a = 6 √2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC. Bài 11.310 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 11.311 (B07) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm

của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN và AC.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 231

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.312 (A02) : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các

cạnh S B và S C. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (S BC).

Bài 11.313 (B04) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a và ϕ.

Bài 11.314 : Cho hình chóp đều S .ABC, đáy có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ, với (0◦ < ϕ < 90◦). Tính thể tích khối chóp S .ABC và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.315 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi S H là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung

điểm I của S H đến mặt phẳng (S BC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.

Bài 11.316 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 60◦.

11.7.3 Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Giải sử mặt bên (S AB) vuông góc với đáy (AB là cạnh đáy và đáy có thể là tam giác hoặc tứ giác), ta có quy trình vẽ hình như sau :

Bước 1 : Vẽ đa giác đáy ;

Bước 2 : Vẽ đường S H của hình chóp, H

AB. tùy thuộc vào tính chất của tam giác S AB mà ta có vị trí của H, chẳng hạn S AB là

∈

tam giác cân tại S thì H là trung điểm của AB. Dựa vào các yếu tố có thể tính được chiều cao S H.

(ABC).

Bài 11.317 : Cho hình chóp S .ABC với tam giác S AB cân tại S , tam giác ABC vuông cân tại C và (S AB)

⊥

1. Kẻ S H

(ABC). Chứng minh H là trung điểm cạnh AB và CH

(S AB).

⊥

2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Chứng minh rằng :

(a) (S HM)

(S AC) và (S HN)

(ABC).

⊥

(b) Hai mặt bên (S AC) và (S BC) cùng tạo với đáy (ABC) hai góc bằng nhau.

3. Gọi D là điểm đối xứng của C qua H. Chứng minh rằng S .ADBC là hình chóp tứ giác đều.

Bài 11.318 (A07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối

tứ diện CMNP.

Bài 11.319 (B08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a √3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai

đường thẳng S M, DN.

Bài 11.320 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc ÔBDC = 90◦. Xác định và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 11.321 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √3, mặt bên S BC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.322 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = AB = a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), tam giác S AB vuông. Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S .ABD.

Bài 11.323 : Đáy của một hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a và một góc nhọn bằng 60◦. Mặt bên chứa cạnh huyền vuông góc với đáy, các mặt còn lại cùng hợp với đáy một góc α.

1. Tính thể tích khối chóp này.

2. Một mặt phẳng qua cạnh huyền của tam giác đáy và cắt cạnh đối diện tại trung điểm. Tính tỉ số thể tích hai phần của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng đó.

Bài 11.324 : Cho hình chóp S .ABC có bằng bên (S BC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (S AB) và (S AC) cùng lập với đáy góc 45◦, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và có AB = a đồng thời S BC là tam giác nhọn. Tính thể tích khối chóp.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 232

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.325 : Cho hình chóp S .ABC có hai tam giác ABC và S BC là hai tam giác đều cạnh a và (S BC) vuông góc với đáy. Tính thể

tích khối chóp.

Bài 11.326 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H

là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.

1. Chứng minh rằng : S H

(ABCD). Tính thể tích hình chóp S .ABCD.

⊥ 2. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của S lên DM.

3. Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.

11.7.4 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy

Nếu hai mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ vuông góc với đáy. Vì vậy ta cũng sẽ xác định được ngay

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.

phương của đường cao. Bài 11.327 : Cho hình chóp S .ABC, tam giác đáy ABC có AB = a, B = 45◦, C = 30◦, hai mặt bên (S AB) và (S AC) vuông góc với đáy (ABC), S A = a √6 2

1. Chứng minh rằng : (S AH)

(S BC) và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S AC).

⊥

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.328 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A và có trung tuyến AD = a. Hai mặt bên S AB và S AC vuông góc với đáy. Cạnh bên S B hợp với đáy một góc α và hợp với mặt phẳng (S AD) một góc β.

1. Chứng minh rằng : S B2 = S A2 + AD2 + BD2.

2. Tính thể tích khối chóp.

3. Tính khoảng cách từ A đến (S BC).

Bài 11.329 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi, góc nhọn A = α. Hai mặt bên (S AB) và (S AD) vuông góc với đáy và hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc β, biết S A = a.

1. Tính thể tích và diện tích xung quanh khối chóp.

2. Tính cosin góc giữa S B và mặt phẳng (S AC).

11.7.5 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau

Nếu các cạnh bên của hình chóp là bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì đường cao của hình chóp

sẽ đi qua tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy. Bài 11.330 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC, biết S A = S B = S C = a, ÔAS B = 60◦, ÔBS C = 90◦, ÔCS A = 120◦. Bài 11.331 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và cùng bằng a √2.

1. Tính thể tích khối chóp.

2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, S C, S D. Chứng minh S N vuông góc với (MEF).

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S CD).

và S O

(ABCD).

⊥

Bài 11.332 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, ÔBAD = 60◦. Biết S O = 3a 4 Gọi H và K lần lượt là trung điểm BC và BH.

1. Chứng minh rằng : (S OK)

(S BC).

⊥

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 233

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

4. Cho (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 11.333 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với ÔBAD = 60◦, các cạnh S A = S B = S D = a √3.

1. Chứng minh tam giác S BC vuông ;

2. Tính khoảng cách giữa S C và AD.

11.7.6 Hình hộp - Hình lăng trụ

Bài 11.334 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ với AB = a, BC = b, CC′ = c.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A′BD).

2. Tính khoảng cách từ điểm A′ tới đường thẳng C′D.

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC′ và CD′.

Bài 11.335 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C và cạnh bên AA′ tạo với mặt đáy góc 60◦.

1. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

2. Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật.

3. Tính diện tích xung quanh của khối lăng trụ đó.

Bài 11.336 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên các cạnh AA′, BC, C′D′ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CN = D′P = t, với 0 < t < a. Chứng minh rằng (MNP) ∥ (ACD′) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Bài 11.337 (A03) : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (A′CD).

Bài 11.338 (D08) : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √2. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 11.339 (A08) : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 11.340 (B03) : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Gọi M là trung điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

B1C

⊥

Bài 11.341 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.

Bài 11.342 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc ÔBAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a. Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

và góc ÔBAD = 60◦. Gọi M, N lần lượt là

Bài 11.343 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tìm điểm M thuộc cạnh AA′ sao cho mặt phẳng (BD′M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 11.344 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a AA′ = a √3 2 trung điểm các cạnh A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

. Mặt phẳng (α) đi

Bài 11.345 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′ABC là hình chóp đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích khối đa diện A′BB′C′C. Bài 11.346 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK = 2a 3 qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 234

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 11.347 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a √5 và ÔBAC = 120◦. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB

MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

⊥

Bài 11.348 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a √2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VM.A1BC1.

Bài 11.349 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau là

a √2 2

1. Tính thể tích hình lập phương.

2. Lấy điểm M trên BC. Mặt phẳng (MB′D) cắt A′D′ tại N. Chứng minh rằng MN

C′D.

⊥

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và mặt phẳng (ABCD).

Bài 11.350 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu của C′ trên đáy (ABC) trùng với O. Biết khoảng cách từ O đến CC′ bằng a. Gọi E là hình chiếu của A lên CC′ và góc ÔAEB = 120◦.

1. Chứng minh mặt bên ABB′A′ là hình chữ nhật.

2. Tính thể tích lăng trụ.

3. Tính góc giữa mặt bên BCC′B′ và mặt đáy ABC.

Bài 11.351 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có các mặt đều là hình thoi cạnh a. Ba cạnh xuất phát từ đỉnh A tạo với nhau các góc nhọn bằng nhau và cùng bằng α.

1. Chứng minh rằng hình chiếu H của A′ trên (ABCD) nằm trên đường chéo AC.

2. Tính thể tích hình hộp.

3. Tính góc của đường chéo CA′ và mặt đáy của hình hộp.

11.8 Bài tập tổng hợp

Bài 11.352 : Cho hình vuông ABCD và tam giác S AB đều cạnh a ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I, J, K lần lượt là

trung điểm các cạnh AB, CD, BC.

1. Chứng minh rằng S I

(ABCD).

⊥

2. Tính góc giữa S A, S B, S C và (ABCD).

3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên S J. Chứng minh rằng IH

(S CD). Từ đó suy ra góc giữa S I và (S CD).

⊥

4. Chứng minh rằng S AD và S BC là các tam giác vuông. Tính khoảng cách từ I đến (S KD).

5. Chứng minh (S AD), (S BC) cùng vuông góc với (S AB). Tính góc giữa S C, S D và (S AB).

Bài 11.353 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F, G, H

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O. Chứng minh rằng

1. Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. (S BC)

(S AB) và (S CD)

(S AD).

⊥

3. Nếu ABCD là hình vuông thì AH

(S BD) và H là trực tâm tam giác S BD.

⊥

4. Các điểm A, E, F, G đồng phẳng và (S AC)

(AEFG).

⊥

5. Tứ giác AEFG nội tiếp và −−→S E.vecS B = −−→S F.−−→S C = −−→S G.−→S I.

6. Nếu ABCD là hình vuông thì hai đường chéo của tứ giác AEFG vuông góc với nhau.

Bài 11.354 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa S C và (S AB) bằng 30◦. Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 235

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tính góc giữa

(a) S B và (ABCD), (S AD), (S CD), (S AC), (AEFG).

(b) (S AB) và (S CD); (S AD) và (S BC); (S BC) và (S CD).

2. Tính khoảng cách theo a

(a) Từ A đến (S BC), (S CD), (S BD).

(b) Giữa BD và (AEFG).

3. Trên cạnh AB lấy một điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với AB cắt CD, S C, S B theo thứ

tự N, P, Q.

(a) Xác định hình dạng của thiết diện MNPQ. Tính theo a và x chu vi và diện tích của thiết diện đó.

(b) Gọi I là trung điểm của S C, J là hình chiếu vuông góc của I trên CM. Tìm tập hợp của J khi x biến thiên trong khoảng

(0; a).

Bài 11.355 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông có đường cao AD = a và AB ∥ CD, với AB = 2a, CD = a, S A

(ABCD), S A = a √2.

⊥ 1. Tính khoảng cách

(a) Từ điểm A đến các mặt phẳng (S CD) và (S BC).

(b) Từ các điểm B, C, D đến các mặt phẳng của hình chóp không chứa nó.

(d) Giữa S A và BC; S B và C; S D và AB; S D và BC; S C và AB; S C và AD.

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S CD).

3. Gọi M là điểm di động trên cạnh AD với AM = x (M không trùng với A và D). Mặt phẳng (Q) qua M song song với (S CD) cắt

BC, S B, S A theo thứ tự tại N, P, Q.

(a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ theo a và x.

(b) Tìm quỹ tích giao điểm I của MQ và NP khi M chạy trên AD.

Bài 11.356 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng d vuông góc với (α) tại A lấy điểm S . Gọi M là một điểm thuộc đường tròn tâm O; D, E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S M. Giả sử S A = R √3, góc giữa S M và (α) bằng 60◦. Tính

1. Góc giữa S A và (S BM); S B và (S AM); S M và (S AB); S M và (ADE).

2. Góc giữa (S BM) và (α); (S BM) và (S AB); (ADE) và (S AM).

3. Khoảng cách từ M đến (S AB); từ S đến (ADE); từ A đến (S BM). Khoảng cách giữa các cạnh đối nhau của hình tứ diện S ABM.

4. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I, đặt AI = x (0 < x < 2R). Mặt phẳng qua I vuông góc với AM cắt AM, S M, S B lần lượt tại

J, K, L. Xác định hình dạng và tính diện tích thiết diện I JKL theo R, x. Tìm x để I JKL có diện tích lớn nhất.

Bài 11.357 : Cho ba nửa đường thẳng S x, S y, S z không đồng phẳng và vuông góc với nhau từng đôi một. Trên S x, S y, S z lần lượt lấy các điểm A, B, C khác điểm S . Đặt S A = a, S B = b, S C = c. Gọi α, β, γ là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (S BC), (S CA), (S AB). Lấy P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi G, H, O, r lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua S . Chứng minh rằng

1. Các cặp đối của tứ diện S ABC vuông góc với nhau từng đôi một và cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 236

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. S H

(ABC) và

1 S H2

⊥

= S 2

+ S 2

3. S 2

ABC

S BC

S AC

S H2, (BC + CA + AB)2

6(a2 + b2 + c2).

+ 1 c2 . = S HBC.S ABC. 9 2

≤

+ 1 = 1 b2 a2 + S 2 S AB, S 2 S S BC + S S CA + S S AB ≥

4. √3S ABC ≥ 5. Tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn và a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C = 2S ABC.

, S B = S D = a.

Bài 11.358 : Hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, S O

(ABCD). Giả sử OB = a √3 2 ⊥

BD, (S AC)

(S BD).

⊥

. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. Chứng minh rằng (S OF)

(S BC).

1. Chứng minh rằng tam giác S AC vuông tại S , S C 2. Giả sử ÔBDA = 60◦, S O = 3a 4

⊥

3. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (S BC).

4. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α). Tính diện tích

thiết diện này và góc giữa (α) và mặt phẳng (ABCD).

5. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của O trên (S CD) khi S di động trên đường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD).

Bài 11.359 : Cho hình chóp tứ giác tứ đều S .ABCD, có AB = a, S A = a √2. Qua điểm A dựng mặt phẳng (α) vuông góc với S C.

1. Dựng thiết diện tạo bởi (α)với hình chóp.

2. Mặt phẳng (α) chia khối chóp trên thành 2 phần có tỉ số thể tích bằng bao nhiêu?

Bài 11.360 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tinh thể tích

khối chóp S .ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và S C bằng a.

Bài 11.361 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều và BCD là tam giác cân tại D. Cho biết AB = a, CD = a √5, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30◦. Tính khoảng cách giữa AD và BC.

Bài 11.362 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = 1, CC′ = m. Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng 60◦.

Bài 11.363 : Cho tứ diện ABCD có AD

⊥

vuông gó của B lên AC và CD. Đường thẳng HK cắt tia đối của tia AD tại E. Chứng minh BE

(ABC), AB = AD = 1, AC = 2, ÔBAC = ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE.

⊥

(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB = a, AC = a √3. Góc giữa 2 mặt phẳng

⊥

. Tính thể tích khối chóp S .ABC theo a.

Bài 11.364 : Cho hình chóp S .ABC có S C É 13 (S AC) và (S AB) bằng α với tan α = 6

Bài 11.365 : Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O đều bằng 90◦. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 1 và tổng diện tích các tam giác OAB, OBC, OCA bằng √3. Tính thể tích khối tứ diện OABC.

(ABCD), S A = 3a √2. Gọi K là

⊥

(S KD) và tính thể tích khối chóp S .CDK.

⊥

và ÔBAD = 60◦. Gọi M và N lầ lượt là trung điểm

Bài 11.366 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a √2, CD = 2a, S A trung điểm của AB. Chứng minh rằng (S AC) Bài 11.367 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có AB = AD = a, AA′ = a √3 2 A′D′ và A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối đa diện ABDMN.

. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.368 : Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A′C bằng a √15 5

Bài 11.369 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên S D vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S D = a √3.

1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.370 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ÔACB = 60◦, đường chéo BC′ của mặt bên BB′C′C tạo với mặt bên (AA′C′C) một góc 30◦.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 237

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tính thể tích khối tứ diện C′ABC.

2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Bài 11.371 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C ) tâm O đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R √3. I là điểm thuộc đoạn OS với S I = 2R . M là một điểm thuộc (C ) (M không trùng với A và B). H là hình √3 chiếu của I trên S M. Tìm vị trí của M trên (C ) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 11.372 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác nhọn và cân ở A, có AB = AC = a; bB = bC = α. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc β (0◦ < β < 90◦). Tính thể tích khối chóp S .ABC.

B′C. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh

⊥

Bài 11.373 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AA′ = a √2 và A′B rằng A′B

B′M. Tính thể tích khối chóp A′.ABC.

⊥

(S AC). Tìm x

Bài 11.374 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng BD

⊥

theo a thể thể tích khối chóp S .ABCD bằng

a3 √2 6

−−→AA′. Tính thể tích khối tứ diện MA′BC′.

. Tính thể tích khối

Bài 11.375 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √2. M là điểm trên AA′ sao cho −−→AM = 1 3 Bài 11.376 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và −−→S A.−−→S B = −−→S B.−−→S C = −−→S C.−−→S A = a2 2 chóp S .ABC theo a.

Bài 11.377 : Trong không gian cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mặt phẳng (S BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60◦. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC.

Bài 11.378 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (S BC) vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với

đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.379 : Hình chóp tứ giác đều S .ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt

bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?

Bài 11.380 : Co lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân với AB = AC = a, cạnh bên AA′ = a √2. M là trung điểm của A′B′. Dựng và tính diện tích của thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với BC′.

Bài 11.381 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = BC = CD = a. Gọi C′, D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và AD. Tính thể tích tứ diện ABC′D′.

Bài 11.382 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và S E = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, S C; M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho góc ÕECM = α (0◦ < α < 90◦) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHI J theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.

Bài 11.383 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = a √3 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng S B và AC.

Bài 11.384 : Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP. và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số

AQ AD

Bài 11.385 : Cho hình chóp S .ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, S A = S B = S C = a. Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (S MN). Chứng minh

rằng AD vuông góc với S I và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBS I.

Bài 11.386 : Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy

tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.

Bài 11.387 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D có cạnh bằng a. K là giao điểm của AC′ và mặt phẳng (A′BD). Tính thể tích tứ diện KCC′D′ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (KC′D′).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 238

Chương 12

Mặt cầu và khối tròn xoay

12.1 Mặt cầu, khối cầu (cid:17)

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một

hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :

(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).

(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Chú ý :

1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung

trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.

Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có ÔBAC = 120◦ và đường cao AH = a √2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.

1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.

2. Tính theo a độ dài AI, AJ.

3. Chứng minh rằng BI J, CI J là các tam giác vuông.

4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện I JBC.

5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.

Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′, C′, D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng

1. Các điểm A, B′, C′, D′ đồng phẳng.

2. Bảy điểm A, B, C, D, B′, C′, D′ nằm trên một mặt cầu.

3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.

239

Chương 12

Mặt cầu và khối tròn xoay

12.1 Mặt cầu, khối cầu (cid:17)

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một

hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :

(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).

(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Chú ý :

1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung

trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.

Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có ÔBAC = 120◦ và đường cao AH = a √2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.

1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.

2. Tính theo a độ dài AI, AJ.

3. Chứng minh rằng BI J, CI J là các tam giác vuông.

4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện I JBC.

5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.

Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′, C′, D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng

1. Các điểm A, B′, C′, D′ đồng phẳng.

2. Bảy điểm A, B, C, D, B′, C′, D′ nằm trên một mặt cầu.

3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.

239

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A). Hạ AD

S B. Chứng minh rằng

S C và AE

⊥

1. Các điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một mặt cầu.

2. Bốn điểm B, C, D, E cùng một đường tròn.

Bài 12.4 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp.

Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S tp là tổng diện tích các mặt của tứ diện; hA, hB, hC, hD lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh rằng

r.S tp.

1 r

1. VABCD = 1 3 + 1 hB

= 1 hA

+ 1 hC

+ 1 hD

CN. Tính

Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM

⊥

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.

Bài 12.7 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a √3.

1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.

2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh S C là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.

Bài 12.8 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′, C′, D′.

1. Chứng minh rằng tứ giác A, B′, C′, D′ nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B′, C′, D′ thuộc cùng một mặt cầu.

3. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

4. Tính diện tích tứ giác AB′C′D′.

Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ diện.

Chứng minh rằng

1 + √3.

h r ≤

3 + 3 √3 2

R r ≥

Bài 12.12 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, S C tạo với đáy góc 45◦ và tạo với mặt phẳng (S AB) góc 30◦. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

AC, BF

⊥

AC, F

Bài 12.13 : Cho tam giác đều ABC. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm M thay đổi trên ∆. Kẻ BE (E

MC). Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ tại N. Chứng minh rằng

∈

∈ 1. AM.AN không đổi.

2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định.

Bài 12.14 :

1. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a)

trong các trường hợp sau :

(a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ;

(b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ;

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 240

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Chứng minh rằng : có vô số mặt cầu đi qua hai điểm cố định A và B cho trước. Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó.

Bài 12.15 :

1. Cho hai đường tròn C1 và C2 có tâm O1 và O2. Hai đường tròn này nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và có chung

nhau dây cung AB. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua cả hai đường tròn C1 và C2.

2. Cho đường thẳng a cố định và một điểm M cố định không thuộc đường thẳng a. Gọi O là một điểm di động trên đường thẳng a. Vẽ mặt cầu (S ) có tâm O và bán kính R = OM. Chứng minh rằng : mặt cầu (S ) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

1. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp

Bài 12.16 :

điểm) và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D, biết : CD = R √3.

(a) Tính độ dài AB theo R ;

(b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD.

2. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A thuộc mặt cầu này. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và

mặt phẳng (Q) là 30◦.

(a) Tính diện tích thiết diện (theo R) của mặt cầu với mặt phẳng (Q).

(b) Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q). Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài cạnh AB theo

1. Cho mặt cầu S (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này. Từ M kẻ hai

Bài 12.17 :

MB. Chứng minh rằng :

⊥

tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R) sao cho hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) tại A và B. Biết MA AB2 = IA2 + IB2.

2. Cho mặt phẳng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm về một phía của mặt phẳng (Q) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q)

tại điểm I. Gọi mặt cầu S (O; R) là mặt cầu thay đổi nhưng luôn đi qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q). Gọi M là tiếp điểm của mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng : điểm M di động trên một đường tròn cố định C nào đó.

1. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính của

Bài 12.18 :

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b.

2. Cho ba đoạn thẳng S A, S B, S C đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, S C = c. Xác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c.

Bài 12.19 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có 9 cạnh đều bằng a.

1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ;

2. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a).

Bài 12.20 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó (tính theo a và h). Tính diện tích của mặt cầu đó.

Bài 12.21 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy một điểm S thuộc đường thẳng Ax vuông góc với (Q).

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với S C. Mặt phẳng (P) cắt S B, S C, S D lần lượt tại M, N, E.

1. Chứng minh rằng : bảy điểm A, B, C, D, M, N, E là cùng thuộc một mặt cầu.

2. Tính diện tích của mặt cầu đó theo a và thể tích của khối cầu đó.

(ABC) và S A = a, S B = b, S C = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 12.22 : Cho tứ diện S ABC có S A

⊥

đã cho trong các trường hợp sau :

1. có ÔBAC = 90◦ ;

2. có ÔBAC = 60◦ và b = c ;

3. có ÔBAC = 120◦ và b = c.

(Q). Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O; R) tại B. Gọi

⊥

Bài 12.23 : Cho mặt cầu S (O; R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O một khoảng bằng h (0 < h < R). Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo đường tròn C . Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d CD là đường kính di động của đường tròn C .

1. Chứng minh rằng : AD2 + BC2 và AC2 + BD2 là không đổi.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 241

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Tìm vị trí của đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn nhất.

3. Kẻ BH

CD với H

CD. Tìm tập hợp điểm H khi CD di động.

⊥

∈

Bài 12.24 : Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

, mặt phẳng (Q) đi qua H và vuông

Bài 12.25 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE. Bài 12.26 : Cho hình cầu đường kính AA′ = 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA′ sao cho AH = 4R 3 góc với AA′ cắt hình cầu theo đường tròn C .

1. Tính diện tích đường tròn C ;

2. Giả sử tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn C . Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A′BCD theo R.

1. Chứng minh rằng : Nếu tứ diện ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó thì tứ diện đó có tổng các cặp

Bài 12.27 :

cạnh đối diện là bằng nhau.

2. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a √2. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai

cạnh S B, S C tại E và F là trung điểm của mỗi cạnh.

(a) Chứng minh rằng : mặt cầu đó đi qua M và N là trung điểm của AB và AC.

(b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng S A là D. Tính độ dài của AD và S D.

(BCD).

Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)

⊥

1. Chứng minh rằng : ACD là tam giác vuông ;

2. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ;

3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 12.29 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là một điểm bất kì trên d với S . A.

1. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;

2. Cho S A = h cho trước. Hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;

3. Gọi A′ là điểm đối xúng của A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng : khi S thay đổi trên đường thẳng d thì A′ luôn thuộc

một đường thẳng cố định.

(ABC). Gọi (C ) là đường tròn đường kính

⊥

Bài 12.30 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh BC và (P) BC và đường tròn này nằm trong mặt phẳng (P). Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ). Chứng minh rằng :

1. Tổng T = S A2 + S B2 + S C2 là một số không đổi ;

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là một điểm cố định (nếu S . B và C). Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao S H = a 2

1. Chứng minh rằng : tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó theo a.

2. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (ABCD) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là x, với 0 < x < R. Gọi S td là diện tích

thiết diện tạo bởi mặt phẳng (Q) với hình chóp nhưng nó bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để S td = πR2.

BD tại H và S H là đường cao của hình chóp đã cho.

Bài 12.32 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có AC

⊥ 1. Chứng minh rằng : bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S .HAB, S .HBC, S .HCD, S .HDA là bốn điểm O1, O2, O3, O4 sẽ

tạo thành hình chữ nhật.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 242

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Gọi M, N, E, F là hình chiếu của điểm H lần lượt trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : hình chóp S .MNEF có mặt cầu

ngoại tiếp. Tính diện tích thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi (ABCD), nếu biết ME = a, ÔBAC = α◦ và ÔBDC = β◦.

(ABC); AB = c, AC = b, ÔBAC = α◦. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

⊥

Bài 12.33 : Cho hình chóp S .ABC có S A trênS B, S C. Chứng minh rằng : các điểm A, B, C, M, N cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c, α◦.

By. Biết AB là đoạn vuông góc chung của Ax và By. Lấy một điểm C thuộc tia Ax và

Bài 12.34 : Cho hai tia Ax, By chéo nhau và Ax

⊥

điểm D thuộc tia By.

1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC và c = BD.

2. Cho C và D di động trên Ax và By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh rằng : đường thẳng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu

đường kính AB.

Bài 12.35 : Cho trước mặt cầu tâm O bán kính R và một điểm A cố định thuộc mặt cầu. Ba tia At1, At2, At3 là ba tia thay đổi, đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm B, C, D.

1. Chứng minh rằng : hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD có một đường chéo cố định và mặt phẳng (BCD) luôn luôn đi qua

một điểm cố định.

2. Chứng minh rằng : hình chiếu H của điểm D trên đường thẳng BC luôn thuộc một mặt cầu cố định.

Bài 12.36 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho : S C

(P) và S C = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và đi qua điểm S .

⊥

Bài 12.37 : Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = 2a, ÔACB = 30◦. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

1. Hãy xác định vị trí của điểm E trên tia Bx sao cho mặt cầu đường kính BE tiếp xúc với Cy.

2. Hãy xác định vị trí điểm F thuộc tia Cy sao cho mặt cầu đường kính tiếp xúc với Bx.

3. Với các điểm E, F tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCFE có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.

Bài 12.38 : Trong vô số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất

1. Thể tích của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.

2. Tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.

1. Trong vô số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình chóp chữ số thể

Bài 12.39 :

tích lớn nhất.

2. Hãy mở rộng bài toán cho hình chóp n-giác đều.

12.2 Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ

Bài 12.40 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định B < (P), ở đó hình chiếu vuông góc H của điểm B lên mặt phẳng (P) là không trùng với A. Gọi M là một điểm di động trên mặt phẳng (P) sao cho ÕABM = ÕBMH. Chứng minh rằng : điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng AB.

Bài 12.41 : Cho mặt trụ tròn xoay (T ) và một điểm S cố định nằm ngoài (T ). Gọi d là một đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua S và cắt mặt trụ (T ) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng : trung điểm I đó luôn luôn nằm trên một mặt trụ cố định nào đó.

Bài 12.42 : Một khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao h = R √3. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′) là hai đường tròn đáy của khối trụ đã cho, sao cho góc tạo bởi đường thẳng AB và trục của khối trụ là 30◦.

1. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và mặt phẳng (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện của mặt phẳng

(Q) với khối trụ (tính theo R).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 243

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Tính góc giữa hai bán kính OA và O′B.

3. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB với trục của khối trụ.

Bài 12.43 : Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O′ và bán kính R. Chiều cao của hình trụ h = R √2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′) sao cho OA

O′B.

⊥

1. Chứng minh rằng : các mặt của tứ diện OABO′ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này theo R.

2. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và (Q) ∥ OO′. Tính khoảng cách giữa đường thẳng OO′ và mặt phẳng (Q) theo R.

dọc theo một đường sinh.

3. Chứng minh rằng : (Q) tiếp xúc với mặt trụ (T ) có trục OO′, bán kính bằng

R √2 2

Bài 12.44 : Cho một hình trụ có đáy là hai đường tròn (O) và (O′) có bán kính R = 50cm, chiều cao hình trụ là h = 50cm.

1. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′) là hai đường tròn đáy của hình trụ. Biết AB = 100cm. Tính

khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

Bài 12.45 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có S A = a và góc giữa mặt bên và đáy là α◦. Gọi (T ) là hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và chiều cao của hình trụ là bằng chiều cao của hình chóp S .ABC. Tính diện tích xung quanh của hình trụ (T ). Hỏi các mặt bên : S AB, S BC, S CA cắt hình trụ (T ) theo giao tuyến thế nào ?

Bài 12.46 : Cho một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và bán kính đáy bằng 10cm. Kẻ hai bán kính OA và O′B lần lượt nằm trên hai đáy của khối trụ sao cho góc giữa chúng bằng 30◦. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB′ và (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện giữa khối trụ và mặt phẳng (Q).

Bài 12.47 : Cho một khối trụ có bán kính bằng R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

1. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó theo R.

2. Vẽ hình trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Hãy tính thể tích của lăng trụ đó theo R.

3. Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nói trên và V ′ là thể tích của khối trụ. Hãy tính tỉ số :

V V ′

Bài 12.48 : Một hình trụ có diện tích xung quanh là S , diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính a. Hãy tính :

1. Thể tích của hình trụ đã cho theo a và S .

2. Diện tích thiết diện đi qua trục của hình trụ.

Bài 12.49 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông.

1. Tính thể tích và diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình trụ theo R.

2. Một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ, cắt đáy của hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy của

hình trụ. Tính diện tích các thiết diện của hình trụ đã cho và hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi bị cắt bởi mặt phẳng (P) (tính theo

R).

Bài 12.50 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao OO′ = h. Gọi A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn (O) và (O′) là hai đường tròn đáy sao cho AB = a không đổi (h < a < √h2 + 4R2).

1. Chứng minh rằng : Góc giữa hai đường thẳng AB và OO′ là không đổi.

2. Chứng minh rằng : Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO′ là không đổi.

Bài 12.51 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, có trục OO′ = h. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua tâm O, tạo với đáy hình trụ góc α◦ cho trước và cắt hai đáy hình trụ theo các dây cung AB và CD (dây AB đi qua O).

1. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R và h.

2. Chứng minh rằng : hình chiếu vuông góc K của điểm O′ lên mặt phẳng (P) luôn luôn thuộc một đường tròn cố định.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 244

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 12.52 : Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính theo a và h diện tích :

1. xung quanh và thể tích hình trụ ngoại tiếp lăng trụ đó.

2. toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

, chiều cao lăng trụ bằng h.

Bài 12.53 : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, hai cạnh bên bằng

5a 2

1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

2. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ đó theo a và h.

Bài 12.54 : Cho hình trụ có trục O1O2. Một mặt phẳng (α) ∥ O1O2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chũ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đã cho. Hãy

tính góc ÖO1OO2.

Bài 12.55 : Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π.

1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ ;

2. Tính thể tích của khối trụ ;

3. Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ ;

4. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình trụ ;

5. Một mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB1A1. Biết một cạnh của thiết diện là

một dây cung của đường tròn đáy và chắn một cung tròn 120◦. Hãy tính diện tích thiết diện đó.

Bài 12.56 : Xét nột hình trụ nội tiếp một mặt cầu tâm O có bán kính R cho trước. Biết rằng diện tích thiết diện qua trục của hình trụ

này là lớn nhất (so với các hình trụ khác cùng nội tiếp mặt cầu đã cho).

1. Tính thể tích V và diện tích toàn phần S tp của hình trụ đã cho theo R.

2. Tính thể tích của lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ đã cho.

3. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng bằng

R 2

Bài 12.57 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng B1D và (ABB1A1) là 30◦.

. Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp,

3a 2

Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB1A1) là biết đường chéo của đáy hình hộp là 5a.

. Chứng minh rằng : đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay.

Bài 12.58 : Cho hai điểm A, B cố định. Gọi d là một đường thẳng di động luôn luôn đi qua A và d luôn cách điểm B một khoảng bằng BH = a = AB 2 Bài 12.59 : Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách tới tâm O của đáy là 12cm. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với khối nón đã cho và tính diện tích thiết diện

đó.

Bài 12.60 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N có đỉnh là tâm O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A′B′C′D′.

Bài 12.61 : Cho một hình nón N có đỉnh là điểm D, có O là tâm đường tròn đáy, có độ dài đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh với mặt đáy bằng α◦.

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N theo l và α◦.

= k. Tính diện tích thiết diện của hình nón với mặt phẳng (Q)

DI DO

2. Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho đi qua I và vuông góc với trục hình nón (tính theo l, α◦, k).

Bài 12.62 : Cho một hình nón N có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 245

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón N đã cho (tính theo a).

2. Một mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦. Tính diện tích thiết diện được tạo nên bởi hình

nón N và mặt phẳng (Q).

Bài 12.63 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có các cạnh bên bằng a và có góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α◦. Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC - gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a và α◦.

Bài 12.64 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có chiều cao S O = h và ÔS AB = α◦ (α > 45◦). Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N đó theo h và α◦.

Bài 12.65 : Cho khối nón N có bán kính đáy R = 12cm và có góc ở đỉnh bằng 120◦. Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Bài 12.66 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với S O tại A, cắt hình nón N theo đường tròn có bán kính bằng R1. Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng thay đổi và vuông góc với S O tại B (điểm B nằm giữa O và A). Mặt phẳng (Q) cắt hình nón theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng x.

Hãy tính x theo R và R1 nếu biết mặt phẳng (Q) chia khối tròn xoay trong hình nón nằm giữa (P) và đay hình nón thành hai phần

có thể tích bằng nhau.

Bài 12.67 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón bằng α◦. Một mặt phẳng (P) song song với đáy hình nón và cách đáy hình nón một khoảng bằng h, và cắt hình nón N theo một đường tròn (C ).

1. Tính bán kính của đường tròn (C ) theo R, h, α◦ ;

2. Tính diện tích và thiết diện phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng (P).

Bài 12.68 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Lấy một điểm A thuộc đường cao S O sao cho S A = 1 S O. Gọi 3 (P) là mặt phẳng vuông góc với S O tại A. Một mặt phẳng (Q) qua trục hình nón cắt khối tròn xoay nằm trong khối nón N - khối đó nằm giữa mặt phẳng (P) và đáy hình nón - theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hãy tính thể tích khối tròn xoay của khối nón N nằm giữa (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón (tính theo R).

Bài 12.69 : Cho hình chóp S , ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có bB = 60◦. Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là β◦.

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón theo r và β◦ ;

2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp theo r và β◦.

Bài 12.70 : Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó. Đường tròn (C ) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện tích của hai phần đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích đáy hình nón.

Bài 12.71 : Cho hình nón N có bán kính đáy R và chiều cao bằng 4R.

1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r - tính theo R và r (Hình trụ được gọi

là nội tiếp hình nón nếu có một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón và đáy còn lại của hình trụ

nằm trong mặt đáy của hình nón).

2. Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.

1. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất sao cho hình nón đó phải nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước.

Bài 12.72 :

2. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất sao cho hình nón đó phải ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước.

Bài 12.73 : Tìm hình tròn có thể tích lớn nhất biết diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng a cho trước.

Bài 12.74 : Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón

đó.

Bài 12.75 : Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất. Với hình

nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 246

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

góc tạo bởi hai đường sinh của hình nón

Bài 12.76 : Một mặt phẳng (Q) đi qua hai đường sinh của hình nón, cắt mặt đáy của hình nón theo một dây cung có độ dài gấp k lần đường cao hình nón. Gọi α◦ là góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt đáy của hình nón. Biết α = 1 2 mà hai đường sinh đó nằm trong (Q). Hãy tính cos α theo k.

Bài 12.77 : Cho hình nón N có đỉnh S , đường cao S O. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ điểm O tới AB là bằng a. Biết ÔS AO = 30◦ và ÔS AB = 60◦. Tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a.

Bài 12.78 : Cho hai điểm cố định A và B, ở đó AB = a. Với mỗi điểm C trong không gian sao cho tam giác ABC đều, kí hiệu AE là đường cao của tam giác ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng chứa d và AE, xét đường tròn

đường kính AE. Gọi S là một giao điểm của đường tròn này và đường thẳng d.

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC (tính theo a).

2. Chứng minh rằng : khi điểm C thay đổi thì điểm S luôn thuộc một đường tròn cố định và mỗi đường thẳng S A, S B luôn thuộc

một mặt nón cố định.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 247

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 248

Chương 13

Phương pháp không gian toạ độ trong không gian

13.1 Hệ toạ độ trong không gian

Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

(cid:17)

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,

tọa độ trọng tâm, . . .

Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :

−→k .

−→a = 4−→j ; −→b =

−

3; 2; 0).

−→i + 2−→j ; −→c = 3−→i + 2−→j − 3; 1; 2), −→b = (1; 3; 4), −→c = (

Bài 13.2 : Cho các vectơ −→a = (

−

− 3−→b + 2−→c .

2−→b , −→a

−

1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3−→a , 3−→a 2. Hãy biểu diễn vectơ −→d = (

1; 0; 2) theo ba vectơ −→a , −→b , −→c .

và

biết

= 3,

= 5.

−→b

|−→a + −→b |

|−→a

−

|−→a |

−→b |

3; 4).

− Bài 13.3 : Cho hai vectơ −→a và −→b tạo với nhau một góc 120◦. Tìm Bài 13.4 : Cho vectơ −→a = (1;

−

= 2

2. Tìm tọa độ của vectơ −→c biết rằng −→a và −→c ngược hướng và

1. Tìm y0 và z0 để cho vectơ −→b = (2; y0; z0) cùng phương với −→a . |−→c

5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình

1; 1), C′(4; 5;

−

|−→a | Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; hộp.

Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; 2a).

1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.

3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′.

2. Xác định toạ độ −−−→DB′.

4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD.

Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

(cid:17)

1. Sử dụng các công thức

249

Chương 13

Phương pháp không gian toạ độ trong không gian

13.1 Hệ toạ độ trong không gian

Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

(cid:17)

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,

tọa độ trọng tâm, . . .

Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :

−→k .

−→a = 4−→j ; −→b =

−

3; 2; 0).

−→i + 2−→j ; −→c = 3−→i + 2−→j − 3; 1; 2), −→b = (1; 3; 4), −→c = (

Bài 13.2 : Cho các vectơ −→a = (

−

− 3−→b + 2−→c .

2−→b , −→a

−

1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3−→a , 3−→a 2. Hãy biểu diễn vectơ −→d = (

1; 0; 2) theo ba vectơ −→a , −→b , −→c .

và

biết

= 3,

= 5.

−→b

|−→a + −→b |

|−→a

−

|−→a |

−→b |

3; 4).

− Bài 13.3 : Cho hai vectơ −→a và −→b tạo với nhau một góc 120◦. Tìm Bài 13.4 : Cho vectơ −→a = (1;

−

= 2

2. Tìm tọa độ của vectơ −→c biết rằng −→a và −→c ngược hướng và

1. Tìm y0 và z0 để cho vectơ −→b = (2; y0; z0) cùng phương với −→a . |−→c

5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình

1; 1), C′(4; 5;

−

|−→a | Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; hộp.

Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; 2a).

1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.

3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′.

2. Xác định toạ độ −−−→DB′.

4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD.

Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

(cid:17)

1. Sử dụng các công thức

249

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:12)

[−−→MA, −−→AB]

[−−→MA, −−→MB]

(cid:12) ;

(cid:12)[−−→AB, −−→AC]

;

= |

• d(M, AB) = |

• S ∆ABC = 1 2

(cid:12)

−−→AB |

(cid:12)

(cid:12) ;

(cid:12)[−−→AB, −−→AD].−−→AA′

• V h.hộp ABCD.A′ B′C′ D′

;

(cid:12)

(cid:12) ;

(cid:12)[−−→AB, −−→AC].−−→AD

;

• VABCD = 1 6

• sin(−→u , −→v ) =

(cid:12)

(cid:12)[−−→AB, −−→CD].−−→AC

−−→AB | | • cos(−→u , −→v ) = −→u .−→v . |−→u |−→v | | (cid:12)[−→u , −→v ] . |−→v |−→u | • cos A = cos(−−→AB, −−→AC) ;

(cid:12)

• d(AB, CD) =

;

(cid:12)

• cos(AB, CD) =

(cid:12).

(cid:12)[−−→AB, −−→CD]

(cid:12)cos(−−→AB, −−→CD)

2. Hai vectơ −→u và −→v cùng phương khi và chỉ khi [−→u , −→v ] = −→0 (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ).

3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ −−→AB và −−→AC cùng phương.

⊥−→v khi và chỉ khi −→u .−→v = 0.

4. −→u 5. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi [−−→AB, −−→AC].−−→AD = 0.

1).

Bài 13.7 : Cho vectơ −→a = (2; 4; 0), −→b = (

3; 2; 1), −→c = (1; 2

−

1. Tính cosin của các góc sau : (−→a , −→b ), (−→b , −→c ), (−→c , −→a ).

−→b và

3. Tìm toạ độ của vectơ −→v sao cho −→v

|−→c |

⊥

|−→v 2; 4; 1).

2. Tính các tích vô hướng −→a .−→b , −→b .−→c , −→c .−→a . ⊥−→a , −→v Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3), C(

−

1. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.

2. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

3. Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE.

1), B(2;

1; 3), C(

4; 7; 5).

Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2;

−

1. Tìm điểm D sao cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm.

2. Tìm độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ B.

2; 2; 2) và trọng tâm G(

1; 1; 2).

Bài 13.10 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(

−

1. Tìm toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết A nằm trên mặt phẳng (Oxy) và B thuộc Oz.

2. Gọi H là trung điểm BC, E là điểm đối xứng của H qua A. Tìm toạ độ điểm K trên đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng.

1; 2), C(2; 3; 1).

Bài 13.11 : Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(1;

−

1. Chứng minh tam giác ABC có bA là góc tù.

2. Tính chu vi tam giác ABC.

3. Tìm điểm M trên Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.

1; 2), C(1; 0; 3).

Bài 13.12 : Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1), B(0;

−

1. Tìm toạ độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

2. Tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1), B(1; 3;

2), C(3;

4; 1).

Bài 13.13 : Cho hai điểm A(3; 0;

−

1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 250

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho NA = NB = NC.

3. Tìm điểm P trên mặt phẳng Oxy sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất.

−−→PA + −−→PB + −−→PC |

Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trong mỗi trường hợp sau đây

4), B(

1. M trên trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 1;

2; 3; 0).

−

4), B(

2; 1; 0), C(4; 5;

− 2. M trên mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A(3; 1;

2).

− 2), B(1; 2;

− 5).C(0; 1;

− 1), D(2; 0;

3). Chứng minh rằng :

Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2;

−

1. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 biết :

2; 4; 1), B(1;

2; 0; 1).

1; 2), A1(5;

1; 0), C1(

−

1. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của lăng trụ.

2. Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M của BC và trung điểm N của A1B1. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với B1C1.

Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Biết A(

3; 2; 1), C(4; 2; 0), B1(

2; 1; 1), D1(3; 5; 4).

−

1. Xác định toạ độ các đỉnh A1, C1, B, D và tâm K của hình hộp.

2. Tìm điểm M trên đường thẳng AA1 sao cho K M =

√59 2

Bài 13.18 : Cho hình chóp S .ABCD có :

(cid:129)

‹

3; 3;

, A(1; 2; 3), B(

1; 4; 6), C(2; 1; 10), D(4;

1; 7).

13 2

−

1. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật và S I

(ABCD), trong đó I là giao điểm của AC và BD.

⊥

2. Tính thể tích hình chóp.

Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây :

1; 1;

2), −→b = (2; 3;

−

1. −→a = (1; 1; 2), −→b = (3; 3; 6) 2; 1; 3), −→b = (1; 3; 2. −→a = (

3. −→a = ( − 4. −→a = (1; 1; 0), −→b = (0; 0; 1)

−

Bài 13.20 : Xét sự đồng phẳng của bộ ba vectơ −→a , −→b , −→c sau đây :

4; 1; 0).

1; 1).

1. −→a = (

3; 1; 1), −→b = (2; 3; 5), −→c = (

2. −→a = (2; 1;

1), −→b = (3; 1; 2), −→c = (

−

3; 2; 1), B(1; 3;

4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oxy) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn OC = 1

Bài 13.21 : Cho hai điểm A(

−

và các vectơ −−→OA, −−→OB, −−→OC đồng phẳng.

1), B(

2; 1; 3). Tìm điểm M thuộc Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.

Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2;

−

2; 1; 0).

Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2), C(0; 1; 1), D(

−

1. Chứng minh A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.

2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD.

3. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

2; 0; 1), B(0;

1; 1), C(0; 0;

1).

Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(

−

1. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó.

2. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 251

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0), C(1; 2; 3).

1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8.

2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC).

4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn :

−

2; 1), B(1; 3; Bài 13.26 : Cho hai điểm A( OC = 1 và các vectơ −−→OA, −−→OB, −−→OC đồng phẳng.

2; 1; 3), B(1; 1; 1), C(

3; 2).

Bài 13.27 : Cho ba điểm A(

−

1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC.

2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng

1 2

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu

(cid:17)

1. Muốn viết được phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu đó. Khi đó, phương trình mặt cầu là

(S ) : (x

a)2 + (y

b)2 + (z

c)2 = R2.

−

2. Ta có A

(S ) khi và chỉ khi IA = R.

∈

3. (S ) tiếp xúc với ∆ khi và chỉ khi d(I, ∆) = R.

4. (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d(I, (P)) = R.

5. Nếu M(xM; yM; zM) thì

(a) d(M, (Oxy)) =

, d(M, (Oyz)) =

, d(M, (Ozx)) =

xM|

+ z2

(b) d(M, Ox) =

zM| | y2 M

| M, d(M, Oy) =

yM| | M, d(M, Oz) =

x2 M

+ y2 M.

(d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (xM; yM; 0).

Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây :

1. Nhận I(2; 0; 3) là tâm và bán kính R = 4.

2; 3; 5), B(0; 1;

2. Nhận AB làm đường kính với A(

1).

−

3. Nhận I(3; 4;

1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).

−

4. Nhận I(6; 3;

4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz.

−

Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau đây :

2; 4; 1), B(1; 4;

1. Có tâm trên trục hoành và đi qua hai điểm A(

5).

−

1; 5), B(2; 1; 1), C(

2. Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và đi qua ba điểm A(2;

3; 0; 2).

−

1; 3; 4), B(3; 1; 5), C(

2; 1;

3. Đi qua bốn điểm A(

2), D(0; 2; 3).

−

− 4x + 2y

− 4z = 0.

Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2

−

1. Xác định tạo độ tâm và tính bán kính của (S ).

2. Tìm toạ độ giao điểm A, B, C (khác gốc O) của (S ) với các trục toạ độ. Tính thể tích tứ diện OABC.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 252

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

y + z

1 = 0.

Bài 13.31 : Cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 + y2 + z2 + x

−

1. Chứng minh rằng (Oxy) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.

2. Trục Oz cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn AB.

= 0.

Bài 13.32 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2

y + z + 1 2

−

1. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A.

2. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B.

2; 2;

3), A(

2; 2; 1), B(2; 4; 1), C(4; 0; 1), D(0;

2; 1).

Bài 13.33 : Cho S (

−

1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S .ABCD. Tính thể tích hình chóp đó.

2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.

4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0. Tìm m để (S m) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. − 2mx + 2my

4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0. Xác định tham số m để (S m) là một mặt cầu. Tìm

−

Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S m) : x2 + y2 + z2 Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S m) : x2 + y2 + z2 − tập hợp tâm I của mặt cầu (S m) khi m thay đổi.

Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian

(cid:17)

Bước 1 : Tạo một góc tam diện (có chung đỉnh và ba cạnh đôi một vuông góc). Góc tam diện này có hai trục Ox, Oy thường nằm trên

mặt đáy và trục Oz vuông góc với đáy.

Bước 2 : Tìm tọa độ của bốn điểm : gốc, các điểm nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.

Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm, các vectơ có liên quan, và đưa bài toán về hình học giải tích thông thường.

Bài 13.36 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a.

1. Gọi I là trung điểm A′C, J là trung điểm AB′. Chứng minh rằng AJ

A′I.

⊥

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BA′C′. Chứng minh rằng B′, G, D thẳng hàng.

và

(S AN) từ đó suy ra mặt phẳng (S AN)

. Chứng minh rằng MN

(S MN).

Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB1, CD, A1D1. Tính góc và khoảng cách giữa C1N và MP. Bài 13.38 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD sao cho DM = a 2 N thuộc cạnh BC sao cho BN = 3a 4

⊥

Bài 13.39 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt

là trung điểm của S A và BC.

1. Tính thể tích tứ diện OS MN.

2. Đường thẳng MN cắt (S BD) tại điểm P. Tính OP.

3. Gọi K là trung điểm cạnh CD, I là điểm thay đổi trên cạnh S O với OI = m. Xác định m sao cho các đường thẳng AB, S C, KI

cùng song song với một mặt phẳng.

(ABCD) và S C = c. Gọi E là điểm đối

⊥

Bài 13.40 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b, S A xứng của C qua B.

1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S B, S D. Chứng minh rằng các vectơ −−→AE, −−→AM, −−→AN đồng phẳng.

= x,

2. Cho M, N thay đổi lần lượt trên các tia S B, S D sao cho

= y. Tìm điều kiện của x, y sao cho các vectơ −−→AC, −−→AM, −−→AN

S M S D

S N S B

đồng phẳng.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 253

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

13.2 Phương trình mặt phẳng

Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước

(cid:17)

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(a) Vectơ −→n , −→0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α).

Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.1

(b) Nếu hai vectơ −→u , −→v không cùng phương và có giá của chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ −→n = [−→u , −→v ] là một

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 , 0.

Khi đó −→n = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (α). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến −→n = (A; B; C) có phương trình

A(x

x0) + B(y

y0) + C(z

z0) = 0.

−

3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng :

Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó phương trình của mặt phẳng

(P) là

= 1.

x a

+ y b

+ x c

4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ

(Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0; (Ozx) : y = 0.

4), B(4;

1; 0). Viết phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3;

−

1; 2; 3), B(2;

4; 3), C(4; 5; 6).

Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(

−

− 1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

2. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C.

Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(30; 15; 6).

1. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ.

2. Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (α).

3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ.

Bài 13.44 : Cho điểm A(2;

−

Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của

tam giác ABC.

Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau đây

1. Cắt các trục tọa độ tại các điểm A(3; 0; 0), B(0;

2; 0), C(0; 0; 5).

−

2. Qua điểm H(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

3. Qua điểm M(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

1Nếu −→n = (a; b; c) có a , 0 là một vectơ pháp tuyến thì ta luôn có thể chọn a = 1 hay một giá trị khác 0 bất kì

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 254

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

4. Qua điểm G(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

5. Qua điểm N(1; 1; 1) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho OA + OB + OC là nhỏ nhất.

Bài 13.47 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của tứ

diện OABC nhỏ nhất.

2; 1), B(1; 1;

2) và song song với trục Ox.

Bài 13.48 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(4;

−

Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

= (A′; B′; C′) thì

(cid:17) Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α′) : A′x + B′y + C′z + D′ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là −→n α = (A; B; C) và −→n α′

1. (α) và (α′) cắt nhau khi và chỉ khi −→n α và −→n α′ không cùng phương.

(α) thì M < (α′).

2. (α) và (α′) song song khi và chỉ khi −→n α và −→n α′ cùng phương và có điểm M

∈

(α) thì M

(α′).

3. (α) và (α′) trùng nhau khi và chỉ khi −→n α và −→n α′ cùng phương và có điểm M

∈

= 0.

4. (α) và (α′) vuông góc với nhau khi và chỉ khi −→n α.−→n α′

Chú ý :

• Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) ∥ (P) thì (Q) có dạng Ax + By + Cz + D′ = 0 với D′ , D.

• Nếu (α)

(α′) khi đó −→n α′ sẽ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α).

⊥

Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi mỗi phương trình

1. x + 2y

z + 5 = 0 và 2x + 3y

7z + 10 = 0;

− 2. 3x + 2y

− z + 5 = 0 và 6x + 4y

2z + 10 = 0;

−

− z + 5 = 0 và

3. x + 2y

2y + z + 10 = 0;

−

Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng

(α) : 2x

my + 3z

2y + (5m + 1)z

10 = 0.

6 + m = 0 và (α′) : (m + 3)x

−

Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng đó

1. Song song với nhau.

2. Trùng nhau.

3. Cắt nhau.

4. Vuông góc với nhau.

Bài 13.51 : Vẫn hỏi như bài tập 13.50 với hai mặt phẳng

(α) : 2x

2y + (3m + 1)z

10 = 0.

my + 10z + m + 1 = 0 và (α′) : x

−

Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng

1 = 0.

(α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + 2 = 0 và (α′) : (m + 1)x + 2y + (m + 1)z

−

3. cắt nhau.

1. song song.

2. vuông góc.

y + z

1; 2) và mặt phẳng (α) : 2x

1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song

Bài 13.53 : Cho đường thẳng A(1;

−

với (α).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 255

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1), Q(2;

y + 3z

1; 4) và (α) : 2x

1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua hai điểm P, Q và

Bài 13.54 : Cho hai điểm P(3; 1;

−

vuông góc với mặt phẳng (α).

2) và vuông góc với hai mặt phẳng

Bài 13.55 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 3;

−

(α) : x

2y + 5z + 4 = 0.

3y + 2z + 5 = 0 và (α′) : 3x

−

1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x

y + 3z + 4 = 0.

Bài 13.56 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2;

−

Bài 13.57 : Viết phương trình mặt phẳng (α), biết mặt phẳng (α)

1. qua điểm M(1;

1; 5), N(0; 0; 1) và cùng phương với trục Oz.

−

2. qua điểm M(1;

1; 5) và song song với mặt phẳng (Oxy).

−

Bài 13.58 : Cho ba mặt phẳng

y + 4z

3 = 0.

(α1) : 2x

z = 0; (α2) : x + y

z + 5 = 0; (α3) : 7x

−

Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1) và (α2) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α3).

Bài 13.59 : Cho hai mặt phẳng

(P) : 2x

z + 5 = 0.

y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y

−

Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x

y+1 = 0.

−

Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; 4; 1) và giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : 19x

8y + 3z + 11 = 0.

4z + 27 = 0 và (Q) : 42x

−

Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

(β) : x + y

z + 1 = 0 và (γ) : y + z = 0

−

đồng thời

1. vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y

z = 0.

2. tạo với trục Oy một góc 45◦.

−

Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

(cid:17) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là

d(M, (α)) = |

Ax0 + By0 + Cz0 + D √A2 + B2 + C2

Chú ý :

• Nếu (P) ∥ (Q) thì d((Q), (P)) = d(M, (P)) với M là một điểm trên (Q).

• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)).

Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau :

– Giả sử −→n = (a; b; c) , −→0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. – Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.

– Xét hai trường hợp

∗

Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c. Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

∗

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 256

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

17 = 0.

Bài 13.62 : Tìm trên trục Oz các điểm cách đều A(2; 3; 4) và mặt phẳng (α) : 2x + 3y + z

−

Bài 13.63 : Tìm trên trục Oy điểm M cách đều hai mặt phẳng

(α) : x + y

y + z

5 = 0.

z + 1 = 0 và (α′) : x

−

3y + 6z + 19 = 0 và điểm A(

2; 4; 3). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính

Bài 13.64 : Cho (P) : 2x

−

khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 13.65 : Tìm trên trục tung các điểm :

1. Cách đều hai mặt phẳng

(α) : x + y

y + z

5 = 0.

1 = 0 và (α′) : x

−

2. Cách đều điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) : x + y

z + 3 = 0.

−

(cid:129)

‹

0; 0;

1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M

đến mặt

Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(2;

1 2

−

phẳng (α) bằng

7 6 √3

Bài 13.67 : Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : x

15 = 0

3y + 7z + 36 = 0 và (Q) : 2x + y

−

đồng thời (α) cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3.

2 = 0 và (Q) : 2x + y

2 = 0.

Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y

−

1. Tìm trên giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều (Q) và (Oxz).

2. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

3x + y + z

1 = 0, (Q) : 4x + 3y

5 = 0 và hai điểm A(1; 2; 4), B(

3; 2; 2).

Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) :

−

1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ với ba mặt phẳng tọa độ.

2. Tìm điểm M trên ∆ sao cho M cách đều A và B.

3. Tìm điểm N trên ∆ sao cho tứ diện OABN có thể tích bằng

1 3

2x + 3y

z + 3 = 0 và điểm A(1; 1; 1).

Bài 13.70 : Cho mặt phẳng (P) :

−

1. Chứng minh rằng điểm A không nằm trên (P). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).

2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

3. Tìm trên trục Ox điểm M, trên mặt phẳng (P) điểm N sao cho A là trung điểm của đoạn MN.

Bài 13.71 : Tìm điểm M trên trục Oy trong mỗi trường hợp sau đây :

1. M cách đều điểm A và mặt phẳng 3x + 4y

z = 0.

2y + 2z

2. M cách đều hai mặt phẳng 3x

− 1 = 0 và 4x + y

1 = 0.

−

3. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x + y + 2z

3 = 0 gấp hai lần khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

−

Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 257

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= (A′; B′; C′) thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α′) được tính theo công thức

(cid:17) Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α′) : A′x + B′y + C′z + D′ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là −→n α = (A; B; C) và −→n α′

(cid:12)

(cid:12) =

cos ϕ = (cid:12)

(cid:12)cos(−→n α, −→n α′ )

(cid:12)−→n α.−→n α′ . |−→n α′ | |−→n α

Chú ý : Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết góc giữa hai mặt phẳng ta thường làm như sau :

• Giả sử −→n = (a; b; c) , −→0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.

• Xét hai trường hợp

– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

– Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

Bài 13.72 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : x + 2y

√5z = 0 một góc bằng 60◦.

−

Bài 13.73 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60◦.

1) và :

Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2;

−

1. vuông góc với các mặt phẳng

(β) : 2x

y + 3z

2 = 0.

1 = 0 và (γ) : x + y + z

−

2. vuông góc với (P) : x

− y + 2z = 0 và song song với đường thẳng d :

− = y + 1 1

= z 2

−

3. qua điểm B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y

− 2 z + 1 = 0.

−

4. qua điểm C(2; 1; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60◦.

Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

(α) : mx + 2y + mz

12 = 0 và (β) : x + my + z + 7 = 0.

−

Tìm tham số m để góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 45◦.

Bài 13.76 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm M(3; 0; 0) và N(0; 0; 1) đồng thời

tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

π 3

Bài 13.77 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

(P) : 5x

2y + 5z

8z + 12 = 0.

1 = 0 và (Q) : x

−

Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 45◦.

Bài 13.78 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng CD′ và tạo với mặt phẳng (BB′D′D) một góc nhỏ nhất.

Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

(cid:17)

Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S ) tâm I(a; b; c), bán kính R.

1. Nếu d(I, (P)) > R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 258

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Nếu d(I, (P)) = R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) có một điểm A chung. Khi đó (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện và A được

gọi là tiếp điểm, đồng thời IA

(P).

⊥

3. Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Khi đó tâm J của đường tròn là

hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), và bán kính r của đường tròn được tính theo công thức

r2 = R2

d2(I, (P)).

−

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua tâm I.

2), B(6; 0; 1), C(

1; 2; 0), D(0; 4; 1).

Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6;

−

− 1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại điểm A.

1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(

2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y

2z + 5 = 0.

Bài 13.80 :

−

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2

2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).

−

= 0.

Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2

z + 1 2

−

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu biết tiếp diện cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = OB = OC.

1 = 0.

Bài 13.82 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z

−

1. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).

2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).

2 = 0.

−

Bài 13.83 : Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

1)2 + (y + 1)2 + (z

3m = 0 và mặt cầu (S ) : (x

1)2 = 9. Tìm m để mặt phẳng

−

Bài 13.84 : Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ).

Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ).

m2 = 0 và mặt phẳng (P) : 3x + 6y

22 = 0.

Bài 13.85 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2

−

− Xác định tham số m để (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích bằng 2π.

2). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M

−

Bài 13.86 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14 và điểm M( và cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

3)2 + (y + 2)2 + (z

1)2 = 9 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11 = 0.

Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x

−

Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất.

Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P), với

(S ) : x2 + y2 + z2

2(x + y + z)

2y + 6z + 14 = 0.

22 = 0 và (P) : 3x

−

Bài 13.89 : Cho hai mặt phẳng song song (P1) và (P2) có phương trình

y + 2z

y + 2z + 5 = 0

(P1) : 2x

1 = 0 và (P2) : 2x

−

và điểm A(

1; 1; 1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S ) là mặt cầu bất kì đi qua A và tiếp xúc cả hai mặt phẳng (P1) và

−

(P2).

1. Chứng minh rằng bán kính mặt cầu (S ) là một hàng số và tính bán kính đó.

2. Gọi I là tâm mặt cầu (S ). Chứng minh rằng I luôn thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.

1)2 + (y + 3)2 + (z

2)2 = 49 tại điểm M(7;

1; 5).

Bài 13.90 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : (x

−

− 6z

2 = 0 và song song với mặt phẳng

−

Bài 13.91 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 (P) : 4x + 3y

12z + 1 = 0.

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 259

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

13.3 Phương trình đường thẳng

Trong chương trình toán 12, chúng ta không xét dạng tổng quát của đường thẳng, tuy nhiên trong tài liệu này khi chúng ta viết :

Ax + By + Cz + D = 0

Cho đường thẳng ∆ :

thì chúng ta hiểu rằng đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

A′x + B′y + C′z + D′ = 0

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A′ x + B′y + C′z + D′ = 0.

Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

(cid:17)

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0).

1. Xác định vectơ chỉ phương −→u = (a; b; c) , −→0 của đường thẳng :

(a) Nếu −→u , −→0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì −→u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. (b) Nếu có −→n 1 và −→n 2 cùng vuông góc với d thì vectơ −→u = [−→n 1, −→n 2] , −→0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d lần lượt có dạng

d :

x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct = y

= z

( nếu a, b, c đều khác 0).

hoặc d :

− a

− c

− b

Bài 13.92 : Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau :

1. Đi qua điểm A(2; 0;

1; 3; 5).

1) và có vectơ chỉ phương −→u = (

−

2. Đi qua hai điểm A(2; 3;

1) và B(1; 2; 4).

−

Bài 13.93 : Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương

của đường thẳng đó, biết :

1. d :

2. d : x = y

3. d :

z + 1.

;

= z 3

− 2

= y + 1 2

− 3

= z + 3 1

−

2 − 3 −

= y 3 −

Bài 13.94 : Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương

của đường thẳng đó, biết :

x = 5

x = t

x = 1 + 2t

2. d :

3. d :

1. d :

y = 2 + 3t

y = 1 + 2t

y =

3 + t

z = 1 + t.

z = 5

3t.

− z = 5

3t.

−

Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

(cid:17)

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 260

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Chuyển đường thẳng về dạng tham số

x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct.

2. Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct).

3. Chuyển các đặc trưng hình học của M sang điều kiện về vectơ.

x = 2t

Bài 13.95 : Cho đường thẳng d có phương trình

y =

1 + 3t

− z = 2 + 2t.

Tìm điểm M trên đường thẳng d thỏa mãn

1. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x

3 = 0 là √6.

−

− 2. M cách đều hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz).

3. Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nằm trên mặt cầu tâm O bán kính là 2 √2.

x = 1 + 2t

= z

z = 0.

và mặt phẳng (P) : 3x

Bài 13.96 : Cho hai đường thẳng d :

, d′ :

y =

x 2

= y 3

− 1

−

z =

− − 1 + t

−

1. Tìm điểm A trên d, điểm B trên d′ sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (P).

2. Tìm điểm C trên d, điểm D trên d′ sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên

mặt phẳng (Oxz).

= z và mặt phẳng (P) : 2x

6 = 0. Xác định các điểm A, B, C, D sao cho A, B

Bài 13.97 : Cho đường thẳng d :

− 2

= y 3

−

nằm trên d; S nằm trên (P) và S .ABCD là hình chóp tứ giác đều nhận gốc tọa độ O làm tâm của đáy có thể tích bằng

196 √10 3

∆

Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng

∆′ trong không gian

và

(cid:17) Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u và đường thẳng ∆′ đi qua M′0 và có một vectơ chỉ phương −→u′.

1. ∆ và ∆′ trùng nhau khi và chỉ khi

∆ thì M0 cũng thuộc ∆′.

[−→u , −→u′] = −→0 [−→u , −−−−−→M0M′0] = −→0

M0 ∈

⇔

2. ∆ và ∆′ song song khi và chỉ khi

∆ thì M0 không thuộc ∆′.

[−→u , −→u′] = −→0 [−→u , −−−−−→M0M′0] , −→0

M0 ∈

⇔

3. ∆ và ∆′ cắt nhau khi và chỉ khi

= 0.

[−→u , −→u′] =, −→0 [−→u , −→u′].−−−−−→M0M′0

4. ∆ và ∆′ chéo nhau khi và chỉ khi [−→u , −→u′].−−−−−→M0M′0 , 0.

Bài 13.98 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có. Viết phương trình mặt phẳng

chứa hai đường thẳng đó nếu chúng đồng phẳng.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 261

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= y

= z

;

1. d :

; d′ :

= z + 2 1

− 2

− 1

− 4

= y

= y + 1 2 − = z

;

2. d :

; d′ :

− 2

− 3 = y + 8 3 = y

3. d :

;

x 2 − x ; d′ :

− 4

7 − 6 − x

2 = z − 2 1 − = z + 1 = y 8 6 − − = z = y

− 9 = y

− 1 = z 12 = z

4. d :

;

; d′ :

− 9

− 6

− 4

− 3

− 6

− 2

x = 9t

5. d :

; d′ là giao tuyến của hai mặt phẳng :

y = 5t

z =

3 + t

−

(α) : 2x

2y + z + 3 = 0.

9 = 0 và (α′) : x

−

Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho trong bài tập 13.98, trong trường hợp d và d′ chéo nhau hãy viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và (Q) song song với d′ và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(

1; 2; 3) đồng thời (R) song song với cả d và d′.

−

Bài 13.100 : Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng cho bởi các phương trình sau :

x =

= y

d1 :

; và d2 :

− 5 + 3t

y =

− 2

= z 1

2 − 2 −

− z = 4.

Bài 13.101 : Cho hai đường thẳng

x = 1 + 2t

x = 3

t′

∆ :

và ∆′ :

1 + t

y =

− y = 2t′ z =

z =

− t

1 + t′.

−

2. Tìm giao điểm (nếu có) của ∆ và ∆.

1. Xác định vị trí tương đối giữa ∆ và ∆′.

∆

Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng

và mặt phẳng (P)

(cid:17) Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u và mặt phẳng (P) đi qua M1 và có một vectơ pháp tuyến −→n .

1. ∆ nằm trên (P) khi và chỉ khi

∆ thì M0 cũng thuộc (P).

−→u .−→n = 0 M0 ∈

2. ∆ song song với (P) khi và chỉ khi

∆ thì M0 không thuộc (P).

−→u .−→n = 0 M0 ∈ 3. ∆ và (P) cắt nhau khi và chỉ khi −→u .−→n , 0.

Bài 13.102 : Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm của chúng nếu có, biết :

= y

= z

, (α) : 3x + 5y

2 = 0;

1. d :

− 1

−

− 3 3

= y

3y + 2z

2. d :

, (α) : 3x

5 = 0;

− 4 x + 1 2

− 4

−

= y

= z 3 = z

, (α) : x + 2y

4z + 1 = 0;

3. d :

− 8

− 2

− 3

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 262

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= y

= z

y + 2z

4. d :

, (α) : 3x

5 = 0;

− 5

− 1

− 4

−

5. d là giao tuyến của hai mặt phẳng :

y + z

6 = 0,

(P) : 3x + 5y + 7z + 16 = 0 và (Q) : 2x

−

(α) : 5x

4 = 0.

−

Bài 13.103 : Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong những trường hợp sau :

x = 12 + 4t

và (P) : 3x + 5y

2 = 0.

1. d :

y = 9 + 3t

−

z = 1 + t

2 = 0; x + 2y

2. d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z

1 = 0 và (P) : x + y + 2z

1 = 0.

−

− Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α) : 2kx + y

ky + z

1 = 0.

z + 1 = 0 và (α′) : x

−

Với giá trị nào của k thì đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Oyz). = y

= z

và mặt phẳng (α) : 3x + 5y

2 = 0.

Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :

− 4

− 1

− 3

−

Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

(cid:17)

Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u . Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến đường thẳng ∆ là

(cid:12)

d(M, ∆) =

−−−−−→M0M1, −→u |−→u

Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau :

• Giả sử −→u = (a; b; c) , −→0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng. • Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.

• Xét hai trường hợp

– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

– Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆′ và mặt phẳng (P), ta có :

1. Nếu ∆ cắt ∆′ thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

2. Nếu ∆ song song với ∆′ thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm M

∆′ đến ∆.

∈

3. Nếu ∆ và ∆′ chéo nhau thì khoảng h cách giữa chúng tính theo công thức

(cid:12)

(cid:12)[−→u , −→u′].−−−−−→M0M′0

(cid:12)

h =

(cid:12)

(cid:12)[−→u , −→u′]

4. Nếu ∆ ∥ (P) thì khoảng cách giữa ∆ và (P) bằng khoảng cách từ một điểm thuộc ∆ đến (P).

Bài 13.106 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cho trong bài tập 13.98.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 263

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2y + 2z

, mặt phẳng (P) : x

5 = 0 và điểm

, ∆′ :

− 2

= y 1

= z + 1 3

− 2

= z + 2 1

−

= y + 1 2 −

Bài 13.107 : Cho đường thẳng ∆ : A(1; 0; 2).

1. Tính các khoảng cách từ A và O đến các đường thẳng ∆ và ∆′.

2. Tìm điểm M trên Ox sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng 2 √2.

3. Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều ∆ và A.

4. Tìm điểm M trên Oz sao cho M cách đều ∆ và (P).

5. Tìm điểm M trên Ox sao cho M cách đều ∆ và ∆′.

6. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho khoảng cách từ M đến ∆′ bằng 10.

7. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho M cách đều ∆′ và (P).

x = 3 + 2t

và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.

Bài 13.108 : Cho đường thẳng d :

y =

2 + t

− 1

−

z = Gọi A là giao điểm của d và (P). Viết phương trình ∆ nằm trong (P) sao cho ∆

d và d(A, ∆) = √42.

⊥

x =

Bài 13.109 : Cho đường thẳng d có phương trình

− − y = 3 + 2t

z = 4 + 3t.

1. Tìm điểm M trên trục Ox cách d một khoảng bằng

√21 7

= z

2. Tìm điểm N trên đường thẳng

cách d một khoảng bằng

13 √42 14

= y 3 = y

và mặt phẳng (P) : 2x + y + mz

1 = 0.

Bài 13.110 : Cho đường thẳng d :

x 2 x + 1 1

− 1 = z 2 3

− 2

−

1. Tìm điểm M nằm trên giao tuyến của (P) với (Oxy) và có khoảng cách đến d bằng

√26 2

2. Tìm m sao cho d ∥ (P). Khi đó hãy tính khoảng cách từ d đến (P).

Bài 13.111 : Cho đường thẳng d :

− 1

= y + 3 2

= z + 2 1 −

1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến d là

5 √2 2

d(N, d).

2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho d(N, Oy) = d(N, Oz) = 3 √15

x = 2 + 4t

và mặt phẳng (P) :

x + y + 2z + 5 = 0.

Bài 13.112 : Cho đường thẳng d :

y = 3 + 2t

−

z =

3 + t

−

1. Chứng minh rằng d nằm trên (P).

2. Viết phương trình đường thẳng d′ nằm trong (P), song song với d và cách d một khoảng √14.

Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

(cid:17) Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u và mặt cầu (S ) tâm I(a; b), bán kính R.

1. Nếu d(I, ∆) > R thì mặt cầu (S ) và ∆ không có điểm chung.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 264

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Nếu d(I, ∆) = R thì mặt cầu (S ) và ∆ có một điểm A chung. Khi đó ∆ được gọi là tiếp tuyến và A được gọi là tiếp điểm, đồng

thời IA

∆.

⊥

3. Nếu d(I, ∆) < R thì mặt cầu (S ) và ∆ cắt nhau tại hai điểm A và B. Khi đó độ dài AB được tính theo công thức

= R2

d2(I, (P)).

AB2 4

−

5 + 3t

x =

1)2 + (z + 5)2 = 109 và đường thẳng d :

Bài 13.113 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 2)2 + (y

− 1 + 5t

y =

−

− z = 9

4t.

−

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu. Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm trên.

Bài 13.114 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α) : 5x

4y + z

8 = 0.

4y + 3z + 20 = 0 và (α′) : 3x

−

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3;

− 1) và cắt d tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.

−

Bài 13.115 : Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

(S ) : x2 + y2 + z2

10x + 2y + 26z

113 = 0

−

và song song với hai đường thẳng :

x =

1 + 3t

= y

d1 :

; d1 :

− 1

y =

x + 5 2

= z + 13 2

−

1 − 3 −

− z = 8.

= y

và hai mặt phẳng

Bài 13.116 : Cho đường thẳng d :

x 2

= z + 1 − 1 2 (P) : x + y

2z + 5 = 0; (Q) : 2x

y + z + 2 = 0.

−

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 13.117 : Viết phương trình mặt cầu (S ) trong mỗi trường hợp sau :

1. có tâm I(1; 4;

7) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 6x + 6y

7z + 42 = 0.

−

− 8; 3) và tiếp xúc với trục Oz.

2. có tâm H(6;

−

Bài 13.118 : Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và x

y + z

1 = 0 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : x + 2y + 2z + 7 = 0.

−

= y

và hai mặt phẳng

Bài 13.119 : Cho đường thẳng d :

x 2

= z + 1 − 2 1 (α) : x + y

y + z + 2 = 0.

2z + 5 = 0 và (β) : 2x

−

1. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d với hai mặt phẳng (α) và (β). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β).

4y + z

1) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x

4y + 3z + 20 = 0 và 3x

8 = 0.

Bài 13.120 : Cho điểm I(2; 3;

−

1. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm I trên đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB = 10.

4x + 6y + 6z + 17 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y = 0 và

−

Bài 13.121 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 3y

1 = 0.

−

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 265

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

z + 1 = 0 và x + 2y

4 = 0 và mặt cầu (S ) :

−

Bài 13.122 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x x2 + y2 + z2 + 4x

6y + m = 0.

−

Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.

1; 4; 0), C(0; 0;

3).

Bài 13.123 : Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(

−

1. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

x = 2

−

2. Cho đường thẳng d :

y = 4 + 2t

z = 1.

Chứng minh rằng d cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ hai giao điểm đó.

11y + 8z

30 = 0 và x

2z = 0, mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 +

Bài 13.124 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 8x

−

15 = 0.

−

6y + 4z − Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S ).

Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

(cid:17) Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u , đường thẳng ∆′ đi qua M′0 và có một vectơ chỉ phương −→u′ và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến là −→n = (A; B; C) thì góc ϕ1 giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′; góc ϕ2 giữa ∆ và (P) tính theo công thức.

(cid:12)

(cid:12) =

(cid:12)

và sin ϕ2 = (cid:12)

cos ϕ1 =

(cid:12)cos(−→u , −→u′)

(cid:12)cos(−→u , −→n )

(cid:12)−→u .−→n . |−→n |−→u |

(cid:12)−→u .−→u′ |−→u |

−→u′ |

Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết góc ta thường làm như sau :

• Giả sử −→u = (a; b; c) , −→0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng. • Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.

• Xét hai trường hợp

– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

– Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

= y

= z

với trục Ox.

Bài 13.125 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng d :

x + 1 2

− 1 = z

và mặt phẳng (α) : x + 2y

z + 5 = 0.

Bài 13.126 : Tìm góc tạo bởi giữa đường thẳng d :

− 1 = y + 1 1

− 1

−

z sin α + cos α = 0 và

−

x + 3 2 Bài 13.127 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x y

z cos α

sin α, với α là số thực. Tính góc tạo bởi đường thẳng ∆ và trục Oz.

−

1 = 0 và

−

Bài 13.128 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : ∆1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x a y

3 = 0 và z

1 = 0.

−

2 = 0 ; ∆2 là giao tuyến của hai mặt phẳng ax + 3y Xác định a để ∆1 và ∆2 hợp với nhau một góc 45◦.

5; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy các góc bằng nhau và bằng

−

Bài 13.129 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 60◦.

Bài 13.130 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

= y

(α) : x

y + z

5 = 0 và ∆ :

x 1

− 2

−

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3;

= z 2 − 1; 1), nằm trong mặt phẳng (α) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45◦.

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 266

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

= y

. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi ∆

x + 4 2

− 1

= z + 1 1 −

Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Chú ý :

• Khẳng định này còn đúng với đường thẳng ∆ bất kì.

• Một khẳng định tương tự là thay đường thẳng ∆ bởi mặt phẳng (P) bất kì và góc α, β, γ lầ góc hợp bởi (P) với các mặt phẳng tọa

độ.

Bài 13.132 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

= y

1 = 0.

d :

và (α) : 2x + y + z

− 1

− 2

−

= z + 3 1 −

Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (α).

2 = 0

2 = 0 và y + z

−

= y

Bài 13.133 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y ; d2 :

− 2

− 1

= z + 5 1 −

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và tạo với đường thẳng d2 một góc bằng 60◦.

Bài 13.134 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

x =

∆ :

2 = 0.

và (α) : 2x

y =

− 1 + 2t

−

− z = 2 + t

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) một góc nhỏ nhất.

Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác

(cid:17)

Dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, nằm trong để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng như trong vấn đề 1.

Chú ý :

• Nếu ∆ ∥ ∆′ thì −→u′∆ cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu ∆

(P) thì −→n P cũng là một vectơ chỉ phương của ∆. ⊥

• Nếu ∆

∆′ thì −→u′∆ vuông góc với ∆.

⊥

• Nếu ∆

(P) hoặc ∆ ∥ (P) thì −→n P vuông góc với ∆.

⊂

• Khi viết phương trình theo trường hợp này phải kiểm tra tính song song hoặc nằm trong của đường thẳng cần viết.

Bài 13.135 : Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :

x = 1 + 2t

1. Đi qua M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ :

y =

− z = 3 + 2t.

2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y

2z + 1 = 0.

2. Đi qua điểm M(

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 267

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

3. Đi qua điểm M(2;

1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng

−

x = t

∆1 :

và ∆2 :

y = 1

x 1

= y + 1 1

−

= z + 6 2 −

z = 0.

2) và song song với các mặt phẳng

4. Đi qua điểm M(1; 4;

−

1 = 0.

(α) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : 3x

−

= y

= z

5. Đi qua điểm A(1; 1;

2), song song với (P) : x

1 = 0 và vuông góc với d :

− 1

− x + 1 2

−

− 3 z + 1 = 0 và vuông góc

− Bài 13.136 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P) : x + 2y

−

với đường thẳng d :

x + 2 1

= z + 1 3

= y 2 −

1; 2; 0), C(2;

3; 2).

−

Bài 13.137 : Tìm tập hợp những điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B( = y

= z

và mặt phẳng (α) : x

− 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua

Bài 13.138 : Cho đường thẳng d :

x + 1 2

− 1

− 3

−

A(1; 1;

2), song song với (α) và vuông góc với d.

−

z+3 = 0.

Bài 13.139 : Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : 2x

y+z+5 = 0 và (α′) : 2x

−

x = 2 + 2t

Bài 13.140 : Cho đường thẳng ∆

y =

1 + 3t

z =

− 4 + 3t.

−

Viết phương trình đường thẳng ∆ dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt song song với Ox và Oy.

∆

∆′

Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng

biết

cắt

(cid:17)

1. Viết ∆′ theo tham số t hoặc t′.

2. Giả sử ∆ cắt ∆′ tại A. Do A

∆′ nên A có tọa độ theo tham số t hoặc t′.

∈

3. Từ các dữ kiện bài toán ta thiết lập được phương trình để tìm được các tham số t và t′. Từ đó viết được đường thẳng ∆.

Chú ý :

1. −→n 1⊥−→n 2 khi và chỉ khi −→n 1.−→n 2 = 0. 2. −→n 1 cùng phương −→n 2 khi và chỉ khi [−→n 1, −→n 2] = −→0 (hoặc tọa độ tương ứng tỉ lệ).

3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi −−→AB và −−→AC cùng phương.

4. Các bài toán dạng này có thể sử dụng phương pháp giao tuyến của hai mặt phẳng.

Bài 13.141 : Cho hai đường thẳng

x = 8 + t

x = 3

∆1 :

và ∆2 :

y = 5 + 2t

z = 8

7t′ − y = 1 + 2t′ z = 1 + 3t′.

−

1. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 268

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 13.142 : Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5; ) và D(1; 1; 1).

1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

2. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa AC và BD.

Bài 13.143 : Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình :

2 + 3t

x =

2 + 2t′

và

d1 :

− y = t

y =

z = 1

− t′ − z = 2 + t′.

−

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt đồng thời d1, d2.

Bài 13.144 : Cho ba đường thẳng

= z

= y

= z

d1 :

; d2 :

; d3 :

− 3

= y + 2 4

− 1

− 2

x + 1 3

9 − 1 −

= y + 3 2 −

2 − 1 −

Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đồng thời d1 và d2 đồng thời song song với d3.

Bài 13.145 : Cho hai đường thẳng

x =

= y

d1 :

và d2 :

− y = t

− 3

= z 1

− 1

z = 1 + t.

và song song với (P) : x+3y+z

1 = 0.

Bài 13.146 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), cắt d :

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d1 và cắt d2. x + 1 2

= y 1

−

= z 1 −

Bài 13.147 : Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 2y

= z

∆1 :

và ∆2 :

− 2

= y + 1 1

− 1

2 − 1 −

= y 1 − = y

2 = 0 và đường thẳng d :

Bài 13.148 : Cho mặt phẳng (α) : x + 2y

z + 1 = 0 và cắt các đường thẳng − = z + 1 2 = z + 2 3

x + 1 2

−

2 − 1 −

− Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α), vuông góc với d và cắt d.

Bài 13.149 : Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) : x + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng

x = 1

x = 2

−

và d2 :

d1 :

y = t

t′ − y = 4 + 2t′ z = 1.

z = 4t

Bài 13.150 : Cho hai đường thẳng

x = 1 + t

x = 3

d1 :

và d2 :

y =

−

− z = 2

t′ − y = 1 + 2t′ z = t′.

Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2.

= y

= z

Bài 13.151 : Cho hai đường thẳng d1 :

và d2 :

− 2

x 1

− 2

−

= y + 1 2 −

− 1 1. Tìm tọa độ giao điểm I của d1 và d2.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và d2.

3. Viết phương trình đường thẳng d qua M(0;

1; 2) cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B khác I sao cho AI = AB.

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 269

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng

(cid:17)

1. Hình chiếu H của A xuống ∆. Có một số cách sau :

(a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và vuông góc với ∆. Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.

(b) Giả sử H

∆, nên H có tọa độ thỏa mãn ∆ (theo t). Do AH

∆ nên −−→AH.−→u ∆ = 0. Tìm được t, từ đó suy ra H. ⊥

∈

2. Hình chiếu H của A xuống (P). Có một số cách sau :

(a) Gọi ∆ là mặt phẳng chứa A và vuông góc với (P). Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.

(b) Giả sử H

∆, nên H có tọa độ thỏa mãn (P). Do AH

(P) nên [−−→AH, −→n (P)] = −→0 . Tìm được H. ⊥

∈

3. Hình chiếu vuông góc ∆′ của ∆ xuống (P).

(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q)

(P).

⊥

(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆′ là giao tuyến của (P) và (Q).

4. Hình chiếu ∆′ theo phương đường thẳng d của ∆ xuống (P).

(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q) cùng phương với d ((Q) song song hoặc (Q) chứa d).

(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆′ là giao tuyến của (P) và (Q).

5. Tìm điểm đối xứng A′ của A qua d hoặc (P).

xA′

(b) Khi đó H là trung điểm của AA′, tức là

yA.

yA′

(a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d hoặc (P). = 2xH − = 2yH −

= y

trên các mặt phẳng tọa độ.

Bài 13.152 : Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d :

− 2

− 3

= z + 3 4

x = 2

−

trên (α) : x + y + z

3 = 0.

Bài 13.153 : Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :

y = 2t

−

z =

1 + 2t

6 = 0.

Bài 13.154 : Tìm điểm đối xứng của điểm M(1;

−

3; 7) đối với mặt phẳng (α) : 2x + 5y 1

= y

Bài 13.155 : Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng d :

x + 2 1

− 2

− 2z − − = z + 1 2 −

Bài 13.156 : Tính khoảng các giữa các cặp đường thẳng

= z

= y

d1 :

và d2 :

− 2

= y + 3 1

x + 2 4

= z + 1 4

1 − 2 −

4 − 2 − − 6 = 0 và điểm A(0; 0; 1).

Bài 13.157 : Cho mặt phẳng (P) : 6x + 3y + 2z

−

1. Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên (P).

2. Tìm tọa độ điểm A′ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).

Bài 13.158 : Cho tứ diện ABCD có A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng

(ABC).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 270

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

x = 8 + 4t

2 = 0 và đường thẳng d :

Bài 13.159 : Cho mặt phẳng (P) : 3x + 6y

y = 6 + 3t

−

z = t.

3; 2). Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.

và điểm M(4;

Bài 13.160 : Cho đường thẳng d :

−

= z 1 −

Viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với d qua mặt phẳng (P). x + 2 = y + 2 3 2 x = 1 + 2t

và điểm M(2;

1; 3).

Bài 13.161 : Cho đường thẳng ∆ :

y = 2

−

z = 3t

Tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆.

Bài 13.162 : Cho hai đường thẳng

= y

= z

= y

= z

và ∆2 :

∆1 :

− 2

− 3

− 1

− 2

3 − 7 −

9 − 1 −

Viết phương trình chính tắc đường thẳng ∆3 đối xứng với ∆2 qua ∆1.

Bài 13.163 : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

= y

= z

d :

2y + z

3 = 0

và (P) : 2x

x + 1 1

− 2

−

3 − 2 −

Viết phương trình hình chiếu vuông góc d′ của d trên (P).

Bài 13.164 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :

(α) : 5x

2 = 0

5 = 0 và (α′) : x + 2z

−

y + z

và mặt phẳng (P) : 2x

1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d′ của d trên mặt phẳng (P).

−

Vấn đề 11 : Bài toán cực trị

(cid:17)

1. Mối quan hệ đường vuông góc và đường xiên.

2. Bất đẳng thức tam giác và các bất đẳng thức kinh điển.

3. Hoặc đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến.

4. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ song song với mặt phẳng (P) cố định thì ∆ nằm trên mặt phẳng (Q) qua M và song song với (P).

5. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ vuông góc với ∆′ cố định thì ∆ nằm trên mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với ∆′.

Bài 13.165 : Cho điểm A(

−

d :

6 = 0.

y + 5z

và (P) : x

= y 1

− 2

−

1; 2; 3), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình = z + 2 2 −

1. Trong các điểm thuộc d, tìm điểm cách A một khoảng ngắn nhất.

2. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM ngắn nhất.

Bài 13.166 : Vẫn hỏi như bài 13.165 với giá trị lúc này là A(0; 2; 0), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình

x = 1 + t

4z + 1 = 0.

d :

và (P) : 3y

y =

2 + 3t

−

− z = t

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 271

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 13.167 : Cho hai đường thẳng

x = 1 + 2t

= y

∆ :

và ∆′ :

y = t

x 2

− 1

= z + 1 2 −

z = 5

−

1. Chứng minh rằng ∆ và ∆′ chéo nhau.

2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆′ sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, (P) song song với cả hai đường thẳng ∆ và ∆′.

Bài 13.168 : Cho hai đường thẳng

x = 2t

∆ :

và ∆′ :

y = 1

− 1

= y + 2 2

−

= z + 1 2 −

z = 2

2t.

−

1. Chứng minh rằng ∆ và ∆′ chéo nhau.

2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆′ sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và (P) song song với ∆′.

1; 1). Tìm điểm M trên đường thẳng ∆ :

sao cho

Bài 13.169 : Cho A(0; 2; 1), B(2;

− 2

= z + 2 3

−

= y 1 −

1. Tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.

2. Tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất.

= y

và hai điểm A(0; 1; 2), B(

1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho

Bài 13.170 : Cho đường thẳng ∆ :

x 1

− 2

−

= z + 1 2 −

1. MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

đạt giá trị nhỏ nhất.

2−−→MA

2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

đạt giá trị nhỏ nhất.

−−→MB | − 2−−→MA + −−→MB |

2y + 2z

3 = 0 và hai điểm A(0; 1; 2), B(

1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

Bài 13.171 : Cho mặt phẳng (P) : x

−

1. MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

đạt giá trị nhỏ nhất.

2−−→MA

2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

đạt giá trị nhỏ nhất.

−−→MB − | 2−−→MA + −−→MB |

y + 2z

1)2 + y2 + (z

5 = 0 và mặt cầu (S ) : (x

2)2 = 9.

Bài 13.172 : Cho mặt phẳng (P) : 2x

−

1. Tìm điểm M thuộc (S ) sao cho M cách (P) một khoảng

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

2. Chứng minh rằng (P) cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

3. Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của (S ), biết tiếp diện đó song song với (P).

= z

. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết

1) và đường thẳng ∆ :

Bài 13.173 : Cho A(1; 2; 3), B(0; 2;

x 1

= y + 2 1

− 3

−

1. (P) qua B và cách A một khoảng lớn nhất;

2. (P) chứa B, (P) ∥ ∆ và (P) cách ∆ một khoảng lớn nhất.

3. (P) chứa ∆ và cách A một khoảng

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

4. (P) chứa B, O và cách A một khoảng

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 272

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

5. (P) chứa B, (P) ∥ ∆ và cách A một khoảng

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

6. (P) chứa ∆ và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

7. (P) chứa A, ∆ ∥ (P) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

8. (P) chứa ∆ và tạo với trục Ox một góc

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

x = 1

2y + 2z

5 = 0 và đường thẳng ∆ :

Bài 13.174 : Cho A(1; 0; 2), B(0; 0; 1), mặt phẳng (P) : x

y = 1 + t

−

z = t.

Viết phương trình đường thẳng d, biết

1. d đi qua A, cắt ∆ và cách B một khoảng

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

2. d qua A, d ∥ (P) và d cách B một khoảng

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

3. d qua A, d

∆ và d cách B một khoảng

⊥

(a) lớn nhất;

(b) nhỏ nhất.

4. d nằm trong (P), d ∥ ∆ và B cách d một khoảng nhỏ nhất.

5. d nằm trong (P), d

(Q) và B cách d một khoảng nhỏ nhất, với (Q) : 4x + y

3 = 0.

⊥

−

13.4 Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 13.175 (CĐ08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d có phương trình

= z

x 1

− 2

= y 1 −

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

2. Tìm toạn độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.

Bài 13.176 (CĐ08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, ÔBAD = ÔABC = 90◦, AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm S A và S D. Chứng minh rằng BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S .BCN M theo a.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 273

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

z + 1 = 0.

−

Bài 13.177 (CĐ09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P2) : 3x + 2y Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2).

1). Viết

−

Bài 13.178 (CĐ09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và trọng tâm G(0; 2; phương trình đường thẳng ∆ đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài 13.179 (CĐ09) : Cho tứ giác đều S .ABCD có AB = a, S A = a √2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh S A, S B và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng S P. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.

Bài 13.180 (CĐ10) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy, S A = S B, góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng đáy bằng 45◦. Tính theo a thể tích của khối chóp S .ABCD.

2; 3), B(

1; 0; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z + 4 = 0.

Bài 13.181 (CĐ10) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;

−

1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).

2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính bằng

có tâm thuộc đường thẳng AB và (S ) tiếp xúc với (P).

AB 6

= y

y + 2z

và mặt phẳng (P) : 2x

2 = 0.

Bài 13.182 (CĐ10) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

= z 1

− 1

x 2

−

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).

Bài 13.183 (A02) : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các

cạnh S B và S C. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (S BC).

Bài 13.184 (A02) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

x = 1 + t

2y + z

4 = 0

−

và ∆2 :

∆1 :

y = 2 + t

− x + 2y

2z + 4 = 0

−

z = 1 + 2t.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.

2. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Bài 13.185 (A03) : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (A′CD).

Bài 13.186 (A03) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có A trùng với gốc toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; b) với (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC′.

1. Tính thể tích khối tứ diện BDA′M theo a và b.

2. Xác định tỉ số

để hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

a b

Bài 13.187 (A04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S (0; 0; 2 √2). Gọi M là trung điểm của cạnh S C.

1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A, BM.

2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng S D tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S .ABMN.

Bài 13.188 (A04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình

= z

d :

2z + 9 = 0.

và (P) : 2x + y

− 1

= y + 3 2

−

1 − 1 − 1. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

2. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt

phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.

Bài 13.189 (A06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Gọi M, N là trung điểm AB, CD.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 274

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc α biết cos α = 1 √6

Bài 13.190 (A06) : Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.

Bài 13.191 (A07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 + 2t

x =

d1 :

và d2 :

− y = 1 + t

x 2

= z + 2 1

1 = y − 1 −

z = 3.

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y

4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.

−

Bài 13.192 (A07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối

tứ diện CMNP.

= z

Bài 13.193 (A08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng d :

− 2

= y 1

− 2

1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.

Bài 13.194 (A08) : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 13.195 (A09) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (S BI) và (S CI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 13.196 (A09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2x

11 = 0.

4 = 0 và mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2

−

Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Bài 13.197 (A09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

= y

(P) : x

2y + 2z

, ∆2 :

1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :

x + 1 1

= y 1

= z + 9 6

− 2

− 1

−

= z + 1 2 −

Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

Bài 13.198 (A10) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết S H vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S H = a √3. Tính thể tích khối chóp S .CDN M và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và S C theo a.

và mặt phẳng (P) : x

2y + z = 0. Gọi C

− 2

= y 1

−

= z + 2 1 −

Bài 13.199 (A10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = √6.

= y

. Tính khoảng

x + 2 2

− 3

= z + 3 2

−

2) và đường thẳng ∆ : Bài 13.200 (A10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

Bài 13.201 (B02) : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a.

1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 275

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

Bài 13.202 (B03) : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Gọi M là trung điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

Bài 13.203 (B04) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a và ϕ.

x =

3 + 2t

2; 4) và đường thẳng d :

Bài 13.204 (B04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(

− y = 1

−

z =

− 1 + 4t.

−

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0),

−

Bài 13.205 (B05) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; B1(4; 0; 4).

1. Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1).

2. Gọi M là trung điểm A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt

đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN.

Bài 13.206 (B06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng

x = 1 + t

= y

d1 :

và d2 :

y =

x 2

− 1

= z + 1 1 −

− − z = 2 + t.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.

2. Tìm toạ độ điểm M

d1, N

d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.

∈

Bài 13.207 (B06) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a √2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC)

vuông góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

2x + 4y + 2z

3 = 0 và mặt phẳng

−

Bài 13.208 (B07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 (P) : 2x

y + 2z

14 = 0.

−

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.

Bài 13.209 (B07) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm

của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN và AC.

2; 1), C(

2; 0; 1).

Bài 13.210 (B08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2;

−

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z

3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

−

Bài 13.211 (B08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a √3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai

đường thẳng S M, DN.

Bài 13.212 (B09) : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′ = a. góc giữa đường thẳng BB′ và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦; tam giác ABC vuông tại C và ÔBAC = 60◦. Hình chiếu vuông góc của điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp A′.ABC theo a.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 276

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2; 1; 3), C(2;

1; 1) và

Bài 13.213 (B09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(

−

D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

2y + 2z

5 = 0 và hai điểm A(

3; 0; 1), B(1;

1; 3).

Bài 13.214 (B09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x

−

Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là

nhỏ nhất.

Bài 13.215 (B10) : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 60◦. Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

(P) : y

Bài 13.216 (B10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

− (ABC) bằng 13.

= y

. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao

x 2

= z 2

− 1

Bài 13.217 (B10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM.

Bài 13.218 (D02) : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

Bài 13.219 (D02) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(2m + 1)x + (1

m)y + m

1 = 0

−

(P) : 2x

(m là tham số ).

y + 2 = 0v đường thẳng dm :

−

− mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0

Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).

Bài 13.220 (D03) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :

x + 3ky

z + 2 = 0

−

dk :

y + z + 1 = 0.

−

2z + 5 = 0.

Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P) : x

−

Bài 13.221 (D03) : Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuòng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

a; 0; 0), C(0; 1; 0),

−

a; 0; b), với a > 0, b > 0.

Bài 13.222 (D04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0), B( B1(

− 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.

2. Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thoả mãn : a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.

2 = 0.

−

Bài 13.223 (D04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x+y+z Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

Bài 13.224 (D05) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

x + y

2 = 0

và d2 :

d1 :

− 3

= z + 1 2

− x + 3y

− 12 = 0.

= y + 2 1 −

−

1. Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.

2. Mặt phẳng toạ độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).

Bài 13.225 (D06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, điểm A(1; 2; 3) và cho hai đường thẳng :

= z

= y

d1 :

; d2 :

− 2

− 1

− 2

= z + 1 1

= y + 2 1 −

1 − 1 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 277

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tìm tạo độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2.

Bài 13.226 (D06) : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M.

1; 2; 4) và đường thẳng

Bài 13.227 (D07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(

−

∆ :

= y + 2 1

= z 2

1 − 1 −

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.

Bài 13.228 (D07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang, ÔABC = ÔBAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √2. Gọi H là hình chiếu của A trên S B. Chứng minh rằng tam giác S CD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S CD).

Bài 13.229 (D08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).

1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.

2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 13.230 (D08) : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √2. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 13.231 (D09) : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA′ = 2a, A′C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C′, I là giao điểm của AM và A′C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

20 =

−

Bài 13.232 (D09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng (P) : x+y+z 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).

= y

3z+4 =

và mặt phẳng (P) : x+2y

− 1

x + 2 1

−

= z Bài 13.233 (D09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : 1 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. −

Bài 13.234 (D10) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác S AC. Chứng minh M là trung 4 điểm của S A và tính thể tích khối tứ diện S MBC theo a.

y + z

3 = 0 và (Q) : x

1 = 0. Viết phương

−

Bài 13.235 (D10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z − trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

x = 3 + t

= y

. Xác định tọa

và ∆2 :

Bài 13.236 (D10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :

y = t

− 2

= z 2

− 1

z = t

độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.

13.5 Bài tập tổng hợp

Bài 13.237 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (S BC) theo a, biết rằng S A = a √6 2

Bài 13.238 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với

các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng :

cos α + cos β + cos γ

√3.

≤

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 278

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2), B(

y + z + 3 = 0 và hai điểm A(

5; 7; 12).

Bài 13.239 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x

−

− 1. Tìm toạ độ điểm A′ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

2. Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB.

Bài 13.240 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi E trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến BE.

Bài 13.241 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :

2x + y + z + 1 = 0

∆ :

2y + z

1 = 0.

và mặt phẳng (P) : 4x

−

x + y + z + 2 = 0

Viêt phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P).

Bài 13.242 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC) bằng 60◦. Tính độ dài đoạn thẳng S A theo a.

Bài 13.243 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

a = 0

ax + 3y

3 = 0

−

d1 :

và d2 :

− z + 1 = 0

− 6 = 0.

−

1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

2. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và song song với đường thẳng d1. Tính khoảng cách giữa d1 và

d2 khi a = 2.

Bài 13.244 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

z + 1 = 0

6y + m = 0.

d :

và mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 4x

−

− x + 2y

− 2z

4 = 0

−

Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm M và N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.

Bài 13.245 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 60◦.

Bài 13.246 : Cho hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a = 6 √2. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

2), C(

4; 3), D(1; 6;

5). Tính góc

Bài 13.247 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6;

−

giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM co chu vi nhỏ nhất.

Bài 13.248 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc ÔBAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a. Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

Bài 13.249 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc ÔBDC = 90◦. Xác định và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 13.250 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

z + 1 = 0

và d2 :

d1 :

x 1

= y + 1 2

= z 1

− 2x + y

1 = 0.

−

1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.

= y

= z

2. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với đường thẳng ∆ :

− 1

− 4

3 − 2 −

Bài 13.251 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tìm điểm M thuộc cạnh AA′ sao cho mặt phẳng (BD′M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 279

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 13.252 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A(0; 0; a √3), B(a; 0; 0), C(0; a √3; 0), với (a > 0). Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

Bài 13.253 : Cho hình chóp đều S .ABC, đáy có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ, với (0◦ < ϕ < 90◦). Tính thể tích khối chóp S .ABC và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 13.254 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bằng 30◦.

3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu

−

Bài 13.255 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z (S ) : (x

1)2 + (y + 1)2 + (z

1)2 = 9.

−

Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ). Với m tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ).

Bài 13.256 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy và S A = 2a. Gọi M là trung điểm của S C. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

11 = 0

1; 3) và đường thẳng d :

Bài 13.257 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0;

−

− y + 3z

− 8.

−

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d

và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình x + y

z + 1 = 0.

−

Bài 13.258 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

abc(a + b + c).

≥

Bài 13.259 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P).

2. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Bài 13.260 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S (0; 0; 4).

1. Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm

O, B, C, S .

2. Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng S C.

Bài 13.261 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x =

−

(t là tham số )

và d2 :

d1 :

− y = t

x 1

= y 1

= z 2

z = 1 + t

1. Xét vị trí tương đối của d1 và d2.

y + z = 0 và độ

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc d1 và điểm N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x

−

dài đoạn MN = √2.

3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y

z + 1 = 0.

Bài 13.262 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2;

−

1. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Xác định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1.

= y

= z

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng :

− 2

− 1

5 − 6 −

Bài 13.263 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4).

1. Tìm toạ độ các điểm A1, B1. Viểt phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B, O1.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 280

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Gọi M lsà trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA, OA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn NK.

Bài 13.264 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2).

1. Xác định toạ độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng hai mặt

phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc nhau.

2. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N . A) tới 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ

thuộc vào vị trí của điểm N.

Bài 13.265 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A′(0; 0; 2).

1. Chứng minh A′C vuông góc với BC. Viết phương trình mặt phẳng (ABC′).

và góc ÔBAD = 60◦. Gọi M, N lần lượt là trung

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B′C′ trên mặt phẳng (ABC′). Bài 13.266 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ = a √3 2 điểm các cạnh A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

z + 4 = 0 và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là

−

Bài 13.267 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 2y trung điểm của đoạn thẳng AB.

1. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (α).

2. Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α) đồng thời K cách đều gốc tạo độ và mặt phẳng (α).

. Mặt phẳng (BCM) cắt S D tại N. Tính thể tích khối

Bài 13.268 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM = a √3 2 chóp S .BCN M.

z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0).

Bài 13.269 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y

−

1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Bài 13.270 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′ABC là hình chóp đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.

Bài 13.271 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x = 1 + t

= y

và ∆2 :

∆1 :

y =

= z 1

− 2

−

3 − 1 −

− z = 2

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.

2. Xác định điểm A trên ∆1 và điểm B trên ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài 13.272 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a. Gọi C′ là trung điểm của cạnh S C. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

3y + 11z

26 = 0 và hai đường thẳng

Bài 13.273 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 4x

−

− 4

= y

= z

d1 :

; d2 :

x 1

− 2

= z + 1 3

− 1

= y 1

− 2

−

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d1, d2.

Bài 13.274 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi S H là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung

điểm I của S H đến mặt phẳng (S BC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 281

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 13.275 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3).

1. Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

. Mặt phẳng (α) đi

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P). Bài 13.276 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK = 2a 3 qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

1; 3;

2), B(

3; 7;

18) và mặt phẳng (P) : 2x

y + z + 1 = 0.

Bài 13.277 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(

−

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 13.278 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a √5 và ÔBAC = 120◦. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB

MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

⊥

3y + 2z = 0

−

Bài 13.279 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) và đường thẳng d :

6x + 3y + 2z

24 = 0.

−

1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d và cắt các đường thẳng AB, OC.

Bài 13.280 : Cho hình chóp S .ABC, góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) bằng 60◦; các tam giác ABC và S BC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC).

3; 5;

5), B(5;

3; 7) và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0.

Bài 13.281 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(

−

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).

2. Tìm điểm M

(P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.

∈

Bài 13.282 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy. Cho AB = a, S A = a √2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên S B, S D. Chứng minh S C

(AHK) và tính thể tích khối tứ diện OAHK.

⊥

3; 6).

Bài 13.283 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), M(0;

−

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) : x + 2y

9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính OM. Tìm toạ độ tiếp điểm.

−

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, OZ tại các điểm tương ứng B, C sao cho VOABC = 3.

và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.

Bài 13.285 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Bài 13.284 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H, K lầ lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC. = y + 2 1

− 2

= z + 1 1 −

1. Tìm giao điểm M của d và (P).

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆

d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng √42.

⊥ Bài 13.286 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a √2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VM.A1 BC1.

2y + 2z

1 = 0 và các đường thẳng

Bài 13.287 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x

−

= y

và d2 :

d1 :

− 2

= z 2

− 6

= y 4

3 − 3 −

− = z + 5 5 −

(P).

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q)

⊥

2. Tìm các điểm M

d1, N

d2 sao cho MN ∥ (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

∈

B1C

⊥

Bài 13.288 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 282

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 13.289 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

= y

1; 2; 3) và đường thẳng d :

Bài 13.290 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(

− 1

= z 1

− 2

−

1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.

2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y

z + 9 = 0.

Bài 13.291 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;

−

− 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).

2. Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

Bài 13.292 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √3, mặt bên S BC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo A thể tích khối chóp S .ABC.

1. Trong không gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(

9; 12), A(2; 0; 0) và cắt trục Oy, Oz

Bài 13.293 :

−

lần lượt tại B, C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).

2. Tìm phương trình của mặt phẳng (Q) qua điểm M(

9; 12) và cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A0, B0, C0 sao cho

−

OC0 = OA0 + OB0 + 1 = 1 OB0 OA0

4 OC0

2) và vuông góc với cả hai mặt phẳng

Bài 13.294 : Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm (1; 0;

3 = 0.

(P1) : 2x + y

− 2 = 0 và (P2) : x

−

Bài 13.295 : Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y 5z

3 = 0.

−

Bài 13.296 : Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 2), song song với vectơ −→v = (2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x

5z + 1 = 0.

−

Bài 13.297 : Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60◦.

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 19x

4z + 27 = 0 và

Bài 13.298 :

−

42x

8y + 3z + 11 = 0.

−

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (4;

3; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng

−

y + 2z

3 = 0

− 3z = 0.

− 2x

−

2) và song song với đường thẳng

Bài 13.299 : Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm (1; 4;

−

6x + 2y + 2z + 3 = 0

1 = 0.

−

z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng

Bài 13.300 : Tìm phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x + 3y

−

tại giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

− 2z = 0

−

và cắt đường thẳng

Bài 13.301 : Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) vuông góc với đường thẳng

x 2

= y 4

= z + 3 1

đó.

= z

5; 3) và cắt cả hai đường thẳng

x + 1 3

−

= y + 3 3 −

2 − 1 −

Bài 13.302 : Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm ( x

= z

= y + 1 3

− 2

1 − 5 −

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 283

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

và cắt

Bài 13.303 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0; 1; 1) vuông góc với đường thẳng

− 3

= y + 2 1

= z 1

z + 2 = 0

x + y

đường thẳng

− x + 1 = 0.

4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = 0.

Bài 13.304 : Tìm phương trình của đường thẳng qua điểm (3;

−

= y

= z

và mặt phẳng (P) : x

1 = 0.

Bài 13.305 : Cho đường thẳng d :

x + 1 2

− 1

− 3

−

1. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(1; 1;

2), song song với (P) và vuông góc với d.

−

2. Gọi N là giao điểm của d và (P). Tìm điểm K trên d sao cho K M = KN.

= z

mà mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z = 0.

Bài 13.306 : Cho đường thẳng d có phương trình

− 2

− 3

= y 1 −

1. Xác định giao điểm A của d và (P).

2. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d và nằm trong (P).

Bài 13.307 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho :

x = 1 + 2t

d :

2z + 1 = 0.

và (P) : 2x

y = 2

−

− z = 3t;

1. Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.

2. Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;

1; 3) qua đường thẳng d. Hãy xác định toạ độ điểm K.

−

= y

= z

. Viết phương trình hình chiếu vuông

Bài 13.308 : Trong không gian Oxyz, cho (P) : x + y + z + 1 = 0 và d :

− 1

− 2

− 3

góc của d trên mặt phẳng (P).

Bài 13.309 : Cho hai đường thẳng :

2 = 0

3y + 9 = 0

−

d :

∆ :

− x + 3z + 2 = 0,

y + 2z + 1 = 0.

1. Chứng minh d//∆. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d.

2; 3;

2. Tìm toạ độ điểm N đối xứng với điểm M(

4) qua d.

−

− Bài 13.310 : Cho A(0; 1; 1) và hai đường thẳng :

x + y

z + 2 = 0

d1 :

d2 :

− 3

= y + 2 1

= z 1

− x + 1 = 0.

Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.

Bài 13.311 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng :

x = 2 + 2t

x = 1

và ∆2 :

∆1 :

1 + t

y =

− z = 1,

y = 1 + t′ z = 3

t′.

−

1. Chứng tỏ ∆1 và ∆2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và song song với ∆2.

2. Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2.

y + z

4 = 0

1; 1) và đường thẳng ∆ :

Bài 13.312 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;

−

z + 2 = 0.

− y

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 284

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với ∆.

2. Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua ∆.

Bài 13.313 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho tứ diện S ABC với các đỉnh

S (

2; 2; 4), A(

2; 2; 0), B(

5; 2; 0), C(

2; 1; 1).

−

Tính khoảng cách giữa 2 cạnh đối S A và BC.

Bài 13.314 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng song song :

= y

= z

và d1 :

d1 :

x + 7 3

− 4

x 3

= z + 18 4

5 − 1 −

= y + 4 1 −

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2.

2. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Bài 13.315 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz xét đường thẳng có phương trình :

= y

∆ :

x 4

− 3

= z + 1 2 −

và mặt phẳng có phương trình (P) : x

y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc của hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên

−

mặt phẳng (P).

Bài 13.316 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

1. Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông.

2. Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c.

Bài 13.317 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy các góc bằng β.

1. Chứng minh hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.

2. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AI) vuông góc với mặt phẳng ABC.

3. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên S I. Chứng minh rằng AK vuông góc với mặt phẳng (S BC).

4. Cho biết góc ÔBAC = α, khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC là d. Tính diện tích của tam giác ABC theo d, α, β.

Bài 13.318 : Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C.

1. Tính diện tích tam giác ABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c.

2. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể

tích tứ diện OABC.

3. Giả sử điểm A cố định còn B và C thay đổi sao cho OB + OC = OA. Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện

OABC là lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại là nhỏ nhất.

Bài 13.319 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

6z + 13 = 0

= y

= z

d1 :

và d2 :

− 2

− 1

− − 6y + 6z

7 = 0.

−

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

2. Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích

bằng

√41 42

Bài 13.320 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2x + 3y

3z + 1 = 0 và đường thẳng d :

− 2

= y 9

= z + 5 1

−

và ba điểm A(4; 0; 3), B(

1; 3), C(3; 2; 6).

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 285

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Bài 13.321 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 1), B(2a; 0; 0), C(a; b; 0), D(a; 0; c), E(0; 0; 2), F(a; b; c),

G(5; 1; 1) và H(18; 0; 0), trong đó a, b, c là các số thực dương. Biết bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt phẳng (P) và bốn điểm E, F, G, H

nằm trên mặt phẳng (Q). Xác định a, b, c và viết phương trình mặt phẳng (P).

1; 2; 4) và đường thẳng d :

Bài 13.322 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 4; 2), B(

= y + 2 1

= z 2

−

1 − 1 −

1. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho

(a)

nhỏ nhất;

−−→MA + −−→MB |

(b) MA2 + MB2 nhỏ nhất ;

(d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.

3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.

4. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là

(a) lớn nhất ;

(b) nhỏ nhất.

1), B(3; 1;

2), C(1;

y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2;

1; 1). Tìm điểm M thuộc (α) sao cho :

Bài 13.323 : Cho mặt phẳng (α) : x

−

MB2

1. MA + MB nhỏ nhất ;

3. MA2

MC2 lớn nhất ;

−

nhỏ nhất ;

4. −−→MA + −−→MB + −−→MC nhỏ nhất.

−

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343

Trang 286

Các chuyên đề luyện thi đại học toán 2012

Tham khảo tài liệu 'các chuyên đề luyện thi đại học toán 2012', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Ôn thi tốt nghiệp THPT

Ôn thi Toán THPT

TRẦN ANH TUẤN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

Các chuyên đề

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2011

Mục lục

I Đại số - Lượng giác - Giải tích

9

173

II Hình học

III Hướng dẫn và đáp số

287

Phần I

Đại số - Lượng giác - Giải tích

Chương 1

Phương trình, bất phương trình, hệ đại số

1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức

1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.1.2 Phương trình trình bậc ba

1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn

(cid:17)

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:17)

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:17)

(cid:17)

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:17)

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.4 Hệ phương trình

1.4.1 Phương pháp thế

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.4.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba)

theo một ẩn

1.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.4.4 Phương pháp hàm số

1.4.5 Phương pháp đánh giá

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.5 Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình

(cid:17)

(cid:17)

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(cid:17)

1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1.7 Bài tập tổng hợp

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Chương 2

Bất đẳng thức

2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích

2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp

2.1.3 Bài tập đề nghị

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC