
CHỦ ĐỀ 11. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Hệ toạ độ trong không gian
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
1/ Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau: , , , , 2 3 4
AB BC CD CD u AB CD DA
.
2/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của
M, N, P, Q.
3/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của
∆ABC.
4/ Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích
của hình bình hành ABCE.
5/ Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện
ABCD.
6/ Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài đường cao hạ
từ các đỉnh tương ứng của tứ diện ABCD.
7/ Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
8/ Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
9/ Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng
hàng.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3
A B C .
a/ Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt
tọa độ.

b/ Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ.
c/ Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
d/ Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ.
e/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2
A B C .
a/ CMr: ∆ABC vuông tại B.
b/ Tính diện tích của ∆ABC .
c/ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d/Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1
A B C . Tính các góc của
∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1
A B C D .
a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b. Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
c. Tính côsin của góc giữa hai vectơ
AC
và
BD
.
Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2
A B D A
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c/ Tính thể tích V của hình hộp.

d/ Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 8. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
, , , , , ,
1 1 1 3 3 3 2 2 2 4 4 4
; ; , ; ; , ' ; ; , ' ; ;
A x y z C x y z B x y z D x y z
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 9. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2
A B C D
a/ CMr: a1/ 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
a2/ Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
a3/ Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
Bài 10. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 2
A B C D
a/ CMr 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
b/ Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
c/ Tính thể tích của tứ diện. (Theo 4 công thức)
d/ Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A.
e/ Tìm MOz sao cho 4 điểm M, A, B, C đồng phẳng.
f/ Tìm NOy sao cho ∆NAD vuông tại N.
g/ Tìm POxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C.
II. Phương trình mặt phẳng -pt mặt cầu.
Bài 1. Trong kg Oxyz, cho M(1;3;1).
a/ Viết pt mp() qua M và có VTPT
2; 1;1
n
.

b/ Viết pt mp() qua M và véc-tơ pháp tuyến của mp() vuông góc với 2 véc-tơ
1
1;0; 2
u và
2
1; 3;4
u.
Bài 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(1;0;2), C(1;3;1).
a/ Viết pt mp(ABC).
b/ Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c/ Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d/ Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e/ Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt
mp(P) qua A1, A2, A3.
Bài 3. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3
A B C .
a/ CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b/ Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm M sao cho 2 3
AM BA CM
.
d/ Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mp():
2 3 4 2 0
x y z .
a. Viết pt mp () qua A và song song với mp().
b. Viết pt mp
( )
g
qua OA và vuông góc với mp().
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;1;3) và mp():
3 2 4 0
x y z
. Viết pt
mp() qua A, B và vuông góc với mp().
Bài 6. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mp() qua A, song song Oy và vuông góc
với mp():
3 4 6 0
x y z

Bài 7. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt
mặt phẳng (β) qua A, B và (β) ().
Bài 8. Trong Oxyz, cho ():
3 2 4 0
x y z
, ():
3 4 6 0
x y z
. Lập pt mp()
qua giao tuyến của (), () và qua A(2;1;1).
Bài 9. Trong Oxyz, cho ():
4 0
x y z
, ():
3 2 1 0
x y z
. Lập pt mp()
qua giao tuyến của (), () đồng thời vuông góc với mp():
2 3 1 0
x y z
.
Bài 10. Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với 2 mp:():
7 0
x y z
, ():
3 2 12 5 0
x y z
Bài 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (): 3x – 2y + z +7
= 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S∆ABC.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính VABCD.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4;
-5; -2) và D (-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.