Chương 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chia sẻ: Tran Manh Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

163
lượt xem 48
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hình thang cong. Hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b] là phần mặt phẳng toạ độ được giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Ch¬ng 5. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 5.1. Bµi to¸n dÉn ®Õn kh¸i niÖm tÝch ph©n x¸c ®Þnh 5.1.1. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong. a. H×nh thang cong. H×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f (x) trªn [a; b] lµ phÇn mÆt ph¼ng to¹ ®é ®îc giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = f(x), y = 0, x = a vµ x = b. b. Bµi to¸n. H·y tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm y = f (x) trªn [a; b]. Gäi S lµ diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f(x) trªn [a; b] vµ T lµ phÐp chia [a; b] thµnh n ®o¹n tuú ý bëi c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < x2
5.2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh 5.2.1. §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh. Trong phÇn nµy ta lu«n gi¶ thiÕt a, b lµ c¸c sè h÷u h¹n vµ a < b. §Þnh nghÜa 5.1. Cho hµm f(x) x¸c ®Þnh trªn [a; b]. Gäi T lµ phÐp chia [a; b] thµnh n ®o¹n tuú ý bëi c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < x2 b); ∫ f ( x ) d x = 0 (nÕu a = b). ta cã: a b a 2
b ∫ f ( x) dx §Þnh nghÜa 5.2. NÕu hµm f(x) cã tÝch ph©n x¸c ®Þnh trªn [a; b] vµ lµ a sè h÷u h¹n th× hµm f(x) ®îc gäi lµ kh¶ tÝch trªn [a; b]. §Þnh lý 5.1. NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] th× f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b]. §Þnh lý 5.2. NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] trõ ra mét sè h÷u h¹n c¸c ®iÓm t¹i ®ã hµm sè gi¸n ®o¹n lo¹i 1. Th× f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b]. b ∫ f ( x) dx NhËn xÐt 5.1. (i) NÕu hµm f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b] th× tån t¹i vµ h÷u a h¹n. MÆt kh¸c, theo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh th× sù tån t¹i cña n ∑ f ( ck ) ∆ x lim = I (h÷u h¹n) kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän phÐp chia T vµ c¸ch k n →+∞ k =1 l ( T ) →0 b ∫ f ( x) dx chän c¸c ®iÓm ck. V× vËy, khi tÝnh b»ng ®Þnh nghÜa, mµ hµm f(x) kh¶ a tÝch trªn [a; b] th× cã thÓ chän phÐp chia T ®Æc biÖt vµ c¸c ®iÓm c k ®Æc biÖt b ∫ f ( x) dx . vÉn kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ cña a (ii) Tõ ®Þnh nghÜa 5.1 vµ ph¬ng ph¸p tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å b ∫ f ( x) dx thÞ hµm f(x) trªn [a; b], ta thÊy nÕu f(x) > 0 trªn [a; b] th× lµ diÖn tÝch a h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f(x) trªn [a; b]. VÝ dô 5.1. Dïng ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: b b ∫a ∫a xd x . d x , (ii) ( i) 3
b ∫a d x . f(x) = 1 (∀x∈[a; b]) ⇒ f(x) liªn tôc trªn [a; b]. Do ®ã kh¶ tÝch trªn Gi¶i. (i) [a; b]. Theo nhËn xÐt 5.1 cã thÓ chän phÐp chia [a; b] ®Æc biÖt vµ c¸c ®iÓm ck ®Æc biÖt nh sau: Gäi T lµ phÐp chia [a; b] thµnh n phÇn b»ng nhau bëi c¸c ®iÓm chia: a = x0 < x1 < x2
Trong phÇn nµy ta lu«n gi¶ thiÕt c¸c hµm d íi dÊu tÝch ph©n ®Òu kh¶ tÝch trªn ®o¹n lÊy tÝch ph©n t¬ng øng. TÝnh chÊt 5.1. Cã thÓ ®a mét h»ng sè trong dÊu tÝch ph©n ra ngoµi dÊu tÝch ph©n, tøc lµ: b b k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x (k lµ h»ng sè). ∫a a b b b f ( x) ± g ( x)  dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx . ∫a TÝnh chÊt 5.2.   a a TÝnh chÊt 5.3. Víi a, b, c lµ c¸c h»ng sè h÷u h¹n bÊt kú ta lu«n cã: b c b ∫a f ( x ) d x = ∫a f ( x ) d x + ∫c f ( x ) d x . b b f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx . ∫a TÝnh chÊt 5.4. NÕu f(x) ≤ g(x) (∀x ∈[a; b]) th× a TÝnh chÊt 5.5. NÕu f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b] th× nã kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n con cña [a; b]. TÝnh chÊt 5.6. TÝch ph©n x¸c ®Þnh kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè lÊy tÝch ph©n. NghÜa lµ: b b f ( t ) dt = ∫ f ( x) dx . ∫a a TÝnh chÊt 5.7. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh). NÕu f(x) liªn tôc trªn [a; b] th× tån t¹i c ∈[a; b] ®Ó : b f(c)(b−a) = ∫a f ( x ) d x . Chøng minh. V× f(x) liªn tôc trªn [a; b], nªn f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b]. §ång thêi theo ®Þnh lý 2..11, th× f(x) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn [a; b]. NghÜa lµ: tån t¹i x1, x2 ∈[a; b] sao cho m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M (∀x ∈[a; b]). Theo c¸c tÝnh chÊt 5.1, 5.4 vµ kÕt qu¶ cña vÝ dô 5.1 (i) ta cã: 5
b b b m ( b − a) = ∫ m dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ Mdx = M ( b − a ) . a a a 1b f ( x) dx = µ ≤ M . b − a ∫a ⇒m ≤ Chøng tá µ lµ mét gi¸ trÞ thuéc tËp gi¸ trÞ cña hµm f(x) trªn [a; b]. Mµ f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn theo ®Þnh lý 2.10, tån t¹i c ∈[a; b] sao cho: 1b f ( x) dx b − a ∫a f(c) = b ⇔ f(c)(b−a) = ∫a f ( x ) d x . (®pcm) ý nghÜa h×nh häc cña ®Þnh lý. NÕu f(x) liªn tôc trªn [a; b]. Th× tån t¹i c ∈[a; b] sao cho diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ hµm f (x) trªn [a; b] b»ng diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh lµ f(c) vµ ®é dµi [a; b]. (vÏ h×nh) NhËn xÐt 5.2. (i) Theo kÕt qu¶ cña bµi to¸n tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong t¹o bëi ®å thÞ cña hµm f(x) trªn [a; b] ta cã: n n b ∫a f ( x ) d x ≅ ∑1 f ( ck ) ∆ x ∑ ∆x = b − a > 0. víi k k k= k =1 1n 1 b f ( x) dx ≅ ∑ f ( ck ) ∆ xk . b − a ∫a ⇒ b − a k =1 VËy nÕu f(x) liªn tôc trªn [a; b] th× tån t¹i c ∈[a; b] sao cho: 1n 1 b f ( x) dx ≅ ∑ f ( ck ) ∆ xk . b − a ∫a f(c) = b − a k =1 Chøng tá f(c) lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña hµm f(x) trªn [a; b]. (ii) §Ó t×m gi¸ trÞ trung b×nh cña hµm f(x) trªn [a; b], ta ph¶i tiÕn hµnh c¸c bíc nh sau: Chøng minh hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b]; ¸p dông phÇn (i) cña nhËn xÐt nµy suy 1b f ( x) dx . b − a ∫a ra gi¸ trÞ trung b×nh cña hµm f(x) trªn [a; b] lµ: 6
(iii) NÕu trong phÇn (ii) cã thªm yªu cÇu: t×m ®iÓm t¹i ®ã hµm sè ®¹t gi¸ trÞ 1b f ( x ) d x . NghiÖm cña ph¬ng b − a ∫a trung b×nh th× ph¶i gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) = tr×nh trªn thuéc [a; b] chÝnh lµ ®iÓm cÇn t×m. 5.3. Mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n bÊt ®Þnh vµ tÝch ph©n x¸c ®Þnh. Qua vÝ dô 5.1 ta thÊy viÖc tÝnh mét tÝch ph©n x¸c ®Þnh b»ng ®Þnh nghÜa gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. §Ó tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh ® îc ®¬n gi¶n h¬n chóng ta xÐt mèi liªn hÖ gi÷a tÝch ph©n bÊt ®Þnh vµ tÝch ph©n x¸c ®Þnh tõ ®ã suy ra ph - ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh. 5.3.1. TÝch ph©n víi cËn trªn biÕn ®æi. §Þnh nghÜa 5.3. Cho hµm f(x) kh¶ tÝch trªn [a; b]. Víi mçi x ∈ [a; b], hµm f(t) kh¶ ∫a f ( t ) d t x tÝch trªn [a; x]. Th× ®îc gäi lµ tÝch ph©n víi cËn trªn biÕn ®æi cña hµm f(x) trªn [a; b]. x §Þnh lý 5.3. NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a;b] th× ∫a f ( t ) d t lµ hµm cã ®¹o hµm trªn ′ [a; b] vµ  ∫ f ( t ) d t  = f ( x ) (∀ x ∈[a; b]). x a    Chøng minh. V× f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn kh¶ tÝch trªn [a; b] vµ mäi ®o¹n con cña nã. ∫a f ( t ) d t . Víi mçi x x ∈[a; b]. Cho x sè gia ∆ x sao cho x + ∆ x ∈[a; §Æt F(x) = b]. Th×: 7
x + ∆x x +∆ x x f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt . ∫a ∆ F = F(x + ∆ x) − F(x) = x a x V× f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn liªn tôc trªn [x; x+∆ x], theo ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh tån t¹i c ∈ [x; x+∆ x] sao cho: 1 x +∆ x f ( t ) dt . ∫x f(c) = ∆x 1 x +∆ x f ( t ) d t = lim f ( c ) = f(x). (®pcm) ∫x lim F′ (x) = ∆ → 0 VËy ∆x ∆ →0 x x NhËn xÐt 5.3. Tõ ®Þnh lý 5.3 ta thÊy: NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] th× x ∫a f ( t ) d t lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn [a; b]. V× vËy, nÕu hµm f(x) liªn tôc trªn x ∫ f ( x ) d x = ∫a f ( t ) d t + C . [a; b] th×: §iÒu nµy nãi lªn mèi liªn hÖ gi÷a TPB§ vµ TPX§. 5.3.2. øng dông. §Þnh lý 5.4. (§Þnh lý Niut¬n-Lepnit). NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] vµ F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn [a; b] b b f ( x ) d x = F(x) ∫a = F(b) − F(a). th×: a Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn víi mçi x ∈[a; b], f(x) liªn tôc trªn [a; x]. Do ®ã, f(x) kh¶ tÝch trªn [a; x]. x ∫a f ( t ) d t . §Æt Φ(x) = Theo ®Þnh lý 5.3 th× Φ(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn [a; b]. Mµ F(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn [a; b] nªn tån t¹i h»ng sè C ®Ó: Φ(x) = F(x) + C (∀x ∈[a; b]). T¹i x = a vµ x = b ta cã: 8
 a f ( x) dx = F ( a) + C  ∫a Φ ( a ) = F ( a ) + C ⇔ b  Φ ( b) = F ( b) + C ∫ f ( x ) dx = F ( b) + C a b a f ( x ) d x = 0 ⇒ ∫ f ( x ) d x = F(b) − F(a).(®pcm) ∫a Mµ a b ∫a f ( x ) d x Qua ®Þnh lý 5.4 ta thÊy ®Ó tÝch ta cã thÓ tiÕn hµnh nh sau: Chøng minh hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b]; T×m mét nguyªn hµm cña f(x) trªn [a; b] b»ng c¸ch tÝnh F(x) = ∫ f ( x ) d x råi thÕ cËn tÝch ph©n. ∫0 ( x ) π 1 2 + 3 d x , b) ∫0 2 cos xd x . VÝ dô 5.2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) ∫0 ( x ) 1 2 + 3 d x . Hµm f(x)= x2+ 3 x¸c ®Þnh, liªn tôc trªn [0;1]vµ cã mét nguyªn Gi¶i. a) 13 x + 3x trªn [0;1]. hµm lµ F(x) = 3 ¸p dông ®Þnh lý 5.4 ta cã: ∫0 ( x ) 1 1 4 1 2 + 3 d x = ( 13 + 3.1) − ( 03 + 3.0) = . 3 3 3 π cos xd x .Hµm f(x) = cosx x¸c ®Þnh, liªn tôc trªn [0; π 2 ]vµ cã mét nguyªn hµm b) ∫ 2 0 lµ F(x) = sin x trªn [0; π 2 ]. ¸p dông ®Þnh lý 5.4 ta cã: π π ∫0 2 cos xd x = sin 2 −sin 0 =1. 5.4. ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh Còng gièng nh tÝch ph©n bÊt ®Þnh, chóng ta ® a ra hai ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh: Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè vµ ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. 9
5.4.1. Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè b ∫a f ( x ) d x (x ∈ [a; b]). Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n NÕu ®Æt x = ϕ (t) trong ®ã ϕ (t) t¨ng (hoÆc gi¶m), kh¶ vi trªn [α; β], ϕ ′ (t) liªn tôc trªn [α; β]; cã miÒn gi¸ trÞ [a; b]; vµ ϕ ′ (t) ≠ 0 (∀ t ∈ (α; β)). Th×: β b f ( x ) d x = ∫ f ϕ ( t ) ϕ′ ( t ) d t . ∫a   α (c«ng thøc nµy gäi lµ c«ng thøc ®æi biÕn sè tÝnh tÝch ph©n). Còng nh víi tÝch ph©n bÊt ®Þnh, nhiÒu tr êng hîp ®Æt t = ϕ (x) th× bµi to¸n chë nªn ®¬n gi¶n h¬n nhng cÇn lu ý r»ng khi ®æi biÕn sè ph¶i ®æi cËn lÊy tÝch ph©n. VÝ dô 5.3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 3x d x π dx 2 3 2 ∫0 c) ∫0 2 ∫0 d) ∫0 x 2 4 − x 2 d x . 9 − x2dx , a) , b) , 2 cos x + 3 4x + 1 3x d x 3x 2 x¸c ®Þnh vµ liªn tôc khi x > − 14 . Do ∫0 Gi¶i. a) . Hµm f(x) = 4x + 1 4x + 1 ®ã, nã liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn [0; 2]. 4x + 1 = ϕ (x). Th× ϕ (x) lµ hµm x¸c ®Þnh, t¨ng, kh¶ vi trªn [0;2], cã §Æt t = 2 ≠ 0 vµ lµ hµm liªn tôc trªn (0;2). miÒn gi¸ trÞ [1;3]; ϕ′ (x) = 4x + 1 t3 3 t 3 5 ( ) 2 3xd x 13 2 t2 −1 td t . ⇒∫0 = ∫ t −1 dt = − =. ⇒x = ,d x = 4x + 1 8 1 24 1 8 1 6 4 2 3 ∫0 9 − x2d x . b) 9 − x 2 x¸c ®Þnh vµ liªn tôc khi x ∈[−3; 3]. Do ®ã, nã liªn tôc vµ Hµm f(x) = kh¶ tÝch trªn [0; 3]. 10
 π §Æt x = 3sint = ϕ (t) víi t ∈  0;  .  2  π Th× ϕ (t) lµ hµm x¸c ®Þnh, t¨ng, kh¶ vi trªn  0;  , cã miÒn gi¸ trÞ [0;3]; ϕ′  2  π (t) = 3cost ≠ 0 vµ lµ hµm liªn tôc trªn  0; ÷.  2 π 3 ⇒ t 2. ⇒ dx = 3costdt; x 1 0 9π π 9π 9 π2 9 π 3 ( 1 + cos 2t ) d t = t 2 + sin 2t 2 = . ⇒ ∫0 9 − x 2 d x = 9∫ ∫0 cos 2td t = 2 2 204 4 0 0 1 π dx c) ∫0 2 . V× 2cosx + 3 ≤ 1 (∀ x ∈(−∞;+∞ )) nªn hµm f(x) = x¸c 2 cos x + 3 2 cos x + 3  π ®Þnh vµ liªn tôc khi x ∈  0;  . Do ®ã, nã liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn [0; 3]. §Æt t = tg  2  π  π x = ϕ (x) víi x ∈  0;  . Th× ϕ (x) lµ hµm x¸c ®Þnh, t¨ng, kh¶ vi trªn  0;  , cã  2  2 2 1  π ≠0 vµ lµ hµm liªn tôc trªn  0; ÷. miÒn gi¸ trÞ [0;1]; ϕ′ (x) = ⇒x = x 2 cos  2 2 2d t 2arctgt ⇒ dx = . 1+ t2 x1 2 π 1 2d t 2 1 dx ⇒∫0 =∫ = = 2 arctg arctg . 2 cos x + 3 0 5 + t 2 50 5 5 5 2 d) ∫0 x 2 4 − x 2 d x . 11
Hµm f(x) = x2 4 − x 2 x¸c ®Þnh vµ liªn tôc khi x ∈[−2; 2]. Do ®ã, nã liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn [0; 2].  π §Æt x = 2sint = ϕ (t) víi t ∈  0;  .  2  π Th× ϕ (t) lµ hµm x¸c ®Þnh, t¨ng, kh¶ vi trªn  0;  , cã miÒn gi¸ trÞ [0;2]; ϕ′  2  π (t) = 2cost ≠ 0 vµ lµ hµm liªn tôc trªn  0; ÷. ⇒ dx = 3costdt.  2 π ( 1 − cos 4t ) d t =  2t − 1 π π 2 ⇒ ∫0 x 2 4 − x 2 d x = 4∫ sin 2 2td t = 2∫ si 4t ÷ 2 = π . 2 2  2  0 0 0 VÝ dô 5.4 Cho c¸c h»ng sè a vµ b tho¶ n·m ®iÒu kiÖn: a > 0; 0 < b ≠ 1; hµm u(x) kh¶ tÝch vµ lµ hµm ch½n trªn [−a; a]. Chøng minh r»ng: u ( x) a a dx = ∫ u ( x ) dx . ∫− a 1 + b x 0 x 2d x 1 ∫−1 1 + ex . ¸p dông: TÝnh 1 V× 0 < b ≠ 1 nªn lµ hµm liªn tôc trªn [−a; a]. Vµ v× u(x) kh¶ Gi¶i. 1+ bx u ( x) tÝch trªn [−a; a], nªn f ( x ) = kh¶ tÝch trªn [−a; a]. 1+ bx −a bt a 1 ⇒t = ; §Æt t = − x ⇒ dx = −dt; x . a 1 + b −t 1 + bt −a V× u(x) lµ hµm ch½n trªn [−a; a], nªn u(−t) = u(t) (∀ t ∈ [−a; a]). u ( x) b t u ( −t ) btu ( t ) b xu ( x ) −a a a a VËy : I = ∫ d x = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx . bx 1 + bt 1 + bt 1+ bx −a 1 + −a −a a 12
u ( x) b xu ( x ) 0 a a a a dx = ∫ u ( x) dx = ∫ u ( x ) dx + ∫ u ( x) dx . ∫− a 1 + b x d x + ∫− a ⇒ 2I = x 1+ b −a −a 0 0 0 ⇒ y ; u(−y) = u(y) (∀y ∈ [−a; a]). y = − x ⇒ dx = −dy; x §Æt −a a 0 a a a a ⇒ 2I = − ∫a u ( − y ) d y + ∫0 u ( x ) d x = ∫0 u ( y ) d y + ∫0 u ( x ) d x = 2∫0 u ( x ) d x . a ∫0 u ( x ) d x .(®pcm) ⇒I = ¸p dông. Víi a = 1; b = e; u(x) = x2 tho¶ m·n gi¶ thiÕt cña vÝ dô 5.4. ¸p dông kÕt qu¶ trªn ta ®îc: x 2d x 111 1 1 ∫−1 1 + ex 0 = ∫ x 2d x = x 3 = . 303 VÝ dô 5.5 Cho h»ng sè a > 0; hµm f(x) kh¶ tÝch vµ lµ hµm lÎ trªn [−a; a]. Chøng a ∫−a f ( x ) d x = 0 . minh r»ng: x5 1 ∫−1 1 + x 2 d x . ¸p dông: TÝnh 0 0 ⇒ y . V× f(x) liªn tôc trªn [−a;a] vµ lÎ trªn [−a; Gi¶i. §Æt y = − x ⇒ dx = −dy; x −a a [−a;a] f(−y) − (∀y∈ [−a;a]). a] nªn kh¶ tÝch trªn vµ = f(y) 0 0 a a a ⇒ ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( − y ) d y + ∫ f ( x ) d x −a −a 0 0 a a a = − ∫ f ( y ) d y + ∫ f ( x ) d x = 0. 0 0 13
x5 ¸p dông. Hµm f ( x ) = liªn tôc, do ®ã kh¶ tÝch vµ lµ hµm lÎ trªn [ −1; 1+ x2 a ∫−a f ( x ) d x = 0 . 1]. ¸p dông kÕt qu¶ võa chøng minh ta cã: 5.4.2. Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. NÕu c¸c hµm u(x), v(x) kh¶ vi trªn [a; b] th×: d[u(x)v(x)] = u′ (x)v(x)dx + u (x)v′ (x)dx b b b ⇒∫a u ( x ) v′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′( x ) v ( x ) d x . aa (C«ng thøc nµy ®îc gäi lµ c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn ®èi víi TPX§). VÝ dô 5.6 TÝnh c¸c tÝch ph©n sau (m lµ h»ng sè ≠ 0): 2x 1 xe x π d x , d) ∫0 e ∫1 ( 2x − 1) ln xd x , 3 ∫1 arcsin dx ∫0 2 x sin m xd x , a) b) c) ( x + 2) 2 x +1 . e ∫1 ( 2x − 1) ln xd x . Hµm f(x) = (2x −1)ln x liªn tôc khi x ∈[1; e]. Do ®ã, nã Gi¶i. a) kh¶ tÝch trªn [1; e]. C¸c hµm u(x) = ln x, v(x) = x2 −x lµ c¸c hµm kh¶ vi 1 u = ln x ⇒ u′ = ; v′ = (2x −1) ⇒ v = x2 −x. trªn [1; e]. x e ( ) e e ⇒∫1 ( 2x − 1) ln xd x = x − x ln x − ∫ ( x − 1) d x = 2 11 e  x2  e e2 + 1 ( ) 2 x − x ln x −  − x÷ = . 1 2 1 2  14
π π ∫0 b) x sin m xd x . Hµm f(x) = x sin mx x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn [0; ]. Do ®ã, nã 2 2 π liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn [0; ]. 2 π 1 C¸c hµm u(x) = x, v(x) = − cos mx lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn [0; ]. m 2 1 u = x, v′ = sin mx ⇒ u′ = 1, v = − cos mx. m π 1 1 π π ⇒∫0 ∫0 2 cos m xd x = x sin m xd x = − x cos m x 2 + 2 m 0m π π π mπ mπ 1 1 1 x cos m x 2 + 2 sin m x 2 = − − + 2 sin cos . 2m 2 2 m 0m m 0 x x 3 ∫1 arcsin d x . Hµm f(x) = arcsin c) liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn [1;3]. x +1 x +1 x C¸c hµm u(x) = arcsin , v(x) = x lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn [1; 3]. x +1 1 x , v′ (x) = 1 ⇒ u′ = u(x) = arcsin , v(x) = x. 2 x (1+ x) x +1 x33 x xd x 3 ∫1 −∫ d x = x arcsin arcsin ⇒ x + 1 1 1 2 x (1+ x) x +1 2 + 3 d x − 3 dx 3 ∫1 1 + x 2 ∫1 2 x − arcsin = 3 arcsin 2 2 3π 3π 3 − x + arctg x = + 1 − 3 + arcsin 3 . = 4 1 12 15
x 2e x x 2ex 1 d) ∫0 d x . Hµm f(x) = x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn [0;1]. Do ®ã, nã liªn ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 tôc vµ kh¶ tÝch trªn [0;1]. 1 C¸c hµm u(x) = x2ex, v(x) = − lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn [0;1]. x+2 1 1 u(x) = x2ex , v′ (x) = ⇒ u′ (x) = xex(x+2), v(x) = − . ( x + 2) 2 x+2 ⇒. 5.5. TÝch ph©n suy réng b ∫a f ( x ) d x Trong nh÷ng phÇn tríc, chóng ta míi tÝnh ®îc khi a, b lµ c¸c h»ng sè h÷u h¹n; f(x) lµ hµm liªn tôc trªn [a; b] hoÆc lµ hµm liªn tôc trªn [a; b] trõ ra mét sè h÷u h¹n c¸c ®iÓm mµ t¹i ®ã hµm f(x) gi¸n ®o¹n lo¹i 1. Trong c¸c tr êng hîp: cã Ýt nhÊt mét trong c¸c sè a vµ b lµ sè v« h¹n; f(x) lµ hµm kh«ng tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn b ∫a f ( x ) d x ®· nªu ë trªn, th× chóng ta ch a tÝnh ®îc (nh÷ng tÝch ph©n lo¹i nµy ® îc gäi lµ tÝch ph©n suy réng). Trong phÇn nµy, chóng ta sÏ ® a ra ph¬ng ph¸p tÝnh mét sè lo¹i tÝch ph©n suy réng vµ lu«n gi¶ thiÕt r»ng a , b lµ c¸c sè h÷u h¹n. 5.5.1. C¸c tÝch ph©n suy réng c¬ b¶n. 1.TÝch ph©n suy réng c¬ b¶n lo¹i 1. Cho hµm f(x) liªn tôc trªn [a; + ∞ ). Víi mäi b (b > a), th× hµm f(x) liªn tôc do b ∫ f ( x ) d x .Th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ tÝch ®ã kh¶ tÝch trªn [a; b]. NÕu tån t¹i lim b →+∞ a 16
+∞ f ( x ) d x . VËy: ∫a ph©n lo¹i 1 suy réng cña hµm f(x) trªn [a; + ∞ ) vµ ký hiÖu lµ +∞ b ∫ f ( x) dx . f ( x ) d x = lim ∫a b →+∞ a +∞ f ( x ) d x ®îc ∫a NÕu giíi h¹n trªn tån t¹i vµ h÷u h¹n th× tÝch ph©n suy réng gäi lµ héi tô. Trong trêng hîp ngîc l¹i th× ®îc gäi lµ ph©n kú. dx +∞ ∫1 VÝ dô 5.7. TÝnh: . 1+ x2 1 liªn tôc trªn [1; + ∞ ); Gi¶i. Ta cã: Hµm f(x) = 1+ x2 π dx = lim ( arctgb − arctg1) = . b ∫ lim b →+∞ 1 1 + x 2 4 b →+∞ π dx b dx +∞ = lim ( arctgb − arctga ) = . ⇒∫1 = lim ∫1 1 + x 2 b →+∞ 1 + x 2 b →+∞ 4 Hay tÝch ph©n suy réng trªn héi tô. 2. TÝch ph©n suy réng c¬ b¶n lo¹i 2. Cho hµm f(x) liªn tôc trªn (−∞; b]. Víi mäi a (a < b), th× hµm f(x) liªn tôc do ®ã b ∫ f ( x ) d x . Th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ tÝch kh¶ tÝch trªn [a; b]. NÕu tån t¹i lim a →−∞ a b ∫−∞ f ( x ) d x . VËy: ph©n suy réng lo¹i 2 cña hµm f(x) trªn (−∞; b] vµ ký hiÖu lµ b ∫ f ( x) dx . b ∫−∞ f ( x ) d x = lim a →−∞ a b ∫−∞ f ( x ) d x NÕu giíi h¹n trªn tån t¹i vµ h÷u h¹n th× tÝch ph©n suy réng ®îc gäi lµ héi tô. Trong trêng hîp ngîc l¹i th× ®îc gäi lµ ph©n kú. dx −1 ∫−∞ x 3 . VÝ dô 5.8. TÝnh: 17
1 liªn tôc trªn (−∞;−1]; Gi¶i. Ta cã: Hµm f(x) = x3 1 1 1 −1 d x ∫ = lim  − 2 ÷ = . lim x 3 a →−∞  2 2a  2 a →−∞ a −1 dx 1 dx −1 ⇒∫−∞ = lim ∫a 3 = . Hay tÝch ph©n suy réng trªn héi tô. 3 2 x x a→−∞ 3. TÝch ph©n suy réng c¬ b¶n lo¹i 3. Cho hµm f(x) liªn tôc trªn (a; b] vµ f(x) gi¸n ®o¹n v« h¹n bªn ph¶i t¹i a (nghÜa lµ xlim+ f ( x ) = +∞ ). Víi mäi ε > 0 (®ñ nhá ®Ó a < a+ ε < b) th× hµm f(x) liªn tôc do →a b ®ã kh¶ tÝch trªn (a+ ε ; b]. NÕu tån t¹i lim+ ∫a +ε f ( x ) d x . Th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi ε→0 b ∫a f ( x ) d x . VËy: lµ tÝch ph©n suy réng lo¹i 3 cña hµm f(x) trªn [a; b] vµ ký hiÖu lµ b f ( x ) d x = lim+ ∫a +ε f ( x ) d x . b ∫a ε→ 0 b ∫a f ( x ) d x NÕu giíi h¹n trªn tån t¹i vµ h÷u h¹n th× tÝch ph©n suy réng ®îc gäi lµ héi tô. Trong trêng hîp ngîc l¹i th× ®îc gäi lµ ph©n kú. dx 0 ∫−1 VÝ dô 5.9. TÝnh: . 1− x2 1 1 = +∞ . Víi mäi ε > 0 liªn tôc trªn (−1; 0] vµ lim + Hµm f(x) = 1− x2 2 1− x x →−1 (®ñ nhá ®Ó −1 < −1+ ε < b) th× hµm f(x) liªn tôc do ®ã kh¶ tÝch trªn (−1+ ε ; b]. π dx 0 = lim+  arcsin 0 − arcsin ( −1 + ε )  = . lim+ ∫  2 −1+ε 1 − x 2 ε→ 0 ε→ 0 18
π dx 0 ∫−1 = VËy . Hay tÝch ph©n suy réng trªn héi tô. 2 1− x2 19
4. TÝch ph©n suy réng c¬ b¶n lo¹i 4. Cho hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b) vµ f(x) gi¸n ®o¹n v« h¹n bªn tr¸i t¹i b (nghÜa lµ lim f ( x ) = +∞ ). Víi mäi ε > 0 (®ñ nhá ®Ó a < b−ε < b) th× hµm f(x) liªn tôc do ®ã x →b− b −ε f ( x ) d x . Th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ kh¶ tÝch trªn [a ; b−ε]. NÕu tån t¹i lim+ ∫a ε→0 b ∫a f ( x ) d x . VËy: tÝch ph©n suy réng lo¹i 4 cña hµm f(x) trªn [a; b] vµ ký hiÖu lµ b −ε f ( x ) dx . b f ( x ) d x = lim+ ∫a ∫a ε→ 0 b ∫a f ( x ) d x NÕu giíi h¹n trªn tån t¹i vµ h÷u h¹n th× tÝch ph©n suy réng ®îc gäi lµ héi tô. Trong trêng hîp ngîc l¹i th× ®îc gäi lµ ph©n kú. 1 1 dx 0 ∫−1 x . Hµm f(x) = liªn tôc trªn [−1; 0) vµ lim− = +∞ . Víi VÝ dô 5.10. TÝnh: x →0 x x mäi ε > 0 (®ñ nhá ®Ó −1 < 0−ε < 0) th× hµm f(x) liªn tôc do ®ã kh¶ tÝch trªn [−1; 0−ε dx 0−ε ]. Ta cã: lim+ ∫−1 = lim+  ln 0 − ε − ln −1  = +∞ .   x ε→ 0 ε→ 0 dx 0−ε d x 0 ∫−1 = lim+ ∫−1 = lim+  ln 0 − ε − ln −1  = +∞ . ⇒   x x ε→ 0 ε→ 0 Hay tÝch ph©n suy réng trªn ph©n kú. Chó ý 5.2. (i) NÕu hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] trõ mét sè h÷u h¹n ®iÓm b ∫a f ( x ) d x gi¸n ®o¹n lo¹i 1. Th× quy íc tÝnh nh tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh. (ii) Khi tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, mµ sau khi ®æi biÕn ta ®îc mét tÝch ph©n suy réng . Th× tÝnh tÝch ph©n míi theo tÝch ph©n suy réng. 5.5.2. TÝch ph©n suy réng. 20