Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
27
Chương 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
VÀ TÍCH PHÂN
NUMERICAL DIFFERENTIATION
AND INTEGRATION
3.1 Tính gần đúng đạo hàm
+ Ta biểu diễn hàm f(x) bằng đa thức nội suy: f(x) = P(x), với P(x) là đa thức
nội suy (đa thức nội suy tiện lợi là spline bậc 3); Tiếp theo ta tính gần đúng đạo hàm f ’(x)
ở đa thức này:
f’(x) = P’(x)
+ Ta cũng có thể áp dụng khai triển Taylor:
f(x + h) = f(x) + h f’(x) +
!
2
2
hf”(c), với c = x + h, 0 < < 1.
Từ đó ta tính được: f’(x)
h
)x(f)hx(f
3.2 Tính gần đúng tích phân xác định
3.2.1 Công thức hình thang:
Trong từng khoảng chia (i,i+1), đường cong Mi, Mi+1 được xấp xỉ thành đường
thẳng.
Đối với tích phân thứ (i + 1), ta có:
1i
i
x
x
1ii
2
yy
hdx)x(f
Với xi = a + ih, h = n
ab
,
i = 1, 2, . . . . . , n; a = x0 , b = xn
I=
n
1n
2
1
1
0
x
x
x
x
b
a
x
x
dx)x(f........dx)x(fdx)x(fdx)x(f (3.1)
y
x
x
1
x
y
1
y
0
A
B
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
28
1n21
n0
T
n1n2110T
y.......yy
2
yy
hI
)yy(.......)yy(yy
2
h
I
(3.2)
Sai số: I - IT )ab(h
12
M2, với M = max f”(x), a x b
Ví dụ: Dùng công thức hình thang tổng quát với n=10 để tính gần đúng:
I =
1
01
dx
x
Đánh giá những sai số của những giá trị gần đúng nhận được.
Giải:
Ta có: h=
1 0
10
=0,1
Kết quả tính toán trong bảng sau:
i
x
i
y
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,00000
0,90909
0,83333
0,76923
0,71429
0,66667
0,62500
0,58824
0,55556
0,52632
0,50000
6,18773
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
29
Theo công thức hình thang tổng quát ta có:
I
0,1(
1,0000 0,50000
2
+0,90909+0,83333+0,76923+0,71429+0,66667+
0,62500+0,58824+0,55556+0,52632) =0,69377.
Sai số R được xác định như sau:
T
I I
= 2
( )
12
M
h b a
(3.3)
Với M = max
''
x
f
0<x<1
f(x) =
1
1
x
=(1+x)-1
'
( )
f x
= -(1+x)-2
''
( )
f x
= (-1)(-2)(1+x)-3=
3
2
(1 )
x
Trong (0,1) M = max
''
x
f
=2
2
2.(0,1)
(1 0) 0,00167
12
R (3.4)
3.2.2 Công thức Simpson
Bây giờ cứ mỗi đoạn cong Mi, Mi+1 được xấp xỉ bằng đường cong bậc hai, đi qua ba
giá trị yi, yi+1 và giá trị y tại x = (xi + xi+1)/2, có nghĩa chia [a,b] thành 2n đoạn bằng
nhau, bởi các điểm chia xi:
a = x0 < x1 < x2 < ...< x2n =b, nghĩa là: xi = a +ih
Với h = (b – a)/2n, với: i = 0, 1,2,….,2n
Dùng đa thức nội suy bậc 2 xấp xỉ theo Newton, ta có công thức tính gần đúng tích
phân theo Simpson:
(3.5)
)4(
3
)( 210
2
0
yyy
h
dxxf
x
x
(3.6)
dty
tt
ytyhdxxpdxxf
x
x
x
x
)
2
)1(
()()( 0
2
0
2
0
02
2
0
2
0
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
30
Tổng quát :
(3.7)
Vậy:
(3.8)
Sai số:
(3.9)
Với: M = max fiv(x) , a x b.
Ví dụ: Dùng công thức Simpson tổng quát với n=10 để tính gần đúng:
I =
1
01
dx
x
Đánh giá những sai số của những giá trị gần đúng nhận được.
3.2.3 Công thức của Gauss
3.2.3.1 Liên hệ giữa các hệ toạ độ tổng thể và hệ toạ độ địa phương
Trong nhiều trường hợp ta cần tính tích phân số với độ chính xác rất cao, như trong
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), miền tính toán được chia nhỏ thành nhiều miền
con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng trên các miền con này. Do đó dẫn đến tích
phân hàm dạng trên miền con.
Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể (x,y,z, global
coordinate) thì thông thường sẽ xuất hiện các biểu thức đại số rất phức tạp khi phần tử là
hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980).
Thay vào đó nếu chúng ta thực hiện chúng trong hệ toạ độ địa phương (,,, local
coordinate) hay còn gọi là toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên (normal coordinate hay
natural coordinate) thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều Taig, 1961; bởi lẽ nó thuận lợi trong
việc xây dựng hàm nội suy, tích phân số dùng được cách thiết lập của Gauss-Legendre
(phổ biến nhất).
3
1
332211
i
ii xNxNxNxNx
)4(
3
)( 22122
22
2
iii
x
x
yyy
h
dxxf
i
i
)]...(2)...(4)[(
3
)]4(....)4()4[(
3
)(
2242123120
21222432210
nnn
nnn
b
a
yyyyyyyy
h
I
yyyyyyyyy
h
dxxf
)(
180
4
ab
h
MII S
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
31
Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta có thể viết công thức biến đổi toạ độ
cho phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút như sau:
Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút:
Ở đây Ni, Nj là hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy (shape function hay interpolation
function).
Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:
y
x
J
y
x
yx
yx
(3.12)
Hay:
1
J
y
x (3.13)
Ở đây J là ma trận Jacobian biến đổi toạ độ. Định thức của ma trận này, det J,
cũng phải được ước lượng bởi lẽ nó được dùng trong các tích phân biến đổi như sau:
+ Cho phần tử tứ giác tuyến tính:
3
1
332211 (3.11)
j
jj yNyNyNyNy
)10.3(
44332211
4
1
xNxNxNxNxNy
j
jj
y
xi e
v
x
1 2
3
0,1
1,0
r
v
0,0
k
j
i
x
3
x2
x1
Phần tử chiếu
Xk
Xj
Phần tử thực
e
Hình 3.1
: Bi
ểu thị phần tử chiếu V
r
vào ph
ần tử thực V
e