CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
T r ầ n Nam Dũng
Nguyên lý cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
T r ị n h Đào Chiến, Lê Tiến Dũng
Một số dạng tổng quát của phương trình hàm P e x i d e r v à áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lê Sáng
Xây dựng một lớp phương trình hàm nhờ các hằng đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . .. . . 24
Lê Thị Anh Đoan
Tính ổn định nghiệm của một số phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
T r ầ n Viết Tường
Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởiphi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Lê Sáng, Nguyễn Đinh Huy
Từ công thức Euler đến bài toán số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Nguyễn Thị Tình
Một số ứng dụng của phương trình P e l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Huỳnh Bá Lộc
Phép thế lượng giác là công cụ giải toán trong các bài thi c h ọ n học sinh giỏi . . . . . . . . . . 79
Nguyễn T r u n g Hưng
Sử dụng v à n h các số nguyên để giải một số bài toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Phạm Thị Thúy Hồng
Nội suy theo y ế u tố hình học của đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Lê Sáng, V ũ Đức Thạch Sơn
Bất biến như là một phương pháp c h ứ n g minh v à ứng dụng trong giải toán . . . . . . . . . . . 108
1
Lê Thị Thanh Hằng
Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
T r ư ơ n g V ă n Điềm
V ậ n dụng tính đơn điệu trong các bài toán tìm giới hạn dãy số v à giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Huỳnh T ấ n Châu
Ứng dụng một số định lý cơ bản của giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Lê V ă n Thẩn
Một số phương pháp giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Huỳnh Kim Linh, T ô Hùng Khanh
Một số bài toán v ề đa thức trong các kì thi học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Nguyễn V ă n Ngọc
Một số bài toán v ề c h i a hết đối v ớ i các đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Huỳnh Duy Thủy
Nét đẹp hàm số tiềm ẩn trong bài toán bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất v à
giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Nguyễn T à i Chung
Thêm một phương pháp mới để c h ứ n g minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
T ố Nguyên
Một số v ấ n đề v ề phép nghịch đảo trong mặt phẳng v à ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
T r ầ n V ă n T r u n g
Sử dụng một số tính c h ấ t của ánh xạ để giải bài toán phương trình hàm số. . . . . . . . . . . . 235
Nguyễn Hữu T â m - Hoàng T ố Quyên
Tứ giác lưỡng tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
2
Lời nói đ ầ u
Hòa nhịp v ớ i tuổi trẻ cả nước hoạt động sôi nổi kỉ niệm ngày thành lập Đoàn thanh niên
Cộng sản Hồ Chí Minh v à thi đua lập thành tích c h à o mừng ngày sinh của Bác Hồ kính y ê u ,
tiến tới kỉ niệm 37 năm ngày giải phóng Nha T r a n g v à thực hiện các c h ư ơ n g trình đổi mới giáo
dục phổ thông, Sở Giáo Dục v à Đào tạo Khánh Hòa phối hợp v ớ i Hội T o á n học Hà Nội đồng
tổ c h ứ c Hội thảo khoa học Các c h u y ê n đề T o á n học bồidưỡng học sinh giỏi THPT khu vực
Duyên hải Nam T r u n g bộv à T â y nguyên.
Đây là hội thảo lần thứ hai theo tinh thần cam k ế t của các tỉnh duyên hải Nam T r u n g bộ
v à T â y Nguyên v ề việc hợp tác để phát triển kinh tế - v ă n hóa v à xã hội. Sở Giáo dục v à Đào
tạo Phú Y ê n đã tiến hành tổ c h ứ c Hội thảo lần thứ nhất v à o ngày 18-19/4/2011 tại thành phố
T u y Hòa v ề liên k ế t bồidưỡng học sinh giỏi v à bồidưỡng học sinh giỏi môn toán trường T r u n g
học phổ thông Chuyên các tỉnh duyên hải Nam T r u n g Bộ v à T â y Nguyên. T ạ i Hội thảo lần thứ
nhất đã thống nhất giao c h o Sở Giáo dục v à đào tạo Khánh Hòa tổ c h ứ c Hội thảo lần thứ hai.
Đây là nét sinh hoạt truyền thống mới v ề sinh hoạt c h u y ê n môn, v ề giao lưu hợp tác trong giáo
dục, đào tạo v à các sinh hoạt học thuật khác. V à thực tế, giờ đây, tại vùng duyên hải Nam
T r u n g bộv à T â y Nguyên này đã xuất hiện ngày càng nhiều nét thành tích nổi bật, đã có học
sinh đạt giải toán Olympic quốc tế. Năm nay, nhiều đội tuyển đạt giải cao trong kỳ thi học sinh
giỏi quốc gia. Các tỉnh Đắk Lắc, Phú Y ê n đã mạnh dạn cử đội tuyển tham dự kỳ thi Olympic
Hà Nội mở rộng bằng tiếng Anh v à đã đạt giải cao.
Khu vực Duyên hải Nam T r u n g bộv à T â y nguyên giờ đây đã thực sự khởi sắc, tạo tiền đề
để vươn lên tầm cao mới, c h ủ động hội nhập, sánh v a i ngang bằng v ớ i các khu vực khác trong
cả nước.
Hội thảo khoa học lần này được tiến hành từ 14-15/4/2012 tại thành phố Nha T r a n g , Khánh
Hòa hân hạnh được đón tiếp nhiều nhà khoa học, nhà giáo lão thành, các nhà quản lý, các c h u y ê n
gia giáo dục v à các nhà toán học báo cáo tại các phiên toàn thể v à các cán bộc h ỉ đạo c h u y ê n
môn từ các sở Giáo dục v à Đào tạo, các thầy giáo, cô giáo bộmôn T o á n các tỉnh, thành khu
vực Duyên hải Nam T r u n g bộv à T â y nguyên đang trực tiếp bồidưỡng học sinh giỏi môn T o á n
báo cáo tại các phiên c h u y ê n đề của hội thảo.
3
Ban tổ c h ứ c đã nhận được trên 30 báo cáo toàn v ă n gửi tới hội thảo. Song do khuôn khổ
rất hạn hẹp v ề thời gian, khâu c h ế bản v à thời lượng của cuốn kỷ y ế u , c h ú n g tôi c h ỉ có thể đưa
v à o kỷ y ế u được 22 bài, những bài còn lại sẽ được c h ế bản để gửi quý đại biểu khi thực hiện
c h ư ơ n g trình báo cáo c h u y ê n đề c h í n h thức của hội thảo.
Nội dung của kỷ y ế u lần này rất phong phú, bao gồm hầu hết các c h u y ê n đề phục vụ việc
bồidưỡng học sinh giỏi toán từ đại số, giải tích, hình học, số học đến các dạng toán liên quan
khác. Bạn đọc có thể tìm thấy ở đây nhiều dạng toán từ các kỳ olympic trong nước v à quốc tế,
một số dạng toán v ề hàm số, lý thuyết nội suy, cực trị, ...
Ban tổ c h ứ c xin c h â n thành cảm ơn sự hợp tác v à giúp đỡ hết sức quý báu của quý thầy
giáo, cô giáo v à đặc biệt là toàn thể tổ toán của trường THPT c h u y ê n Lê Quý Đôn Nha T r a n g ,
Khánh Hòa để có được cuốn kỷ y ế u v ớ i nội dung thiết thực v à rất phong phú này.
Vì thời gian c h u ẩ n bị rất gấp gáp, nên các khâu hiệu đính v à c h ế bản cuốn kỷ y ế u c h ư a
được đầy đủ, c h i tiết, c h ắ c c h ắ n còn c h ứ a nhiều khiếm khuyết. Rất mong được sự cảm thông
c h i a sẻ của quý đại biểu. Những ý kiến đóng góp liên quan đến cuốn kỷ y ế u này xin gửi v ề
địa c h ỉ : T r ư ờ n g THPT Chuyên Lê Quý Đôn, số 67 Y e r s i n , Nha T r a n g , Khánh Hòa. Email:
c3lqdon@khanhhoa.edu.vn.
Xin trân trọng cảm ơn.
Nha T r a n g ngày 25.03.2012
Nguyễn V ă n Mậu
Chủ tịch Hội T o á n học Hà Nội
Đồng trưởng ban tổ c h ứ c hội thảo
4