CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G U Y N DUY K HÔ I
Trưn g T H P T N a m H à – B i ê n H òa – ðng Nai
Trang 1
LI NÓI ðU
Ngày nay phép tính vi tích phân chim m t v trí ht sc qu an trng trong Toán hc,
tích phân ñư c ng dng rn g r ã i n h ư ñ tính d in tích hình phng, th tích khi tròn xoay,
nó còn là ñ i tưng nghiên cu ca gii tích, là nn tng cho lý thuyt hàm, lý thuyt
phươn g t r ì n h v i p h â n , p h ươn g t r ì n h ñ o hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñưc
ng dn g r ng rãi trong Xác sut, Thng kê, Vt lý, Cơ hc, T hiên văn h c, y hc...
Phép tính tích phân ñưc b t ñu gii thiu cho các em hc sinh l p 12, tip theo
ñưc ph bin trong tt c các t rưn g ði hc cho khi sinh viên năm t h nht và năm t h
hai trong chương trình hc ð i cươn g . H ơn na trong các kỳ t h i T t nghip THPT và kỳ
thi Tuyn sinh ði hc phép tính tích phân hu như luôn có trong các ñ thi môn Toán ca
khi A, khi B và c khi D. Bên cnh ñó, phép tính tích phân cũng là mt trong nhng
ni dung ñ thi tu yn sinh ñu v à o h Th c sĩ và nghiên cu sinh.
Vi tm q u a n t r ng ca phép tính tích phân, chính vì th mà tôi vit mt s kinh
nghim g i ng dy t í n h t í c h p h â n c a khi 12 vi chuyên ñ
“TÍNH TÍCH PHÂN
BNG P HƯƠN G P H Á P P H Â N T Í C H - ðI BIN S VÀ TN G PH N”
ñ
phn nào cn g c , nâng cao cho các em hc sinh khi 12 ñ các em ñt kt qu cao trong
kỳ thi Tt nghip THPT và kỳ thi Tuyn sinh ði hc và giúp cho các em có nn tn g
trong nhn g n ăm h c ði cươn g c a ði hc.
Trong phn ni dung chuyên ñ dưi ñây, tôi xin ñưc nêu ra mt s bài tp minh
ha cơ bn tính tích phân ch yu áp dng phương pháp phân tích, phươn g p h á p ñi bin s,
phươn g p h á p t í c h p h â n t !ng phn. Các bài tp ñ n gh là các ñ thi Tt nghip THPT và ñ
thi tuyn sinh ði hc Cao ñn g c a các n ăm ñ các em hc sinh rèn luyn k" n ăng tính tích
phân và phn c u i ca chuyên ñ là mt s c â u h #i trc nghim t í c h p h â n .
T u y n h i ê n v i kinh nghim c ò n h n ch nên dù có nhiu c gng nhưng khi trình bày
chu yê n ñ n ày s$ không tránh kh#i nhng thiu sót, rt mong ñư c s% góp ý chân tình ca
quý Thy C ô t r o n g H i ñ&ng b môn Toán S Giáo dc v à ðào t o t 'nh ð&ng Nai. Nhân dp
này tôi xin cm ơn Ban lãnh ño nhà trưng to ñiu kin tt cho tôi và cm ơn quý thy c ô
trong t Toán trưn g N a m H à , c á c ñ&n g n g h i p , b n bè ñã ñó n g g ó p ý k i n cho tôi hoàn
thành chuyên ñ nà y. Tôi xin chân th ành cám ơn./.
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G U Y N DU Y K HÔ I
Trưn g T H P T N a m H à – B i ê n H òa – ðng Nai
Trang 2
MC LC
Li nói ñu 1
Mc l c 2
I. Nguyên hàm:
I.1. ðnh nghĩa n guyên hàm 3
I.2. ðnh lý 3
I.3. Các tính cht ca ngu yên hà m 3
I.4. Bng công thc ngu yên hàm và mt s công thc b sung 4
II. Tích phân:
II.1. ðnh nghĩa tích ph ân xác ñnh 5
II.2. Các tính cht ca tíc h phân 5
II.3 Tính tích phân b(ng phươn g p h á p p h â n t í c h 5
Bài tp ñ ngh 1 9
II.4 Tính tích phân b(ng phươn g p h á p ñ i bin s 10
II.4.1 Phương pháp ñi bin s l o i 1 10
ðnh lý v phương pháp ñi bin s loi 1 13
Mt s dng khác dùng phương pháp ñi bin s l o i 1 14
Bài tp ñ ngh s 2 14
Bài tp ñ ngh s 3 15
Bài tp ñ ngh s 4: Các ñ thi tu yn sinh ði hc Cao ñng 16
II.4.2 Phương pháp ñi bin s l o i 2 16
Bài tp ñ ngh s 5 21
Các ñ t hi Tt nghip trung hc ph thông 22
Các ñ t hi tu yn sinh ði hc Cao ñn g 22
II.5. Phương pháp tích phân t!ng phn 23
Bài tp ñ ngh s 6: Các ñ thi tu yn sinh ði hc Cao ñng 28
III. Kim t r a k t qu ca mt bài gii tính tích phân b(ng máy tính
CASIO fx570-MS 29
Bài tp ñ ngh s 7: Các câu h#i trc nghim t í c h p h â n 3 0
Ph l c 36
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G U Y N DU Y K HÔ I
Trưn g T H P T N a m H à – B i ê n H òa – ðng Nai
Trang 3
I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm s F(x) ñư c g i là nguyên hàm ca hàm s f(x) trên (a;b) nu v i mi
x∈(a;b):
F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm s F ( x ) = x
3
l à n g u y ê n h à m c a hàm s f(x) = 3x
2
t r ê n R
b) Hàm s F ( x ) = l n x l à n g u y ê n h à m c a hàm s f(x) =
1
x
trên (0;+∞)
I.2. ðNH LÝ:
Nu F(x) là mt nguyên hàm ca hà m s f(x) trên (a;b) thì:
a) V i mi h(ng s C , F ( x ) + C c ũn g l à mt nguyên hàm ca f (x) t rên k hon g ñó.
b) Ngưc li, mi nguyên hàm ca hàm s f(x) trên khon g ( a ; b ) ñu có th vit
dưi dng F(x) + C vi C là mt h(n g s .
Theo ñnh lý trên, ñ tìm tt c các nguyên hàm ca hàm s f(x) thì ch' cn tìm mt
nguyên hàm nào ñó c a nó r&i cng vào nó mt h( ng s C .
Tp h p các nguyên hàm ca hàm s f(x) gi là h nguyên hàm ca hàm s f(x) và
ñưc ký hiu:
∫
(hay còn gi là tích phân bt ñn h )
Vy :
∫
VD2: a) 2
2xdx= x + C
∫
b)
s i n x d x =- c o s x +C
∫
c) 2
1
d x =t g x + C
c o s x
∫
I.3. CÁC TÍNH CHT CA NGUYÊN HÀM:
1)
( )
∫
2)
(
)
≠
∫ ∫
3)
∫ ∫ ∫

4)
(
)
(
)
⇒
∫ ∫
VD3: a)
(
)
∫
b)
(
)
∫ ∫

CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G U Y N DU Y K HÔ I
Trưn g T H P T N a m H à – B i ê n H òa – ðng Nai
Trang 4
I.4. BNG CÔNG THC N G U Y Ê N H À M :
BNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CP THƯNG GP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S HP
( )
( )
( )
π
π
α
α
α ≠
α
≠
≠
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+1
x x
x
x
2
2
2
2
dx= x + C
x
xdx= + C ( -1)
+1
dx
=lnx + C (x 0)
x
edx= e + C
a
adx= +C 0 < a 1
lna
cosxdx=sinx+ C
sinxdx=-cosx+ C
dx
=1+tg xdx=tgx+ C (x k)
cosx2
dx =1+cotgxdx
si
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
x
/n
9
π
≠
∫ ∫
=-cotgx+C (x k)
( )
( )
π
π
α
α
α ≠
α
≠
≠
≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+ 1
u u
u
u
2
2
2
du=u+C
u
udu=+C (-1)
+1
du=ln u +C (u =u(x) 0)
u
edu= e +C
a
adu= +C 0 < a 1
lna
cosudu=sinu+C
sinudu= - cosu+C
du =1+tg udu=tgu+C(u k
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
)
cos u2
du =1+ c
sin u
( )
π
≠
∫ ∫
2
otg udu=-cotgu+C(u k)
CÁC CÔNG THC B SUNG
C Ô N G T H C NGUYÊN HÀM THƯNG GP:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
α
α
≠
≠
α
≠
≠
≠ ∈ ≠
≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
ax+b ax+b
kx
kx
1dx = 2 x + C (x 0)
x
ax+ b
1
ax+ b dx= + C (a 0)
a+1
11
dx=ln ax+ b + C (a 0)
ax+ b a
1
edx= e + C (a 0)
a
a
adx= + C 0 k R,0 < a 1
k.lna 1
cosax+b dx=sinax+b
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7
+ C (a 0)
a
1
sinax+b dx= -
/cos
a
( )
ππ
π
≠
≠ +
≠
∫
∫
∫
ax+ b + C (a 0)
tgxdx= -ln cosx+ C (x k )
2
cotgxdx=lnsinx+ C (
9/ x
/
k
8
)
CÁC CÔNG THC LŨY THA:
m n m+n
m
m-n -n
n n
1 n
nm
m
m m
a . a = a
a 1
= a ;
1/
2/
3/
= a
a a
a = a ; a = a
CÁC CÔNG THC LƯNG GIÁC:
a. CÔNG THC H BC:
( ) ( )
2 2
1 / 2
1 1
s i n x = 1 - c o s 2 x cos x = 1 + c o s 2 x
2 2
/
b. CÔNG THC BIN ðI TÍCH THÀNH TNG
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
c o s a . c o s b = c o s a-b+cosa+b
2
1
s i n a . s i n b = c o s a-b-cos a+b
2
1
s i n a . c o s b = s i n a-b+sina+b
2
1/
2/
3/
CHUYÊN ð:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G U Y N DU Y K HÔ I
Trưn g T H P T N a m H à – B i ê n H òa – ðng Nai
Trang 5
II. TÍCH PHÂN:
II.1. ð NH NGHĨA T Í C H P H Â N X Á C ðNH:
Gi s) hàm s f(x) liên tc trên mt khong K, a và b là hai ph*n t) bt kỳ c a K,
F(x) là mt nguyên hàm ca hàm s f(x) trên K. Hiu F(b) – F(a) ñư c gi là tích phân t!
a ñn b ca f(x ). Ký hiu :
∫
II.2. CÁC TÍNH CHT CA TÍCH PHÂN:
=
∫
= −
∫ ∫
= ≠
∫ ∫
± = ±
∫ ∫ ∫

= +
∫ ∫ ∫
vi c∈(a;b)
Nu
≥ ∀∈
thì
≥
∫
.
Nu
≥ ∀ ∈
thì ≥
∫ ∫
.
Nu
≤ ≤ ∀ ∈
!
thì
− ≤ ≤ −
∫
!
.
t bi n thiên trên ⇒=
∫
"
# "
là mt nguyên hàm ca
"
và
=
#
II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
Chú ý 1: ð tính tích phân =
∫
$ 
ta phân tích
= + +
Trong ñó :
≠ =
các hàm
=
có trong bng nguyên
hàm cơ bn.
VD4: Tính các tích phân sau: