ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
Ờ
Ầ
L I NÓI Đ U
́
ươ
ỷ
ộ ề
ạ ố
ị ủ
ề
ố
Ph
ng trình vô t
là m t đ tài ly thú v c a Đ i s , đã lôi cu n nhi u ng
ườ i
ứ
ư
ể
ờ
ả
ưở
nghiên c u say mê và t
ạ duy sáng t o đ tìm ra l
i gi
́ i hay, y t
ng phong phú và t
ố ư i u.
ượ
ứ ừ ấ
ư
ươ
ỷ
Tuy đã đ
c nghiên c u t
r t lâu nh ng ph
ng trình vô t
ố ẫ mãi mãi v n còn là đ i
ượ
ữ
ườ
ọ ỏ
ể ư
ọ
t
ng mà nh ng ng
i đam mê Toán h c luôn tìm tòi h c h i và phát tri n t
duy.
ỗ
ươ
ỷ
ữ
ả
ề
ạ M i lo i bài toán ph
ng trình vô t
có nh ng cách gi
ợ i riêng phù h p. Đi u này
ệ ư
ụ
ề
ẻ
ạ
ạ
ọ
có tác d ng rèn luy n t
duy toán h c m m d o, linh ho t và sáng t o. Bên cánh đó,
ả
ươ
ặ
ọ
ỳ
ỏ
các bài toán gi
i ph
ng trình vô t
ỷ ườ th
ng có m t trong các k thi h c sinh gi
i Toán
ở
ấ
các c p THCS.
ề
ả
ươ
ỉ ượ
ế
ươ
ệ
Chuyên đ '' Gi
i ph
ng trình vô t '' đ
c vi
t theo ch
ng trình SGK hi n hành
ạ ọ
ư
ớ
ọ
ạ
ằ
ỏ
nh m d y h c sinh đ i trà trên l p cũng nh ôn thi h c sinh gi
i.
ề
ớ
ộ ố ươ
ệ
ể ả
ươ
Chuyên đ đã gi
i thi u m t s ph
ng pháp hay dùng đ gi
i ph
ỉ ng trình vô t :
ọ
ạ
Ôn thi h c sinh đ i trà:
ươ
Ừ
Ỹ
Ph
ng pháp 1: NÂNG LU TH A
ươ
Ề ƯƠ
Ư
Ph
ng pháp 2: Đ A V PH
Ệ Ố Ị NG TRÌNH TR TUY T Đ I
ỏ ớ
ọ
ọ Ôn thi h c sinh gi
i , l p ch n:
ươ
Ặ Ẩ
Ph
ng pháp 3: Đ T N PH
Ụ
ươ
ƯƠ
Ph
ng pháp 4: PH
NG PHÁP ĐÁNH GIÁ
ươ
ƯƠ
Ph
ng pháp 5: PH
NG PHÁP HÀM S
Ố
ươ
Ử Ụ
Ợ
Ứ
Ứ
Ụ
Ể
Ph
ng pháp 6: TR C CĂN TH C S D NG BI U TH C LIÊN H P
ề ỗ
ộ
ươ
ề
ậ
ọ
ự
Trong chuyên đ m i m t ph
ng pháp có dành nhi u bài t p cho h c sinh t
ệ . luy n
ề
ẽ
ọ
ạ
ề
ạ
ọ
ổ
Chúng tôi hy v ng chuyên đ này s mang l
ề i cho b n đ c nhi u đi u b ích và
ẻ ẹ ủ
ạ ả
ậ
ọ
ươ
ỷ
giúp các b n c m nh n thêm v đ p c a Toán h c qua các ph
ng trình vô t
.
ố ắ
ữ
ư
ề
ề
ấ
ặ
ỏ
M c dù đã c g ng r t nhi u, nh ng chuyên đ không tránh kh i nh ng sai sót. Chúng
́
́
́
́
́
ậ ượ
ữ
ừ
ọ
tôi mong nh n đ
́ c nh ng y kiên đong gop quy bau t
các thày cô và các em h c sinh đ
ể
ệ
ề
ơ
chuyên đ ngày càng hoàn thi n h n!
ử ề
ọ
M i đóng góp xin g i v : khaiquyet@gmail.com
ụ ạ ắ 1
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
ả ơ
Chúng tôi xin c m n!
Ụ
Ạ
PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O L C NG N ƯỜ
Ụ
Ắ
Ạ Ạ
NG THCS M AN L C NG N B C GIANG
TR
Ụ Ỹ Năm: 2010 2011
CHUYÊN Đ :Ề
ƯƠ
PH
Ỉ NG TRÌNH VÔ T
I Tác gi
:ả
ổ
ườ
ạ
ắ
ỹ
T toán tr
ụ ng THCS M An L c Ng n B c giang
ụ ụ
Ệ
Ị
Ụ
Ố
Ỹ Ừ Ư Ề ƯƠ Ặ Ẩ ƯƠ ƯƠ Ử Ụ
ươ ươ ươ ươ ươ ươ
Ợ
Ứ
Ứ
Ụ
Ể
ậ ổ
ợ
II M c L c: Trang ng pháp 1: NÂNG LU TH A 3 6 Ph Ố ng pháp 2: Đ A V PH Ph NG TRÌNH TR TUY T Đ I 6 7 ng pháp 3: Đ T N PH 7 17 Ph NG PHÁP ĐÁNH GIÁ 17 21 ng pháp 4: PH Ph Ph ng pháp 5: PH NG PHÁP HÀM S 21 22 TR C CĂN TH C 22 ng pháp 6: S D NG BI U TH C LIÊN H P Ph 24 Bài t p t ng h p: 24 27
ệ
ả
ể
ầ
ả ữ
ể
ậ
III Tài li u tham kh o: ọ Các th y cô và các em h c sinh có th tham kh o : Nâng cao và phát tri n toán 9 T p 1 Vũ H u Bình
ụ ạ ắ 2
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
Ề ƯƠ
CHUYÊN Đ PH
Ỉ NG TRÌNH VÔ T
ƯƠ
Ừ
Ỹ
PH
NG PHÁP 1: NÂNG LU TH A
Ứ
Ế
IKI N TH C:
f x
( ) 0
=
۳ (cid:0)
g x
f x ( )
g x ( )
1/
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
( ) 0 = f x ( )
g x ( )
(cid:0) (cid:0)
g x
=
f x ( )
g x ( )
2/
( ) 0 =
f x ( )
2 g x ( )
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
f x
( ) 0
+
=
۳ (cid:0)
g x
f x ( )
g x ( )
h x ( )
3/
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
( ) 0 +
g x
+ ( ) 2
f x g x ( ). ( )
h x ( )
f x ( )
(cid:0) (cid:0)
f x
( ) 0
*
n
n
2
2
= ۳�
g x
n N
f x ( )
g x ( )
(
)
4/
( ) 0 = f x ( )
g x ( )
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
g x
*
n
2
=
��(cid:0)
n N
f x ( )
g x ( )
(
)
5/
n
2
( ) 0 =
(cid:0) (cid:0)
g
f x ( )
x ( )
*
n
+ 1
2
+= n 2 1
=
�
� n N
g x ( )
(
)
f x ( )
n
2
g x ( ) + 1
*
n
2
+ 1
f x ( ) =
=
�
g
� n N
g x ( )
f x ( )
x ( )
(
)
f x ( )
+ = -
(cid:0)
̀ ng trinh:
(1)
x 1
�
�
3x =�
HD: (1) (cid:0)
x 1 2
2
ươ x 1 0 + =
̉ - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x 1 � = x
3
0
x 1 � � x �
- - (cid:0)
0
= 3x + = x 3 + =
- ̉
x �
x
x
0
2 3x
2
6/ 7/ … IIBÀI T PẬ Bài 1: Giai ph � � � Bài 2: Giai ph HD:Ta có:
x 1 (x 1) ̀ ươ ng trinh: + = x 3 2
-
ụ ạ ắ 3
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
x
2
x
x
2
0 + = 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
0
2
- = x
x
2
3 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
x
=
�
x
3
x
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
1 2
- ̉
0 �= - 1 = 3 - = x 1 �
x
+ - 4 x
+ x
x
1 2
+ = 4
1 2
1
̀ ươ ng trinh: Bài 3: Giai ph - = + - HD: Ta có: x x 1 4
- - -
0
1 2 x
-� 1
x � 0 + = -
x
x
x
4 1 2
+ - + x x 1
2 (1 2 )(1
)
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0)
x
x
x
2
2
1 2 +� � 1 0 2 = + 2
x
x
+ x
1 2 + = 1
2
2
3
1
x
x
+ x
(2
1)
2
3
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
1 2
=
�
�
�
x
0
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
=
1 � 2 � � 2 x
x
7
1 2 0
1 2 � � = x 0 � = - x
7
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
- = 2 x
2 3
4
0
x
Bài 4: Giai ph 2
ng trinh:̀ ươ 0
۳
x
2
HD:ĐK:
(1)
2
x
4
0
- - ̉ - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
�
x
x
+ 2)(
= 2)
0
- - -
�
x
+ x
2 3 ( ( 2. 1 3
x ) = 2
0
PT
=
- -
x
2
x
- = 2
0
(cid:0)�
�
(2)
=
(
) =
x
+ x
1 3
2
0
17 9 c:x = 2
ả
ươ
ượ ng trình :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
3
- = x
khi đó pt đa cho t
ng:
23 x
3
3
+ (cid:0) 3 ̃ x ươ x ươ + 3 ng đ x + - x 3 = 3 0
2
- = � � x
2
ế ợ K t h p (1) và (2) ta đ i ph Bài 5. Gi x(cid:0) HD:Đk: 0 �+ � 1 = x � � 3 � � ả Bài 6. Gi i ph x (cid:0) HD:Đk: 3 (
) 2
2
3
- - x 4 - 2 ươ 10 1 3 ng trình sau : ươ ng trình t 10 3 3 ươ ph (cid:0) + = x x 3 9 ươ ng : ng đ = x 1 (cid:0) + + = x x (cid:0) + + = ��(cid:0) x x 1 3 9 - - (cid:0) 5 97 = (cid:0) x (cid:0) x x 3 1 3 + + = - 3 1 3 (cid:0) (cid:0)
(
)
) 2
ả
ươ
i ph
ng trình sau :
( x x
Bài 7. Gi
3 3 3
18 = + + + + x x x 2 3 9 2 2 2
ụ ạ ắ 4
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
3
3
(
HD: pt
ươ
� � x x = x + - 2 3 0 1
) 3 = ̀ Bài 8. Giai va biên luân ph
- = - 4
x m
2x
x m
HD: Ta co: ́
2
2
2
2x
x m
- = - 4
=
+
4xm m
+ 2mx (m 4)
0
x
�(cid:0) � �
́
ươ
̉ ̣ ̣ (cid:0) (cid:0) (cid:0) - -
– Nêu m = 0: ph
=
̣
́
x
– Nêu m ≠ 0:
≥ m
+ 2m 4 2m
<
(cid:0) ̣ ̉ ̣
́ ́
̀ ng trinh: x m � � - = 2 x 4 � ̀ ng trinh vô nghiêm + 2m 4 2m + Nêu m > 0: m + Nêu m < 0: m
́ ̀ . Điêu kiên đê co nghiêm: x ≥ m m2 ≤ 4 (cid:0) 2 + 4 ≥ 2m2 (cid:0) m2 ≥ 4 (cid:0) 2 + 4 ≤ 2m2 (cid:0)
0 m 2 m ≤ –2
(cid:0)
́ Tom lai:
=
́
̀
ươ
̣
x
– Nêu m ≤ –2 hoăc 0 < m ≤ 2: ph
́ ng trinh co môt nghiêm
+ 2m 4 2m
́
̀
ươ
̣ ̣ ̣
– Nêu –2 < m ≤ 0 hoăc m > 2: ph
ng trinh vô nghiêm
2
̣ ̣
ả
ệ
ậ
ươ
ớ
ố
i và bi n lu n ph
Bài 9. Gi
x
mx
ng trình v i m là tham s : ̀
(cid:0) 3 ́
(cid:0) (cid:0)
(Đê thi hoc sinh gioi câp tinh năm hoc 1999 – 2000)
x m
2
x
- = - 3
x m
HD: Ta co: ́
2
x m - = 2
+ 2
+
=
̣ ̉ ̉ ̣ (cid:0) (cid:0)
3 x m 2mx
2 2mx (m 3) 0
� ��� x �
� � �
́
̀
- -
– Nêu m = 0: ph
=
̣
́
x
m
– Nêu m ≠ 0:
+ 2m 3 2m
(cid:0) (cid:0) ̣ ̉ ̣
3
(cid:0) (cid:0)
́ ́
3
ươ ng trinh vô nghiêm + 2m 3 2m + Nêu m > 0: m + Nêu m < 0: m
́ ̀ . Điêu kiên đê co nghiêm: x ≥ m m2 ≤ 3 (cid:0) 2 + 3 ≥ 2m2 (cid:0) m2 ≥ 3 (cid:0) 2 + 3 ≤ 2m2 (cid:0)
0 m m ≤
́
-
Tom lai:
=
̣
̀
ươ
x
3
3
– Nêu ́ 0 m
hoăc ̣ m
. Ph
́ ng trinh co môt nghiêm:
+ 2m 3 2m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - ̣ ̣
̀
3>
– Nêu ́
hoăc ̣ m
- (cid:0) ̣
: ph ́
< 3 m 0 ̀
ng trinh vô nghiêm ̀ = ươ ng trinh: x m
x
m
̀
- - ̉ ̣ ̣
̣
́
̣
co hai nghiêm: x
1 = 0, x2 = 1
ươ Bài 10. Giai va biên luân theo tham sô m ph HD: Điêu kiên: x ≥ 0 ́ ́ ́
ươ ươ ươ
- = x ( x 1) ươ ng đ
(cid:0) 0 ́ ơ ng v i
̣
– Nêu m < 0: ph – Nêu m = 0: ph – Nêu m > 0: ph ( x
-
̀ ng trinh vô nghiêm ̀ ̀ ở ng trinh tr thanh ̃ ̀ ươ ng trinh đa cho t - = + m 1) 0 m)( x = m 0
x
= -
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
̀
(1 m)
1 = m; x2 =
́
̀
- ̣
x + Nêu 0 < m ≤ 1: ph ươ + Nêu m > 1: ph
1 m ́ ươ ng trinh co hai nghiêm: x ng trinh co môt nghiêm: x = m
ng trình sau:
+
̣ ̣
- = x
+ - 5
2
-
2
34 3 + = - 5
x 2
- = x 3 5 - = x 7
12 x
2/ 3 x 5/ x 3
3 1
3/ 2 x + - 6/ x 1
- -
́ ́ ụ ậ IIIBài t p áp d ng: ươ ả i các ph Bài 1:Gi - = x+ 1/ x 1 13 +
4/
x x
2
+ = + x 1 + =
4 - +
x -
x 4
x 1
x 9
0
- = 2 5
0
1 7/ x
8/
9/ 3 =
x-
6x
- - -
ụ ạ ắ 5
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
x - +
1 2
5
0
3 2
+ = x 3
10/
11/
x
8
= 5 2
0
12/
2 3
+
1 = 2 =
- - -
x
x
x
x
19 6 - = x
17
23
+ + 1
2
3
= x 3 2
2
3
13/ 16
14/ 3
15/ 20
8 ươ
ng trình:
2
- - - -
c)
b)
+ = -
ả i ph - = - 2 1 x + + x
2
2
0 - = x 1 - = x 1 1 - = x 2 1 1 3 3 - x+ + - x - = x 4 3 + x x e) 3 x h) 3 + = x 3 2 - + 2 + - 4
+ 2 - 2 ệ x x x f) 3 i) x + - m x 2 3 - = x 2 3
ả
ng trình: 2 1 ng trình khi m = 1
- = - x m x
ươ ươ ể ươ ươ ươ ị
ươ
ủ
ệ
Bài 2: Gi a) x d) 3 6 + + = - + = g) x x x x 2 4 9 5 1 ể ươ Bài 3: Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m: Bài 4: Cho ph i ph a) Gi ệ b) Tìm m đ ph ng trình có nghi m. + - = - Bài 5: Cho ph ng trình: 22 x mx 3 ả ng trình khi m=3 i ph a) Gi ớ b) V i giá tr nào c a m thì ph
ng trình có nghi m.
ng trình sau:
x m
ả x
7
i các ph - = 3 9
ươ 0
Bài 6: Gi a/ x
x
x
2
6
=
x
- + x
- = - x
1
1 3
1
17
d/
g/
1 2
9 2
x
x + -
x - =
x
1 1
4 5 5
7 - = x 1
0
b/ 2
h/
- - - - - - - -
x
x
= - x
3
9
+ 27
4
12
1
e/
5 3
3 2 2
- - - -
x
+ x
+ x
7
+ = x 4
0
7
= 12
0
c/ 3
i/ 5
f)
- - + = 2 - - - x x x x ( 3) 10 12
Ề ƯƠ
Ư
PH
NG PHÁP 2:
Đ A V PH
Ệ Ố Ị NG TRÌNH TR TUY T Đ I
Ế
ƯƠ Ứ IKI N TH C:
=
(
0)
2
=
=
�
� (cid:0)
f
x ( )
g x ( )
f x ( )
g x ( )
ử ụ
ứ
ẳ
ằ
S d ng h ng đ ng th c sau:
= -
(cid:0) (cid:0)
f x ( ) f x ( )
g x ( ) g x ( )
f x ( ) < f x ( )
(
0)
(cid:0)
ả
ươ
ng trình:
(1)
2x
+ + = x
4x 4
8
= - 2
-
8 x
-
ả
2 – x = 8 – x (vô nghiêm) x – 2 = 8 – x (cid:0) + +
+ +
+
ậ + -
(cid:0) ̣
ng trình:
(2)
Bài 2: Gi
x 2 2 x 1
x = 5 (tho mãn) V y: x = 5. + + = x 10 6 x 1
2 x 2 2 x 1
-
IIBÀI T P:Ậ Bài 1: Gi i ph HD: (1) (cid:0) (x 2) (cid:0) |x – 2| = 8 – x ́ – Nêu x < 2: (1) 2 : (1) (cid:0) – Nêu ́ x (cid:0) ươ ả i ph + (cid:0) x 1 0
HD
: (2) (cid:0)
+ +
+ + +
+ -
+ +
+ -
x 1 2 x 1 1
+ + = x 1 2.3 x 1 9
2 x 1 2 x 1 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
1
(*)
+ -
+ + +
+ +
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
̃
̀
ươ
ở
x 1+ (y ≥ 0) (cid:0)
ph
- = y 1 | y 3 | 2 | y 1|
- ̣
(cid:0)
(cid:0)
+ - = x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1 | ng trinh̀ Đăt y = (*) đa cho tr thanh: ́ y = –1 (loai)̣ – Nêu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ́ y = 3 – Nêu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ́ – Nêu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiêm)
̣
ụ ạ ắ 6
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
́ơ
x = 8 (tho mãn)
x + 1 = 9 (cid:0) ươ
ng trình:
Chuyên đ gi An V i y = 3 ả Bài 3:Gi
Vây: x = 8 - = x
+ + x
x
ả - + x 5
2
2 3 2
- + 2
5
7 2
x (cid:0)
HD:ĐK:
i ph 5 2 - +
PT
�
x
- + = x
2
5 2 2
- + x 2
5 6 2
5 9
14
�
x
2
- + + 5 1
- + + x 5 1 - + = x 5 3
2
14
5
ậ +
(cid:0) ̣
ươ
ả ng trình:
x
x
x
- = x
2
2
1
2
-
x - = � 5 2 x =� (Tho mãn) V y:x = 15 15 ả - + Bài 4:Gi i ph 1 1x (cid:0) HD:ĐK: - + Pt
�
- + = x
x
x
1 2
1 1
2
- -
�
x
x
- + + x 1 1 - = 1 1
2
-
2
�
x
x
x"
- = 1 1 2 - = x
2
)
x =� x =� 0 0 { = Σ� x R S
x
(Lo i) ạ (Luôn đúng v i ớ } 2
| 1
- + + 1 1 - + + - 1 1 1 ươ
x ủ
� ệ
1 2 - + + 1 1 x > pt N u ế 2 x (cid:0) N u ế pt 2 ậ ậ V y t p nghi m c a ph
1 ng trình là:
-
ậ
ụ
ng trình sau:
2
IIIBài t p áp d ng: ả Gi 1/
x
i các ph x+ 2
ươ + = 1
5
2/
x
4
+ = x 4
3
2
-
+
+
3/
x
x
+ = x 9
6
2
1
4/
x
x
x
4
+ = 4
5
2
2
+ 2
- -
5/
x
x
+ + x 1
2
+ = x 4
4
4
6/
x
2
+ - x 1
+ = x 4
4
2
2
2
2
+ 2
- - -
7/
10
x 8/
x
x
x
x
+ + x 9
6
2
+ = x 8
8
+ x 2
1
+ + x 4
4
+ = x 6
9 1
+
- - - -
9/
x
10/
x
x
x
- = x
x
- + x
x
2
- + 1
2
1
3 2
4
- = x 4
4
1
2
+ -
- - - -
11/
12/
x
+ x
x
+ + x
- = x
6 2
+ + x 2
11 6
+ = x 2
1
- + 2
- + x 5
2
2 3 2
5
7 2
2
+
+ 2
-
13/
x
x
x
2
+ - = x 1 5
2
0
14/
x
x
x
x
2
264
5
2
224
5
4
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
15/
16/
x
+ + x
= x
x
+ + x
= x
2 4
4 2
10
2 2
1 2
8
- -
+
+
=
(cid:0) x
1
526
0
x
x
x
2
18/
17/
1 2 x 4
1 + + 2
1 4
+
x
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
20/
+
x
x
2 4
+ = - x 4 2
x
x
x
- = x
2
- + 1
2
1
19/
2
- + -
+ -
- -
22/
21/
x
- + x
x
x
(
1) 4 4
1
- + = x 1 6
1 9
1
8 6
- = x 1
4
- -
Ặ Ẩ
Ụ
Đ T N PH
ƯƠ PH ụ
)
ể ặ
ươ
( f x ộ
ầ ng trình ban đ u tr thành ph
ế ể ả ượ
ề ọ
ươ
và chú ý ế t quan ư
=
NG PHÁP 3: ườ ng ể ả ng trình vô vô t , đ gi ươ ở i đ
c ph
ng trình đó theo
t i chúng ta có th đ t ứ ng trình ch a m t bi n ụ ệ ặ t thì vi c đ t ph xem nh “hoàn
1. Phư ng pháp đ t n ph thông th ặ ẩ ơ Đ i v i nhi u ph ỉ ươ ề ố ớ ệ ủ t n u ph đi u ki n c a ơ tr ng h n ta có th gi toàn ” .
ả
ươ
i ph
ng trình:
Bài 1. Gi
- x x + x - = 2 x - + 2 1 1 2
ụ ạ ắ 7
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
1x (cid:0)
ệ :
Chuyên đ gi An ề HD:Đi u ki n
2
ậ
Nh n xét.
- - x x + x - = 2 x 1. 1 1
ươ
ạ
Đ t ặ
ng trình có d ng:
t =� t 1 2 = - - t x x 1 + = t
ả
2 1 c ượ ươ
Thay vào tìm đ i ph Bài 2. Gi
22 x
- - = x 1 6 + x 4 5
ệ
ề HD:Đi u ki n:
thì ph 1x = ng trình: 4 5
- x (cid:0)
ươ
Đ t ặ
thì
. Thay vào ta có ph
ng trình sau:
4
- t = + = (cid:0) t x x 4 t 5( 0)
2 5 4 25
2
4
2
+ 2 - t - - - - � t t 2. t ( - = 5) 1 + 2 t 22 = t 8 27 0 t 10 16 + - - - � t 2 t 7)( t 2 = 11) 0
ệ
ượ ố
6 4 2 t ( = - = (cid:0) (cid:0) 1 2 3 t 1,2 t 3,4
Ta tìm đ t (cid:0)
c b n nghi m là: ậ nên ch nh n các gái tr
ượ
ươ
ỉ ị 1 t ệ c các nghi m c a ph
1 2 2; = - + 0
ể
ề
ủ ươ
2 3
= + t 1 2 3 1 2 2, 3 = - = + ng trình l: vaø x x 1 2 ệ ớ ươ ế ủ ng trình v i đi u ki n ng hai v c a ph
2
2
- - (cid:0)
ừ
, t
đó ta tìm đ
ng ng.
- - - 3)
ặ ẩ
ươ ứ ệ ượ c nghi m t ư ề ệ ố ứ và đ a v h đ i x ng (
y + x 0 - = 3 4 5
ầ Xem ph n đ t n
2
4
+ + x x 5 - = 1 6 (cid:0)
ươ
ở
ng trình tr thành:
+ - - (cid:0) � y y - + 2 y + = 5 5 10 = 20 0 y x
Do ừ T đó tìm đ Cách khác: Ta có th bình ph 22 x x 6 1 0 = 2 ượ c: Ta đ x x x 1) ( ( ơ ặ 2 ấ ả Đ n gi n nh t là ta đ t : ụ ư ề ệ ph đ a v h ) ươ ả i ph Bài 3. Gi ệ 1 ề HD:Đi u ki n: = Đ t ặ y 1(
ng trình sau: x(cid:0) 6 thì ph 0)
2
2
( v i ớ
ừ
ượ
ị ủ
T đó ta tìm đ
c các giá tr c a
y + 1 21 y - + 1 17 = = = - - � � y (cid:0) y + - y y y y y 5) ( 4)( 5) 0 (loaïi) , 2 2 - 11 17 = 2
ả
ươ
+ = - - x ( x x x 2004 1 1
) 2
i ph
ng trình sau :
)(
Bài 4. Gi
2
(cid:0) 1x(cid:0)
)
(
�
y
+ - 2 y
y
= y
= � x
( 2 1
) = 1002
0
1
0
ươ
ở
HD: ĐK: 0 Đ t ặ
thì ph
ng trình tr thành:
2
- = - y x 1
ả
ươ
i ph
ng trình sau :
Bài 5. Gi
1
< 0x
ệ
ề HD:Đi u ki n:
+ - x x x + x 2 3 1 1 = x - (cid:0)
ậ ượ
ế
ả
Chia c hai v cho x ta nh n đ
c:
+ - x x 2 1 = + 3 x 1 x
Đ t ặ
, ta gi
ả ượ i đ
c.
3
2
4
t = - x
ả
ươ
ng trình :
Bài 6. Gi
+ = 2 - 1 x i ph x x x + x 2 1
ụ ạ ắ 8
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
3
0
ế
ệ
ả
ả
ượ
HD:
x = không ph i là nghi m , Chia c hai v cho x ta đ
c:
- x 2 1 = x 1 � �- + x � � x � �
3
Đ t t=ặ
, Ta có : 3 t
2
2
+
+
+
ả
ươ
x
x
x 21
+ 18 2
7
(cid:0) 1 5 - = x =� x t 1 t+ - = (cid:0) 2 0
2
2
x 3 y (cid:0)
0
2 + = 7
x
ng trình: + ; x+ 7 7
=
y
1y =�
ươ
ạ
Ph
ng trình có d ng: 3y
2 + 2y 5 = 0
=
y
5 3 1
= -
1 x i ph Bài 7.Gi ặ HD:Đ t y = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
1
2
ớ
ủ
ươ
V i y = 1
ệ Là nghi m c a ph
ng trình đã cho.
�
x
x+ 7
+ = 7
1
= -
x
ặ ẩ
ỉ ả
ế ượ
i quy t đ
ộ ớ c m t l p bài
ạ
6 ụ ư : Đ i v i cách đ t n ph nh trên chúng ta ch gi ố ớ t l
ng trình đ i v i
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ố ớ
ế
2
2
ế
+ a 0
ố ớ ậ Nh n xét ơ ươ ả đ n gi n, đôi khi ph ụ ư ề ươ ặ ẩ 2. Đ t n ph đ a v ph Chúng ta đã bi ả i ph t cách gi
ả i quá khó gi ấ ậ ầ ng trình thu n nh t b c 2 đ i v i 2 bi n : = (1) b ng cách + b ằ ươ v uv u
ng trình: 2
ươ
Xét
ph
ở ng trình tr thành :
ử ự ế
c (1)
= v (cid:0) 0 0 u v u v � � � � + b + a � � � � � � � �
)
)
( bB x
0v = th tr c ti p ợ ườ ư ề ượ ng h p sau cũng đ a v đ ( ) ( ) ( + c A x B x a A x .
Các tr
2
2
= .
ứ
ứ
ể
ẽ
ở
ỉ
ậ ượ
c
a b+ = + v u mu
ươ
ỉ
Chúng ta hãy thay các bi u th c A(x) , B(x) b i các bi u th c vô t thì s nh n đ ph
nv ể ạ
ng trình vô t theo d ng này . ) +
)
(
)
) ( c A x B x
=
ươ
ạ
a) . Ph
.
( a A x . )
ng trình d ng : ( Q x
( b B x . ( ) P x
ể ả ằ
ươ
có th gi
i b ng ph
ế ng pháp trên n u:
a=
(
ng trình ) ( +
)
ươ ) A x B x . )
( aA x
( bB x
3
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0)
4
2
4
2
x
(
) ( 1
) 1
4
2
+ + = 2 x x x x - + 2 x x x 2
2
4
- + x x + x + = 1 2 2
ư ậ Nh v y ph ( ) = P x ( ) Q x ừ ẳ ứ ấ đ ng th c : Xu t phát t ) ) ( - + + + = 2 x x x 1 1 1 ) ( + - 1 ) ( + 2 x 1 ) ( 1 2
2
+ 2 - x ( + x x x x + x + = 1 ( + = 1 2 4 2 2 + + 2 x x ) 1 ) 1
ươ
ỉ ạ
ụ ư ng trình vô t d ng trên ví d nh : ệ ố
ẹ
ả
ọ
ậ
- x 2 2 4 1
ả
3
+ 4 x ươ ng trình b c
ệ i “ nghi m đ p” ( 2
ẹ ) =
ng trình :
ạ Hãy t o ra nh ng ph ộ ể Đ có m t ph - = + 2 hai c bt at ả i ph Bài 1. Gi
2
+ + x x + = ữ x 4 ươ ng trình đ p , chúng ta ph i ch n h s a,b,c sao cho ph gi 0 ươ 2 2 5 1
HD: Đ t ặ
= + = (cid:0) (cid:0) u x v x - + x v u 1 ( 0) ; 1 ( ) 3 2
ụ ạ ắ 9
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
2
(
)
ươ
ượ
ph
ở ng trình tr thành :
Tìm đ
c:
2
= (cid:0) u v 2 (cid:0) (cid:0) 5 37 + = (cid:0) = u v 2 uv 5 x (cid:0) = v u 2 (cid:0) 1 2
ả
ươ
i ph
Bài 2. Gi
4
2
2
4
- + 2 x x + = - x 1 3
ng trình : (
) + - 1
(*) 1 ) ( 1
) 1
HD:D th y:
2
2
+ + + 4 x ( x + + 2 x x x x - + 2 x 2
ễ ấ (
) ( 1
) 1
Ta vi
t ế
ượ
a + + + b + = 1 ( 3 3 = 2 x ( x x x - + x + + 2 x x - + 2 x x x ) = - 1 x ) 1 3
Đ ng nh t v trái v i (*) ta đ (
ồ (
ớ - + 2 x
c : ( + + 2 x
ấ ế ) + + + 2 x 1
) = - 1
) ( - + 2 x 1
) 1
2
2
=
=
- x x x x 3 6 3
v
x
- + x
u
x
+ + x
;
1
1
Đ t :ặ
3 � � u � � 4 � �
3 � � v � � 4 � � v=� u 3
ẽ
ượ
ng trình tr thành :3u+6v=
T đây ta s tìm đ
c x.
2
3
(cid:0) (cid:0)
3. uv +
ở ươ
ng trình sau :
ừ (*)
i ph
ả 1x (cid:0)
ươ ph Bài 3: Gi HD:Đk:
- = - x x x 2 1 7 1 5
(
(
(
) - + 1
) = 1
) ( 1
ậ
ế
Nh n xét : Ta vi
t
a b - x + + 2 x x + + 2 x x
(
) 1 (
) = 1
) 1
) ( 1
ấ ế
ồ
ớ
ượ
Đ ng nh t v trái v i (*) ta đ
c :
- x ( x + + x x x + + 2 x x 3 7 7 ) - + 1 2
ượ
Đ t ặ
, ta đ
c:
ượ
Ta đ
c :
= (cid:0) v u 9 (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) v uv u 3 2 7 u = - x = v + + > 2 x x 1 0 , 1 0 (cid:0) = u v (cid:0) 1 4
3
x = (cid:0) 4 6
(
) 3
ả
ươ
i ph
Bài 4. Gi
ậ
ặ
ế
ề ươ
ố ớ
ấ ậ
ầ
- - 2 + 23 x 2 0
ng trình thu n nh t b c 3 đ i v i
ng trình : x=
HD:Nh n xét : Đ t x và y :
+ = x x x 6 + ta bi n pt trên v ph y 2
3
3
3
2
3
= (cid:0) y x + 2 - - - � x x y x y 3 2 = x 6 0 + xy 3 = 2 0 � (cid:0) = - (cid:0) x y 2
Pt có nghi m :ệ
3
2
+
(
)
x
x
10
+ = 1
3
2
ươ
ng trình:
= = - x x 2, 2 2 3
ả i ph x (cid:0)
1
2
+
+ 2
Bài 5:Gi HD:ĐK: Pt �
x
x
x
10
- + = x 1
3(
2)
-
1. +
=
x
u
1
u v ( ,
0)
Đ t ặ
2
=
v
x
- + x
1
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
u
(
) ( u v u 3
) = v 3
0
ươ
ở
Ph
ng trình tr thành:10uv = 3(u
2+v2) (cid:0)
=
v
v 3 u 3
2
2
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ế
N u u = 3v
�
�
x
x
- + x
x
+ = 1
3
1
9
+ = x 8
10
0
-
x
33
2
2
� (cid:0)
�
�
x
+ x
x
- = x
0
- + = x 1
3
1
10
8
ế
ệ
N u v = 3u
là nghi m.
x
(vô nghi m)ệ = - 5 = + 5
33
2
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0)
a b+ = +
ươ
ạ
b).Ph
ng trình d ng :
u v mu nv
ụ ạ ắ 10
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
ư ế
ệ
ơ
ở ạ
ạ ng khó “phát hi n “ h n d ng trên , nh g n u ta bình
ườ d ng này th ư ề ượ ạ
2
4
c d ng trên. + 2
ả
Chuyên đ gi An ươ Ph ươ ph Bài 1. Gi
ng trình cho ế ng hai v thì đ a v đ ươ ng trình : i ph = 2
2
2
(
)
ươ
HD:Ta đ t :ặ
khi đó ph
ở ng trình tr thành :
2
+
- x x x + 2 x - = 1 3 1 (cid:0) (cid:0) u x (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - u v u v , 0; u v + 3u v = - (cid:0) (cid:0) x
)
) ( u v u v
2
-
ươ
ả
ng trình sau :
ươ
. Bình ph
+ + + 2 x x x x + x 2 2 - = 1 3 4 1
2
v 1 hay: 2(u + v) (u v)= ( i ph Bài 2.Gi 1 2
(
HD:Đk (
ế ng 2 v ta có : ) (
(
(
)
) = 1
) = 1
) 1
+ + 2 + 2 - - - - x (cid:0) ) ( � x x x x x x x + 2 x x x 2 2 2 2 1 2 2
2
ể ặ
Ta có th đ t :
khi đó ta có h : ệ
(cid:0) - 1 5 = (cid:0) u v (cid:0) = + u x x 2 (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) uv u v (cid:0) = - 2 + (cid:0) v x 2 1 1 5 = (cid:0) u v (cid:0) 2
2
(
Do
.
) 1
2
2
+ + 1 5 1 5 = + = - u v (cid:0) , 0 � u v x x x 2 2
ươ
i ph
Bài 3. Gi
2
2
= - - - 2 ng trình : x x x 2 + - x 9 5 14 20 1
ả 5x (cid:0)
) 1
ế
ể
ươ
ượ
HD:Đk
ng ta đ
c:
2
2
- - - x x x 2 5 2 5
(
( + 20
) ( + 20 ) 1
a b + - - - + x 5 + = x ( x ) x x x x 2 + = x 2 5
ậ
. Chuy n v bình ph ồ ạ ố ,a b
i s
đ : ể
ậ v y ta
Nh n xét :
2
Không t n t =
ể ặ
không th đ t :
.
2
2
(cid:0) - - x u 20 (cid:0) (cid:0) v x = + x 1
) (
(
(
) (
)
) ( + x
( + x
) = 1
) ( + 5
) 1
ư
ắ
Nh ng may m n ta có :
2
2
= + - - - - - x x x x x x x 20 4 5 4
(
)
( + x
ươ
ế
Ta vi
ng trình:
. Đ n đây bài
i ph ả
- - - - x x x x x 2 + 5 3 4 4 ) = 4 5 ( 4 + 5)( 4)
ế ạ t l ượ ươ
ế i quy t . ặ ẩ
(
)
) ( 1 1
+ - x
c gi ụ ng pháp đ t n ph không hoàn toàn + - + x x 1
ươ
ng trình tích
,
) (
= 2 0
ọ
ầ
ườ
ữ c nh ng ph
ỉ ng trình vô t không t m th
ng chút nào,
ươ ộ
ể ủ
ươ
ươ
ụ ươ i ph
ng trình tích mà ta xu t phát . ng pháp gi
ấ ả ượ i đ
c th
ể
2
x x 2 2 + - + x x 3 = 2 0
toán đ 3. Ph T nh ng ph ừ ữ ) ( + - 3 ẽ ượ Khai tri n và rút g n ta s đ ạ ươ ộ ng trình d ng này ph thu c vào ph đ khó c a ph ừ ạ ả ớ ng trình d ng này .Ph T đó chúng ta m i đi tìm cách gi ụ ệ hi n qua các ví d sau . ) (
ươ
ả
ng trình :
i ph
Bài 1. Gi
2
2
+ 2 + 2 + - = + x x x x 1 2 3 2 2
(
) x t
HD:Đ t ặ
, ta có :
t (cid:0)
2
2
- + - t = (cid:0) x + 2 3 3 0 x= t + ; 2 (cid:0) =(cid:0) t 3 (cid:0) = - x t 1
(
ả
ươ
i ph
ng trình :
) 1
Bài 2. Gi
2
+ + 2 - x x x + = x 3 2 1
HD:Đ t : ặ
2
= - (cid:0) x + x t 2
(
) 1
) 1
Khi đó ph
ng trình tr thnh :
+ = + 2 ( � x x t + x = t 1 0 + - 2 1 t ươ 3, ở
ụ ạ ắ 11
x Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
ờ
ớ
ươ
ậ
Chuyên đ gi An Bây gi
c ph
ch n :ẵ
2
D
(
(
( + x
ng trình b c 2 theo t có ( = x
ta thêm b t , đ đ ) + 1
ể ượ ) 1
) 1
) 1
2
2
+
+
+
(
)
ả
ươ
x
x
x
x
3
+ = 1
3
1
ng trình:
i ph
=
= + + 2 - - - - � x t t x t x 2 0 2 0 + - x 3 2 (cid:0) =(cid:0) t 2 � (cid:0) = - t x 1
t
t
1
+ 2 1; x ở ng trình tr thành:t
Bài 3:Gi HD:Đ t ặ ươ Ph (cid:0)
x
(cid:0)
3
+ =
�
x
x
+ =
�
2 (x + 3)t + 3x = 0 (t x)(t 3) = 0 =(cid:0) t (cid:0) =(cid:0) t (Vô lý) = � � x
x
3
2 2
2 1 2 1
x = (cid:0)
(cid:0)
2 2 ề ẩ
ụ ư ề
ể ạ
ươ
ng
ả
ượ m t s h “đ i s “ đ p chúng ta có th t o ra đ ố
ẹ ạ ặ
ề ẩ
ữ c nh ng ph ệ ữ
ụ
ẩ
ừ ộ ố ệ ạ ố i nó chúng ta l
i đ t nhi u n ph và tìm m i quan h gi a các n
3
3
3
)
(
) (
) (
)
, Ta có
3
3
3
3
= + + + + a b b c c a
+ b + + 3 3 c =
ế N u t = x ế N u t = 3 V y:ậ ặ 4. Đ t nhi u n ph đ a v tích Xu t phát t ấ ỉ trình vô t mà khi gi ụ ể ư ề ệ ph đ đ a v h ứ ( ừ ẳ ấ Xu t phát t đ ng th c ) ( = +
ừ
ữ
a ) ( � c b + + a b c
ứ
ậ
ỉ
2
3
+ ) ươ 0 ng trình vô t có ch a căn b c ba .
3
3
- -
ậ + - 1 + + 1
- - x x x + a b a c b c a T nh n xét này ta có th t o ra nh ng ph 3 3 7 3 3
ươ
- - - - x 8 2 9 ng trình : + + a b c ) ( ( + ể ạ + = 2 x 8 - = 3 x 4 = x - + x x x x 1 2 3 2 0 x . 3 3 - + x . 5 5 . 2
ả ệ
Đ t ặ
, ta có :
, gi
i h ta
( � ( � � (
) ) ( u v u w ) ) ( = + u v v w ) ) ( v w u w
(cid:0) + + = - + x x - + x 5 ả Bài 1. Gi i ph x (cid:0) HD:ĐK: 2 = - (cid:0) (cid:0) = 2 + - u x u 2 ; 0 2 vw wu 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u = 2 + + - = - (cid:0) (cid:0) � v v x v ; 1 3 (cid:0) = 2 vw wu + - + + 3 = = - (cid:0) w + uv + uv + uv vw wu 3 � � 5 5 (cid:0) (cid:0) w x w 5 ; 3 (cid:0) (cid:0)
ượ
đ
c:
2
2
2
= u =� x
ả
ươ
Bài 2. Gi
2
2
HD:Ta đ t : ặ
, khi đó ta có :
2
2
2
2
2
- 30 60 i ph 239 120 ng trình sau : x x x - + 2 x x 2 - + 1 - = x 3 2 + 2 + + x 2 3 2 (cid:0) = - a x 2 1 (cid:0) (cid:0) = - - (cid:0) (cid:0) b x x 3 2 (cid:0) (cid:0) = -� x 2 + = + a b c d = 2 2 - - (cid:0) = + + (cid:0) b a c d c x x 2 2 3 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) d x - + x 2
ả
ươ
i các ph
ng trình sau :
Bài 3. Gi
2
=
+
+
a
x
x
4
5
1
(
)
a b ;
0
HD:Đ t ặ
2
=
b
x
- + x
1
2
+ + - - x x - + = 2 x x x 4 5 1 2 1 9 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
3
Ta đ
ượ ệ ươ c h ph
ng trình:
a a
9 x
= 24 b = b 2
9
3
(cid:0) - - (cid:0) - - (cid:0)
ụ ắ ạ 12
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
=
a
ừ
T đó ta có: a
2 4b2 = a 2b (cid:0)
(a 2b)(a + 2b 1) = 0
b 2 = -
a
b 1 2
2
2
+
�
�
x
x
x
- + x
= x
4
5
+ = 1
2
1
ế
N u a = 2b
ả (tho mãn)
2
+
+ = -
ế
1 3 (*)
x
- + 2 x
x
5
1 1 2
1
N u a = 1 2b � Ta có : VT(*) 0(cid:0)
x 4 (1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
- + = - 2 x
x
x
1 2
1 1 2
< 1
3
0
VP(*) =
(2)
3 4
2 1 � � + � � 2 � �
ừ
ươ
ệ
T (1) và (2) suy ra ph
ng trình (*) vô nghi m
x =
ậ
ươ
ệ
ấ
V y ph
ng trình đã cho có nghi m duy nh t
1 3
- - (cid:0) -
ụ
ậ
Bài t p áp d ng:
3
2
4
4
4
(
) +
(
(
)
ả
ươ
Gi
i các ph
ng trình sau :
) 3 = x
+ + 4 - - - x x x x x x x 1 1 - + 1 1
ườ
ng
(
(
)
(
)x
)x
ệ ữ
ừ
ố
và tìm m i quan h gi a
và
t
đó tìm đ
ượ ệ c h
a b a
ặ ẩ ụ ư ề ệ 5. Đ t n ph đ a v h : ặ ẩ ụ ư ề ệ 5.1 Đ t n ph đ a v h thông th ) ( = = b x x v u , Đ t ặ theo u,v
3
3
3
= 3 - - x x + x x 35 35 30
)
(
ả
ươ
i ph
ng trình:
Bài 1. Gi
3
3
HD:Đ t ặ
ươ
ề ệ
ươ
ả ệ
Khi đó ph
ể ng trình chuy n v h ph
ng trình sau:
, gi
i h này ta tìm
3
= + 3 = 3 - � y x x y 35 35 + (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy x ( + 3 (cid:0) (cid:0)
ủ
ứ
ệ
ươ
đ
c ượ ( ;
. T c là nghi m c a ph
= = y ) 30 = x (cid:0) x y = ) (2;3) (3;2) 35 {2;3} y x ng trình là
ả
ươ
i ph
ng trình:
Bài 2. Gi
- - + x = 4 x 2 1 1 4 2
ệ 0 ề HD:Đi u ki n: - = x
4
Đ t ặ
4
(cid:0) - x(cid:0) 2 1 (cid:0) - (cid:0) u - - (cid:0) (cid:0)�� � u v 0 2 1,0 2 1 2 1 = (cid:0) (cid:0) v x
ư ề ệ ươ
Ta đ a v h ph
ng trình sau:
2
4
(cid:0) = - (cid:0) v (cid:0) + = 1 4 2 1 4 2
2 � + � �
2
2
+ = - = 4 - - (cid:0) u v � � � u v v v 2 1 2 1 (cid:0) (cid:0) u �(cid:0) � 1 � � � 4 2 �
ả
ươ
ứ
ừ
ồ
Gi
i ph
ng trình th 2:
, t
đó tìm ra
2 � = � �
+ - v ( 1) 0 v r i thay vào tìm 1 4 2 � + v � �
ươ ươ
+ + x x 5 - = 1 6
ư ề ệ ươ
thì ta đ a v h ph
ng trình sau:
ủ ệ nghi m c a ph ng trình. ả i ph Bài 3. Gi ng trình sau: 1x (cid:0) ệ ề HD:Đi u ki n: + = = Đ t ặ b 5
2
- - (cid:0) (cid:0) x x a b 1( 1, 0, 5)
2
(cid:0) (cid:0) a 5 + (cid:0) � � � - + = a b = - a b a b a b )( - + = 1) ( 0 1 0 1 (cid:0) (cid:0) a + = b - = a b 5
ụ ạ ắ 13
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
V y ậ
ả
ươ
i ph
ng trình:
Bài 4. Gi
ệ
- 11 17 - � x x - = - x = � x x - + = 1 1 + 5 1 1 5 2 - + = - 8 3 x x x x 6 2 5 + 6 2 + 5 - < < 5
)
ề HD:Đi u ki n: = = x v , Đ t ặ
.
2
- - u y 5 5x ( < 0 5 < u v , 10
2
2
Khi đó ta đ
ượ ệ ươ c h ph
ng trình:
(cid:0) (cid:0) = + = uv ) + 10 2 v 10
4
4
- - = + u v ) 2( u � � � + u v ( �(cid:0) � + u v ( � (cid:0) (cid:0) 4 3 4 4 - + v u 8 3 2 � � = ) 1 � � uv � �
ả
x
x
629
77
8
i ph
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ươ x
ng trình: 629
4
- (cid:0) (cid:0)
=
Bài 5. Gi HD:ĐK: 77 u
x
u v ( ;
0)
Đ t ặ
4
=
629 +
v
77 4
x 4
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
u
v
706
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
vu ,8 ặ Đ t t = uv 2 t t 128
1695
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
t
15
t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ớ ớ
2
3
+
(1)
+ = 2 2
3
3
2
+
(cid:0)
x = 4 x = 548 ươ ệ
i ph ề
ớ
x ��
- + 1 + 3 x
x
ng trình: x x
x 1 0
+ 3 x x + > 2 2
0
113 V i t = 15 V i t = 113 ả Bài 6. Gi HD:V i đi u ki n:
3
2
-
=
+
u
x
x
1
ớ
Đ t ặ
V i v > u ≥ 0
3
2
=
+
+
x
x
ươ
v ng trình (1) tr thành u + v = 3
2 ở ng trình
Ph Ta có h ph + =
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ệ ươ 3
u v 2
= 2
v
u
3
(cid:0) (cid:0) - (cid:0)
+ =
+ =
=
u v
3
1
�
�
�
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
� u v � - = v u
u � =(cid:0) v
3 = v u v u ) )(
� (
1
2
3
3
2
- (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
- =
x
x
1 1
3
2
+
x
x
+ = 2
2
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
- =
1 1
x 3
x 2
+
x
x
4
3
2
+
�
x
x
+ = 2 - = 2 + 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
�
x
(
1)(
= 2)
2 2
x =
0 + x +
-
x
x
0 + > 2
2
0
1 ( ươ
ệ
� x ậ V y ph
do x ) ậ ng trình đã cho có t p nghi m là S = {1}
2
"
2
x
x
ả
ươ
1
i ph
ng trình:
Bài 7. Gi
2 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ụ ạ ắ 14
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
� � x 1
x
0
(cid:0)��
x
0
1
ệ
� 1 �
ề HD: Đi u ki n:
(*)
1 � (cid:0) x
0
x
0
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v
x
ề
ặ
ớ
ớ
u (cid:0)
x
ệ V i đi u ki n (*),đ t
;
, v i u ≥ 0,
2(cid:0)v 3
2 3
2
4
(cid:0) (cid:0)
x
u
1 2
2
Ta có:
x
v
1 2 3
Do dó ta có hệ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ =
+ =
u v
u v
2 3
4
2
� � �
= 4
(cid:0) (cid:0)
�(cid:0) � � + 4 u
v
2 3 = 1
u
v
1
- (cid:0) (cid:0)
+ =
+ =
u v
2 3
2 3
�
�
2
2
2
2
= 2
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
u v )
� ( � u
v
2 u v 2 .
1
u v 2 .
= 2 2 u v 2
1
� ( �� + u v �
2 � �
- - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ =
+ =
u v
u v
2 3
2 3
�
�
2
� � �
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 u v 2 .
u v .
0
u v 2 .
= 2 2 u v 2 .
1
16 9
65 = 81
� � 4 � � � 9 �
2 � � �
- - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ =
u v
2 3
194
8
=
u v .
u v
18 + = 2 5
+
8
194
=
u v .
18
ủ
ươ
ng trình
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ệ u và v là nghi m c a ph 194
8
2
y
y
a )(0
18
8
194
2
y
y
b )(0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
2 3 2 3 18 (b) vô nghi mệ (a) có 2 nghi mệ
(cid:0)
1
3
1
3
97 2
97 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
;
y 1
2
3
(cid:0) (cid:0)
1
2
2
Do đó:
y 1 y
u v
2 u v 1
2
2
y y 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
3
Vì u ≥ 0 nên ta ch n ọ
97 2
(cid:0) (cid:0)
u
y
2
3
(cid:0) (cid:0)
ụ ắ ạ 15
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
1
3
97 2
1
3
x
97 2
x
3
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)x
ậ
ươ
ệ
ấ
1
3
V y ph
ng trình đã cho có nghi m duy nh t
1 9
97 2
4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
18
5
64
5
4
ng trình:
i ph ề
ớ
ả ươ Bài 8. Gi ệ HD:V i đi u ki n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
18
5
0
x
(*)
x
64
5
0
18 5
64 5
x
18 5 64 5 4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
u
vx
x
ớ
,5
64
5
Đ t ặ
, v i u ≥ 0, v ≥ 0
18 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
u
x
18
5
Suy ra
4
v
x
5
64 ng trình đã cho t
Ph
ớ ệ ng v i h :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
ươ vu 4 4
ươ vu 22
2
2
v
u
ươ ng đ 4 uv
u
v
82
)
82
v
v
v
(2 v
,0
0
,0
0
ặ
Đ t A = u + v và P = u.v, ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
S 2
2
2
S
P
P
2
82
2 P
S
,0
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
S
S
4
2
p
P
P
4 P
87
0
29
3 P
0
0
32 P ớ
ệ
ươ
ng trình:
(1) V i S = 4, P = 3 ủ u và v là nghi m c a ph =
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
1
2
y
+ = (cid:0) y 0 3
4
=
y
3
(cid:0) - (cid:0) (cid:0)
u
u
1
3
Do đó ta có:
v
v
3
1
=
=
+ 18 5
1
3
Suy ra
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x = x
3
1
64 5 =
+ x 18 5 = x 64 5 =
1
81
�
�
- -
81
1
� � �
- -
x
x
ả
tho mãn (*)
� 4 � � 4 � � + x 18 5 = x 64 5 17 5
� 4 �(cid:0) � 4 � � + x 18 5 � � = x 64 5 � 63 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
i u và v
ươ
ậ
ồ ạ không t n t ệ
ớ (2) V i S = 4, P = 29 V y ph
ng trình đã cho có 2 nghi m là:
(cid:0)
ụ ạ ắ 16
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
= -
x 1
=
x 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ươ
ỉ ằ
17 5 63 5 ả i ph
ng trình vô t b ng cách đ a v h đ i x ng lo i II
ố ủ
ữ
ồ
ươ
ả
ạ ằ
ư ề ệ ố ứ i ph
ư ề ệ ng trình b ng cách đ a v h
ạ
5.2 Gi Ta hãy đi tìm ngu n g c c a nh ng bài toán gi ố ứ đ i x ng lo i II
2
ộ ệ ươ
ố ứ
ạ
Ta xét m t h ph
ng trình đ i x ng lo i II sau :
ệ vi c gi
ả ệ i h
2
( (
) 1 ) 1
(cid:0) + (cid:0) x = + y 2 (1) (cid:0) + (cid:0) y = + x 2 (2) (cid:0)
)
( f x
ờ
ươ
ặ
ằ
ng trình b ng cách đ t
sao cho (2) luôn
ng trình :
ệ , khi đó ta có ph + 2
= y
ả ơ này thì đ n gi n ẽ ế Bây gi + - đúng , ) 2 ( + 1
2
2 1 + - + y = � x
ươ + x =
ta s bi n h thành ph x= x ( ể ả
V y đ gi
ng trình :
i ph
2
ư + b
ằ
ươ
ự
ệ ổ
ạ
ậ
ự
ẽ
B ng cách t
ng t
xét h t ng quát d ng b c 2 :
, ta s xây d ng
2
ặ ạ ư ề ệ i nh trên và đ a v h ( a (
) )
= x 2 + 2 1) 1 ươ x ậ 2 + ta đ t l x x x 2 2 (cid:0) = (cid:0) + ay b x (cid:0) + b = a (cid:0) + ax b y (cid:0)
ươ
ượ
ặ
ng trình :
đ (
ươ c ph ) 2
ạ ng trình d ng sau : đ t a a
a b+ = + , khi đó ta có ph y ax b b a = + b x + + - ax b b a
(
) n
ươ
ự
ậ
ơ
T
ng t
cho b c cao h n :
na a
b a + b = x + + - ax b b
ạ
ế ề ạ
t v d ng :
ươ n
n
ng trình th +
ướ ạ i d ng khai tri n ta ph i vi ng cho d = b+ a
ề ấ ủ a + đ đ a v h , chú ý v d u c a
???
a ể
Tóm l ( + b a x ệ
ườ + đ t ặ ườ
y
ả ể ư ề ệ ế ướ ạ
t d
i d ng :
n
ax b ỉ ầ
Vi c ch n ( = + b a
i ph ) n = ọ ) n
ọ ượ
ng chúng ta ch c n vi c.
+ x
ả
i ph
ng trình:
Bài 1: Gi
- - g p a x b ' ' ;a b thông th g p a x b ' ' ươ + là ch n đ = 2 x x x 2 2 2 1
ệ
ề HD:Đi u ki n:
x (cid:0)
ươ
ượ
Ta có ph
c vi
ế ạ t l
i là:
2
- = 2 - - 1 2 ng trình đ x x ( 1) 1
Đ t ặ
ư ề ệ thì ta đ a v h sau:
2
ừ ả
ệ
(cid:0) - - (cid:0) y x 2( 2 1) - (cid:0) y x - = 1 2 1 - - (cid:0) (cid:0) 1 2 2 = x = y y 1) - x
2
a
ủ x 2
2
ọ
ế ủ Tr hai v c a ph ượ i ra ta tìm đ Gi Cách 2: Đ t ặ 2 Ch n a = 1 ta đ
ươ ng trình ta đ c nghi m c a ph - = - = + � 1 t a 1x ượ 2 2t = 2x 2 c:t
2
x 2 2( = + ượ ( y x y ) )( 0 c x = + ươ ng trình là: 2 + + 2 2 at t
t 2
2
ớ ầ
ệ ươ
ế ợ k t h p v i đ u bài ta có h ph
ng trình:
x 2
t
x
= x 2 = t 2
2
2
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
ẽ ươ
ả
i h này ta s tìm đ i ph
ượ ng trình:
ả ệ Gi Bài 2. Gi
c x. 22 x
- - = x 1 6 + x 4 5
ụ ạ ắ 17
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
ệ
ề HD:Đi u ki n
2
2
ư ng trình nh sau: x ượ ệ ươ c h ph
ta đ
- x (cid:0) 5 4 - - � x + + x 4 12 + x 2 4 5 (2 = 3) 2 4 5 11
ươ + x
ế Ta bi n đ i ph Đ t ặ 2
- = x 2 ng trình sau: y 5
ổ - = 3 = 2
(cid:0) - (cid:0) x (2 3) 4 5 - (cid:0) � x ( y x )( + - = y 1) 0 = 2 - (cid:0) (cid:0) 4 + y + x 4
3) = � x x + x 2
(vô nghi m)ệ
3 + - x � y + - = y 4 = - y 1 = + x 2 - = x 2 1
2
ng trình là + = x 5
5
x 4 5 x = + 2 3 -
2
x
5 ;
2
2
� (*) 5 +
�
t
at
t
x + = 5
5
2
ớ
x c:t
+ a a ượ 2 5 = x và k t h p v i (*) ta đ ế ợ
ượ ệ ươ c h ph
ng trình:
2
-
ừ
ượ
ệ
ẽ đây ta s tìm đ
t
c nghi m.
x 2
x
t
+
9
4
>
ả
ươ
x
(
0)
i ph
ng trình: 7x
2 + 7x =
.
Bài 4:Gi
x 28
+
+
9
4
2
2
9
4
=
+
+
�
t
at
a
2
HD:Đ t ặ
= + t a
x 28
x 28
+
9
4
2
2
=
+
�
a =
t
+ + t
= + x
t 7
t 7
ượ
Ch n ọ
ta đ
c:
1 2
x 28
1 4
1 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 5 (2 - = V i ớ 3 5 V i ớ � � x 1 0 ệ ươ ủ ậ ế K t lu n: Nghi m c a ph ả ươ i ph ng trình: Bài 3:Gi x x (cid:0) HD:ĐK: 5 - = + � Pt x 5 + = + Đ t ặ x ọ Ch n a = 0 ta đ - = t 5 - = 5
2
+
x
x
= + t
7
7
ế ợ
ớ ầ K t h p v i đ u bài ta đ
ượ ệ ươ c h ph
ng trình:
2
+
t
t
= + x
7
7
1 2 1 2
ượ
ệ
c nghi m.
+
+
ả
x
x
+ = 1
22 x
2
4
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ả ệ ươ i h ph Gi ng trình trên ta tìm đ ậ ụ Bài t p áp d ng: ươ ng trình: i ph Gi
ƯƠ
ƯƠ
PH
NG PHÁP 4:
PH
NG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Ứ
Ế ấ ẳ
2
2
2
2
+
+
a
b
x
y
(
)(
)
ộ ố
2
ấ
ả
D u ‘‘=’’ x y ra
(cid:0)
IKI N TH C: ứ 1.B t đ ng th c Bunhiakôpxki: Cho hai b s : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by) b y
a =� x
ấ ẳ
ứ
2.B t đ ng th c côsi:
ab
ớ
ố
a) V i hai s a, b
0 thì ta có:
+ a b 2
a b=�
ấ
D u ‘‘=’’ x y ra
3
(cid:0) (cid:0)
abc
ớ
ả ố a, b, c (cid:0)
b) V i ba s
0 thì ta có:
+ + a b c 3
a b=�
ấ
ả
D u ‘‘=’’ x y ra
= c
(cid:0)
ụ ạ ắ 18
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
4
abcd
c) V i b n s
0 thì ta có:
+ + + a b c d 4
ớ ố ố a, b, c, d (cid:0) a b=�
ả
ấ
D u ‘‘=’’ x y ra
= c = d
+
a
+ + ...
a n
a 1
2
n
(cid:0)
a ....
ớ
0 thì ta có:
e) V i n s a
n
a a . 1
2
n
ố 1, a2,…, an (cid:0) =
= = ...
ấ
ả
a 1
(cid:0)
a 2 ể
� ủ
ứ
a D u ‘‘=’’ x y ra n 3.GTLN,GTNN c a bi u th c: a/ A = m + f2(x) (cid:0)
m
b/ A = M g2(x) (cid:0)
M
A m
A M
ax
(cid:0) (cid:0)
= � MinA m ả ấ D u ''='' x y ra
f(x) = 0
= � M A M ả ấ D u ''='' x y ra
g(x) = 0
(cid:0) (cid:0)
ằ
ẳ
ứ
2
2
ươ
ự
ươ
ng :
, ta xây d ng ph
ạ ng trình d ng
2
4. Dùng h ng đ ng th c : T nh ng đánh giá bình ph A
2
(cid:0) A B+ 0
(
(
)
ừ ữ = B+ 2 0 ừ ươ
) 2 + x
T ph
ng trình
+ - = - - - - x x x 5 1 2 9 5 2
)
24 x
ươ
ể ta khai tri n ra có ph
ng trình :
+ + - = - 1 0 ( x x x 12 1 4 - + x 1 5 9 5
ứ
ấ ẳ 5. Dùng b t đ ng th c
ộ ố ươ
ượ ạ
ừ ấ
ủ ấ ẳ
ứ
ằ
M t s ph
ng trình đ
c t o ra t
d u b ng c a b t đ ng th c:
ằ
ở
ủ
(cid:0) (cid:0) A m (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(1) và (2) cùng đ t đ
i
ạ ượ ạ 0x thì c t
0x là nghi m c a ph ệ
ấ ế n u d u b ng A B=
B m ươ (2) ng trình
ằ
ấ
ỉ
ằ
ấ
D u b ng khi và ch khi
0x = và
, d u b ng
Ta có : 1
(cid:0) - (cid:0) x + + 1 2 + + x x 1 2 1 + x
ậ
ỉ
ươ
khi và ch khi x = 0. V y ta có ph
ng trình:
(
)
ộ ố ươ
ượ ạ
ừ
ưở
Đôi khi m t s ph
ng trình đ
c t o ra t
ý t
ng :
khi đó :
- + x = x x 1 2008 + 1 2008 + 1 1 1 + x + 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) A f x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B f x ( )
( (
) )
ệ
ướ ượ c đ
ệ ệ
ỉ ệ
ứ ễ ẫ
ơ ấ ẳ
ấ ẳ ượ
ư ứ
c nghi m thì vi c dùng b t đ ng th c d dàng h n, nh ng c, ta v n dùng b t đ ng th c
ượ
N u ta đoán tr ế ệ ề có nhi u bài nghi m là vô t vi c đoán nghi m không đ ể đ đánh giá đ c. IIBÀI T P:Ậ
= (cid:0) (cid:0) A f x (cid:0) (cid:0) = A B = (cid:0) B f x (cid:0)
ả
ươ
i ph
ng trình :
Bài 1. Gi
x (cid:0)
0
HD:Đk:
2
+ = + x x 9 2 2 + x 1
)
Ta có :
( � � �
2 � � �
2 � � �
+ + (cid:0) x + + x = + x 2 2 9 x + 1 x 2 2 + x 1 1 � � � � � � � 1 �� 1 � � + x � � � � � �
ấ
ằ
D u b ng
= = � � x 1 7 1 + x 2 2 + x 1 1
ụ ắ ạ 19
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
2
i ph
ng trình :
ươ 1x
Chuyên đ gi An ả Bài 2. Gi HD:Đk: 1
2
2
+ 4 + 2 = 4 - x x x x 13 9 16 - (cid:0) (cid:0)
ổ
ế
) 2
Bi n đ i pt ta có :
ấ ẳ
ụ
2
2
2
+ 2 = - x x x + 9 1 13 1 256
(
)
(
)
)
( ứ Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki: (
) ( 13 27 13 13
2
2
+ + 2 - (cid:0) - - + + 2 x = 2 x x x x 3 3 40 16 10 + 3. 3. 3 1 13. 13. 1
(
)
ấ ẳ
ụ
ứ
Áp d ng b t đ ng th c Côsi:
2 16 � � =� � 2 � �
- (cid:0) x x 10 16 10 64
2
ằ
ấ
D u b ng
2
2
2
3`
(cid:0) (cid:0) = + x (cid:0) x 1 = 2 - (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) � � (cid:0) (cid:0) = - = - x (cid:0) (cid:0) x 3 x 16 10 10 (cid:0) 2 5 2 5
ả
ươ
i ph
ng trình:
2 +
- - - 0 3
(
)
(
)
2
- - - x + �� x x + � x x 40 0 3 3 13 4 + x 8 13 x + (cid:0) 4
ươ
x
i ph
38
7
48 4 x ng trình: - + x x
5
2
ả
thi
t d u ''='' x y ra khi và ch khi:x = 6
2 2 12x + 38 =2 + (x 6)2 (cid:0) ỉ ươ
ậ
ấ ủ + 2
- + = 4 x 40 8 4 23 3 x + 12 + x 8 và - = x 5 - x - + x x )2 (cid:0) (1 + 1).(7 x + x 5) = 4
ươ
x
3
ng trình đã cho. + = x 1
2
i ph ]1; 2 [
+ 2
+
-
�
x
x
1 (2)
- = x 2
3
2
- -
Bài 3. Gi ứ HD:Ta ch ng minh : ả Bài 4: Gi HD:Ta có :VT2=( 7 Nên : 0 < VT (cid:0) ặ M t khác:VP = x ế ấ ả Theo gi ệ V y x = 6 là nghi m duy nh t c a ph ả - + ng trình: Bài 5: Gi x 2 x (cid:0) (1) HD:ĐK: PT ừ T (2) ta có: 2
0
�
2
1 � 1 2
-
+ (cid:0) x 1 +� x +� x x
1 (3)
ừ
ả
ậ
T (1) và (3) Ta có x = 1 th vào (2) tho mãn.V y :x = 1
(cid:0)
+
=
ươ
2
ng trinh ̀
:
Bài 6:Giai ph
4x 1 x
ế x 4x 1
>
x
̀
- ̉ -
HD: Điêu kiên
1 4
ấ ẳ
ụ
ứ
Áp d ng b t đ ng th c cô si ta có:
̣
x
x
+
=
�� 2
2
.
- -
4x 1 x
4x 1 x
4x 1
4x 1
- -
x
=
ả
ế ấ
ằ
ả
ỉ
Theo gi
thi
t d u b ng x y ra khi và ch khi:
-
4x 1 x
4x 1
2
-
�
x
+ = 4x 1 0
= 2
-
3
(x 2)
�
� =� x
2
3
-
ụ ạ ắ 20
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
2
�
2
2
4x 1 �
= x + - = 4x 4 3 0
x = (x 2)
+ = 4x 1 0 - = � 3
x 2
= �� 3
x
2
3
ả
� (Tho mãn)
Chuyên đ gi An ́ Dâu “=” xay ra x x = (cid:0) 2
(cid:0) - - ̉ - - (cid:0)
: x 1
- = 5x 1
3x 2
- - - ̉
̣
́
V y :ậ Bài 7:Giai ph ́ HD: Cach 1. ́ ơ
- < x 1
3 ng trinh ̀ ươ ̀ điêu kiên x ≥ 1 ́ ̀ V i x ≥ 1 thi: Vê trai:
́
ươ
-
́ ́ vê trai luôn âm 3x 2-
(cid:0) 5x 1 ́ Vê phai:
≥ 1 (cid:0)
vê phai luôn d
ng
̃
̉ ̉
ng trinh đa cho vô nghiêm
́ Cach 2.
̣ ̣
- + 5x 1
3x 2
̀ ươ Vây: ph ́ ́ ơ V i x ≥ 1, ta co: - = x 1 - =
- +
-
- - (cid:0)
2 (5x 1)(3x 2)
- - - (cid:0)
́
̀
́ ơ
ph
ng trinh vô nghiêm
2
2
2
́ + +
+
́ ơ ng v i x ≥ 1 = -
(cid:0) ̣ ̣
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2) = 2 7x ̀ ươ
:
ươ (1)
́ ́ ̉ ươ Vê trai luôn la môt sô âm v i x ≥ 1, vê phai d ng trinh ̀ + Bài 8:Giai ph
6x 7
5x
3x
+ 10x 14
4 2x x
2
2
+
+ +
+
+
+ +
+ 2
- ̉
2x 1
2x 1
(x
+ + 2x 1) 5
́
HD: Ta co (1)
4 3
9 5
� = - � �
2
2
2
(cid:0)
+ = - 9
(cid:0)
� 3 x � � + + 4 +
́
́
9
4
� � 5 x � � � � + + 5 (x 1) 5(x 1) = + = . Dâu “=” xay ra ́
x = –1
(cid:0) ̉
+ 3(x 1) ́ Ta co: Vê trai ≥ Vê phai ≤ 5. Dâu “=” xay ra
x = –1
́ ̀
̃
ươ
(cid:0) ̉ ̉
Vây: ph
2
+
̣ ̣ ̣
ươ
+ = 8
2x
2x 1
ng trinh ̀
:
Bài 9:Giai ph
2 3 5 ́ ́ ng trinh đa cho co môt nghiêm x = –1 + x 7 + x 1
- ̉
̀ HD: điêu kiên x ≥
1 2
̀
̃
̀
ươ
̣
ng trinh
̣ ̣ ̉
+
x
2
+ < + 8 8
1
3
3+
< : VT =
. Mà: VP > 8
́ – Nêu ́ 1 2
3+
3+
Dê thây x = 2 la môt nghiêm cua ph 6 + x 1 > 2.22 + 3 = 8
. VT < 8
– Nêú x > 2: VP = 2x2 + 2x 1-
>
�
x
2
+ > + x 1 2 1
=
+
< + 1
3
1
6 + 2 1
6 + x 1 ̀
̀
́
̃
́
ươ
(cid:0)
Vây: ph
ng trinh đa cho co môt nghiêm duy nhât la x = 2
+
=
ươ
̣ ̣ ̣
6
ng trinh ̀
:
Bài 10:Giai ph
6 3 x
8 2 x
ử
ằ
ấ
ủ
ươ
ầ
HD: ĐK: x < 2. B ng cách th , ta th y x =
ệ là nghi m c a ph
ứ ng trình. Ta c n ch ng
3 2
<
<
ệ
ấ
ậ
ậ
ớ
2
4
minh đó là nghi m duy nh t. Th t v y:V i x <
:
và
(cid:0)
̉ - -
3 2
6 3 x
8 2 x
+
<
6
.
- -
6 3 x
8 2 x
+
>
ươ
ự ớ
6
T
ng t
v i
< x < 2:
- -
3 2
6 3 x
8 2 x
- -
ụ ắ ạ 21
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ổ
ỉ
ườ
ươ
ề ả
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
i ph
ệ
ươ
ươ
ng trình:
4
+
=
+
+
1 + ��� ( + x x .
) 1
ủ ng c a ph - + x 4 - + x
5
4
1 3.4 x (cid:0)
4
Chuyên đ gi An Bài 11:Tìm nghi m nguyên d 1 1 1.2 2.3 HD:ĐK:
1
Ta có:
1 +
x
5
4
-
x
4 4 -� 4
4
(2) ệ
ấ
(cid:0)
Ụ ươ
Ậ ả i các ph
(1) 1 = - 1 - + 1 x - = - (*) � x x Ta có: VP(*) = x 0 ừ T (1) và (2) ta có:x = 4 là nghi m duy nh t. IIIBÀI T P ÁP D NG: Bài 1: Gi
ng trình sau : x x
4
4
4
4
3
3
- + 2 - - - + x = x x x 1 2 + 1 2 2 2 4 - x + x 1 = - 2 x + 1 2 1 2 1 2 + 1 2 1 � � +� � x � �
2
3
4
2
4
4
4
+ + + = + = + - x x x 4 16 x 3` - - - x + 5 6 4 + = 3 - - x 4 + = 4 x 2 x 0 + 2 x 28 - 4 + 3 + - 8 x x x x - + 3 64 - = x 5 x + x 8 8 18 x 8 1
2
2
40 8 4 - = 1 ươ 8 4 4 + x x 8 - + x ả x 2 ng trình sau : x i các ph
x
x
+ 10
27
2
-
x 2 + 6 x = x 8x + 24 x 6
+ = x 2
3
+ x 6 2
2
-
x
x
x
- = x 6 + = x 4 - = x
x
x
- + x - + 3
2
13 + 12
14
= x 5 2
3
10
+ 12
40
Bài 2: Gi 1/ 3/ 5/
- + 2/ x 4 - + 4/ 1 x - + 6/ x 2
- - -
ƯƠ
Ố
ố ể ả
ƯƠ ươ
ạ
ộ
NG PHÁP 5: PH i ph
NG PHÁP HÀM S ng trình là d ng toán khá quen thu c.
ự ể
ướ c: ề ạ
k= f x ( )
f x ( )
0x là nghi mệ
(cid:0)
(cid:0)
ệ ệ
ng trình vô nghi m ng trình vô nghi m
do đó do đó ph do đó ph ươ
ươ ươ ng trình
= > < = = = (cid:0) � � � ) ) ) x 0 x 0 x 0 f x ( 0 f x ( 0 f x ( 0 (cid:0) k k k ấ ủ f x ( ) f x ( ) f x ( ) ệ
= g x ( )
PH ấ ủ ử ụ S d ng các tính ch t c a hàm s đ gi ụ ướ ng áp d ng sau đây: Ta có 3 h ướ ệ : Th c hi n theo các b H ng 1 ướ : Chuy n ph ươ c 1 B ng trình v d ng: = ướ : Xét hàm s ố y c 2 B ướ : Nh n xét: ậ c 3 B = x V i ớ > x V i ớ < x V i ớ 0x là nghi m duy nh t c a ph V y ậ ự ể
ấ
ượ
c
ẳ 0x sao cho
ệ
ươ
ng trình.
f x ( ) ữ f x và g(x) có nh ng tính ch t trái ng ( ) = )
=
ướ ệ ướ c : Th c hi n theo các b ề ạ ươ ướ : Chuy n ph ng trình v d ng: ướ : Dùng l p lu n kh ng đ nh r ng ằ ị ậ g x ) ( 0 ấ ủ ướ c: ề ạ
ố ơ
ệ
ậ
ị
f u ( ) ậ
v
H ng 2 c 1 B ậ B c 2 f x ( ị nhau và xác đ nh 0 0x là nghi m duy nh t c a ph ướ : V y ậ B c 3 ự ệ ướ : Th c hi n theo các b H ng 3 ướ : Chuy n ph ươ ể c 1 B ng trình v d ng = ướ : Xét hàm s ố y c 2 B = ướ : Khi đó f u ( ) c 3 B
2
2
)
) (
(
ả
ươ
i ph
ng trình :
Ví d : ụ Gi
+ + + + + + = f v ( ) ẳ f x ( ) , dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u =� u f v ( ) ) ( + x x x x x 3 2 1 2 2 4 4 4 9 3 0
ụ ạ ắ 22
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
(
(
( = -
)
(
(
(
)
) 2 + x
) 1 2
) 1
) = 1
+ + + + - - � � x x x f f x 2 3 2 3 + 2 3 3 + x 2 3
(
)
(
)
HD:pt
2
)
)
(
ồ
Xét hàm s ố ( f
ế , là hàm đ ng bi n trên R, ta có
3
3
3
ươ
x
i ph
ng trình:
+ = 3
0
+ + 2
x ủ
+ + 6 ệ
x ươ ng trình
3
3
3
+
=
)
x
ả ấ x
3
<
ậ ( f x <
�
ế
x 2
+ + 6 ) ( f x 1
ộ + + 2 ) ( f x 2
ậ v y hàm s f(x) đ ng bi n trên R.
ấ ủ
ươ
ồ ng trình.
= + + t t t 2 3 x = - 1 5
ậ i ph
2
ụ ng trình: - = 2
c)
e)
2
3
x x x - + 1 + = x 2 3
d)
Ví D 2:ụ Gi HD: nh n th y x = 2 là m t nghi m c a ph Đ t ặ x V i ớ ố x 1 ệ ậ V y x = 2 là nghi m duy nh t c a ph Bài t p áp d ng: ươ ả Gi - + a) x 1 - = - b) 1
f)
- = + - x 1 3 = - - - 1 1 x 4 3 x 4 x + x x x x x + 4 1 2 5 2 x x x 2 - + 1 + = - 2 3 4
Ử Ụ
Ụ
Ứ
PH
NG PHÁP 6:
S D NG BI U TH C LIÊN H P ẩ
Ứ ượ
Ể ể
ệ ộ ố ươ
(
- ng trình vô t ta có th nh m đ ) ( = x 0 ể ả c nghi m ươ ta có th gi i ph ng trình ỉ ) x A x 0
ệ ủ ủ ệ ề ươ ể ệ minh chú ý đi u ki n c a nghi m c a ph
Ợ TR C CĂN TH C 0x nh v y ph ư ậ ươ ng trình luôn ) ( A x = ho c ch ng 0 ứ ặ ể ng trình đ ta có th đánh
)
2
+
+
0 gía
)
( x x
( x x
x
2
) = 1
2
ả
(1)
-
2;
1
2
2
(cid:0) - (cid:0)
x
x
=
�
x
) 1
2
- - -
)
2 ( + x x
x ( x x
- -
ƯƠ M t s ph ư ề ượ ạ c d ng tích đ a v đ ( ) A x = vô nghi m , 0 ( A x = vô nghi mệ ươ ng trình: i ph Bài 1:Gi x x HD: C1: ĐK x ( ) 1
2
x
3
=
(
)
�
x
2
2
-
)
( x x
( + x x
) 1
2
- -
( x x
( + x x
) 1
) = 2
(
)
3 2
�
( x x
+ x
2
) = 1
2
3
ế N u x
(cid:0) 1 ta có
3 2
) =
( x x
( + x x
x
) + 1
2
2
ả
ượ
Gi
i (3) ta tìm đ
- (cid:0) - - - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
c x ( x x
( + x x
) 1
) = 2
(
)
3 2
�
( x x
2
) = - 1
+ x 2
4
N u xế
(cid:0) 2 ta có
3 2
) = -
( x x
( + x x
x
) + 1
2
2
ả
(cid:0) - - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
+
+
(cid:0) - (cid:0)
(
)
(
x
x
x
2
) = 1
2
ế
ế
ượ
c:
x ta đ ươ
ng trình ta tìm đ
t
ươ
ượ i (4) ta tìm đ c x x x 1 2; (cid:0) 1 ta chia c hai v cho ả ả ế ươ i ph ng hai v sau đó gi (cid:0)Thay vào ph (cid:0) 2 Đ t t = x ặ
ượ ng trình ta đ
c x ượ c
2
-
Gi C2: ĐK: N u x Bình ph N u xế ( - +
2 (
(
)
t
t
t
= t
t
) + - 2
) 1
2
2
- - - -
) +
(
)
�
( t t
( + t t
t
2
) = 1
2
-
ụ ạ ắ 23
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ỉ
ổ
ươ
ề ả
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
) +
(
(
+ t
t
t
) = 1
2
2
ế
c ượ ượ c t
ậ ụ
ứ
ợ
ề ẩ ủ
ế ơ
ứ ả
ề ơ
ươ
ị
2
2
2
-
Chuyên đ gi An ả Chia c hai v cho t ta đ ế ươ ng hai v tìm đ Bình ph Sau đó tìm ra x. ế ử ụ Trong C1 ta đã s d ng ki n th c liên h p. Còn trong C2 ta v n d ng ki n th c mi n ệ ậ ụ ng trình.nhìn chung thì vi c v n d ng theo C2 đ n gi n h n. xác đ nh v n c a ph (
) 1
+ - - - - - ả ươ - = 2 x x x x x x + - x 1 5 3 3 2 3 4 i ph ng trình sau : Bài 2 . Gi
2
2
2
2
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
) + - x 1
HD: - - - - - - - - x x = - x x x x x x 3 5 3 3 3 2 2 2 + 3 = 4 3 2 ậ ấ Ta nh n th y : v (
2
2
- - + x x 3 = ể ụ ứ ế Ta có th tr c căn th c 2 v : 6 2 - - 4 ( x x - + 2 + x 3 4 - + 2 x x x 2 + + x 1 5 3 3
) 1 ng trình .
2
2
ể ệ 2 ấ ủ + + ươ + 2 ả ấ ươ ng trình sau: ậ i ph D dàng nh n th y x = 2 là nghi m duy nh t c a ph Bài 3. Gi x x x + = 12 5 3 5
+ -+ = - �۳ ể ươ ệ x x x x 12 5 3 5 0 ng trình có nghi m thì : HD: Đ ph 5 3 ươ ư ậ ươ ấ ậ ủ ệ ng trình , nh v y ph ề ể ng trình có th phân tích v
) =
)
( A x
2
2
- Ta nh n th y : x = 2 là nghi m c a ph d ng ạ ( x 2 0 ể ự ượ ệ ư ề ả , đ th c hi n đ c đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :
2
(
)
- - + - � x + - 2 x + x - = 12 4 3 - + x 6 5 3 3 2 x 2 x 2 + 4 + + x x 4 = + 12 4 5 3
(
)
2
2
3
2
3
+ + 2 - - - � = � x x 2 = 3 0 2 x + x x + 12 4 � � � � � � + - < - x " > 3 0, ễ ượ ứ D dàng ch ng minh đ c : x 2 x 1 + + 2 5 3 + x 2 + 2 + + 5 3 x + 12 4 5 3
- ươ ng trình : x - + = x x x 1 1
ả i ph 1x (cid:0) ấ ủ ệ ươ ế ổ ươ Bài 4. Gi HD :Đk ậ Nh n th y x = 3 là nghi m c a ph ng trình , nên ta bi n đ i ph
) (
)
2
3
3
(
3
2
3
3
2 +
(
) 1
2
2
3
3
3
3
2 +
(
) 2
(
) 1
+ 2 + x + x 3 3 9 x 3 - - - - � x x + x - + - = x 1 2 3 2 5 - + x = - + 2 - 2 5 x x 2 1 4 � � ) 3 1 � � � ng trình � - ( x � � � � + + x x 3 3 + + + < x 9 1 = + 1 2 < ứ Ta ch ng minh : - + 2 - x 3 - + x x - + 2 x 2 1 4 + 1 1 3 x 2 5
2
2
+
x
3
+
=
x
2
2
x +
3 +
x
x
x
x
3
3
3
ấ ậ ệ V y pt có nghi m duy nh t x = 3 - ả ươ Bài 5:Gi i ph ng trình sau: - -
2
2
2
2
=
ợ ủ ừ ẫ ố ủ ươ ượ ng liên h p c a t ng m u s c a ph ng trình đã cho ta đ c:
x
x
x
x
x
3
3
3
3
3.
- - - - -
)
)
x (cid:0) HD:ĐK: 2 ớ ượ Nhân v i l ) ( ( + x
) (
2
3 =
3 +
+ 2
( + x )
(
)
(
�
x
x
x
3
3
3 3.
-
ụ ạ ắ 24
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
>
0
2
4
2
3 +
+ 2
3 +
(
) 3 =
x (
)
(
)
x
x
x
x
3
3
2
3
2
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
>
>
27 (
)
x
0 ;
9 2
0
0
�
�
2
4
2
4
4
4
4
= 3
(cid:0) - (cid:0) (cid:0)
)
(
= 3
x
x
x
2 (
3)
9 2
)
x (
x
x
x
3)
9 2
x � � �
x � � 4( �
- - - - (cid:0) (cid:0)
x =
2
2
x
2
= + x
9
2
ả ệ Gi i h trên ta tìm đ ượ c
)
(
x
+ 9 2
3
ả ươ Bài 6:Gi i ph ng trình: -
x
9 2
x
2
2
)
0 (
x
x
+ 9 2
2
3
�
= + x
9
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) HD:ĐK: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
(
(
)
x
x
3
+ 9 2
+ 3
2
+
+ ) +
(
+ 9 2 )
x
x
x
2
+ 18 2
6 9 2
�
= + x
9
2
�
x 4 = 0
x = -�
Pt -
2
là nghi mệ
x
- -
x+ 6 9 2 9 2 ậ ậ ụ Bài t p v n d ng: ( ( ) ) = + 1) x x x x 4
+
+
+
+
(
)
(
3 ) (
2 ) (
) 2
(
x
x
x
x
+ x
3
2
3
) = 1
2)
a
+ b
l
=
(
3 )
(
)
) 2
ổ
( f x
) ( f x g x .
2 ) ( f x h x .
T ng quát:
3
=
+ -
x
3
1 1
3)
x +
x
3
10
-
Ậ Ổ
BÀI T P T NG H P
ấ ả
ả
t c các s th c x
Bài 1: Tìm t
2
)
x
+ 2 1
2
+ + 2 2
... 2005
= 2005
...
x 1
x 2
2005
x 1
+ + x 2
x 2005
- - -
Ợ ố ự 1; x2; …; x2005 tho mãn: 1 ( + 2
ố ự
ệ
ề
ỏ
Bài 2: Tìm các s th c x, y, z th a mãn đi u ki n:
+
)
x
y
z
( + + y x
- + 1
- = z 2
ươ
2
2
3
3
x
+ x
x
x
x
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ả Bài 3: Gi i các ph - = - + x x 1 2 2 3
1)
2
2
2
1
2
3
x
x
x
2
1
3
5
1 2 ng trình sau: - + = x 1) ( 3( + = x 5
x
x
x
(
)(2
(5)4
).2
6
x x
4 2
2
6
4
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
=
+ 2
(
x
) = - x
x
) ( 3 4
9
x
x
x
x
x
48
4
- + 3
35
5
3
2
1
2
3
2
+
+
+
+ 2
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
x
x
= 2 x
2(
= 2) 5
1
17
x . 17
9
x
x
+ + - x 1
- + = 2 x 1
1 2
- -
ụ ạ ắ 25
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
x
x
- + 2 x
x
+ - + x 1
+ = 2 x 1
2
= - x
x
x
x
2
3
x .
3
4 3 10 3 10 6
5
5
2
2
2
2
- - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
=
864
x
x
x
x
x
2
2
+ + - x 1
24
31
8
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x 5 ả
0 ươ
x .27 Bài 4: Gi
x x 3 ng trình sau:
i các ph
2
2
2
2
2
x
x
x
+ + x 5
4
+ + x 4 8
+ = + x 4
9
3
5
25
10
x
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - -
(
x )
(
x
x
x
7
. 7
) 5 .
5
(
) (
(
)
=
x
x
3 0
3
) + - x 1
4
3
2
+ x 1 + = x 3
- + x - + x
x
7
5
2
+
+
+
= 2
- - - - - - -
(
)
x
x
x
+ 2 9
= 20 2 3
10
x
x
x
x
3
10
12
2
+ =
+ =
+
+
x
x
x
5 2 2
3
3x 2 2
2
- - -
x
x
x 4 - + = 5 1
4
20 1
x
1
2
2
+
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x3 3 7
x2x3 - = + + x x 1
2
x
x
x
x
3
5 3
= 12
+ 48 5
x
- -
+ 5 1
+ x
4
6 0
2 5
3
5 x 2 = + 3 1
1 x
� 1 � �+ x � � � x � � �
� + = � �
- - -
5
5
x
5
4
x
x
4
+ 20 3
9
= 45
4
2
2
+ x
x
= 5
9
1 3
- - - - - - - -
+
x (
x )
(
x
x
x
x
7
. 7
) 5 .
5
2
+
=
=
2
2
- - - -
2 +
x +
5 - + x - + x
x
7
5
x
x
2
2
2
2
- - -
+ +
x
x
4
+ + = 4 2
9
9 4
x =
.
1 2
(cid:0)
x x
3 3
2
=
(cid:0)
x4 +
.
2005
2005
+ a b
a b
1
1
2
2
x + + -
+
+ 2
- = + x x 1 64x6 112x4 + 56x2 7 = 2
.
x
0
5
5
= 28
4 5
(a , b > 0) 1 x-
x ệ
+ x x Bài 5: Ký hi u [x] là ph n nguyên c a x
3
3
- -
1
1
ủ + + ...
855
ả
ươ
Gi
i ph
ng trình sau:
-
x
x
+ x
2
2
� = � x 2
+
=
x
x
6
ng trình: ủ
6 .6 ng trình là S,tính S
15 .
i ph =
=
- -
x
x
= y
y+
x
1980
3
48
2000
b/
.
d/
ả y+ ả
c/ 2
+
=
-
x
y
z
74
2
1
771.
771
- - - - - - - - -
ươ
3
2 Bài 9:Gi 2
+ = - - - - - x x 1 8 4 1 x x x x
ầ x� � � � �+ 3 3 2 � � � � � ươ + Bài 6:Cho ph 2 .6 ươ ọ ổ ệ G i t ng các nghi m c a ph ệ ươ Bài 7:Gi ng trình nghi m nguyên sau: y+ = . a/ x 1960 ệ ươ i ph ng trình nghi m nguyên sau: Bài 8:Gi 1 1225 1 + y z x 1 ả i các ph + - 2 x 9
ng trình sau : + = 5
1 5
2
) =
(
) 1 1
3 6 x ( 15 2
2
2
- x 14 1 - + = - - x x + + x 30 4 2004 30060 x x 2 1 3 20 1 x 1 + x
(
2
2
+ = 3 + 3 - - - - - x x x + x x x x ) 1 4 1 2 2 1 4 = 10 6 10
)
)
(
(
2
2
x 8 + = + 2 x x 4 + + x x 12 1 36 x x + x x 3 2 + - = 1 1 + 1 3 8 2 1
3
)
(
) 2 =
( 3 2 1
3 3 1
2
- - x + = x x 2008 4 3 2007 4 3 + + + 2 - - x x x 1 0
+ + + + = + - - x x x x x ( 3 2)( 9 = 18) 168 x x x (2004 )(1 1 )
ụ ạ ắ 26
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
4
+
+
)
)
) +
x
x
= x
+ 2 x
( 4 2
4
( 16 2 4
( 16 2
9
16
3
2
4
4
- - + 3 - x x x x x - + 1 + + = + 2 1 1 1
24 x
2
2
+ + + + = - + x 3 2 2 1 x x x = + 1
2
3
3
2
x 3 + 3 4 - = + + 1 + + + x x 12 1 3 x x x + x 2 16 x - = 1 2 4
3
2
- - - x x x + x 9 - = x 2 2 + x 11 21 3 4 0 4 x x - + 1 3 3 2
) (
(
) (
)
2
2
- - - - x ( - + - x 18 - = 3 2 ) = + x x x x 2 2 5 2 10 x x 3 + = 4
3
3
3
3
+ + + + 1 2 ) x ( x x x x 4 + + 5 3 + = 1 2 + + 7 3 x x x x 1
3
2
2
2
ả
ươ
ng trình:
2
3 + + = 1 + = x x x x 2 + x 1 2 2 x 3 2 + - - + + = - + 31 ( + = x 1 ) 3 = x x x x 1 2 2 x x 2 x 3 + 1 + x 3 + 1 3
i ph + 2
Bài 10: Gi a) 2
b)
2
2
2
2
+ + = + 2 - - - x x x x 2 + = - x 9 3 3
c)
d)
2
+ x 5 2 + + - - x x x x x 4 8 12 2 + x 8 2 3 x 3 + = 1 5
f)
e)
2
2
+ x 2 + = x 6 + - + 2 15 + 2 + - x + 2 x x x x 2 - = x ( 1) 3 5 5 6 1 2 2 2 2
h)
+ 2 + - 4)( + = x x 5 x+ x 12 + = x 6 2 + = - x 2 2 x + 2 11 31
3
2
2
3
2
2
2 2 2 ươ
(
)
(
3 =
g) x 3 ả i ph Bài 11: Gi ) (
) � 3 = + x � �
+ + - - - - + - - x x x 1 1 1 1 2 1 x x x x x 6 ng trình: ) ( 2 1 1
) (
(
)
(
6
2
2
+ = - - x x x � � � ) + + x 1 3 4 3 3 x 2 - - 35 12 x x + 1 = - 3 x 1
+ 4 - - - - - - x x x x x 64 - = 2 7 2 1 1 0 + = 2 x 2 1 2
(
- + x
- x 112 ) ( x 56 ) = x m 8 + 1 8 1
ng trình v i m = 3
ng trình: ươ ể ươ ể ươ
ệ ệ
+ + x ớ
x 1 ươ Bài 12: Cho ph ả i ph Gi a) Tìm m đ ph b) Tìm m đ ph c)
ươ
ng trình:
Bài 13: Cho ph
2
ng trình có nghi m ấ ng trình có nghi m duy nh t 1 x
1 + = m -
ả
ươ
ớ
a) Gi
i ph
ng trình v i
ể ươ
b)
2
ng trình có nghi m. 2
x 1 m = + 2
(
Tìm m đ ph ươ
ng trình: ớ
ng trình v i m = 9
ệ ng trình có nghi m. ệ ng trình nghi m nguyên sau:
- - - - 2 3 ệ ) + x x m x x 2 = 3 0 2 2
Bài 14: Cho ph ươ ả a) Gi ể ươ b) ươ Bài 15:Gi + y =
x
x
x
x
i ph Tìm m đ ph ả i các ph - + 1
2
2
1
+
+
+
=
x
x
x
x
y
2
2
- -
+ +
+
y
x
x
= + 1
9
4
= + x
x
x
y
2 2
1
+
=
=
- -
x
x
x
y
x
- + x
+ - x
x
2
2
1
1 2
2
2 4
2
x ươ
ả
- + 2 1 i các ph
ệ ng trình nghi m nguyên sau:
y Bài 16: Gi
- - - - -
ụ ạ ắ 27
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ươ
ổ
ỉ
ườ
ề ả
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
+
+
= n u:ế
x
x
x
y
+ + ...
x ấ
ấ
ươ
i các ph
ệ ng trình nghi m nguyên sau:
ế a/ V trái có 100 d u căn. ế b/ V trái có n d u căn. ả Bài 17:Gi
+
+
+ +
+
=
x
x
x
x
4
4
4 5
... 4 ấ
x ế
x (V trái có 100 d u căn).
3
2
7 20 3
ả
ố ữ ỉ Bài 18:Tìm các s h u t a và b tho mãn:
+ a b
3
= - 3
2
)
) (
(
x
a b = y
y
x
+ - 2 4
4
+ - 4
ả
. Tính x + y
3
3
=
ươ
ả
x
ố Bài 19:Cho hai s x , y tho mãn: + + 1
1 ả
ề
ệ
2
2
2
2
+ 2
+
+
=
- -
z
y
y
x
+ 2 z
x
y
z
1
1
1
ằ
ứ Ch ng minh r ng:
3 2
+
- - -
ệ
ề
a
b
= c
+ - a b c
2010
2010
2010
2010
-
ứ
ng trình: Bài 20:Gi i ph x 2 ố ự ươ ng x,y,z tho mãn đi u ki n: Bài 21:Cho các s th c d 3 = x 2 ả ố ự ươ ng a,b,c tho mãn đi u ki n: + - a b c b a
= c
2
2
-
ả
y
x
x
= + 2
199
4
2
- -
ệ ng trình nghi m nguyên: ố ữ ỉ
ế
t:
Bài 22:Cho các s th c d + ằ Ch ng minh r ng: ươ Bài 23:Gi i ph Bài 24:Tìm các s h u t a và b bi
a
b
11 7
= 7
7
28
2
+
- -
x
=
ả
ươ
i ph
ng trình:
1
Bài 25:Gi
x 2
-
1 x 1 2 ả
ố
Bài 26:Tìm các s nguyên k tho mãn:
2
-
2009
1
+
+
+
+
+
+
+
=
1
1
+ + ...
1
2
1 +
(
1 2 k
2009
1 2 1
1 2 2
1 2 2
1 2 3
k
) 1
ươ
i ph
-
x
3
5
5
2
+
ả - + 3 +
-
Bài 27:Gi + 1/ 8 2/
x
x
ng trình: - = x = + 2 x
x
x
1
-
3/
22 x
2
2
2
+ - - x 30
x
x
- x 2
4/ 5/
+
=
+
1
6/
+
+
x
x
x
x
x
x
1 + + 3
2
x 2 + + 1 x 2 - + 1 4 x + + 4 2007. 30 4 - = x 3 x 9 = 2007 + + x 2 + x 100
1
2
2
+
+
x
x
5
2
+
+ 2
125 =
+ x 2 2 + + + 9 ..... 1 + + 2 30. 2007 - + 2 x 3 = 100 165 1 + + 1
x
x
9
45
16
+ 80 3
9
7/
16
1 25 4
9
1 12
+
- -
8/
x
+ x
+ x
+ x
712671620 52408
+ 26022004
712619213 56406
= 26022004
1
2
+ + =
+
- -
9/
x
+ + 2 x
x
+ 2009 2010
20
2009 2010
1
-
1 + 2
+ - x 3
ng trình sau:
x = x ) 3 i các ph 2
5)(2 ả x ươ
10/ x ( Bài 28:Gi - = 2 5
2
+ + 2 - - - x x x x x x x x 15 2 + 15 11 ( 5)(2 = ) 3 3
+ - - + + 2 - - x x x x (1 )(2 2 = + ) 1 2 2 x x x = 2 x 17 17 9
ụ ắ ạ 28
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
2
2 11 31
2
2
n
+ 2 + = - x x x 3 5 2
n 2 (1 +
- + 2 + - = x 1 + - + x 4 + 2 x+ = + - - - - x x x x x ) x 9 2 3 = 2 ) (1 0 (2004 )(1 1 )
n 3 1 +
3 2 1
The end.
+ + + 2 - - x x x x x ( 3 2)( 9 x = 18) 168 x = 2 x 1 3
ụ ạ ắ 29
Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
ề ả
ươ
ổ
ỉ
ườ
i ph
ng trình vô t T Toán Tr
ỹ ng THCS M
Chuyên đ gi An
ụ ạ ắ 30 Tháng 1 năm 2011 L c Ng n B c Giang
