Chuyên đề Hàm số lũy thừa mũ và Logarit - Giải tích 12

Giải tích

Họ tên HS: _____________________

Trường: ________________________ Lớp: ________

M(cid:2)C L(cid:2)C

Chủ đề 1. LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA ........................................................... 1

Vấn đề 1. LUỸ THỪA ...................................................................................................... 1

VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................. 1

Vấn đề 2. HÀM SỐ LUỸ THỪA ....................................................................................... 4

VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................. 5

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa ................................................ 5

Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa............................................... 7

BÀI TẬP RÈN LUYỆN ........................................................................................... 12

Bài tập rèn luyện vấn đề 1. .............................................................................. 12

Bài tập rèn luyện vấn đề 2. .............................................................................. 15

Chủ đề 2. LOGARIT ............................................................................................................. 26

VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................. 26

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit ....................................... 26

Dạng 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit .............................................. 28

Dạng 3. Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết ............................................. 29

BÀI TẬP RÈN LUYỆN ........................................................................................... 32

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit ....................................... 32

Dạng 2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit .............................................. 37

Dạng 3. Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết ............................................. 41

Chủ đề 3. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT ................................................................ 44

VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................. 46

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số logarit ................................................... 46

Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ - logarit ......................................... 48

Dạng 3. Các bài toán thực tế về hàm số mũ ...................................................... 53

Dạng 4. Cực trị hàm số mũ – logarit và min max hàm nhiều biến ..................... 57

BÀI TẬP RÈN LUYỆN ........................................................................................... 61

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số logarit ................................................... 61

Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ - logarit ......................................... 64

Dạng 3. Các bài toán thực tế về hàm số mũ ...................................................... 83

Dạng 4. Cực trị hàm số mũ – logarit và min max hàm nhiều biến ..................... 88

 Cực trị của hàm số mũ và hàm số logarit ................................................. 88

 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit ............................ 90

Chủ đề 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT ................................................................. 105

VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................. 107

Dạng 1. Phương trình mũ không chứa tham số ................................................. 107

Dạng 2. Phương trình logarit không chứa tham số ........................................... 113

Dạng 3. Phương trình mũ - logarit chứa tham số ............................................. 119

BÀI TẬP RÈN LUYỆN ........................................................................................... 130

Dạng 1. Phương trình mũ không chứa tham số ................................................. 130

Dạng 2. Phương trình logarit không chứa tham số ........................................... 135

Dạng 3. Phương trình mũ - logarit chứa tham số ............................................. 139

Chủ đề 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT ........................................................ 143

VÍ DỤ MINH HOẠ .................................................................................................. 144

Dạng 1. Bất phương trình mũ không chứa tham số .......................................... 144

Dạng 2. Bất phương trình logarit không chứa tham số ..................................... 152

Dạng 3. Bất phương trình mũ - logarit chứa tham số ....................................... 158

BÀI TẬP RÈN LUYỆN ........................................................................................... 163

Dạng 1. Bất phương trình mũ không chứa tham số .......................................... 163

Dạng 2. Bất phương trình logarit không chứa tham số ..................................... 166

Dạng 3. Bất phương trình mũ - logarit chứa tham số ....................................... 168

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



H(cid:2)M S(cid:6) LU(cid:9) TH(cid:11)A – H(cid:2)M S(cid:6) M(cid:13) H(cid:2)M S(cid:6) LOGARIT

CHỦ ĐỀ 1. LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA

Vấn đề 1. LUỸ THỪA

0

na



◈ CÔNG THỨC VỀ LUỸ THỪA

a  , với 1

n

n

a

② (n thừa số a) ①

n  

0a 

m na

a

n m a

b

b

a



  

,

0a 

0a  



a a a . ...... 1 n a

, với ③ ④ , với

a

b



0,

0

◈ TÍNH CHẤT CỦA LUỸ THỪA

 ta có:

n

m n

m

m n 

m n a 



a

.m n a a



Với mọi

n

m n

a

   .

n

m

n

① ②

n

m

n

mn

ab



a

n a b .





a a ④ 



m

m



m

b

  

0

n

n

m

m

m

b

  

0



Nếu Nếu 0 Với 0 a b

1a  thì m a a    . 1a  thì m n a   và m ℤ ta có:  a   a 

n

a b

 a a b

   

*

ℕ





Với

ℤ ta có:

m n ,

p q ; ,

,

a b  ,

0;

m

p

q

n thì a

a

Nếu





⑤ ③  a   

 a

0

p q  n m

n

a

n

n

n

.

ab



n a b .

 b

0

n

.

a b

b

p

n

p

n

mn

a

a

a

a







.   ① ②

Nếu n là số nguyên dương lẻ và a b thì n n a b Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 a b   thì n

 a

0





a

n b

.

③ . ④ m n

VÍ DỤ MINH HOẠ





1

 1

P

.



3 7

3   4

9 4

  

  

  

  

2P  .

.

.

.

P 

P 

P  

Ví dụ 1: Tính

31 48

2 21

141 112

A. B. C. D.

Ta có

P     .

2

3 4 4 9

2

3a

a

Lời giải

7 3 Ví dụ 2: Cho a là một số dương. Biểu thức

viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là

7

6

5

11

6a .

6a .

5a .

6a .

2 3

2 3

1 2

7 6

a

a

a





a a 



.

Ta có

4

3 2 a b

4



P



.

A. B. D. C. Lời giải

3

12 6 a b

Ví dụ 3: Cho a , b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức

1  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

.

.

.

.

P ab

2 P a b

2 2 P a b



4

1 4

P

ab







.

1 1  3 2

3 2 a b 2 a b

 3 2 a b  12 6 a b

 

3

5 4a

a (với

0a  ).

A. B. C. P ab D. Lời giải

7

4

1

1

4a .

4a .

7a .

7a .

Ví dụ 4: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức

5

3

4

5 3

1 12

7 4

a

a





.

5

T

3 a a

với

0a  . Viết biểu thức T dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu



A. B. D. C. Lời giải

a a a  Ví dụ 5: Cho biểu thức tỉ.

3

1

4

2

3a .

5a .

15a .

15a .

5

5

4 3

4 15

3 a a

a







Ta có

.





1

1

5

5

A a 

.

A. B. D. C. Lời giải

T a Ví dụ 6: Hãy rút gọn biểu thức

2

4

A

A

.

.

.

.

A a

A a



1 4 a

a  1 a  4

B. C. D. A.







 

1

5

1

5

1

5 1

5

2

a

a







2018

P 







3

2

2

3

.

Lời giải

A a a  Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức





P  

P   

P  

.

.

.

2

3

2

3

2

3

. 2017  1P  .

 B.







2

3

2

3

2 2





2017

2018

2017

2018

 2017 2018

Ta có:  P Do đó:

.



   















2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

  2

3



 

  

2 ( 3) 

 . 1 













5

A



.

A. D. C. Lời giải





3 6 5

5

2

1  3 .

Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức

2 56 B.







3

5

3

5

5



2

2

A





 



2 3

18

Ta có

.









6 5

2

5

2

5

5





2

1 3

2

3 3 1 3

3

2

m n

P

x

x



P x

. Biết rằng P được biểu diễn dưới dạng

A. 1 . C. 18. D. 9 . Lời giải

Ví dụ 9: Cho x là số thực dương và



5

là phân số tối giản và

,m n là các số nguyên dương. Tính m n .

với

m n m n 

m n 

m n 

m n 

21

25

29

31

.

.

.

.

5

3

2

2

3

10 3

5 6

25 6

P

x

x

x

x

x x

x









m n  

  25 6 31.



 5

A. B. D. C. Lời giải



6

1 3

5 6

a

a





2

.

A





 Ví dụ 10: Rút gọn biểu thức

 3

a a  6

a

A

a

a

A

a







2

62

32

a 3 a  1 A a 2

 . 1

 . 1

 . 1

 . 1

A. B. D.

A C. Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 2

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Ta có

3

3

6

3

2 3

2 3

6

1 3

5 6

a

a

a







a a 



1

2

1



a

a





2







A









 3

a a  6

3

6

a 3 a

a

 a a

a





1

1

3

3

3

2 3

2 3

a

a

a





a a 

  2

 x 



3

1. 

x

;

, với

.





x 9

14

x





1

a b

a b

1 3

P 

P 

10

45

45

10

.

P   .

.

 P   .

Ví dụ 11: Cho 9 là phân số tối giản. Tính P a b 

A. D.

  1 2  x  6 3 3 x  2 3 B.

x

x

x

x

x

x









  

9

3

3

14

16

3

3

 4

2

x

x





3

    

P a b   

45

. Vậy







.

x

x





1



9   6 3 3  2 3

  6 3 4   2 3 4

18  10

9  5

1 3

C. Lời giải

3  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Vấn đề 2. HÀM SỐ LUỸ THỪA

y

với

x ,

, ℝ được gọi là hàm số lũy thừa.

1. Định nghĩa: Hàm số 2. Tập xác định: Có 3 trường hợp về TXĐ

◈ ĐỊNH NGHĨA VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA

với  nguyên âm hoặc bằng 0

D 

① D  ℝ nếu  là số nguyên dương. ②

D  ℝ 

 \ 0   với  không nguyên. 0;



y



x

3. Đạo hàm: Hàm số

.

 ℝ có đạo hàm với mọi

  1 x .

 x  ,



x  và  0

  

③

y

 0

 0

y  Tập khảo sát: 

x  ,  0;

x  , Tập khảo sát: 

 0;

y

x

 

  

◈ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

y

 





x

x

 



0.

Giới hạn đặc biệt:







, lim x 

x



Giới hạn đặc biệt:

  .



0, lim x 

x    0. x lim x  0 Tiệm cận: Không có

0. lim x  0 Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. Trục Oy là tiệm cận đứng.

 Sự biến thiên:   1 x 0,  Sự biến thiên:   1 x 0,

0;

Hàm số đồng biến trên 



Hàm số nghịch biến trên 

 0;

 Bảng biến thiên:  Bảng biến thiên:

I

luôn đi qua điểm

x



3

y

 Đồ thị:

1;1 Đồ thị của hàm số lũy thừa y Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: ◈ Hàm số

y

.

x ta xét trên ℝ . x  2 x

◈ Hàm số

ta xét trên ta xét trên 

 \ 0ℝ  0; .

◈ Hàm số y

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 4

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

VÍ DỤ MINH HOẠ



y

Xét hàm số

 f x



  

   :

 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

 ① Khi  nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi  f x xác định và  ③ Khi  không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi

 f x xác định.  0   f x  .  0   f x  . f x xác định và

n

1 n

② Khi  nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi

x

x

chỉ xảy ra nếu

x  Do đó hàm số

0.

n

1 n

y

x

không đồng nhất với hàm số

y



 x n

* .  ℕ

n 2



 ℕ : Hàm số xác định khi và chỉ khi

 f x xác định và



 f x 

 0.

 f x

y

 n 2 1

 ℕ : Hàm số xác định khi

 f x xác định.



* *

n

n

x







1)

ℕ ,

1

x  2

 1

2) 



Ghi nhớ Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức

Như vậy, cần nhớ lại:   y n ,    f x n , Ví dụ 1: Với x là số thực tuỳ ý, xét các mệnh đề sau 0  x n x x ⋯ . . . 1 (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8) n so

2

1

1 3

1 2

x

x

x







3    

x  

1

5

2

1

5

2



x 4

4) 







3) 

  1

2

x 4





 1 Số mệnh đề đúng là

n

x

n

Ta thấy

A. 3. B. 4. D. 2. C. 1.







ℕ ,

1



 x n x x ⋯ . . . (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8) n so

x

 là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện

    .

x  2

1

1

x 2

1 0

Ta thấy 

0

1 2

2

1

là mệnh đề sai vì phải có thêm điều kiện

x

    



x 4

1 0

x 4

Ta thấy 

  1

2

1 4



x 4

1





1 3

1 2

x

x

x

3    

x  







1

2

5

2

là mệnh đề sai vì phải có thêm điều

1

5







x

  

kiện

1

5

. Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng.

  1 0 x  

0

Ta thấy  x   5 



y

x

.



2 1 

Lời giải là mệnh đề đúng.



 2

.

(1;

 ℝD  D

D ( ℝD

.

.

. ( 1;1)

     ; 1) )  \{ 1}

Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số

A. C.



x

x

Hàm số

có số mũ là số nguyên âm nên xác định khi

     .

2 1

1

0

2 1 

y x  ℝD

Vậy

 \{ 1}

 2 là tập xác định của hàm số đã cho.



2

y

x



x  

12

là

B. D. Lời giải

 Ví dụ 3: Tập xác định của hàm số



 3

5  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



\

.



4;3

3;

.

.

A. B.

 D 4;3  ℝD  \



ℝD  D  ; 4

 4;3      

. 



C. D.

  4

2

x

x  

.

0

12

Do số mũ là số nguyên âm nên ta có điều kiện

3

x     x 



\

.

ℝD 

 4;3



y





24 x

1

có tập xác định là

Lời giải

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là  4



D

D



 ℝD

ℝD 

.

\

.

.

Ví dụ 4: Hàm số

. C.



 0;

1 1 ; 2 2

1 1 ; 2 2

   

  

  

D. A. B.

   Lời giải

2

x

Điều kiện:

     nên tập xác định của hàm số là

ℝD 

x 4

1 0

\

.

1 1 ; 2 2

  

  

sin2020

1 2 

 

y

x

 D 

D  ℝ

D 

0;

0;

.

là   .



 \ 0

  .



sin2020

0



 

Ví dụ 5: Tập xác định của hàm số B. A. D  ℝ . C. D.

y

x





Ta có

nên tập xác định là

.

 \ 0

3

y

x  2



.

Lời giải D  ℝ

x Ví dụ 6: Tìm tập xác định D của hàm số

D

D





 ℝD

.

.

.

.

\{0}

 ℝD

 0;





 0;

A. B. C. D.

3

y

x  2



Hàm số

có số mũ không nguyên nên xác định khi

x  . 0

D



Vậy tập xác định

.

 0;



y

x

D

 D

D

D



.

.

.

.

Lời giải



  2  2;

 3 là  

  

;2

  

;2

A. B. C. D. Ví dụ 7: Tập xác định của hàm số  2;

y

x

x

x





2

0

2

Hàm số

    .



có số mũ không nguyên nên xác định khi 2 D

.

 3 Vậy tập xác định là

  

;2

4

2

2

2

 2

y

x









25

3 x 3 2

2 x 2 .

x 5

Lời giải

5; 1

Ví dụ 8: Tìm tập xác định D của hàm số



  2 





 1;5 .

; 1

1;

B. A.

 x  D       D       .

 1  1;5 . 

  

  D  

D     5; 1 5;5 .

x

  

D. C.

5

2

x





0





Hàm số xác định khi

5

 

1 0

x   1 5      x 1 

 25   2 x  

1  

1

D    

5; 1

Vậy tập xác định là







  x     x   1;5 .

 5 6



2020

2

2

y

x

x













x 6

17

x 2

3

x 4

Lời giải 5

 1.







3;

3;

Ví dụ 9: Tìm tập xác định D của hàm số



  \

 1 .

  D      .

   1 

 

D 

D 

A. B.

  D      ;1 1;3 . 

x  ;1 1;3 . 

C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 6

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2





x 6

 17 0

3

2

3 0

Hàm số xác định khi

1

x  4   1 0

3;

Vậy tập xác định là

 x  x   x   D      ;1

 x       x   x     \





  1  1 .



2020



1

18

2

y

x





.

Lời giải



Ví dụ 10: Tìm tập xác định D của hàm số

 3 25    5;5 \

 D  

   5;5 \ 3 .

 D  

 D  

   5;5 \

 3 .

C. A. B. D.

x  3     x 3  5;5 .  D  

 3 . Lời giải

2

x



0

x

5

 

Hàm số xác định khi

. Vậy tập xác định là

0

 D  

   5;5 \

 3 .

3

   5   x   

  25  x  3  x  3  x   3 0 

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

9

y

y

x

x  4

a)

b)



2

4 3

y

y

x







d)

c)

3

 x

1  31



Ví dụ 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau.

 Lời giải

y

 

a) TXĐ: D  ℝ .

.

89 x



5

D  ℝ

y

b) TXĐ:

.

.

  

 

x 4

 \ 0

4 5 x



1

2 3

y

x

x

D 

1;

 







c) TXĐ:

1

.



  .



  1 .





2

3

1 3

x



1







x 8

2

2

7 3

3; 3

y

x

x

.

.

d) TXĐ:

  







3

 

 . 3





 D  



7

2

4 3

3

x



3

3





5 2

y

y





b)

x  4 3

a)



 x

3  21

trên 

 3;15 .

0;1

trên 

1 2

y

x

x

x

 





1

    0,

1

3;15

a)







Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

 Lời giải  hàm số luôn ĐB trên  

 3;15 .

y

y

.

Vậy

y

y



3 2  và 8

15

64

  3





max   3;15

3

3 2

y

x

 

 

  

b)

x  4 3

x  4 3

0,



 

 x  . 4 3







 hàm số luôn NB trên 

0;1 .



 0;1

y

y

.

Vậy

15 2 y

y



 và 1

32

  1

  0

3 2 min   3;15 5 2 min   0;1

max   0;1

1 4

y

x

?

Ví dụ 3: Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số

7  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

A. B.

D 

0;

Hàm số đã cho có tập xác định

 nên loại đáp án A và C.

C. D.



Vì

 nên chọn đáp án B.

1

1 4

1 4

y

x

y

cắt đường thẳng

tại một điểm. Tìm tọa độ điểm giao điểm

x 2

Lời giải 

1

1

A

A

A

A

;

;

;

.

.

.

.

Ví dụ 4: Đồ thị hàm số đó.

1 3

1 4

1 1 ; 2 2

1 3 2 2

2

1 4 2 2

2

2 2

2

  

  

  

  

  

  

  

  

A. B. C. D.

Phương trình hoành độ giao điểm

0

0

0

0

1 4

x





x  

x   2

.

3

4



x  1 16

0

x 16

1 3 2 2



x   x 

x     x  

1 3 2 2

x   x       x 

A

.

;

Vậy tọa độ giao điểm là

1 3

1 3 2 2

2

  

  

y



0; . Khẳng định nào sau

Lời giải

đồng biến trên 



1   1 2 

x

đây đúng?

1 .

1 .





0

 . 1

Ví dụ 5: Cho  là một số thực và hàm số

1  . 2

1 2

A. B. C. D.





 1 3

 1 2 

x

y

.



 y  

 x .

 1 2  Theo giả thiết, hàm số đồng biến trên 

 0; nên



y

x



  

0;

0,

0

0

      



 1 2 

1  2

 2

y

x



C :

. Phương trình tiếp tuyến của 

C tại điểm

0M có hoành độ

Lời giải

y

y

x

y

y

x 

  .







 

1

 . 1

1

 1

Ví dụ 6: Cho hàm số  x  0 1

 . C.

 2

  x  2 2

  x  2 2  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy

A. B. D.

8

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



y

D 

y

0;

y

y

TXĐ:

và

 . 1







 



  .

  1

  y x



  1

0

0

 2

  1 x 2 2

C tại điểm

0M có dạng:

y

y

y

x

x

  





 . 1

 y x





0

0

0

Vậy phương trình tiếp tuyến của    x  2 2

c

y

x





0; . Hỏi trong

Lời giải

trên miền 



các số

a x y , , ,a b c số nào nhận giá trị trong khoảng 

b x y  , 0;1 ?

Ví dụ 7: Hình vẽ dưới đây là đồ thị các hàm số

1 2

y

x

A. Số b . B. Số a và số c . C. Số c . D. Số a .

.

Sử dụng hình vẽ trên để trả lời 3 câu hỏi bên dưới.

1 2

y

x

 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số

là hình nào?

.

Ví dụ 8: Hỏi đồ thị của hàm số

. B.

A.

9  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

.

D. C.

. Lời giải

1 2

y

x

Đồ thị của hàm số

là hình ở đáp án A.

1 2

y

x

là hình nào?

.

Ví dụ 9: Hỏi đồ thị của hàm số

. B.

.

A.

C. D.

. Lời giải

1 2

y

x

Đồ thị của hàm số

là hình ở đáp án C.

y

x

1  là hình nào? 2 1

.

Ví dụ 10: Hỏi đồ thị của hàm số

. B.

A.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 10

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

.

C. D.

. Lời giải

y

x

1 2 1

Đồ thị của hàm số

 là hình ở đáp án B.

11  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

BÀI TẬP RÈN LUYỆN



Vấn đề 1. LUỸ THỪA

,x y là hai số thực dương và

,m n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

n

m n 

n

nm

n

m n x 

xy

xy

x



x

.m n x x

n x y .

Câu 1: Cho





m

m

?

3

D. A. B.  C. 

 m n x y   . 42 Câu 2: Nếu m là số nguyên dương, biểu thức nào theo sau đây không bằng với  D. 42 m

 2 . 2m

 m

 4 . 2m

 m

a





0;

b   0;

,

.

B. C. A. 24 m

 ℝ Hãy chọn công thức đúng trong các công thức sau







 









a

   

a

b

a

b

a

  a a .











Câu 3: Cho

ab

a

   

  

6

5

x

x

x

x 

3.

.

,

0

A. B. C.  D. 



a b 

viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 1 3x

5 3x

Câu 4: Biểu thức

3

2 3

3 3







2

2

7 3x 2 3 2

5 2x 

A. D. C.

A



là

4 3

3



2

32

B.  Câu 5: Giá trị của biểu thức

1

 1

 1 2 2 1  1



1

 1

a

b









2

3

;

2

. Giá trị của biểu thức

3







1

1

C. B.

là

 A a 









32 

A. 1 Câu 6: Cho

C. 3 D. 1   b D. 4 B. 2 A. 1

ta được

3

1 3 2

5

3

3

3





25

4

3

3

3





3 5

3 2

75

15

4

3 5

3 4

Câu 7: Trục căn thức ở mẫu biểu thức

10 3

4

2

3 a b .

4



B. C. D. A.

ta được

3

6

12 a b .

Câu 8: Rút gọn

2 3

4 9

2 9

A. 2a b C. 2 2a b D. ab

a

a

a

a









1

1

1

ta được

  

  

  

1 a  3 1

1 a  3 1

2ab       4 a  3 1

4 a  3 1

B. 2 9 Câu 9: Rút gọn



2 2

a

.

C. D. A. B.  2 1

ta được



1  2 1

a

  

  

Câu 10: Rút gọn

3

3

3

T

ab

a

b







:

D. 4a A. 3a



3

b

  

Câu 11: Rút gọn biểu thức

5

a 

B. 2a a b    3 a   B. 1 C. a 2 C. 3 D. 1 A. 2

là biểu thức rút gọn của biểu thức nào sau đây ?

2a 

0

3

5

a

Câu 12: Kết quả

5.a a

a

4 a a

7 .a 3 a  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy

A. B. C. 5.a D.

12

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



1

4 3

a



1 a b 8 3

2 3

3

A

a





được kết quả

b a

3

2 3

2 3

  . 1 2   

   

a

ab



2

Câu 13: Rút gọn

b  4 B. a b

3 2

3 2

b

a

A





.

giá trị biểu thức

a b  và 0

,

D. 2a b C. 0 A. 1

là

b a  a b 

 ab

a b  1 2

1 2

b

a



    

    

Câu 14: Với



A. 1 B. 1 D. 3

9 4

1 2

3 2

a

a

b

b





B





1

a b  , rút gọn biểu thức

a b  và 0

,

ta được



1 4

5 4

1 2

1 2

a

b

b



2

b

C. 2 1 4 Câu 15: Với



A. 2 B. a b D. 2 a

a  C. a b 1 3

7 3

1 3

5 3

a

a

b

b





B





1

a b  , rút gọn biểu thức

a b  và 0

,

ta được



4 3

1 3

1 3

2 3

a

b

b



2

b

Câu 16: Với

A. 2 B. a b D. 2 a

a  C. a b

1 2

1 2

1 2

a

a

2

1

M





.

1a  , rút gọn biểu thức

ta được

a a

 1 2

 1 2

a

a





a 2

1

    

  2   1  

1

3

1a 

Câu 17: Với 0





2 1a 

a  2

a



1

C. D. B. A. 3 a

 thì giá trị của  là

 a



Câu 18: Nếu

D. 0

1 2 A. 3

4

4

x

x

x

K

x











1

1

ta được



2

2

x

x

2 – 1

Câu 19: Rút gọn biểu thức

x  1

2 1 x 



4

4

x

x

x

x 

:

ta được

 x  . 1 0 ,  

 2x

C. 1  x  1 x C. D. A. B. 2  x  B. 2 Câu 20: Rút gọn biểu thức

x x x x x

x 

B. 3 x C. x D. A. 4 x

được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là



0

31 32x

15 8x

15 16x

7 8x

Câu 21: Biểu thức

11 16

x

A

x x x x

x





,

0

:

ta được

C. A. B. D.



Câu 22: Rút gọn biểu thức:

 C. 4 x

2

f

. Khi đó



A. 8 x B. 6 x D. x

bằng

 f x



3 x x 6

13 10

x

  

  

Câu 23: Cho

11 10

13 10





4

6







2

3

3

11

2

2





3

4

3

4

B. A. 1 C. D. 4





 

 

  2

2

4

2

4

2

 

2 

 





 11 

Câu 24: Mệnh đề nào sau đây là đúng ?   A.  C.  2

B.  D.  2 Câu 25: Trong các kết luận sau, những kết luận nào sai?

13  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

3

2

5

7

3

5







III.

I.

II.

IV.

4

4

17

28

4 13

23

1 2

  

  

1     3   B. III

1a  . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

3

2

a

1 3a

  3

a

 1



C. I D. II và IV A. II và III Câu 26: Cho

1 2016

1 2017

1 5

a

a

a a

a

1 3

2 3

1 2

3 4

 b

b

b

a  

a  

a b  thỏa mãn: , b 1,

b a  , a  1, 0

1,

1, 0

  1

A. B. C. D.

a B.

b . Khi đó   1

 1





2 3

3 2





1

0  1 

 a



1a 

C. 0 D. 0

a

b

. Khi đó ta có thể kết luận về a là 1a  a 





0,

1,

, a b thỏa mãn

n

n

n

n

a

a

b

b

n a  

n a  

Câu 27: Cho a A. Câu 28: Biết  a  1 2a  B. D. 0 C. 1 b 0, A. Câu 29: Cho 2 số thực

   B. m a m n

m n    C.

0

0

2a   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 a b   n 

a b   n 

5

3 P x x x x x





,

0.

D. A. m a

Mệnh đề nào sau đây đúng? 13 10

3 10

2 3

1 2

P x

P x

P x

P x

Câu 30: Cho

4

3

2

3

P

x

x

x



.

.

,

0

C. B. D. A.

2 3

1 2

x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 13 24

1 4

P x

P x

P x

P x

Câu 31: Cho biểu thức

7 6

7 6

P





x y ,

0

B. C. D. A.

ta được





x y xy  6

6

x

y



6

6

xy

P

x

y

6P 

y

Câu 32: Rút gọn

 

n

 n 

 n 

P

a





b  



0,

là

 ab



n

n

n

n









a a

b b

b b

 

P

P

P

P









A. P x C. P xy D. B. n   Câu 33: Rút gọn biểu thức

n

n

n

n

2

b

b

b

b

n n a b n 2 a 

4 n n a b n 2 2 a 

a  a  2 n n a b n 2 2 a 

 2

a

1

P





:

a

a



  Rút gọn biểu thức

0;

1.

C. D. B. A.

ta được

 1

a  3

2

2 2  1 a

 a

a



1



2 

3 n n a b n 2 2 a     

   

Câu 34: Cho

1 a

1 4

1 4

1 4

1 4

1 2

1 2

P









a 2

b 3

b 3

b 9

với a và b là các số thực dương. Biểu thức

D. B. 2a C. a A. 2

  

  a . 2    

  a . 4    

, với

   



;x y  ℤ . Biểu thức liên hệ giữa x và

x

x

y  

y 

y 

y x  

65

97

56

97

Câu 35: Cho

B. C. D.

thu gọn của biểu thức P có dạng là P xa yb y là x A.

4

ab

a

b





4

4 P m a n b

P





có dạng

, với





;m n  ℤ . Khi đó biểu thức liên

a 4 4

4

4

16 4 b

b

a





m n 3

  1

Câu 36: Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức

a hệ giữa m và n là m n   3 A. 2

m n  0

D. B. C.

m n   2 Câu 37: (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 14

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



5

6

 7

6

6

7

 6

 5

.









.

. C.

.

3 4

3 4

4 3

4 3

3 2

3 2

2 3

2 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

A. B. D.

sau, mệnh đề nào sai?

2019

2018

  2 1

2

3 2 .







1

1

.

Câu 38: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định - Lần 1 - 2018) Trong các mệnh đề

2 2

2017

2018

    2017





 2 1

 2 1

.

 3 1

 3 1

.

A. B.







C. 

    D. 

    2018 

    

2 2 

2017

2018

2018

2017





 2 1

 2 1

 3 1

 3 1

.

.

Câu 39: (SGD - Nam Định - Lần 1 - 2018) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?









2018

2017

3

  2 1

.

2

2







1

1

A. 

.

 2 2

 2 2

   

   

   





2 3

1 3



1

 a



0a

C. D. B.      Câu 40: (THPT Vân Nội - Hà Nội – HK1 - 2018) Cho số thực a thỏa mãn điều kiện

 a A.

   1 0a  .

. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1a  . C.

0a  .

   .

B. 0 D. 1

Vấn đề 2. HÀM SỐ LUỸ THỪA

m

y

x

D 

0;

 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

\ {0}.

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số D  ℝ A. C.

, với m là một số nguyên dương.

D  ℝ .

;0 .



   .

n

y

x

D 

0;

D. B.

\ {0}.

D  ℝ .

 D   , với n là một số nguyên âm.  D  



   .

D 

0;

x \ {0}.

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số D  ℝ A. D. C. B.

;0 . , với  không nguyên. ;0 .

 D  



   .

2020

x 

có nghĩa.

x  0.

x ℝ .

A. C. D. B.

x  0.

x 1



A. D.

x  0.

Câu 5: Tìm điều kiện của

x ℝ .

x  0.

2 5

x

x  0.

A. Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y D  ℝ D  ℝ . Câu 4: Tìm điều kiện của x để hàm số y x  0. B. y để hàm số x  0. B. C. có nghĩa. C. D.

x ℝ .

A. B.

có nghĩa. C.

x  0.

x

.

D 

D 

0;

0;

D.

\ {0}.

D  ℝ .

   .



   .



y

5 x

.

D 

D 

0;

0;

Câu 6: Tìm điều kiện của x để hàm số y x  0. Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y D  ℝ A. B. C. D.

\ {0}.

D  ℝ .

   .



   .



y

4 x

 1.

D 

D 

0;

0;

Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số D  ℝ A. B. C. D.

\ {0}.

D  ℝ .

   .



   .



Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số D  ℝ B. C. D. A.

15  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

3

y

x

x



  1.

D 

D 

0;

1;

\ {0}.

D  ℝ .

   .



   .



m

x

y

x  



1

Câu 10: Tìm tập xác định D của hàm số D  ℝ C. D. A. B.

D 

0;

D  ℝ

 \ {0}.

Câu 11: Tìm tập xác định D của hàm số

D  ℝ .

, với m là một số nguyên dương.    .

 D  

;0 .





y





x 2

4

.

D. B. A.

D 

2;

D  ℝ

D  ℝ

\{2}.

 \ {0}.

Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số

2 C.  2020 C.

D  ℝ .



   .



y



x  1 2

.

A. B. D.

 3 1

D 

0;

D

D

D

ℝ



 



;

.

\

.

;

.

Câu 13: Tìm tập xác định D của hàm số



   .

1 2

1 2

  

  

   

  

 1     2  

3 11

x



.



B. C. D. A.

D 

D 

4;

4;

   .

 D  

;4 .



   .



n

y

x  



x 2

1

Câu 14: Tìm tập xác định D của hàm số D  ℝ B. C. D. A.

, với n là một số nguyên âm.

2

 y  4  \ 4 . 

D  ℝ

D

D

D

\ {0}.

ℝ



.

Câu 15: Tìm tập xác định D của hàm số

1 2

1 2

1 2

   

 ;1 .  

  \ 1, 

  

   

 ;1 .  

1 2

x

y



.



D  ℝ

D 

9;

B. C. D. A.

;9 .

 D  

 \ 9 .



   .

y





  9 ;9 . 3 3 x

7.

D

D  ℝ .

 



  ;

;

.

.

;

.

B. A. C. D.

7 3

7 3

    

  

  

  

    

y

D

D



;

.

.

D  ℝ .

A. B. C. D.

     D.



 ℝ \

 

x





2

1

D 

D 

A. B. Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số  D   Câu 17: Tìm tập xác định D của hàm số 7   3  Câu 18: Tìm tập xác định D của hàm số 

A. B.

4 4 x    4 .      . ; 

D C.  5 D  C.

 D  

;5 .

  .

 1;3 .

 1;

3

 2

y

x





27

là



D 

D 

3;

3;

\ 2

D. Câu 19: Tìm tập xác định D của hàm số y   1;5 .

D  ℝ .

  .



  .





ℝ

;1

2;

A. C. D.

2 

1;2 .



    .

 ;1

2

x



A. Câu 20: Tập xác định của hàm số  B. Câu 21: Tập xác định của hàm số  x B.    \ 1,2 . D. 

 . 2017

; 4

.

Câu 22: Tập xác định của hàm số

.ℝ

A.

 D  ℝ .  2 3 x     C.   2;  x  4 3 4;1 . 

là C. 

y  B. 





    D.   1;

4;1 . 

y

là

ℝ



5;

5;

B.

 3

 x  5  \ 5 .

  .

  .

1 2 3

Câu 23: Tập xác định của hàm số ;5 . A.  D.  C. 

là



 

m  

; 2

.

2

3.

Câu 24: Tập xác định của hàm số

y      B.  2;







 x  4 2;2 . 

 ; 2 .

D. A.  C. 

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 16

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y

x





2 2 x 

3

là

 2



1;

Câu 25: Tập xác định của hàm số





D 

0;

A. B.

D  ℝ . 

  .

 D     . ;1 1;3 .

  D  



y

x



2 1 

C. D.



 2

1;

Câu 26: Tập xác định của hàm số







D 

A. B.

D  ℝ . 1;1 .  D  

 D     .  1 .

;1  ℝ \

2 2 3

y

x





x 3

C. D.

là





3;

Câu 27: Tập xác định của hàm số

 D     .





D  ℝ

D 

A. B.

D  ℝ .   \ 0;3 .

 

;0 0;3 .

2

1 3







x 3

4

2

C. D.

Câu 28: Tìm tập xác định của hàm số:

B.

 C.

 D  

x  .  D  

 D  

1;2 .

1;2 .

y  D  

;2 .



x

y





2

là

 x   1;2 . 

 2

\

  2; .

D. A.

  2; .

.ℝ



  2 .ℝ



y





24 x

1

D. B. Câu 29: Tìm tập xác định của hàm số  A.  C. 



 4

ℝ

.

\

0;

.

Câu 30: Tìm tập xác định của hàm số

.ℝ

  .

1 1 ; 2 2

1 1 ; 2 2

  

  

  



2

x





x 2

D 

D  ℝ

A. C. D. B. 

B. D. A.

   Câu 31: Tìm tập xác định D của hàm số   D   ℝ \

 1;1 .

 \ 2 .



2

2

y

x  





x  

1

x 2

x 2

3.

 y  1 1;1 . 

Câu 32: Tìm tập xác định D của hàm số

 2020  4. 1;1 .  D   C.  2 2

D

D

D

D  ℝ .

ℝ



\

1 2

1 2

1 2

 ;1 .  

 ;1 .  

   

 ;1 .  

e



2

2

y









x 2

1

x 3

4.

D  ℝ

1;

D  ℝ .

B. C. D. A.

A. B.

 1 D  C.

D.

       Câu 33: Tìm tập xác định D của hàm số   \ 1 . D  

 x  ;1 .

x 

    .

y



x  

2.

x x

 

1 1

; 1

Câu 34: Tìm tập xác định D của hàm số

1;1 .

; 1

1;

A. B.

 D   





 

 

 D       .  D       . ; 1

 1;  1;

2

3

y

x







x  

4

1.

C. D.  D       .

Câu 35: Tìm tập xác định D của hàm số

A.

x x B.

2;2 . ; 2

2;

 D   





 1  1  D    D  

   2;2 \ 1 .    2;2 \ 1 .

5

2

2

3 5

x

x

y

x











2

9

x 5

C. D.  D       .

 2.





D 

2;

; 3

3;

Câu 36: Tìm tập xác định D của hàm số

 B.

 

    .



 D       .



A.

  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

17

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

D 

D 

3;



   .

 ℝ \

 3,3,2 .

2

 7 1

x



2

y











x 2

5

x 3

11.

C. D.





x 3 x 

 3

D 

D

D

D



 

.

;

Câu 37: Tìm tập xác định D của hàm số



2;3 .

5 2

5 2

5 2

 ;3 .  

   

 ;3 .  

  

e 

2

3

2

2

y

x

x

x











25

x 2

1

A. B. C. D.

    Câu 38: Tìm tập xác định D của hàm số

 7.

5; 1





 1;5 .

 

; 1

1;

A. B.

  1;5 . 

x 3  

  D  

D     5; 1 5;5 .



 3

2

2

2

x

x

y

x

x











4

x 5

x 2

C.

 1.



4;

4;

Câu 39: Tìm tập xác định D của hàm số



   \ 0 .

A.

      4  D       D       . D.  2 3 x  3  D      . B.

  7 



D 

D 

  D      ;1 1;4 . 

  ;1 1;4 . 



2020



8

1

2

y

x









3.

C. D.

 3 16

2 2

x   x 

  

Câu 40: Tìm tập xác định D của hàm số



A. B.

    4;4 \   4;4 \

 2,2 .  2 .

 D    D  

 D    D  

   4;4 \ 2 . 4;4 .

C. D.

x

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA

là

1

.

Câu 1: Đạo hàm của hàm số y

.

1x   .

1x   .

 x 1  

 x   

1

1

y

C. D. B. A.



  u x  

1

1

 u x . ( )

 u x . ( )

.

. C.

. D.

.

Câu 2: Đạo hàm của hàm số







 u x   

  1  

 u x   

   

  1  

y



53x

34x  .

B. A.

.

.

y

A. C. D.

x  4  B. x  5

 u x    Câu 3: Đạo hàm của hàm số 34x  Câu 4: Đạo hàm của hàm số

   là     u x      là 54x  . bằng

4

y

y

y

y

x 

  

 

 

  

x  65

.

x  65

.

x  45

.

.

1 4

y



A. D. B. C.

có đạo hàm là

 x

1  31

x 3 (

2 1)

x (

3 1)

1

1

y

y

y

y

 

 

 

 

Câu 5: Hàm số

 3

 3





x 3 (

3 1)

x 3 3 (

2 1)



2

4 3

y

x







3

3; 3

B. C. D. A.

là





có đạo hàm trên khoảng 





2

2

7 3

7 3

y

x

y

x

x

  



 



3

.

3

.

Câu 6: Hàm số





 



4 3

8 3





2

2

2

7 3

7 3

y

x

x

y

x

x

  



 



3

.

3

.

A. B.









8 3

4 3

D. C.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 18

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

y



là

 x

1  33





2

2

2 3

2 3

y

x

y

x

 



 



3

.

3

.

Câu 7: Đạo hàm của hàm số









1 3

2

2

2

3

y

x

y

x

x

 





 





A. B.

 x x 2

1  3 ln 3



 3 .

1  33 ln



 3 .

x 2 3 

1 3

y



1

C. D.

là

 x 2





2 3

1 3

y

 



y

x 2

1

.

 





x 2

1 .

Câu 8: Đạo hàm của hàm số







 x 1 .ln 2



2 3

y

y

 



 



x 2

1

.

x 2

B. A.







4  1 . 3

2 3

1 3 2 3



2

y

x

x





là





  1

  1

2

2

x

x

x







x 2

1

.

D. C.



 1 .



  1

  1

2

2

x

x

x

x







.

x 2

B. A. Câu 9: Đạo hàm của hàm số   2



 1 .

   

 



y



24 x

D. C.

  Câu 10: Đạo hàm của hàm số





1

x 8

3

x 4

3

x  3 x  8

 là 1 3

.

.

.

.

2

2

2

2















x 2 4

x 3

1

x 4

x 3

1

x 2 4

x 3

1

x 2 4

x 3

1

2

y







x 2

x 3

A. B. C. D.

1  2 . 3







x 4

3

x 4

3

y

y

 

 

.

.

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số

3

3

3









3

x 2

x 3

2

3

x 2

x 3

2



2



2



x 4

3



x 4

3

y

y

 

.

 

.

A. B.

2

3

3





3 x 3 2

x 3

2





x 2

x 3

2



2

2

y







x 3

x 2

D. C.

4  1 . 3



2

2

y

y

 





 







x 3

x 2

x 6

x 2

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số





2  1 . 3

 x 2 3

2  1 . 3

2

2

y

y

 





 







x 3

x 2

x 6

x 2

A. B.





1  1 . 3

 x 2 3

1  1 . 3

4 3 4 3

4 3 4 3

2

2017

y





2

C. D.

là

 x





2

2

2

2

1 2

1 2

y

x

y

y

y

 



 



 



 



3

.

3

.

.

Câu 13: Đạo hàm của hàm số

 x x

3  23 .

 x x

1   23





 x x



1  23 1 2

1 2

3

2

x

x



  Giá trị của

1.

A. B. C. D.

 0f 

 f x



.

.

Câu 14: Cho hàm số

là 1 3

2 3

3

y

x



  . Giá trị của

22 x

1

A. 3. B. 1. C. D.

là

 0f 



.

.

Câu 15: Hàm số

1 3

1 3

A. B. C. 2. D. 4.

19  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

5



. Tính

 f x



 0f 

x x

 

1 1

f 

f 

f 

f 

Câu 16: Cho hàm số

  0

  0

  0

  0

1  . 5

1   . 5

2  . 5

2   . 5

3

y



.

Đạo hàm

A. B. C. D.

bằng

 0f 

x x

 

2 1

.

Câu 17: Cho hàm số

1 3

4





3 1 2 sin 2 . x

Đạo hàm tại của hàm số đã cho tại điểm

x  0.

 f x



f 

f 

f 

f 





 

.

.

.

A. 1. B. 3 2. D. 4. C.

 1.

 0

  0

  0

  0

2 3



2





f x ( )

x 5

1

là

4 3 

 1

.

.

A. B. C. D. Câu 18: Cho hàm số 1 3

7 5

1 3



1

A. B. C. 1. D. Không tồn tại. Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số 6 5



 x 2



1;5 là

Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 f x B. 3 11.

5

3

x

x







D. 1. A. 3 3.

 f x



trên đoạn 

1;3 là



Câu 21: Giá trị lớn nhất của hàm số

B. 3. D. 271.

trên đoạn  C. 0. 1  21 C. 41.

5 3



x  5 2

A. 1.







0;2 là

Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 f x B. 3 3125.

D. 0.

trên đoạn  C. 3125.

4 3





1

A. 1.

là





x  

trên đoạn 

3;0

 f x 1

1

.

.

Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số

3

3

256

2



f x ( )

4

B. D. C. 1. A. 0.

16 Câu 24: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 x

2

1;3 . 

C. 9. D. 25.

trên đoạn  A. 7.

Giá trị M m là B. 16.

3

2

3

y

x



là

3

y

x

y

x

y

x

y

 

 

 

 

.

.

.

.

Câu 25: Đạo hàm của hàm số

6 7

x 67 6

34 3

x

7

y

5 x

3 8. 

A. B. C. D.

2

2

2

2

x 3

x 3

y

y

 

 

.

.

y

y

 

 

.

.

Câu 26: Đạo hàm của hàm số

6

4

3

3

3

3

5

5

5

5

x

x





8

2

8

5

x

x





5

8

5

8

x 3 



x 3 











3



a bx 

3 ,

với

,a b là tham số, có đạo hàm là

2

2

A. B. C. D.

bx

bx 3

32

3

.

a bx

bx 3

.

.

.

3

3

3

2

3

3

3

a bx

a bx

3

2

 a bx





y

x





2

Câu 27: Hàm số y bx A. B. C. D.

. Hệ thức giữa y và y không phụ thuộc vào x là



 2

Câu 28: Cho hàm số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 20

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y

y

y

 



 



 





26 y

0.

y 2

0.

y 3

0.

y 4

0.

A. B.

y C. 2

2  

y





23 x

m 2

D. 

đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn 

2;3 .



5

Khẳng định nào sau đây đúng?

m  

m  

25.

10.

m  

.

Câu 29: Gọi m là số thực để hàm số

m   5.

25 2

2

y

.



x m  2

A. B. C. D.

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 trên đoạn 

1;4



3

m 

Câu 30: Gọi m là số thực để hàm số

B. C. D.

Khẳng định nào sau đây đúng?  m    A.

 m  

1;1 .

 3; 1 .



0;3 .

 m  

3;0 .

2

3

y

x





1

có đạo hàm là

2



x 4

x 4

2

2

y

y

 

.

 

y

y

x

.

 

 



3 x x 2

1.

x 34

Câu 31: Hàm số

 D.



2 1 .

3

2

2

3

x



3

1

x



3

1



2

2

y

x





4 2 x

B. C. A.

ℝ

 ;0

.

Câu 32: Cho hàm số

.ℝ

 f x    D. 2;

A.

. Đạo hàm của hàm số B. 

0;2 .

có tập xác định là  



  \ 0;2 .

e e e e x



0

, với

C. 

x  và e là hằng số. Đạo hàm của y là



e e e e

e e e e

15 16

31 32

15 16

31 32

y

 

y

e

y

e

.

y

 

 

x .

.

x .

.

 

.

Câu 33: Cho hàm số y

32

31

x

2

x

2

y

x



x  

A. B. C. D.

là



32. 1  31



x 2

1



x 2

1

2

2

y

y

 

.

 

y

x

y

x

.

 

x  

 

x  

Câu 34: Đạo hàm của hàm số



2  1 . 3

8  1 . 3



3

2

2

1 3

1 3

3

x

x  

3

1

x

x  

1

3



A. B. C. D.

2 Câu 35: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ



2

2 3

y

y

y

x

y

x



x  2

5 x

.

.

A. D. B. C.

4

1 5

 1 3

y

y

y

x

y

x

x



x  4

.

.

. . Câu 36: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

.

.

y 

B. C. D. A.

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

1 4x

2

y

x 



Câu 37: Cho hàm số

 f x

có đồ thị   0; .

C không có tiệm cận.

Câu 38: Cho hàm số A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận. B. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. C . Mệnh đề nào sau đây đúng?

x

y



B. Đồ thị  D. Hàm số không có cực trị.

Câu 39: Cho hàm số

  A. Hàm số tăng trên  C. Tập xác định của hàm số là ℝ . có đồ thị   f x

 0; .

C không có tiệm cận.

  A. Hàm số tăng trên  C. Tập xác định của hàm số là ℝ .

C . Mệnh đề nào sau đây sai? B. Đồ thị  D. Hàm số không có cực trị.

 0; ?

Câu 40: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên 

21  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

6

1 4

y

x

y

y

y

x  2

x

.



.

.

.

6x  x

1 3

y

x

A. B. C. D.

. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

làm tâm đối xứng.

;0 và lồi trên 

 0; .

Câu 41: Cho hàm số

y

x  4

A. Hàm số đồng biến trên tập xác định. 0;0O  B. Hàm số nhận C. Hàm số lõm trên  D. Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

1;1 .

Câu 42: Cho hàm số



3 4

y

x

y

y

y



x

x  4

.

4.

3 x

A. Đồ thị hàm số có một trục đối xứng. C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. B. Đồ thị hàm số đi qua điểm  D. Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng. Câu 43: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng mà nó xác định?

.

.

1 3

2

x

và

B. C. D. A.

 f x



 f x  . Tính giá trị của 0x .

0

.

Câu 44: Cho

1 8



2

x

y





A. 8. B. C. 8 . D. 6.

. Mệnh đề nào sau đây là sai?



1

1;   .



Câu 45: Cho hàm số

1 A. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. B. Hàm số nghịch đồng trên khoảng   C. Hàm số có tập xác định là  1;   . D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. 2

y



x (

2 1) ,

có các khẳng định sau. Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

0;



  .

Câu 46: Cho hàm số

D  I. Tập xác định của hàm số là II. Hàm số luôn đồng biến với mọi x thuộc tập xác định của nó. 0;1M  III. Hàm số luôn đi qua điểm . IV. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. A. 2 .



3

2

1 3

1 3

y

y

x

y

x

x

x

B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 47: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

.

.

.

A. B. C. D.

y  Câu 48: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?



2

1 2

1 2

y

y

x

y

y

x



x

x  2

.

.

.

A. B. C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 22

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



4

1 4

1 4

y

y

x

y

x

x

x  4

Câu 49: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

.

.

.

A. B. C. D.

y  Câu 50: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?



1 3

3 2

1 2

1 2

y

y

x

y

x

x

x

.

.

.

B. C. D. A.

y  Câu 51: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?



4

1 4

1 4

y

x

y

x



.

.



D.

. x 

x  4 0; được cho

x  x y ;

C. y 

y A. Câu 52: Cho

y trên khoảng 



















 

.

0 1

1

   0 1

  .

B. ;  là các số thức. Đồ thị các hàm số hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

   .

.

2

y

x

B. C. 0 D.

1 A. 0 Câu 53: Cho hàm số

0;



.

, có các khẳng định sau  D   . I. Tập xác định của hàm số là II. Hàm số luôn đồng biến với mọi x thuộc tập xác định của nó. 1;1M  III. Hàm số luôn đi qua điểm IV. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 2 .



x





 x y ,

 x y ,

D. 1 . B. 3 . y  C. 4 . có đồ thị như hình vẽ. Chọn đáp án đúng: Câu 54: Cho các hàm số lũy thừa

23  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



.

 .

 B.   

 .

.

2

y

x 

C.     D.   

 A.    Câu 55: Cho hàm số

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

0;   .



0;   .

1 5

y

y

x

y

x



y 

x 

log

5.

A. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng   C. Hàm số có tập xác định là  D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Câu 56: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận 2 trục tọa độ làm 2 tiệm cận

.

.

3

2x b

a

y

y

x

x

. Hãy chọn khẳng định đúng.

và

B. C. D. A.

. Câu 57: Hình dưới đây là đồ thị của hai hàm số

0

0

0

0

b a  .

a b  .

b a  .

a b  .

1 4

y

x

A. B. C. D.

?

Câu 58: Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là đồ thị của hàm số

A. B.

D. C. Câu 59: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 24

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

4

2

4 3

2 3

y

y

y

y

x

x

x

B. C. D. A.

x Câu 60: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?



3

1 3

y

y

y

x

y



x  3

3 x

B. C. D. A.

x Câu 61: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?



y

x

y

y

x

y



x



x  3

 2 .

1 3.

5 2 .

n

n

y

x

x

2; 2







2n  để hàm số

với

B. D. A. C.

2









 x  



5n  .

Câu 62: (THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 - 2018) Tìm các giá trị nguyên có giá trị lớn nhất gấp 8 lần  2

6n  .

2n  .

B. C. D.

dương giá trị nhỏ nhất. A.

 1

 2

x

y

x



4n  . 2  2

lấy điểm

. Tiếp tuyến của

0

0M có hoành độ

C của hàm số 0M có hệ số góc bằng

1 .

B. 2. D. 3 Câu 63: Trên đồ thị  C tại điểm  2 . A. C. 2

25  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

CHỦ ĐỀ 2. LOGARIT

,a b với

1a  . Số  thoả mãn b  được gọi là logarit cơ số a của

 

 a  

◈ ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT

b  *

loga b

Cho hai số dương đẳng thức a b và kí hiệu là loga b .

0

*

Ta viết:

1a  ,

0 "

a b c b b  , , , , , 1

2

a 

c

"Các công thức dưới đây sử dụng với điều kiện ◈ TÍNH CHẤT CỦA LOGARIT Xuất phát từ công thức  * ta có các tính chất về logarit dưới đây n  ℕ ,

b

b



và

, với

b

1c  .



log

c log .log c a

a

b a

log log

log

a b

c

a



b , log

a

c

b



Đặc biệt:

và

log

log

loga

a





a

① log a ⑥ log a ②



log a

log a

 b b . 1 2

 1, log 1 0 a   a   b log a 1

b 2

a

1 b   

1 log

c

③





log

log

log

a

a

a

b 1

b 2

b 1 b 2

b

b

b





log

log

lg

10

 

log

log

⑦ Lôgarit thập phân là logarit cơ số 10. Kí hiệu: ④

a

a b

b

Ví dụ: Đổi từ cơ số a về cơ số 10:



log

1 b

a

b a

log log

b

  b

log

Đặc biệt:

a

a

e 

2,71828...

.

c

a

n

log b

log b

⑤ log

a

c

và

b

b



log

log

a

a

1 n

b



log

ln

e b

b

Ví dụ: Đổi từ cơ số a về cơ số e :



log

a

b a

ln ln

⑧ Lôgarit tự nhiên là logarit cơ số Kí hiệu: Đặc biệt:

VÍ DỤ MINH HOẠ



 Dạng 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC LOGARIT

0

1

◈ GHI NHỚ





loga f x xác định



0

a     f x

   

0

0

Biểu thức .

A

1

 xác định?



 x log 2 2

x

x

x

ℝ







;

\

.

.

.

x    . ( 1;

)

 n là số tự nhiên lẻ thì nA  n là số tự nhiên chẵn thì

A. B. C. D.

nA  cần nhớ: Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình A    . 0 0 nA A    . 0 Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức  1 2

1 2

   ; 

  

  

1     2  

   Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 26

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

Điều kiện xác định:

    .

x 2

1 0

x

1 2 B





 ln 4

2 x 

x 

2;2

.

.

.

. D.

 x  

 ℝ \



 x  

xác định? 

 ℝ \ 2;2

2

x



A. B. Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức 2;2 2;2

4

0

     . 2

Điều kiện xác định:

3

C

x

x



x  

x   . 0;

.

C. Lời giải 2

. D.



2  2 .    \ 2

 x   0;

   \ 2



 log  x   0;

3

A. B. C.

x Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức   x   . 2; Lời giải 0





Biểu thức A xác định

. Vậy

.

   \ 2

 x   0;

2

0 2

x





2

0

x   x  

x   

 x    

2021

D





.

log

x 2

1

2



x

x





2

x 

x

x

x

.

.

.

.





;

;2

Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức



0;2

1 2

1 2

1 2

  

  

   

  

   

   ;2 \ 1  

2





x 2

0

2

x  

2

2

.

Biểu thức D xác định



  



1

2021

1

1   2    x





x 2

1

0

x 2 

 x   x       

x    ? 3;

E



log



5

A. B. C. D.

xác định với mọi D.

3m   .

 3m   .

 3m   .

0

3

x m    x    thì 3;

xác định với mọi

?

    F

x





log

3

x m  2

Lời giải     x 0  x 1   1   x  2  x m  C. A. B. Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì biểu thức 3m   .

Biểu thức E xác định Để E xác định với mọi Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì biểu thức





 x  

4;2

1 2

Lời giải . x m m   . 

m  .

2m  .

2m  .

1m   .

3 2

Biểu thức F xác định

x

  

m   .

m x 2

  , với 3

0

x m  2

   3



A. C. D. B.

3 2

m



 

Để

    .

m 2 ;3

m 2

2

4



  



4;2

2

có nghĩa với mọi x ℝ ?

G







  thì  x   4;2 2m  thoả mãn. log

x 4

1

Lời giải 

 f x xác định với mọi Kết hợp với điều kiện, suy ra Ví dụ 7: Có bao nhiêu số nguyên a để biểu thức



A. 3 . B. 4 .

 ax 2 C. 5 .

2

Biểu thức G xác định với mọi x ℝ

.

x

a

ℝ

ax  

x     

4

0,

1

   0

4

0 a  

0

a   4 

a 

Vì a ℤ nên

.

  1;2;3

D. 0 . Lời giải

27  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

3 2 loga b

a

ta được







0,

b 1,

0

P a 

 Dạng 2 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT

 a



2

3

2 3 P a b

P ab

P a b  2 

3 P a b

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

3

3

3

b





2

3 2log a

a

3 a b









.

2

b

2

a 2log a

b

a log a

a b

a

2

và thay

a

b

a

b



 ta được



 vào 4

2  3 2log 5

2,

5

2,

5

D. A. B. C. Lời giải

a HS có thể sử dụng MTCT: Gán đáp án để so sánh.

2

2

a 

k

2 m n 



. Ta phân tích được



 ℤ . Tính

m n k ,

,

,





log 5 2

log 1000 4

Ví dụ 2: Cho

A. 13 . B. 10 .

ma n  k C. 22 .

a 3

3

Ta có:

a















 log 2 log 5

1 log 5

1

D. 14 .









2

log 1000 4

log 10 2

2

2

3 2

3 2

 2

3 2

2

2

.

k

2 m n

k

3 2 

m n   

  



3,

2

22

2

5

3

4

2

a

a

a

nằm trong khoảng nào sau đây?

Lời giải  

loga

7

15

   

Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức

2;5 .

A. 

    B. 

a 0;1

1;3

2;3 .

D. 

2

3

2

5

4

4 5

2

a

a

a

3

2 4 7    3 5 15

a

a







.

log a

log a

log a

15

7

a

2 2 a a a 3 7 15

  

  

   

   

a

    

    

2

3

2

5

4

a

a

a

và thay

2a  . Tính

2a  vào 4 đáp

C.  Lời giải

loga

15

7

a

   

   

án để so sánh.



a 0,

1

. Khẳng định nào

x 





log

HS có thể sử dụng MTCT: Gán

 a



a

log 9 log 5 log 2 a

a

a

1 2

2

x  . 2

x  .

1x  .

Ví dụ 4: Cho số thực x thỏa mãn:

sau đây đúng? x  . 0 A.

Ta có:

x 











log

log

9 log 5 log 2

a

log 9 log 5 log 2 a

a

a

a

a

a

1 2

x  .









 log 3 log 5 log 2 log

log

a

a

a

a

a

6 5

6 5

  

3.2 5 4 log

   5

2

a

1a  , biểu thức

85 .

B. D. 0 C. 1 Lời giải

Ví dụ 5: Cho 0 A. 25 .

E a B. 625 .

có giá trị bằng bao nhiêu? C. 5 .

5

log 5 a

2

4 log a

log 25 a

4 2

a

a

E a 







Ta có:

25

.

A 





log 7 2 log 49 log

.

D. Lời giải

9

3

1 7

A 

A 

A 

3 log 7

2log 7

4 log 7

.

.

.

.

Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức

1 3 A  log 7 3

3

3

3

B. A. C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 28

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



2

1

A













log 7 2 log 49 log

log

7 2 log 7



Ta có:

1

.

9

3

3

2 3

1 2

1 7

log 7 3

1 3

 





 log 7 2 log 7 2log 7 3log 7

3

3

3



log

log

2 sin

cos

có giá trị bằng

2

2

 12

 12

  

log

3    3 1 .

Ví dụ 7: Biểu thức

A.

      B. 2 .

2









Ta có:

2 sin

log

2 sin

log

cos

log

.cos

log

sin

log

  1

.

2

2

2

2

2

D. 1 .

 12

 12

 12

 6

1 2

  

  

  

  

  

  

  

  

C.1. Lời giải  12

được kết quả bằng 1 .

đó nhập



log

2 sin

log

cos

2

2

 12

  

  

x

a

b



    , với 0

   , ln10



10

HS có thể sử dụng MTCT: Chuyển máy tính về đơn vị Rad (Shift + Mode + 4). Sau

.

a b

1

 12 1x  . Tính ab b 1

1

A. B. C. D. Ví dụ 8: Cho lg b b

 log e x bằng ab 2 b 1 Lời giải

a

1

log

x





log













e 10

e

1  log 10 log

ab b  1



1  e log 10. x

x

x







1

1

x

e x

1 b

1 log

log log

x 1 ln10

 Dạng 3 BIỂU DIỄN LOGARIT THEO CÁC LOGARIT ĐÃ BIẾT

◈ GHI NHỚ



log 20 theo

a , log 5

,a b .

Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

log 3 2

2

3

b

b

 . Biểu diễn 2

1









 Bài toán minh hoạ: Cho

log 20 3

log 20 3

log 20 3

log 20 3

 a

b  2 a 2

b  1 a 2

b

2

2







 log 20 log 2 .5

 2 log 2 log 5

Ta có:

. Chọn B

3

3

3

3

D. . C. A. B.  Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit.  Cách 2: Sử dụng MTCT. b  a



b 2    a a

 a

2 log 3 2

log 5 2 log 3 2  Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal) Bước 1: (Gán 3 giá trị

log 3 và

log 5 vào các biến A, B và C trong máy tính)

2

2

 Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit 

 A 

 Bấm phím "

"  Shift 

 Nhập

 Bấm phím "

 B 

"  Shift 

 Nhập

 C 

 Bấm phím "

"  Shift 

Bước 2: (Thử đáp án)

 Nhập

 Máy tính trả ra kết quả khác 0  Loại đáp án A

 Thử đáp án A: Nhập

 Máy tính trả ra kết quả bằng 0  Chọn đáp án B

 Thử đáp án B: Nhập

29  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

a

b





Ví dụ 1: Giả sử đặt

log 45 theo a và b

6

log 3. 5

Hãy biểu diễn

2

a

a 2





log 45 6

log 45 6





A. B.

log 45 6

log 45 6

log 3, 2 ab  2 ab ab a  2 ab b 

ab  2 ab 2 ab a  2 2 ab b 

a







Ta có

log 5 3

log 3 2

log 2 3

1  và a

C. D.

1 log 2 3

2



2

3











Vậy

.

log 45 6

 

ab a  2 ab b 

2 log 5 1 log 2

log 45 3 log 6 3

  log 3 .5 3   log 3.2 3

3



1

1 b 1 a

b



log 7 theo a và b

a ,log 7 12

2

Lời giải 1  . b

.









Ví dụ 2: Giả sử đặt

log 7 2

log 7 2

log 7 2

log 7 2

a

a

b

log 6 12 a 

 . Hãy biểu diễn b 

b 

a 

1

b

1

1

1

A. B. C. D.

2

a











Lời giải

log 3 2

log 6 12

 

1 log 3 2 log 3

a  1 2 a  1

log 6 2 log 12 2

b

b

b



















1

1

.

log 7 12

log 7 3

a  2 2 a  1 2

b  a  1 2

  

  

log 7 3 log 12 3

2 log 3 2

  

Vậy

.







log 3.log 7

.

log 7 2

2

3

2    b 

1









.

Cách 1: Ta có

log 7 2

a

b 

a log 7 12  1 log 6

1

12

log

12

log 7 3  2 log 2 1 3 b a   1 2 a a   1 1 2 log 7 log 7 12 12 12 log 2 12 6

a ;

1b  và các số thực a , c , x thỏa mãn: log 3b

x  . Hãy biểu diễn x theo a và c .

Cách 2: Ta có

6

.

Ví dụ 3: Cho số thực dương b thỏa mãn c và 3

C. a c .

.

.

c a

log 6b c a 2

c a 3

D. A. B.

x

  



x

x 3

6

Ta có

 . Vậy

log 6 3

c a

c  . a



a , log 5

log

Lời giải

, ,a b c

3

.

.

.

Ví dụ 4: Cho

ac 2 abc 

1 

log 6 b log 3 b b , log 2 7 ac 2 abc 

 log 3 2 ac  1 2 c abc   2

1

c  . Hãy tính  1 c  2

1

63 theo 140 ac  1 2 c abc   2

1

 c 2

1

. A. C. D. B.



2 log 3

2

2

1 log 2 7

2

2







log

63

Ta có

140

2

 2 log 3 log 7   2 log 5 log 7

2

2

2

  log 3 .7 2  log 2 .5.7







2 log 3.log 5 2

3

1 log 2 7



a 2

1 c





ac  1 2 c abc   2

1

ab





2

1 c

Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 30

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

a  

, a ,b ,c  ℤ . Tính tổng a b c

  .

log 45 6

log 5 2 log 3 2

Ví dụ 5: Cho

b  c  B. 2 .

2

2

2

2





Ta có





log 45 6

 log 3 .5 6



2 

 2 log 3 log 5 1 log 3

2  log 3 5 2 log 6 2

2







 2 log 3 1 2

log 5 2 2

a b c

  2

2 2 1 1

       .

. Vậy



 



 log 3 1 2

log 5 2 2 log 3 1 2

1

2

2

 2 log 3 log 5   log 2.3 2 a  2  b   2    c ab





a 4

b 9

13

. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng

, a b thỏa mãn

A. 4 . D. 1 . C. 0 . Lời giải

a

b

a

b







b 3

log

2 log







b 3

3 log

2 log

Ví dụ 6: Cho các số dương thức sau.

a A. log 2

 a log 2



1 4

a 2

b 3

a 2

b 3

a

b

a

b

.









log

log

log

log

log

log

. B. .









 5

1 2

 4

1 2

  

  

  

  

2

2

ab

ab







C. . D.

Ta có

a 4

b 9

13

b 3

25

 a   2

2

ab

a

b













b 3

2 log 5 log

log

Lấy logarit cơ số 10 cho hai vế ta được:   b a  3 2log 2 log 25

 a 2 log 2





 b 3

a 2

a

b

.







2 log

log

log





 5

1 2

Lời giải

31  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

BÀI TẬP RÈN LUYỆN



,a b với

c

b

c





 Dạng 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC LOGARIT

log a

log a

b log .log a a

log a

b

c

c







A. B.

 

log a

log a

b log .log b a

log a

1a  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?   bc    bc 1a  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

b

b



log a

a a c

c

D. C.

b b  log .log b a

, ,a b c với

1a  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

b

c







.

B. log D. log a Câu 1: Cho các số thực dương  bc log a  bc log a Câu 2: Cho các số thực dương ,a b với c c  A. log log a a a  C. log 1 0 Câu 3: Cho các số thực dương

.

 bc



log a

log a

log a

log a

b c

b c

loga b

a

B. A.

b .

log a log a a a  . 1

a

, ,a b c với

b 1,

1

D. C. log

 ,. Khẳng định nào sau đây đúng?

c

c

b

c







Câu 4: Cho các số thực dương

.

.

log b

log a

log a

c



c

c



.

.

A. B. log b

log b

a log .log a

b

b c a c

log a log a log b log a

, ,a b c với

C. D. log b

1a  . Khẳng định nào sau đây sai?

b

b

b

a

b

b

 

 

log

1

log

.

a  . C.

. D. log

.

a

a

Câu 5: Cho các số thực dương

log b

loga

a

1 b   

A. log a B. log .log b a

a

2

0,125

log9

a 2

log

log

a  . 1

  . 1

Câu 6: Cho a là số thực dương,

log 1

1a  . Khẳng định nào sau đây sai? 1   . 3

1 a a 3

1 a a ,a b với 1 a b

C. B. D. . A. 

  . Khẳng định nào sau đây đúng?

x

x

log

  

1

0

Câu 7: Cho hai số thực

2021 1 .

.

2020

2021 2020

  

  

x

x

log

2020 1 .

  

1

0

.

A. B.

2021

2020 2021

  

  

D. C.

n





x

xy

y

0



.log

Câu 8: Cho 0



a

log a

. . B. loga x a có nghĩa với x . D. log a A. log 1a x log C. a

1a  . Mệnh đề nào sau đây đúng? a a  . a và log 0  n n x x  0, log a Câu 9: Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây là đúng? c

b

b

c



  .

log a

c c

b b

c c

 

b   . b   .

log a log a

ab

ab

a

b

b







.

a ln .ln

ln

ln

)

)

b

a







ln

ln

ln

A. log a C. log a B. log a D. Tất cả đều sai. Câu 10: Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

. B. ln(

.

C.

a b

a b

ln ln

A. ln( D. ln

a b Câu 11: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 32

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

a

b

a b



log

log

0

x

x

0

1

    . 0

   .

1 3

x

a

b



0

1 3 log

log

a b    0

x    .

A. log B.

0,5

0,5

 2016 log

2017

log

C. ln

1 D. Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? B.

log 5 0 .

.

3





2

2

2

 2016 log

2017

.

2 log

2

2

A.

log 0,8 0 .

0,3

x

x





2

2

b

a





log

log

log

,a b sao cho

 a b

2

2

 . Khẳng định nào sau đây đúng? với

0

2 a b  . ,

với ab



với

với

0

C.

a b  . ,

a b  . , 0 a b  0 . 1a  . Khẳng định nào sau đây đúng?

b

 

b

log

log

2

D.  ab a b   2 B. D. a b ab  

2

 ab



 ab

2 loga

a

log a

a

1 2

b

b





log

log

log

log

2

2

B. A. Câu 13: Xác định A. a b ab     2 a b  C. Câu 14: Cho các số thực dương a, b với 

 ab



 ab



a

a

a

a

1   2 1 4

1 2

1

C. D.

a b a  . Khẳng định nào sau đây đúng? , ,

ab

b

ab

b





)

log

)

log

Câu 15: Cho các số thực dương

3

3

a

a

log ( a

log ( a

ab

b

ab

b

)

log

)

log

A. B.

3

3

a

a

log ( a

log ( a

1 6 1   3

1 3

a

b





b ln

log

0

C. D.

a b  . Khẳng định nào sau đây sai? b D.

.

.

  ab  .

C. ln

1 3 1   3 Câu 16: Cho các số thực a A. log a

log b

,a b thỏa mãn B. log . a

1 a log b

1 2

2

2

2

ab

a

b









ln

ln

ln

ln

ln

ln

 ab







0  b





a b  . Mệnh đề nào sau đây sai? 



.

1 2

2

2

2

a

b

.









ln

ln

ln

ln

ln

B. A. Câu 17: Cho các số thực  a

.

 a



 b



a b

a b

  

  

  

  

0,3

10

a

M

,a b bất kỳ, đặt

C. ln D.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

3

5

b

   

  

b

M

a

M

a

b







 

log

log

3 log

log

3 log

log

Câu 18: Với các số thực dương

.

.

.

b

a

b

M

a

 





1 2 2 log

1 2  2 log

3 log

3 log

A. B.

. , ,a b c với

C. log

M Câu 19: Cho các số thực dương

ln

a







log

.

log

c

b log . c

c

c

a b

a b

a  ln c ln

2

b

a

a









log

log

log

log

.

2

D. log 1c  . Mệnh đề nào sau đây sai? b A. log B.

 4 log



c

c

c

b log . c

2 c

c

1 2

ab



1

1;

a     b   a b  ,

a 2 b  Khẳng định nào sau đây đúng?

C. D.

b

  

b

log



log

2

Câu 20: Cho 0

.

.

 ab



1 loga

a

a

1 2 log b

1 a

b



log

log

A. B.

.

 ab





 ab

   



1 loga

b

1 a

1 a

1  1 loga ,a b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

D. C.

Câu 21: Cho

33  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

3

3

a

b

a

b









log

3 log

log

log

log

log

.

.

a b

a b

1 3

a

b

.

b





log

log

log



log

a 3 log .log

.

A. B.

    3 a b .

   

    3 a b .

   

1 3













D. C.

.

.

b

b

b

b

b

b

b

b

1 log

,a b dương và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 log

1 log

1 log

8 log

1 log

4 log

3

2

2

3

.













.

A. B. Câu 22: Cho hai số thực 1 log

b

b

b

b

b

b

b

b

a 1 log

a 6 log

a 1 log

a 1 log

a 7 log

a 1 log

2

3

2

3

a

a

a

a

a

a

a

D. C.

a a 1 1 log log Câu 23: Với ba số thực dương

a ,a b c bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng? ,

2

2

2

a

b

a

 





log

b 3 2 log

log

log

  3

c log . 2

2

2

2

c log . 2

2

2

2

2

a

b

a





log

  3

log

log

log

  3

A. B.

c log . 2

2

2

2

c log . 2

2

ba 8 c ba 8 c

1 2 b

1,

3

3

a

b

b

b





log

log

log

C. D.

.

.

log b

a

a

a

3

3

a

b

b

b

.





log

log

log

log

A. B.

.

b

a

a

a

2 3 3 2

3 2 2 3

b

a



C. D.

log

1

  a b ,

1

2

2

ba 8 c ba 8 c a  a b , mệnh đề nào sau đây đúng.      . Mệnh đề nào sau đây đúng?

log b

a

2

a

a

a b

.

.



Câu 24: Cho a , b là các số thực dương thỏa    thoả mãn Câu 25: Cho 0

1  . b

1 2 b

,a b với 1 a b

  . Khẳng định nào khẳng định đúng?

b

a b

A. B. a b . D. C.

. .

  B. 1 log a a   D. log b

log b 1 log a

c

c

a

b

a

b

d  



ln

d  



.

Câu 26: Cho hai số thực a b   1 log A. log . b a a b  .  1 log C. log a b a b c d là các số thực dương, khác 1 bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? , , , Câu 27: Cho

.

d c

c d

a b

ln ln

c

c

a

b

a

b

d  



.

ln

d  



.

A. B.

   a b

   c d

a b

d c

ln ln

a b   

  

0

D. C.

.log

.log

.log

.log

log

log

Câu 28: Cho

 . 1

 . 1

a b c  đôi một khác nhau và khác 1, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? , , c b

a c

b a

a c

b a

c b

2 a b

2 b c

2 c a

2 a b

2 b c

2 c a

log

.log

.log

log

.log

.log

  . 1

A. B.

 . 1

c b

a c

b a

c b

a c

b a

2 a b

2 b c

2 c a

2 a b

2 b c

2 c a

A



log

D. C.

xác định?

1 x

 

x 3

1 2

x 

x 

3;1

.

Câu 29: Với giá trị nào của x thì biểu thức

.

3;1

 x  

 x  

3;1

x





B. D. A.

 ℝ \ . Câu 30: Với giá trị nào của x thì biểu thức:

. 

 3;1  f x

2

x  . 3

x  .

x  . 2

x



log

A. 0 B.

 f x



x  x  

(0;1) . ( 1;0)

(2;

)

)

  .

Câu 31: Với giá trị nào của x thì biểu thức: D. xác định?

A. C.

  ℝ \ C.  2 xác định? x log 2 6 1x    . C. 1   2 3 x x   2 5 x   . (1; ) B x    . (4; (0;2) D.  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy

34

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

2

T

x

x









lg

x 6

9

4

Câu 32: Điều kiện xác định của biểu thức

là





2;

; 2

; 2

3;

2;3

A.

 x      . ; 2  x      .

 

 

   .



T

 a 

C. D.

 x  . 3 B.  log

12

  3; Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của a để biểu thức

a 

a 

12.

12.

12.

a

A. B. D.

 a  



  có nghĩa? a  có nghĩa?

C. T Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của a để biểu thức

x       20 12.  log 12

2

12



a  

12

12

a 

a 

12.

12.

. B.

.

12

   a  a 

2

x 2

T

 

1 ln

A. C. D.

có nghĩa?

4



1



x 

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

1x  .

1x  .





A. B. C.

 có nghĩa?



2

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x   .

1x  .

2

T



 l 3 ln

A. B. D. x  ℝ .   x 2 log 1 3 1x  . D.

có nghĩa?

2

1

1

x   .

x   .

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x   .

x



T



có nghĩa?

x

B. D. A. C. 2 x 3 Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

 x 1;0   T x   2 log 2 1x    . C. 2 x  2 x  1 1x    .    ln 1  2

 

2

1x

2

x   .

.

   .

1x  .

1

x   x 

2

1

T



log

B. A. 2 C. D.

có nghĩa?

x

2

 1

x  2

 

x   .

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

.

x   .

1 2

1 2

1 2

0

 x     x

T

x x







log

x 3

1

B. C. D. A. x  ℝ .

có nghĩa?



 x  3   3

x  . 0

Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x   .

.

x  . 0

 

1 3

2

x   x 

x





T





12

B. C. D. A.

có nghĩa?

x

 5 log 2 

2

 

2

   .

2

2x

.

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x  . 2

x   .

2

x   x 

T

x





x 4

12 log

B. C. D. 2 A.

có nghĩa?



   1

log 4x

1

x    .

1

0

Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

.

x  . 0

x   .

0

x   x 

T



log

A. B. C. D. 1

có nghĩa?

2

2

x  

1

0

3 1x x  x    1

1

1x  .

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

.

.

.

1 x  

1

x   0 

   x 

   x 

1 2

1 2

A. B. C. D. 0

35  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

T





3

lg

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

có nghĩa?

3

x    .

0

x  . 0

.

.

x 3 x  x  0    x 3 

x  0    x 3 

T

x





log

x 2

B. C. D. 3 A.

có nghĩa?

2

x

1 

1

 

0

1

.

1x

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

   .

x  0

1

0

x   x 

2

2

T

x

x







x 2

4 ln

log

D. B. 1 C. A.

có nghĩa?



1

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x     .

x



3 x  0   4 log

2

B. 3 A. x  ℝ C. T

x   x    3 x  . 0 D. có nghĩa?





x

2 1 

 

0

1

.

2

.

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x   .

x  . 2

 

 

2

2

x   x 

x   x 

T



3 log

D. B. C. A.

có nghĩa?

x

 1 x 

x 2 1

0

.

Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của x để biểu thức

x  . 0

1x  .

1x 

1

x   x 

xác định với mọi



x m 

log

x    ? 3;



 f x





3m   .

A. B. C. 0 D.

xác định



log

?

B. D. A. Câu 49: Với giá trị nào của m thì biểu thức 3m   . Câu 50: Với giá trị nào của m thì biểu thức

 5 3m   . C.   x m x   2 3



 f x



 3m   .  x  

4;2

1 2

1m   .

2m  .

m  .

2m  .

3 2



m x 

xác định với mọi

log

x m  3

A. B. C. D.

 f x









3

 x  

5;4

m 

Câu 51: Với giá trị nào của m thì biểu thức

0m  .

.

m   .

5 3

4 3

2

x





ln

mx 2

4

A. B. C. D. m  .

có nghĩa với mọi x ℝ khi





2m 

2m  .

Câu 52: Biểu thức

2m  .

 .

.

2

log

a  12 3

A. B. 2 C. D.

m  2     m  Câu 53: Có tất cả bao nhiêu số nguyên của a để biểu thức T 

có nghĩa?

20







x m 

xác định

B. 3. A. 1.

C. 5. Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên âm m để biểu thức

2 D. 7.  12 3log 3

 f x





2



B. 8 . D. 11 .

 x   ? 3; A. 9 .

T



; 1

xác định với mọi

x    ?





m   .

Câu 55: Với giá trị nào của m thì biểu thức C. 10 .  m x   34 ln 4

4m   .

m   .

4m   .

1 4

2

 1 4 có nghĩa với

T

x







log

mx 4

4

2





A. B. C. D.

A 

A

A

2;

;1

Câu 56: Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị m để biểu thức mọi x ℝ . Khẳng định nào sau đây sai?

.

.

.

.



0;2

 A  

1;2

3 2

3 2

   

  

   

  

A. B. C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 36

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 log 4 log 5

9

3

ta được

P 

 Dạng 2 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT

P 

21.

80.

10.

Câu 1: Rút gọn P  C. D. A.

3P  P 

 log tan 5



a

ta được

P  1.

P  0.

x





log

log

ta được

4

8

2

log

log

x .

A. C. D. B.   B. x Câu 2: Rút gọn P  3. Câu 3: Rút gọn P

x .

6 log x . 2

11log x . 2

2

2

11 6

P 



B. C. D. A.

. Kết quả rút gọn của biểu thức P bằng

Câu 4: Cho biểu thức

P  7.  log cot5 a P  2. x  log 6 11 log 8 log 2 log 4 a

a

a

 B. 0

C. log 10a D. log 24a

log 3.log 36

ta được

6

A 

4A 

3

P

b

3A  4 a



log

D. A.

3 2A  B. a b  , biểu thức

a b  và 0

1

,

có giá trị bằng bao nhiêu?

a

A. log 16a Câu 5: Rút gọn 1A  , Câu 6: Cho

P 





2

2

2

2

C. .logb C. 12 . A. 6 . D. 18 . B. 24 .  2log 12 3log 5 log 15 log 150 Câu 7: Rút gọn ta được



1 log 2

log 5 6



36

10

là

D. 3 . A. 5 .

2

A

c







a b c 0; , ,

1

C. 4 . log 36  3 9 C. 12. D. 20

.

 a a b c , ,



a

b

2

2

A

a

A a



A. 42. Câu 9: Rút gọn biểu thức B. 2 . Câu 8: Kết quả rút gọn biểu thức A= B. 24. b log .log .log c

2A  .

1A  .

logc

b

log a

b

log

a

A a 



(với

a

b 0,

0

a 2

A. B. C. . D. .

b

b

b







A b

2

.

.

22 A b 

2

.

 ) ta được 22 .



a 0,

1

x 

log

 (log 9 3 log 4)

Câu 10: Rút gọn biểu thức A A. C. D. B.

thì x bằng



A b   a

a

a

a

Câu 11: Nếu 1 2

3 8

x

a

b





log

log

log

a

 . Giá trị của x bằng bao nhiêu biết

b 0,

0

A. 2 2 B. 2 C. D. 16

.

1 4

4 7

2 3

2 3

2 3

4

4

4

Câu 12: Cho

4 1 7 4a b

7 .a b

7

a

x

a b b





4 log

5log

0

C. 4 7a b D. A. B.

thì x bằng





2

b 5a

Câu 13: Nếu

2

x

ab





a b  ,

0

8 log

D. 4





7

Câu 14: Nếu

2

A

a







D. 8 14 a b

a b  , 2 B. 4 5a b 3 a b 2 log 7 B. 2 14 a b a  log log

3 log

log 2 A. 5 4a b log 7 A. 4 6a b Câu 15: Rút gọn biểu thức

ta được

b 4a C. 5 thì x bằng: C. 6 12 a b  a a a  0;



a

a

a

3

a

2

A

a

A







log

3

0A  .

a



2

1  a a  e

a

a





ln

 , biểu thức

1

2 e log ) a

3 A  . 2 a 0, 2

có giá trị bằng 2

log 2

2 ln

ln

2 ln

2a  .

a 3 a  (ln 2a  .

A. B. . C. . D.

A  B. 4 ln

2a  .

B

a

e

a









2 ln

3 log

 , biểu thức

a 0,

1

D.

có giá trị bằng

a

e

2 a 2a  . 2 log

a

Câu 16: Cho A. Câu 17: Cho C. 3 a ln

37  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

a 

a



3 ln

6log 4a

e

3 loga

b

A. 4 ln . B. 4 lna . C. . D. 6loga e .

c .

b





log

log

Câu 18: Cho các số thực dương a, b, c với a và b khác 1. Rút gọn biểu thức sau: log .log

a c

a c

a 1 2

3

A

5 a a



, ta được kết quả là

loga

B. D. A. 2loga c C. 2 loga c

3 10

37 10

33

2

a

1 2 a 35 10 5 a a

B



log

A. . . B. C. . D. . Câu 19: Rút gọn biểu thức 1 10

, ta được kết quả là

4 a a

1 a





Câu 20: Rút gọn biểu thức

60 91

5 16

91 60

log

4a

A a

a

 , giá trị của biểu thức

a 0,

1

16 5 bằng

B. . C. . A. . D. .

Câu 21: Cho

a

log

a

 , biểu thức

a 0,

1

3

có giá trị bằng

a

.

C. 1 . A. 16 . D. 2 . B. 8 .  D

1 3

4

log

B. 3 . C. 3 . A. D. Câu 22: Cho 1  . 3

8 bằng

4

Câu 23: Giá trị

.

5 4

1 2

3 8 1a 

0

log

3

B. C. D. 2 . A.

là

a với 



a

.

Câu 24: Giá trị của

.

.

1 6

2 3

5

2

4 log a

1a  , biểu thức

85 .

B. 6 . C. A. D.

E a B. 625 .

D.

3 2 Câu 25: Cho 0 A. 5 .

I



log

có giá trị bằng C. 25 . a .

a

I  2

Câu 26: Cho a là số thực dương khác 1. Tính

I  0

3

P

5 a a



1 I  2 1a  , giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

là

loga

 a

x

0

Câu 27: Cho 0

y  .

A. B.

I   2  C. 20 .

1 15

D.

53 30 Câu 28: Giá trị của biểu thức

log 3.log 36 bằng 3

2

8log 7 a

P a

0a  và

1.

C. 2 . D. 1 . A. 4 .

Câu 29: Cho

6 B. 3 . a  Khi đó biểu thức B.

87 .

B 



47 .  2log 12 3log 5 log 15 log 150

C. D. A.

27 . Câu 30: Giá trị của biểu thức

bằng

2

2

2

A. 2 .

có giá trị là 67 .  2 C. 4 .

C 



D. 5 .

log 2 36

1 2

log 3 1 6

B. 3 . Câu 31: Tìm giá trị của biểu thức sau

3 2

2

3

A

x

x

x

x 







log

2

. Tính giá trị của biểu thức

log

log

1  2 log

B. C. D. A.

1 2 Câu 32: Cho

5 2

2

4

2

1 2

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 38

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2



2 2

log 6 5

log 8 7

P



C. 2 D. B. A.

là



27

2

125

9





 49  2 log 3 4

 3 log 5

Câu 33: Giá trị của biểu thức

C. 10

2 2 25 1 log 4 3 B. 9

2

2

5

a

a

.

3 a a .

.

A





 . Giá trị của biểu thức

a

0,

a

1

loga

4

3

a

A. 8 D. 12 4 Câu 34: Cho số thực

103 60

43 60

73 60

193 60

log 4 9

8

log

log 2 7

125

1 1  4 2

A





81

.49

25

C. D. B. A.

  

Câu 35: Tìm giá trị của biểu thức sau

A. 20 . B. 17 .

   C. 18 .

3

A 





2 log 6

log 400 3 log

45

D. 19 .

là

1 2

1 3

1 3

Câu 36: Giá trị của biểu thức

3

3

3

3

B 







log

7

49

21

9

A. 5 .

1 3 B. 4 . Câu 37: Tìm giá trị của biểu thức sau

4

4





2

a b  ,

0

x

ab





8 log

D. 4 .  3 D. 1 .





7

Câu 38: Nếu

a b

3

3

D. 8 14 a b B. 2 . 3 a b 2 log 7 B. 2 14 A. 1 . log 7 A. 4 6a b

.

P



log

a  Giá trị của biểu thức

1.

bằng

1 a









C. 3 .   log 3 C. 2 . thì x bằng C. 6 12 a b 5 2 3 a a a Câu 39: Cho 0



211 60

. 4 a a . 9 61

x

a







60 91 log

4 log

7 log

0

C. D. B. A.

,a b là



3

3

Câu 40: Cho

3   4  b a b , 3 B. 4a b .

1

x 

A

. Giá trị của biểu thức

2000





  ...

D. 7b . A. ab .

là

x

x

x

1 log

log

2

3

2000

Câu 41: Cho

log 25 11

log 11 7

log 7 3

c

b

a

. Giá trị của biểu thức

A. 1 . B. 1 . C. . D. 2000 .

. Giá trị của x tính theo C. 4 7a b . 1 log 1 5 





27,

49,

11

, ,a b c thỏa mãn:

2

2

2 











log 11 7

log 25 11

log 7 3

b

c





Câu 42: Cho các số thực

D. 129 .

A a  A. 519 .

y

là B. 729 . C. 469 .  , khi đó giá trị của biểu thức

0

log log log

A y 2

 là 1





4

3

2





Câu 43: Biết

B. 17 . D. 133 . A. 33 .

A

3



. Giá trị của biểu thức

log

được tính theo a là

a b 

a

b a

1





.

.

C. 65 . 3 b Câu 44: Cho log

3 4

3 3

A

a

b

b

a

a

a











2 log

log

log

log

log

3 log

ta được kết quả là



b

2 b

ab

a

B. D. C. A. Câu 45: Rút gọn biểu thức:

b D. 2

 C. 3

A







  ...

. Biểu thức rút gọn A là

b

b

b

b

1 log

1 log

A. 0 Câu 46: Cho

3 4  3 b B. 1 1 log

1

2

3

a

a

1 log n a

a

39  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



1

1





1 b

2 b

b

b

 n n  2.loga

 n n  3.loga

 n n 2 2 loga *

n







 ℝ , một học sinh tính biểu thức

b 1,

1,

C. . D. . . A. B. .

P

theo các bước sau









......

b

b

b

 n n  2 3.loga b a  0, 1 log

a 0; 1 log

2

a

n

2

2

P

a

P







a log

1 log n a   ...

Bước 2:

)n

Bước 1:

log b

n

a



P



Bước 4:

a a a ... log ( . b 1 logb  P n n 

b log b

Câu 47: Cho

a a log b a     1 2 3 ... Bước 3: Bạn học sinh trên đã giải sai ở bước nào? A. Bước 1.

A











....

ta được

x

x

x

x

1 log

log

4

A 

A 

A 

A 

1 log 2 log 2020!

log 1002!

log 2021!

D. Bước 4. C. Bước 3. 1 Câu 48: Rút gọn B. Bước 2. 1 log

3 B.

x

x

x

log 2021 x

a

B

a

e

 , biểu thức









a 0,

1

2 ln

3 log

A. D. .

có giá trị bằng

a

2 log a a 

Câu 49: Cho

B. 0 .

2021 C. 3 a ln C. 4 ln

e 6log 4a



0,2

10

a

x

b



a y 

log

log

log

a b  , Nếu viết

0

,

A. 4 lna . . D. 6loga e .

thì xy bằng bao nhiêu ?

5

5

5

6

5

b

  

Câu 50: Cho

   1 3

1  3







  ...

đúng với mọi 0

1x  , giá trị của

B. . C. 3 . D. 3 . A.

x

x

x

x

x

1 log

1 log

1 log

1 log

55 log

2

2

2 2

3 2

n 2

Câu 51: Biểu thức

A 

C. 5. D. 15.

n là A. 10. Câu 52: Rút gọn biểu thức

ta được kết quả là

4

3

16

5

3 4

B. C. . . D. . A. 1 .

C

b

b

b

b









log

1 2 log

log

ta được kết

 2 log



log b

a

a

a

ab

B. 20. log 2.log 3.log 4...log 15 1 4 a Câu 53: Kết quả rút gọn của biểu thức

2

loga b .

B. . . D.  C. 3 loga b .

quả là A. loga b .

loga b

n 

n  

Câu 54: Với mọi số tự nhiên n , Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

..

.

log log 2

2

log log 2

2

... 2 (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8) ⌣ n can bac hai

... 2 (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8) ⌣ n can bac hai

n  

n  

2 log log

2 log log

.

.

A. B.

2

2

2

2

... 2 (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8) ⌣ n can bac hai

P 

D. C.

 ln tan1

  

 ln tan 2

  

 ln tan 3

... 2 (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8) ⌣ n can bac hai     ln tan 89 ...



  .

Câu 55: Tính giá trị của biểu thức

1P  .

0P  .

2P  .

1 P  . 2

2

3

P

x

x

x

x 







log

2

. Tính giá trị biểu thức

log

log

log

.

A. B. C. D.

4

2

2

P 

P 

.

2

3 2.

P 

P  

.

.

Câu 56: Cho

11 2 2

1 2 2 2

A. B. C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 40

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

f









1;

. ,

,

*

 ℕ . Khi đó giá trị của biểu thức

Câu 57: Cho



f





 2020

 17

 

  f m f n m n m n  

T



log

là

 f m n   2021 2

  1  f  

  

x

y





x y 

log

log

log

. Giá trị của tỉ số

D. 9 . A. 3 .

là



9

12

16

5

3

5

3

5

5

.

Câu 58: Cho B. 4 .  C. 6 . x y

.

.

.

  1 2

 2

  1 2

A. B. D. C.

 2 , ,a b c lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác a

a

c b

c b



vuông, trong đó

 

  . Khi đó log

log

1;

1

c b 

a

a

a

a

a

a

bằng: a

c b  a

.log

.log

.log

.log

.

. B. 3log

. C. 2log

 . D. 3log

Câu 59: Cho

 A. 2log

c b 

c b 

c b 

c b 

c b 

c b 

c b 

c b 

 Dạng 3 BIỂU DIỄN LOGARIT THEO CÁC LOGARIT ĐÃ BIẾT

Câu 1: Biết log 2 a , khi đó log 16 tính theo a là

a

m

A



log

và

, với 0

1m

2

a

a

3

A

A









.

3

3

.

A

A





.

.



 a a

 a a

 a

 a

C. 8a . A. 4a .  Câu 2: Cho B. 2a . m log 8m D. 16a .  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 B. C. D. A.

23a

2a

.a Tính

2 3 a  log 9 6

3

C. D. A. Câu 4: Cho

 Câu 3: Nếu log 3 a thì log 9000 bằng B. 3 2a log 2 theo a a

a

a

2

2

2









.

.

.

.

log 2 3

log 2 3

log 2 3

log 2 3

 a

 a

a

 a

a 

2

A. B. C. D.

.



Câu 5: Cho log 5

  . 2 a

.a Tính log 50 theo a ?   . log 5 a và

C. log 50 B. log 50 1 a D. log 50 10a A. log 50 1 a

2

3

.









Câu 6: Cho

.

.

.

log 5 6

log 5 6

log 5 6

log 5 6

a b  ab

  . log 5 b . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 ab

1 a b 

ab a b 

B. C. A. D.

a

b 2

 1

Câu 7: Biết log 2 a , log 3 b thì log 45 tính theo a và b bằng

b a  1

log 40 theo a ta được

2

32

B. 2 C. 15b D.

1

2

3

.

a  3 2

a  9

a 5

b

b a  1 log 5 a . Tính a 2 a 



. Hãy biểu diễn

log 3, 30

30

A. 2 Câu 8: Cho 2 A. . B. C. . D. .

30

a b a b

 

 1  2

B. Câu 9: Đặt A.

log 1350 2 log 1350 2 b a

30 

Hãy biểu diễn

D.

log 1350 theo a và b a b   2 log 1350 30 b a   2 log 1350 30 log 150 theo a và .b

log 15, 3

log 5 30   2   1  log 10. 3

3

a b

a b

.ab

C. Câu 10: Đặt

  C. .

  D. .

log 150 3

log 150 3

log 150 3

log 150 3

a  b

A 

log 15 a . Tính

B. A.

3

log 15 25

A

A





A

A





Câu 11: Cho

.

.

.

a

a

a 

2

1

theo a . a 2 a  1

1

a  a 

a



. Hãy biểu diễn

 log 42 theo a và b

log 7 2

18

a    2 1 b log 6, 2

B. C. D. A.

41 Câu 12: Đặt   Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

1

.









. B.

. C.

. D.

log 42 18

log 42 18

log 42 18

log 42 18

a b  a  2 1

a b  b  2 1

a b   1 a  2 1

2

2

k

a 

2 m n 



. Ta phân tích được



 ℤ . Tính

m n k ,

,

,

A.

a b   b  1 2 



log 5 2

log 1000 4

Câu 13: Cho

A. 13 . B. 10 . D. 14 .

ma n  k C. 22 .

b



 . Tính giá trị biểu thức

a , log 5

A 

theo a và b .

log 5 2

3

log 120 5 log

2

4



2 b ab a 3

a 3

b ab a 2

A

A

A

A









Câu 14: Cho

 4

b ab  4

 4

3b ab a  ab

 ab 2

 ab 2

b

 thì log 8334900 tính theo a và b bằng

2b

b  2.

B. C. D. A.



D. 8a Câu 15: Biết log 3 A. 3a 5 a

 . B. 5a 3 . Hãy biểu diễn

2b  . C. 5a 3 log 45 theo a và b

6

 ab 2 a  , log 7 2b  . b  log 3, 2

2

2

a 2





Câu 16: Đặt

log 45 6

log 45 6

a





B. A.

log 45 6

log 45 6

ab a  2 2 ab b  ab  2 ab

2

b a 

.

D. C.

3

3



a;log 3 b

6

.

B. C. ab . D. 

.

.

b  1 2 b a  2

6

b

a ,log 5 2

 

  .

  .

B. C. D. A.

  .

B. C. D. A.

log 3 5 ab  2 ab ab a  2 ab b  Câu 17: Nếu log 2 a và A. a b . Câu 18: Cho log 2 1b  2 a b  log 3 2 a 4

log 7 b thì log 56 bằng  a b  log 90 theo a và b  . Tính 1b 1b   2 a b a b   log  thì 2 a 1 6 2

1 2

b 6

1 6

a 2

b 3

log 30 6

3

3 1

log 2 b . Tính 1

M

M

M

M









Câu 19: Nếu 1 3 Câu 20: Biết

.

.

.

b a

a 3 theo a và b 1 ab  a b 

 

360 bằng b 3 M  a b   a  1

1 1

a



A. C. B. D.

log 5 7









. B.

. C.

. D.

Câu 21: Cho

log 21 15

log 21 15

log 21 15

log 21 15

a b  ab b 

a b  a  1

b

A.

ab

ab

ab

 

 b 6 log 5 a và a b   b  1 b  log 5; 3 a b  ab b  a ;log 5 3 1

12 1

1

1

.

.

.

.

 a

a  2  2

a  2  2



Câu 22: Cho ab A. B. C. D.

. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? a b  a  1 log 90 tính theo a và b bằng  . Khi đó a    2 a a  2 log 105 theo a và b  . Tính

log 3 2 a  2 a  2 log 3 5

15

1





.

Câu 23: Cho

.

log 105 15

log 105 15





.

B. A.

log 105 15

log 105 15

b ab   a  1 b ab    a b  1

1 

b a ,log 5 7 a ab   1   a b  1 a b   1   a b  1 b  và

log 5 3

10

log 2 3 1

1

1

.

D. C.

.

.

.

log 60 theo a và b a b   2 1 a b 

a b   a b 

A. B. C. D.

8

3

3

2

p

.

Câu 25: Nếu

.

.

2 q .

pq

p q 5

. Tính a b   2 a b  log 5 q thì log 5 bằng pq 3  1 3

A. B. C. D. Câu 24: Cho a  a b   2 a b  log 3 p và 1 3pq  p q 

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 42

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

c



 thì

a , log 7

b , log 3

log 35 tính theo

a b c bằng , ,

8

12

2

Câu 26: Biết 3

3

 



.

.

.

.

 b ac  c





2

1

6

.

.

.

.

A. C. B. D.

b a  2 3 b a   1



a , log 5

, ,a b c

3

140

B. C. D. A.

.

.

.

ac 2 abc 

1 

A. B. C. D.

log 5 27  b ac  c Câu 27: Cho log 3 a và log 5 b a  2 3 b a   1 Câu 28: Cho  log 3 2 ac  1 2 c abc   2

1

b ac  3 2 c  1 .b Biểu diễn b a  3 2 b a   1 c b  . Hãy tính , log 2 7 ac  1 2 c abc   2

b ac  3 2 c  2 log 1125 theo a và b bằng b a  2 3 a b   1 63 theo log ac  1 2 c abc   2

1

1

 c 2

1

3

5 4 b c

log

2

a



3

3

5 4 b c

5 4 b c





log

log

.

.

2

2

a

a

y 20 x 3

4

3

3

5 4 b c

5 4 b c



log





x 20

log

2

2

.

A. B.

a

a

 

y 20 3



y  5 4 x 6 y  5 3 2 x 3 a  ; log 7

8

12

.

D. C. Câu 29: Cho logb a x và logb c y . Hãy biểu diễn  

.

.

.

c b  . Giá trị của ; log 3 2 b ac  2 3 c  2

 theo x và y     log 35 bằng b ac  3 3 c  1

b ac  3 2 c  3

A. B. C. D. Câu 30: Cho log 5 27 b ac  3 3 c  2

43  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

CHỦ ĐỀ 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

◈ BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

x

x

u

u

u

log

log

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

  

② 

  

a x

a

a

a

a

.ln

.ln

 u a .

a

x

a

 u .ln

1 ln

x

u

u

u

ln

ln x

e



 u e .

① 

  

  

②  a ④  e

u  u u

    x Với

    là hàm hợp theo biến x .

 u u x 



Với

là hàm hợp theo biến x .

1 x  u u x 



③  ④  ①  a ③  e

x

◈ KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

y a

HÀM SỐ MŨ

1a 

1a 

 Với 0  Với

T 

T 

① Tập xác định: D  ℝ ① Tập xác định: D  ℝ

0;

0;



 



 

② Tập giá trị ② Tập giá trị

x

x

y

a

a

x

y

a

a

x

 

 

   ℝ  HS đồng biến trên ℝ

   ℝ  HS nghịch biến trên ℝ .

ln

0,

ln

0,

③ Tính đơn điệu: ③ Tính đơn điệu:

x

x

y

a

y

a







 

0

lim x 

lim x 

lim x 

lim x 





y  là tiệm cận ngang

y  là tiệm cận ngang

0

0

x

x

y

a

y

a



 





0

lim x 

lim x 

lim x 

lim x 

   

   

1



1

















a

1

y

y

a

1

0

④ Giới hạn đặc biệt: ④ Giới hạn đặc biệt:

⑤ Bảng biến thiên x  0 y 0 ⑥ Đồ thị ⑤ Bảng biến thiên x  0 y  ⑥ Đồ thị

y

y

y=ax

y=ax

a

1

1

a

0

x

1

x

0

1

x

A

y a

Đồ thị hàm số

luôn đi qua 2 điểm

1;

B a và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang



 0;1 ,





 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 44

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y

x



loga

HÀM SỐ LOGARIT

1a   

1a   

① Tập xác định: ① Tập xác định:  Với  D  0;  Với 0  D  0;

y

x

y

x

 

 

0,

0;

0;

0,

     

     

a

x

a

x

1 ln

1 ln

0; .

 0;



x

y

x

y



 



 

a

a









x

y

x

y



 



 

a

lim log x  0 lim log x 

lim x  0 lim x 

lim log x  0 lim log a x 

1



a

















1

1

y

y

0

0



② Tập giá trị T  ℝ ③ Tính đơn điệu: ② Tập giá trị T  ℝ ③ Tính đơn điệu:

 HS nghịch biến trên  ④ Giới hạn đặc biệt: lim  x  0  lim  x  x  là tiệm cận đứng  0 ⑤ Bảng biến thiên x 0 a y  ⑥ Đồ thị

 HS đồng biến trên  ④ Giới hạn đặc biệt:     0x  là tiệm cận đứng ⑤ Bảng biến thiên x 0 1 y  ⑥ Đồ thị

y

y

y=logax

1

1

0

a1

x

a

0

1

x

y=logax

A

y

x



Đồ thị hàm số

luôn đi qua 2 điểm

;1

và nhận trục tung làm tiệm cận đứng



 1;0 ,

 B a



loga

x

y

x



và

khi vẽ trên cùng hệ trục toạ độ: hai đồ thị luôn

loga

Đặc điểm chung của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y

y a x (đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba)

Với

1a 

Với 0

1a 

y

y=ax

y

y=x

y=ax

y=x

y=logax

1

1

0

1

x

10

x

y=logax

45  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

VÍ DỤ MINH HOẠ



 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LOGARIT

0

1

y

◈ GHI NHỚ

.

 f x xác định



 loga



0

a     f x

   

b

a



 f x

 f x





thì

① Hàm số

 f x





0

log , a

 log  a  a 

b

 a



0

 Với  1a

b    f x

 b b  f x

 

1a

thì

  f x

b  



 f x



log , a

y

x K





 log  a  a  xác định trên tập K

② Theo tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit ta luôn có: b     f x  b     Với   0

 b b  f x

 f x



x

x

x



 





log

log

là

③ Hàm số

loga Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số

  0  0,    .   1 log 3

 f x





 3  1

3

2

1 2

D

D

D

D



.

.

 ;3

.

1;

.

  1;3



  1;1











A. B. D.

x

0

  1

  1 x

x

D

Hàm số xác định 

. Vậy TXĐ:

3

0

3

1

C. Lời giải

  1;3



3

1

x





0

1



  3    

.





x 2

5

.

 f x

 

x

x   x           x 1 

16

D

D

D

D

.

.

.









;

;

;

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số

. B.

  \ 4

  \ 4

5 2

5 2

5 2

5 2

2    

  

  

   

   ; 

  

  

  

D





Hàm số xác định 

. Vậy TXĐ:

;

.

  \ 4

5 2



 16 0   5 0

  

   

x   2  x 2 

x    x 

x

x

A. C. D.

e



5



x





ln

là

 f x



e 4 x 

 1

D

D

D

D



.

.

0;

.

Lời giải 4 5 2 2 Ví dụ 3: Tập xác định của hàm số

  0;1







  3;

 e .

  ;1



A. B. C. D.

0

x

D

x



. Vậy TXĐ:

.

Hàm số xác định 

   0

1

  0;1





5

0 1



0

x   x  

e 4 x 

 1

x   x 2  e  

x

2

 1



là

Lời giải

 f x



1 2

1   8

  

  

x



log

1

1 



0,3

Ví dụ 4: Tập xác định của hàm số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 46

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

D 

.

.

 D  

 D  

1;0

  .

1;1

 1;

;1  D   .

A. B. C. D.

x

2

 1

0

x



3

 1

 2



2

1   8





3

x 2

x

.

HSXĐ 





    1

0

   1 x   

2 x   

1

0

1

0

  

x   

x





1

0

log



1   2    1 0 

0,3

 2  x    1     x 1 1 

.

     x      D   Vậy TXĐ:

1;0

3

2

y

x

m





log

x 3

  2

Lời giải

2020





 2;  .

Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên âm lớn nhất của tham số m để hàm số

C. 18 D. 5

luôn xác định trên khoảng  A. 1

3

x

B. 19

0,

2;

2; 

      



3

x

x

 





2,

2;

Hàm số xác định trên   23 x

 m f x

0

2





x 3

x 6

0

.

Ta có:

  f x



2

23 x x          x      x

BBT:





0 0

2 0

2





x  f x





2

2

  f x

m  

18 18

Dựa vào BBT, suy ra:

. Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất của m là 18 .

1



có tập xác

Lời giải m   2

 f x



2

x



log

x m  3 2

3





m

m

m

m







;

;

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 3

định là ℝ 2 3

2 3

2 3

  

   

  

  

   ; 

  

   ; 

  

2

A. B. C. D.



0

ℝ



x  

,

x  

x    ℝ

Hàm số xác định trên ℝ

2 2

x m  3

1,

2

x





x m  3 2

0

log

3



x m  3 2 

 x   





m  

x

x  

    ℝ

.

2 2

x m  3

1 0,





m 3

1

0

2 3



a  0     0 

 1 0     1  

Lời giải 

47  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

◈ GHI NHỚ

x

x

u

u

u

log

log

HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

  

② 

  

a x

a

a

a

a

.ln

 u a .

.ln

x

a

a

 u .ln

1 ln

x

u

u

u

ln x

ln

e

 u e .

① 

  

  

   

③  ④ 

②  a ④  e là hàm hợp theo biến x .

    x   u u x 



Với

 u u x 

u  u 1 u x  là hàm hợp theo biến x .

①  a ③  e Với

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Để tính đạo hàm của hàm số tại 1 điểm

0x cho trước ta có thể sử dụng chức năng

 Bước 2: Nhập hàm số và giá trị

0x cần tính đạo hàm.

x

y

y

y

y

 Bước 1: Bấm tổ hợp phím Shift + Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ ?

2 e

1 3

   

  

   3 

x   

   4 

x   

   

x   

A. . B. . C. . D. .

Hàm số

y

đồng biến trên ℝ vì

 . 1

 3

   3 

x   

Lời giải

2

y

y

x



x

y

x

log





y

x

ln

1



log

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

2 1  .





2 3

A. . B. C. . D. .

Hàm số

y

x

đồng biến trên tập xác định của nó vì cơ số 10 1 .



log

2

x





ln

,

,

. Có bao

x

22 x

 , 4





ln

1

Lời giải

 g x



 f x



 h x



 l x







2020 2021

   

x   

 0; ?

Ví dụ 3: Cho 4 hàm số

C. 3.

nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng  A. 1 .

x



Hàm số

ln

1e 

 f x



đồng biến trên 

B. 2 . D. 4 .

Hàm số

nghịch biến trên ℝ vì cơ số

 1

 h x



2020 2021

   

x   

2020 2021 x

y

x

 

   



Hàm số

 xác định với x ℝ và

0,

0;

nên hàm số

22 x

4

 g x







2

x



1

0; .

đồng biến trên 



2

y

x

xác định với x ℝ và

nên hàm số

 

   

x

0;

0,





ln

1





Hàm số  l x







x

x 2 2 

1

0; .

đồng biến trên 



Lời giải  0; vì cơ số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 48

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

cos2x

y

x

e

tại

bằng



Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số

 6

3 2e

3 2e

3e

cos

x

x

cos2

cos2

 3

1 2

y

 

 

x cos 2

e .

x e 2 sin 2 .

.

 y

 

 

 

e 3

e 3



 

 e 2 sin . 3

. A. B. . . C. D. 3e .

  

x

x

y a

với

Lời giải    6 

1a  có cùng tình đơn điệu trên tập xác định.

loga

và x

1a  luôn nằm trên trục hoành.

với 0 x

Ví dụ 5: Phát biểu nào sau đây sai? y  A. Hai hàm số

y a y  x

x

y a



loga y và

0

B. Đồ thị hàm số C. Đồ thị hàm số

đều có đồ thị nằm phía trên trục hoành.

1a  luôn nằm bên phải trục tung. 

 1a 

với 0 loga

D. Hai hàm số

x

y

x

y a



với

và

1a  cùng đồng biến trên TXĐ.

loga

Căn cứ vào tính chất của đồ thị hàm mũ ta rút ra kết quả là đáp án D +) Hai hàm số x

+)

x

y a y 

D 

0;

nên đồ thị luôn nằm trên trục hoành. 

có thể là hình vẽ nào sau đây?

y

x

  . Đồ thị của hàm số

Lời giải

loga +) Ví dụ 6: Cho hàm số

có TXĐ  2 x  e f x 

 nên đồ thị luôn nằm bên phải trục tung 

 f x

A. B.

1x

 . Xét hàm số

C. D.

 g x

x

x

 2  2 e e     ℝ . Do đó hàm số luôn đồng biến và đi qua điểm 0,

.

Ta có   g x

  f x  2. e 

0;1M 

3 3

2 2

a

a

và

thì ta kết luận gì về



log

Lời giải 1x  .

,a b ?

b

log b

b

a

b

4 5 a  



a b  .

a b ,

 . 1

1,

 . 1

1, 0

1

1

Ví dụ 7: Nếu

3 4 B. 0

  . D. ,

A. 0 C.

Lời giải

49  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



3 3

2 2

  

.

1a

0

và

Ta có:

b  

1



3 3

2 2

log b

log b

a



    a 

4 5 3 4

3   4   

y

x y

x y

x









với 0

a b c , ,

 1

log , b

log c

4 5 log , a

được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

y

y = logax

y = logbx

1

x

O

y = logcx

Ví dụ 8: Hình bên dưới là đồ thị của ba hàm số

Khẳng định nào sau đây đúng? A. a c b

  .

  .

  .

  .

x

y



1c  .

Vì đồ thị hàm số

x y

x

y

B. a b c C. b c a D. b a c



Đồ thị hàm số

a b  .

1

,

logc log , a

x





x y ,

lần lượt tại

;1

log b y  cắt 2 đồ thị hàm

 A a

 ;1 ,

 B b



 0;  nên 0 đồng biến trên   0;  nên y log b

log a

Dựng đường thẳng 1 nên b a . Vậy b a c   .

x

x

x

y a y b y c 





,

,



 được vẽ trên

với 0

a b c , ,

1

Lời giải nghịch biến trên  

cùng một hệ trục tọa độ.

y

y = bx

y = cx

y = ax

O

x

Ví dụ 9: Hình bên dưới là đồ thị của ba hàm số

Khẳng định nào sau đây đúng? A. a c b

  .

  .

  .

  .

x

x

nghịch biến trên ℝ nên 0 

Đồ thị hàm số

,



lần lượt tại

1;

1;

,

1c  . a b  . đồng biến trên ℝ nên 1 x ,x y a y b 

 A a B b nên







y c Vì đồ thị hàm số ,x y a y b  1x  cắt 2 đồ thị hàm Dựng đường thẳng b a . Vậy b a c   .

2

là

y

x







log

x 3

4

B. a b c C. b c a D. b a c Lời giải

7





2

y

.

.

 

y

x

 







x 2

x 3

4

Ví dụ 10: Đạo hàm của hàm số



 3 .log

7

2





y

y

 

 

.

.

A. B.

2



x  3 2 x x   3 4   x  3 ln 7 2 2 x x  3

4

x

 



x 2 x 3

3  4 ln 7



C. D.

Lời giải  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 50

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x





x 3

y

 



Ta có

.

2

2

 x

x







 

x 3

x 2 x 3



  4  4 ln 7



3  4 ln 7



. Tính giá trị

.

x  1 12 x 

 0f 

 f x



Ví dụ 11: Cho hàm số

1 2

A. . B. 2 ln 2 . C. 2 . D. ln 2 .

2



1

x x

x x



f





1  .2 .ln 2 1 

1  .2 .ln 2 1 





2.2 .ln 2 ln 2

Ta có

. Vậy

.

  f x



  0

2

 x 1    x 1 

x



1





2

là

y

x

x







ln

1

Lời giải





x



1

y

y

y

y

 

 

 

 

.

.

.

.

Ví dụ 12: Đạo hàm của hàm số

1 2

2 2

2

x 2 2

x

x

x

x

x











1

1

1

1

A. B. C. D.



2



1

x

x





1

x 2





y

 





Ta có

.

2

2

1 2

x

x

x x

x







 



1

1 1

1

x 

1

2

a

x

x







0a  .

với

2

Lời giải

a

x



x

x  

ln

Tổng quát: 

 Ví dụ 13: Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

 f x



0;2 .

.

.

A. 0 . B. 1 ln 2  C. 2 ln3

  D. 2 ln3

 trên  1 .

x

Ta có

.



  

  1

0,

0;2

  f x







1 f

f



x  



 

.

Vậy

2 ln 3

 f x



x 1   f x

  0

  2

min   0;2

1 x  max   0;2

2

x

x

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

x  





ln

4

Lời giải

 f x







m

5 M 

e

P e 



bằng

trên đoạn 0; 5

 

  . Khi đó giá trị của biểu thức

Ví dụ 14: Gọi

A. 5 3 . B. 5 . C. 5 5 . D. 5 5 .

x

  

Ta có

.

  1

0,

0; 5

  f x



1 2

 

 

x

4

f







5

 5 ln

 5 3

 f x









ln

 5 3

m

5

ln 2





e

e

e

e

M  







 .

5 5

. Vậy

f







ln 2

max   0; 5    f x



    0

min   0; 5  

 M    m  

y

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau



ln

Lời giải

x

1 

1

y

y

y

y

xy

e

xy

xy

e

xy

e

1

1

1

1

Ví dụ 15: Cho hàm số

    .

   .

   .

    .

A. B. C. D.

e Lời giải

TXĐ:

 D    . 1;



51  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 1

y

x

x

 







 

.

1

.

1

Ta có:

.









2

x

x

1 

1 

1

1

  

   

x



1





y

xy

e

y

xy

. Mà

nên

   .



y e  

  

1

1

  1

ln

x

x

1 

1 

1

1

3

2

x

x

1 



1 x  mx  3

2

2020

e 

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã



x  x  1 Ví dụ 16: Cho hàm số y

cho luôn nghịch biến trên ℝ .

1

1

m

m

m

m













3

3













2 3

2 3

2 3

2 3

3

3

3

2

x

x









mx 3

2

2020

x

y





  

ℝ

ℝ

HS luôn NB trên

ℝ .

mx 6

0,

0,

 e 2 .

 

2

m

ℝ

 



x     

 





x 3

mx 6

2 0,

.

A. B. . C. . D. . .

2 3

2 3

 

6 0

  m 9 

2

y

x

m

x

đồng









2

Lời giải  2       x x 3 3 0 2



 1 ln

6

1 x 6

3 2

0;

Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

C. 3. D. 4.

biến trên khoảng  A. 1.

  ? B. 2.

Ta có

.

y

m

 







x 3

2

1





2

m

x

m

x

YCBT











x   3

2

1

0;

0,

2

1

x 3

,





     







    . 0;



1 x 1 x

1 6 x

2

Xét hàm số

;









x 3

x 6

1 7 x 1 7 x trên 

 0;   . Ta có

  g x

 0 x     1

 g x



  g x



1 6 x

6 7 x

Bảng biến thiên:

2

1

m    .

3

4



m 

Do m nguyên dương nên

. Vậy có 3 giá trị m nguyên dương thỏa mãn.

 m  Dựa vào bảng biến thiên suy ra   1,2,3

Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 52

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 Dạng 3 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM SỐ MŨ

◈ GHI NHỚ

n

(kì hạn ở đây có thể là 1 năm; 1 tháng hoặc k tháng)

r  1 %





nT A 

 Bài toán 1: (Lãi kép) Một người gửi vào ngân hàng số tiền là A đồng, với lãi suất là %r trên một kì hạn. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi kì hạn, số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu, sau n kì hạn, số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được là:

T A A r  



. %

1

A







 

. %

 r  1 %

r  1 %

r  1 % 

A 



2

T T T r 1

2

1

T 1

n

A





r  1 %

r  1 %

. %







 Chứng minh:  Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) sau kì hạn thứ nhất là

n

T r n  1

 1

 1

T n  Bài toán 2: (Gửi tiết kiệm) Hàng tháng một người gửi vào ngân hàng số tiền là A đồng (gửi đầu tháng). Biết lãi suất hàng tháng là %r

. Tổng tiền nhận được sau n tháng là:

n

T

r

r











  1 % 1 % 1 

   

A r %

 Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) sau kì hạn thứ 2 là ........  Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) sau kì hạn thứ n là  T T   n

A

T A A r  



. %

r  1 %

.





1

2

A

A

 











.

. %

r  1 %

r  1 %

 T A 















2

1

1

1

2

3

T T A T A r

A

A

 













.

r  1 %

. %

r  1 %

r  1 %

r  1 %

 Chứng minh:

 T A 

















2

2

3

2

n

n

n

n

1 

2

1 

A

A

A

r

r







r  1 %

r  1 %

r  1 %

  ...

r 1 %

r 1 %















   1 % 1 % ...

   







  



 

 

........  Số tiền nhận được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối tháng thứ n là nT A   Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN ta suy ra:

n

r





n

r

r

T A 









  r  . 1 % .



 1 % . 1 % 1





n

 

 

r





A r %

  1 % 1   1 % 1

 Số tiền có được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối thứ nhất là  Số tiền có được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối thứ hai là  r T T A T A r  1 %  Số tiền có được (gồm cả gốc và lãi) vào cuối thứ ba là   A

n

n

r

T A 







r  1 %







 1 % 1

n

 

 

a r %

 Bài toán 3: (Vay trả góp) Một người vay ngân hàng A đồng, với lãi suất là %r trên một tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn nợ trả a đồng. Số tiền còn nợ ngân hàng sau n tháng là:

T A 

r  1 %

a  .





1

2

a A

a

a

T T 

 



 





r  1 %

r  1 %

r  1 %

r  1 %



















2

 a A 

2

3

2

a

r

a A

a

a

a

 





 







r  1 %

r  1 %

r  1 %

r  1 %

r  1 %

r  1 %

























 Chứng minh:

  2 1 %

 a A 

 

........

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối thứ nhất là  Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối thứ hai là   a r  1 1 %   Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối thứ ba là  T T a  3

53  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

n

n

n



 1

2

r

a A

a

a

a

 









 a

r  1 %

...

r  1 %

















n



n

n

n



1 

2

a

r

 





r  1 %

r  1 %

r 1 %

...

  1 1 % 







  



   

nT A

 

  1 % 1 

 Số tiền còn nợ ngân hàng vào cuối tháng thứ n là  T T r r    1 % 1 % n

n

r





n

n

n



a

A

r

T A 











r  1 %

r  1 %











 1 % 1

n

 

 





 1 % 1 r 1 % 1

a r %

0

 Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN ta suy ra:

nT  sẽ tìm ra được thời gian trả hết số tiền đã vay.

 Chú ý: Để trả hết nợ ta cho

n

n

r

T A 







r  1 %

1

1









n

 

 

a r %

8%

 Bài toán 4: (Gửi tiết kiệm và rút hàng tháng) Một người gửi ngân hàng A đồng, với lãi suất là %r trên một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, người này rút ra một số tiền là a để sử dụng. Sau n tháng thì số tiền còn lại trong ngân hàng là

/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau 15 năm số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)

8



Theo công thức ở bài toán 1 ta có:

.

317.216.911

Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 100.000.000 VNĐ vào ngân hàng với lãi suất

15

T  15

A. 117.217.000 VNĐ. B. 417.217.000 VNĐ. C. 317.217.000 VNĐ. D. 217.217.000 VNĐ. Lời giải   10 1 8%

n

A

n

  





.

1 8, 4%

A   2

8,59

log

2

2





1,084

Gọi số tiền gửi ban đầu là A và số năm tối thiểu thỏa ycbt là n . n Ta có 1, 084 Vậy số năm tối thiểu là 9 năm.

Ví dụ 2: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8, 4% /năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền vốn. Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn 2 lần số tiền gửi ban đầu. A. 10 năm. D. 11 năm. B. 9 năm. C. 8 năm. Lời giải

Số tiền anh A nhận được sau 12 tháng được tính bởi công thức:

1

r

T

T T 







T  



20.000.000

1 6,2%

18.832.391

  . 1 %







1



20.000.000 1 6,2%

Ví dụ 3: Theo thông tin trên internet, lãi suất tiền gửi của ngân hàng TP Bank là 6,2% /năm. Tại thời điểm ngày 01/01/2020 anh Nguyễn Văn A dự định vào ngày 01/01/2021 sẽ mua một chiếc laptop trị giá 20.000.000 đồng nên đã quyết định gửi vào ngân hàng trên một số tiền là T triệu đồng. Theo em anh Nguyễn Văn A nên gửi số tiền gần với số tiền nào sau đây? A. 18.832.391đồng. B. 15.832.391đồng. C. 17.832.391đồng. D. 16.832.391đồng. Lời giải

n

r



1





Từ công thức lãi kép ta có

.

nA A 

Ví dụ 4: Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất 6% một năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính gốc cho năm tiếp theo. Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi nhiều hơn số tiền ban đầu là 100 triệu đồng ? Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu ? A. 145.037.058 đồng. C. 126.446.589 đồng. B. 55.839.478 đồng. D. 111.321.564 đồng. Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 54

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

10

Theo đề bài ta có:

 

100

n

n   r  0, 06  A A 

10





A A 



.

A 

A

100

1 0, 06



  100

1, 06

1



10

100 10







1.06

1

mỗi tháng, ta

r

A T 



đồng.

1

Với số tiền T gửi đều đặn mỗi tháng theo hình thức lãi kép với lãi suất %r có Sau một tháng, số tiền của người đó là

1

2

r

r









1

1

1

Sau hai tháng, số tiền của người đó là

 

  r T 



 r T 





   1



A 2

 T 

 

 

 

2

3

2

đồng.

T

T

r

r

r

r

r























1

1

1

1

1

1

đồng. Sau ba tháng, số tiền của người đó là 







 r T 













A 3





 

 

 

 

14

15

15

r

r

r

r

r

đồng.

A T 

















  ...

1

1

1

1

1

1

… Sau mười lăm tháng, số tiền của người đó là  













15

 

 

   

 

T r

Theo đề thì sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng nên

7

T







635.000

đồng.

15



1

r

r





1

1

10 .0,006  15 1,006 1,006







 

A r . 15     1 

Ví dụ 5: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau. A. 635.000 đồng. D. 535.000 đồng. B. 645.000 đồng. C. 613.000 đồng. Lời giải





tỉ đồng.

2

2

Ví dụ 6: Anh Nam dự định sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng để mua nhà. Mỗi năm anh phải gửi tiết kiệm bao nhiêu tiền (số tiền mỗi năm gửi như nhau ở thời điểm cách lần gửi trước 1 năm) ? Biết lãi suất là 8%/năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn và sau kỳ gửi cuối cùng anh đợi đúng 1 năm để có đủ 2 tỉ đồng.

tỉ đồng.





1,08

1, 08

1,08

1,08









tỉ đồng.

tỉ đồng.

2

2

A. B.





1

1,08

1,08

1

0,08 9 0,08 7



0,08 8 0,08 8



C. D.

n

r

r

Ta có công thức









1







T n

 

Gọi M là số tiền anh Nam phải gửi hàng năm. Để sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng, tính luôn cả thời gian anh đợi để rút tiền ra thì anh gửi tất cả 8 lần. M r

M  



tỉ đồng.

n



1.08

r

r







1

1

1



  1 1   2 0,08 9





T r . n    

 

Lời giải

1,08 Ví dụ 7: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng, theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng. A. 21.

D. 24. B. 22. C. 23.

55  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Theo công thức ở bài toán 3, số tiền mà người đó còn nợ sau n tháng là:

n

n









 100 1 0,7%

.









nT

 

 1 0,7% 1 

5 0,7%

n

n









 100 1 0,7%

  0

0

Sau n tháng thì người đó sẽ trả hết nợ thì  





nT

 

 1 0,7% 1 

n

n

5 0,7% 5

5

n





  



1 0,7%

100

1 0,7%

log

21,6

.

  

  







1 0,7%

50 43

  

50 43

 :  0,7% 0,7%  Vậy sau tháng thứ 22 thì người đó trả hết nợ.

p 

 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất

756839 2

1

Lời giải

Ví dụ 8: Năm 1992, người ta đã biết số

được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân. A. 227830 chữ số.

756839

756839

2

có chữ số tận cùng khác 0 nên

2

B. 227834 chữ số. C. 227832 chữ số. D. 227831 chữ số.

756839 2

p 

 có số các chữ số bằng nhau. 1 756839 2

1

756839

 

756839 log 2

227831,2409

log 2

  1

1 227832

 là: 





Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân của    1 

p 

  khi viết trong hệ thập phân là số có 227832 chữ số.

Suy ra

  756839 2

, trong đó

. bt a e

Lời giải p  và

1 Ví dụ 9: Dân số thế giới được dự đoán theo công thức

  P t

,a b là các hằng số, t là năm tính dân số. Theo số liệu thực tế, dân số thế giới năm 1950 là 2560 triệu người; dân số thế giới năm 1980 là 3040 triệu người. Hãy dự đoán dân số thế giới năm 2020? A. 3823 triệu.

b 1950



1950

2560



2560

b 30

e

b  



.

b 30

ln

ln

b 1980

19     16

19 16

1 30

19 16



3040

1980



3040

 

 

 ae   ae  

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:  P   P  

a





Suy ra:

.

2560 65

ln

1950.

2560 1 30

19 16

e

19 16

  

  

2020.

ln

1 30

19 16

P

e





2020

3823

Vậy dân số thế giới năm 2020 là:

triệu





2560 65

19 16

  

  

S A

.ert

D. 4017 triệu. C. 3954 triệu. B. 5360 triệu. Lời giải

, trong đó A là số vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất ?

Ví dụ 10: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức

t

.

ln 3

1 5

A A 

t  



Ta có

. Khi đó:

2.

.e

5 log 2

r 

300 100.e r 5

ln 3

giờ.

3

1 5

A. 3 giờ 9 phút. B. 3 giờ 2 phút. C. 3 giờ 30 phút. D. 3 giờ 18 phút. Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 56

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

CỰC TRỊ HÀM SỐ MŨ – LOGARIT VÀ MIN MAX HÀM NHIỀU BIẾN

y



 Dạng 4

xe x 

1

0x  .

Ví dụ 1: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số

y  . 1

y  . 0

1x  .

A. B. D.

D 

Tập xác định:

.

 ℝ \

 1

xxe

y

x

.

Ta có

 

  

0

0

x



1



2

y

y

 . 1

Lập BBT, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại

0x  và

  0

CT

y

x

x



.

2 ln

C. Lời giải

x



e

x

Ví dụ 2: Tìm điểm cực tiểu của hàm số

e .

1  . e

1 e

A. x . B. C. x . D.

D 

TXĐ:

0;



  .

 0 L



0

y

x

x

 

Ta có

x 2 ln

   0



1 2

x

 

ln

e





x    

1 2

1 e

  x    x  

Bảng biến thiên

x



Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại

.

1 e



1

x 24 x

y

là



2

Lời giải

4

.





;

2

; 2

; 2

Ví dụ 3: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số

.

.

.

1 2

41 2

41 2

1 1 ; 2 4 2

  

  

  

  

  

  

  

  

A. B. C. D.

TXĐ: D  ℝ .

x

 

2

x 2

x  1 4

1 2

x

4

 1

y

.

Ta có

 

.2

.ln 2

0

2

2



x 4

1





x



      

1 2

Bảng xét dấu của y :

Lời giải

57  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại

x 

1 2

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là

.

; 2

41 2

  

  

y



có đồ thị như hình vẽ

 f x

1

x

2

4



  f x y  

đạt cực tiểu tại điểm nào? 1

Ví dụ 4: Cho hàm số

1x  .

0x  .

C. D.

Hàm số A.

2x  .

x   .

x



4

 f x





y







2 



.

Ta có:

2

   4 0

2

2

ln

  0

B.

  f x



  f x

x

f

Đặt

 . 2

   t  ta có 1

 4   t 

1

2

1

0

f



Dựa vào đồ thị ta có

2

hay

 t 

1

2

1

t   1    t   t

x      x   x

2

0

Như vậy

.

 f x

 2 

1

x      x   x

Do

x   và 2

1x  là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên sau

3

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại b

P

a

ab

m



, với

log

1b  và



1a  ,

Lời giải    f x

0x  .  16 log b

2 a

. Tìm m sao cho P đạt giá trị

loga





nhỏ nhất.

2m  .

Ví dụ 5: Cho

1m  .

m  .

4m  .

1 2

A. B. C. D.

3

m

ab

b

Ta có:



m  



log

 1 log

log

b m  3

 . 1





a

a

a





1 3

Vì

m

     .

a b  nên log ,

1

1 0

m 3

a b  0

2

2

2

P

Khi đó:

.















Cauchy 



m 3

1

m 3

1

3 3 8

12









8 m  3

1

1

1 3 8 m  3

P

m    .

. Vậy min

12

1

Dấu "

m  





m 3

1

1

" xảy ra khi 

16 m  1 3 2

8 m  3

1

Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 58

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

3

3

P

a

a

a

a







 với

và M , m lần lượt là giá

9 log

log

log

1

;3

1 27

   

  

3 1 3

2 1 3

S M m



trị lớn nhất và nhỏ nhất của P . Tính

3

1 3  4

.

Ví dụ 6: Cho biểu thức

.

.

109 9

83 2

A. B. C. 42 . D. 38 .

P

a

a

a

Ta có:

 





log

log

3 log

 . 1

3 3

3

2 3

1 3

t

a

a



log

Đặt

. Do

.

;3

nên

 t  

3;1

3

1 27

   

  

3

2

P

t

t

.

Khi đó

 





 với

t 3

1

 t  

3;1

1 3

3

t   

2 2 t

 . 3

0

   P t

   P t

 N

   1

L 



  t    t 

S M m







P



10

,

,

.

10M 

4

3

42



1

 P 

3

 P    ,



  1

2 m   . Vậy 3

2 3

14 3



 



log

xy x 3

y 2

4

 thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất

x y ,

1

Lời giải

3

1 x

 

xy y 2

y

 

minP của biểu thức P x









P

P









Ví dụ 7: Xét các số thực 0

. .

P A. min

P B. min

D. min

9 11 9 9

18 11 29 21

2 11 3 3

9 11 19 9

xy

x

xy



 

 





x  



xy x 3

y 2

  4

3 3

log

y 2

y 2

log

Ta có





. C. min

3

3

3



3

y 2

 t



1 x   xy f   Xét hàm số

log

 * t t  ,

 0

xy  y  2  f x    f t

3



0;  .

f

t



1 0,

0;

f t đồng biến trên   



  t

      . Suy ra hàm số



t

1 ln 3

2

3

P x

 



xy

y

x

. Suy ra :

.

 

3 3

y     2

Khi đó   *

x  3 x  3 2

x  3 x  3 2

x x   3 x  2 3

2



11

7



11

P

x

P

P





  

 

0

Ta có:

.

. Vậy min

 2

  2 3

  2 3

2 11 3 3



x 3

2

x 9 

   

   

x

x

y a

y

y

,

,

được cho



Lời giải   log 3 3

x 12  Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a , b , c và đồ thị các hàm số

 ab

x

 c

1

như hình vẽ dưới đây

T

b





c 4





. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng

Biết rằng MH HK KN A. 0 .

B. 2 . C. 1 . D. 1 . Lời giải

59  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x m

MH HK KN m 





  

Đặt

m  ,

.

0

m 2

K

, Mx

Nx

 1



x

x

m

m

1 2 a

K

N

M

xa

Khi đó:







ma  





1

 ab



 c

2

 ab



 c

1

2

 1





1

ab  c



 a    a 

1

1 a

 b        c 

2

T

b





c 4

Do đó:

.

 4







2

0

1   a

4 a

1 a

  

a

2 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

    (thỏa mãn điều kiện

1a  ).

1 4

   1 a

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0.

2

2

x

y

a

b

a





a b x y thỏa mãn

a b .

. Giá trị nhỏ nhất

 và

, ,

,

b 1,

1

P x y .

là

Ví dụ 9: Xét các số thực dương của biểu thức

1P  .

4 P  . 9

9 P  . 4

3 P  . 2

2

2

x

b





log

1 2

a



2

2

 ab



x

y

Ta có:

a

b









a b .

2

2

y

1 2

a







 ab



log b

 a    b 

A. B. C. D.

1 2 1 2

1 2 1 2

b

a



  1

 0

a b Vì ,

log a

2

xy

b

a

a

b











log

log

1









log b

log b

a

a

0,log b 1 2

1   4

1 2

1 4

     

  

a b

xy

y

x

Vì

1P

1     4     . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b . Vậy min



1 2 0

1 2 1

   . 1x  để thoả mãn hệ

a b  và sao cho luôn tồn tại số thực 0 ,

1

Lời giải  x     y 

0, Ví dụ 10: Cho hai số thực dương

x

log a

x

2

2



4

log b

T

ab

a

b

a







thức

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

b

10log

log

log

bằng

A. 36.

 B. 18 2 13.

4

4

x

x

log a

x

x

4







log b

log b

a

b

x

x

b

Ta có:

.











log

log

a

a

log b

b log .log a

a





 a



C. 45. D. 18.

x

x

a

b

a











  4

.



2

log b

a log .log a

b

b 4.log .log a a

log b

4.log a

a b

log b log a

2

a

a b

a

0

  1

a b Có ,

.

  

  4

2

log

b

b

log b

2

2

2

2

3

2

2

b

b

b

T

b











log

log

30 log

5 log

log

10 log

log

log  b

a 

2

T

b

b

b













.

log

45

3

2 10.log 2

 45 5 log

3

b

b

10

3

Suy ra:  5. 6.log " xảy ra khi

6 10 45

. .

 . Nên ta có:  b a ab     a      log Dấu " T  Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là max

Lời giải    log a    

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 60

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

BÀI TẬP RÈN LUYỆN



2

y

x



x  

log

 Dạng 1 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LOGARIT



2;

  1       .



 1;  .

.

; 1 

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số

1;1 . ;2

2

y

x







log

2

A.  C. 

.







0;

2;0



  2;   .

Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số

 2 B.  D.  x 3log B.  D. 

   . 

2;   . 

y

A.  C. 

2;  .





y



2

là

. D. ℝ . A.  C. 

 0;  . Câu 3: Tập xác định của hàm số   . ; 2 B. Câu 4: Tập xác định của hàm số

2

.

2;  .

2;  .

23x  là   2ℝ \  x  log  \ 2ℝ





B. D. ℝ . A.  C. 

x



y

loga 

Câu 5: Cho a là một số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào sau đây sai ? y A. Tập giá trị của hàm số

loga

x

y a

B. Tập xác định của hàm số

là  x là 

 0;  . 

x

y a

0;  .

C. Tập xác định của hàm số

0;  .  là  ;   . 

là 

D. Tập giá trị của hàm số

y 

xác định trên ℝ .

D 

y

x

0;



có tập xác định là

3x log

Câu 6: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. Hàm số



  .

x

x

3 có tập xác định là D  ℝ . có tập xác định là

D  ℝ .

y e y 

log

B. Hàm số

2

x

x





log

3





y e 

.

D 

C. Hàm số D. Hàm số

3;

  .





D 

Câu 7: Tìm tập xác định của hàm số 3; A. B.

  D     .

2

3

x

log

C. D  ℝ . D.

có nghĩa là

5





1;0

2;

   .

Câu 8: Tập hợp các giá trị của x để biểu thức

  . ; 1  



 ;0 0;3   x  2 0;1 .   . 1;

A.  C. 

x  B.  D. 

y



log

là

2

3 x

 

x 2

D 

Câu 9: Tập xác định của hàm số

.

 3;2

3;2 ; 3

2;

.

B. A.

 D   

.  D      .



 ℝ \ 3;2  D  

C. D.

 Câu 10: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ℝ ?

1 3

y

x



y

y

ln

y 

x

.



1 2x

.

.

1 x e

A. B. C. D.

61  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x





3

Câu 11: Tìm tập xác định của hàm số

.

3; 2

3; 2

; 2

B.

 C.

D    . 3;

D    .

D    .









 log 1 2  D    .

y  





1

y 

.

A. D.

x

5



e

D 

D  ℝ

D 

5;

ln 5;

Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số

e .

  .

 \ 5



  .



  .



0

2

y

x







2

là

A. B. D. C.



D 

D 

3;

Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số

.

D  5;   x log 9 2     D   3;3 \ 2



  .

 D  

3;3

  2;3 

y



A. C. . D. B. .

.

x





1  log 5 3



5; .

.

Câu 14: Tìm tập xác định của hàm số

   ;5 \ 4

;5 .

 5; .



y



log

a b ;

;

. Tính a b c d

A.  B.  C.  D. 

   .





có dạng 

 c d

2

2

x 2 x 

1

Câu 15: Tập xác định của hàm số



2

log

A. 3 . C. 1 . D. 2 .

là





0;

.

x 2;  .

Câu 16: Tập xác định của hàm số

 0; .

   \ 1

 2;  .

 x  1

y



là

A.  C.  D.  B. 4 . y  B. 

x

log

0,5

.



; +

0 ;

1 ; + .

Câu 17: Tập xác định của hàm số

.



 0 ; 1 .

  

  

  

y

x

.



là

 Giá trị của

log

log

log

log

C. D. A.  B. 



1 2 

    D a ;

1 2 

2019

2018

2017

2020









2019

2020

2018

2017

.

.

.

2

2

x





x 3

Câu 18: Tập xác định của hàm số

a bằng A. 0 . Câu 19: Hàm số

x

x





2

3





4;1

2;

.

.

y 

log 

A. 

2019 C. D.  có tập xác định D là  4     . D.   C.  4; 2; 1





2;4

2

x

x





  1

x 3

10

là

Câu 20: Tập xác định của hàm số

 2;14 .

3

x

x

D.  A. 





B.  y 

2018 B.   x x    4 3 log 1;4   . B.     log ln    2;14 .  1 log

 5;14 . Câu 21: Tập xác định của hàm số

là

     5;14 . 

2

.



;1

;

;1

C.   log 1 2

.

.

0;1 .

1 2

1 2

  

  

  

  

2

x

có tập xác định

   y 



   x m  3

ln

B. C. D. A. 

1 2 



D  ℝ

m

m





;

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

.

.

9 4

9 4

  

m

m 





;

B. A.

.

.

   ;  9 4

9 4

9 4

  

      ;  

     

2

có tập xác

y

x







log

mx 2

4

C. D.

   Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số





định là ℝ .

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 62

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2m 

2m  .

 .

2m  .

.

2

m  2    m 

2

y

x

có tập xác







log

x m  2

1

A. 2 C. D. B.





Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

định là ℝ . 0m  A.

2m 

2

y

x

2m  có tập xác định D  ℝ .





D.

0m   2020 ln

m 2



  2

2m 

B. x  2 Câu 25: Tìm m để hàm số C.   4

2m  .

2m  .

 .



2

m   m 



2019;2019

để hàm số

A. B. D. 2 C. .



2

2

2

y

x m x

m

 







x m 



 





x m 

2

1

m 2

4 log

x 2

1

xác định trên ℝ ?





2



Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 

3

xác định trên

x



ln

2 m x 3

A. 2018 . B. 2019 .

D. 2021 . m  32

 C. 2020 .  f x 







 0;

Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

B. 4 . C. 6 .

khoảng  A. 3 .

x

có tập xác

y

m



 log 9 3



định là

m 

D. 5. x   3 Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m  .

m  .

.

0m  .

.ℝ 1 4

1 4

mx m 



1 4 y 

log

2

xác định trên

A. B. C. D.





2020

1m   .

 1m   .

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

0m  .

C. D.

 1;  . A.

1

10

y

m





log

có tập xác định D  ℝ , khi đó có bao nhiêu

2



 1

Câu 30: Biết rằng hàm số

0m  . B. x x    2 4  x 2 

  

giá trị nguyên dương của tham số m ? A. 1.

B. 5 . C. 10 . D. 13 .

63  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2x

y e

.

2x

y

y

y

  y

22 x e

 

 

e 

 Dạng 2 ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

x xe  2 1 2

.

.

.

.

2

x





log

1

Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số 2 x e  2 1 B. C. D. A.

là

 f x







 



.

Câu 2: Đạo hàm của hàm số

.

  f x



  f x



2

2

e

x

x

x 2   1 log







B. A.

.

.

  f x



  f x



2

x

 x 2 2 

1

x



x 2   1 ln10 1  1 ln10



y

x



log

là

.

.

.

.

C. D.

ln10 x

1 x

x

1 ln10

y

 

y





a 

3

có dạng

,

Tính

B. C. D. A. Câu 3: Đạo hàm của hàm số 1 10 ln x



 ;a b  ℤ

 10 .

 x log 5 2

b

x 5

a   3 ln



Câu 4: Đạo hàm của hàm số

a b . A. 9.

2

y



x  

1

C. 1 . D. 7 .

là





.

.

.

.

Câu 5: Đạo hàm của hàm số

x 4 2

2

2

 1 ln 3 x  

 x 2

1

1

x 2

x 2

x  2 1  x   1 ln 3

x  4 1  x   1 ln 3

y

x





2 2 x 

x

x

2

2

y

2 x x e

 

y

x

y

y

x

.

.

 

 



 



2 2 

A. B. B. 3.  x log 2 3 x  1 4 2 x x   2 C.  D. 

 . B.

.



 2 x e  x

là  2 x e



 x e

x

y



A. C. D. Câu 6: Đạo hàm hàm số  x e

x

x

x

x







 2 2x  1

1

1



 2 ln 2



 2 ln 2



 2 ln 2



y

y

y

y

 

 

 

 

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số

. C.

 2x

 4x

 2x

2 ln 2 1  2x



của hàm số

là

A. . B. . D. .

 f x



 f x



 

x 2 x 2

1 1

 2

2

 2

2

x .2 ln 2

x .2 ln 2

x .2

x .2

Câu 8: Đạo hàm

. B.

. C.

.

.





x 2

1

x  2

1

x 2

1

x  2

1



2



2



2



2

2

y

x



x  

ln

1

là hàm số nào sau đây?

A. D.





y

y

y

y

 

 

 

 

.

.

Câu 9: Đạo hàm của hàm số

.

.

2

2

2

x

x

x

x

x  2 1 2 x  

 1 x  

1 x  

2 x  

1

1

1

1

2

x



y

B. C. D. A.

là

2

 1

x





2

1



x  2

.

x 2

2

x



x

x



e x 2

.

.

.

Câu 10: Đạo hàm của hàm số

 1 e x

 1 ex

 2 1 e x

D.  A.  C. 

ex  B. 



 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 64

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

y





e

x ln 2

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số

.

x

y

y

y

y

 

 



 

 

ex

e

ex

ex

.

1  . x

2  . x

1  . x

1 x 2

y 

e x

B. C. D. A.

, mệnh đề nào sau đây là đúng?

x

 1

y

y

y

x

y

x

 

 

.

.e x

e

 

 

.e x

.e x

Câu 12: Cho hàm số

.

.

.

1 x

1 x

2

x

y

x





x 

e

log

A. B. C. D.

.

0

2

x

x

 1

 1

y

y

x

y

y

x

 



 

 



 

e

e

ex

ex

Câu 13: Tìm đạo hàm của hàm số

. C.

.

x

x

1  . x

1  . x

1 .ln 2

 ,  1 1 .ln 2

x



2 3 

1



2x

A. B. D.

có đạo hàm là

 f x



x

x



2 3 

1







2

x 2

Câu 14: Hàm số

.

.

  f x





 3 ln 2

  f x



3  1

x  2 2 3 2x x 

3

x

x

2 3 

 1







2

x 2

3

.

A. B.

.

  f x







  f x



x

x 2 2 3 x 

  1

ln 2

2

y 

3x

là

D. C.

y 

y

x

y

x

 

y 

 

ln 3

13x 

x 3 ln 3

Câu 15: Đạo hàm của hàm số

.

.

.

.

x 3 ln 3

x



A. B. C. D.

là

 f x



 ln ln



1





 f x ( )

 f x ( )

Câu 16: Đạo hàm của hàm số

.

x

x

x

x 2 ln

1  2 ln ln



 ln ln



1

1





 f x ( )

 f x ( )

.

B. A.

.

x

x

x

x

x

ln

ln

 ln ln



 ln ln



x

2

y

e

x

x



sin

cos

C. D.

là





x

y

e

x

x

y

x

x

 



 



os c

.

22 e

n

si

os c

Câu 17: Đạo hàm của hàm số

x

2

y

e

x

x

y

e

x

x

 



 



sin

o 3 c s

.

os c

.

A. B.

 x 2 3 sin 

  x 2 3 sin

 . 

  

x

. Giá trị

ee

D. C.

bằng

Câu 18: Cho

  f x  A. 2ee .

 1f  B. e 1e  .

1

y



C. e . D. ee .

.

x  4x

 1 2

 1 2



 1 ln 2



 1 ln 2

y

 

y

 

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số

.

.

2

x  2 x 2

 1 2

 1 2



 1 ln 2



 1 ln 2

y

 

y

 

.

A. B.

.

2

x  4x x  2 x 2

x  4x

x

y



3 .x e

x

1

xe

xe

xe

x



e

ln 3 1

x 3 .

x 3 .

.

x 3 .

 ln 3 ln1

D. C.

.

. D.



 ln 3







 . 3

e  . 

A. B. C. Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số 

65  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y



là

lnx 2 x

x

x

x

x

x



1

y

y

y

y









.

'

'

'

'

Câu 21: Đạo hàm của hàm số

.

.

.

3

ln 4

 1 ln 3 x

 2 ln 4 x

 1 2 ln x

x x

y

x

x





1 ln

A. B. C. D.

.

x

x



1

y

y

 

 

Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số

.

.

 x x



2 

1

x  3 x x 2

1

x

x

x





ln

2

1



y

y

 

 

.

.

A. B.

 



x x 2

1

1 x x 2

1





S

f

f





. Tính giá trị

y







D. C.

.

  1

 f x



2

 log 1 2x



Câu 23: Cho hàm số

7 S  . 8

7 S  . 6

  0 7 S  . 5

6 S  . 5

2

. Tập hợp nghiệm của bất phương trình

x







ln

x 2

3

 là 0

A. B. C. D.

 f x



 f x





2;

2;

1;

  .

   .

Câu 24: Cho hàm số



  .

  .



y

. Tính

ln 3

y 



ln 1 ex

C.  D.  A.  1; B. 





ln 3

Câu 25: Cho hàm số

.

.

3

3 8

1+e

x

x







x ln .

.

.

Tính

A. B. 3. C. D. 3e .

 f x



 P f x 



P  0.

Câu 26: Cho hàm số

P   1.

A.

B.

   x f x P  1. C.

x

x



x

y

e





là

D.

x

x

P e .  e xe

x 

x e

e

e 

1xe 

Câu 27: Đạo hàm của hàm số



 1

 1x



f 



. Giá trị của

B. C. D. A. 2

bằng

 f x



 x

 0

Câu 28: Cho hàm số

1 ex B. 2 .

y

x

x







,

0,

1

là

A. 3. C. 3e . D. 2e .





1 x

x  log

2

x

x





log

x

1

 1 ln 2

2

y

y

 

 

Câu 29: Đạo hàm của hàm số

.

.

x

x

x x   ln x x ln

 log

x

1

y

 

y

.

 

.

A. B.

log x

x x

x x   1 ln x x ln log

2

x 2 2 x x   2 2 x log 2

1

y



D. C.

là

x  4x

 1 2

 1 2



 1 ln 2



 1 ln 2

y

 

y

 

Câu 30: Đạo hàm của hàm số

.

.

2

x  2 x 2

 1 2

 1 2



 1 ln 2



 1 ln 2

y

 

y

 

.

A. B.

.

2

x  2 x 2

x  2x x  2x

D. C.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 66

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Câu 31: Trong các hàm số sau,hàm số nào luôn nghịch biến trên tập xác định của nó?

x

y

x



y 

.

log

y

2x

.

.

.

2 3

   

21   2 

   

  

2

y



y

x







log

x 3

4

y B. C. D. A.

.

.





x 2 x

y

y

x







A. B.

5 2020 x 

2021

.

.

Câu 32: Hàm số nào dưới đây đồng biến tên tập xác định của nó?  3  1 x sin 3 D. C.

1a  , chọn khẳng định đúng x

y



Câu 33: Cho



loga

y

x



A. Hàm số

0;  .  0; .

y

x



B. Hàm số

đồng biến trên  nghịch biến trên  đồng biến trên ℝ .

x

y



nghịch biến trên ℝ .

C. Hàm số

loga loga loga

D. Hàm số

x

x

x

y 

y

 3 1

.

.

Câu 34: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

.

.

x  y 





2 e

3 4

  

  

   

  

A. B. C. D.

x

y

x



y

x

y

x



.

log





log

log

log

.

.

.

2

3

2

1 3

;  ?

Câu 35: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng xác định của nó? y B. C. D. A.



x

x



x

x

y 

 3 1

y 

y

y

Câu 36: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên 

.

.

.

.



1,5





2 e

3 

   

  

   

  

x



A. B. C. D.

nghịch biến trên ℝ .

 y m

2m

Câu 37: Tìm m để hàm số

A.

1 2m B. 1

 .

2m  .

1m  .

 .

x

y



5

C. D. 1

đồng biến trên ℝ .

 a 2

3

3

Câu 38: Tìm a để hàm số

a  .

a  .

3a  .

5 a  . 2

5 2

 5 2

A. B. C. D.

2

y

x

Câu 39: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

 0;  .

y

có tập xác định là  x



log

nghịch biến trên tập xác định của nó.

A. Hàm số

1 2

y 

2x

B. Hàm số

đồng biến trên ℝ .

y

x



log

đồng biến trên ℝ .

C. Hàm số

2

2

x

y







log

x 2

3

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?





1 3

  . ; 1

1; .

3; .

Câu 40: Hàm số

;1 .







2

y

x



x 



log

4

A.  B.  C.  D. 

đồng biến trên khoảng

0,5





Câu 41: Hàm số

67  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2;  .

0;2 .

2;4 .

0;4 .



2

y

x







ln

x 2

3

A.  B.  C.  D. 

đồng biến trên khoảng nào?



.

1;  .

3;  .

  . ; 1

Câu 42: Hàm số

1;3







A.  C.  D. 

 B. 

y

x





. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau



 2 3 x e

3;1

. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

Câu 43: Cho hàm số

1;3

. D. Hàm số đồng biến trên khoảng 

 1; . ;1 .

x

x

2 8 

y



0,5

. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng





A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng 

0;4 .

0;8 .

 9;10 .

;0 .

x

x

x

5

6

y

y

y

x

y

có bao nhiêu hàm số đồng









,

,

log

,

Câu 44: Cho hàm số A.  B.  C.  D. 

3

x x

 

1 2

 x 2

 6

  

  

Câu 45: Trong bốn hàm số

B. 3. D. 4.

biến trên mỗi khoảng xác định của nó? A. 1.

2

y







x 

log

x 6

5

với

,a b  ℝ .

là khoảng 

;a b



2 e

4T 

Câu 46: Biết khoảng nghịch biến của hàm số C. 2. 

a b  bằng. B. 2 .

C. 1 . D. 0 .

Giá trị biểu thức A. 1 .

phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

x

log

y

log

x .

x .

Câu 47: Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đã cho ở bốn

.

.

B.  2x y C.

y D. 

y A. 

2

1 2

   

  

1 2

x

y

x

log



y

log

.

.

Câu 48: Hàm số nào trong các hàm số sau đây có bảng biến thiên phù hợp với hình bên?

y B. 

x .

.

2

1 2

   

  

1 2

y

x



a  

log

0

1

có đồ thị là hình bên dưới. Giá trị của a bằng

C.  2x y D. A.





a

Câu 49: Cho hàm số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 68

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

1

.

A.  2a

a C.  2

.

a B. 

.

1 a  . 2

2

y

x



a 

. Đồ thị hàm số

D.



0;1

loga

là hình vẽ nào dưới đây

Câu 50: Cho số thực

A. B.

C. D.

x

y

x

y





log

log

2

x .

Câu 51: Đồ thị sau là của hàm số nào?

.

.

.

B.  2x y D. C.

y A. 





3

2

1 2

   

  

y

y





có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

có thể là hàm số

 f x



 f x



nào dưới đây?

Câu 52: Cho hàm số

69  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

log

x .

 f x

 

 f x

  2 .x

 f x



 f x

  3 .x

3

y

y

x ,   x

b ,  x

y c có đồ thị như hình vẽ dưới đây, trong đó a ,b ,c

 2 .x B. D. A. C.

là các số thực dương khác 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

 



log

1 log 2

0

Câu 53: Xét các hàm số  loga

.

.

log b

c

c

a c





0

log

0

.

A. B.   a b

.

log a

ab c

b c

C. D.

y

3

1

x

1

O

x

x

x

x

y

y 



y

y

3

.

Câu 54: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

.

.

.



2





1 2

   

  

  

   

y



A. B. C. D. 1 3

 f x



có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi

có thể là hàm số nào cho dưới đây?

 f x

4

x

x

x







 3 2 . x 

Câu 55: Cho hàm số

2 1. 

y  f x



 f x



B. A.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 70

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

.

 f x

 4 .x 

 f x



1 0,3

   

  

y

x



C như hình vẽ. Hàm số

log

D. C.

  C ,

  C ,

  ,



2

3

1

4

2

có đồ thị là đường cong

Câu 56: Cho bốn đường cong, được kí hiệu là  C

1C .

2C .

3C .

4C .

2

x

x







log

4

5

 f x



0,9

. Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của x







15;15

thỏa mãn bất phương trình



 f x S  

S  

120

 0  . Tính S ? 105

117

A.  B.  C.  D. 

.

.

.

f 

thỏa mãn

ln 3

3

m





Câu 57: Cho hàm số thuộc đoạn  S  . A. C. D. B.

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?





 f x



 ln x e

S  119  m 

m 

m    .

Câu 58: Cho hàm số

.

.

.



0;1

 2; 1



 m  

1; 0

1; 3 

2

y

x



log

A. C. D. B.

có đạo hàm là

2

x 



y

y

y

y

 

 

 

.

 

. B.

. C.

. D.

Câu 59: Hàm số

x 2 2

 x

x

x

x

x



x 2 2 

1x  2 2 x x 

2

2

1  ln 2



 1  x ln 2







x 2 

  1 ln 2  2 

có

ln 2



A.

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 f  



 f x



 ln x e m 



3 2

m 

m 

5; 2

.

.

Câu 60: Hàm số

m    .

.





 m  

2;0



1;3



0;1

y

x





ln

1

tại điểm có hoành độ

A. B. C. D.

x  là 2



Câu 61: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

.

.

 1 3

1 3 ln 2

x





ln

2

A. 1 . B. ln 2 . C. D.





C . Gọi A là giao điểm của 

C với trục Ox . Hệ

y số góc của tiếp tuyến của 

có đồ thị là  C tại A bằng

.

.

Câu 62: Cho hàm số

1 2

 1 4

y



ln

B. 1 . C. 1 . D. A.

, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

x

1 

1

Câu 63: Đối với hàm số

71  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

xy  

xy  

1 ey

1 ey

ey

ey

.

.

xy    . 1

xy    . 1

y

A. B. C. D.

y

y



y ex 







x e 2

e 2

x 2

e 3

 .

Câu 64: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

.

B.

x  .ln C. y

x tại điểm có hoành độ bằng e là x e   . . D.



0

 f x



x



. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm trong

A.





 log cos 2

0;2020 ?

 f x 

Câu 65: Cho hàm số

khoảng  A. 2019 .

f 



ln 1 ex

. Tính

ln 2

B. 2020 . C. 1009 . D. 1010 .





  f x 

Câu 66: Cho hàm số

.

1 3

y



, mệnh đề nào sau đây đúng?

B. 2 . C. 0,3 . D. A. 2 .

ln x x









y xy 

 

y xy 



y xy 

y xy 

Câu 67: Cho hàm số

.

.

1 2 x

1 2 x

1   . x

1  . x

x

y

x

.cos















y

y

y

y















y 4

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  0

y 4

y 4

y 5

y 5

0

y 4

y 5

 . 0

 2e y  . B. 5 0

 . C.

 . D.

A. B. C. D.







y

y

y

y

y

  y

   . y

.Mệnh đề nào dưới đây đúng?  y y 2

0

0

0

 . C.

Câu 68: Cho hàm số  A.

   . y

2

tại điểm có hoành độ

y

x



x  

ln

1

B. D. Câu 69: Cho hàm số 2x y e    y y  . 2 0 A.

1x  .



y

y

y

 y

x  

x  

1 ln 3

1 ln 3

1

1

.

Câu 70: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

. C.

x  .

x  .

B. D. A.

đây là đúng?

2

ac

ac

a c

b

.

22 b

 

b 2

Câu 71: Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Khẳng định nào sau

.

.

y

x

A

. Giá trị

cắt nhau tại điểm

;2

B. C. D. A. ac b .

y a và đồ thị hàm số  logb

1 2

  

  

2

T a 



của biểu thức

22 b

bằng

T 

T 

T 

17

15

Câu 72: Biết đồ thị hàm số  x

.

.

9T  .

.

33 2

A. B. C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 72

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

*

, với

n  N . Giá trị

x









bằng?

 0f 

 f x





x n

x 2

  1 1  

  

 ... 1  

n   

Câu 73: Cho hàm số

.

1 n

lnx

b

y e 

A. n . C. 0 . D. 1 . B.

 có đồ thị dạng nào trong các đồ thị dưới đây?

Câu 74: Hàm số

A. B.

x

y a y





,

x b y ,

log

x . Hãy

, ,a b c và đồ thị biểu diễn các hàm số 

C. D.

c

sắp xếp theo chiều tăng dần các hệ số

, ,a b c .

b

c

Câu 75: Cho các số thực dương

b a B.   .

b a c C.   .

c a b D.   .

c a A.   .

y

x y

x





tại các điểm có

3

log , a

log b

y  cắt đồ thị của hai hàm số

x

sao cho

như hình vẽ bên. Giá trị của

hoành độ bằng

bằng

,x x 1

2

2

x 12

a b

Câu 76: Biết rằng đường thẳng

73  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

.

1 3

x

x

y a

y b

và

có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng

y  cắt trục tung, đồ

3

A. 2 . B. 3 2 . C. D. 3 .

x

x

MN

y a

y b

và

lần lượt tại M , N , P . Biết rằng

NP . Mệnh đề nào

thị hàm số

 2

sau đây đúng?

2

3

b

b

b 3a

b 2a

Câu 77: Cho hàm số

.

.

.

.

x

x

a



AB

và

log

. Giá



có đồ thị như hình vẽ. Biết 2

BC CD  2

A. 3 a B. 2 a C. 2 D. 3

 g x

 f x



2

 trị của số thực a nằm trong khoảng

.

0;

.

Câu 78: Cho hàm số

1;2 .

1 2 ; 3 3

2 3

1 3

  

  

  

 ;1 .  

  

  

C. D. A. B. 

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 74

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x



y a

a 0,

1

qua điểm

Câu 79: Đồ thị của hàm số

 f x đối xứng với đồ thị của hàm số



,  a



x

. Giá trị của hàm số

2 log

bằng

1;1M 

 f x tại  



a

A. 2020 . B. 2019 .

1 2020 C. 2020 .

 D. 2018

.

. x x e

 f x



   bằng 2; 1



.

.

.

Câu 80: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 e

1  . e

B. D. A.

trên đoạn  2 C. 2 e

2 2 e

x



, với

0

x  e

x  . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

 f x



1 2

 

.

  . B. 48 .

Câu 81: Cho hàm số

 f x



 f x







max  x   0;

max  x   0;

1 e

1 2e

x

x

2

e

y 



e 2

C. 47 . D. A.

0;2 .

trên đoạn 

4

2

4

2

y 



y 



y 

e 2

e 2

e

2e

Câu 82: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  . 3

 . C.

. D.

.

min  0;2

min   0;2

min   0;2

min   0;2

2 e

2

y

x







x 2

1

ln

A. B.

2;4 là

Câu 83: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 2 .

  trên đoạn  x C. 3 .

D. 2ln2 3 .

1 2 e  B. 2ln3 4 .

x

 2 3e

 f x



trên đoạn 

0;2 . Mối liên hệ giữa M và m là



2e

m M  .

m M

M m

Câu 84: Gọi m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

 . 1

.

 . e

.

M m

1 2 e

x e 

1 2  trên [0;3].

A. B. D. C.

 f x



e  .

e  .

2e  .

Câu 85: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số



D. 3 2 A. 4 2

 3 ex

3

3

3

3

3e

5e

4e

.

e

. B.

B. 2 2 e  .   f x

. D.

 x 2   f x 

0;3 là   f x 

  f x 

max   0;3

max   0;3

max   0;3

max   0;3

2

x

x



x  

ln

C. trên  . C. A. Câu 86: Giá trị lớn nhất của hàm số   f x 

 f x



. Biết trên đoạn 

1;e hàm số có GTNN là m , và có GTLN

22 e

1

1

Câu 87: Cho hàm số

là M . Hỏi M m bằng A. 2e

e .

e  .

e  .

e  .

y

x

ex

B. C. 2 e D. 2 e

bằng

2;0

1 trên 



Câu 88: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

.

.

1  . e

A. B. D. 0 .

2 C. 3 e

2 2 e

x e 

 f x



0;3 .

e  .

Câu 89: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

e  .

 trên đoạn  1 2 2e  .

e  .

y

x

x



ln

B. 2 2 C. D. 4 2 A. 3 2

 0; bằng

trên khoảng  1e 

Câu 90: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

.

1e  .

y

x

x



 2 ln

A. e . B. 1 . C. D.





trên đoạn 

2;3 bằng

Câu 91: Giá trị lớn nhất của hàm số

75  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 A. 6 3ln3

.

 B. 4 2 ln 2

.

x

x



2log

log

3

2 3

y



2

C. e . D. 3.

đạt giá trị lớn nhất?

Câu 92: Với giá trị nào của x thì hàm số

y

x

x  

3 ln

B. 2 . C. 3. D. 1 . A. 2 .

1;e bằng

Câu 93: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

. 2

x





 trên

D. e 3 . A. 1 .

trên đoạn  C. e . x 1

4 log

 B. 3 3ln3 Câu 94: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y log

là

2

y

x

x

D. 2 . A. 1 .

 3 ln





6;9 bằng

B. 3 .  Câu 95: Giá trị lớn nhất của hàm số

2 C. 2 . trên đoạn  C. 2e .

.

 B. 27 9ln9

.

D. 9.

 A. 18 6ln6

2

y

x

x







trên

,a b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số



 log 2 2

2;0

Câu 96: Gọi

. Tổng a b bằng B. 7 .

C. 5 . D. 0 .

đoạn  A. 6 .

x

x

trên đoạn

m







4

4.2

 f x



Câu 97: Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

0;2 bằng 6?  A. 1 .

3

2



x mx 

y





2;2018

để hàm số

ex

B. 2 . C. 3. D. 4 .



đồng biến trên 

1;2 là

Câu 98: Số giá trị m nguyên trên 



2019;2019



để hàm số

3

2

x mx 





1

y



2019x

?

1;2

A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 .

2

để hàm số

10m 

y





x mx 

1

ln

Câu 99: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng  nghịch biến trên  B. 2019 . A. 2011. D. 2020.

đồng biến trên 

 0; là



Câu 100: Số giá trị nguyên của

y





2

đồng biến trên khoảng

.



;

C. 2010.  C. 10 . A. 8. B. 9. D. 11 .

 x ln 3

   1

m x

1 2

  















;

;

;

;

Câu 101: Tìm m để hàm số

.

.

.

.

7 3

1 3

4 3

   2 9

  

  

  

  

  

  

  

  

x



log

2

1 2

y



A. B. C. D.

đồng biến trên khoảng 

0;1 .

x m 

log

2m   .

Câu 102: Tìm tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

2 2m   .



2018;2018

để hàm số

A. C. D. B.



y

x

x











2

.

 f x



 1 ln

 m x

đồng biến trên khoảng 

20;e

Câu 103: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn 

 A. 2023 .

 B. 2022 .

C. 2014 . D. 2016 .

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 76

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y



với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương

ln ln

1;e . Tìm số phần tử của S .

Câu 104: Cho hàm số

C. 4 . D. 3.

x  6 x m  2 của m để hàm số đồng biến trên khoảng  A. 1 .

2

x

y







ln

4

mx 2

3

 nghịch

B. 2 .





1 2

;  .

biến trên khoảng 



m

Câu 105: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 . 8

8m  .

m  .

m  .

1 8

1 8

1 8



2019;2019

để hàm số

A. B. C. D.



2

y

x

mx







ln

2

1

 đồng biến trên ℝ ?





Câu 106: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 

2

y

mx

x







ln

A. 2019 . B. 2020 . C. 4038 . D. 1009 .



  1

x 2

 1; ?

Câu 107: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

đồng biến trên khoảng  A. 1 .

4

3

1

2

x

y

x mx 







ln

2

 đồng

B. 3. D. 2 .

x m 2  3

 2

biến trên (3;

) .

Câu 108: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số C. 4 . x 4

x



 1 ln

y



A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 

5;5

1 x m 

 1 ln

để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

;1

.

1 3 e

  

Câu 109: Cho hàm số

   C. 7 .



2019;2019

để hàm số

A. 5. B. 4 . D. 6.



x





6

 a



nghịch biến trên khoảng 

1;e

 f x



1 ln a x  3 ln

Câu 110: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a trên đoạn 

x

đồng biến

y



log

A. 4036 . B. 4037 . C. 2016 . D. 4035 .

2

 e mx 



để hàm số

0;ln 3 ?



Câu 111:Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m

trên  A. 1 .

y



có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

B. vô số. C. 3. D. 2 .

 f x



y

f







x 2

2

2 x e

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?





Câu 112: Cho hàm số

77  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

1;  .

  . ; 1

.

0;1 .





2;0

y

y



có đồ thị hàm số

như hình vẽ

A.  B.  C.  D. 

 f x



 f x



x

Hàm số

f





e

2

2020

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 g x







0; .

;2

1;

Câu 113: Cho hàm số

.

.

.

1;2



3 2

3 2

  

  

  

  

y



liên tục trên ℝ , có đồ thị hàm số

như hình vẽ. Hỏi hàm số

A. B. C.  D. 

 f x



 f x



x

2

4

đồng biến trên khoảng nào?

   f x g x   



1; .

.

  . ; 1

.

Câu 114: Cho hàm số



1;2



1;1

y

y



Cho hàm số

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ.

A.  B.  C.  D. 

 f x



 f x



Hàm số

y

f

10 2x 

đồng biến trên khoảng



 log 6;4 .

log 11;  .



Câu 115:



;2 .

2;4 .

2

2

y

y



Đồ thị hàm số

như hình bên dưới

A.  B.  C.  D. 

 f x

.

 f x



Câu 116: Cho hàm số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 78

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

 3 2





Hàm số



10f

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 g x



  ;

;1

.

.

1;2 .

;1 .

1 2

1 2

  

  

  

  

y



có đồ thị như hình vẽ.

C. D. A.  B. 

 f x



x

x





Đặt

. Hàm số

f





1 2

1 2

 g x đồng biến trên khoảng nào sau đây?



 g x











;

  1;

Câu 117: Cho hai hàm số

.

.

.

.

1 3 ; 2 2

3 2

1 2

1 2

1 1 ; 2 2

  

  

  

  

  

  

  

  

y



có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.

A. B. C. D.

 f x



f

x



1

 f 3 2

 x  



e





 23

Câu 118: Cho hàm số

  . ; 2

. .

y Hàm số 1;3 A. 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây. 2;1

 1;



y



có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

C.  B.  D. 

 f x



Hàm số

f

3 2x 

đồng biến trên khoảng nào sau đây?





3; .

  . ; 5

 g x 

Câu 119: Cho hàm số

A. 

 B. 



1;2 .

2;7 .

y



C.  D. 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

 f x



2

3

x

3

2

 1

x e 





Đặt

. Khẳng định nào sau đây sai?

 g x



Câu 120: Cho hàm số

 f x g x nghịch biến trên khoảng  

 

0;1 .

A. Hàm số

79  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

g

g



   3

B.

x  . 0

C. Hàm số

.

  g x đạt cực đại tại g x đồng biến trên khoảng  

  . 2  

1;1

y



có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

D. Hàm số

 f x



3

x





23 x

9

y

f

Hàm số



x  

3

2





 

2;

Câu 121: Cho hàm số

 ; 2 .

A.  C. 

2x  B. 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? D.   0; 2 .  .

2;1 . 

y

x

y



và

có bảng biến thiên như

 f x

 f x

 0,    ℝ . Biết hàm số

 f x



f



hình vẽ và

.

 137 16

1 2

  

  

x

mx





2 4 

e

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

2020;2020

để hàm số

đồng



5.

 g x



 f x



 m  



biến trên

1;

.

1 2

  

Câu 122: Cho hàm số

   A. 4041 .

B. 2019 . C. 2020 . D. 4040 .

f x có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây 



Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của số thực m sao cho hàm số

2

x











x 3

ln

. Tính

 4 ln 2





 f x

 g x

   1

nghịch biến trên khoảng 

1;1

2020 m

x x

 

2 2

Câu 123: Cho hàm số

x 2 tổng tất cả các phần tử thuộc S ? B. 81810 . A. 127765 .

y



liên tục và có đạo hàm trên ℝ . Biết hàm số

có đồ thị được

C. 5151 . D. 1275 .

 f x





x

f

mx

cho trong hình vẽ. Tìm điều kiện của m để hàm số



 đồng biến



2019

2

 g x





 f x 

trên 

0;1

Câu 124: Cho hàm số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 80

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

m



m 

m 

.

ln2019

ln2019

0m  .

. C.

.

y

y

x





log

ln2019 A. B. 0 D.

C là đồ thị của hàm số

 f x



, 

C 

2018

y



đồng biến trên khoảng nào sau đây?

C qua trục tung. Hàm số

.

1; .

  . ; 1

Câu 125: Gọi 

đối xứng với  1;0 A. 



B. 

và   f x C. 

C  là đồ thị của hàm số  0;1 .



y



và có đồ thị như hình vẽ

liên tục trên mỗi khoảng (

D. 

;1) ; 

1;

 f x



dưới đây:

f

log

có nghiệm



 x m

2

 4;

Câu 126: Cho hàm số

.

.

 1;

C. D. 

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình thuộc khoảng  0;2 . A. 

 \ 1ℝ

0;1 .

là B. 

y







1x 3

 có đồ thị là

2

 f x

 

có đồ thị 

C và hàm số

 g x mx m



20;20

để

 m  



1x  . Số phần tử của tập S

C tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Câu 127: Cho hàm số

đường thẳng d . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị của tham số nguyên đường thẳng d cắt  là A. 17 .

y

x

y





và

. Đồ thị của chúng đối xứng

B. 18 . C. 19 . D. 24 .



f

y

.

với nhau qua đường thẳng

x   . Tính 1

loga 

 f x 

log 2020 a

f

f

   1

.

Câu 128: Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số

.



    1





log 2020 a

log 2020 a

a 2020

1 a 2020

B. A.

81  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

f

f

   1

   1

.

.









log 2020 a

log 2020 a

a 2020

1 a 2020

x

x



2

ab





 , với a , b ℝ , biết

f

x log 4

  2

e

e

6

 . 4

C. D.

 f x



 log log e











Giá trị

f

bằng

 log ln10



a 



Câu 129: Cho hàm số

2

a

x

b

x

x

,a b  ℝ . Biết rằng

f







 với



ln

sin

6

1

2

C. 4 . D. 2 . A. 8.

 f x



 log log

 e  . Tính giá







.

trị của

f

 log ln10







Câu 130: Cho B. 3. 

y

m





tiếp xúc với đồ

ex

A. 8. B. 2 . C. 4 . D. 10 .

y

x



ln

thị hàm số



1m   .

Câu 131: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

  . 1 B.

em  .

1.m 

em   .

y

x



log

lần lượt cắt đồ thị hàm số

và đồ thị hàm số

A. C. D.

5

y

x





b

log

4

 

tại các điểm

trong đó

AB  thì m a

,A B . Biết rằng khi

,a b là





5

1 2

các số nguyên. Tổng a b bằng

Câu 132: Đường thẳng x m

f

f

f

2019

  1

  2





2

e

e

e





. Tính

x

x

P

  ...

 



ln

B. 8. C. 5. D. 6. A. 7 .

.

 f x







2019

P e

 





P

P

P

Câu 133: Cho hàm số

.

.

.

.

2019 2020

2020 2019

2019 2020

a

4

f

f

f









...

2020

ln





, trong đó

A. B. C. D.

. Biết rằng   2

  3





 f x



b



x 2

1



2

  ln 1  

   

là phân số tối giản,

a 3b

* ,a b  ℕ . Tính

.

Câu 134: Cho hàm số

a b A. 1 .

f

f

f

f

2019

  1

  3

  5





2

P 





 

. Tính

x

10

10

10

... 10

 



log

x 2

B. 1 . C. 2 . D. 3.

.

 f x





2021







P 10

P

P

P

Câu 135: Cho hàm số

.

.

.

.

1010 2021

 2022 2021

2020 2021

1





1

1 2

x



x (

2 1)

m n

f

f

f



5



. Biết rằng:

5

với

A. B. C. D.

 f x



  1 . 2 ... 2020

 





,m n là các số nguyên

2m n

dương và phân số

tối giản. Tính

m n

2

2

2

2

m n

m n



m n



m n

2020

2021

  . 1

Câu 136: Cho

 . 1

. C.

. D.

A. B.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 82

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 Dạng 3 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM SỐ MŨ

C. 330,215 triệu. D. 403,766 triệu. B. 304,378 triệu Câu 1: Ông A gửi vào ngân hàng một số tiền ban đầu là 240 triệu VNĐ với mức lãi suất 2% tính cho một quý (gồm 3 tháng) theo hình thức lãi kép. Hỏi sau 3 năm kể từ ngày gửi tiền, tổng số tiền ông A có trong ngân hàng là bao nhiêu? A. 280,891 triệu.

Câu 2: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% /năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn.

Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? A. 11 .

B. 8 . C. 9 . D. 10 .

Câu 3: Ông An gửi ngân hàng 150 triệu đồng với lãi suất 0,8%/tháng, sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau một năm số tiền lãi ông An thu được gần nhất với kết quả nào sau đây. A. 15.051.000 đồng. B. 165.050.000 đồng. C. 165.051.000 đồng. D. 15.050.000 đồng.

Câu 4: Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu và lãi suất không đổi trong các năm gửi. Sau 5năm mới rút lãi thì người đó thu được số tiền lãi gần với số nào nhất? A. 53,5 triệu. B. 20,128 triệu. D. 70,128 triệu. C. 50,7 triệu.

B. 40 080 000 triệu đồng. D. 342187 000 triệu đồng. Câu 5: Một người gửi vào ngân hàng 300 triệu đồng với lãi suất 6,8%/năm. Biết rằng nếu không rút lãi khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau đúng 2 năm kể từ khi gửi tiền, người đó nhận được số tiền lãi gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi? A. 42187 000 triệu đồng. C. 18252 000 triệu đồng.

Câu 6: Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau một tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi gần nhất với số nào dưới đây, nếu trong thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 102.017.000 đồng. B. 102.424.000 đồng. C. 102.423.000 đồng. D. 102.016.000 đồng. Câu 7: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn một năm với lãi suất 7% /năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 200 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử trong suốt quá trình gửi người gửi không rút tiền và lãi suất không thay đổi) A. 11 năm. C. 12 năm. D. 10 năm. B. 9 năm.

Câu 8: Bạn Châu được nhận học bổng Vallet 7 triệu đồng, mẹ cho bạn gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 6.8% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì bạn Châu nhận được cả vốn ban đầu và lãi gần nhất với 10 triệu đồng? (Giả thiết rằng, lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian bạn Châu gửi). A. 7. B. 8. C. 5. D. 6.

83  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Câu 9: Một người gửi M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,4%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó có được nhiều hơn gấp đôi số tiền mang đi gửi? A. 10 năm.

C. 8 năm. D. 9 năm. B. 7 năm.

Câu 10: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi thàng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là A. 3 triệu 900 ngàn đồng. C. 3 triệu 700 ngàn đồng. B. 3 triệu 800 ngàn đồng. D. 3 triệu 600 ngàn đồng.

C. 10 năm. D. 14 năm. B. 11 năm. Câu 11: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8,4% /năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền vốn. Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn 3 lần số tiền gửi ban đầu. A. 8 năm.

D. 4 năm 1 quý. Câu 12: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi). C. 5 năm. A. 4 năm 2 quý. B. 4 năm 3 quý.

D. 190. B. 150. C. 200. Câu 13: Ông An dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất không đổi là 7% một năm. Biết rằng cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm kế tiếp. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, ) x  ℕ ông An gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy giá trị 45 triệu đồng. A. 250.

B. 210 triệu. D. 216 triệu. C. 212 triệu. Câu 14: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 220 triệu.

Câu 15: Một người muốn gửi tiền vào ngân hàng để đến ngày 15/11/2021 rút được khoản tiền là 50 000 000 đồng (cả vốn ban đầu và lãi). Lãi suất ngân hàng là 0,55% /tháng, tính theo thể thức lãi kép. Hỏi vào ngày 15/12/2019 người đó phải gửi ngân hàng số tiền là bao nhiêu để đáp ứng nhu cầu trên, nếu lãi suất không thay đổi trong thời gian người đó gửi tiền (giá trị gần đúng làm tròn đến hàng nghìn)? A. 43 833 000 đồng. B. 44 074 000 đồng. C. 44 316 000 đồng. D. 43 593 000 đồng.

Câu 16: Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15 % so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng? A. Năm 2022. D. Năm 2023. B. Năm 2021. C. Năm 2020.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 84

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Câu 17: Anh Nam tiết kiệm được x triệu đồng và dùng tiền đó để mua một căn nhà nhưng thực tế giá căn nhà đó là 1,6x triệu đồng. Anh Nam quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hang với

D. 6 năm. C. 5 năm.

lãi suất 7% / năm theo hình thức lãi kép và không rút tiền trước kỳ hạn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm anh Nam có đủ số tiền cần thiết (bao gồm vốn lẫn lãi) mua căn nhà đó? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi, anh Nam không rút tiền ra và giá bán căn nhà không thay đổi. A. 8 năm.

B. 7 năm.

Câu 18: Một người gửi một số tiền ban đầu là 300 triệu VNĐ vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép (là hình thức tiền lãi của tháng trước cộng vào gốc để tính lãi cho tháng sau). Biết rằng lãi suất tính cho một tháng là 0, 6% . Sau 10 tháng tính từ ngày gửi người đó đến

ngân hàng rút 100 triệu VNĐ về tiêu dùng. Tiếp sau đó 2 năm người đó đến rút hết toàn bộ số tiền về. Hỏi người này đã thu được tổng cộng bao nhiêu tiền lãi so với số tiền ban đầu? A. 52,227 triệu.

B. 67,665 triệu. D. 45,125 triệu. C. 100 triệu.

C. 221 triệu. Câu 19: Một người gửi ngân hàng lần đầu 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Sau một năm, tổng số tiền gốc và lãi của người đó là bao nhiêu (làm tròn đến hàng triệu đồng)? B. 216 triệu. A. 212 triệu. D. 210 triệu.

1 (triệu đồng).

Câu 20: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với lương năm đầu là 72 triệu đồng, cứ sau 3 năm thì tăng lương 10% . Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 21 năm, người đó nhận được tổng số tiền của công ty là

1 (triệu đồng).

1 (triệu đồng).

A. B.

1 (triệu đồng).

 7 216 1,1  7 720 1,1

 

 7 7200 1,1  7 2160 1,1

 

C. D.

Câu 21: Đầu mỗi tháng, chị B gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 6% một tháng và lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi tiền. Hỏi sau ít nhất

bao nhiêu tháng chị B có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 150 triệu đồng? A. 43 tháng.

B. 44 tháng. C. 47 tháng. D. 46 tháng.

D. 43 tháng. B. 48 tháng. C. 44 tháng. Câu 22: Cho thầy X muốn mua một chiếc xe Toyota Altis với giá 960 triệu VND với mức thu nhập hàng tháng là 30 triệu VND, biết rằng sau mỗi tháng thầy X chỉ giữ lại 10 triệu để chi tiêu và số tiền còn lại gửi hết vào ngân hàng với lãi suất 0,5% một tháng. Hỏi tối thiểu phải mất bao nhiêu tháng tính từ lần gửi tiền đầu tiên thầy X mới có thể mua được chiếc ô tô theo mơ ước mà không phải thiếu nợ một đồng nào? A. 45 tháng.

Câu 23: Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gởi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây? Biết lãi suất hàng tháng là 0,5% , tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn số tiền gửi hàng tháng

là như nhau. A. 14.261.000 (đồng). B. 14.260.500 (đồng). C. 14.260.000 (đồng). D. 14.261.500 (đồng).

85  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

n 

n 

n 

n 

55

.

62

60

45

Câu 24: Một thầy giáo muốn tiết kiệm tiền để mua cho mình một chiếc xe ô tô nên mỗi tháng gửi ngân hàng 8 000 000 VNĐ với lãi suất 0.5% / tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thầy giáo có thể mua được chiếc xe ô tô 400 000 000 VNĐ? A.

.

.

.

D. B. C.

Câu 25: Ông Bình gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,9% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi thêm tiền vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau 3 năm số tiền ông Bình nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông Bình không rút tiền ra (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn). A. 222.675.000 đồng. B. 220.652.000 đồng. C. 221.871.000 đồng. D. 221.305.000 đồng. Câu 26: Vào một ngày đầu tháng ông X gửi vào ngân hàng Y số tiền là 20 triệu đồng với mức lãi suất 0, 6% tính cho một tháng và theo hình thức lãi suất kép. Sau đó mỗi tháng ông X lại

D. 491,434 triệu. C. 655,623 triệu. B. 655,245 triệu.

gửi thêm vào ngân hàng một số tiền theo quy luật; tháng trước đó vừa gửi thêm 10 triệu thì tháng sau sẽ gửi thêm 20 triệu, tháng trước đô gửi vào số tiền 20 triệu thì tháng sau gửi vào số tiền 10 triệu. Hỏi ngay sau lần gửi tiền thứ 30 thì ông X có trong ngân hàng tất cả bao nhiêu tiền? A. 491,924 triệu.

Câu 27: Ngày 20/5/2018, ngày con trai đầu lòng chào đời, chú Tuấn quyết định mở một tài khoản tiết kiệm ở ngân hàng cho con với lãi suất 0,5% /tháng. Kể từ đó, cứ vào ngày 21 hàng

tháng, chú sẽ gửi vào tài khoản một triệu đồng. Sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi vào ngày 22/5/2036, số tiền trong tài khoản tiết kiệm đó là bao nhiêu? (làm tròn đến triệu đồng) A. 387 (triệu đồng). B. 391 (triệu đồng). C. 388 (triệu đồng). D. 390 (triệu đồng).

Câu 28: Một người vay ngân hàng 90.000.000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm. Mỗi tháng người đó phải trả số tiền bằng nhau. Giả sử lãi suất trong toàn bộ quá trình trả nợ không đổi là 0,8% trên tháng. Tổng số tiền người đó phải trả trong toàn bộ quá trình trả

nợ là A. 101.320.000 đồng. B. 105.320.000 đồng. C. 103.940.000 đồng. D. 103.320.000 đồng. Câu 29: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ôn ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 2,22 triệu đồng. B. 3,03 triệu đồng. C. 2,25 triệu đồng. D. 2,20 triệu đồng.

Câu 30: Thầy Châu vay ngân hàng ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp để mua xe. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất thầy Châu trả 5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,65% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu thầy Châu trả

hết số tiền trên? A. 78 tháng.

B. 76 tháng. C. 75 tháng. D. 77 tháng.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 86

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Câu 31: Ông A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó và sau đúng hai năm kể từ ngày vay ông A trả hết nợ. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 9,5 triệu đồng.

B. 9,41 triệu đồng. C. 9,85 triệu đồng. D. 9,44 triệu đồng.

Câu 32: Chị Phương Anh vay trả góp ngân hàng MSB số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 10,8 %/năm, mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng thì chị Phương Anh trả hết nợ? A. 42 tháng. D. 40 tháng. B. 39 tháng. C. 41 tháng.

Câu 33: Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào sau đây? (Biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo số tiền có thực tế trong tài khoản của tháng đó). A. 106 triệu đồng. B. 108 triệu đồng. C. 104 triệu đồng. D. 102 triệu đồng.

Câu 34: Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ plutonium (cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15) là 24.360 năm (tức lượng (cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15) sau 24.360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính bởi công thức (cid:16) (cid:17) (cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21), trong đó (cid:18) là lượng chất phóng xạ ban đầu, (cid:22) là tỉ lệ phân hủy hàng năm (cid:23)(cid:22) (cid:24) 0(cid:26), (cid:27) là thời gian phân hủy, (cid:16) là lượng còn lại sau thời gian phân hủy (cid:27). Hỏi 16 gam (cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15) sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 5 gam? (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) A. 41541. B. 43352. C. 52311. D. 51467.

Câu 35: Sau một tháng thi công công trình xây dựng Nhà học thể dục của trường X đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, công ty xây dựng quyết định từ tháng thứ hai, mỗi tháng tăng 4% khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công? A. 18 . B. 17 . C. 20 . D. 19 .

87  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

CỰC TRỊ HÀM SỐ MŨ – LOGARIT VÀ MIN MAX HÀM NHIỀU BIẾN

 Dạng 4

y





x e

◈ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Câu 1: Cho

e x  A. Hàm số đạt cực tiểu tại C. Hàm số đạt cực đại tại

Khẳng định nào sau đây đúng? x   . 1 x   . 1

x

x

với

 f x



0x  . Khẳng định nào sau đây là sai? f 



.

 . 1

B. Hàm số nghịch biến trên R . D. Hàm số đồng biến trên R .

B.

Câu 2: Cho hàm số . x x x  1 A.

  f x



 1

1  ee

.

D. Hàm số có GTNN bằng

C. Hàm số đạt cực tiểu tại

3

y

x

x







,

thỏa mãn

1

x 2

x  thì 0



2

 

 2 log

  f x y



y



0; 

hàm số

có nhiều hơn một điểm cực trị. không có điểm cực trị nào.

y



0; hàm số

có điểm cực tiểu là

x  . 1

y



có điểm cực đại là

hàm số

x  . 1

1 x  . e     f x  f x  f x  f x

Câu 3: Nếu hàm số

 f x A. Trên khoảng  0; hàm số B. Trên khoảng  C. Trên khoảng  D. Trên khoảng  x



x  và đạt cực tiểu tại

0

Câu 4: Cho hàm số

        0;  2.e x  . Khẳng định nào sau đây là đúng? y 0x  và đạt cực đại tại x  . A. Hàm số đạt cực tiểu tại 2 B. Hàm số chỉ có điểm cực tiểu, không có điểm cực đại. x  . C. Hàm số đạt cực đại tại 2 D. Hàm số không có điểm cực trị. x

y

x



2 ln

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

e

x



Câu 5: Cho hàm số

.

.

1 e

e

x



.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x B. Hàm số đạt cực tiểu tại

.

1 e



e x x 

D. Hàm số đạt cực đại tại C. Hàm số đạt cực đại tại x

đạt cực trị tại điểm



2

x

e

 f x x  . 2

Câu 6: Hàm số

.

x  . 1

2

y



C. D.

 x ln 2

1

1x  .

A. Câu 7: Cho hàm số

2

x

x

y

xe

e







B. Hàm số có hai cực trị. D. Hàm số đạt cực tiểu tại B. x e .  4 x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? x   . A. Hàm số đạt cực tiểu tại C. Hàm số có ba cực trị.

 là 2

x 2

Câu 8: Số điểm cực trị của hàm

y



x x 

C. 2 . D. 1. A. 3 .

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 ln 2

1x  .

1x  .

 f x



  f x

Câu 9: Cho hàm số B. 0 . 2



y 



2

3

.

 f x



A. Hàm số không có cực trị. C. Hàm số đạt cực đại tại y B. Hàm số đạt cực tiểu tại D. Hàm số có hai cực trị. có đồ thị như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số Câu 10: Cho hàm số

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 88

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y



có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

B. 4 . C. 5 . D. 3 . A. 6.

 f x



  f x

 f x



y





Tìm số điểm cực đại của hàm số

2019

1 2018

  

  

Câu 11: Cho hàm số

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

 f x có đồ thị như hình dưới đây





Hàm số

ln

có bao nhiêu điểm cực trị ?

 g x



 f x





Câu 12: Cho hàm số

y

x





6 ln

x 8

2019

A. 3 . C. 2 . D. 0 .

. Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 13: Cho hàm số

A. 3 .

 B. 1. 2 x    2 B. 4.

y



C. 5 .



 f x



như hình vẽ

1 

y

.

bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số



có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số    2019f f x

Câu 14: Cho hàm số D. 2.  f x y 

B. 11. C. 10. D. 13. A. 12.

89  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y

y



có đồ thị hàm số

Câu 15: Cho hàm số

 f x



 f x

1  như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

f x

x

đạt cực tiểu tại điểm nào?



y   2 ( ) 4

1

x  . 0

x   .

x  . 2

x  . 1

B. C. D. A.

◈ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT

x

y



 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

ln

0

 Dạng 1. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐƠN GIẢN

Câu 1: Cho x , y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn ln

x y A. 2 .

2

3

S





a b  . Giá trị lớn nhất của biểu thức

1

B. 2 . C. 3.

Câu 2: Cho

là

log a

log b

a b

b a

  

  

  

a b

0

của biểu thức sau

   . Tính giá trị nhỏ nhất minT

36

,a b thỏa mãn 1 a

log

.

a b .

T 

T 

T 

 9

19

16

13

.

.

.

C. 2 . D. 3 .    D. 0 . B. 3. A. 2 . Câu 3: Cho hai số thực

2 T b  log a T  . A. min

P





a b  Biết rằng biểu thức

đạt giá

1.

,a b thỏa mãn

B. min C. min

Câu 4: Cho các số thực

log a

a

a b

ab

k

b a

. Khẳng định nào sau đây là sai?

k

k 

k 

k 

.

0;

.

D. min 1 log

.

.



0;1



2;3



0;1

3 2

trị lớn nhất khi    

  

P

a





log

2 log

  . Biểu thức

đạt giá trị

b  , a b a

1

B. C. D. A.

Câu 5: Xét các số thực ,a b sao cho

b

a b

  

  

a b

2

2

a

3 b .

b .



a b . C. y x  log

log

log

2 b . B. ,x y là các số thực dương, thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ

nhỏ nhất khi A. 3 a Câu 6: Cho

2a D. 2 x y  3



1 2

1 2

1 2

x y

4P 

 .

P 





7 2

6 5

của biểu thức 1 2 5

 12 6 5

27 12 5

P 

D. min

nhất minP P  A. min

P  . C. min b a 1

   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



B. min

 b 4 3

P

a





8 log

 . 1

log a

9

2 b a

Câu 7: Cho các số thực a , b thỏa mãn điều kiện 0  1

33 2 .

A. 8 . B. 7 . C. 6 . D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 90

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Câu 8: Cho

1

8

P

,a b c là các số thực lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất minP của biểu thức , 





.

3

a

4 log

b

c

log

3log

P 

P 

20

10

12

bc .

.

.





D. min

1

log

1

6

B. min ,a b thoả mãn A. min Câu 9: Cho hai số dương

ac P  C. min  b  log

ab 18 

 a



2

2

P  .  . Tính giá trị nhỏ nhất minP

  .

P 

P 

P 

12

14

8

P  .

.

.

.

của biểu thức P a b 16 A. min

2

2

x y

y x

a

b

ab

a





. Giá trị nhỏ nhất của

a b x y thỏa mãn , ,

,

b 1,

 và 1

B. min C. min D. min

Câu 10: Xét các số thực dương

là

3P  .

biểu thức P xy A.

1P  .

2P  .

x

y

a

b





. Giá trị lớn nhất của biểu thức

a b x y thỏa mãn , ,

,

a b  và , 1

B. C. D.

Câu 11: Xét các số thực

4P  . a b

P x

thuộc tập nào dưới đây?

0;

  1;

.

.

.

.

y   2 3 5 ; 2 2

1 2

1 2

3 2

  

  

  

  

  

  

 1;  

  

x

y

3

a

b

ab



. Giá trị nhỏ nhất

A. B. C. D.

Câu 12: Xét các số thức

của biểu thức

a b x y thỏa mãn , , , Q x  

y 3

 a b  và , 1 thuộc tập hợp nào dưới đây?

2;

;2

;3

.

.

.

0;1 .

5 2

5 2

  

  

  

  

x

y

a

b

ab





   ,x y thay đổi thỏa mãn

. Giá trị lớn

B. C. A. D. 

   Câu 13: Cho các số thực

2

3 2 a b  và các số dương , y

P

nhất của biểu thức





bằng

A. 4 .

1 16 x B. 0 .

x

y

a

b

ab





. Giá trị nhỏ nhất của

a b x y thỏa mãn

C. 40 . D. 16 .

Câu 14: Xét các số thực dương

,

,

,

,

biểu thức

P x

 

y 2

a b  và 1 thuộc tập hợp nào dưới đây?

2;

;3

.

.

1;2 .

3;4 .

5 2

5 2

  

  

x

y

4

a

b

ab





   a b x y thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của

   ,

,

,

,

B. D. A.  C. 

Câu 15: Xét các số thực dương

P x

 

biểu thức

y 4

a b  và 1 thuộc tập hợp nào dưới đây?

2;

0;1 .

1;2 .

1;2 .

5 2

  

c





b 5

15

   . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

c



thuộc tập hợp nào dưới đây?

  . 5; 1

.

D. . C.  B.  A. 

P a  A. 

4;6 .

x

y

2

3

6 6 a b



b  1;2 Câu 17: Xét các số thực dương

a ,a b c thỏa mãn 3 , Câu 16: Xét các số thực   2 4 a b c    B.   a b x y thỏa mãn , ,

,

P





30

 có dạng

xy 3

x y 2

2;4 . a  (với

C.  a b  và , 1 m n D.  b . Biết giá trị nhỏ nhất ,m n là các số tự nhiên), tính

của biểu thức S m n   A. 52 .

B. 48

C. 40

D. 68 .

91  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

y

z

a

b

c

abc







. Giá trị

a b c x y z thỏa mãn ,

,

,

,

,

Câu 18: Xét các số thực dương

a b c  và ,

1

,

P x y z

nhỏ nhất của biểu thức

    thuộc tập hợp nào dưới đây?

1 2

10;13 .

5;7 .

3;5 .

x

y

z

 7;10 . a

b

c

abc







. Giá trị lớn nhất của biểu thức

D.  C. 

0

2

z

P



 thuộc khoảng nào dưới đây?

 x y z  ; , , 16 16  y x



10;10

.

15; 20 .

10; 15 .

B.  a b c  và 1 , , A.  Câu 19: Cho

.







 11 13 ;  2 2 

  

xy

 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y 4

1

D. C.  A.  B. 

Câu 20: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn

x y 

x

y 2

 6 2



P





ln

a

là

. Giá trị của tích

b ln

.a b là

x

 y

x

A. 81 . C. 108 . y 2 4

Câu 21: Cho hai số thực dương

của biểu thức

2

2

P

y

x









x 2

y 2

D. 45 .  . Giá trị lớn nhất maxP

là



P 

P 

P 

18

27

12

 56 .

.

.

.

B. 115 . ,x y thỏa mãn 2 xy 9

 P  A. max

x



x y 

log

B. max

log

C. max y  log D. max . Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu 22: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn

2



1 2

1 2

1 2

P x

 

y 3

.

P 

P 

9

8

.

P  .

.

P  .

minP của biểu thức 17 2

2

2

2

y

xy





10

log

25 2 4 log

. Giá trị nhỏ nhất của

A. min B. min D. min

Câu 23: Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 0 x



y   và

y

x



ln

ln



.

2

x





  . Giá trị nhỏ nhất

ln

C. min 

x y 2

D. 10ln10 1

P  biểu thức  A. 10ln6 . Câu 24: Cho



 C. 6ln2 .   x y   ln ln 1



bằng  B. 12ln10 . ,x y là hai số dương thỏa mãn

của x y là

2

.

x

2 y 

x y 

log

B. 3 A. 2 .

. log

C. 2  log D. 2 2 . . Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu 25: Xét các số thực dương x ,y thỏa mãn

2



1 3

1 3

1 3

P





của biểu thức

x 2

y 3

.

P 



P  

7 2 10

3

2

7 2 10

.

.

minP P   A. min

. C. min

2

2

2

y

y



y x 





2

2

2

2



x  4 9.3

x  4 9

.7

. Tìm giá trị nhỏ

P   7 3 2 

. D. min 

B. min

Câu 26: Cho các số thực dương x và y thỏa mãn

x





18

P



nhất của biểu thức

.

y 2 x

3

2

2

9

.

.

B. 9 . C.

 D. 1 9 2

.

 2

2

x

x







,x y là số thực dương thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của

log

log

y 7

A.

Câu 27: Cho

 2 

5

 y log 7 5

5



1a  . Tính giá trị biểu thức

 , ,a b c là số tự nhiên và

có dạng a b c , trong đó

S 

S 

S 

12

11

13

.

.

.

B. C. D.

y x P   7 4 S a b c    5S  A.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 92

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

y

x

y

x

y











2

3

3

4

6

3

2

3

 1



 . Giá trị nhỏ nhất



8.3

1

9.2

2

T x 



12

2 bằng

,x y thoả mãn Câu 28: Cho hai số thực dương 29 của biểu thức x y   8 B. 5. A. 3.

x

x

. Giá trị nhỏ nhất

 



,x y là hai số thực dương thỏa mãn

log

1 log



x



log

y log 2 2

2

C. 1. y  log 20 Câu 29: Cho D. 13. 3 y 16

P  của A. 4 .

2

2



a

a 2

b 4

 . Giá trị lớn nhất

b

2

2



log a

b 

C. 2.  và 2 D. 3.  1

Câu 30: Cho hai số thực dương P a b

là B. 1. ;a b thỏa mãn 3

của biểu thức

   là

1

10 2

10

x

x

. Khi đó, giá trị nhỏ nhất







B. . A. 10 . C. 2 10 . D. .

Câu 31: Cho

,x y là các số dương thỏa mãn

log

y 2

log

log









  y

2

P

của biểu thức





là

x y  1 2

.

.

.

24 y x  1 32 5

29 5

x

y

2

a

b

4 4 a b





1a  ,

. Biết giá trị nhỏ

31 5 1b  và

a b x y thỏa mãn

A. C. D. 6. B.

Câu 32: Xét các số thực dương

,

,

,

P xy 





m n

có dạng

(với

,m n là các số tự nhiên), tính

x 3

y 2

14

nhất của biểu thức S m n  .  A. 34

B. 30 .

b

. Tìm giá trị





Câu 33: Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn hệ thức:

C. 38 . a 2 log

log

log

 a

D. 48  b  6

2

2

2

2

P



.

lớn nhất maxP của biểu thức

2

a

P 

P 

P 

P 

.

.

.

.

3 3 2

2 3 3

y

y

y

4

4

x

e



. Giá trị lớn nhất của

3 3 x e  1 2 .

x e .

B. max C. max D. max A. max

Câu 34: Xét các số thực





x y



ln

3; 0

 0; 3 .

 1; 2 .

D. 

P biểu thức A.   2; 4 .

2

2

x





2ab b  2 ab b   3 2 0x  và   3 ,x y thỏa mãn  thuộc tập hợp nào dưới đây? B.   . ;x y thỏa mãn

 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

xy 4

x

P





log

y 2

là

P 

P 

 P 

P 

16

12

2 max

C.  y 12 4

b a

log 12 2    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. D. max

C. max 1

max B. ,a b thoả mãn 0



1

Câu 35: Cho các số thực 2 3log 2 2 Câu 36: Cho các số thực 

 b 4 3

P

a





8 log

 . 1

log a

9

A. 6.

2 b a B. 8.

33 2 .

C. D. 7 .

93  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

 Dạng 2. SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

x  

y 2

log

;x y là các số thực dương thỏa mãn

3

x y   2 x y 

T

thức

.

1   x

2 y



3.

Câu 1: Cho

A. 4.

 B. 3 2 3.



 



log

xy x 3

y 2

4

,x y thỏa mãn

C. 6. D. 3

3

. Tìm giá trị nhỏ nhất minP

1 x

 

xy y 2

của P x y

 









P









Câu 2: Xét các số thực dương

D. min

P A. min

P B. min

P C. min

9 11 19 9

2 11 3 3

9 11 19 9

18 11 29 21



 



log

xy x 3

y 3

4

,x y thỏa mãn

3

. Tìm giá trị nhỏ nhất minP

x

y  1 xy  3

của P x y

  .









P

P









.

.

Câu 3: Xét các số thực dương

P A. min

P B. min

. C. min

. D. min

4 3 4 3

4 3 4 9

4 3 4 3

4 3 4 9 ℝ



3

3

sao cho

x

. Tìm giá trị nhỏ nhất m của











y  ln 3 19

y 2

 xy x 6



x y



1

 ln 2  

  

x y ,   x y , 

T x

biểu thức

 

.

x

1 y  3

m  

1

3

Câu 4: Cho

1m  .

.

2m  .

5 m  . 4

. Giá trị nhỏ nhất của

x

y









log

x  ) 6

,x y thỏa mãn

A. B. C. D.

 x x y



2

log (6 2

P

biểu thức





x 3

y 2

8   bằng y

6 x

Câu 5: Cho hai số thực dương

 A. 8 6 2

.

.

.

53 3

y

y

.Giá trị nhỏ nhất của biểu

y

x

,x y thỏa mãn

  





6.3

log

3

59 3 x 1 3

B. 19 . C. D.

3





P

thức



bằng

e

e

ln3

.

.

.

Câu 6: Cho hai số thực dương

ln 3 e

x y 2 e  ln 3 2

.ln 3 2

x

y

xy

xy





3

 1

 1

e

e

e

. Gọi m











1

  1

y 3

x  thỏa mãn

0

,x y với

A. B. C. D.

 x y



1 y x  3

là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

m 

m 

m 

Câu 7: Cho các số thực

.

.

T x  m  

2;3



y



1;2  . Giá trị nhỏ nhất của biểu

y  



2

 log

x 2

y 2

A. B. C. D.

y   2 1;0 . . Câu 8: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn

2

e  . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0;1  x 

1

P

thức

 bằng

e

.

.

.

.

x y e  ln 2 2

ln 2 2

e  ln 2 2

x

y







 

log

1

1

2 0

x y ,

 và 1

A. B. C. D.







3

e 2 ln 2   x y   xy  1 

Câu 9: Cho các số thực ,x y thỏa mãn 0

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 94

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2P 

 .

.

xy

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu





 

log

y x 3

1

,x y thỏa mãn

B. 0 . C. 2 . D. 1 . A.

1 2 Câu 10: Xét các số thực dương

3

x  xy

y 3  1

A x

thức

  .

A  

A 

6

6

.

A   .

A  .

.

1 y 14 3

14 3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



 

log

x y 2

1

,x y là các số dương thỏa mãn

A. min D. min B. min C. min

3

x y  4 x y 

2

4 x y 3

xy 2

y 2

P



.



  x x y

 2 

.

Câu 11: Cho

.

.

1 2

3 2

. Giá trị nhỏ nhất của biểu







log

x 2

y 4

1

A. 2 . B. C. D.

2

1 4 y x  4 x y 

  

  

4

2

x 2

x 6

2 2 x y 2

thức

P



bằng

 3

x y 

 



Câu 12: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn

.

.

.

9 4

16 9

3

2

2

. Giá trị

x

y

xy









x y 



log

6

2

,x y thỏa mãn

A. B. C. D. 4 .





2

25 9 x y  2

2

x

3

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

lần lượt là M và m . Giá trị của biểu



  xy y    y x   2 3 2 x y   1

thức M m bằng

Câu 13: Cho hai số thực dương

.

.

.

60 13

26 5

40 13

2

2

2

2

x

xy

. Gọi







log

  1

10

y 9

0

,mM lần

,x y là các số dương thỏa mãn

A. B. 12 . C. D.

2

2

2

x

x 

2

P

lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

. Tính

T

M m





10

 .

y 9 2

T 

104

Câu 14: Cho

.

.

. . Biểu thức

T  50 ,x y thỏa mãn

A. B.

y  5 xy y  10 2 xy x   xy y  T  C. x 

. y 



T  y  

2 log

log

94 x 8

60  x x



3

3

đạt giá trị nhỏ nhất tại

P

S





x 3

y 2





 . Tính



a 3

b 2 .

x a y b ,

6 18   x y

S 

S 

S 

S 

18

17

20

.

D. 8 Câu 15: Xét các số thực dương

.

.

.













, ,x y z thỏa mãn

log

2

2

2

A. B. D.



 y y



 z z



 x x

16

2

2



x 2

  

F



Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

bằng

19   1  x y z   x y z  

Câu 16: Cho các số thực C. x y z   2 z y   2 2

95  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit





.

.

.

.

2 3

2 3

1 3

2

2

x

y

  1

 1

2

x

y

y



 . Giá trị lớn

,x y thỏa mãn

2

log

y 2 log

  1

0

A. B. D. C.

1 3 Câu 17: Cho hai số thực dương

2

2





2

2

P

y







x 3

y 3

tương ứng bằng

.

.

.

9 4

nhất của 21 4

13 4

2

y

y



 1

x

. Giá trị nhỏ nhất của



x

x 2

log

log

  thỏa mãn

y 0,

1

C. D. 3 . A. B.

2

2

y

 

1 1

22 x

bằng

Câu 18: Cho hai số thực

.

.

.

 1 4

1 2

P y    3 4

1

2

. Giá trị nhỏ nhất của

x



  

,x y không âm thỏa mãn

x y 2

1 log

C. D. A. B. 4 .

2

y 2 x 

 1

x

2

 1

biểu thức

P e 





24 x

y 2

 là 1

Câu 19: Cho hai số thực

A. 1 .

B. 1 .

C.

.

D.

1 2

1  . 2

x

y

1

1

Giá trị nhỏ nhất

x y



 

.

  2) 1 log

,x y thỏa mãn

3

log ( 3

 y

 x

  

  

2

2

x

của biểu thức

 với

a b

ℕ





a b ,

,( , ) 1.

Hỏi a b bằng bao nhiêu?

y  xy

a b

Câu 20: Cho hai số thực dương

2

x

2

2

x

y







log

x 4

  4

y 2

. Gọi M và

,x y thỏa mãn hệ thức

A. 2 . B. 9. D. 13

0,1

 10 6

. Giá trị biểu

T







x 3

y 4

12

2M m

tương ứng bằng

Câu 21: Cho hai số thực C. 12 . y x   2 4 2 2 y x   2

. Giá trị nhỏ nhất của









log

x 5

y 2

xy 5

1

,x y thỏa mãn hệ thức

B. 26 . D. 28 .

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức thức A. 27 . Câu 22: Cho hai số thực

5

xy

T x 

2 10 

tương ứng bằng

C. 29 . xy y   2 y x   7 5 12

biểu thức A. 1990 .

y   4 2019 B. 2010 .

2

2

xy



1

. Biết giá trị lớn nhất của



,x y là các số thực dương thỏa mãn

ln

D. 2019 .

 2

P

của biểu thức

bằng

trong đó a là số nguyên tố. Tính



2.a b

a b

xy x y 

Câu 23: Cho C. 2011 . xy  1 y x  x y 



  

ab a b 2

3

log

A. 48 . B. 108 . C. 80 . D. 180 .

. Tìm giá trị nhỏ nhất minP của

2

ab  1 a b 

P a

 

b 2









P

P

P









Câu 24: Xét các số thực dương a ,b thỏa mãn

.

P A. min

. 2 10 5 2

2 10 3 2

xy

Tìm giá trị lớn nhất











log

3

3

.

. B. min . C. min . D. min

 x x



2 10 1 2  y y



2

3

x

xy

3 10 7 2 x y  2 y 





2

P

của biểu thức



.

y x   3 2 x y   6

Câu 25: Cho số thực x ,y thoả mãn

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 96

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



37

249

69

249

69

249

.

.

.

.

 94

 94

y



2



. Giá trị nhỏ

x

y







2;

log

2

2

2

  4

A. B. C. D.



43 2 249 94 



 94 

 x y

2



nhất của biểu thức

T



 x y    thỏa mãn , 1

 x y 2

   tương ứng bằng

Câu 26: Cho hai số thực

A. 4 2 .

 B. 6 2 2

.



5

. Tìm giá trị nhỏ nhất

a  



log

b 3

4

D. 4 2 7 .

5

2

của biểu thức

T a 

2 b  .

Câu 27: Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn C. 4 3 2 . b a  2 4     a b   

.

.

5 2

1 2

2

2

2

y

x

y





y x 



2

2

2

Giá trị nhỏ nhất của



x  4 9.3

 4 9

2 .

.7

,x y là hai số thực dương thỏa mãn

B. A. C. D. 1 .

3 2 Câu 28: Cho

. 



x





18

biểu thức

P



là

y 2 x

2

3

.

B. A. 17.

 C. 1 9 2.

x

x

x

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

e

e

y

 







 2 ,x y thỏa mãn x y 2

2

D. 9.





 e ln 2



2

y



2 10 y 

.

Câu 29: Cho các số thực

thức A. 21

P x  .

2

x y  

1

. Gọi



2017



 thỏa mãn

x y ,

1

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá

B. 20 . C. 9 . D. 0 .

2

2018 

2

 y 2 2

trị nhỏ nhất của biểu thức

S

x

Khi đó M m bằng bao nhiêu?









y 3

xy 25 .

4

y 4

x 3

x y  

2019 

.

Câu 30: Cho 0

.

.

.

383 16

 136 3

25 2

391 16













log

2

2

2

,a bc thỏa mãn

A. B. C. D.

 a a



 b b



 c c



2

2

.

a



1

P



Giá trị lớn nhất của biểu thức

bằng

a b c   2 2 c b   2a b c   a b c a   





6

4

4

6

.

Câu 31: Cho các số thực

.

.

.

6 2 3 3

 5

. Biết rằng

xy

x

a

b

5 2 6 3  







 , x y

 5 y 1,

1,

0,

0

x y a b thỏa mãn các điều kiện , , , y x

B. C. D. A.

q

P

biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất m khi



a b . Khẳng định nào sau đây đúng ?

xb  abxy

m

m

m

m

y

Câu 32: Cho các số thực ya

.

.

.

  .

1   q

1   q

y

x

1y  y

1 q

y 

x 

1

1

2

xy

y 

 1

2

. Tìm

x





y  

xy 2

 1 4



 x 1 2

A. B. C. D.

1   q Câu 33: Cho hai số thực dương x ,y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  của y .



3

 . 3

.

 . 1

y D. min

giá trị nhỏ nhất miny y  . 2 A. min

y B. min

 



ln

x y 3

1

. Tìm giá trị nhỏ nhất minP của

Câu 34: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn

y C. min  x  1 2  x y  

  

P

.

1   x

1 xy

97  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

P 

16

8

2

4

.

P  .

P  .

P  .

 





log

xy x 3

y 3

4

,x y thỏa mãn

A. min B. min D. min

3

. Tìm giá trị nhỏ nhất minP

x

của P x y

  .









P

P









.

.

Câu 35: Xét các số thực dương C. min y  1 xy  3

P A. min

P B. min

. C. min

. D. min

4 3 4 9

4 3 4 9

4 3 4 3

4 3 4 3

ab





b 2

. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức



a 16.2

,a b thỏa mãn



  8 1 2 b a 2

2

P



ab ab 

1 4

Câu 36: Cho hai số thức

.

1 2

y



2

. Giá trị nhỏ

1 8 y

x











1 4 xy 2

y 3

6

1

x 2

  9

2

,x y thỏa mãn

A. 1 B. C. D.







 log 4 3 M a 

x y

2

 là cấp số có dạng

4P 

Câu 37: Cho hai số dương

B. 4 .

  với ,a b  ℤ . Tính T a b   . b D. 4 . C. 2. 1

x

  1

. Tìm giá trị nhỏ nhất





x y 2

4

2x  và

,x y thỏa mãn điều kiện 0

nhất của A. 2 . Câu 38: Cho các số thực

x y   y 2

2

2

của biểu thức

y

P x 



.

2

3

.

.

y

xy

xy





3

 1

 1

x

thỏa

.



  







x 2018

2018

1 2018

3

x 

B. 1 C. 2 D. 3 1 .

0

 y x



y



3

1 x 2018

T x

 

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y 2

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

m 

m 

m 

A. 2 1 . Câu 39: Cho số thực x , y 

.

.

.

.

 m  

1;0



2;3



1;2



0;1

2

2

2

2

x

xy

. Tìm giá trị nhỏ nhất





 

log

y 2

1 3

,x y thỏa mãn

A. B. C. D.

2

2

y x  xy x  3

2

2

x 2

P

của biểu thức



.

y 2 2

xy   xy y  2

5

1

Câu 40: Cho các số thực dương

.

.

.

.

 2

5 2

1 2

ab





a b 

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

,a b thỏa mãn



4 .2ab

C. D. A. B.

3 2  8 1 a b 

Q ab 



22 ab

bằng

Câu 41: Cho hai số thực dương

.

.

3 17

 5 1 2

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức







log

x 3

y 2

4

,x y thỏa mãn

D. B. 1. C. 3. A.

5

x y   1 y x  3 2

  

  



A x  6

y 2

9   bằng y

4 x

.

.

Câu 42: Cho các số dương

27 2 2

31 6 4

A. 11 3. B. C. 19 . D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 98

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y   1

 22 x



,x y thoả mãn



2018

Câu 43: Xét các số thực dương

. Giá trị nhỏ nhất minP của biểu

x



1

x y  2 2  

thức

P





x 3

bằng

P 

P  .

P  .

P  .

.

5 6

3 4

y 2 7 8

1 2

y

y



x  

4

4

x

. Tìm giá trị



  







x 5

1

3

4

,x y là các số thực dương thỏa mãn

A. min B. min C. min D. min

 y x



xy 5 5

3 xy 3

nhỏ nhất của biểu thức P x y

  .

5

.

.

Câu 44: Cho

B. 3.

 C. 5 2 5

.

 D. 3 2 5

y  

2

 22 x



. Tìm giá trị nhỏ nhất

P





x y  thỏa , 0

y 2

x 4

.





2019

0

minP của

x



2

x y 4 

  2 2 

A. 1 Câu 45: Cho

.

1 2

y



2

. Giá trị nhỏ nhất của

x

y

y  







xy 2

2

x 2

  8

2

2

A. B. 2 . C. 2018 . D. 2019 .



 log 4 2



  với a ,b ℕ ,



 là số có dạng M a b c

 2a  . Tính S a b c

    .

Câu 46: Cho hai số dương x ;y thỏa

P 2x y A. S 19

.

2

x





 Giá trị nhỏ nhất của

log

x 2

y 2

3.

  1

2

2

4

2

 1



T x 

y 16

tương ứng bằng

1

. Giá trị nhỏ nhất

x

x

y









log

1

1

  9

1

1

B. S 3 . D. S 7 . C. S 17 . y  1 4 2 Câu 47: Cho hai số thực x ; y thỏa mãn hệ thức

x  2 B. 65 . ,x y thỏa mãn









3

 

 

P x

C. 16 . y   y D. 1 . 

biểu thức A. 33 . Câu 48: Cho 2 số thực dương  

y 2

là

P 

P 

P   

P   

5 6 3

3 6 2

của biểu thức 27 5

y

y

y

4

4

x

e



,x y thỏa mãn

x  và 0

11 2 . Giá trị lớn nhất của

  3

x e .

x e  1 2 .





P

x y



. . A. min . D. min B. min . C. min

 thuộc tập hợp nào dưới đây?

3; 0

.

 2; 4 .

Câu 49: Xét các số thực ln

1; 2 .

D. 

biểu thức A.   0; 3 .

2

2

. Khi

đạt

y

x

xy

x













2

4

log

4

y 4

,x y thỏa mãn

B.  C. 

2



2





2 x

2 y

1 2

   

  

giá trị nhỏ nhất thì

bằng

x y

Câu 50: Xét các số thực dương

.

.

1 4

xy

Tìm giá











log

3

3

.

,x y thỏa mãn

A. 2 . B. 4 . D. C.

 x x



 y y



2

3

xy

1 2 x y  2 y 





2

P



.

trị lớn nhất maxP của biểu thức

y x  2 3 x y  

x  1 6

Câu 51: Xét các số thực dương

D. 4 .

A. 3.

B. 2 .

C. 1 .

2

x

y

y  

2 1 

2

x

y



,x y dương thỏa mãn hệ thức

3

log

log

1

2

2

P

x





Khi biểu thức

2 1 

y 2

x

y

T y 



y  

 đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức

2 1

y    . 0 

2

bằng

Câu 52: Cho hai số thực

A. 4 . B. 1. C. 5. D. 9.

99  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Tìm









a a (

2)

b b (

  2)

c c (

2).

log

, ,a b c là các số thực thỏa mãn

2

2

a b c   2 2 c b  



1

  

P



.

giá trị lớn nhất của biểu thức

  a  b c a   2 3 a b c  









.

Câu 53: Cho

.

.

.

6 2 3 3

4 2 2 3

8 2 2 3

6 2 3 3

2

x y  

Gọi



2 2019

.

 thỏa mãn

x y ,

2

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá

A. B. C. D.

2

x 

2020 

 y 4 2

2

trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi đó

S

y

x









.M m bằng bao nhiêu?

x 2

y 2

xy 15 .

2024 

y 







Câu 54: Cho 0

.

.

245 4

89 4

245 4

y

x

e

e

x

y

y

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

x

,x y là các số thực lớn hơn 1 sao cho



B. 147 . A. C. D. .

 x y e



 e



thức:

P

xy

x





log

log

.

x

y



2

1

Câu 55: Cho

.

.

.

 2

2 2

1 2 2 2

A. B. C. 2 2 . D.

2

2

đạt giá trị lớn nhất thì

T

x













,x y . Khi biểu thức

y 2

x 2

x 2

x 2

ln

3

 Dạng 3. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC – TÌM

Câu 1: Cho hai số thực



P



bằng?

CẶP SỐ NGUYÊN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 

giá trị của biểu thức A. 11.

y x  4 3 B. 2 .

2

x

2021

y



2

 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

;x y thỏa mãn



D. 9 .

Câu 2: Cho các số thực

x 4.2020

 y

 505

2

2

x



3

y 2





P







.

x

y 4  1

4

C. 7 . x 2 2 

x y  1 2 4  . 7

1 2

1  . 2

2  . 3

2

2

x



y

log

x 2

y 3

1

 và 1

2

2





 . Giá trị lớn nhất maxP

x

y



A. B. . C. D.

x y

của biểu thức

2P 

 bằng







19

19

7

65

7

10

.









Câu 3: Xét các số thực x , y thỏa mãn

.

. C.

. D.

maxP

maxP

maxP

maxP

 2

2

2

11 10 2 3

x yz

2 x y

x

 





1

4

3

e

yz

T e 





x  

1

A. B.

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

bằng

   1

x

x

. Giá trị lớn nhất của biểu thức









3

8

A. 0 . D. 5 .

Câu 5: Cho

x y  ,

0;2





B. 2 . thỏa mãn 

 2 x y C. 3 .  ey ey 11





P

x

y





  1 ln

ln

bằng











 ln 3 ln 2

.

ln 2

.

. C. 2 ln 3 ln 2

.



x y 





 . Xét biểu

y 2

x 4

1

x  ,

0

0

A. 1 B. 1 ln 3 ln 2 D. 1

Câu 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn

 log 11 2



1 2

1 y  và 2

2

P

y





  . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

16

2

5

 y x 2 3



yx  thức của P . Khi đó giá trị của A. 19 .

 4T m M  B. 16 .

bằng bao nhiêu? C. 18 .

D. 17 .

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 100

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x y 

 . Giá trị lớn nhất của

log

(2

) 1

Câu 7: Trong các nghiệm ( ; )x y thỏa mãn bất phương trình

2

x



22 y

x y

2T 

 bằng

.

.

.

9 4

biểu thức 9 2

9 8

2020

1 y 2

1 x

1 z 3







, ,x y z là các số thực dương thỏa mãn

3.4

. Giá trị lớn nhất của

64

64

D. A. B. C. 9.

P

biểu thức









1515

x

x











1 y 4

z 3

Câu 8: Cho

D. 2021 .

A. 2018 .

2

2

 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

64 1 y z  6 2 C. 2019 .  và 1 b a

,a b thỏa mãn

1

2

2

Câu 9: Cho hai số thực

 a b 



1 y x z 2 3 2 B. 2020 . log a

b 

P





a 2

b 4

 là 3

1

10 2

x y

x



y z 

10   2

2

2

e

e





  . Giá trị nhỏ nhất của biểu

x y z 3

2

2



; ;x y z thỏa mãn hệ thức 



22 z

bằng?

D. 10 A. 2 10 B. C.

Câu 10: Cho hai số thực y T x  thức A. 19 .

x 22 B. 12 .

x

. D. 8 .  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 11: Cho

, ,x y z là các số thực không âm thỏa 2

4

   ?

C. 15 z y   2 2

Biết rằng luôn

x

x b 





 

B. 3 .

3 |.

|

|

|

2 |

,a b bất kỳ, ta kí hiệu

D. 1. x   | C. 2 . x a  |

P x y z A. 4 . Câu 12: Với hai số thực

b

a

với mọi số thực

và

tồn tại duy nhất số thực

a

b

,a b thỏa mãn

x (

)

0

0x để

x a bf ; ( ) |  f x  ( )  a b ;





f  a b ;

min x ℝ 

  Số

.

0x bằng

D. .e

a b 0 A. 2 .e

e  1.

Giá trị lớn nhất của biểu thức

x y  ,

B. 2

Câu 13: Cho hai số thực dương x vày thỏa mãn

y

x



log

3

P











x 12.10

3 10

y 16

y 24

2023



C. 2,5.   0;2023 . tương ứng bằng

và

u

u

u

u













 với mọi

10

u 6

ln

u 2

1

C. 2042. D. 2047. A. 2048.

Câu 14: Cho dãy số 

 u ln 2



nu thoả mãn

2 2

1

2

n

n

n





1

2

5050

 là

Biết số hạng đầu



 log 5 log 7.

u  và 1



D. 100 .

 B. 2039.  2 1 n  Giá trị nhỏ nhất của n để 1. nu  B. 99 . A. 102 .  2 u log 5 1 2

2 2

1

*

u 7 , n

n

Câu 15: Cho dãy số  nu thỏa mãn u n   1 A. 7.

u

u

u

u

và

,













 2 log 7 2   ℕ . Giá trị nhỏ nhất của n để B. 9. u log

2 log

2 log

1

2n  .

C. 101.  2 u  2 1 nu  2019 . C. 6. log

Câu 16: Cho dãy số 

2

5

2

n

n

1

 2 1



là

D. 8. u  3

nu thỏa mãn Giá trị lớn nhất của n để A. 177 .

5 1007 nu  B. 191 .

2

2

x



xy y 

2

2

2

. Gọi

e

,x y thay đổi thỏa mãn





C. 192 . D. 176 .

Câu 17: Cho các số thực

x 4

xy y  2

  3

2

0m là giá trị

1 x



3

3

2

2

của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của biểu thức

P x 



 đạt giá trị nhỏ

e 

xy y  2

m 3

2

1;0

2;3

1;2

.

.

 m  











C. D.

0m thuộc vào khoảng nào ? nhất. Khi đó,   m  0;1 . . B. A. 0

0

m  0

m  0

101  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

y

x

y

  



 . Gọi giá trị lớn nhất và

,x y thỏa mãn điều kiện

1) 1,

0,

0

Câu 18: Cho hai số thực

x log ( 2

2

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y

T x 





 lần lượt là  và . Giá trị của biểu thức

2 6 x 

y 4

1





2 2 P  

bằng

 



x y 2

1

1

log

A. 48 . B. 12 . D. 20 .



. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

,x y thỏa điều kiện

C. 104 . 

Câu 19: Cho hai số thực

 3 6

 2 2 x x   x y   

2T 

 lần lượt là  và . Giá trị của biểu thức P    bằng:

x y B. 8 .

2

2

2

2

2

x







 . Gọi

log

x 8

y 8

x 7

y 7

2

x

,x y thoả các điều kiện

y

 và 9

C. 11. D. 7 .

nhất của biểu thức A. 5 . Câu 20: Cho hai số thực

2

2





y





giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x   lần lượt là M và m . Khi đó giá trị x y

3P 

M m

3

2

của biểu thức  A. 10 2 3

bằng B. 24 .

x y

 . Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức





C. 6 10 .

.  D. 12 18 2 x y   và 2 0  lần lượt là a

Câu 21: Cho hai số thực x và y thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2P 

log

x 2

y 2

1

3

2





x

2 1 y  

  bằng

.

B. 4 .

  C. 2 2 5

.

 . Gọi

a 4

b 2

2

D. 2 .

Câu 22: Cho



và b . Giá trị của biểu thức T a b  A. 4 2 3 ,a b là các số thực thỏa mãn 4 a

,M m lần lượt là giá

.

 và 0 P 

 b  2 1 . Tính M m

log 2 1 a b   a b  3 4 C. 20.

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 22 .

B. 21 .

Câu 23: Cho hai số thực x , y thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2



1

2





x

y



2 1 

  . 5; 3

3;6 .

0;3 .

D. 25 . x y   và 1 0  . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại ;x y thỏa mãn bài toán. Tổng tất cả các phần tử của tập S nằm

D. 

x

y

,x y thỏa mãn điều kiện

C.  y   



   . 3; 2  . Gọi giá trị lớn nhất và

 1) 1,

0,

0

x my  log 4 2 1 duy nhất một cặp số thực  trong khoảng nào dưới đây? B.  A.  Câu 24: Cho hai số thực

x log ( 2

2

nhỏ nhất của biểu thức

y

T x 





lần lượt là  và . Giá trị của biểu thức

2 2 x 

y 4





2 2 P  

bằng

2

số

thực

thỏa mãn đồng

các điều kiện

A. 90 .

y

4





 và  . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để

2

1

2

C. 21 . thời D. 400 . 2 x

Câu 25: Cho hai 

x

2 1 y  

x my m log 2 3 tồn tại một cặp số thực  A. 0 .

C. 1.

D. 3 .

2

2

thỏa mãn đồng

thời các điều kiện

y

9

x



1

2

B. 241 . ,x y   4 ;x y thỏa mãn bài toán. Số phần tử của tập S là B. 2 . y

Câu 26: Cho hai 

x

2 2 y  

 và  . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại 1 ;x y thỏa mãn bài toán. Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập S

2;3 .

1;2 .

B. 

C. 

3;4 .

D. 

4;5 .

,x y thỏa mãn:

thực x , số  y m x   2 log 2 duy nhất một cặp số thực  nằm trong khoảng nào cho ở dưới đây? A.  Câu 27: Cho hai số thực

2

2

x



2

.

y

x

x

















log

y 8

16

1

2 log

8







 log 5 2

3

 y log 2 2





3

x  5 4 3

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 102

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2

P

x





y m 

không vượt quá 10 . Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập

rỗng?

2

x



 1

1 2

2

2

x

trị biểu

thức

với

y

y

y

xy









P x 





 biết

4

2

1

1,

A. 32 . B. 2047 . C. 16383 .

Câu 28: Tính giá







x

y

   

0, 1

13 2

P  4.

D. 16384 .  log 14 2

P  1.

2

. Giá trị của

b

b  thỏa mãn













a  , 0

0

log

a 25

o l g

1

a 10

b 3

1

2



P  3. 

ab



a 10

b   3

1

10

1



P  2. 

B. D. C. 2

bằng

A. Câu 29: Cho b 2a

.

.

11 2

5 2

thỏa mãn

x 

2020

 ;x y với

x y 





 2 3



 x log 2 3

A. 6 . B. 22 . C. D.

Câu 30: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương    y   3 1 9 1



2

2

x

y

x y 





4

3

A. 4 . B. 1010 . C. 2020 . D. 3 .

Câu 31: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn C. Vô số.

2

2

A. 2 . B. 1.

? D. 3 . y

x y 





4

x 3

Câu 32: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

?

2

2





 . Giá trị lớn nhất

log

y 2

A. 3 .

 và 5

D. Vô số. y 1 2

Câu 33: Cho các số





m

;x y thỏa mãn 3 x

2;4 .

y 4  6;8 .

 x log 3 3  thuộc khoảng nào dưới đây? 0;2 .



B. 2 . ,x y thỏa mãn x 9 của m sao cho tồn tại cặp  A.  B.  C. 1.  x  3 y 2 5 4;6 . C.  D. 

Câu 34: Cho hàm số

với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của

  f t

2

x ye

m  với mọi



 

m sao cho

, x y thỏa

. Số phần tử của S bằng

t 2020 t  2020   1 f y

 f x





B. 0. A. Vô số.

 e x y  C. 1.

x

x

y

e

e 







. Số các giá trị m  ℕ thỏa mãn

f







Câu 35: Cho hàm số

là

5

0

 f x



 f m



  

A. 4. B. 1. C. 2. D. 2. 8   m  1  D. 3.

Câu 36: Có bao nhiêu cặp số tự nhiên 

;a b thỏa mãn

2

2

2

a b

 









log

a 4

b 4

2 a b 2

ab 2

 ? 1

 a b 

3

thỏa mãn

sao cho

tại

y 

10

A. Vô số. D. 5 . C. 10 . tồn

Câu 37: Có bao nhiêu

số nguyên x

y

y

2

2

x  

2

2

x   1

x









2

x 5

5

1

?

n



1;

A. 5 . D. 1.

u 5.

,

n

n



1

1

u





 



 

  . Tổng của bao nhiêu

log

1

5 3

2 log

log

5 log

6 0

C. 10 .   và 1

Câu 38: Cho dãy số   

u 1

nu thỏa mãn u u log 2 log 1

3

u 1

3

u 1

2 B. 6 . số nguyên   B. Vô số u u  



số hạng đầu của dãy số bằng 4882,81 ?  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

103

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

u

u là cấp số cộng có công sai

log

;log

;...;log

A. 9 số hạng. B. 10 số hạng. D. 11 số hạng.

Câu 39: Cho cấp số nhân 









nu sao cho dãy số:

n

2

u 1

2

2

2

. Tổng





  ...

3

 ; trong đó a và b là







bằng 1. Biết rằng

lim n 

1 u

1 u

a b

1 u

1 u

n

1 u 1

2

1 u 1

3

2

4

  

  

những số nguyên dương và phân số

tối giản. Giá trị của

bằng

b 2a

a b

C. 12 số hạng.   1 u

2

?

đúng với mọi số thực

y

x

x  để 0



y

log

4

A. 103 B. 77 C. 81

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên

2

 x 0;



2

C. 1.

D. 56  D. 4 .

A. 3 .

x

thỏa

0



B. 2 . 3 3 x 

Câu 41: Cho hàm số



nv

v

và

mãn

. Tìm số nguyên

log

u 2 1   2

log

v

 . Biết rằng

 f x 1



u 

 ; cấp số nhân    f

2

2

2

v 1

2

2

1

v

n

n

dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho A. 18 .

nu thỏa mãn và cấp số cộng      v f f u f u   2 1 u  .  2019. 0 C. 15 .

x





. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều

D. 17 .

Câu 42: Cho hàm số

 2 

2

2

3

kiện

x



  











x 2

5

0,

 f x x 2

x 2

0;1

. Số phần tử của S là



B. 16 . x  x 2 2020   x m f 3 B. 7 .

 f x A. 5 .

D. 9 .

  C. 3 .

,x y thỏa mãn

2

2

và

x y m  

x m 



Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại duy nhất cặp số thực  y m  2

log



18

?





3

  log 3 B. 4 .

x y A. 2 .

D. 3 .

 C. 5 .







log

x 4

y 4

4

1

2





y

x



2 2 

.

Câu 44: Tìm m để tồn tại duy nhất cặp 

;x y thỏa mãn

2

2

m

y







0

x 2

   x 

m 

m 

10 2

.

m 

m 

 10 2

 10 2

 10 2

 .

. D.

 

y   2 2 2



y

x  

xy

3;2

  và 5

x 







?

sin

cos

A. B. C.

Câu 45: Có bao nhiêu cặp số 

;x y

 log 3 2



thoả mãn 2

2    6 

A. 2 . B. 3 .

   D. 0 .

C. 1.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 104

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

x

y a

Vì tập giá trị của hàm số

◈ PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

 0; nên

0

Phương pháp giải là 

0

1a 

b  1 , 



b  : Phương trình  1 có nghiệm duy x

b



nhất là

.

loga

 Khi Dạng xa .

0b  : Phương trình  1 vô nghiệm.

 Khi

◈ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Biến đối phương trình đã cho về dạng:

  f x

  g x

a

a







, với 0

1a  .

 f x



 g x



Dạng toán Phương pháp giải

Chú ý: Nếu cơ số a có chứa biến thì cần xét thêm   f x



1a  (Vì

luôn đúng)

trường hợp

1

  g x 1

x

t

a

Thông thường, ta sẽ đặt

, điều kiện

t  0

  f x

  f x

  f x

t 

p

t a



Một số phương trình thường gặp và cách đặt: 

   Đặt:

2. m a

n a .

0

, 

0

  f x

  f x

p



.

① Phương pháp đưa về cùng cơ số

  , trong đó

a b  1

m a .

n b .

0

 f x

t

  f xb

t a 



, suy ra

0

 



 Đặt

1  . t

f x

2

2

  f x

 f x









m a .

p b .

 . 0

 n a b . .

  

  f x

  2f xb

và đặt

.

t





0

 Chia hai vế cho

a b

  

  

x



t

;

a

Chú ý: Nếu đặt

và

thì

 x m n



t

② Phương pháp đặt ẩn phụ 

khi



1a  .

t





khi 0

1a  .

 ;m n a a  ;n m a a

 

b



0

1,

0

 f x



a

b

.



b



log

a     f x

a

    

 f x



  g x

a

b

 Phương trình

,a b không đưa

 * , với

 Phương trình

được về cùng cơ số. Ta thực hiện bằng cách lấy logarit cơ số a cho hai về của phương trình  *

  f x

  g x

a

b

b









 *

 f x



 g x



log a

log a

.log a

③ Phương pháp logarit hoá

105  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

◈ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN

y

x



là ℝ nên

loga

b

x

a

.

Vì tập giá trị của hàm số phương trình  1 có nghiệm duy nhất là

0

1a 

Phương pháp giải

b  1 , 



b

x

x

b

x

x

b

e

  

  

.

. Dạng loga x

10b

Chú ý:  ln

b

a

 log

.

b  



log



 f x



 a f x



◈ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Biến đối phương trình đã cho về dạng:



0







log

log

 f x



 g x



a

a

Dạng toán Phương pháp giải

  

0  g x



  f x   g x     f x 

x

t



Thông thường, ta sẽ đặt

, điều kiện t ℝ

Chú ý: Nếu phương trình có chứa nhiều hơn 2 logarit thì cần đặt điều kiện để tồn tại các biểu thức chứa logarit trước khi giải. loga



t

;



và

thì



t

m

loga n



① Phương pháp đưa về cùng cơ số

khi

 x m n 1a  .

log a



t

;log a m

n



khi 0

1a  .

Chú ý:  Nếu đặt  

x  

log a

;log a

. Do đó, nếu đặt

x



② Phương pháp đặt ẩn phụ 

1x  ta có:

log

a

a

1 log

x

thì

t

x



loga

logx a

1  . t

0

1



 Với 0

.

 f x



 g x



loga

 g x



a



a     f x

   

 Phương trình

③ Phương pháp mũ hoá

 Đối với bài toán này, sau khi sử dụng phương pháp mũ hoá thường đưa về phương trình mũ, ta sẽ vận dụng các phương pháp giải của phương trình mũ để xử lí.

y



◈ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ







 g x





 g x



 loga f x

 f xa  Dạng 1:  Cách giải:

Phương pháp chung   f x Một số dạng phương trình mũ, logarit thường gặp sử dụng phương pháp hàm số hoặc

luôn đồng ;a b thì ;a b có tối đa 1 u v v  ,

k trên    u f v  

 f x   f u



y

nghiệm hoặc  Tính chất 2. Nếu hàm số

 a b ; liên tục và



,  f x

 

- Đoán (nhẩm) nghiệm - Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của PT. - Kết luận nghiệm. (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm)

 Tính chất 1. Nếu hàm số biến (hoặc luôn nghịch biến) trên   phương trình 

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 106

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit



 f x



 f x



a

b

c





.

y



 g x



 f x  Dạng 2:  Cách giải:



 f xc

có tối đa 1 nghiệm.



luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D ; hàm số liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D phương trình  f x

 g x





  f x

 Nếu hàm số f có đạo hàm cấp 1 là

và

a

b

- Chia cả 2 vế cho . - Đoán (nhẩm) nghiệm. - Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của PT. - Kết luận nghiệm.   f x 



 g x



f

f

mà

f x   4 .  0   f x  , x K 

0

 Tính chất 3. Xét phương trình

 x

f

  x thì phương

trình

đạo hàm cấp 2 là  x

  0  , x K 

 f x



  f x

y

a

b





 có tối đa 1 nghiệm. Từ đó suy ra

0

y

- Đoán (nhẩm) nghiệm - Xét tính đơn điệu của hàm số và

.



 g x



- Kết luận nghiệm. (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm)



 Dạng 3:  Cách giải:





 h x



 h x



 g x



 f x



loga

 f x  g x

 

3

x K

x

f

  

0,

 Dạng 4: với



f

 có tối đa 1

0

 x



3

  

0,

hoặc   f x Phương trình  4 có tối đa 2 nghiệm. Lưu ý: Khi gặp bài toán trên ta có thể xử lí đến khi đạo hàm cấp n mang dấu dương hoặc dấu âm.      







log

log



- Biến đổi phương trình về dạng:  f x



 *

a

 có tối đa 2 nghiệm 

x K 

 t

y

a 

 g x t  .

 g x loga

     f x  nghiệm   f x 0 Phương trình  4 có tối đa 3 nghiệm.

.



  f x - Xét hàm đặc trưng: - Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu.  - Từ  *  g x

 f x





 Cách giải:

VÍ DỤ MINH HOẠ



2

x   4

x 3

là

 Dạng 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

1 81

Ví dụ 1: Tập hợp nghiệm của phương trình

0;4 .

0;1 .

2;1 .

B.  . A.  D. 

2

2

0

x

x

x





x  



4

4

4

2

2

x

x

x

x





.

3

3

         4

3

4

0

x  x 

1 81

1

  

x

y

 và đường thẳng

.

 2

C.  Lời giải





.

.

3;11

4;11

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

 3;11 .



A.  B. 

y  11 D. 



 4;11 .

x

x

x





x

8

3 2

3

2

3

3 C.  Lời giải     2 3 11

        . x

Phương trình hoành độ giao điểm: 2



.

3;11

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 



x

e

2 3 x  

.

1 2 e

3T  .

1T  .

2T  .

Ví dụ 3: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

0T  .

A. B. D.

C. Lời giải

107  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

2

1

x

x

x

x







3

3

2

2

2

e

e

x

e

x

  

   

x 3

2

x 3

2 0

.

1   2 e

2

x       x

T

S  

    . 1 2

 1

 1







x 2

x 2

x 3

x 3

là

1;2  3 Ví dụ 4: Nghiệm của phương trình

x 

log

.

x 

1x  .

x  . 0

log

2 3

3 4

4 3

3 2

A. B. C. D.

x

 1

x









  

.

x 2

x 2

x 3

x  1   3

x 3.2

x 4.3

log

3 2

3 4

3 4

  

  

3 2

x



4

2

x

 1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

28 32

16

Lời giải

Ví dụ 5: Cho phương trình:

 A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên. C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. D. Phương trình vô nghiệm.

x

  

1

1

x



3

x



4

2

 1

2

28 3

2

x

x







2

x 16

  4

4



   1

28 3

7 3

x   3 3 x    3 3

 3 2  3

     x 

x

x 1 7

.

Lời giải x    x 7   x 7   là 6

x



7

7

x

x

x

x

x



1

2



  

   

x  

7

7

7

6

6 0

7

6.7

   0

7

1

x

7 x 7

7

  1

  



 1

2

t 

t

x  4 , phương trình 24 t t 12

7 0

24 t

3

7 0

2x t   . 7 0

Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình 7 B. 3 . A. Vô nghiệm. C. 2 . D. 1 . Lời giải

  trở thành phương trình nào sau đây? t   . D. 2 12 t   . 7 0

Ví dụ 7: Khi đặt A. 2 3 t B.

x 12.2 7 0   . C. Lời giải

x

x



 1

2







4

x 12.2

   7 0

4.4

12.

   0

7

x 3.2

  . 7 0

Ta có

2

x 2 2

x

 x 4. 2 24 t

2 3

7 0

t

Đặt

t   .



0

2





x

x







7 4 3

2

3

 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

6

t  Ví dụ 8: Cho phương trình 

, phương trình đã cho trở thành: 



 A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ. C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ. D. Tích của hai nghiệm bằng 6 .

x

x







7 4 3

2

3

 (1)

6







x

2

x

x

x

2





 







 

(1)

3

2

2

3

3

2

3

  6 0 2

 



 6 0 2







  

  

   x

t 



Đặt

2

3

 0

      

 

x

2

t

x

  

t

t

.

Với

2

2

3

2

log

2

6 0

Khi đó:   2



2

3

   







 

  2 N   3 L

  t       t 

Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 108

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x

x

ta thu được phương trình





 đặt

t 

3 2 2

2

 2 1

3

 2 1











3

2

3

2

t 2

t 3

32 t

1 0

3

t 2

t 3

1 0

  . 3 0

Ví dụ 9: Từ phương trình  nào sau đây? A. 3 3 t  . t 2

t   . D.

x

x

x

B.

  . C. Lời giải 1

.







3 2 2

 2 1

 2 1

 2 1

  1

 2 1

x

và 





2

Ta có: 









 2 1





x

x

x

2

3

2





 

 2 1

2 1

3

3

 2 1

2 0

x

Do đó, phương trình đã cho trở thành 



   







 2 1





x

t



Vậy khi đặt

 ta có phương trình

2 1

 2 1





x   



1 t

3

2

3

2



   

t      2 2 0

t 3

1 0

t 2

t 3

  1 0

1 3 t

3 t

3

2

2

x  x

x  23

.4

có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Ví dụ 10: Phương trình A. 0.

 18 B. 1.

ĐK:



2

4

6

4

6

 3

6



2

2

2

2









2

4

4

x  . 0 x  3 x

x  x

x  x

x x











x 3

2 .4

2 .2

2.3

x 3

1 2

x 3

2

x

x

x

2   







4

2

2

3

 x x  







log 2 3

  2 log 2 0 3

x   18 3 x   6 3 x

2

2

x

.





2

x 2

3 log 2

 x  

3









x 2

 3 log 2 0 VN





3

x     0 2 x 

x



x 13.6

 là 0

C. 2. D. 4. Lời giải

Ví dụ 11: Tổng các nghiệm của phương trình 6.4

A. 0 . B. 1. D. 9

x  6.9 C. 2 .

x



x

x

2

x



3 2

3 2

  

x

x









6.4

13.6

x 6.9

  0

6

13

   6 0

x

3 2

3 2

1   1

  

  

  

  

  x 



2 3

3 2

x

x

x 

x 

4







             1000

3

4 3

có hai nghiệm a và b . Tính giá

a

Lời giải

 T log

  3 3 3 3  3 3   b  log 4 5 1  .

Ví dụ 12: Biết rằng phương trình trị biểu thức 

B. T A. T 1 . C. T 5 . D. T 2 .

x 

x 

4









x  3 3 3

x  3 3 3

4 3

3

3 10

x

x

x

3

3

3

















27.3

81.3

3   10

10

  1

  2

 1 81 x 3

1 x 3 3

1 x 3

27 x 3 3

 27. 3  

  

 x 81. 3  

  

t 



i Cos 

x 3

x 2 3 .

Đặt

 . 2

1 x 3

1 x 3

3

x

x

x

3

3

3

t

3 t  









  





3

3

x 2 3.3 .

x 3.3 .

3

t 3

1 x 3

1 x 3

1 x 2 3

1 x 3 3

1 x 3 3

  

  

Lời giải

109  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

3

3

3

3

t

t





    

t 27(

t t  3 ) 81

10

(thỏa mãn).

Khi đó:  2

10 27

10 3

t   



.

Với

x 3

10 3

1 x 3

10 3

3

2

y

   

y 3

y 10

   3 0

y 

Đặt

 . Khi đó:

(thỏa mãn).

x 3

0

1 y

10 3

1 3

y     y 

y

x

Với

x 3

y

x

x 3

Với

     3 1 1       1 3

3 1 3

2

2

x



1

x

x

x





2



4

 1 2

2

 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

1

Ví dụ 13: Phương trình

2

2

2

x

x

x



x 



2

2

2

 1







2

1 2

x 2

Phương trình

A. 1. B. 2. D. 4 C. 3.

2

x

x



2

2



2

0

x

2 2 

ab

a b ab  

  1

. Khi đó phương trình trở thành

 1

, suy ra

Đặt

2x

2

x







1 2

0

  a   b 

1

a ab b

a

b

 

    





  



1 0

1

1

0

1

1

0

.





 b





 b a



1

a      b

x



22 x

2

2

.

2

x    2

1

x 2

● Với

1a  , ta được

x  0      0 x 1 

2

2

x

● Với

x     .

1 2

x     1

1

0

1

1b  , ta được

1

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

x

x





2

2





   có tất cả bao nhiêu nghiệm?

3.25

x 3

x  , 0 x 3

 10 5

Lời giải  . 1

Ví dụ 14: Phương trình A. 1.

 B. 2 .

D. 4 .

x   . 0 C. 3 .

t

x  25

0

t

x

 , phương trình trở thành

Đặt

10

3



   .  * 0

2

x

 











x 3

10

x 3

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn t và có





 4.3 3





2  8 .

t

x

3

t  hoặc

  .

Suy ra phương trình  * có hai nghiệm:

1 3

x



2

t

x

Với

x    

  

5

2 log

2 log

.

5

5

1   3

1 3

1 3

1 3

  

  

  

  

2

t

x

x

3

3

x       . 5

Với

2

x  là nghiệm duy nhất (Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch

Dễ thấy biến).

Lời giải  23 x t   3

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 110

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

.



 

x 2,

2 log

5

1 3

  

  

a

b







.

log

log

log

 a b . Tìm giá trị của



16

20

25

a b



.

  1

5

1

5

Ví dụ 15: Giả sử ,a b là các số dương sao cho

.

.

.









4 5

8 5

1 2

x

a

b

.

Đặt





log

log

log

 a b 



16

20

25

x

25

A. B. D. C.

1 2 Lời giải x   a 16  x b    20    a b 

x

x

x

1

5

x

.





  16

x 20

x   25

   1 0

5 4

5 4

 2

25   4 

  

  

  

  

  

 1

x

x

5

1









Khi đó:

  1

5

.

x





a b

16 20

4 5

1 2

 2

  

  

x

x 11

         có tập nghiệm là 1 B. .

0;1 .

Ví dụ 16: Phương trình 4 A.  1 . C.  0 . D. 

x

.

x

0

x  là nghiệm duy nhất của phương

luôn đồng biến trên ℝ nên





Dễ thấy phương trình có nghiệm  0 Ta có x 11

4

 f x



trình.

x





tương ứng là

x  3 5

1

8





Lời giải

x



  

x  3 5

1

8

x 5

là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị







y









.

x 5

 f x



   C y ,

 g x

 C



x  5 3 x  1 x  5 3  x  1

y





+) Hàm số

có bảng biến thiên

 g x



x  5 3 x  1

 1   || 

x   g x g x 

3   3

y

x



  là hàm số đồng biến trên ℝ .

0,

x 5

x 5

 f x







C 

có duy nhất 1 giao điểm chung

 

+) Hàm số Vậy    ,C Suy ra phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm

xe

x

1

  .

Ví dụ 17: Số nghiệm của phương trình  B. 3 . A. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải

Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Ví dụ 18: Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá tri thực của x thỏa mãn phương trình

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 . Lời giải

111  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

e

Phương trình đã cho





   . x

0

1

 f x



 f x

x

e

x



  0     .

Có

0

1

  f x



Ta có bảng biến thiên:

x

∞ 0 +∞

0 +

f ' (x)

+∞ +∞

f (x)

0

0

x

e

x  . Tổng tất cả các phần tử của S bằng 0 . . Hãy xác định tập nghiệm của phương trình







2021

32 x

x





x 2

3

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất  ?

 f x 1

.

1;3

2 log 3 .

3 log 2 .

B.  D.  Ví dụ 19: Cho hàm số    f f  4 2 A.  0;log 3 .

x

e





Xét hàm số

có tập xác định là D  ℝ

2021

x

e

Đạo hàm:

 



 , x  ℝ hàm số đơn điệu tăng trên ℝ .

32 x  23 x

0

 f x    f x

x

x





1

f





x 3 2

4

4

3

4

x 2.2

  3 0

x 2

Áp dụng tính chất hàm đơn điệu ta có:  x f     

x 2

   1

x  

.

Suy ra:

log 3 2

x

1   VN   

x 2

log 3 2

   

2

2

2

x

x

x

sin

cos



sin 2



C.  Lời giải

3 Ví dụ 20: Phương trình

?

A. 4034 .

 4.3 3 B. 1285 .

có bao nhiêu nghiệm thuộc  C. 4035 .

 2020; 2020 D. 1287 .

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

sin

sin

sin



2

4.3

 t 

2 2 sin x

Ta có Đặt

 1 sin   3 , ta có phương trình

2 c os  3 t với

4.3 

0;1

.











t 2

t 4.3

3.

4

2 3

1 9

3 t 3

  

t   

  

t   

Vì hàm số

nghịch biến với

t 





3.



0; 1

  f t

1 9

t   

  

  

t   

x

  

0

, k ℤ .

t  . Do đó sin 

k 









k  

Vì

nên ta có

nên có 1285 giá trị

2020

2020

2020; 2020

2 3 nên phương trình có nghiệm duy nhất 

 x  

x 0 2020 

k 2020 

nguyên của k thỏa mãn. Vậy có 1285 nghiệm.

Lời giải x sin

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 112

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x

là





log

x 2

3

1

 Dạng 2 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÔNG CHỨA THAM SỐ

3





.

.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình

2

0;2 .

B.  0 . A.  D. 

C. 

 0; 2

  2

2

x  

 

x  



x

2 2 x

3 3

2 2 x

0

.





log

x 2

3

1

3





x  x

0

  



log

3

3

3

3

3

3

.

.

.

Lời giải

3

 x  

A.  Ví dụ 2: Tập nghiệm của phương trình B.  3

là C.  3



3 .

D. 

3

3

3

x

x



log

3

3

3

3

3

3

3



x



 

log

3

4

3

Lời giải

 Ví dụ 3: Phương trình

 có bao nhiêu nghiệm thực?

2

     x

x     

x

 

1

x

x

x

x

x

x





  

   

x  

log

3

4

3

3

4 8

3

   0

4

16

2

x  0 ĐK: 



x



4

  

x 

Vậy

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

2

x

x

x

là





log

log

A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 . Lời giải

16 Ví dụ 4: Tập nghiệm của phương trình

2

2



0;2 .

B.  1 . A.  2 . D. 

 C. 

0;1 .

0

0

2

x

x

x

x  





2

log

log

2

2



  

2

x

x





x   x 

0 2

x

là







6

log

Lời giải

x   x     x   x log



5

5

Ví dụ 5: Số nghiệm của phương trình

log 7 5 C. 3 .

ĐK:

x  6

2

2

x

x

x

.













x  

log

log

6

log

x 6

x 6





5

5

log 7 5

5

log 7 5





7

x   1       7 0 x

So với điều kiện, suy ra

2

x

x

x  là nghiệm của PT. 







S

7 của phương trình

log

x 10

23

log

5

 . 0

A. 2 . B. 1 . D. 0 . Lời giải





0,5

2



S 

.

S 

S 

Ví dụ 6: Tìm tập nghiệm

.

.

 7

 4;7 

 4

2

2

x

x

x

















log

x 10

23

log

5

  0

log

log

x 10

23





0,5

2

2

2













5

5





7

2

2

x  

7





x  





x 10

23

5

x 11

 28 0

x   x 

x   x 

4

A. S   . B. C. D.

Lời giải   x 5 x  5    x    x 

113  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x





x  



log

5

log

3

Ví dụ 7: Số nghiệm của phương trình

 là 4





3

2

 log 3 8

2

x

x

x

x













x  





5

log

3

3

log

3

4











2

2

 log 16  2

 

 

 

2

x

x





16

2 x  



2 16 x

3  log 3 8  (vô nghiệm). 71 0

x    . Điều kiện: 3 3   x  log 5 Ta có     9 5

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 0.

x 

log

log

 là 4

A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải

2 2

2

x 4

.

Ví dụ 8: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình

.

17 4

65 4

A. B. 0 . C. 4 . D.

ĐK:

x  0

x

x

x

x

x







 



log

log

  4

log

log

log

log

  2 0

2 2

2

2 2

log 4 4 2

2

2 2

2

x 4

x

 

1

log

2

2





(Thoả mãn ĐK). Vậy

.

x 

x



log

2

17 4

2

  

1 2 4

2

3

4

2

x

x









log

1

log

1

25

là

Lời giải

 x   x  Ví dụ 9: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình







.

.

.

123 10

121 10

 99 10

A. B. C. 11 . D.

x

1

    .

2

4

3

4

x

x

x

x















log

1

log

1

  25

2 log

1

3 log

1

 25 0

x Điều kiện 2  

1 0  2











 

 

 

2

x



log

1



  1 

4

2

x

x











 

1

1

25 0









2

 16 log 

 

 9 log 

 

x

L

 

log







  1 

25 16

        

x





log

1

1

(TMĐK).





x



 

log

1

1

 

 

  

11 11 10

x     x 

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là

.

121 10

x

x

phương trình







log

log

2

4

0

Lời giải







3

3

tuần.

Ví dụ 10: Số tiền mà My để dành hằng ngày là x (nghìn đồng) biết x là nghiệm nguyên của 2  . Tính tổng số tiền My dành được trong một

x

Điều kiện: Khi đó:



2 4)

0

x ℤ  , 4 . x   log ( 2) 3

x  2, x  log ( 3

2

x

x















2 2)

2 4)

  0

log

4

0



2  2 .





x log ( 3

x log ( 3

3

 

 

2

2

2

x



 



x 6

8 1

x 6

  7

0

x

x





x  

2

4

  1

3





2

2

    

 

x





 

x 6

   8

1

x 6

9 0

 x  x 

  

A. 35 nghìn đồng. B. 14 nghìn đồng. C. 21 nghìn đồng. D. 28 nghìn đồng. Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 114

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Do vậy số tiền My dành được là: 3.7 21 2

x

x





1;100 ?

2log

5log



Ví dụ 11: Phương trình

.  có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  log100 0 D. 10 .

x  0

ĐK:

x



2

log

100

2

2

x

x

x

x





 



2 log

5 log

log100 0

2 log

5 log

   2 0

x



log

10

x    x 

1 2

    1;100 .



Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm thuộc khoảng  x  2

1

  bằng

1

C. 2 . B. 0 . A. 1 . Lời giải

 x log 3.2 2

Ví dụ 12: Tổng các nghiệm của phương trình

A. 1 . B. 4 .

 C. 2 .



x 2

1

x

x

2

 1





 





1

x 2

  1

x 3.2

1 2

2 2.2

x 3.2

   1 0

 x log 3.2 2



0   1



x 2

x    x 

   

1 2

Vậy

.

1

x  

x





2020

x 2020

4

bằng

D. 1 . Lời giải



 log 10.  2 

  

log

2log

 log

2log

16 .

Ví dụ 13: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

10 .

10 .

16 .

2020

2020

2020

2020

A. B. D.

x





2020

x 2020

  4 1





 log 10.  2 

  

x

t

2020

0





Đặt

.





x 2

x



2 log

2



2

2020

2020

2

4

t



t 10

2





 1 

x



 

2 log

8

2 8

2020

t   t 

   

x 2



8

2020



2log

8 2 log

16

      2 2log

.

2020

x

x

x

có tổng bình phương các nghiệm là





2020 log

C. Lời giải

Tổng hai nghiệm là:  log 4 5

2

Ví dụ 14: Phương trình

2020  3 .log 2 B. 10 .

ĐK:

3 x  4



0

log

x

2

x

x

(TM).Vậy











5

log

 3 .log

 x log 4 5

2

2

x 

x x





 

3

1

 1 x   4 3 5

1 2



x 2  x log 4 5

  

  

   

2

x

P a 



 . b

log

 có hai nghiệm

3

,a b với a b . Tính

C. 12 . D. 15 . A. 5 . Lời giải

3

x

1 log

9

Ví dụ 15: Phương trình

ĐK: 0

x



log

1

3

x

x

x

x









log

  3

log

  3

log

3 log

   2 0

3

3

3

2 3

x

x

x



2 log

log

2

3 9

3

3

x    x 

  

Vậy

x  1 1 log 9 0P  .

A. 0 . B. 10 . C. 9 . D. 5 . Lời giải

115  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x

x



log

2log

  2

có tích các nghiệm là

2

5

x log log 5x

Ví dụ 16: Phương trình

ĐK: 0

x  1

2

x

x

x

x

x

x







 

log

2log

  2

log

2 log

2 log

log

2

5

2

5

2

5

x log log 5x

x



1

log

5

x

x

x







log

 1 log

1

  0

. Vậy tích các nghiệm là 20 .





 2 log



2

5

5

x

5 4

log

2

2

x

có hai nghiệm. Tích của hai nghiệm







2 log

A. 20 . B. 10 . C. 90 . D. 50 . Lời giải

 

x     x   x

25

   log 25.log 2 log 26 5

5

2

đó bằng

Ví dụ 17: Phương trình

x 

26.

x

x

x















Điều kiện: 0 x 2 log





log 25.log 2 log 26 5

25

5

2

5

2

5

x

x

x

x



 





 





log

2 log 26

 log





2 log 5.log 2 log 26 5 

5

5

5

log  log 26 5

log 25 5

1

x

x

x

x

x  









2 26 x

 25 0

log

.







25

 . 26



 . 26



5

log 25 5





25

x     x

x



x 1;

25

.

x 

25

A. 25 . B. 5 . C. 4 . D. 5 . Lời giải

So điều kiện phương trình có nghiệm Tích của hai nghiệm đó bằng





1

 bằng

x

x

x

1 log

1 log

1 log

2

3

4

Ví dụ 18: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình

x  . 1

x  , 0







x 

log 24 1

24

.

x

x

x 

 x x nên tổng các nghiệm bằng 24 .

24

x

x



x

x

x

n

, biết

  và 2

.







cos

log

1

A. 9 . B. 12 . C. 24 . D. 18 . Lời giải











 log cos 2

 log sin 2

 log sin 2

2

1 2

Điều kiện: Ta có, phương trình tương đương với log 2 log 3 log 4 1 Phương trình có nghiệm duy nhất   

  0; 2  Giá trị của n bằng

.

Ví dụ 19: Cho

.

.

.

5 2

1 4

3 4

A. B. C. D.

1 2 Lời giải

x

Vì

nên sin

x  và cos

0

x  . 0

  0; 2 

x

x

x

x

x



   2

log sin .cos

   2

x sin .cos

Ta có:









    log sin 2

 log cos 2

2

1  . 4

x

x

x

x





 

sin

cos

1 2 sin .cos



2

3  . 2

2

x

x

n

x

x

n









cos

log

cos

Suy ra:





   1





 log sin 2

2

 log sin 2

 log 2 2

1 2

x

x

n





sin

cos

n      . 2

n 2

2



3 4

3 2

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 116

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x

x

log

.log

.log

.log

3

9

27

81

2 x  là 3

Ví dụ 20: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình

.

.

82 9

A. 0 . B. D. 9 . C.

80 9 Lời giải

Điều kiện

0x  .

x

x

x

x

x

x

x

x



log

.log

.log

.log

log

.

log

log

log

3

9

81

27

3

3

3

3

2   3

2 3

1 2

1 3

1 4

  

  

  .    

  .     9

x



log

2

4

4

3

x

x





log

  16

(TMĐK).

 . log







3

3

x

 

1 24

2   3

log

2



3

  

1 9

x    x 

.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là

x 

x

x

3n

82 9 có nghiệm dạng



log

log

  4

26

9

9

, với n là số tự

Ví dụ 21: Cho biết phương trình

nhiên. Tổng tất cả các chữ số của n bằng A. 5 .

B. 6 . C. 3 . D. 9 .

x

x



log

log

  4

26

 1

9

9

2

x

t

x

t

log

 . 4

Đặt



 với

0

log

4

9

9

t  . Ta có



t

t

t

  

2 t  

26

 30 0

.

Phương trình  1 trở thành: 2 4

 

 5 TM   6 L

  t   t 

42



x

x

x log

.

t 

n 

21     9

3

5

42

9

  .

21 Với Vậy tổng tất cả các chữ số của n là 4 2 6



2

x

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?









2 ln

2

3

Lời giải





 2 x 2 ln 2



2

 x  5 ln 2 3 e log x  

Ví dụ 22: Phương trình

ĐK:

x 

3 2



2

x









2 ln

2

3





 2 x 2 ln 2



2

 x  3 5 ln 2 e log x  

x







ln

2

3



 x 2 ln 2





2

x

x















2 ln

2

3

2





 2 x 2 ln 2



 x 5 ln 2

 3 .ln





x







ln

2

3

 x ln 2







   

1 2

2

2



   x 2

x 2

3



x 4

x 13

  7





13

57

.



x  

2

2

 8

x



x 2

  7

0  0 VN









x 2

3

2

   

x

3

A. 3 . B. 2 . D. 1 . C. 4 . Lời giải

   x  Ví dụ 23: Gọi



 x  . Giá trị

2x là hai nghiệm của phương trình

 log log 2

4

 .log log 4

2

 1x , x .log

log

x bằng

1

2

2

2

332 .

A. 4 B. 6 . C. 2 . D. 1 . Lời giải

117  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x

x

Ta có

3





log

log

3

.



 x 



 log log 2

4

 .log log 4

2

2

2

 log log 2

2

1 2

1 2

  

  

t

t

t 



1

x

x

. Đặt







3

 log log x



thì 







2

2

 log log 2

2

 log log 2

2

 

 1 . 

t  3      6 t 2 

t

x



x log

  3

og

3

 8

+

1 2 

 log l 2

2

1

2

1

x

x

t  



log

.log

2

2

  2

x log

+

 . Vậy



 o log l g 2

2

2

1

2

x  . 2

2

2

2

1 4

2

x



1

2

x

x

x

là hai nghiệm của phương

trình

và



 

log

x 2 3

3

1

2

x  2 x 3

  

b

x



a  

4

x 2

   , với ,a b là hai số nguyên dương. Tính a b

2

a b 

a b 

12

7

14

9

Ví dụ 24: Biết

.

a b  .

.

1 a b  .

0

Điều kiện:

1

2

x

2

2

x

x

x

x









 



 

log

1

x 2

1 log

x 

log

x 2 3



2

3

3

3

x   x  x   2 1 x 3

  

2

2

x

x

x

x











log

1

1

log

 (1)

   







3

3



t

f

t



t  



Xét hàm số

log

    0

1 0,

  f t

  t

3

t

1 .ln 3

Phương trình (1) trở thành

5

3

x



1

2

2

2

f

x

x

x





  

1

1

x 3

   1 0





 f x



 x  







5

3

x



2

 2  2

a

      14

b 9,

5

Vậy

4

1

x 2 2 x 

  9 2020

nguyên thỏa





x  

2

a b     8y

y 3

B. D. A. C. Lời giải

x Ví dụ 25: Cho 0

 

. Có bao nhiêu cặp số 

;x y

. Khi đó  x log 2 2

5 và

mãn các điều kiện trên?

luôn có nghĩa.

x 

Do 0

2020



Ta có



nên x   2)

x



1)

y

3

log ( 2





x log (2 2 x    



 





 2x  log 2 2 8y y  3 2 y 3

1)

1) 2

y 3

2

(1)

x log ( 2

x log ( 2

t  .

y 1 3 2t

f t Xét hàm số ( )

t

 



t ℝ .

f t  ( ) 0

Tập xác định D  ℝ và Suy ra hàm số

 

y  

(1)

y 1) 3 x  

 x 

f t ( ) 1 2 ln2   f t đồng biến trên ℝ . 1 2 y 3 x log ( 2 2020

x   1 2021

nên 1

suy ra

.

Do đó Ta có 0

log 2021 8

log 2021 3,66

y 

Lại có

.

nên nếu y ℤ thì

8 Vậy có 4 cặp số ( ; )

x  . 1) log ( 8 x    0 log ( 1) 8 0;1;2;3   x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0) ,(7;1),(63;2),(511;3)

A. 1. B. 4. C. 2019. D. 2020. Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 118

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x m

2020

 Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ

ℝ

Ví dụ 1: Tập hợp các giá trị m để phương trình e

.

2020;  .

2020;   .

  \ 2019

A. ℝ . B.

có nghiệm thực. D. 





 C.  Lời giải

0,

m 

2020 0

2020

 .

xe Ta có: Phương trình e m 

2020

có nghiệm thực khi và chỉ khi   .

2

x    ℝ . x m   m  2020; Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị m  ℤ để phương trình

có nghiệm thực?

A. 1 . B. 2 .

x m  5 4 C. 3 .

2



x 5

4

2 0m

  

 .

2

2m

.

Phương trình Mặt khác: m ℤ

m  4 có nghiệm thực khi và chỉ khi  m  

 1;0;1

2

có nghiệm thực. có nghiệm thực là

2

0;



0;

D. 4 . Lời giải

  .

;0 .

  .

D. ℝ . A.  B. 

x m  Vậy có 3 giá trị m  ℤ để phương trình 4 5 Ví dụ 3: Tập hợp các số thực m để phương trình log x m C.  Lời giải

y



log

log x m

Hàm

có tập giá trị là ℝ nên phương trình

có nghiệm thực m  ℝ .

2



x 8

x Ví dụ 4: Tập các giá trị của m để phương trình

2  có 2 nghiệm phân biệt.

 

  ;

;

.

.

.

.

8 9

8 8 ; 9 9

8 8 ; 9 9

  

  

  

  

  

  

0   

mt

t

t 

t  









8x

2 9

16 0

Đặt

. Phương trình trở thành:

 .(1)

t 

0

m 9



0

A. B. D. C.

x m  1  9 2.8 8   9  Lời giải 16 t



x 8

x m  1  9 2.8

0

Phương trình

2

 có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 

 64 0

0





z

0

 

m  

;

có 2 nghiệm phân biệt dương. Nghĩa là:

0

.

8 9

  

  

0

   S    P

 m 81  m 9    16 0 

m

xm .3

2 0

Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

x  9 A. 1.

   có duy nhất một nghiệm thực ?x C. Vô số.

t

t



0.

x 3 ,

Đặt

m





   

2 0

2 t m t m .

  *

2 t

2

2

Đặt

t

  

 f



=

0,

0

  f t

  t

 2

2 t

t   1

t



1

B. 3. D. 2.

t 2 

Lời giải  Phương trình đã cho trở thành: 2 t   1 Bài toán tương đương với  * có tối đa một nghiệm dương. 2 t   

119  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Ta có bảng biến thiên của hàm số

0;  như sau:

  f t

trên 



2m 

Từ bảng biến thiên ta thấy bài toán thỏa mãn nếu Theo giả thiết m nguyên dương. Vậy

1m  .

2

 

x m  3 



x 4

7 2

m 6

có

nghiệm

x 

.



1;3

Ví dụ 6: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

.

.

x

t 

2x

Đặt

với

.



t  

1;3

2;8

x

x



2

3

2

2

 m

t

Phương trình

trở thành

.









t m  8

m 6

  7 2

t

với

  1



t 





f

f

t

Ta có



      

8;

4   f t t  2

 m  6 2;8  t 2 8

0

0

4

2;8

    7 2 2 8 t    t

Xét hàm số   t





BBT:

có nghiệm

có nghiêm

.

x 

A. 22 B. 21 D. 20 . C. 35 . Lời giải

Phương trình  1



1;3



2;8

2

 



khi phương trình  2 m 6

9 0

2

m

.

Từ BBT suy ra







16

m 6

   0

7

7;1

 m   



2

m 6

  7

0

 m   m  m       

  6, 5, 4, 3, 2, 1, 0



.

là 21



x

x

2

Do m nguyên nên Vậy tổng các giá trị nguyên của m để phương trình  1 có nghiệm 



  có hai

m 4

4

1;3 m  3

1 0

t 



x   1 .2

x

x



3

thỏa mãn

là

nghiệm thực

1x ,

2x

1

2

1

m  

m 

m  

m  

3

3

3

.

Ví dụ 7: Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

.

.

.

3

2

t

t 

x 2

0

 , ta được





m 4

1





A. B. C. D.

Đặt t m  3 Phương trình đã cho có hai nghiệm thực   1 có hai nghiệm dương 1t , 2t

Lời giải    1 . 2 1 0

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 120

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

24 m

2

2

   m 8 5 0

m









1

0

1

m 4





 4 3



m



 

1

1 0

4



1

2

m  



 

1 0

1     m 

2 1

3

 

m



0

2

3

    m  

    t t m  3  1 2     t t 1 4  1

x

x









. 3 1 m   3

log

log

log



2

t 2 1

2

t 2 2

x   1

1

2

2

x

x



 m  

1 4 log Khi đó , .

3

3

 t log t t 2 2 2 1 2 23 m   1 8

2

1

t 2 1 

1

m  

3

m  

m m 3  và 1 . Mà    3 1 t t 1 2        m  x  log 3 2

x

x

 1

2

3

2

Kết hợp với ta được thỏa mãn.

3 x  8

 1 2

 m 2 số m sao cho phương trình có ba nghiệm phân biệt là khoảng 

m m m     2  . Biết tập hợp các giá trị của tham 0 Ví dụ 8: Cho phương trình

,a b . Giá trị ab bằng 2 3 3

. D. A. . B. . C. . 3 2 2 2

4 3 Lời giải

t



0

 , phương trình trở thành:

x 2 , 2

2

3

t 



2 t m t mt m 

Đặt 3 t t m m       mt 2 m 2 1

2 1 

  





2 t mt m

2 1 0  

  2

  0 1 t m      g t 

  0  

2

2

m





 ycbt   1 có 3 nghiệm dương phân biệt   2 có 2 nghiệm dương phân biệt khác m với 0m 

3

2

m 3   4 0

2



m  1

3

2

0 1   1

 2  3  m     m  m 

 0   1 0 . 1; 2 3 3 0 0  0  m            1 0 0   m    m   m     g   g m    S    P

2

2

x

x

x

2 2 

m





 5 1

 5 1

2

có đúng bốn nghiệm

ab  Vậy . 2 3 3







phân biệt là khoảng 

;a b . Giá trị b a là

.

Ví dụ 9: Các giá trị của m để phương trình 

.

.

.

3 4

1 16

49 64

1 64

2

2

A. B. C. D.

x

2

2

x

x

x

2 2 

m





m

 5 1

 5 1

2

.







 1









 5 1 2

 5 1 2

1 4

   

   

   

   

2

2

x

x

t

0

Vì

.

1

1t   và

 nên đặt

.



 5 1 2

 5 1 2

1 t

   

 5 1   2 

    

 5 1   2 

Lời giải x

121  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

t m 



4m t    4

Ta có phương trình

.

  2 . t

t 



1 t 0;1

1 4 của phương trình  2 ta có 2 nghiệm x phân biệt của

4y m

cắt phần đồ thị của hàm số

 với

 

t 

24 t



t

Ứng với một nghiệm phương trình  1 . Do đó, phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt  phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1   t f t Bảng biến thiên của hàm

 với

 

t 

24 t

0;1  Đường thẳng tại 2 điểm phân biệt.    f t

0;1



b 

b a  

Từ bảng biến thiên suy ra

. Vậy

0a  ;

.

0 4



m

m  0

1 16

1 64

2

2

x

x

x

sin

cos

2 cos

m





2017

1 64 2018

1 64 .2019

có

Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

nghiệm? A. 2018 .

2

B. 2019 . C. 2016 . D. 2017 .

x

2 cos

cos

m

Phương trình tương đương:

.





2017

1 2017.2019

  

  

  

  

t

x



2cos

Đặt

với

ta được

.

t 

m





2017



0;1

1 2017.2019

2018 2019

  

2018 2019 t   

  

t   

với

.

Xét

t 





2017



0;1

  f t

t   

  

  f t f



2018

t    0;1 f

và

 . 1

.   1

Hàm số   f t

1 2017.2019 nghịch biến trên   0

Max D





Phương trình có nghiệm

hay

.

m 

2018   2019   D    f t   f t m 

  f t

 1;2018



Max D

x



m x cos

sin

  2 1 sin



x m x

Min D Min D Vậy có 2018 giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm. x 

 



e

2 sin

cos

e

Lời giải x

T





a

a 10

b 20

;

.

với m là tham số thực. Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S có dạng 



    . Tính b ;



T 

T 

10 3

3 10

Ví dụ 11: Cho phương trình

.

0T  .

.

1T  .

x

x



m x cos

sin



  2 1 sin



e m x cos

sin



x



Ta có  e

t

f

Xét hàm số





x



m x cos

sin

x m x    2 sin cos  x   2 1 sin x    2 1 sin e    t t  ℝ , e   2 1 sin



 e x m x  sin cos     et t f t x m x

x

x

x

x















Suy ra

e

cos

sin

e

m x cos

sin

  1 0   2 1 sin

   f t 

đồng biến trên ℝ .   2 1 sin



2

2

x

m

m





m x cos

sin

2

1 4

3

 . Phương trình có nghiệm khi

    .

A. B. D. C. Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 122

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

S

T







;

3

10 3

a 10

. Vậy

.



y

  

     Ví dụ 12: Cho hàm số

   f x

b  20  3;  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

x

f





Số nghiệm thực của phương trình

2

1

là

 f e







D. 5 . B. 4 .

C. 3 .

Ta có

x

  1

x

f

2



  1

 f e







x

a

3



  a

 , 2



 f e  f e

 

  2    2 

x



1

x

x



x  

2

   1

   3

0

 f e



 f e



x

b    1

 VN



 e  e 

x

c   

1

x

x

a

d

x

t



a  

a  

2

2 1

0

ln

 2, 0



 f e



 f e



t  

2

 e  x e           x e 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

2

x

x

có





log

x m  3

log

A. 2 . Lời giải

2

2





nghiệm duy nhất. Số phần tử của tập hợp

S    là 2;





Ví dụ 13: Gọi S là tập hợp các số nguyên m thỏa mãn phương trình

2

x





log

  1

2





x  

x m 



2 2 4

0

x

x

1

2

x

x 2

 1 0

  0

Cách 1: x  0 Điều kiện:   x m x  3 log 2 3   x x m x   2 Để  1 có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi  2 có nghiệm dương duy nhất   2 có nghiệm kép dương:  0 hoặc  2 có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm bằng 0, một nghiệm dương: hoặc  2 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu: 1 x

x 2

A. 2. B. 1. D. 3 . C. 4. Lời giải

123  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

0





4

m 4

0

x



m  

x

4

  0

TH1:  2 có nghiệm kép dương

1

2



0



0

  b  a 2

    

    

4 2

x

x



0

TH2:  2 có 2 nghiệm phân biệt, một nghiệm bằng 0, một nghiệm dương:

1

2

m



0

0



m  

0

0

0

0



2 x 

0

1

2

    x x .  1  x 

x

x

ac

m

  0

m       0

1.

0

0

1

2





   4

Vậy

 16 4   m       4  TH3:  2 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:  S m m ℤ  Suy ra |    S      2;

    ;0  1;0;4

2

x





log

  1

2

2

2

2

m



x  

x    



x m  4

0

x 4

  2

2

x

Đặt



4

x

 

x 2

4

0

    2

Ta có

Cách 2: Dùng hàm số x  0 Điều kiện:   x m x  3 log 2 3 x m x x      f x   f x

x    Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy, để  1 có nghiệm dương duy nhất

 2 có nghiệm dương

4

duy nhất

0



Suy ra



   4

Vậy

.

m     m  S m m ℤ  |    S      2;

    ;0  1;0;4

2

m

m

x m 





log

  2

x 2

0

  ℝ hai









2

2

2

nghiệm thực

2,x x thỏa mãn

1

 2 log x x  . Tổng các giá trị của m thuộc khoảng nào sau 1 2

Ví dụ 14: Tìm giá trị thực của m để phương trình

4;6 .

2;4 .

3;5 .

B.  D. 

đây? A. 

0;2 .

2

2

m

x

m





x m 







x m 

Ta có

log

x 2

   2 0

1

  0

2







 2 log



 2 log

2

2

2

2

 

x



log

1

2

2



x m 

x m 

log

log

   1 0

2

2

 1

x m 



log

1



2 2m

2

  

x    x 

m

2

2

2

m 12

    thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất

x  . Tổng các nghiệm

 1

2





m 2.2

m 2

m    1

2

x x 2. 1

    thì phương trình có 2 nghiệm m 2    . 2 1 3

+ Nếu lúc này bằng 2 m 12 + Nếu x  x 1

2

C.  Lời giải  log

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 124

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x



x m 

log

4 log

  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

0

3

Ví dụ 15: Cho phương trình

3

3

x

x

x

m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn

 0.

1

2

x 181

2 D. 5 .

2

x

Xét phương trình:



x m 

log

x  0.

3

3

t

x





A. 3 . B. 6 . C. 4 .

log

3 0

4 log phương trình  1 trở thành: 2 4

. Điều kiện:    2 .

3

m

m

' 0

3 0

7

.

x

x

t Đặt Phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt.           i Gọi

x

x

1 



log

2

4 là 2 nghiệm của phương trình  1 thì phương trình  2 có 2 nghiệm tương ứng 2 x t ; 1 x

1 x

x

x 

 

t nên 1 2 x  81

t . 2 x log

4 log

2

1

3

2

3

1

2

log x 81 0

4

0 t 1

2

2

t . Vì là 1 2 3 3     0 Mặt khác, t        4 1 2 2

t





  

16

.

t 1

2

.

4

3

1 t  16

 t t t 4 1 2 1 ii     m 3 7m

16  suy ra 3

t   t   2  24 m    ii Từ  i và 

2

x





x m 



 và m ℤ nên có 3 số nguyên thỏa mãn. log

4

 có 0

Lời giải     1 0 3 t m 





 log 1 3



1 3

hai nghiệm thực phân biệt là

m

m

m



m



5

5

.

Ví dụ 16: Tất cả các giá thực của tham số m để phương trình

 . 0

 . 2

.

21 4

1   4

21 4

1   4

2

2

x





x m 





x m 





Ta có

log

4

  0

log

4

0









3

A. B. D. C.

 log 1 3





1 3

2

x

  

1

1

x



0





2

2

x  

x

x m



 



4

  5 1

  1   1  

   m x    

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng  .

1;1

2

x

x  

x      .

Xét hàm số

   5

x   2

1 0

 f x



 f x '



1 2

Ta có bảng biến thiên

m



Dựa vào bảng biến thiên ta có

thỏa mãn đề bài.

5

x m 



Lời giải  x  log 1 3

21 4 Ví dụ 17: Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số m để phương trình có nghiệm là





4

 log 2020 6 A. 2021 .

 x log 1010 B. 2022 .

C. 2020 . D. 2019 . Lời giải

125  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Ta đặt

t . Khi đó



x m 



4

m

m

  

 

 x log 1010 4t

t 6

t 6

t 2 4

2020 Đặt

  log 2020 6 t 6t x  . Ta suy ra 2 4    và 1010 t 2.4

t

t

f

x m   f t   

t  6   6 ln 6 2.4 .ln 4 t 

f





t  

.

log

  0





  t

log 16 6

log 16 6

3 2

2 ln 4 ln 6

  

3 2

t    Bảng biến thiên

f

m f 

 

log

2,01

.

Phương trình

  t m có nghiệm khi và chỉ khi





log 16 6

3 2

  

  

m



2019

Hơn nữa,

nên suy ra

.

2020 ℤ

ℤ

m   m 

2

x

x

m

có ba nghiệm







log

log

  2   m  Vậy ta có 2022 giá trị m thỏa mãn. Ví dụ 18: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình



4

 log 4 2

2

thực phân biệt.

2

x

0

4

.

Điều kiện

x   m 

0

  

 x 

0    4 0 m 0

    

m

x

x

x

x

x

.









m m x  



Phương trình tương đương với   log

log

log

4



 log 4 2

2

2

2

2

4

4

x

x

Xét hàm số

.











4

 g x







  g x



log  4 x 

 x   

0

4

x   x 

  x  4 2 , 0 x  4, 2

0

 4  x , 0  x x  ,

 

  

 x    

Bảng biến thiên

m

m

4

2

2

x

mx





 1 log

1

log

  1;2;3 x m   4

có

5

5

A. 3 . B. 2 . C. vô số. D. 4 . Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, PT có ba nghiệm thực phân biệt 

  0 

   

. 

m  ℝ

m 

m 

.

Ví dụ 19: Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình

.

. D. m  ℝ .

hai nghiệm phân biệt?  \ 5



3;7



   3;7 \ 5

A. B. C.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 126

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

2

2

2

x

mx

x

mx















1

log

x m  4

1

log

x m  4

Ta có

 1 log

5

5

5

log 5 5









2

2

ℝ

 

 x  

  Đúng

 



x 5

5

m





.

2

2

 2 x

x 4  1

mx

m

x









x 4

1



 x    5  

2

2



1 0  x 5

5



2





Đặt

. Ta có:

x   1

;

x     4

0

4

0

 f x



  f x



  f x



2

 2 x

x 4  1

x



1

x 4 

4 2 

Bảng biến thiên:

m 

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt khi



   3;7 \ 5

.

2

a

x

x b 

ln

ln

5

0

  có hai nghiệm

Lời giải 

2

,a b sao cho phương trình x a

x b 

5log

log

0

  có hai nghiệm phân biệt

phân biệt

3,x

4x

S

thỏa mãn

của

.





a 2

b 3

1,x x x 1 2

2x và phương trình x x 3 4

S









25

33

.

.

.

Ví dụ 20: Xét các số nguyên dương

A. min 17

S D. min

. Tính giá trị nhỏ nhất minS S S 30 . C. min B. min Lời giải

a 20

.

2

x

bt a   

bt  



0 

5 0(1)

25 t

ln ,

log

x  , điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2 b x u 0(2) .

khi đó ta được

,







t

t



u u  1

t 1

2

2

2

Điều kiện t at Đặt Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x . b a

b a

b 5

b 5

e

e

 e  











10

t e e . 1

,

10

, lại có

10

x x 3 4

x x 4. 3

x x 1 2

a

a  

60

8

  ( do ,a b nguyên dương), suy ra 2 b

b    .

ln10

3

S

a











x x 2. 1 b 5 a 2

2.3 3.8 30

30

b 3

đạt được

Ta có b     a S Vậy

, suy ra min

;x y thỏa mãn đồng thời

y

x

x





 1

y 3

3

5

2

m







x m 



 





và

y 2

1

9

0

x 1 2

y 2

e

e

  ?

 5 ln10 b 3,  Ví dụ 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số  



hai điều kiện A. 8 .

B. 7 .

 . 8   6 log 3 D. 5 .

 2 x log 3 3 C. 6 .

x

y

x





3

5

y 3

 1

x

y

x

y







3

5

1

3





 

Ta có

(1)

x

e

y 2

x 1 2













e

e

y 3

1





t

t

f

f





e

et

   nên hàm số đồng biến trên ℝ . 1

0



y 5

y 3

1

y    2

x 1 2

.









y 3

x 3

y 5

1



2

e   Xét hàm số t Khi đó (1)   f Thế vào phương trình còn lại ta được



x m 

 trên ℝ . Ta có   f x log

  (2) 0

9

x    6 log

2 3

3

x



. Số nghiệm của phương trình (2) chính là số nghiệm của phương trình

2

t

m





3 t m 

6

  (3) 0

9

t Đặt  2

log 

m





0  

23 m 

12

0

4m 

0

 .

Phương trình (3) có nghiệm khi Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn.

Lời giải  y x  5 3   t x   3  x m 

127  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Ví dụ 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình

2

x 3

1

2

x







log

x m  5

2

có nghiệm?

2

x m    3 2 x x   1 2 A. Vô số.

2

2

2

2

x

x

x

x

x

Ta có:

x ℝ .

  



 







x 2

1 2

1 2

x 2. .

2

0

1 2

1 4

7   8

  

  

  

1 4 23 x

1 7     8 16  x m   3

   1 0

     (1)

2

2

2

x



x  





x m  3

 2

2

2

2

2









x  



x m  3

x m  3

1

x 1 4

x 2

 2

1

2

2

2

2

2

 



















 (2)

x m  3

x m  3

x 3

1

x 2

x 4

x 2

2

 2

2

Do đó điều kiện để phương trình xác định là Phương trình đã cho tương đương với:    x   log 3 1 1 2  x    log 3 2  x log 3 2

 x log 2 2  x 3 

x m  5  x 1 log 2  x 1 log 4



f



t

t



  1 0

Xét hàm số

log

0;

  t

  f t

 trên 

 0;   , ta có

 t    , do đó



2

2

f

 (Thoả mãn)

x   3

x m  3

  1

x 2

2

   1 t ln 2 2 x  4

0;   nên   2



  t m x  

1

đồng biến trên  2 5 x  (3) 

2

x

0

   , ta có bảng biến thiên

Xét hàm số

x







x 5

 , 1

x 2

 , 5

  f x



 f x



  f x



5 2

m  

.

Vậy  3 có nghiệm khi và chỉ khi

21 4

m  

m      

, mà m là số nguyên âm nên

.

Vậy

 5; 4; 3; 2; 1



21 4

x m



log

x 3

100

 có 0

B. 4. C. 6. D. 5. Lời giải



2

Ví dụ 23: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình 

đúng một nghiệm thực ?x B. 0.

0

x 

log 100 (*)

Điều kiện:

.

3



 100 0

x   x 3 

x m



log

0





x m

0

x 3

log

100

.



Ta có: 

2

m 2 t m log 100 ( / )

2 

 100 0

x 3

3

   

x 

2m

phải vi phạm điều kiện



m  2

log log 100

2, 067



log 100 3

2

3

Do m là số tự nhiên nên

 .

m 

  x   x  Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thì nghiệm (*), tức là: m    0;1;2

A. 3. C. 8. D. 4 . Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 128

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

2

2

x

x

x

x

x

x















log

1 .log

1

log

1

. Có bao nhiêu

Ví dụ 24: Cho phương trình

a

2

2017













1;2018 của tham số a sao cho phương trình đã cho có



giá trị nguyên thuộc khoảng  nghiệm lớn hơn 3 ?

2

2

x

x

x

x

x



x  

x

Nhận thấy, với

  .

  1

2 1

  và 0

2 1

0

2

2

2

x

x

x

x

x

x

Ta có















log

1 .log

1

log

1

a

2

2017

x  thì 3 











2

2

2

x

x

x

x

x

x

















log

1 .log

1

log 2.log

1

a

2

2

2017









2

2

x

x

x

 x  ).









x



3

log

1

log

1

 , 0

2017

2









2

x

x

Xét hàm số







1

log

3;  .

 f x



trên khoảng 



2017

 log 2a 

 1 (vì 

1



3

x  .

Có:

 , 0

  f x



 f x



2

x



1.ln 2017

BBT:

có nghiệm lớn hơn 3

a

f





log

  3

2





(do

1a  )

log

a log

3 2 2

a





log

log

2017

2

2017

2



3 2 2



2017

log



3 2 2

a 

nên

.

2

1;2018

. Mà a nguyên thuộc khoảng 

  2;3;...;19



- Từ BBT ta thấy: phương trình  1  a    19,9 Vậy có 18 giá trị của a thoả mãn.

A. 17. B. 20. C. 19. D. 18. Lời giải





x y

m

Tổng

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

log

x (2

y 6

5) 1

 





 và 3

3

0.

2

y

x



2 3 

các phần tử của S bằng

Ví dụ 25: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp ( ; )x y

2

2

2

2

x

y

x

y





  

  





A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 .

log

x (2

y 6

5) 1

y 6

5

x 2

y 6

Ta có:

  2 0

2

2

x

y





3

2

x

y





I

2 2 x 

y 6

2 0

  là phương trình đường tròn tâm

Ta thấy phương trình

 1; 3





R 

;x y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi đường thẳng



2

2

x y

y

 







12 bán kính Để tồn tại duy nhất cặp số   0

: 3

3

x 2

y 6

  0

2

 tiếp xúc với đường tròn 

 C x :

m

 



3 3

3

 

3 4 3

Khi và chỉ khi

R   



,

2 3

 d I



2

 

3 4 3

 m   m 

Lời giải x    3 2

129  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

BÀI TẬP RÈN LUYỆN



x 5

4

22 x 2

4

 Dạng 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

  có tổng tất cả các nghiệm bằng

.

Câu 1: Phương trình

5  . 2

x



1

 1



 có 2 nghiệm

x 9

x 13.6

0

4

A. 1. C. B. 1 . D.

5 2 1x ,

2x . Phát biểu nào sau đây đúng?

Câu 2: Phương trình

3

x  1





0

B. Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ. D. Phương trình có 2 nghiệm dương.

là

4 7

7 4

16 49

Câu 3: Tập nghiệm S của phương trình

 A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên. C. Phương trình có 1 nghiệm dương. x      

  

  

S 

S

S

.

.

.

.

S

; 2





;

 2

1 2

1 2

1 2

1 2

  

  

   

  

   

  

2

x

4

x  1 2

B. C. D. A.

S 

S

.

.

; 1

Câu 4: Tìm tập nghiệm của phương trình

0; 1 

1 2

   

  

1

5

S

S

.

.

5 1 ;

1;

A. B.

1 2

 2

 2

   

  

     

    

x

2

x x

4

C. D.

là

1 2

   

  

.

.

0;

0;

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình

0; 2 .

3 2

1 2

  

  

  

  

x



2 2 

3

x

 1



7

B. D. C.  A.  0 .

có bao nhiêu nghiệm?

1 7

  

x   

2 3 x

x 2

1x ;

x  27

9T  .

3T  .

3 . 2 .

Câu 6: Phương trình



 1

2

. 



10 x 3

x 3

x 2

A. 0 . Câu 7: Phương trình A. B. 1. 4 B. D. 3. 3 T x  1 T  D. C. 2 . 2x . Hãy tính giá trị của C. .

  có 2 nghiệm là 2 T  Câu 8: Tìm nghiệm của phương trình

x 

.

x  . 0

log 3 2

2 x  . 3

3 x  . 2

2

x

x



x   1

2







. Mệnh đề nào sau đây đúng?

7 4 3

2

3

A. B. C. D.







Câu 9: Cho phương trình 

2

x

x 

3 2



7

49 7

A. Phương trình có hai nghiệm không dương. B. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

.

Câu 10: Tìm tích của tất cả các nghiệm thực của phương trình

1  . 2

1 2

x

7

x x

 2   1

27

C. D. A. 1 . B. 1.

3 243

Câu 11: Tìm số nghiệm của phương trình

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 130

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

7

x  1 2   18 x

2

0,25.

C. 2. D. Vô số. A. 0 .

có tích các nghiệm bằng



.

.

.

.

Câu 12: Phương trình B. 1. 

2 3

4 7

2 7

1 2

x

8 x

x

S x 



1x

2x

1

2

và

. Tổng

có hai nghiệm



.

B. C. D. A.

là

9 16

3 4

  

  

  

Câu 13: Phương trình

A. 1 .

4   3  B. 4 .

z

y

. Tìm x .

D. 3

y

  

1 2 4

Câu 14: Giả sử x , y , z thỏa mãn hệ phương trình

.

.

.

.

C. 2 . y x  2 .4 .16  z x 4 .16 .2   z x 16 .2 .4 

3 8

7 4

8 3

x



2 1 

2

3

A. C. D. B.

4 7  



3log 3

Câu 15: Tính tích các nghiệm thực của phương trình

x 2 C.

.

.

.

3 . log 54 2

2

2

 1 log 3 2x 1x

x

,

là hai nghiệm của phương trình

2 2 x  Khi đó tổng

x bằng

x x 2 .5

1.

D. 1 . B. A.

2

1



 





2 log 2

2 log 2

2 log 5

2 log 2

Câu 16: Gọi

5

5

2

5

2 2 

x 3



2 log 5

C. . A. . B. . D. .

x  1 5 P  C.

.

.

là log 5 3

log 45 3

3

x 55

x 

. Biết phương trình có nghiệm

, trong đó 0

1a  .

log 5a

Câu 17: Tích tất cả các nghiệm của phương trình . A. D. 1 . 5 Câu 18: Cho phương trình

P   B. x   8 Tìm phần nguyên của a . A. 0 .

 1

a

b



, với

x x 2 .15

2 log

log

2

.

a 2017

S 



.

.

.

2014982

4009

B. 1 . D. 3. x  Câu 19: Biết nghiệm của phương trình

x



S  2

2 3 

2

có một nghiệm dạng

b 2018 . với a , b là các số nguyên

D. 197791

x 5

B. x  3

x  3 ,a b là các số nguyên dương nhỏ hơn 10 . Tính A. Câu 20: Phương trình

b 2a

dương lớn hơn 4 và nhỏ hơn 16 . Khi đó A. 35 .

x

x

 1 x



27

.2

72

x

b

 

, với a , b là các số

B. 25 . C. 2 . 3 được viết dưới dạng 3 S   S  1419943 C. b x  loga bằng C. 40 . D. 30 .

loga

có một nghiệm viết dưới dạng   .

Câu 21: Phương trình

1

2

P 

8S  . x 4 .4x

  . Tích

2 0

B. D.

bằng

4S  . 1x và

.

Câu 22: Biết

B. 2 . C. D. 0 . A. 3 .

nguyên dương. Tính tổng S a b 6S  . 5S  . C. A. x x 2x là hai nghiệm của phương trình 16  3.4 1 2

x

x 5.6

x 2.9 2 x

x 5

23 x

22 x

22 x

0

 Câu 23: Phương trình 3.4   . 2 0

 đương đương với phương trình nào sau đây? 0 x x x  . 5 5

  . 3 0

A.

 B.

  . D.

x

x

6

x

a

e



  có hai nghiệm là

, với

ln

33 e

2 0

x  và 0

,a b  ℕ . Tính giá

C.

3 0 1 b

P 

b 3a  2

P 

31

27

56

Câu 24: Phương trình

trị biểu thức P  . A.

.

4P  .

.

3

3













.

x 3

9

x 9

3

x 9

x 3

12

B. C.





P  



Câu 25: Tính tổng của tất cả các nghiệm thực của phương trình  D. 3 

131  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

.

.

9 2

x



x

. Giá trị của

x 3.3

7 2 2 0

x 3

A. 3. B. C. 4 . D.

x Câu 26: Phương trình 9

là

2

2

1

1x , C.

3log 2 . 3

x 2 2log 3 . 2

x

 

x

D. A.

  có hai nghiệm B. 1 . x 4.3

1 0

x 13 2

  có hai nghiệm

. Khẳng định nào

2x với 1 4 log 2 . 3 1x ,

2x trong đó

1

2

x

2

  . 1

1

2

x

x





x 4.3

x 3

.

1

2

.

4P  .

Câu 27: Phương trình sau đây đúng? x x  . A. 1 2 x Câu 28: Phương trình 9

x x  . 22 0 C. 1 2x trong đó 1x , P  10 C.

x



23

2x và

x

x

A.

 . 1

Câu 29: Nếu phương trình x 2

x x 22 B. 1   có hai nghiệm 3 0 5P  . B. x 1x ,   có hai nghiệm phân biệt 1 0 4.3 x x   . 1

 . 0

1

2

D. A.

x   . 2 D. 1 2 x P  2 . Tính P  . 14 D. x x thì 1 2 x x  . 1 2.

x 22

1

x

t 

4

t   .

  . 3 0

3 0

2

2

x



2



D. 2 t

, ta được phương trình nào dưới

t   . 3 0 2 22x x 

3 0

4

3 0 t   .

  . 3 0

  . 3 0

C. 1 2x ta được phương trình nào sau đây? C. 2 t t   . Khi đặt B. 1 2 x  1   . Nếu đặt 3 0 2 B. 2 2 t t x x x   3 2  2 Câu 30: Cho phương trình A. 2 2 t t   . 3 0 Câu 31: Cho phương trình

2

2

x

x

x

  . 3 0 , ,

.





C. 2 2 t t D. 4

3 0

x x x thoả mãn 1

2

3

1

2

3

S x 



B. 2 2 t t x   có ba nghiệm thực  4.3

đây? A. 2 8 t t x 9 Câu 32: Cho phương trình x  3

x 2

1

2

3

có giá trị là B. 3 .

Tổng A. 1.

x



x 13.6

9.4

T 

2T  .

T  .

.

3T  .

D. 0 .  . 0 C. 2 . x Câu 33: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9

1 4

2

2

x

x

x



3

 1

 1

2



6 2

 13 4 x  5.2

A. B. D. C.

Câu 34: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình B. 10 .

 bằng 0 D. 8.

2

2

2

x

x



x   1





x 2

4

1

A. 4 .

 . Số phần tử của tập S là

t 

 . Nếu đặt

Câu 35: Gọi S là tập nghiệm của phương trình A. 1 . D. 4  thì phương trình đã cho trở thành

2 C. 6. x x   2 2 C. 3. x 0 3

x 3

2

t   .

2 0

Câu 36: Cho phương trình

x

2log

 . Khẳng định nào sau

4.2

0

a 

 . 1

10

2 a   . 1 2

D. 2 t B. 2 . x 1 3 phương trình nào sau đây? B. 2 2 A. 2 3 t t t t   . 2 0 C. 2 3 t t   . 2 0 x x 2log log   18.3 6

  . 3 0 Câu 37: Gọi a là một nghiệm của phương trình đây là đúng khi đánh giá về a . A.  B. 2 a

x

log

.



2 3

9 4

  

  

a 

.

210

C. a cũng là nghiệm của phương trình

x

x

x









26 15 3

3

1

 . Khi

D.



  2 7 4 3



 2 2



2

a

a





a 

a  .

 .

 .

2a

cos

sin

2

1

2a 5

Câu 38: Gọi a là một nghiệm của phương trình 

đó giá trị của biểu thức nào sau đây là đúng? A. 2 a

 . C. 2 cos

2

2

x

x

x

x





sin2

2cos

2sin

sin2





.5

25.5

126

. Số các nghiệm thực thuộc khoảng

B. D. 3

1 5

 của phương trình đã cho bằng

Câu 39: Cho phương trình

  ;2020 A. 4037 .

B. 4038 . C. 4040 . D. 2020 .

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 132

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x

x





  5

 10 3

15.3

 50 9

 là S . Tính tổng

1

x Câu 40: Gọi tập nghiệm của phương trình 3 tất cả các phần tử của S .







1

4 log 6

2 log 6

.

log

 . 3

.

.

log 5 7

2

3

7

1 3

2

2

x

x

sin

cos







?

9

9

B. C. D. A.

có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 

Câu 41: Phương trình

A. 1929 .

10 B. 1927 .

3



2

3

23 x

2

x







x 2019

C. 2570 . x x   2019 Câu 42: Tính tổng các nghiệm của phương trình A. 3. B. 2 . C. 2 .

1 2  2019;2019 D. 2571 . x   . 3 2 0 D. 3 .

y



có đồ thị như hình vẽ sau.

 f x



2

x

x

f

f

 

Số nghiệm của phương trình

là

e

e

2 0







  

Câu 43: Cho hàm số

x

tương ứng là

 2 3

A. 5. D. 3.

 C. 2 .  5

x  3 2





A. 3.

C. 0 .

 f x







4

3

1

0

D. 1 .

 có tập nghiệm là



0

.

Câu 45: Phương trình

 1  f x  .

  x f x  .

 0  f x  .

x



x 6.5

B. C. D. A.

 x Câu 46: Hỏi phương trình: 3.2

A. 2 .

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? D. 0 .

x

log

3





5

  là x

C. 1 .

  B. 1. Câu 44: Số nghiệm của phương trình  B. 2 .   f x  0  f x  . x   5.4 4.3 B. 3. 2 Câu 47: Số nghiệm của phương trình B. 0 .

x

x

2 2 

2

e

  1

0

C. 1 . A. 2 .

 bằng

x



2

2

e



 . Hãy tính giá trị của biểu

x y 4

;x y thỏa mãn hệ thức

T





Câu 48: Tổng bình phương tất cả các nghiệm thực của phương trình B. 6. D. 3. x x  2 D. 4 . C. 8. x y y   3 e 

x 2

?

A. 2 . Câu 49: Cho hai số thực y 3

thức A. 2 .

2

x

x

 e 





1

 . 0

log 2



B. 7 . D. 4 . C. 8.  1 Câu 50: Tìm số nghiệm của phương trình 

x

x

e

x



32 x

 Phương trình

.

f

x

f





 có tập

4

3

0

 f x











C. 4 B. 3. x  e   D. 0 x  1 x   2 A. 2 Câu 51: Cho hàm số

.

nghiệm là A.  0 .

0;1 .

1;3

x

sin

2

x

x





2019

sin

 2 cos

có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn

 

B.  1 . C.  D. 

2

x

2

2

x

x

x

x  







1

1

0

 có tập nghiệm là





Câu 52: Phương trình  5 ;2019  ? A. 2025 . C. 2024 . D. 2019 .

1;2 .

Câu 53: Phương trình  e A.  0 . B. Vô nghiệm.   0;1 . B.  C.  D.  1 .

133  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

3

2018

x

e

x

  



2

  ...

0;  

là

trên khoảng 



x 2!

x 2018!

Câu 54: Số nghiệm của phương trình

B. 2018 .

x 3! C. 0 .

f



A. Vô số.

và phương trình

 0

 f x



là hàm chẵn xác định trên ℝ sao cho

x



 9

9

có đúng năm nghiệm phân biệt. Khi đó, số nghiệm của phương trình

D. 1 .  0

x

x



2

f







9

9

2

là

y  x 2

  

  

Câu 55: Cho hàm số  x f x

2

2

2

x

x

y

y





4

3

e

x

?

A. 20 .







1

;x y thỏa mãn





C. 5.  2 e 

x

y

y

x 



và

1

27

2020

.

B. 10 . Câu 56: Hỏi có bao nhiêu cặp số thực  B. 2 . A. 5.

Câu 57: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương 





y 3

8y

thỏa mãn 0

2020

?



và

A. 2019 . B. 2020. ;x y

thỏa mãn

và

nguyên

A. 3.

nhiêu

bao

số

2020

2

x

2





y 10.125

y 3

Câu 58: Có bao nhiêu cặp số nguyên  B. 4 . cặp D. 15 . 2   y  2 D. 3.   x  3 D. 672 .   x x   2 log 2 2 D. 2020 . x  0 Câu 59: Có C. 4 . ;x y thoả mãn 0 C. 673 . x  C. 2021 . ;x y 

 2.625 A. 674 .

2

2

2

 a b 

b









  ?



ab a b a   8

4.2

3

2

0

C. 1347 . 

x  ? 4 1 B. 2021 .  ;a b thỏa

a 

b 

sao cho tồn tại đúng 2 số

100

A. 14. D. 2020 .   a b ab  D. 10. C. 12. ; 1 100

Câu 60: Có bao nhiêu cặp số nguyên  B. 9. Câu 61: Có bao nhiêu cặp số nguyên 

x

x





b

a

thực x thỏa mãn

;a b với 1 1 1  ?   b a B. 9702 .

A. 9700 . C. 9698 . D. 9704 .

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 134

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x 

3

 . 1

 Dạng 2 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÔNG CHỨA THAM SỐ



S 

S 

S 

.

.

.

Câu 1: Tập nghiệm S của phương trình

 3

 0

 1

 log 2 3 1

 S   .

 có nghiệm là

x 

1

4

A. C. D.

 log 2 3

x 

x 

x 

.

.

.

.

Câu 2: Phương trình

log 82 2

log 65 2

log 81 2

log 66 2

x

x

  1

log

6

36

2

B.  B. A. C. D.

  bằng

1



x  

5

Câu 3: Tích các nghiệm của phương trình

x

P x 





x



  có hai ngiệm

2

A. 5 . D.

.

2x . Tính

2

1

log 5 . 6 x x 1 2

2

 log 5 2

Câu 4: Phương trình



log

1

và

B. 0 .  x B. 9 . A. 11. C. 1. 1x , C. 3 . D. 2 .

3

  x x 

  2 

x

x





2

log

log

1

 . Khi đó khẳng định đúng là

3

 .

Câu 5: Kí hiệu A và B lần lượt là tập nghiệm của các phương trình

 3 A. A B

2

x







log

x 4

3

D. A B   .

 là 0

3



Câu 6: Số nghiệm của phương trình C. B A .  B. A B . 

x



log

log

B. 2 . A. 3 . D. 0 .

 . 2

2

2

Câu 7: Tìm số nghiệm của phương trình

x



2log

log

B. 1 . A. 2 . D. 0 .

 . 2



4

Câu 8: Tìm số nghiệm của phương trình

2

x

x







log

6

log

2

B. 1 . A. 2 . D. 0 .

 là 1



3





Câu 9: Số nghiệm của phương trình

x

 

log

3 log

7

  bằng 2

2

2

A. 0 . D. 3 .

x





A. 1 . D. 0 .

 x log 2 1 3 C. 1 .   x  1 C. 3 .  x  3 2 C. 3 .  3 C. 2 . x 3 C. 3 . x 

2

 ln 4 ln

4 ln 3

có hai nghiệm phân biệt





,x x , 1 2

1

P

x



x

. Tính

.





1

2

x x

2

.

.

B. 1 . Câu 10: Số nghiệm của phương trình B. 2 . 2 ln Câu 11: Biết rằng phương trình

1 4

2

3

x

x

 





x  

2 log

log

1

4

A. B. 64 . C. D. 4 .

có bao nhiêu nghiệm?



4

1 64  log 4 8

2

Câu 12: Phương trình

x







 . Tổng các phần tử

log

2

3

2

A. Vô nghiệm. D. Ba nghiệm.

 B. Một nghiệm. Câu 13: Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2

 C. Hai nghiệm.    x 2 log 2 2

2

bằng

.

.

.

2

2

2

của S A. 6 .

x

 



3

B. 4 C. 2 D. 8

 là 0

Câu 14: Số nghiệm của phương trình log

A. 1. B. 3 .

x  1 log 4 15 C. 0 .

x

x





log

log

D. 2 .

2 2

2

17 4

Câu 15: Tích tất cả các nghiệm của phương trình

135  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

.

.

.

.

17 4

1 4

1 2

3 2 2 x

x



log

5 log

6 0

A. B. C. D.

  .Tính T .

3

1 3

T 

.

.

36

5T  .

T 

Câu 16: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình

1 243

2

x

x

t

x





log

log

8

3 0

log

  . Khi đặt

, phương trình đã cho trở

C. D. A. B.

2

2

2

T   . 3 



  .

t 2

6

24 t

28 t

t 2

3

0

Câu 17: Cho phương trình

thành phương trình nào dưới đây? 0 A.

t   . 3

0 x

x

x 

2 log

B.

0 C.  có hai nghiệm thực

D. . Tính giá trị của biểu

28   . t Câu 18: Biết phương trình

24 t  . t 3 log 2 7 x

1

2

2

x

thức

 2

T T 

1 .

.

.

 x 64

32

8T  .

16

x

x  1

t 

A. C.

 , ta được phương





 . Khi đặt

5

5

1

25

 log 5 5

T  

T   1 .log





0

t   .

22 t

t 2

  . 1 0

D. 1x Câu 19: Cho phương trình B.  log 5 5

trình nào dưới đây? A. 2 1 0

0 50

2





x 5

x 2

B. 2 t D.

là





.ℝ

0;4.3

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình

t   . 2  log 9 4 50 .

x

x

 

log

log

A. B. 

bằng

2

Câu 21: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

x

x





A. 7 . B. 6 .

 bằng

Câu 22: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình C. 2 2 t   .  50  log 3 2 C.  0 .     1 2 C. 5 . log

0;1 . D.    x  1 log 3 5 2 D. 4 . x 2 log

3

2 log

2 3

3

.

.

1 3 80 3

x

x

x

2 log

log

2 log





 . Khẳng định nào sau

82 3 6

4.2

18.3

0

a 

 . 1

210 a  . 1

C. D. A. 2 . B. 27 .

x

log

.



Câu 23: Gọi a là một nghiệm của phương trình đây là đúng khi đánh giá về a . A.  B. 2 a

2 3

9 4

  

  

.

a 

210

C. a cũng là nghiệm của phương trình



 x log 3 3

 .log 9 3

.

.

.

D. Câu 24: Tích các nghiệm của phương trình

1 3

4 3

x

x



log

 x  là 4 1 27 2 log

.

2

 x .log 2 3

2

A. B. D. 1 . C.

x 3 log100

  5

Câu 25: Số nghiệm của phương trình B. 1 . A. 2 . D. 3 .

T 

.

.

T 

T 

11

12

Câu 26: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 

x



A. B. D.

.  là 2



Câu 27: Số nghiệm của phương trình:

  1 C. 0 . 2 x  log10 T  10  x

110 .  log log 4

2

4

log 4a 2

x

log

  3

P a

. Giá trị của biểu thức

A. 0 . B. 2 . D. 1 .

2

x 5.2 x 2

  

là

Câu 28: Cho a là nghiệm của phương trình C.  log log 2 C. 3 .  8   2 

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 136

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

4P  .

8P  .

x



log

3 log

  bằng 0

2 2

A. B. C.

2P  . Câu 29: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình C. 18 .

x



x y 

A. 25 . B. 20

1P  . D. x .log 3 2 3 2 D. 6 . y  log

log

log

,x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

và





6

9

4

b



, với a , b là hai số nguyên dương. Tính a b .

.

a b 

a b  .

a b  .

a   2 a b  .

11

4

8

6

Câu 30: Gọi

B. C. D.

x y A.

2

log

x 

,x y là hai số thực dương khác 1. Biết

log

và

. Tính

.

xy 

64

2

log 16y

2

x y

  

  

.

Câu 31: Cho

.

25 2

2

2

x

x









là

45 2 log

x 2

2

log

x 2

A. B. 20. C. D. 25 .

5

3





Câu 32: Số nghiệm thực của phương trình

2



1

 . Hãy xác định tập nghiệm của phương trình

x

x



1



 f x 

3

1

1

?

 

C. 2 . D. 4 . B. 1 . x x  2 ln

1;2 .

3 log 2 .

3 log 2 .

2

x

x

x

x

x

  









4 2

log

log

 . 3

1

3

B.  C.  D.  A. 3 . Câu 33: Cho hàm số    f f  9 3 A.  0;log 2 .







2

2

1

1S  .

S   1

2

Câu 34: Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

1 2 A.

2S  .

.

2

2

x

có nghiệm các nghiệm







log

x 4

3

C. D.

2;x x . Hãy tính giá trị

1

2

2

x x 3 2 A x   1

Câu 35: Phương trình

S   . B. x   3 2 x   5 8 2 x x x  3 1 2 2 . B. 31

C. 1

của biểu thức A. 31

2

x 4

2

x

x





là hai nghiệm của phương trình

và

x 6

x 4

log





2

x x ; 1

2

1

2

  

x

b

với







,a b là các số nguyên dương. Giá trị P a b

x 2

  là

1

2



P 

P 

13

15

16

P 

14

Câu 36: Biết D. 1 .  x   4 1  x 

.

.

1  a 4 .

.

2

2

x

có nghiệm các nghiệm







x 4

3

log

A. C. D.

2;x x . Hãy tính giá trị

1

2

2

.

x x 3 2 A x   1

Câu 37: Phương trình

P  B. x   3 2 x   5 8 2 x x x  3 2 1 2 B. 31 .

C. 31 . D. 1 .

của biểu thức A. 1 . 1x

2x



1

, 2 x 4

2

 



log

x 1 6

x 4

x

b

và

với a , b là hai số nguyên dương.







x 2

7

2

1

 a



1 4

  

a b 

a b 

a b 

.

là hai nghiệm của phương trình x  4 x 2 a b . 11

13

16

.



23 x

x 6

. 1 0

C. D.

Câu 38: Biết    Tính . A. Câu 39: Phương trình

A. 4 .

a b  B. 3  x   1 ln B. 1 .

14   có bao nhiêu nghiệm phân biệt? D. 3 .

C. 2 .

137  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

là

(với a ,

b ℕ và *

có hai nghiệm là a







log

x 3

x 8

5

3

và

x  1 2 2 x  1) (

a b

a b

là

Câu 40: Phương trình

C. 2 .

phân số tối giản). Giá trị của b A. 3 . B. 4 .

2

  





log

2

5

.

2

  

 x 1 2  x 2 

D. 1 . 1  x  x 2  Câu 41: Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

.

1 2



1

2

1

x a b  

có một nghiệm dạng

2





log

2 log

C. 1 . D. 0 . A. B. 2 .

5

3

x x

x

2

   

   

Câu 42: Biết phương trình

trong đó A. 5 .

x

x

có một nghiệm



 







x 3 6

x x 2

log

2 log

4

2

C. 8 .  16 Câu 43: Cho phương trình

x 2 ,a b là các số nguyên. Tính 2a b . B. 3 .   x  3







b

a

x

, trong đó

có dạng



,a b là hai số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a b bằng

 2

D. 4 . 3  3

1

x a b  

có nghiệm duy nhất

2







log

2 log

D. 10 . A. 14 .

2020

2021

1 x

2

  

   

   

Câu 44: Biết phương trình C. 9 . x 2 B. 5 .  2  x 

,x y thỏa mãn

xy











log

3

3

C. 2

x trong đó a , b là những số nguyên. Khi đó a b bằng A. 5 B. 1 Câu 45: Có bao nhiêu cặp số nguyên 





 y y



2

3

x 2 y

y  xy 





2

D. 1  x x

2

2

4

có bao nhiêu

x

x

x

x









B. 2 . A. 1 .

x C. 4 . 3 4 x   2

ln

1

1







D. 6 . 2 3 x x  2 2 Câu 46: Tập nghiệm của phương trình

phần tử? A. 2 .

2

2

x









x 5

7

x 2

x 9





2

x

x







log

1

A.  1 . C. 1 .  2 x x   4 5 2;3 . C.  D. 3 . là  10 D.  2 .

. Có bao nhiêu cặp số nguyên 

;a b thỏa mãn

 f x



2



2

ab

ab b  

2

  2

f

ab b







 



a 2

0

 b 2 2

  f a



1 4

  

Câu 48: Cho hàm số B. 5 . Câu 47: Tập nghiệm của phương trình ln B.  4 . 

   A. 4.

B. 3. C. 2. D. 5.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 138

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x



1





4

xm .2

m 2

0

 có hai nghiệm

 Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ

1x ,

2x

x

x

thỏa mãn

 ? 3

2

1

Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

2

x

2 2 

m



4

x 2

B. 0 . C. 1 . D. 3 . A. 2 .

. Biết tập tất cả giá trị m để phương trình có đúng 4

Câu 2: Cho phương trình

nghiệm phân biệt là khoảng  B. 5 . A. 1.

  6 ;a b . Khi đó b a bằng C. 3 .

2

2

2

x

x

x

x











2

2

1

4

2









x 9.9

m 2

m 4

 có 0

D. 4 .



 x 1 15



 2 2 5

2 nghiệm thực phân biệt.

6

3

6

3

m





.

1m  hoặc

m  .

Câu 3: Tìm các giá trị của m để phương trình

1 2

 2

 2

6

3

6

3

m

m

m

hoặc

.

 . 1





A. B.

1 2

 2

 2

các

giá

của

tham

số m

để

phương

trình

C. D.

2

2

2

x

x

x

x

x











2

1

2

4

2

2









m 2

m 6

4.4

0

 có hai nghiệm thực phân biệt.

tất 

cả  x 2 6



trị  3 3

m



m  

m  

.

hoặc

.

  1

4 3 2

4 3 2

Câu 4: Tìm

 1 2

m

m



 



4 3 2

.

m   hoặc 1

.

A. B.

 C. 4 3 2

 1 2

x

x

m









2

3

2

3

có nghiệm khi:



 m    . 2;

m    . 2;

D.

 B.









;5  m   .



x

x



m 1 

4

3.2

0

 có hai nghiệm

C. D. Câu 5: Phương trình  ;5 m   . A.

x

thực

 2.

2x thỏa mãn

 .

 .

1x , 9m  .

4m

2m

0m  .

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x

A.

1 2 B. 0



x m 

  có hai

4.3

2 0

C. 0 D.

x Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 9

6m  .

6m

 .

6m

 .

6m

 .

nghiệm thực phân biệt. A.

B. 2 C. 3 D. 0

x

x

m







x 16

2.12

0

 có nghiệm dương?



 2 9

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

B. 2 . C. 4 . D. 3 . A. 1 .



1

 1

m



xm 2 .3

 12 3

0

Câu 9: Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 có hai nghiệm trái dấu. Số phần tử của S là B. 3.

C. 2. D. 4.

x  9 A. 1.

139  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

m

m

m







  . Biết rằng tập các giá trị của tham số

1 0

Câu 10: Cho phương trình 

 5 9



 x 1 3

  bằng

C. 10 . B. 8 .

;a b . Tổng S a b D. 6 .

 2 m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là một khoảng  A. 4 .

2

x 42 2

xm  3

 có 0

Câu 11: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

hai nghiệm thực phân biệt? A. 24.

2

m

m

y











y 

2

m 3

B. 18. C. Vô số. D. 31.

và 

 . Để  1x 3

2C :

1C và

 x x 3 3



1C : 2C tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng 









m

m

m

m

.

.

.

.









Câu 12: Cho hai đường cong 

5 2 10 3

5 3 2 3

5 2 10 3

5 3 2 3



của m

thuộc đoạn

2019;2019

để phương

trình

A. B. C. D.





x

x

m







m 3

4

1 0

  có đúng một nghiệm lớn hơn 0 là

trị nguyên  3 2

Câu 13: Số giá

 A. 2021

2

2

x

m









có

m 2

0

1

B. 2022 C. 2019 D. 2020





1 4

1 2

  

  

  

x   

b

a  

2

;0

nghiệm là

với a , b là các số nguyên dương. Tính b a .

 

Câu 14: Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trình

A. 11.

  B. 1 .

.

m m

là giá

trị

thực của

tham

số m

trình

C. 11 D. 1 .

0

x

x

x

m

m











  có hai nghiệm thực

1

1

 . Khi

6

4

(4

x 1).2

2(4

1) 0

sao cho phương 



1

2

2,x x thoả mãn 

1



2 ; 0

.

Câu 15: Biết

đó A. 

0m thuộc khoảng nào sau đây?   1 ; 2 . 2 ; 4 .



 0 ; 1 .

x

m 2



4

x 2

B.  C.  D. 

2 0 nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

  với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị ,x x thỏa mãn 1

2

x



0 x 

?

2

Câu 16: Cho phương trình

1 A. 2 .

x





  có hai nghiệm

x 2

m 2

1 0

B. 0 . C. 1 . D. 3 .

âm phân biệt.

m

m

m

log

0

log

0m

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4

 . 1

 . C.

 . D.

 . 0

2

2

3 4

3 4

3 4

log 2 3 4

2

2

để phương trình

x m  có hai nghiệm

.3 2x

7

A. B.

2;7

Câu 18: Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 

B. 8 . C. 7 . D. 6 .

phân biệt? A. 5 .

0;2019 của tham số m để phương trình



x

m

m







2019 3

4

0

 có hai nghiệm trái dấu?

 x 2018 2







Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 140

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

cả

các giá

trị nguyên

của

tham

số m để phương

trình



A. 2016 B. 2019 . C. 2013 D. 2018 .

m x  3

3

2

3

x



x m 







x 3

x 9

24

x .3

x 3

1

 có ba nghiệm phân biệt bằng?

tất 

Câu 20: Tổng 33  

A. 45 .

 B. 38 .



30;30

của tham số m để

C. 34 . D. 27 .



mx

2 2 

4

3

2

x

  1







x 2

x 2

mx 4

mx 2

2 0

  có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử

Câu 21: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn 

phương trình của tập S là A. 58 .

40;40

để phương trình

B. 61 . C. 57 . D. 60 .

 m  



2

2

x

x m

x

x m



 



 

4

1

4

1

2

x





  có đúng hai nghiệm thực.

4

(

x m  4

)2

4

0

Câu 22: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

2

2

2

x



x m 

x m 

x  



2

3

2

2

 



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

3

x 9 3

.

A. 37 . B. 81 . C. 36 . D. 1 .

m  

[ 2018;2018]

x 3 để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

Câu 23: Cho phương trình

2

2

2

x

x

x











2

3

2

3

2

4

m

m







,(m là tham số). Tính tổng tất cả

.3

x 3

x .3

A. 2020 . B. 2021 . C. 2019 . D. 2018 .

  1 1

Câu 24: Cho phương trình

.

các giá trị m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. 85 81

x

x

x

x







2

m

m











có

 1 4

1 4

2

 16 8

A. 109 . C. 81 . B. D. 7 .



 2 1 2



0;1 là

Câu 25: Số các giá trị nguyên của m để phương trình

B. Vô số. C. 5 . D. 4 .

nghiệm trên đoạn  A. 2 .

x

 

1





 

4

x m 2

m 3

. Biết rằng m là tham số thực sao cho 9m

  1 0 1

10

. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để

Câu 26: Cho phương trình

B. 10 . C. 19 . D. 20 .

m  là số nguyên thỏa mãn điều kiện 9 phương trình  1 có nghiệm duy nhất? A. 9 .



trị nguyên của m

thuộc khoảng

2019;2019

để phương

trình





2

2

x

x

x







 1

2

2

2





x .2

m 3

Câu 27: Số giá

m 4 A. 4037 .

  có bốn nghiệm phân biệt là 2 0 B. 2017 .

2

x

x





log

3

log

k  có

C. 2016 . D. 4035 .





2

2

S 

S 

S 

S   .

2;

4;

0;

Câu 28: Với tham số thực k thuộc tập S nào dưới đây để phương trình

B. C. D.

một nghiệm duy nhất? ;0 A.





  .



  .



 

x



log

3 log

x m  2

  có hai

7

0

2 3

3

x

x







72.

3

3

nghiệm thực





1

2

1

m 

.

3m  .

m  .

Câu 29: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2;x x thỏa mãn 

61 2

9 2

A. B. C. không tồn tại. D.

141  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x m 

log

log

x m  2

  có hai nghiệm

6 0

Câu 30: Tìm giá trị của tham số m để phương trình

2 2

2

16

.

x x  1 2

2 m   .

4

11m 

.

4m  .

5m  .

,x x thỏa mãn 1 A.

2

2

x

x

m



log

log

  3

 0

B. C. D.



2

2





x 

có nghiệm

.

1;8 

 .

 .

 .

 .

9m

6m

3m

6m

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 

x

mx

có hai







log

1

log

8

A. 6 B. 3 C. 2 D. 2









2

2

Câu 32: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

nghiệm phân biệt là A. 3 .

x

mx





log

2

log

B. 4 . C. 5 . D. Vô số.

có nghiệm thực duy nhất.





2018

2018

2.m 

1.m 

2.m 

 0.m 

Câu 33: Tìm tham số m để phương trình

A. 1 B. D.

 C.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 142

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

CHỦ ĐỀ 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

0

1a 

◈ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

b  1 , 



Dạng xa Minh hoạ bằng đồ thị

x

xác định trên ℝ và có

 0; nên

y a Vì tập giá trị là   Khi 0b  : Bất phương trình  1 luôn đúng. Hay tập nghiệm là S  ℝ .  Khi

x

x

x

b

x  

Phương pháp giải

.

0b  : 1a  thì  1

loga

Ngoài dạng bất phương trình  1 thì bất phương trình mũ cơ a





bản còn có các dạng

b  .

b a ,

b a ,



S



 Tập nghiệm



  .

b log ; a

xa

b

b

Tóm lại

loga

.

S

b

1a  thì  1  Tập nghiệm

x     

. 

;loga

0b  0b 



log ;







1a  ℝ  a b 

1a  ℝ ;loga b

 0 Tập nghiệm 0

0

1a 

◈ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN

b  1 , 



Minh hoạ bằng đồ thị Dạng loga x

y

a>1

y=logax,

Phương pháp giải

1

x

y



xác định

a

0

a1

x

b

y=b

y=logax,

0

b

.

loga Vì hàm số trên   0;  và có tập giá trị của là ℝ nên bất phương trình  1 luôn có nghiệm 1a  thì  1

S

 Tập nghiệm

;b

b

  . .



1a  thì  1

Ngoài dạng bất phương trình  1 thì bất phương trình mũ cơ x

x

x





b  .

b ,log a

b ,log a

S



.

 Tập nghiệm

0; b a

a  x  a a  x 



 0

bản còn có các dạng log a Tóm lại 1a 

0

1a 

b

b

b

loga x Nghiệm Tập nghiệm

S

S



a ;b

0; b a

x  a

 

x a 



143  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Đối với việc giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit ta có thể vận dụng các phương pháp đã được học ở chủ đề 4. Phương trình mũ và phương trình logarit

◈ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

1

b

a



b

log

 f x



a

0

 1

b

a



 f x a     f x

 a    0       

a





, khi

1

 f x



 g x



a

a



b

a





a  

, khi 0

1

 f x  f x

 

 g x  g x

 

    

b

log

 f x



a

0

b

a





0

1 

 a  1    f x     a      f x 

a



1



log

log

 f x



 g x



a

a

 f x 

a  

0

, khi 0

1

   f x

 g x  

   g x

0, khi 

    

Bất phương trình mũ Bất phương trình logarit

Bài toán giải BPT mũ và logarit bằng PP hàm số ta vẫn thực hiện như bài toán giải PT bằng PP hàm số và lưu ý thêm.

đơn điệu trên K . Khi đó, ta có các kết quả sau:

Hàm số

y



 f x





,u v K ta có:

  . u v

◈ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

 f u



  f v

,u v K ta có:

◈ Nếu hàm số f liên tục, đồng biến trên K thì với mọi



  . u v

 f u



  f v

◈ Nếu hàm số f liên tục, nghịch biến trên K thì với mọi

VÍ DỤ MINH HOẠ



x  là 5

.



;log 5



 Dạng 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

 log 5;  .

3

3

 53 ; .

D.  Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 3 5;3 . B.  A. 

x

x

  

S 

3

5

. Vậy tập nghiệm là

Vì cơ số 3 1 nên



  .

log 5 3

log 5; 3

x

x



2

2 3   là 4

;1

2;

   . B. 

C.  Lời giải





 2;  .

;1 .

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình 1;2 .  A.  D. 

2

2

2

x

x

x

x









3

3

2

2

x

2 x   



  

Vì cơ số 2 1 nên

.

2

  4

2

2

x 3

2

x 3

2

0

1

x       x

C.  Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 144

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Vậy tập nghiệm là

;1

2;

  S    





22 x

x 3



là

7 9

9 7

  

  

  

;

.

.

1;  .

;1

Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình





 1;

. C. 

1 2

1 2

1 2

  

  

  ; 

  

  

  

A. B. D.

1

 nên ta đưa về cơ số

 1

Vì cơ số

7 9

9 7

2

2

x

x

x

x





2

3

 2

3

2

2



x    2

x 3

x    2

1

x 3

   1 0

.

7 9

9   7

9 7

9 7

  

  

  

  

x     x 

1 1 2

S

Vậy tập nghiệm là



   1;

1 2

   ;  

  

x

c

8.4

1

x  4 2   có dạng 1

với

, ,a b c ℤ . Tính

;

Lời giải

a b

  

  

.

.

5P  .

P 

. 15

9P  .

12

Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình

P abc P  A.



4

2

8

2



3

x  2

x 2



5

0

x

x



1

 1

  



8.4

  1

2

2

3

  0

0

x 2 2 x

 

8 1

x

x

x

1

  (Vì

    .

23 x  

x 2

5 0

2 1 0,     ℝ )

B. D.

P 

S

. Vậy

.

Suy ra tập nghiệm là

15

;1

5 3

   

  

x

c

8.4

1

, ,a b c ℤ . Tính

x  4 2   có dạng 1

với

;

C. Lời giải x x  2 3 2 x  1 5 3

a b

  

  

.

.

P 

. 15

9P  .

12

5P  .

Ví dụ 5: Tập nghiệm của bất phương trình

P abc P  A.



4

2

8

2



3

x  2

x 2



5

0

x

x



1

 1

  



8.4

  1

2

2

3

  0

0

x 2 2 x

 

8 1

x

x

x

1

2 1 0,

  (Vì

    ℝ )

    .

23 x  

x 2

5 0

B. D.

S

P 

. Vậy

.

;1

Suy ra tập nghiệm là

15

5 3

  

    2 2 x



C. Lời giải x x  2 3 2 x  1 5 3

có tập nghiệm là 

;a b . Khi đó giá trị của b a là

1 2

  

x   

Ví dụ 6: Bất phương trình

1 8 B. 4 .

x

x

2 2 

2

2

x

x

.

x  

     



  

x 2

3 0

1

3

x 2

log

1 8

1 2

1 8

  

  

  

1 2

.

1;3

   Tập nghiệm của bất phương trình là  b a  . 4 Khi đó

3b  . Vậy:

a   và 1

A. 2 . C. 4 . D. 2 . Lời giải

145  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x 

1

là









2

3

3







.

 

;2

;

2;

.

.

.

1 2

1 2

1 2

A. B. C. D.

Ví dụ 7: Tập nghiệm của bất phương trình    

  

  

  

 7 4 3 2 1   2 

  ; 

  

x

x

x 



1

2

 1

x

x  .

x    













2

3

3

3

2

3

2

1







 7 4 3 2



   2



1 2

 1

2

   Lời giải x   x  3



;log

log

;

;log

;log

.

.

.

.

9 2

9 2

9 2

3 2

2 3

2 3

2 3

  

  

  

  

  

A. B. C. D. Ví dụ 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x 2   9   2  

.    Lời giải

 1

2

x  

Ta có

x 2

x  3

x

x

x   







 

1

1 2 log 3



 2 log 3





2

log 3 1 2

2

 1 2 log 3 2  log 3 1 2

x 

log

x 

log

.

9 2

2 9

2 3

3 2

2

x

x 

0,2

.2

tương đương với bất phương trình nào sau đây?

Chọn C



2 5

2

x 

x  



log

0

1x  .

Ví dụ 9: Bất phương trình 

.

2

  

2

x

x



x



log 2 log 2 1 0

2   5  log 2 log 2 1 0

B. A.

  .

  .

5

5

5

5

2

2

x

x

x

x







 log 2 log 5



x x (0,2) .2

.2

0,2

log

log





log 2 5

5

5

5

5

  

  

2

x

x









C. D. 2 x

   2 x  

log 2 log 2 1

 2 log 0,2 5    log 2 log 2 1 0

5

5

5



2 x  x

2   5 log 0,2 5 5   log 2 log 2 1 0

5

5

x

x

e

Lời giải 2   5  x 



;ln 2

.

.

.

ln 2;  .

Ví dụ 10: Tập nghiệm của bất phương trình 2 e

3;2

;2





A.  B.  D. 

  là 6 0 C.   Lời giải

x

t

t

e





Bất phương trình đã cho trở thành:

Đặt

,

x

2

t

t

x



      

      0

6

2

3

0

2

2

ln 2.

 0 .  t



.

 e t t Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 

x

x 

13

7

a b Giá trị của

2.

3

.

 có dạng 

;a b với

 

 ;ln 2 2

P b a  

biểu thức

bằng

.log 3 2

Ví dụ 11: Tập nghiệm của bất phương trình

2log 3. 2

C. 2. A. B. 1. D. 0.

x



x 2.3

  7

2 2.3

x 7.3

Bất phương trình tương đương

  3 0

3 x  3

2

t

t 



Bất phương trình trở thành

3x

t 2

t 7

3 0

t 

Đặt



0 .

1      3 2

 

log 2 3

x

P b a

 

  

  



x 3

3

   1

log 2 3

.log 3 0. 2

1 2

1

a   b 

Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 146

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x

 



6.

6 0

13.

là

4 9

  

  

  

.

1;

.

 ; 1 

Ví dụ 12: Tập nghiệm của bất phương trình

1;1 1;1 .

              . 1; ; 1

x

x

x

x



1

.

x

 







6.

6 0

13.

    1

1

2   3

2 3

3 2

4 9

2 3

  

  

  

  

  

  

A.  C. 

2   3  B.  D.  Lời giải 2 2   3 3 

   x 8.6

2     3   x  12.9

0

   Ví dụ 13: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 4 x

 là khoảng 

;a b . Giá trị

của b a bằng





.

.

log 4 . 2 3

log 3 2 3

log 3 . 2 3

log 4 2 3

A. B. C. D.

x

x

x

2

x

x









  

x  

4

8.6

x 12.9

  0

8.

12 0

2

  6

.

2 3

2 3

2 3

  

  

  

  

  

  

log 6 2 3

log 2 2 3

S

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

log 6;log 2

2 3

2 3

   

  

b a   





 

Suy ra

.

log 2 log 6 log

1 3

2 3

2 3

2 3

log 3 2 3

log 6 2 3 log 2 2 3

a    b  

x

x

log 5 2









5

21

5

x  2

21

là



S 

S 

Lời giải

A. B. D.

 C.

.

 S  

 1;

  .



 S  

 1;5

x

x

x

x

x 

log 5 2















21

5

21

x 2 .5

5

21

5

21

2

Ví dụ 14: Tập nghiệm của bất phương trình  1;1 2;1 . .









x

x

 

21

5

21







5

2

2

Ta có:    5   

   

   

   

x

x





5

21

5

21

t

, bất phương trình trở thành:

Đặt

t  





,

0





1 t

2

2

   

   

   

   





5

21

5

21

2

t

t

t  

    5

t 5

   1 0

.

1 t

2

2

x







5

21

5

21

5

21

x





    1

1.

Do đó ta có:

2

2

2

   

   

.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:

 S  

1;1

2

x

x 2



3

  1

3

Lời giải     5

.

x



3

1

0;  .





Ví dụ 15: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

0;log 2 . 3



0;

2;

B. 

.



 

1 2

  

C. D. ℝ . A.     Lời giải

147  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Ta có bất phương trình:

x



x 3 (3

 1) 2

2

2

x 2





x    3

1

x 3

x    3

1

x 3

  1

3

x

x

x







3

1

3

1

3

1

1

x x 3 (3

  (*)

t

t



x    3 x 3



t    



t (

1)t 2

2

t (

1)t

t  

2

t

x

    

      .

x 1 3

1

2

1 2

0

1

x 3

1

2 

t   t  1)

0

1   t ( 

0

1) 2 x      1 1 1 3 Đặt Từ đó bất phương trình (*) t   Trường hợp 1: 1     t    t

Trường hợp 2:



2

2

x

t



         1 2

2

1

0

x 3

x 3



.

 2

2

t



t  





t 1)

t   (

2 2)

t 4

4

t   t ( 

t   t 

2 4 3

t    t 

2

2

x



Kết luận nghiệm của bất phương trình là: S  ℝ . x   1 1

 1

S

 





có tập nghiệm

x 2

x 2 2

2

. Khi đó a b bằng

 ; a b

Ví dụ 16: Bất phương trình

ĐK:

1x  .

2

2

x

x

 1

 1

 



Bất phương trình đã cho tương đương với

x .2 .2

x 2 2

2

1 2

2

2

x

x

 1

 1



 



x 4 2.2

2.2

2

x

0

2

Đặt

, điều kiện

.

x

 1

0

u   v 

2

x 2 .2   u  v 

v

u

v

uv

  





  



  

v  4 2

0

2

2

2

0

2

2

 . 0

  4

u 2

u 2



 u v













Bất phương trình trở thành  v uv  2



 



2 0

2

 



2 0

2

.





 



2 0

2

 



2 0

2

u   v  u   v 

 u   v  u   v 

      

      

0

ta được

Kết hợp với điều kiện

0

u   v 

2

2



2



1

x

x



1

    1

1

x

 1

x



2 v  

 

    1  



2

 0 2

2

0

1 1

1 1

2









2

2

x

x

u  

2

1

1



1



x  0 2

2

x

 1



1  

1 

2

1 1

2

u    0   v 

x   x       x 

x   x       x 

      

      

      

x

 

1 1



2

 x         x      

; 1



 x 2            2      x     1;2 Kết hợp điều kiện

S 

1x  , ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

.

1;2 

y

x





3 3 x 

1

 . Hãy xác định tập nghiệm của bất phương trình



x



2

f

f







?

4

4

x 2

1

A. 2 . B. 3 . D. 10 . C. 1 . Lời giải



 f x 

Ví dụ 17: Cho hàm số  

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 148

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

  .

1;2 log 2 . 3

log 3; 2



 0;log 3 . 2

    ;0  0;log 4 . 3

A.  C. 

x



23 x

3 0,

Ta có

    ℝ nên hàm số luôn đồng biến trên ℝ .

  f x



x

x





2

3

log 3 2

x

x

x

x

x

x





2

2

.

Do đó

f

f





  



4

4

2

    4

4 2

1

4

1

4.2

   3 0









x

x



0



2

1

  

  

3

2

x





1

x 15

 . Hãy xác định tập nghiệm của bất phương trình

 f x

x

f

f





 81 9

x 3

1

?

 



B.  D.  Lời giải

  1

161

x



2

log

Ví dụ 18: Cho đồ thị hàm  

x  .

.

3

2

  1

161

x



log

A. 1 B.

1x  .

.

3

2

C. D.

2

3

x



x 15

1

Xét hàm số

 có tập xác định là D R

 







x 30

10

0;10

 , 0

 f x    f x

 x x 3







 23 x Đạo hàm: Suy ra, hàm số đơn điệu giảm trên đoạn 

x

x

f

f







0

Xét bất phương trình

1

x  81 9

3

có điều kiện: 81 9

x    2

x   0;10 . 







x



 81 9

9

Suy ra:

 

1 10

  0   x  1 3 

x

x

x

x

x

x

f

f

  





  









 81 9

81 9

3

1

3

x 81 9

1

x 9

2.3

   1 0

2.9

x 2.3

 80 0

Áp dụng tính chất hàm đơn điệu giảm, ta có: 







  1

161

  1

161

  1

161

  1

161

x

x





 



x  



.

3

0 3

log

3

2

2

2



0

có tập nghiệm tương ứng với bất phương trình

Lời giải

 f x

 

 3  

2    f xe

   1

Ví dụ 19: Bất phương trình

 0  f x  .

 0  f x  .

 0  f x  .

nào sau đây?  0  f x  .

B. C. D. A.

Với

 f x   không thỏa mãn bất phương trình.

 0

  f x

  f x

không thỏa mãn bất phương

Với







1

  0

  0

 f x

 f x



3

 

 3  

 e





0

 f x

 

1 

 e    

trình.

 f x





  f x

Với

thỏa mãn bất phương trình.







  0

1

  0

 f x



 f x

3

 

 3  

 e





0

 f x



 e    



0

Vậy bất phương trình

 f x

 0  .

 f x

 

 3  

xe

1     f xe 2 1  

Lời giải

Ví dụ 20: Bất phương trình

 1; .

0;2 .

;0 .

A.  D. 

   1 4 2 0   có tập nghiệm là 1;1 C.  .

x B. 

149  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

2

x

x





xe

x

 0

1

1

2 1  

4 2 0  



 2 1 xe 

Với

x

    1       thỏa mãn bất phương trình

2 1 0

1

2

x

 1



2

x

2

 1

2

2

không thỏa mãn bất

Với

x

x

x

x











   1 0

1

1

  0







2

2

 e



x

x







1

1

0

1 



x  e    

phương trình.

2

x

 1

2



x

2

 1

2

2

Với

thỏa mãn bất

x

x

x

x











   1 0

1

1

  0







2

2

 e



x

x







1

1

0

1 



 e    

Vậy

x

x

x

phương trình. 2 1 xe  

       .

4 2 0  

2 1 0

1

1

2019;2019

thỏa mãn bất phương

Lời giải 

 x  



2

x

e

x

  

1

trình

. Số phần tử của tập S bằng

x 2

Ví dụ 21: Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên

A. 2021 . B. 1. C. 2019 . D. 2020 .

x

e

x





  

Bất phương trình

1

 . 0

 f x



x

x



e

x

e

x





  1

x f ;

1

0

x 2   0  f x     .

Có



  f x



 Ta có bảng biến thiên:

x

∞ 0 +∞

0 +

f '' (x)

f '(x)

+∞ +∞ + + 0 +∞ 0

f (x)

∞

x

x

  

   số phần tử của tập S là

0

2019

0

Suy ra bất phương trình có nghiệm là: 2020 .

2

2

x

x

x 



 3 2

2

2

3

. Tính

x





 





x 2

9

6 4

x x  3

x 5

Lời giải 2

Ví dụ 22: Gọi S là tập hợp các nghiệm nguyên của bpt tổng bình phương các phần tử của S .

2

2

x

x



4

2



x 5

2

2

x

x

x



 6 4 3 x 

 4

x   6 4

6

x 2 x

.









2

x x  3

3

2

A. 5 . B. 25 . D. 13 . C. 14 .

  6 2  x   4

t



t

 trên tập ℝ .

Xét hàm số

t



f



Ta có

t ℝ suy ra hàm số

 Bất phương trình   2 x     2 3t f t     2 .ln 2 3 .ln 3 1 0 t  t   , 

  f t đồng biến trên ℝ .

2

2

x

f

x

x





x    

x 4

x 4

    . 2

6

3



 6



2

2

S 

. Vậy tổng cần tìm là

.

Do đó: Bất phương trình   1 Mặt khác x ℤ nên





2

3

13

 f x  2; 3 

Lời giải x x x   6  3    6 ; 1

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 150

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

S











 có tập nghiệm là

x 9

2

1

0

Ví dụ 23: Bất phương trình



 x 5 3

 x 9 2



   . Tính

 a b ;



 c ;

tổnga b c

  ?

,

3x

t  . 0

t

t

x

t











0

9

x 2

1

2 2 

5

C. 2 . D. 0 . B. 1 .

 0

 t  







x







A. 3 . Đặt t  Bất phương trình đã cho trở thành:

x

 

 

 

  9 0 x  2

1 0

9 x 2

1 0

 



x 2

t   t 

t   t 

  x  9 2 1   9 1   1 0 2

  3   3 

x

x

x 2

1

Xét bất phương trình  2 :  Đặt

 trên ℝ . Ta có:

 3 

 g x

 g x

x  0

Gọi

 3 ln 3 2  .   0  g x  ,

0

Khi đó,

x  và 0

1x 

 0

0x là nghiệm duy nhất của phương trình  0  g x  có nhiều nhất hai nghiệm.  g x  có hai nghiệm là Xét thấy, Ta có bảng biến thiên

0

Từ bảng biến thiên ta có,   2

1

x     x

2

x  .

Ta lại có,  1 Kết hợp  1 và  2 suy ra,

x  .  * 2

x







TH1:

x

 

 

 

  9 0 x  2

1 0

9 x 2

1 0



 

x 2

t   t 

t   t 

  9 3   1 0 4

 3   3 

x

x

x 2

1

Xét bất phương trình  4 :  Đặt

 trên ℝ . Ta có:

 3 

 g x

 g x

Gọi

x  0

 3 ln 3 2  .    0 g x  ,

0

Khi đó,

x  và 0

1x 

 0

0x là nghiệm duy nhất của phương trình   0 g x  có nhiều nhất hai nghiệm.  g x  có hai nghiệm là Xét thấy, Ta có bảng biến thiên

0

1x  

2

x  .

1x  . 

**

S 

Từ bảng biến thiên ta có,  4 Ta lại có,  3 Kết hợp  3 và  4 suy ra, 0 Kết hợp  * và 

** ta được tập nghiệm của BPT đã cho là

   2;



 0;1



TH2:

151  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x 

log

2

 có nghiệm lớn nhất bằng



3

 Dạng 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÔNG CHỨA THAM SỐ

Ví dụ 1: Bất phương trình A. 7.

 1 B. 10.

x

x

x



log

1

2         1 3

1

0

2

10

Ta có

, từ đó suy ra bất phương trình đã cho có





3

1x  là

S

S

S 



0;10

  .

C. 6. D. 9. Lời giải

.

.

.

A. B. D.

nghiệm lớn nhất bằng 10. Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình ln ;  e ;10

 S  









0; e

x

ln

0

1

0

1 x e e        .

S



x Ta có: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

.

0; e

 x  là 1



;10

.

10;  .

C. Lời giải

0;  .









Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình log 10;  . D.  A.  B. 

x

x



x  

Ta có: log

  1

log

log10

10

1

 10;  .   . 2

C.  Lời giải .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình log Ví dụ 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

x  là  1  x  2 log

0,5

S

S

S

S





 

;

.

.

.

.

    ; 

  

   

  

  

  

5 2

1 5 ; 2 2

5 2

1 5 ; 2 2

  

  

A. B. C. D.

 





BPT 

x  .



1 2

5 2

  1

0,5

1 0 

 2

x 2   x 2 

 x     x 

2

x



log

x 5

7

Lời giải

1 2 5 2 Ví dụ 5: Tập nghiệm của bất phương trình

 là 0





;2

 3; 

;2

2;3







2

3



A.  B.  D. 

1 2     C.  3; Lời giải   0 7

x 5

2

2

2

x

x

Ta có:





x  

   

 

log

x 5

7

  0

x 5

7 1

x 5

6 0





2

2



x 5

7 1

1 2

x     x

 x   x 

;2

3;

2

     S      x   1

log

Tập nghiệm của bất phương trình: Ví dụ 6: Tập nghiệm của bất phương trình

1 2









2;

.

2;0

 là C.







 

 2; 2 . 

 

 0; 2 . 

A. D. B. 0; 2 . 

  Lời giải

2



0



0



0

2



1

x





x   



Ta có

log

   1

2;0

2





2

 

 0; 2 . 



2



x  

2

2



1 2

x   x 

x     

1 2

  

  

 x   x  



log

0

1 2

.

T 

3;

Ví dụ 7: Tìm tập nghiệm T của bất phương trình

A.

x  3    x 4   B. T  



  .

4;3

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 152

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

; 4

3;

T    . 4;

 T      .











x

   

4

3



0

x

   

3

Bất phương trình đã cho tương đương

4  

4



0

x    x 



1

x      7   x 4

C. D.

3

x  .

6

log

Lời giải x  3   x 4  x  3   x 4

 là 0

3

x  4 x

S

S

.

ℝ



\

;0

Ví dụ 8: Tập nghiệm của bất phương trình

S   .

.

2;0



 S  

;2

3 2

3      2; 2 

  

  

  







6

x





0

6



log

0

2

x      .

A. . B. C. D.

 

3

 3 2 0

x  4 x

6

3 2



1

6

x  4 x x  4 x

x

     

0



0

x     2 

  x     x   x  3  x 

2

x





log

0

Lời giải  3 2 0

có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

 log 2 2



 

 

1 2

Ví dụ 9: Bất phương trình

2

2

x



0

x



0

2

x

x



  2

     1

1

1.

Điều kiện:

2

2

x





0

x



1

  2   2 

 log 2 2



  2   

2

x





log

Bất phương trình tương đương

 log 2 2



 

 

1 2

log 1 1 2

2

2

2

2

x

x

x

x











  2

  1

2

0

0.

log 2 2

 log 2 2





 log 2 2 Đối chiếu điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm



1;0

 S  

x    

 0;1 .

log

là



1

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải

x



Suy ra không có số nguyên nào thuộc tập  x  log 3

.

 

 

4; 3

4; 3

Ví dụ 10: Tập nghiệm của bất phương trình

.





3;4 .

B. . A.  D. 

.S  2  9  C.  Lời giải

x

3

ĐK:

x   . Với 3

 nên bất

x   suy ra log(3

) 0

3 x x

x     3  

2 9 0   x    0 3 x   1 3

3 2

x     

 x    

2

2

x

x

x





log

9

4;3

 log 3



 x    







  . 4; 3

12 0 



log

4

có tất cả bao nhiêu nghiệm x nguyên?

2 2

Ví dụ 11: Bất phương trình

x     phương trình đã cho tương đương Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là  x  1    10   B. 38 .

C. 40 . A. 41 . D. 37 . Lời giải

153  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

Ta có:

.

   

  

log

2 log

4

2

    3,5

4

41

2 2

2

x  1 10

x  1 10

1 4

  

  

x  1   10  . Suy ra có tất cả 38 giá trị x nguyên.

   Do x nguyên nên x 

  4,5,6,..., 41

x 

log

3

0

log

 . Tập S có tất cả bao nhiêu

3





2 3

giá trị nguyên?

Ví dụ 12: Gọi S là tập nghiệm bất phương trình

A. Vô số. B. 7. D. 4. C. 6. Lời giải

x 0

3





2 3

0

x log 3 x  log 3   0 log   3   3 0

3

1 0 3  x   3  x    3     x 3  x  log   3 1 2 3               

S 



.

0;2

4;6









Suy ra tập nghiệm bất phương trình đã cho là Vậy tập S có 4 giá trị nguyên là 

2

x





1

4

 0;1;5;6 .  ln



 x ln 2 S 

3;

  x x 1 3 x   x   0 4 2 6       3     3   6  x  2    x 4      x 0 





3;

A. B.

  S  

; 1 1;3

  0   .  S      . 2; 1

  3; 





2

2

2

1

 



3 0



2

x









1

ln

  0

4

Ta có

.

 x ln 2







x     x

   

x  2   2

Ví dụ 13: Tập nghiệm S của bất phương trình  S      . . C. D.

 x  x 

 x  x 2 

2; 1

3;

3 



Lời giải x 4 1 2 4 0

?

     Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình S      







2 3

2 3



0;

7;   .

  log log x 2 x 3 7 Ví dụ 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

.

.

 0;7 .

;7



13 4

  

  



7

x

Bất phương trình

.





  

log

x 3

log

x 2

0

7







   7

 

x 3 x 3

x 2 0

7 0

2 3

2 3

A. B.  C.  D. 

x   x 

.

T 

x



log



2

2

; 1

Lời giải     

4;  .







0;7   là x log 2     . D.    4;

3;4 .

Ví dụ 15: Tập nghiệm của bất phương trình 3;  . A.  B. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là   3 C.  Lời giải

x  . 3

2

x  

 

x

2 3 x

4 0

Điều kiện: Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho







log

x 3

2

2





.

3

x  4     x 1  Kết hợp với điều kiện

x  , suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

S 

4;

  .



 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 154

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x







3 log

1

log

x 2

1

 3

Ví dụ 16: Tập nghiệm của bất phương trình

3









3

3

.

;2

;2

.

2;  .



1;2 .

1 2

  

  

 1  2 

  

A. D. C.  B. 



x  

1

Điều kiện:

.



x   1 0   x   2 1 0 

x

x

x









3 log

x    x   1

1 1 2   3

log

1

  1

log

1

1



   1









 x 1 2



 x 3 log 2 3

3

3

 x log 2 3

3

 

 

2

x



  

1

x 2

3

x 3

2 0

2

 x  

 x 1 2



   1  1      . 2

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là

.

2

Lời giải

 log

1;2  x



2

S  



1 2

1;  .

x     log x 6 5 1 Ví dụ 17: Tập nghiệm S của bất phương trình  là 0

1;6 .

5;6 .

5;6 .



A.  B.  D. 

 

5 0

x  

5

Điều kiện:

.

2 6 x   

1 0

 x  x 

2

C.  Lời giải

Với điều kiện trên, bất phương trình





2





1 2

2

2

x

x

x

x

x  





















2 6 x

5

x    1

5

x 6

log

log

log

log

x 6

1

0

5

  1



2

2

2

2





 

6 0

6

1

   x   .

 2 7 x x   Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là:

S 

.

5;6



 ? 5

x x      tương đương với: log x 6 5 log 1 0

2

1 log 2 x

Ví dụ 18: Có bao nhiêu số nguyên x nghiệm đúng bất phương trình

 1 log 2 x D. 1 .



Xét bất phương trình

5

  1 .

2

1 log 2 x

1 log 2 x

0

Điều kiện

 * .

1

x   x 

2

x

x

x

x





log

2log







log

log

5

 5

Với điều kiện  * bất phương trình  1

2

2

2

2

3

5 3



x 

x log

0

32

.

hay

x   0

2

2

5 3

x 

.

2,3 

x

x

x

Kết hợp với điều kiện  * và x ℤ , ta được Vậy có 2 số nguyên x nghiệm đúng bất phương trình đã cho.  









log

1

1 log

2

A. 2 . B. 3 . C. 0 . Lời giải

là











 2 log 5 4

2

2

3

x 

x 

x 

3.

2

5

Ví dụ 19: Nghiệm của bất phương trình

.

.

.

4

x    x

x



 







2

A. B. 2 C. 1 D. 2

)

2)

2

x log ( 2

x  log 2 log ( 2

2

2

2

2

x

x

x









x    

x    

    

log

log

x 2 10 2

12 0

4

3

2

2

x

x

2 

2 

Với đk 5 x 5

x  ta có: BPT x   5

2

2

1 x Vậy nghiệm của bpt là 2

 1 x  x  3.

Lời giải 1) 2 log (5

155  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x









log

1

1



4

2

S 

2;

 1;1

S 

1;

A.

  .

C.

Ví dụ 20: Tập nghiệm S của bất phương trình   .   .

  1;

 log  B. S    S  

x là     .   2;1

 2  1; 

  2

.

Điều kiện:

1

2

2

x

x

x

















Ta có

log

1

log

2

1

log

1

4

x   x  













2

 x log 2 2

4

2

1 2

2

2

2

x









log

1

4

2 x  

 





x 2

x 1 4

16

x 16

.







2

 x log 2 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

  .

1;

1;1

x

x

 S   log

S 

D. Lời giải

A.

2 2 B.

S 

0;2

 

  .

   . ;2   S     . ;1

x   1      x 5       .  5 log 4 0 2   2;16   

.  16;

C. Ví dụ 21: Tìm tập nghiệm S của bất phưong trình  S    16;  4;

x  . 0

Điều kiện: Ta xem bpt đã cho là bpt bậc 2 có ẩn là

log x . 2

2

x

x





log

5 log

   4 0

.

Khi đó:

2

2 2

x x

 

1 4

log log

2 16

x    x 

   x  

2 2

So với điều kiện

x  ta có:

0

16

0    x

S 



0;2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

 16;

x

 

 8 log

3

D. Lời giải

2

2 2

Ví dụ 22: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

  .   0 D. 5 .

x log C. 7 .

Điều kiện:

x  . 0

1 2

x

x

x

x



 

3 0





 

x

x

log

8 log

3 0





log

  3 0

4 log

2 2

2

2

8log x

2 log 2   1 log

3

2 2 x  .

x   . So với điều kiện ta được 2

2

8

8

2

A. 4 . B. 1 . Lời giải

x x  log 2 log

2  Ví dụ 23: Tập nghiệm của bất phương trình

1 5

2 1 5

0;

 ;

  là 3 0

.

.



   5;



   5;

  

;5

0;

A. B.

.

.

   5;



1 125 1 125

     

     

     

1 125 1   125 

C. D.

0

5

x

 

log

1

x

x





Ta có:

log

2 log

   3 0

1 5

2 1 5

1 5

x



log

3

.1 125

x      x 0 

1 5

x       

2

log

2

có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10 .





1

Lời giải

x 2 x

log

log log

1

2

2

x 2 x   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy

Ví dụ 24: Bất phương trình

156

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

0

.

Điều kiện:

x



1,

2

2

log

2

1

log







1





1

Khi đó

x   x   x 2 x

 x

x 2 x 

log

log log

1

x 2 log

2

2

2

2

2

2

2

t

t









t

1





t

x







Đặt

. Ta có

1

log







 

1

1 0

2

 t

t





t 2 

1

1

1

x 2 log 2 x  log 1 2  1  t t

t 2 

 1  t t

t 2 

x

 

log

1

 

1

2

t  



1

1 2 x

2

x



t

0 log





0

2

1 2

1 2

22 t  t t

t     1

2

x



log

1

1

2

   0    t

      

 x      1   x  

x 

2

hoặc

x  . 2

Kết hợp với điều kiện ta có

0

1 x  hoặc 1 2

 

x y 3

log

9

 ? 1

,x y thỏa mãn

2

2



Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10 . 



y

A. 6 . B. 7 . D. 9 . C. 8 . Lời giải

Ví dụ 25: Có bao nhiêu cặp số nguyên  B. 7 . A. 9 . D. 10 .

x  9 C. 6 .

y



ℤ

ℤ ,

2

2

Lời giải ℤ y  





x y ,

 0,0 ; 0,1 ; 0, 1

Điều kiện:

 

 

 

y  1

x  ℤ ,         x y    3 9 0 

2

2

 nên ta có:

Khi đó

2

2

2

2

y

y





9 0

9

1

log

x y     3

x 9 9

x   9

x y  3

   9 0

2

2

1 

x 9 

x

y



9

2

2

y







1 2

1 2

19 2

 x   3  

  

  

  

2





1

38

1

38





x 3

x  

19 2

1 2

6

6

Suy ra:



   2





1

38

1

38

y  

y





     

2

2

1 2

  

          

x

y ℤ ,

Do

ℤ nên

  0; 1    

19 2   x  y 





 

 

 

 

 

 

,

,x y thỏa yêu cầu bài toán.

 2; 1; 0; 1; 2  Kết hợp điều kiện, ta được      x y   0, 2 ; 0,2 ; 1; 2 ; 1, 1 , 1,0 ; 1,1 ; 1,2 , Thử lại ta thấy cặp     không thỏa yêu cầu đề bài. x y   1, 2  Vậy có 6 cặp số nguyên 

x   x   0 9   x y    3  y x y   3

157  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

mx



2 2 

1

2

x m  3

nghiệm



 Dạng 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ

2 e

e 2

  

  

  

  

0;

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

đúng với mọi x  R . A.





 m      . .

5;0 ; 5

0;

B.

 m   



  m  

; 5 5;0

.  m      .



C.

x

mx







1

2 2 

1

2

x m  3

2 2 

2

x m  3





, x R 

, x R

2 e

2 e

2



   m

x

m

2     e    2 2 x

   , x R

x    x  



 

   1

2

1 3

0





 , x R  * .

m

m





 

e     2   x m mx     1 2 3 2 5 

5

0

0m

 .

 1

m



 

 có nghiệm

x 4

xm .2

3 2

0

D. Lời giải mx

   Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình

3m  .

thực. A.

5m  .

1m  .

2m  .

 1

m

m



 



 





x 4

3 2

0

Ta có

B. D.

3 2

 0

x 2



2

x

t

t

.

Đặt





0

2

xm .2 



m

t

m







 



3 2

0

Ta có bất phương trình tương đương với 2 2 . m t

2 3 t  t  2 2



Xét

0;  .

  f t

trên 



2

6



f

.



  t

3



t 2

2

t  1      0 t 

2 3 t  t  2 2 t t   4 2 2   Bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì

1m  .

C. Lời giải xm 2 .2

 

 chứa không quá 9 số nguyên?

x 23

x m  2

0



Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình

  3 3 A. 3280 .

 







  0

x 9.3

x 23

m 2

m 2

 0





Theo yêu cầu của đề ra, ta chỉ xét bài toán trong trường hợp m nguyên dương.  Từ giả thiết 

 x 3 3

 x 3 3

m  2

. Từ đó ta có:

Vì m nguyên dương nên

3 9

B. 3279 . C. 3281 . D. 3283 . Lời giải

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 158

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x

m

x

m





  

x  

9.3

m 2

0

x 3

m   2

log





 log 2 3

 log 2 3

3





 3 3

3 9

3     2

3 9

   

T

m

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



 ;log 2 3

    3 2

   

  

m

.

  





3280,5

6561

m 2

8



 log 2 3

x

x

thỏa mãn

m









Tập nghiệm chứa không quá 9 số nguyên  m   0 0 Như vậy có 3280 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu của đề ra. x 3

12

2

6

0





4;  .

.

Ví dụ 4: Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình

với mọi x dương. A.  ;4





0;4 .

;4 .

x

x

x

x

m

  



Ta có:

B.  D. 

4

0

2

2





  0 1

t 

12 2x

 . Vì

2

t





  1

2

 m t



 2

nghiệm

   6 3 x  nên 0 Đặt Bất phương trình  1 Bất phương trình  1 đúng với mọi

1t  . trở thành 0 nghiệm đúng với mọi x dương  bất phương trình  2   t   1;

t



1

t

m  

,

mt

t

2 t  

t 2

  1

,

1;

    1;



   



2 2 t  t

t



1



Xét hàm số

1;  .

  g t

trên khoảng 



2 2 t  t

2

t

1



Ta có:

   g t

  g t

xác định trên khoảng 

 1;  .

 2

t

t  1      0 t 1  Ta có bảng biến thiên sau

nghiệm đúng với mọi



x

x



. Tìm số nguyên m lớn nhất để

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình  2 khi và chỉ khi  f x

 t   1; m   . Khi đó bất phương trình nghiệm  1 đúng với mọi x dương.   2020   0

  f m f m 





.

C.  Lời giải x m    1 2

C. 673 . Ví dụ 5: Cho hàm số . A. 673

;4  2020 B. 674

 2 2020 D. 674 .

x

x





f



x 

 



 



2020

x 2020

x 2020

 f x





x

x



x

Mà

 f x    ℝ nên hàm số

  2020 ln 2020 2020 ln 2020

0,

 là hàm lẻ trên ℝ .  f x đồng biến trên ℝ .



Ta có:   f x Do vậy:





 

2

2020

  0

2020

     f m f m 





 f m 2









  

m m     

2020

m 2

2020

 f m 2



 f m



  f m 2020 3

Do đó giá trị m nguyên lớn nhất thỏa mãn là 674 2

2

x

. x  





với m là tham

log

x 2

3

log

x 3

Lời giải   2020

m

m









số thực dương khác 1 , biết

1x  là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ 6: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

159  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

S

S

.

1;0

;3

1;0

;3

.



  

  



1 3

   

  

S



2;0

;3

1;0

1;3

A. B.

.

.

 S  





  





1    3  1    3 

     



Do

 .

1x  là nghiệm nên ta có log 6 log 2

1m 

C. D.

m

m

2

2

2

x

x

  





 

x 3 3

x 2

3 0

Bất phương trình tương đương với

2

2

x  

x  

0

0

 x 2   x 3 

 x    x 3 

x

x

  

  

1

0

1

S

. Vậy

.

1;0

;3



  

x

1 3





0;

3

   

  

3 1 3

2

2

mx

nghiệm đúng với mọi x  ℝ khi







7

log

x m  4

2

  1    x 3   x log 7 2







. Tính

.a b ?

Lời giải 0

    x  Ví dụ 7: Bất phương trình ;  m a b A. 10 .

2

2

mx







Ta có:

7

log

x m  4

2

 x log 7 2





B. 8 . C. 4 . D. 6 .

2

2





0





x m  4

0

đúng x ℝ

đúng x ℝ .

2

2

m







7

x 4

  7

0

x

mx



  7

x m  4

x m  4  2 m x

 mx    7 

 mx     

  4

0

 

0



0



0

mx

x m 

2 4 

0

+)

 x ℝ

2m  .





0



2

0  

' 0

m





4

0

 a b   c    a    

 m   m    m      

0

7

m m

 

  4  0

2

x

m

.









 x ℝ



m  

7

4

7

0

5

+)

 m x









0

5 9

m   m   m 

m







7

0

4

m 

2

m 

5m

Kết hợp lại ta được 2

 , do đó

.



2

x

x







log

x m  3

2 log

1

chứa đúng 2 số

Lời giải  nghiệm đúng x ℝ .





2

2

 7   7    7    2;5 



m 

m 

m 

Ví dụ 8: Tập nghiệm của bất phương trình







B. C. D.

nguyên khi và chỉ khi 2;3 A.

3;4

;2  m  

4;5

Lời giải

Bất phương trình

2

2

2

2





2

2

 x m x 3





m m

S S

1 1 1 1



m

   

1 4

4

 5.

m

x



  . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

2

0

1     x x 1    log 1 log x m  3     1 x  1  x m     1 0  x    x  

  3 

2

m  1 log bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng 

 2; .

Ví dụ 9: Xét bất phương trình x           . Nếu  Nếu m      1; 1 . 2;3 Chứa đúng 2 số nguyên  2 x  log 2 2 2

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 160

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

m

m



;0

;

. C.

.

m   . 0;

 m  

;0





3 4

3 4

   

  

    

  

x

m



  , đkxđ:



2

0

x  0

A. B. D.



2

2

x

x









log 2 log

2

  2 0

2

2

2

x

x

x

x

m



x m 

  (*)



log

2 log

1 0

  2

0

Ta có bất phương trình:   2

   1 2 log

 log

m 

2 x log 2 2  1 log   1 log

2 2

2

2

2 2

2 t

Đặt:

x

t

Với





2;

;

log x 2 

   

1 2

  

  

mt



1 0

Khi đó bất phương trình trở thành 2 2

  (**)

t

m  

(**)

t

thì

với

.





;

t 2 1  t 2

1 2

  

t



t

Xét hàm số:

, với





;

     f t

2 1  t 2

1 2

  

  

2

t

1



f

t



  



y

Ta có:

đồng biến trên

 hàm số

0,

;





;

  t

  f t

1 2

1 2

  

  

  

  

 2 t 2 Bảng biến thiên:

8

8-

1 2

+

t f '

+

8+

f(t)

-3 4

t  



;

  f t

1 2

3   , với 4

  

  

x 

t

Để bất phương trình có nghiệm

có nghiệm

2;





;

  m f t 



  thì

1 2

  

  

3 m   4

2

x 3

1

2

x

m

có tập





x 5

  2

log

Lời giải  2 1 log

2

 x 2

x m   3 2 x   1

nghiệm là ℝ .

Ví dụ 10: Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình:

Điều kiện:

2

2

23 x x 3

x 3

1

2

2

x

m

x

m









log

x 5

  2

log

  1

x 5

  1

Ta có:

2

2

x m     . 1 0 3 x m    3 1 2 x x   2 1

 x 2

x m   3 2 x   1

  

  

2

1

2

x

m







log

x 5

  1

2

2

2

2



















x 2

x 4

x 2

x m  3

2



2

2

2

2

























x 2

2

 x 4

 x log 4 2 x 2

2

x m  3

x m  3

x 3

 1

x  3 2 x 4  2 x log 3 2  x log 4 2

x m   3 x   2 2 x m   3 

1 

 2  x log 3 2

 

  1  1

  1



f

t

Xét hàm số:

  1

 , 0

t  

log

  t

  f t

trên 

 0;  , ta có

 t   . 0;



2

t

 x 3  1 .ln 2

C. 1 . D. 0 . A. 3 . B. 2 . Lời giải

161  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

f

0;  .

2

2

f

f











 x m  3

x 2

1

2

2

 x  

x m 



đồng biến trên   x  3 2 x m  3

  t  x 4 x   2 3

2 5

   . 1 0

Do đó hàm số Suy ra:   1 x x    4 2 1 Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là ℝ khi và chỉ khi

2

vô nghiệm.

ℝ 

2

  1.1   1 0 1.2

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có tập nghiệm là ℝ .

;x y thỏa mãn

     x m  5 1 0 0 x      m m 4   21 0   0 12 3 0    x m  3   1   2        x   x 3   m       m  21 4 1 4



2

2

x

y

Ví dụ 11: Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số 





2 2 x 

y 4

2



x

2 y  

2

.

m   và 1 log y 4   6

.

S    

A. B.

.

.

 x 4 1;1  7 5; 1;1;5;7

 S   

  . 1 0  5;5 S     S    5; 1;1;5

C. D.

Lời giải

y

m

2

I

J

1

2

-3

O

x

-1

2

x

y

,x y ℝ nên:

2

2

y

2 m x 



x   4

y 4

  6

 2

2

2

Nhận thấy 

y

x





2

2

2

2

2

2

y

m

y

2 2 1   với mọi  2 m







2 x  







2

2

x 4

y 4

  8

0

(*).

 x  







2

Khi

0m  thì (*)

. Cặp 

2;2 không là nghiệm của phương trình

2

2



x    y    . 1 0

y 4

J

, bán kính là

x  Khi

;x y thỏa mãn (*) là hình tròn tâm

2 2 x y  0m  , tập hợp các điểm 





2;2

m . Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường tròn tâm

, bán

 I 

1;2

J

, bán kính m có đúng một điểm chung (hình vẽ)

kính 2 và hình tròn tâm

0m  ). Vậy

2;2  1m   (thỏa mãn

Điều này xảy ra khi

1m 

.

 S  

1;1

m   log x 4 y 4   6 1

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 162

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

BÀI TẬP RÈN LUYỆN





32

 Dạng 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

là

x

x

x

x

  ; 5

  5;

x    .

.

.

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình

1   2     ;5









  5;



.

2

x

x   1

2

 1



A. B. C. D.

5 7

5 7

  

  

x   

S



Câu 2: Cho bất phương trình , tập nghiệm của bất phương trình có dạng

    a b . Giá trị của biểu thức  A b a nhận giá trị nào sau đây?  ; A. 1.

x 2 x  1



3

B. 1. C. 2. D. 2.

là

1 9

  

x   

x

x

.

.

.

.

0

0

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình

A.

x B.  2

0

x   2     x 1 

x

 6

11

11

x

C.    1 D.    1

A.    6

x B.  6

x là x C.  3

.

x

x

x

x





1

1







2

3

x

x

3 x

x

.

D.  . Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình . 3.

2   2;





  2;



  2;

.

x

x



4

  6

0

A. B. . . C. D. Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình    ;2

x  3

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình

là x C.  1.

x A. 

x B. 

16 log 3. 4

log 3. 4

x



là

3

D.

3 x 

3

2

1

.

x 

x  .

1

1x  .

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình

log 2 3

log 2 3

log 2 3

x    x

là



A. B. C. D. .

x

1 x  1

1 

5

3

3

x    1.

x  2.

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình

 1 x  1. C.

x  . 2

x



x 3.2

1;

2;

A. 1 B. D. 1



 x     .





x 

x 

A. B. Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình 4   x     .

 ;0 0;1 . 

  là 2 0  

;1 1;2 .

x   1

72

là

x   . 2;

C. D.

x 3 .2  x   . 2;



 x  

;2 .

 x  



;2 .

A. B. C. D. Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình 

163  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x



 1

2

1

x 2





x 3

2

12

x   . 0;

x   . 1;







 là 0  x  

;0 .

 x  

;1 .

x

2



1

A. B. C. D. Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 

là

2.3 x 3

x  2 x  2

x

x

x 

x 

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình



1;3 .



1;3 .

   

 0;log 3 .  3  2

   

 0;log 3 .  3  2



 

x 4.5

x 4 10

A. B. C. D.

x Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình 2

là

.

x 

0.

x  2.

x  2.

0 2

x    x

x

2

x 1 2

A. B. C. D. 0

A. 1 Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 8;0 .  x    1. B.  D. 

 là 1 C. 

1;9 .

0;1 .



x

x

1  1



5

1

1;0

1;

1;

  .

Câu 15: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

  .









B. A.

1  5 5  S    S  

 ;0 .

 S    S  

 1;0 ;0 .

2

2

2

x

x

x

x

x

x

















2

1

2

1

2





25

9

S





;1

3

0;2

.

3;

S 

0;

D. C.

có tập nghiệm là   .





34.15 

   1 

S 



1

S 

2;

A. B. Câu 16: Bất phương trình  

    

  .

 

 3;0 .

x

x



2

1





x 4 .ln 5



;

. Tập nghiệm của bất phương trình

.5

D. C.

là

 g x

 5 

  f x



 g x



 f x



1 2

x  . 0

x  . 1

1x  .

x  . 0

Câu 17: Cho

x

x





2

2

S







2.7

x 7.2

351. 14

có dạng là đoạn

.

A. B. C. 0 D.

 ; a b

thuộc khoảng nào dưới đây?

.

.

Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình

4;2

D. B. 

Giá trị A. 

2b a  3; 10 .

 7;4 10 .

2 49 ; 9 5

  

  





1

 là 0





;0

2;

 2;   .

C. 

x 



 x  2 5 .3     . C.  2;

x 9 

 0;1



 x  9 2 1;2 .

     .



x 



2021

x





 

12 3

9 0

B.  D.  Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình  ;1 A. 

là



 x 10 .5

Câu 20: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

A. 10 . B. 9 .

D. 12 .

y



có bảng xét dấu của

như sau:

 f x



 f x

Câu 21: Cho hàm số C. 11. 

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 164

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x x  

 1f

2

e



Xét hàm số

, tập nghiệm của bất phương trình

 g x

 g x



 0  là



   2;

1;

;2

.

.







1 2

     ; 1 

  

 

;

;

.

A. B. 

.

1 2

     

1   2  1   2 

  

  

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

C. D.

;x y

2

5

3

x

x

x







5

4

log 5 3

4





 y  



y

y

y

  



4

1

3

Câu 22: Có bao nhiêu cặp số thực 

và

 ? 8



2

 3 5

2 9 

2

 1

B. 2. A. 1.

x 3



x   Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình  là khoảng  1

2

2

x

x

x

x









2

15

2

100

10

50







2

150

 0

A. 4 . B. 6 . C. 5 .  x 9 .5 C. 3 . D. Vô số. ;a b . Tính b a D. 8 .

Câu 24: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 4 .

x x  25 D. 6 .

B. 5 . giá

2 C. 3 . của

tất

cả

các

trị

thực

tham

số m để

phương

trình

2

2

Câu 25: Tìm

có hai nghiệm

thực phân biệt

thoả mãn

 m x



x

x

x







2

 1

2

1







2018

2018

x 2019

2019

.

m



2 6 ;3 3

x     x 5 x 12 16 2  2

m

2 6 ;

m

.





3 3 ;

A. B.

.

 2 6



2 6 ;3 3  11 3   3 

  .    

m       

  .  11 3   3 

C. D.

165  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x



log

x 3

1

 Dạng 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÔNG CHỨA THAM SỐ

 là 0

2





3

5

3

5

3

5

3

5

S

S

.

.







0;

;3

0;

;3

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình

 2

 2

 2

 2

   

   

  

   

   

   

   

3

5

S

.

5 3 ;

B. A.

 2

 2

      

2

x 



1

0

D. S   . C.

có tập nghiệm là



    x log 2 2 3

S

S

0;

1;

.

.

Câu 2: Bất phương trình

3 2

3 2

   

  

   

  

S

S

  



  



;0

;

;1

;

.

.

A. B.









1 2

3 2

2

x









log

x 4

11

log

x 6

8

C. D.

   Câu 3: Bất phương trình

;a b . Tính b a

      có tập nghiệm là 



0,5

0,5



D. 2 . A. 3 .

    B. 1 .

x



ln

4

S 



S 

1;

.

2;

2;

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

.

 \ 2ℝ



  .



   \ 2

x 2

D. A. B. C.

 là 1

 .   . 1  

x  . 3

x  . 2

x   .

1

Câu 5: Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình

2

A. B. D.

là

 0 log Câu 6: Điều kiện xác định của bất phương trình

 C. 5 .  2 x  ln 4  S   x log 4.3 3 x  . 1 x  log (2 2



x  

2;

.

1;0

1;1

.

[ 1;1]

1 2 . C.

C.    ) 

 x  



 x  

1;1

2







x 3

1

1

A. B.

     . D.   x log 2 là 2

  0;1  x log 2 4

 x    

S

S

S

S

.

.

.

.

;1

;1

0;

;0

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình

1 2

1 2

1 2

  

   

   

  

   

  

   

  

x





1

log

log

C. A. B. D.





2

2

1

1 2

2;  .

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình:

1;  .





2



là

B.  . C.  A. 

1 2 1 x  0;1 .  x  log 1 3



 log 1 1 3

5

1

5

1

x

x





x  . 0

x  . 1

.

.

Câu 9: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình D.   x 

 2

 2

2

x

x

x  





log

2

A. B. C. D.



0,5

2







.

.

2;

 2;

Câu 10: Bất phương trình

log 



  1 

  1 

2   .

x

A. B.

  có tập nghiệm là 1 1 C.  Câu 11: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình

là

2   .  

  ;1  log log 2

4

D.   x log log 4

A. 6. C. 8.

  ;1  2 D. 9.

9

t

x



log



thì bất phương trình trở thành:

3

. Nếu đặt

t

t









t

1

1

0

  .

1

.

.

Câu 12: Cho bất phương trình

 . D.

 t  2 1 2







 1 t 

1 2

1 2

t 2 1

1 2 1 2

A. C. B. B. 10. x  1 log x  1 log 3 t  1 2 t  1

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 166

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

x

x



log

5 log

6

Câu 13: Bất phương trình

  có tập nghiệm là

2 0,2

0,2

1

S 

S 

S

S

.

.

.

.

0;



2;3



0;3

1 ; 125 25

1 25

   

  

   

  

log

9

 chứa tập hợp nào sau đây?

A. B. C. D.

 x 

 2 log 2 2

2

;2

;6

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình

.

.

0;3 .

1;5 .

  

x

x



log

x 4 1   2   1

    4 log

1

3   2    3 0

C. D. A.  B. 





[9;

)

[3;

)

 2 S     . ;1] S  .

  . ) [9; ;3]

(1;3] (

( [3;9]

Câu 15: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:

S  S     .

A. C.

 2 2 B. D.

3

x

x







log

9 log

log

4 log



1

là





2

4 2

2 2

32 2 x

x 8

  

  

x  . 1

x  . 7

Câu 16: Nghiệm nguyên lớn nhất của bất pt

1

72

D. A.

  2   1   2 x  . 4 C.  có tập nghiệm là

x

3





S

S





log

73;2

log

72;2

log

73;2

Câu 17: Bất phương trình



;2 S   .

3

3

3



A.

x  . 8 B.   x  log log 9   S  . B.

  

  . C.

x

log

2

?

C. 4.

  . D.   4 x 32 D. 1.

x



2) 2

 có tập nghiệm là

0; .

) .

 . ;0]

log (4 3  . ;0)

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình B. 3. A. 2. x Câu 19: Bất phương trình   1) log (2 2



x



 tương ứng là

 ln 1 x



1;  .

x  . 1

A. [0; C. ( B. ( D. 

x

x







2 log

1

là tập con của tập hợp nào

D. x  ℝ . Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình   0; . A.  B. 





 log 8 2

3

3;

.

Câu 21: Tập nghiệm S của bất phương trình C. 

 4;10 .

D. B. C. 

dưới đây? 1;6 . A. 

7 2

15 2

  

 ;8 .  

  

  

2

2

x

x



  

log

2 0

là

3

Câu 22: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

x x   3 1 2 x x   2 2 3 C. 3 .

2

2

S

T a



 

x

. Tính

b 2

có tập nghiệm là







log

x 4

3

D. 2 . A. 4 .

 ; a b

3

6T  .

Câu 23: Bất phương trình

7T  .

2

x

x













có tập nghiệm là

log

3

x 12

4 log

A. C.

4



2

2

3T  . 1 12 2 x x

S





với

a b c d là các số thực. Tính S a b c d , , ,

    .



S  

6

3

3 2 2

Câu 24: Biết bất phương trình B. 1 . 2 x x   3 x  1 8T  . B.  D. x  3 1 x

   c d a b ; ; S   .

.

S   .

.  1

2



 

có dạng

log

x 4

x 1 6

A. B. C. D.

7

S    3 2 2 2  x x  4 4  x 2 

  

. Tính giá trị của a b

 a b

 ; \

1     2  

a b 

a b 

16

13

Câu 25: Biết tập nghiệm của bất phương trình

a b  .

a b  .

.

.

3 2

7 2

A. B. C. D.

167  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

x



 nghiệm

log

x m  4

1

 Dạng 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ

3





7m

7m  .

7m  .

4m  .

 .

Câu 1: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình

đúng với mọi x  ℝ ? A.

số

trị nguyên dương

của

tham

số m để hàm

2

x



 

B. C. D. 4

4 log

2log

2 0

2

có nghiệm thực?

Câu 2: Có bao nhiêu giá x m  3

2 A. 0 .

2

x

x

m





x  

4 ln

3

ln

nghiệm

B. Vô số. C. 2 . D. 1 .









 

 

 

 

62 ;

x  là 0 63 ;

82 ;

83 ;

Câu 3: Tập hợp tất cả các số thực m để bất phương trình

.

.

.

.

đúng với mọi số thực 







 

 

 

 

2

m

x











x 120

3 log

10

10

1

1

A. B. C. D.



 x log 60



Câu 4: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình   có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên

B. 10 . C. 9 .

của biến x . Số phần tử của S là A. 12 .

mx

x



log

vô

2

1 5

log 4 1 5

nghiệm?

.

4m 

 .

4m  .

4m 

 .

Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình D. 11 . 

m  4     m 4 

x

x

m

m









9

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

A. 4 B. C. D. 4



  0 1

1

x  .

m  

m  

m  

m  

.

.

3 2 2.

3 2 2.

Câu 6: Cho bất phương trình

 1 .3 bất phương trình  1 nghiệm đúng 3 2

3 2

x

x

2

 1

 



x m 

8

9.2

3.2

A. B. C. D.

  5 0 1 .

x 

Câu 7: Cho bất phương trình

 dương của tham số m để bất phương trình  1 nghiệm đúng với mọi A. 6.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên 1;2 ?  D. Vô số.

x

 1

m



 

4

xm .2

3 2

 có 0

B. 4. C. 5.

3m  .

Câu 8: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình

nghiệm thự 5m  . A.

2m  .

trình

m

C. tham D. số m để bất phương



2)

1m  . trị có nghiệm

thực của x  ? 1

x 1).log (2.5 2

B. tất cả các giá x  

6m  .

6m  .

6m  .

x

m

  1)

có

log (5 2

Câu 9: Tìm log (5 2 6m  . A. B. C. D.

x  ? 1

2m  .

2m  .

2m  .

2m  .

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

nghiệm A.

B. C. D.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 168

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng 

2;3 thuộc tập nghiệm của

2

2

x

x







log

1

x m  4

.

5

5



 m 

12;13

13;12

 13; 12

.

.

.

.

A. B.

 C.

bất phương trình  m  



  log  12;13



1 (1)  m  



 m  



trị

tham

số m để bất phương

trình

2

mx

x







có nghiệm đúng

D.

log

1

x m  4

5

5



m 

.

 .

.

.

Câu 12: Tìm  1 log

2;3

tất cả các giá  2  m 

2;3

 m  

 m  

2;3

.x 

thực của  2;3





x

1 2

1 2







x 2

m 2

0

4

x m  2

D. B. A. C.

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên m để tập nghiệm của bất phương trình

chứa đúng hai số nguyên ? A. Vô số.

B. 3 . C. 4 . D. 2 .

x

x

x

m







9

4.6

0

 có nghiệm?



 1 .4

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

trị nguyên dương

của m để bất phương

trình

x

x 

m

x













m 2

1

1 4

0

 1 4



0; 1 ?

nghiệm đúng với mọi x thuộc 





2 x 4

A. 6 . B. 5. C. vô số. D. 4 .

Câu 15: Có bao nhiêu giá    B. 2.

   A. 3.

2022;2022

để bất phương trình

 m  

mx

x

2 2 

2

3

4

2

x 

C. 5. D. 0.

?

x x      nghiệm đúng với mọi  mx 4 mx 4 m 4 e 2 2 2 Câu 16: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 

C. 2022 .

 4;7  D. 2023 .

 B. 2025 .

A. 2021 .

x

x

m

m



m 2 



  nghiệm đúng x  ℝ .

1 0

.4

 1 .2

4m 

 .

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

3m  .

1m  .

 0m  .

4

mx x 

2 1 



2019

B. C. D. 1 A.

, m là tham số. Có bao nhiêu số

2 m x

x 2 

 2019 mx  2

2020;2020

nguyên

 m  

Câu 18: Cho bất phương trình

2020 để tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ℝ . D. 2021 .

 B. 2020 .

của

tham

trình

số m để bất phương

tất 2

2

x mx m

x











trị nghiệm đúng x  R ?

C. 4 . A. 5 .

log

2

2

2

2

cả bao nhiêu giá 



Câu 19: Có log

 A. 4 .

 B. 3 .

x x

x

m

x

.Tìm m để bất phương trình











16

16

D. 2.



m 

m  .

Câu 20: Cho bất phương trình: C. 1.  log 4 2

m  .

m  .

.

đã cho có nghiệm. 3 4

3 4

4 3

4 3

A. B. C. D.

169  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy

CHUY(cid:5)N Đ(cid:9) 2. H(cid:12)m s(cid:15) lu(cid:18) th(cid:21)a - m(cid:24) - logarit

2

m

x

m











 

2

4

m 4

4 0

(m là tham số

Câu 21: Cho bất phương trình 

 1 log







 5 log

x

1 

2

2 1 2

1 2

,4

là

5 2

thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn   

  



;

3;  .

.

.

.



7 3

7 3

7 3

  

  ; 

  

  

  3; 

  

A. B. C. D. 

2

2

mx







7

log

x m  4

có tập nghiệm là ℝ . Tổng các phần tử của S là

2







Câu 22: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

 x log 7 2 A. 13 .



10;10

để bất



2

B. 10 . C. 11. D. 12 .

x 2

2

có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S

phương trình

x

m





 

x 2

4

5 2

log

3

x

x m    2 x   1

Câu 23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1

bằng A. 15.

40;40

để bất phương trình

B. 5. C. 20. D. 10.

 m  



x

2

2 4 

x



x m    1

m x  4

0

Câu 24: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

e A. 46 .

 có nghiệm thực x ? B. 37 .

của tham số m để bất phương trình

C. 45 . D. 44 .

9;9

2

x

m x

x

x

x











3 log

2 log

1

1









có nghiệm thực?

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 

B. 7 . C. 10 . D. 11. A. 6.

 Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy 170