Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU
Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
ta dựng mặt phẳng
()
α
chứa
b
và
song song với
a
. Chọn một điểm
M
thích hợp trên
a
và tính khoảng cách từ
M
đến
()
α
.
( ) ( )
( )
, ,.d ab d M
α
=
Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a
và
ta có thể sử dụng một trong các
cách sau:
Cách 1: (Sử dụng trong trường hợp
ab⊥
)
• Dựng mặt phẳng
()
α
chứa
b
và vuông góc với
a
tại
A
.
• Dựng
AB b⊥
tại
b
.
AB
là đoạn vuông góc chung của
a
và
b
.
Cách 2:
• Dựng mặt phẳng
()
α
chứa
b
và song song với
.
• Chọn điểm
M
thích hợp trên
a
, dựng
()MH
α
⊥
tại
H
.
• Qua
H
, dựng đường thẳng
//aa
′
, cắt
b
tại
B
.
• Từ
B
dựng đường thẳng song song
MH
, cắt
a
tại
A
.
DẠNG TOÁN 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 1
Website: tailieumontoan.com
AB
là đoạn vuông góc chung của
a
và
b
.
Cách 3:
• Dựng mặt phẳng
()
α
vuông góc với
a
tại
M
.
• Dựng hình chiếu
b′
của
b
lên
()
α
.
• Dựng hình chiếu vuông góc
H
khác của
M
lên
b′
.
• Từ
H
, dựng đường thẳng song song với
a
, cắt
b
tại
B
.
• Qua
B
, dựng đường thẳng song song với
MH
, cắt
a
tại
A
.
AB
là đoạn vuông góc chung của
a
và
b
.
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
2AB a=
,
4AC a=
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a=
(minh họa như hình vẽ bên). Gọi
M
là
trung điểm
AB
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM
và
BC
bằng
A.
2
3
a
. B.
6
3
a
. C.
3
3
a
. D.
2
a
.
M
C
B
A
S
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 2
Website: tailieumontoan.com
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Tứ diện vuông: Tứ diện
SABC
được gọi là tứ diện vuông nếu tứ diện đó có
,,SA SB SC
đôi một vuông
góc với nhau.
Gọi
H
là hình chiếu của
S
trên
( )
ABC
. Khi đó:
+
H
là trực tâm tam giác
ABC
.
+
2222
1 111
SH SA SB SC
=++
.
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng
( )
aP⊄
.
Nếu
( ) ( )
// //⊂⇒ab P a P
.
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Gọi
N
là trung điểm
AC
. Chứng minh
( )
//BC SMN
.
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
( )
;; ;d BC SM d BC SMN d B SMN= =
.
B2: Nhận xét
( )
( )
( )
( )
;;d B SMN d A SMN h= =
là độ dài đường cao của tứ diện
.ASMN
xuất phát từ
đỉnh
.A
B3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông để tính
h
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Gọi
N
là trung điểm
AC
. Khi đó:
2
2
AC
AN a= =
;
2
AB
AM a= =
.
Ta có:
( )
// //MN BC BC SMN⇒
.
Suy ra:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
;;;;d BC SM d BC SMN d B SMN d A SMN= = =
.
N
M
C
B
A
S
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 3
Website: tailieumontoan.com
(Do đường thẳng
AB
cắt mặt phẳng
( )
SMN
tại điểm
M
là trung điểm
AB
).
Tứ diện
.ASMN
vuông tại
A
có
( )
( )
;h d A SMN=
suy ra:
( )
2
2 2 2 2 22 2
1 1 1 1 1 11 9
4
2
h AN AM SA a a a
a
= + + = ++=
hay
2
3
a
h=
.
Vậy
( ) ( )
( )
2
;; 3
a
d BC SM d A SMN h= = =
.
Lưu ý: Ta có thể tính
()
( )
;d A SMN
như sau:
Gọi
,IH
lần lượt là hình chiếu của điểm
A
trên
,MN SI
.
( )
MN AI MN SAI MN AH
MN SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
.
( ) ( )
( )
;
AH SI AH SMN d AH SMN AH
AH MN
⊥
⇒⊥ ⇒ =
⊥
.
AMN∆
vuông tại
()
2
2 2 22 2
1 1 111 5
4
2
AAI AM AN a a
a
⇒= + =+ =
.
SAI∆
vuông tại
2 2 22 2 2
1 1 115 9 2
44 3
a
A AH
AH SA AI a a a
⇒ =+ =+=⇒=
.
Vậy
( ) ( )
( )
2
;; 3
a
d BC SM d A SMN AH= = =
.
Cách khác :
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
như hình vẽ với
OA≡
, cho
1a=
.
N
M
C
B
A
S
I
H
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 4