Giải phương trình mũ & Logarit luyện thi Đại học 2015-2016: Chuyên đề Phần 2

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong

Thành công là làm việc chăm chỉ và luôn nghĩ đến những gì tốt đẹp nhất !

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 – 2016:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT - PHẦN 2

Giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) Mũ và Logarit là một trong

những phần trọng tâm của mảng toán về Mũ và Logarit. Chuyên đề sẽ cung cấp cho chúng ta những kiến

thức nền tảng cơ bản để nhập môn này và nâng cao dần khả năng giải quyết các bài toán khó. Xin mời

bạn đọc bắt đầu !

NHẮC LẠI CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MŨ & LOGARIT

1.HÀM SỐ MŨ: y = ax

với a > 0 và a ≠ 1. (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ )

_ Tập xác định R

_ Tập giá trị R+

_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.

2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log

a x với a > 0, a ≠ 1. ( trong đó a gọi cơ số )

_ Tập xác định R+

_ Tập giá trị R

_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.

_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như logarit thập phân và logarit tự nhiên

 logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb

 logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e  2,718 > 1), viết tắt là lna ( đọc là log nepe a )

3. Các công thức về MŨ ( với a > 0 và a ≠ 1

♥ am

. an

= am + n

♥ am

.bm

= (a.b)m

♥ am

= am - n

♥ (am

= am.n

♥ nam

= a

♥ nab = na .nb ♥ 1

= a-m

♥ nam

= 



na



m

♥

na =m.n a ♥ a0

= 1 ♥ nan

= 



a khi n lẻ

|a| khi n chẵn ♥ ma = m.n an

4. Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )

♫ log

a ax

= x (x  R) ♫ log

a1 = 0 ♫ log

a a = 1 ♫ alog

a b

= b

♫ log

a b + log

a c = log

a (bc) ♫ log

a b - log

a c = log

a b

c ♫ alog

= xlog

♫ log

a b

=  log

a b ♫ log

a

b = 1

 log

a b (b > 0,   R) ♫ 1

log

a b = log

b a

♫ log

a 1

b = log

a b-1

= - log

a b ♫ log

a nb = log

a b

= 1

n log

ab (b > 0,   R*)

♫ log

c b = log

a b

log

a c ♫ log

a c. log

c b = log

a b (b > 0, 0 < c ≠ 1)

5. Hệ quả từ định nghĩa hàm mũ và hàm logarit ( với a > 0 và a ≠ 1 )

☼ Nếu a > 1 thì a

< a

  <  ☼ Nếu 0 < a < 1 thì a

< a

  > 

☼ Cho 0 < a < b và m là số nguyên ta có:



 am

< bm

khi m > 0

> bm

khi m < 0

☼ Nếu a > 1 thì log

a b > log

a c  b > c ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log

a b < log

a c  b < c

☼ Nếu a > 1 thì log

a b > 0  b > 1 ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log

a b > 0  b < 1

☼ Nếu am

= an

 m = n ☼ Nếu log

a m = log

a n  m = n

PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

Với a > 0, a ≠ 1, ta có:

+ phương trình af(x)

= ag(x)

 f(x) = g(x)

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong

Thành công là làm việc chăm chỉ và luôn nghĩ đến những gì tốt đẹp nhất !

+ phương trình af(x)

= b (b > 0)  f(x) = log

a b

+ phương trình af(x)

= bg(x)

 f(x) = g(x)log

ab (log hóa)

+ phương trình log

a f(x) = log

a g(x)  f(x) = g(x)

+ phương trình log

a f(x) = b  f(x) = ab

(mũ hóa)

Các phương pháp có thể dùng để giải phương trình mũ - logarit là:

■ Dạng 1: Chuyển phương trình về cùng một cơ số.

■ Dạng 2: Chuyển về phương trình tích (đặt thừa số chung ).

■ Dạng 3: Đặt ẩn phụ - đổi biến.

■ Dạng 4: Mũ hóa - Logarit hóa.

■ Dạng 5: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số. (tính đồng biến - nghịch biến )

■ Dạng 6: Tuyển tập các dạng bài tập nâng cao - đặc biệt

►DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ.



PP: sử dụng các công thức biến đổi PT để đưa về dạng a f(x)

= a g(x)

hoặc log

a f(x) = log

a g(x)

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. 42x + 1

. 54x + 3

= 5. 102x2

+ 3x - 78

 HD giải: Để ý vế phải có cơ số 10 = 2.5 nên ta biến đổi về trái:

Ta xét Vế trái = 42x + 1

. 54x + 3

= 24x + 2

. 54x + 3

= 24x + 2

. 5.54x + 2

= 5.104x + 2

Khi đó phương trình  5.104x + 2

= 5. 102x2

+ 3x - 78

 104x + 2

= 102x2

+ 3x - 78

 4x + 2 = 2x2

+ 3x - 78  x = 1  641

b. 43. 243

2x + 3

x + 8

= 3-2

x + 8

x + 2

 HD giải: Điều kiện là 



x + 8 ≠ 0

x + 2 ≠ 0  



x ≠ -2

x ≠ -8

Nhận xét cả 2 vế phương trình đều có thể đưa về cơ số 3, nên ta biến đổi:

43 = 3

; 9 = 32

; 243 = 35

; nên phương trình đã cho có dạng: 3

. 352x + 3

x + 8

= 3-2

. 32x + 8

x + 2

Khi đó phương trình  3

4 + 5



2x + 3

x + 8 





= 3-2 + 2



x + 8

x + 2





 1

4 + 5



2x + 3

x + 8 



 = -2 + 2



x + 8

x + 2



 (1)

Quy đồng và rút gọn có PT (1) trở thành 41x2

+ 102x - 248 = 0  x = - 4 v x = 62

c. (x - 2)x2

+ 2x

= (x - 2)11x - 20

 HD giải: PT  



x - 2 > 0

+ 2x = 11x - 20  



x > 2

- 9x + 20 = 0  



x > 2

x = 4 v x = 5  x = 4 v x = 5

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a.log

2 (3x - 1) + 1

log

(x + 3) 2

= 2 + log

2 (x + 1)

 HD giải: Điều kiện 







3x - 1 > 0

0 < x + 3 ≠ 1

x + 1 > 0

 x > 1

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong

Thành công là làm việc chăm chỉ và luôn nghĩ đến những gì tốt đẹp nhất !

Vì 1

log

a b = log

b a nên phương trình đã cho có dạng:

log

2 (3x - 1) + log

2 (x + 3) = log

2 22

+ log

2 (x + 1)

 log

2 [(3x - 1)(x + 3)] = log

2 4(x + 1)

 (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*)

Rút gọn và giải (*) ta được x = -7

3 (loại), x = 1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

b. 2log

9(x2

- 5x + 6)2

= log

3 



x - 1

2



 + log

3 (x - 3)2

 HD giải: Điều kiện







(x2

- 5x + 6)2

> 0

x - 1 > 0

(x - 3)2

> 0

 







x2

- 5x + 6 ≠ 0

x > 1

x - 3 ≠ 0

 







x > 1

x ≠ 2

x ≠ 3

(*)

PT  2 log

(x2

- 5x + 6)2

= log





x - 1

2



 + log

3 (x - 3)2

 log

3 [(x -2)2

(x - 3)2

] = log

3



x - 1

2



2

+ log

3(x - 3)2

 (x -2)2

(x - 3)2

= 



x - 1

2



2

.(x - 3)2

(do x ≠ 3 nên x - 3 ≠ 0)

 (x -2)2

= 



x - 1

2



2

(2)

Giải phương trình (2) ta được x = 3 (loại) và x = 5

3 ( thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5

Chú ý: + Khi giải các bài toán về LOG, ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của log

a b đó là 0 < a ≠ 1 và b

> 0. Đặc biệt nếu A2

> 0



A ≠ 0.

c. 3

2 log

4 (x + 2)2

- 3 = log

4 (4 - x)3

+ log

4 (x + 6)3

 HD giải: Điều kiện 







(x + 2)2

> 0

x + 6 > 0

4 - x > 0

 



- 6 < x < 4

x ≠ -2

PT  3log

4 |x + 2| - 3 = 3log

4 (4 - x) + 3log

4 (x + 6)

 log

4 |x + 2| - 1 = log

4 (4 - x) + log

4 (x + 6)

 log

4 |x + 2| - log

4 1

4 = log

4 [(4 - x)(x + 6)]

 log

4 [4|x + 2|] = log

4 [(4 - x)(x + 6)]

 4|x + 2| = - x2

- 2x + 24

 

 4(x + 2) = x2

+ 2x - 24

4(x + 2) = - x2

- 2x + 24 





x = 1 + 33

x = 1 - 33

x = 2

x = -8

. So điều kiện ta nhận x = 2 , x = 1 - 33

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong

Thành công là làm việc chăm chỉ và luôn nghĩ đến những gì tốt đẹp nhất !

■ BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:

1) 2x2

- 3

.5x2

- 3

= 0,01.(10x - 1

2) (0,6)x





25

9



x2

- 12

= (0,216)3

3) 2x

.3x - 1

.5x - 2

= 12

4) 2x

+ 2x - 1

+ 2x - 2

= 3x

+ 3x - 1

+ 3x - 2

5) 2x2

+ 3x - 4

= 4x - 1

6) 2x2

- 6x - 5

= 16 2

7) 32

x + 5

x - 7

= 1

4.128

x + 17

x - 3

8) 16

x + 10

x - 10

= 0,125.8

x + 5

x - 15

9) 3|3x - 4|

= 92x - 2

10) 5x + 1

+ 6.5x

- 3.5x + 1

= 52 11) 3x2

+ 3x + 1

= 1

33 12) (x2

- 2x + 2) 4 - x2

= 1

13) 2x + 1

.3x - 2

.5x

= 200 14) 4.9x - 1

= 3 22x + 1

15) log

x (x2

+ 4x - 4) = 3

16) log

5 (x - 2) + log

5 (x3

- 2) + log

0,2 (x - 2) = 4 17) log

2 



x2

+ 3

5



 = 2log

4 (x - 1) - log

2 (x + 1)

18) log

2 (x - 2) - 2 = 6log

8 3x - 5 19) log

3 [2(x3

+ x2

) - 2] + log

3 (2x + 2) = 0

20) log

x + 1 (2x3

+ 2x2

- 3x + 1) = 3 21) log

2 (x - 1)2

= 2log

2 (x3

+ x + 1)

22) log

2 (x2

+ 3x + 2) + log

2 (x2

+ 7x + 12) = 3 + log

23 23) 3

2log

4 (x + 2)2

- 3 = log

4 (4 - x)3

+ log

4 (x + 6)3

24) log

4(x + 1)2

+ 2 = log

24 - x + log

8 (4 + x)3

25) log

2x + 1 - log

2 (3 - x) - log

8 (x - 1)3

= 0

►DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH (Đặt thừa số chung)



PP: thường sử dụng đối với các bài toán có nhiều cơ số hoặc có x ở ngoài số mũ.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. 25x

= 9x

+ 2.5x

+ 2.3x

 HD giải: PT  52x

= 32x

+ 2.5x

+ 2.3x

 (52x

- 32x

) - 2(5x

+ 3x

) = 0

 (5x

- 3x

)(5x

+ 3x

) - 2(5x

+ 3x

) = 0

 (5x

+ 3x

)(5x

- 3x

- 2) = 0

 

5x

+ 3x

= 0 ( vô nghiệm )

= 3x

+ 2 (Giải bằng dạng 5)

b. 4x2

- 3x + 2

+ 4x2

+ 6x + 5

= 42x2

+ 3x + 7

+ 1

 HD giải: Nhận xét 2x2

+ 3x + 7 = (x2

- 3x + 2) + (x2

+ 6x + 5)

Do đó phương trình  4x2

- 3x + 2

+ 4x2

+ 6x + 5

= 42x2

+ 3x + 7

+ 1

 (4x2

- 3x + 2

- 1) + 4x2

+ 6x + 5

- 4(x2

- 3x + 2) + (x2

+ 6x + 5)

= 0

 (4x2

- 3x + 2

- 1) + 4x2

+ 6x + 5

- 4x2

+ 6x + 5

.4x2

- 3x + 2

= 0

 (4x2

- 3x + 2

- 1) + 4x2

+ 6x + 5

.(1 - 4x2

- 3x + 2

) = 0

 (4x2

- 3x + 2

- 1).(1 - 4x2

+ 6x + 5

) = 0

 



4x2

- 3x + 2

= 1

4x2

+ 6x + 5

= 1 

x2

- 3x + 2 = 0

+ 6x + 5 = 0 

x = 2 v x = 1

x = -5 v x = -1

c. 12.3x

+ 3.15x

- 5x + 1

= 20

 HD giải: PT  (12.3x

+ 3.15x

) - 5.5x

- 20 = 0

 3.3x

(4 + 5x

) - 5(5x

+ 4) = 0

 (4 + 5x

)(3.3x

- 5) = 0

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong

Thành công là làm việc chăm chỉ và luôn nghĩ đến những gì tốt đẹp nhất !

 



5x

= - 4 < 0 ( vô nghiệm)

= 5

 x = log

3 5

d. 9x

+ 2(x - 2)3x

+ 2x - 5 = 0

 HD giải: PT  32x

+ 2x.3x

- 4.3x

+ 2x - 5 = 0

 (32x

- 4.3x

- 5) + 2x(3x

+ 1) = 0 ( để tạo ra thừa chung ta sử dụng công thức Vi-et)

 (3x

+ 1)(3x

- 5) + 2x(3x

+ 1) = 0

 (3x

+ 1)(3x

- 5 + 2x) = 0

 

3x

= -1 < 0 (vô nghiệm)

= 5 - 2x (Giải bằng dạng 5)

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a. log

2x + log

3x = 1 + log

2x.log

 HD giải: Điều kiện x > 0

PT  (log

2 x - 1) + log

3 x - log

2x.log

3 x = 0

 (log

2 x - 1) + (1 - log

2 x).log

3 x. = 0

 (log

2 x - 1)(1 - log

3 x) = 0

 

log

2 x = 1

log

3 x = 1  

x = 2

x = 3 (thỏa x > 0)

b. (x + 1)[log

2x]2

+ (2x + 5)log

2 x + 6 = 0

 HD giải: Điều kiện x > 0

So với VD1 câu d thì bài toán này cũng tương tự nhưng chúng ta sẽ thử làm theo cách " xét



Nếu xem log

2 x là biến số và x là tham số, ta có phương trình bậc 2.

Xét  = (2x + 5)2

- 24(x + 1) = 4x2

- 4x + 1 = (2x - 1)2

(  có dạng số chính phương )

Khi đó log

2 x = - (2x + 5) + (2x - 1)

2(x + 1) = -3

2(x + 1) hay log

2 x = - (2x + 5) - (2x - 1)

2(x + 1) = - 2

Vậy ta có log

2 x = -2  x = 2-2

= 1

Và log

2 x = -3

2(x + 1) ( Dùng dạng 5 để giải tiếp )

■ BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:

26) 2x2

- 5x + 6

+ 21 - x2

= 2.26 - 5x

+ 1 27) x2

.2x

+ 6x + 12 = 6x2

+ x.2x

+ 2x + 1

28) 2x + 1

+ 3x

= 6x

+ 2 29) 4x2

+ x.3x

+ 3x + 1

= 2x2

.3x

+ 2x + 6

30) x.2x

= x(3 - x) + 2(2x

- 1) 31) 2[log

2 x]2

+ xlog

2 x + 2x - 8 = 0

32) 3.25x - 2

+ (3x - 10).5x - 2

+ 3 - x = 0 33) (x + 2)[log

3 (x + 1)]2

+ 4(x + 1)log

3 (x + 1) - 16 = 0

34) 8 - x.2x

+ 23 - x

- x = 0 35) x2

.3x

+ 3x

(12 - 7x) = - x3

+ 8x2

- 19x + 12

36) 25x

- 2(3 - x).5x

+ 2x - 7 = 0 37) log2

2 x + (x - 1)log

2 x = 6 - 2x

38) x2

+ (2x

- 3)x + 2(1 - 2x

) = 0 39) lg2

(x2

+ 1) + (x2

- 5)lg(x2

+ 1) - 5x2

= 0

40) log

4 x. log

x 5 - 1 = log

4 x - log

x 5 41) log

3 x + 5log

5 x = 5 + log

3 x.log

5 x

►DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN



PP: Phương trình tồn tại ax

, a-x

, a2x

, a3x

, v.v..



ta đặt t = ax

> 0

Hoặc PT có ax

và bx

với ax

.bx

= 1



ta đặt t = ax

> 0 và khi đó bx

= 1

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. 2x

+ 23 - x

= 9

 HD giải: PT  2x

+ 23

= 9  2x

+ 8

= 9. ( Đặt t = 2x

> 0 )

Chuyên đề luyện thi Đại học 2015 -2016: Giải phương trình mũ & Logarit - Phần 2

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi