CHUYÊN Đ LUY N THI Đ I H C – GIÁO VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
Ạ Ọ
Ề
Ệ
Ễ
NG TRÌNH L
Ả
ƯỢ
ng giác
NG GIÁC i ph ề ả
ươ ố
Ộ Ố ề
ươ ộ ữ ạ t , bài vi ng trình l ượ m u . ng trình ch a n ứ ẩ ở ẫ ọ i thi u m t s kĩ năng quan tr ng ộ ố ư ề ạ t này tôi xin gi ế ớ ế
Ề Ạ Ư NG TRÌNH Đ A V D NG TÍCH ng trình s d ng các công th c bi n đ i l ng giác : công th c bi n tích thành t ng, t ng thành ƯƠ ươ ổ ượ ứ ứ ế ế ổ ổ ử ụ ứ ạ ậ ng trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) ươ ả
M T S KĨ NĂNG GI I PH ƯƠ Trong các đ thi đ i h c nh ng năm g n đây , đa s các bài toán v gi ầ ạ ọ ng trình đ a v d ng tích và ph đ u r i vào m t trong hai d ng :ph ươ ề ơ Nh m giúp các b n ôn thi có k t qu t ệ ả ố ạ ằ c a d ng toán đó ủ ạ I.PH 1, Ph tích , công th c h b c ,… Bài 1. Gi i ph i ả Gi
+ + =
(
(
)
(
)
(
)
) 1
+ sin 6x sin x + sin 5x sin 2x + sin 4x sin 3x 0 �
+ =
(
2sin cos cos 0 4sin cos
) 2cosx+1
0 � � 7x 2 5x 2 x 2 3x 2 7x 2 3x 2 � + � � � � cos � � � � � = � � p (cid:0) (cid:0) = = x 0 sin (cid:0) (cid:0) k2 7 (cid:0) (cid:0) p p (cid:0) (cid:0) = cos 0 x � � ; k Z � (cid:0) (cid:0) = + 3 k2 3 (cid:0) (cid:0) = p 7x 2 3x 2 2cosx+1 0 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) + p x k2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
3
2
2
2 3 ặ ể ệ ể ế ể ặ ặ ầ ổ ổ ặ *L u ýư : Khi ghép c p đ ra t ng ( ho c hi u ) sin ( ho c cos ) c n đ ý đ n góc đ sao cho t ng ho c hi u các góc b ng nhau ệ ằ - - Bài 2 . Gi i ph ng trình : (2) ả ươ = cos3xcos x sin 3x sin x 2 3 2 8 Gi i ả - + - -
(
)
(
)
(
)
2 cos x cos4x cos2x = sin x cos2x cos4x � 1 2 1 2 2 3 2 8
2
2
2
- - + + + -
)
(
(
) =
2 cos4x cos x sin x
2 cos2x cos x sin x
= cos4x cos 2x � � 2 3 2 4 2 3 2 4
p p + + = -
)
(
)
( 4cos4x 2 1 cos4x
2
2 3 2 = cos4x � � = x � � k Z � k 2 2 2 ổ + 16 ể ử ụ ứ ệ ế ượ ệ ử ụ c vi c s d ng *L u ýư : Vi c khéo léo s d ng công th c bi n tích thành t ng có th giúp ta tránh đ công th c nhân 3 ứ
2 4cos x 1
1
- 2cos = 3cos4x Bài 3 . Gi i ph ng trình : (3) ả ươ p� � 4 � �- + 2x � � Gi i ả
CHUYÊN Đ LUY N THI Đ I H C – GIÁO VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
Ề
Ệ
Ễ
2
- - -
(
)
2 4cos x 1
3 + 1 cos 4x = 3cos4x + sin 4x = 3cos4x
) ( 2 2cos x 1
� � p� � 2 �
Ạ Ọ � + � �
2
p (cid:0) = x + p k (cid:0) 12 + = - (cid:0) sin 4x cos4x cos2x cos2x � � � , k Z � p p 3 2 1 2 6 (cid:0) p� cos 4x � � � = � � = + x (cid:0) (cid:0) k 3 36 2,Ph ươ ộ ố ế ổ ng trình v d ng tích đi u quan tr ng nh t v n là làm sao đ phát hi n ra nhân t ng trình s d ng m t s bi n đ i khác Vi c đ a ph ệ ư ử ụ ươ ề ể ệ ọ ử ổ ấ ẫ ượ + c đi u đó ề )
) (
2 sin x
chung nhanh nh t , sau đây là m t s bi n đ i có th giúp ta làm đ ) ( + 1 sin x 1 sin x �
= + - ề ạ ấ ể ộ ố ế ( ( ) = - = - 1 cos x 1 cos x , cos x (
)
) ( cos x sin x cos x sin x
2
2
cos2x + + = + 2 cos x(sin x cos x) + = 1 sin 2x + sin x cos x � + - 1 cos 2x sin 2x = + 1 cos 2x sin 2x 2sin x(sin x cos x) - -
( (
) )
= 1 sin 2x sin x cos x
+ = 1 tan x � + sin x cos x cos x
2
(cid:0) 2 sin x + sin x cos x p� �+ = � � 4 � � + + 2sin x(1 cos2x) = + sin 2x 1 2 cos x i ph ng trình : (4) ả ươ
= + + +
)
(
) (
4 2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2 cos x
) - = 2 cos x 1 2sin x cos x 1
0 � � Bài 4 . Gi Gi iả Cách 1 : (
(cid:0) = - cos x (cid:0) (cid:0) 1 2 ph n còn l ầ ạ i dành cho b n đ c ọ ạ (cid:0) = sin 2x 1 (cid:0)
= - - - -
)4
2
2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0 � Cách 2 : (
+ = - - - - -
(
) (
)
(
)
)
2
cos x sin x 0 �
+ - - -
( 2 cos x sin x )
2
0 �
+ - - - 2sin x cos x sin x cos x sin x ( ( = cos x sin x 2sin x cos x 2 cos x cos x sin x 0 � ph n còn l ầ ạ i dành cho b n đ c ọ ạ + -
) ( ) ( = + cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x
2
3 = + cos x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 2 ) (5) ng trình : i ph ả ươ Bài 5 .Gi iả Gi = - - -
(
)
5 (6sin x cos x 3cos x) �
+ (2sin x 5sin x 2) 0 = - - - - 3cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0 �
+ = - - (2sin x 1)(3cos x sin x 2) 0
ng trình c b n ( dành cho b n đ c ) ươ ơ ả ạ ọ
2
ặ ế ệ ề ọ ng tròn l ng ta hay dùng đ ề ệ i r t d d n đ n th a ho c thi u nghi m , đi u quan tr ng nh t c a ấ ủ ượ ng ườ ừ ị ườ ề ệ ể ạ � Ph ng trình này t ng v i 2 ph ng đ ươ ớ ươ ươ II. PH Ứ Ẩ Ở ẪU M NG TRÌNH CH A N ƯƠ ng trình này khi gi V i lo i ph ế ạ ớ ả ấ ễ ẫ ươ d ng này là đ t đi u ki n và ki m tra đi u ki n xác đ nh.Thông th ể ệ ặ ạ giác đ lo i nghi m. Ngoài ra , ta cũng g p nhi u ph ặ ươ ề ng trình ch a tan , cot . Khi đó , có th s d ng m t s công th c ứ ể ử ụ ộ ố ứ
CHUYÊN Đ LUY N THI Đ I H C – GIÁO VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
Ề
Ệ
Ễ
(cid:0) (cid:0) = tan a tan b cota cotb= ű ű
- - + = tan a cot b tana-cotb= � �
( ) sin b a cos a cos b ( ) + cos a b cos a sin b
Ạ Ọ ( ) sin a b cos a cos b ( ) cos a b cos a sin b
+ = - tan a cot a = tan a 2 cot 2a � ot a c �
- -
)
+ = - 1 tan a tan b = 1 tan a tan b � �
( + cos a b cos a cos b
2 sin 2a ) ( cos a b cos a cos b ị C n l u ý các đi u ki n xác đ nh c a t ng công th c ứ ầ ư ủ ừ ề ệ
= + cot x tan x Bài 6 . Gi i ph ng trình : (6) ả ươ 2 cos 4x sin 2x Gi i . ả (cid:0) (cid:0) sin x 0 p (cid:0) (cid:0) cos x 0 sin 2x 0 x , k Z ĐK : k 2 (cid:0) (cid:0) �۹۹� 0 sin 2x (cid:0)
(cid:0) x = p l (cid:0) -
(
)
3
6 = cot x tan x = cos4x cos2x � � � � (cid:0) = 2cos4x sin 2x 2 cos 2x = sin 2x 2cos4x sin 2x x (cid:0) �p , l Z l 3 p = (cid:0) + p (cid:0) l , l Z Ki m tra đi u ki n ta đ ề ể ệ ượ x c
+ - - -
(
)
( + sin 2x 2 sin x cos x
2
2
= (7) Bài 7 . Gi i ph ng trình : ả ươ 0 - 3 ) 2 4cos x 2cos x 2sin x 1 2 2sin x 1 Gi i .ả p p - 2sin x 1 0 0 k 2 + 4 + + - - ĐK : ) ( +�۹۹ � ( cos2x ) , k Z ) x (
)
7 4cos x sin x cos x 2 cos x sin x cos x
( = 2 sin x cos x
0 �
p (cid:0) m x (cid:0) (cid:0) + + - p
) (
) (
) ( = 2 sin x cos x cos x 1 2 cos x 1
0 � � , m Z � (cid:0) (cid:0) p = (cid:0) + p (cid:0) x m2 (cid:0) = - + p 4 = x m2 2 3 p = (cid:0) , m Z x Ki m tra đi u ki n ta đ ề ể ệ ượ c nghi m ệ m2 3
3
= + + 3 tan 3x cot 2x 2 tan x Bài 8. Gi i ph ng trình : (8) ả ươ 2 sin 4x Gi iả
CHUYÊN Đ LUY N THI Đ I H C – GIÁO VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
Ạ Ọ
Ề
Ễ
(cid:0) (cid:0) 0 p p (cid:0) + (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 k 3 , k Z � � (*) ĐK : (cid:0) p 0 x � � � (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 k 4 0 (cid:0)
+ -
(
) =
) +
(
)
tan 3x cot 2x
Ệ cos3x (cid:0)� sin2x � cos x � sin 4x ( 2 tan 3x tan x
8 � � 2 sin 4x 2sin 2x + cos3x cos x + = = 2 sin 4x + 4sin 4x sin x cos3x cos x 2cos3x � �
= - + 4sin 4x sin x 2cos2x cos x = - cos x = cos3x sin 2x 2cos3x (
)
8sin 2xcos2x sin x 2sin 2x sin x do (*) 4sin 4x sin x cos3x cos x �
= - arccos cos2x m , m Z � � 1 4 � -� � 1 + p � � 4 � � ả
- = -
1 = x � � 2 nghi m này tho mãn ĐK ệ BÀI T P T LUY N Ậ Ự Ệ + 1, cos3x cos2x cos x 1 0 p� 2, 2 2 sin x � � + = + - �- = cos x 1 � 12 � 3, (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
2
+ - - 4,sin 2x sin x 2 cot 2x 1 = 2sin x - = + - 1 sin 2x + 5,sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0
3
+ - = 6, tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan x 2 � + � � � � �
= - - 7, 2 2cos 3cos x si n x 0 p� �- x � � 4 � �
-
(
)
2 cos x sin x = 8, - 1 + tan x cot 2x cot x 1
3
3
2
2
+ = 9, cos x cos 2xcos3x sin x sin 2x sin 3x 1 2 p p - - = 10,sin x cos x + cos2x tan x 4 4 � � � � tan x � � � � � � � � = - + 11, tan x tan 2x sin 3x cos 2x
2
2
- - - = 12,sin x cos 4x sin 2x 4sin
2
3
3
2
+ = - - x 1 2 cos 13,sin sin x cos sin p� � 7 x � � 2 2 4 � � p� � x � � 2 4 � � = + + x 2 14, 2sin x cot x
+ = x 2 2sin 2x 1 (
)
2 sin 3x 3sin 4x
4
15,sin x + cos 3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x
