CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
SỐ PHỨC
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ NỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ
SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức:
ℂ
• Số phức (dạng đại số) :
= +z a bi
(a, b
∈R
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i
2
= –1)
• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
• Hai số phức bằng nhau:
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
=
+ = + ⇔ ∈
=
a a
a bi a b i a b a b R
b b
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)∈R
được biểu diễn bởi điểm M(a; 2) hay bởi
( ; )=
u a b
trong mp(Oxy)
(mp phứ3)
3. Cộng và trừ số phức:
•
( ) ( ) ( ) ( )
’ ’ ’ ’+ + + = + + +a bi a b i a a b b i
•
( ) ( )
( ) ( )
’ ’ ’ ’+ − + = − + −a bi a b i a a b b i
• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
•
u
biểu diễn z,
'
u
biểu diễn z' thì
'+
u u
biểu diễn z + z’ và
'−
u u
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
•
( )( )
( )
( )
' ' ’ – ’ ’ ’+ + = + +a bi a b i aa bb ab ba i
•
( ) ( )+ = + ∈k a bi ka kbi k R
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
= −z a bi
•
1 1
2 2
; ' ' ; . ' . ';
= ± = ± = =
z z
z z z z z z z z z z z z
;
2 2
.= +z z a b
• z là số thực ⇔
=z z
; z là số ảo ⇔
= −z z
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
6. Môđun của số phức : z = a + bi
•
2 2
= + = =
z a b zz OM
•
0, , 0 0
≥ ∀ ∈ = ⇔ =
z z C z z
•
. ' . '
=
z z z z
•
'
'
=
z z
z
z
•
' ' '
− ≤ ± ≤ +
z z z z z z
7. Chia hai số phức:
•
1
2
1
−
=
z z
z
(z
≠
0) •
1
2
' '. '.
'
.
−
= = =
z z z z z
z z
z z z
z
•
''= ⇔ =
z
w z wz
z
8. Căn bậc hai của số phức:
•
= +
z x yi
là căn bậc hai của số phức
= +
w a bi
⇔
2
=
z w
⇔
2 2
2
− =
=
x y a
xy b
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w
0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là
±
a
• Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
± −
a i
9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
≠
).
2
4
∆ = −
B AC
•
0
∆ ≠
: (*) có hai nghiệm phân biệt , (
δ
là 1 căn bậc hai của ∆)
•
0
∆ =
: (*) có 1 nghiệm kép:
1 2
2
= = −
B
z z
A
Chú ý: Nếu z
0
∈
C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
•
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
≠
0)
2 2
cos
sin
ϕ
ϕ
= +
⇔ =
=
r a b
a
r
b
r
•
ϕ
là một acgumen của z,
( , )
ϕ
=
Ox OM
•
1 cos sin ( )
ϕ ϕ ϕ
= ⇔ = + ∈
z z i R
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
Cho
(cos sin ) , ' '(cos ' sin ')
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
z r i z r i
:
•
. ' '. cos( ') sin( ')
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
z z rr i
•
cos( ') sin( ')
' '
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
z r i
z r
12. Công thức Moa–vrơ:
•
(cos sin ) (cos sin )
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
nn
r i r n i n
, (
*
∈
n N
)
•
(
)
cos sin cos sin
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
n
i n i n
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
• Số phức
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) có hai căn bậc hai là:
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
+
− + = + + +
r i
vaø r i r i
•
••
• Mở rộng: Số phức
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) có n căn bậc n là:
2 2
cos sin , 0,1,..., 1
ϕ π ϕ π
+ +
+ = −
n
k k
r i k n
n n
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
HT 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1)
(4 – ) (2 3 ) – (5 )
+ + +
i i i
2)
1
2 2
3
− + −
i i
3)
( )
2 5
2 3
3 4
− − −
i i
4)
1 3 1
3 2
3 2 2
− + − + −
i i i
5)
3 1 5 3
4 5 4 5
+ − − +
i i
6)
(2 3 )(3 )
− +
i i
7)
3 2
1
− −
−
+
i i
i i
8)
3
1 2
+
i
9)
1
1
+
−
i
i
10)
m
i m
11)
+
−
a i a
a i a
12)
3
(1 2 )(1 )
+
− +
i
i i
14)
1
2
+
−
i
i
15)
+
a i b
i a
16)
2 3
4 5
−
+
i
i
HT 2: Thực hiện các phép toán sau:
1)
2 2
(1 ) (1 – )
+ −
i i
2)
3 3
(2 ) (3 )
+ − −
i i
3)
2
(3 4 )
+
i
4)
3
1
3
2
−
i
5)
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
+ − −
+ − +
i i
i i
6)
6
(2 )
−
i
7)
3 3
( 1 ) (2 )
− + −
i i
8)
100
(1 )
−
i
9)
5
(3 3 )
+
i
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
HT 3: Cho số phức
= +
z x yi
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1)
2
2 4
− +
z z i
2)
1
+
−
z i
iz
HT 4: Phân tích thành nhân tử, với a, b, c
∈
R:
1)
2
1
+
a
2)
2
2 3
+
a
3)
4 2
4 9
+
a b
4)
2 2
3 5
+
a b
5)
4
16
+
a
6)
3
27
−
a
7)
3
8
+
a
8)
4 2
1
+ +
a a
HT 5: Tìm căn bậc hai của số phức:
1)
1 4 3
− +
i
2)
4 6 5
+
i
3)
1 2 6
− −
i
4)
5 12
− +
i
5)
4 5
3 2
− −
i
6)
7 24
−
i
7)
40 42
− +
i
8)
11 4 3.
+
i
9)
1 2
4 2
+
i
10)
5 12
− +
i
11)
8 6
+
i
12)
33 56
−
i
VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức
HT 6: Giải các phương trình sau (ẩn z):
1)
2
0
+ =
z z
2)
2
2
0
+ =
z z
3)
2 2 4
+ = −
z z i
4)
2
0
− =
z z
5)
2 1 8
− = − −
z z i
6)
(4 5 ) 2
− = +
i z i
7)
4
1
+
=
−
z i
z i
8)
2 1 3
1 2
+ − +
=
− +
i i
z
i i
9)
2 3 1 12
− = −
z z i
10)
2
(3 2 ) ( ) 3
− + =
i z i i
11)
1
(2 ) 3 0
2
− + + + =
i z i iz
i
12)
1 1
3 3
2 2
− = +
z i i
13)
3 5
2 4
+
= −
i
i
z
14)
2
( 3 )( 2 5) 0
+ − + =
z i z z
15)
2 2
( 9)( 1) 0
+ − + =
z z z
16)
3 2
2 3 5 3 3 0
− + + − =
z z z i
HT 7: Giải các phương trình sau (ẩn x):
1)
2
3. 1 0
− + =
x x
2)
2
3 2. 2 3. 2 0
− + =
x x
3)
2
(3 ) 4 3 0
− − + − =
x i x i
4)
2
3 . 2 4 0
− − + =
i x x i
5)
2
3 2 0
− + =
x x
6)
2
. 2 . 4 0
+ − =
i x i x
7)
3
3 24 0
− =
x
8)
4
2 16 0
+ =
x
