CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
K
f x , " x ˛ ( )
=
C , C ˛
R.
F x ( )
=
+
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F x '( ) • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ∫ f x dx ( )
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
C
•
2. Tính chất •
=
f x ( )
+
f x ( )
±
=
f x dx ( )
±
g x dx ( )
g x dx ( )
∫
∫
∫
k
•
=
f x dx ( )
k (
≠
0)
∫ f x dx '( ) ∫ kf x dx ( )
∫
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
x
•
•
x a dx
C
=
+
(0
a < ≠
1)
a
a ln
x C
•
xdx
∫ dx C 0 = ∫ dx = +
•
cos
sin=
x C +
α
+ 1
•
α x dx
C
=
+
,
α (
≠ −
1)
xdx
•
sin
= −
cos
x C +
∫
x α
∫ ∫ ∫
+
1
dx
•
•
=
x C +
tan
x C +
ln=
∫
x
C
•
x e = +
dx
•
= −
cot
x C +
1 ∫ dx x ∫ x e dx
1 2 cos 1 2
∫
x
sin
+
ax b +
ax
ax
e
dx
e
•
•
cos(
+
b dx )
=
sin(
b + + )
C a (
≠
0)
=
+
C a , (
≠
0)
∫
∫ ax b
1 a
ax
ax
ax
b C
•
•
sin(
+
b dx )
= −
cos(
b + + )
C a (
≠
0)
+ +
∫
∫
1 a
ax
dx b
1 a 1 ln= a
1 +
4. Phương pháp tính nguyên hàm 1) Phương pháp đổi biến số
Nếu
C và
u x có đạo hàm liên tục thì:
=
F u ( )
+
=u
( )
∫ f u du ( )
C
=
+
F u x ( )
∫ f u x u x dx ( ) . '( ) 2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv
vdu
uv = −
∫
∫
Page 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
4
x
x 2
3
1
2
x
1)
2)
3)
f x ( )
=
x – 3
+
f x ( )
=
f x ( )
=
+ 2
− 2
1 x
x
x
2
x (
2 1)
1
4)
5)
6)
f x ( )
=
f x ( )
=
f x ( )
=
− 2
2
2
x
x
x
x
x
2 sin
. cos
x cos 2 2 sin
. cos
2
2
7)
8)
x
9)
x
f x ( )
tan=
f x ( )
2 cos=
f x ( )
=
2 sin
x 2
x −
e
x
( e
x
11)
12)
f x 10) ( )
=
x 2 sin 3 cos 2
f x ( )
+
) – 1
x = e 2
x
2 cos
f x ( ) = x e
HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
3
x
F
F
1)
f x ( )
= − +
x 4
5;
(1)
=
3
f x 2) ( )
= − 3
x 5 cos ;
π ( )
=
2
2
2
x
3
1
3)
4)
F
f x ( )
=
;
F e ( )
=
1
f x ( )
=
;
(1)
=
x 5 − x
+ x
3 2
3
x
1
1
( )= f x
F
5)
6)
x x
F
;
− = ( 2)
0
f x ( )
=
+
;
(1)
= −
2
− 2
x
x
4
3
x 3
−
+
5
F
F
8)
'
0
f x 7) ( )
=
x x sin 2 . cos ;
f x ( )
=
;
(1)
=
2
x 2 2
π = 3
x
3
3
π
x
+
x 3
7
2
F
F
9)
10)
f x ( )
=
;
(0)
=
8
f x ( )
==
sin
;
x 2
π = 2
4
x 3 + − 2 1)
x (
+
( )
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
∫ f x dx bằng phương pháp đổi biến số
t
• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng:
f(x) =
g u x u x thì ta đặt '( )
=
u x ( )
dt ⇒ =
u x dx . '( )
( ) .
Khi đó:
( )
( )
∫ f x dx = ( )
∫ g t dt , trong đó
∫ g t dt dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
( )
∫ g t dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).
• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
π
π
x
a
t
=
t sin ,
− ≤ ≤
2
2−a 2 x
hoặc
π
x
a
=
t cos ,
2 t ≤ ≤
0
π
π
x
a
t
=
t tan ,
− < <
2
x
2+a 2
hoặc
π
a
=
t cot ,
2 t < <
0
x
HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx
10
dx
2)
3)
xdx
1)
1)−
5
2−
5
∫ x (5
∫
x
2 )−∫
(3
x
2
3
xdx
5)
4 2 x dx
6)
4)
dx
7 1)+
5)+
2
∫ x (2
∫ x (
∫
x
5+
2
dx
x 3
2
dx
8)
9)
7)
∫ x
∫
∫
3
x
x
(1
2 )+
5
x 2+
xdx 1.+
Page 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
tan
4
x
dx
10)
xdx
11)
12)
sin
cos
x sin 5
∫
∫
x
x
x e dx
xdx 2 cos xe
dx
13)
14)
dx
cos∫ 2 1 xx e . +
∫
15) ∫
x
x
e
3−
x
tan
e
x
dx
16)
17)
18)
dx
∫ 3ln∫
x
x
dx ∫ x e
2cos∫
1+
HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx
dx
1)
2)
3)
x dx
2 .−
1
2 3
∫
∫
x
)+∫
(1
(1
2 3 x )−
dx
dx
2
4)
5)
x dx
6)
2 .−
1
2
∫ x
∫
2
x
1 +∫
x
4 − 2 x dx
dx
3
2
x
7)
8)
9)
dx
1.+
2
∫ x
∫
∫
2
x
x + +
1
x
1 −
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
x P x e dx
xdx
xdx
xdx
( ).
( ). cos
( ).sin
( ).ln
∫
∫ P x
∫ P x
∫ P x
u dv
lnx P(x)
P(x) cos xdx
P(x) sin xdx
P(x) xe dx
HT 5: Tính các nguyên hàm sau:
xdx
1)
xdx
2)
xdx
3)
. sin
cos
5) sin
+
xdx
4)
xdx
5)
xdx
6)
x 2 + +
3) cos
sin 2
cos 2
7)
xx e dx
2 x x e dx
8)
9)
2
10)
xdx
11)
xdx
12)
dx
1)+
∫ x 2( ∫ x .∫ ln∫ x
∫ x ∫ x 3∫ 2ln∫
2( ∫ x ∫ x ln∫ xdx ∫ x ln(
HT 6: Tính các nguyên hàm sau:
xdx
dx
2)
3)
x dx
1) ∫ xe
sin∫
x
3
4)
x dx
5)
x dx
6)
xdx
. sin
cos∫
ln∫ ∫ x
sin∫
dx
7)
8)
x dx
9)
x dx
sin(ln )
cos(ln )
∫
∫
∫
x ln(ln ) x
HT 7: Tính các nguyên hàm sau:
x
xdx
2)
3)
xdx
1)
. cos
(1
+
tan
+
2 tan
x dx )
. sin 2
x
ln(1
dx
dx
dx
4)
5)
6)
x )+ 2
∫ xe ∫
∫ xe ∫
x
x
3
2
x
x
x
x
x ln(cos ) 2 cos ( x
ln
+
+
1
) dx
dx
8)
9)
7)
x 2 dx
∫
∫
∫
∫ xe 2cos∫ ln x
2
2
x
x
+
1
1 +
Page 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
=
f x ( )
P x ( ) Q x ( )
– Nếu bậc của P(x) ‡ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều
phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8).
Chẳng hạn:
=
+
b
a
x
b
x
−
−
A −
B −
1 a x )(
x (
)
2
vôùi
b ∆ = −
ac 4
<
0
=
+
,
1 2
Bx C + 2
A x m −
c
ax
c
bx + +
−
bx + +
x m ax (
)(
)
B
D
=
+
+
+
a
x
b
x
A −
C −
a
b
a
b
−
−
−
−
1 2 x ) (
x (
2 )
x (
2 )
x (
2 )
2. f(x) là hàm vô tỉ
m
m
t
+ f(x) =
fi đặt
,
=
ax cx
ax cx
b d
R x
+ b d +
+ +
1
R
t
x
x
+ f(x) =
fi đặt
b
=
a + +
+
b
a x )(
x (
+
+
)
•••• f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
a
b
+ − +
x (
)
+
,
=
1
=
.
b
b
a
b
a
1 x ).sin(
+
)
1 a sin(
−
x sin ( x ) sin(
+
x ). sin(
+
) )
a sin( a sin(
x sin(
+
söû duïng
− b ) b − )
a
b
+ − +
x (
)
+
,
=
.
1
=
b
b
a
a
b
1 x ). cos(
+
)
1 a sin(
−
x sin ( x ) cos(
+
x ). cos(
+
x cos(
+
) )
a sin( a sin(
söû duïng
− b ) b − )
a
b
+ − +
x (
)
+
,
=
.
1
=
b
b
a
a
b
1 x ).cos(
+
)
1 a cos(
−
x cos ( x ) sin(
+
x ).cos(
+
x sin(
+
) )
a cos( a cos(
söû duïng
− b ) b − )
x
R
x
+ Nếu
x thì đặt t = cosx
R ( −
x sin , cos )
= −
(sin , cos )
R
R
x
+ Nếu
x thì đặt t = sinx
x (sin ,
−
x cos )
= −
(sin , cos )
R
x
+ Nếu
x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
R ( −
x sin ,
−
x cos )
= −
(sin , cos )
HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):
2
dx
x
+
1)
2)
3)
2
∫
∫
∫
x x (
1)+
dx x 1)(2
−
3)
x (
+
x
1 dx 1
dx
dx
5)
6)
4)
− dx 2
2
2
∫
∫
∫
x
x
x
x − + 7
10
x 6 − +
9
4− 3
x
x
dx
7)
8)
9)
2
∫
∫
∫
x (
+
x x 1)(2
+
1)
x
dx 2
dx 2
x − + 3 x
x − − 3 dx
dx
10)
11)
12)
3
3
∫
∫
x
x
dx 2( x x
1)+
1−
22 x 1 +∫
HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):
x
1
+
1
2)
3)
1)
dx
1 3
∫
∫
∫
x
x x
x
1
+
+
dx 1
−
2
1
+
+
dx 1
1
dx
5)
6)
4)
dx
dx
4
∫
∫
∫
x 1)+
x x (
x
x
x
x
+
x 3−
Page 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3
7)
8)
9)
dx 3
∫
∫
∫
x dx x x
x dx x x
1 1
− +
1 1
− +
x
x
x
+
42 + dx
dx
dx
10)
11)
12)
∫
∫
∫
2
2
x
x
3 (2 x
+
2 1)
−
x 2
+
1
x 5 − +
6
x 6 + +
8
2
4
x
x
xdx
2)
1)
xdx
3)
x sin 2 sin 5
cos
sin 3
(tan
+
tan
x dx )
HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác): ∫
∫
∫
dx
4)
5)
6)
∫
x
dx x
x
x cos 2 x sin cos
1+
dx cos∫
2 sin 3
x
dx
7)
8)
9)
dx
∫
∫
∫
p
sin x
x x
+∫ 1 − 1 cos
sin cos
cos cos x
dx + x
4
3
4
x
x
10)
xdx
11)
xdx
12)
xdx
cos cos 2 cos 3
∫
sin∫
cos∫ ----------------------------------------------------------------------
Page 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BÀI 2: TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ˛
K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b
F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
f x dx . ( )
∫
a
b
f x dx ( )
=
F b ( )
−
F a ( )
∫
a
• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
b
b
f x dx ( )
=
f t dt ( )
=
f u du ( )
= = ...
F b ( )
−
F a ( )
∫
∫
∫
a
a
a
• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong
b
S
giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
f x dx ( )
= ∫
a
2. Tính chất của tích phân
b
b
a
b
0
k
•
•
0=
f x dx ( )
f x dx • ( )
kf x dx ( )
=
f x dx (k: const) ( )
∫ f x dx ( )
∫ = −
∫
∫
∫
a
a
b
a
b
c
b
b
b
0 b
•
•
±
=
±
f x ( )
f x dx ( )
g x dx ( )
f x dx ( )
=
f x dx ( )
+
f x dx ( )
g x dx ( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
a
a
c
a
a
a
b
• Nếu f(x) ‡ 0 trên [a; b] thì
f x dx ( )
0≥
∫
a
b
b
• Nếu f(x) ‡ g(x) trên [a; b] thì
f x dx ( )
≥
g x dx ( )
∫
∫
a
a
3. Phương pháp tính tích phân
u b ( )
b
1) Phương pháp đổi biến số:
'( )
=
f u du trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) ( )
f u x u x dx ( ) .
∫
∫
a
u a ( )
K.
liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ˛ 2) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ˛ K thì:
b
b
b
udv
uv
vdu
=
−
a
∫
∫
a
a
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b
b
vdu dễ tính
udv .
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫
hơn ∫
a
a
Page 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
HT 11: Tính các tích phân sau:
2
2
2
x
3
2
x 3
e
dx
dx
1)
dx
2)
3)
x 2 + +
1)
x (
1 )+
1− 2
∫
∫
∫ x (
3 + + x
x
1
1
1
4
2
e
1
−
x
+
4
x
(
)2
dx
5)
6)
4)
x (
+
2 x dx )
2
1 2
2
∫
∫
∫
1 + + x
x
x
x
dx 2
+
1
−
2
1
−
2
4
2
3
3
4
2
x
x x
x
7)
dx
8)
9)
x dx
+
x 1)(
−
+
1)
+
+
x dx )
+
2
−
4
)
∫ x (
∫ x (
( ∫ x
1
1
1
2
e
8
2
2
x
x
x
2
7
1
dx
dx
10)
11)
12)
x 2− 3
∫
∫
5 + − x
x
∫ x 4 −
dx
3 2 x
3
1
1
1
HT 12: Tính các tích phân sau:
5
2
2
dx
3
2
x x
1)
dx
2)
3)
1+
+
+
x dx )
∫ x
∫
∫ x (
x
x
+ + 2
−
2
2
1
1
2
2
4
xdx
x 3
2
dx
dx
4)
5)
6)
dx
9+
∫
∫ x x
∫
1 2 0
2
30
3
0
x
1 −
1 +
x HT 13: Tính các tích phân sau:
π
π 2
π 6
π
x
1)
2)
3)
x sin(2
+
dx )
(2 sin
+
cosx 3
+
x dx )
x sin 3
+
cos 2
) x dx
(
∫
∫
∫
6
0
0
π 3
π 3
π 4
π 4
2
x
4)
5)
x dx
6)
dx
3 tan
2 (2 cot
+
5)
∫
∫
∫
x
x dx tan . 2 cos
0
π 4 π 2
π 6 π 2
π 2
2
dx
x
7)
8)
9)
xdx
2 sin
.cos
∫
x
x x
dx +∫ sin 1
1 − +∫ 1
cos cos
0
0
0
HT 14: Tính các tích phân sau:
2
1
x
x −
dx
e
e
x 21 e
+
1).
−
−
4
dx
dx
1)
2)
3)
x
x
x −
x ( 2
∫
∫
∫
0
e
e
x
x
x
e
+
+
ln
+
2
1
0
x
x
x −
ln 2
1
2
e
e
x
dx
4)
5)
6)
dx
e
(1
−
dx )
x
e x
∫
∫
x
0
1
e
1+
0 2∫
e
4
xe
x
1
x
cos
π 2
e
dx
dx
xdx
8)
9)
7)
sin
∫
∫
ln+ x
0
1∫
1
x
1
e
1
2
x
1
dx
dx
10)
11)
xxe dx
12)
x
∫
ln x
1
0∫
e
1 +∫
0
Page 7
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b
Dạng 1: Giả sử ta cần tính
g x dx . ( )
∫
a
u b ( )
b
f u x u x thì
g x Nếu viết được g(x) dưới dạng: ( )
'( )
g x dx ( )
=
f u du ( )
=
( ) .
∫
∫
a
u a ( )
β
Dạng 2: Giả sử ta cần tính
∫ f x dx . ( )
α
Đặt x = x(t) (t ˛ 10) và a, b ˛ K thoả mãn a = x(1), b = x(2)
β
b
b
thì
f x dx ( )
=
'( )
=
g t dt ( )
( g t ( )
) x t '( )
f x t x t dt ( )
f x t =
( ) .
∫
∫
∫
a
a
α Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến π
π
x
a
t
=
t sin ,
− ≤ ≤
2
2
x
2−a 2
π
x
a
hoặc
=
t cos ,
0
t ≤ ≤
π
π
x
a
t
=
t tan ,
− < <
2
2
x
2+a 2
π
x
a
hoặc
0
=
t cot ,
t
x
{ } \ 0
,
=
t
π π ; 2 2
a sin
t < < ∈ −
a
2−x 2
π
t
x
hoặc
0;
=
,
∈
t
a cos
π \ 2
HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1
1
1
3
5
x
19
dx
dx
1)
dx
2)
3)
(1
x )−
2 3
x 2
∫ x
∫
x
x
)+∫
(1
1+
0
0
0
1
1
1
xdx
3
5)
2 x dx
6)
2 x dx
4)
1 −
1 −
∫ x
∫ x
∫
x 2
1+
0
0
0
3
ln 2
2 3
x
5
3
x
e
dx
+
x 2
dx
dx
8)
9)
7)
x
∫
∫
2
2
e
1 +∫
x
x x
1
+
4+
0
0
5
e
e
ln 3
x e dx
xdx
x
2
1
+
x 3 ln ln
dx
10)
11)
12)
∫
∫
∫
x
3
ln + x 2
x
1
1
0
e
1+
(
)
π 2
π 2
π 6
3
x
x sin 2
dx
dx
dx
13)
14)
15)
x cos . sin 2
∫
∫
2
x
x
x
+∫
sin
1
x sin 2 2 2 sin
+
2 cos
x
x
2 cos
4 sin
+
0
0
0
HT 16: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
1
2
1 2
dx
2 x dx
2
2
2)
3)
x dx
1)
4 −
∫
∫ x
∫
2
2
x
x
1 −
4 −
0
0
1
Page 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3
1
1
dx
4)
5)
6)
dx 2
2
2
4
∫
∫
∫
x
x
3+
x (
+
x 1)(
+
2)
xdx 2 x + +
1
0
0
0
0
2
1
2
dx
x
dx
dx
7)
8)
9)
1− 3
∫
∫
∫
2
5
x
x
x 2 + +
2
2
−
1
1
0
x
1 +
(
)
2
2
3
2 2
2
dx
x
dx
10)
11)
12)
2 x dx
x 2 −
∫
∫ x
∫
2
2
x x
x
1−
1 −
2
0
0
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b
b
b
b
P x
P x
P x l
x P x e dx
xdx
xdx
xdx
( ).
( ). cos
( ).sin
( ). n
∫
∫
∫
∫
a
a
a
a
u dv
lnx P(x)
P(x) cos xdx
P(x) sin xdx
P(x) xe dx
HT 17: Tính các tích phân sau:
π
2
π 2
π 4
2
2
x
1)
xdx
2)
xdx
3)
xdx
sin 2
sin
) cos
cos
∫ x
+∫ x (
∫ x
0
0
0 2
1
π 3
π 4
2
4)
xdx
5)
xdx
6)
x 2 e dx
cos
tan
∫ x
∫ x
2)−∫ x (
0
0
π 4
e
ln 2
3
2
7)
8)
xdx
9)
x dx
x ln(
)−
∫ xxe dx
ln∫ x
∫
1
2
0
e
π 2
π 2
x
3
cos
3
e
10)
xdx
11)
xdx
12)
xdx
sin 5
sin 2
∫ xe
ln∫
∫
0
1
e
0 e
0
3
2
x 2
3
x
dx
x
13)
xdx
14)
15)
dx
ln
x e (
+
+
1)
x ln 2
∫
∫
∫
x
−
1
1
1 e
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
HT 18: Tính các tích phân sau:
2
2
2
2
2
1)
dx
2)
x dx
3)
dx
−
x 2 + −
3
2−∫ x
∫ x
∫ x
0
0
0
5
3
3
2
x
dx
dx
5)
6)
dx
4)
−
1
+ − −
2
2 )
4−
∫ x
∫ x (
∫ x 2
−
−
3
2
0
Page 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3
1
4
2
3
2
7)
8)
9)
x dx
x 6 − +
dx 9
−
x 4
+
xdx 4
4
−
∫ x
∫ x
∫
−
0
1
1
HT 19: Tính các tích phân sau:
π
π
2
π 2
1)
xdx
2)
x dx
3)
x dx
1
−
cos 2
1
−
sin 2 .
sin
∫
∫
∫
0
0
−
π
π 2 π
π
2
4)
xdx
5)
xdx
6)
xdx
1
−
sin
1
+
cos
1
+
cos 2
∫
∫
∫
0
0
π
2
π 3
π− π 3
2
3
x
x
x
x
7)
8)
xdx
9)
xdx
tan
+
2 cot
−
dx 2
cos
cos
−
cos
1
+
sin
∫
∫
∫
0
−
π 2
π 6
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
HT 20: Tính các tích phân sau:
1
3
3
3 x dx
dx
dx
1)
3)
2)
3
2
2
∫
∫
x
x
x
x
x 2 + +
1
+∫
x 5 − +
6
0
0
1
4
3
1
dx
x
2 x dx
dx
6)
4)
5)
2
∫
x
(1
x )+
x
x 2+
1
∫ ( 0 1
3 )
∫ ( 2 1 −
9 ) 1
1
4
3
dx
x 4
+
x
dx
1
dx
9)
7)
8)
2
∫
∫
∫
x + + x + 1
x x (
1)−
( x
) 11 x 5 + +
6
0
0
2
1
0
3
2
3
2
2
x
x 2
x 6
x 9 + +
9
x + + 3
3
dx
dx
dx
11)
12)
10)
− 2
x 3 3
∫
∫
∫
x
x
x (3
3 1)+
2
x 3 − +
2
x 3 − +
−
0
1
2
HT 21: Tính các tích phân sau:
2
2
2
3
x 3
+
2
3
2
x
dx
(
)
+
x 4 + +
9
dx
dx
3)
1)
2)
x 2 2
2
2
∫
∫
∫
x
x
x
+
4
x 2 − +
2
+
1
0
0
0
1
1
1
3
x
x
dx
dx
1 dx
6)
4)
5)
4
x + + 2
∫
∫
x
x
1 +∫
1 2 x 2) (
x (
+
+
2 3)
+
1
0
0
0
3
2
2
4
2008
x
x
1
1
−
dx
dx
dx
9)
7)
8)
2
2008
∫
∫
∫
x
x
x
x (
2 1)−
(1
4 x )+
(1
+
)
2
1
1
1
2
2
4
2
x
x
2
−
1
1
−
dx
dx
dx
12)
10)
11)
2
2
4
x
x
x
+∫
1
4 +∫
+∫
1
0
0
1
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
HT 22: Tính các tích phân sau:
2 2
1
1
3
x
dx
2
dx
dx
2)
3)
1)
1+
∫
∫
∫ x x
2
x
x
1+ +
x
x
+
+
1
0
0
0
Page 10
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2
6
2
4
x
dx
x
dx
dx
4)
5)
6)
∫
∫
∫
5
x
1
+
−
1
x 2
+ + 1
x 4
+
1
x
1+
1
2
0
10
1
1
dx
x 4
−
3
3
2
x
dx
7)
8)
9)
dx
1+
∫
∫ x
∫
x
x
−
2
−
1
2
+
x 3
+
1
5
0
0
3
2 3
7 3
5
3
x
dx
x
x
+
+
1
dx
dx
11)
12)
10)
3
∫
∫
∫
2
2
x 3
+
1
x
x x
1
+
4+
0
0
5
2
2
3
2 2
dx
dx
dx
13)
14)
15)
∫
∫
∫
x x
3
2
1 1
+ −
x x
x x
1+
1−
0
1
2
HT 23: Tính các tích phân sau:
1
1
3
2
x
dx
+
1
2
2
dx
1)
x dx
3)
2)
1 +
∫ x
∫
∫
2
2
x
x
+
1
(1
2 3 x )+
0
0
1
2
3
1
2
2
3
4)
dx
x dx
6)
2 x dx
5)
+
2008
10 −
1 +
∫ x
∫ x
∫
1
0
0
1
2
1
dx
dx
3 x dx
7)
8)
9)
∫
∫
2
2
2
x
x
x
x
x
+
1
+
2008
+
+
1
1
0
∫ 1 1 − + +
2 2
2 2
5 4
dx
2 x dx
2
10)
11)
12)
x 12
−
x 4
−
dx 8
∫
∫
∫
2
x
(1
2 3 x )−
1 −
0
0
1
HT 24: Tính các tích phân sau:
π 2
π 2
π 2
xdx
xdx
cos
cos
2
x
x
1)
2)
xdx
3)
sin
cos
−
cos
∫
∫
∫
2
7
+
x cos 2
x
2
+
cos
0
0 π 2
0 π 3
π 2
xdx
x
cos
x sin 2
+
sin
6
3
5
x
dx
6)
4)
xdx
5)
1
−
cos
x sin cos
∫
∫
∫
x
2
+
x cos 2
1
+
3 cos
0
0 π 2
0 π 3
π 2
xdx
x
x
cos
tan
x sin 2
+
sin
dx
dx
7)
8)
9)
∫
∫
∫
x
1
+
3 cos
x
x
x
1
+
2 cos
+
cos
1
2 cos
0
0
π 4
HT 25: Tính các tích phân sau:
e
ln 3
ln 2
dx
x 2 e dx
x
1
+
x 3 ln ln
dx
1)
2)
3)
∫
∫
∫
x
x
x
e
e
1+
1+
0
0
1
ln 3
0
ln 2
2
x
x e dx
ln
x 2
3
dx
x
4)
5)
dx
6)
x e (
+
+
1)
∫
∫
∫
x
x
x
ln
1+
e (
3 1)+
ln 2
1
0
−
ln 3
1
ln 2
x
x
e
e
dx
dx
xe
7)
8)
9)
dx
1−
∫
∫
x
x
x
e
e
+
1)
−
1
x −+ e
∫ e 0 (
0
0
Page 11
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
HT 26: Tính các tích phân sau:
π 2
π 4
π 4
dx
3)
1)
xdx
2)
xdx
x sin 2 .cos
tan
∫
∫
x
+∫ 1
x sin 3 cos
0
0
π
π
0 π 2
3
4)
xdx
5)
xdx
6)
x
sin
2 sin
2 cos 3
∫
∫
∫
0 π 2
0 π 2
0 π 2
2
4
2
3
4
5
x
x
x
xdx
8)
xdx
9)
xdx
7)
sin
cos
sin
cos
sin
cos
∫
∫
∫
0
0
0
π 2
π 2
π 2
3
x
3
3
x
dx
dx
10)
11)
12)
(sin
+
cos
x dx )
∫
∫
∫
cos x
cos
x +
1
x sin 2 cos x + cos 1
0
π 3
0 π 3
0 π 4
dx
3
4
15)
13)
xdx
14)
xdx
tan
tan
3
∫
∫
∫
x
x sin . cos
0
π 4
π 4
π
/3
π 2
π 2
3
3
dx
sin
dx
dx
18)
17)
16)
4
x 2
∫
x
cos +∫ 1
x cos
x
x
x
sin
. cos
+∫
cos
1
π
0
0
/6
HT 27: Tính các tích phân sau:
π 3
π 2
π 2
x
1
+
tan
3
5
x
dx
dx
1)
xdx
2)
3)
1
−
cos
x sin cos
∫
∫
∫
x cos 2 x
x sin 2 x + sin
+ cos
x
x
cos
1
+
2 cos
0
π 6
π 4 π 2
π 2
3
x
4
4
sin
π 4
x
x
e
x
4)
x dx
5)
6)
xdx
x cos 2 (sin
+
cos
x dx )
(tan
+
cos )
2 sin
sin 2
)
( +∫ 1
∫
∫
0
0 π 3
π 4
0 π 3
3
sin
1
x
dx
dx
7)
x dx
8)
9)
sin .ln(cos )
x 2
5
2
2
∫
∫
∫
x
x
x
x
2 (tan
+
1) . cos
sin
+
9 cos
0
0
−
π 3
HT 28: Tính các tích phân sau:
π 2
π 2
π 2
dx
1
dx
dx
2)
3)
1)
∫
∫
x
1 sin
+∫
(1
4 x cos )
x
+
sin
0
0
( 1
4 )
π 4
π 3 π 2
π 2
dx
(1
−
x sin ) cos
dx
dx
4)
5)
6)
x 2
∫
x
x cos
cos +∫ 1
x
(1
x sin )(2
cos
)
+
−
+
)
0
∫ x x 0 cos cos(
0
π 4
HT 29: Tính các tích phân sau:
π 3
π 4
π 2
dx
xdx
2)
3)
1)
−
1)cos
∫ x (2
∫
+∫ 1
xdx x cos 2
x
x 2 cos
0
0
0
Page 12
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
π 2
π 2
π 2
3
2
x 2
4)
xdx
5)
xdx
6)
1 + dx
sin
cos
x e sin 2 .
∫ x
∫
∫
0
0
0
π
2
π 2
3
dx
7)
x dx
8)
9)
xdx
cos(ln )
−
2 1) cos
x ln(sin ) 2
∫ x (2
∫
∫
x
cos
π
0
1
6
π
π
π 4
2
2
2
10)
xdx
11)
xdx
12)
xdx
sin
tan
2 x sin cos
∫ xe
∫ x
∫ x
0 π 4
0 π 4
0 π 2
2
x
sin
3
e
13)
xdx 14)
x dx
15)
x sin cos
ln(1
+
tan )
dx 4
∫
∫
∫
x
cos
0
0
0
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
HT 30: Tính các tích phân sau:
1
1
ln 2
dx
1
dx
1)
3)
2)
x e dx x
e
∫ x e
∫ x e
1 +∫
4+
5+
0
0
0 ln 8
ln 2
x
x
ln 8
e
e
1
−
x
dx
e
dx
5)
x 2 e dx 6)
4)
1.+
x
∫
∫
x
ln 3
e
+∫
1
e
1+
ln 3 2
0 1
2
x −
x 2
1
dx
dx
dx
7)
8)
9)
x
e x
∫
∫
e
e
e
−−∫
1+
e x − +
1
1
1
0
0
e
1
ln 3
−
x 2
x
1
dx
dx
dx
10)
11)
12)
∫
∫
∫
x
x
x
e
ln 2 (ln
1)+
e x − +
1
e
1+
1
0
0
HT 31: Tính các tích phân sau:
1
1
π 3
x ln(
+
1)
x
dx
dx
1)
2)
3)
dx
x ln(sin ) 2
−∫ xe
∫
∫
x
+
1
x
cos
0
0
e
1
π 6 π 2
x
1
dx
4)
xdx
5)
6)
+
x cos ) cos
( ln 1 +
) x dx
∫ xe (
∫ x
∫
2 ln+ x
0
0 2
1 3
e
e
e
x
x
ln
+
ln
2
dx
8)
9)
7)
dx
+
ln
∫
∫
∫
x ln(ln ) x
x ln(ln ) x
x
x
x dx
+
ln
1
2
e
1
e
Page 13
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
a
• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
f x dx ( )
=
0
∫
a −
a
a
• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
f x dx ( )
=
2
f x dx ( )
∫
∫
a −
0
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
a
a
a
0
0
I
Bước 1: Phân tích
=
=
f x dx ( )
=
f x dx ( )
+
f x dx ( )
f x dx K ( )
;
∫
∫
∫
∫
∫
= J
f x dx ( )
a −
a −
0
0
a −
0
J
Bước 2: Tính tích phân
f x dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. ( )
= ∫
a − – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
α
α
(với a ˛ R+ và a > 0)
=
f x dx ( )
f x ( ) x
∫
∫
a
+
dx 1
0
α−
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
α
α
α
0
0
I
=
=
+
=
f x ( ) x
f x ( ) x
f x ( ) x
f x ( ) x
f x ( ) x
∫
∫
∫
∫
∫
a
a
a
a
a
+
dx 1
+
dx 1
+
dx 1
+
dx K ; 1
+
dx 1
= J
α
α
0
0
−
−
α−
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
π 2
π 2
f
x dx
f
thì
x dx
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;
(sin )
=
(cos )
∫
∫
π 2
0
0
t
x
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
b
x
b
π = − 2 f a f x hoặc ( ( )
)
+ − =
x + − = −
)
f x ( )
t = p – x
Đặc biệt,
thì đặt: t = a + b – x nếu a + b = p nếu a + b = 2p
t = 2p – x
thì đặt
thì đặt
f a Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và ( Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
1
(*)
C C
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) – g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) – g(x), tức là: A x ( ) B x ( )
( ) ( )
= =
+ +
2
F x G x ( ) + F x G x ( ) −
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
C là nguyên hàm của f(x).
=
+
+
F x ( )
A x ( )
B x ( )
1 2
HT 32: Tính các tích phân sau (dạng 1):
π 4
π 2
1 2
7
5
x
x
x
1
2
dx
x
2)
3)
1)
cos
x ln(
+ + 1
x dx )
x cos . ln
3 x − + − + 4
∫
∫
∫
− x dx + x
1 1
x
cos
−
−
−
π 4
π 2
1 2
Page 14
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
1
1
1
4
x dx
x
x
sin
2
x
dx
4)
dx
5)
6)
( x
)
ln
+ + 1
4
+ 2
∫
∫
∫
x
x
2 x − +
1
+
1
− 1 π 2
− 1 π 2
− 1 π 2
5
x
xdx
x
x
sin
+
dx
dx
8)
9)
7)
2
cos 2
∫
x
x
x
1
+
cos
−∫
4
sin
−∫
4
sin
−
−
−
π 2
π 2
π 2
HT 33: Tính các tích phân sau (dạng 2):
1
1
1
4
2
dx
1
−
1)
2)
dx
3)
2
x ∫ x 2
dx 1
+
+∫
1
x x 2
∫ x e (
+
x 1)(
+
1)
1
−
− 1 π
1
− 1 3
2
2
x
x
dx
+
4)
5)
dx
6)
2
sin ∫ x 3
dx 1
+
+∫
1
1 x 2
∫ x (4
+
x 1)(
+
1)
− 1 π 2
− 3 π 4
π− π 2
6
6
2
2
x
x
x
x
x sin sin 3 cos 5
sin
+
cos
sin
dx
7)
8)
dx
9)
dx
x x
∫
∫
∫
e
1
+
x x 6
+
1
1
+
x 2
−
−
−
π 2
π 4
π 2
HT 34: Tính các tích phân sau (dạng 3):
π 2
π 2
π 2
7
x
x
x
sin
sin
n cos
dx
dx
dx
(n ˛ N*)
2)
3)
1)
7
7
∫
∫
∫
x
x
+
sin
cos
x
x
x
x
+
+
sin
cos
n cos
n sin
0 π 2
0 π 2
0 π 2
4
4
2009
x
x
x
cos
sin
sin
dx
dx
dx
4)
5)
6)
4
4
4
4
2009
2009
∫
∫
∫
x
x
x
x
x
x
cos
+
sin
cos
+
sin
sin
+
cos
0
0
0
HT 35: Tính các tích phân sau (dạng 4):
π
π
π 2
x
x
x
. sin
+
dx
dx
2)
3)
1)
ln
cos 2
∫
dx
x x
1 1
+ +
sin cos
x
x
−∫
4
x 2 cos
−∫
4
sin
0
0
π
π
2
0 π 4
3
3
4)
x dx
5)
xdx
6)
xdx
ln(1
+
tan )
. cos
. sin
∫
∫ x
∫ x
0 π
0 π
0 π
x
sin
dx
dx
dx
7)
8)
9)
x 2
x
x
+∫ 1
x sin
x +∫ 2
x sin cos
x
+∫
1
cos
0
0
0
π
π
π 4
x
x
sin
4
dx
x dx
11)
12)
xdx
10)
x sin 4 ln(1
+
tan )
x sin cos
∫
∫ x
x
+∫
9
2 4 cos
0
0
0
HT 36: Tính các tích phân sau (dạng 5):
π 2
π 2
π 2
dx
dx
dx
1)
2)
3)
∫
∫
∫
x
x
x
sin x −
x cos
sin
cos x −
x cos
sin
sin x +
x cos
sin
0 π 2
0 π 2
0 π 2
4
4
x
x
sin
cos
dx
dx
dx
5)
6)
4)
4
4
4
4
∫
∫
∫
x
cos x +
x cos
sin
x
x
x
x
sin
+
cos
sin
+
cos
0 π 2
0 π 2
0 π 2
6
6
x
x
sin
cos
2
dx
dx
x
8)
9)
xdx
7)
2 sin
. sin 2
6
6
6
6
∫
∫
∫
x
x
x
x
sin
+
cos
sin
+
cos
0
0
0
Page 15
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
1
1
π 2
x
x −
e
e
2
x
dx
dx
10)
xdx
11)
12)
2 cos
.sin 2
x
x
x −
x −
∫
∫
∫
e
e
e
e
−
−
1
1
−
−
0 1
1
x
x −
e
e
dx
dx
13)
14)
x
x
x −
x −
∫
∫
e
e
e
e
+
+
1
1
−
−
BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành.
b
S
– Hai đường thẳng x = a, x = b. là:
(1)
f x dx ( )
= ∫
a
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b
S
– Hai đường thẳng x = a, x = b .là:
(2)
=
f x ( )
−
g x dx ( )
∫
a
Chú ý:
b
b
• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
f x dx ( )
=
f x dx ( )
∫
∫
a
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c,
a • Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: d (c < 4).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
d
b
b
c
f x dx ( )
=
f x dx ( )
+
f x dx ( )
+
f x dx ( )
∫
∫
∫
∫
c
d
a
a
d
b
c
=
f x dx ( )
+
f x dx ( )
+
f x dx ( )
∫
∫
∫
c
d
a
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) – Hai đường thẳng x = c, x = d.
d
S
=
g y ( )
−
h y dy ( )
∫
c
2. Thể tích vật thể
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ 2). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b
V
Thể tích của B là:
S x dx ( )
= ∫
a
• Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < 2) sinh ra khi quay quanh trục Ox:
Page 16
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
b
V
f
x dx
2( )
π= ∫
a
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d
V
là:
2( ) g y dy
π= ∫
c
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
HT 37: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
x
2
y
x
y
x
x
y
y
x
x
e
1)
2)
= − −
x 4
6,
=
0,
= −
2,
=
4
=
,
=
0,
=
,
=
1 e
ln x
x
1
+
ln
x
ln
y
y
x
x
e
3)
4)
y
y
x
=
,
=
0,
=
1,
=
=
,
=
0,
=
e x ,
=
1
x
x
2
y
x y
x
x
e
y
x
y
x
x
5)
6)
=
ln ,
=
0,
=
,
=
=
3,
=
0,
= −
2,
=
1
1 e
x
1
y
y
x
x
y
x y
x
x
7)
8)
=
,
=
0,
=
0,
=
=
lg ,
=
0,
=
,
=
10
4
1 10
2
x
1
−
HT 38: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
y
y
x
y
1)
2)
=
,
=
0,
=
0
=
x y ,
= − 2
x y ,
=
0
x 3 − − x − 1 x
y
y
e
x
y
y
y
3)
4)
,
=
=
2,
=
1
=
x x ,
+ − =
2
0,
=
0
2
2
y
y
x
y
y
x
y
y
5)
6)
=
2 x 2 ,
= − −
x 2
1,
=
2
= − +
x 4
5,
x 2 = − +
4,
x 4 = −
11
2
2
2
y
y
x
y
8)
7)
y
x
y
y
=
2 x 2 ,
= − −
x 4
4,
=
8
=
,
=
,
=
27 x
x 27
HT 39: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
y
1)
2)
= − 4
2 x y ,
2 x = −
x 2
2
y x y = x 4 − + 3 , x = + 3
2
3)
4)
2 x y ,
2
2
1 y x y y = = − + 3 = , = 1 4 1 2 x 2 x 1 +
5)
2 x
6)
2 x = −
2
y y = x y , = − 2 x y 2 , x = − + x 4
7)
8)
2
1 y y y x y = , = = + + 3 , = 0 2 x x 2 x 1 +
10)
9)
2 x = +
2 x = +
y y y x x y 2 , x = + 2 2, = − 4
HT 40: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
2 y
2) 2 y
2 x ,=
y x x x y = − + − = 5 0, + − = 3 0
3) 2 y
4) 2 y
x x y − + = y 2 0, y + = 0 x 2 = + 1, x = − 1
5) 2 y
6)
2 1) ,
x
y y x y = x y 2 , = x y , = 0, = 3 x ( = + = sin π
HT 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2
1)
2)
x
x −
y y x x y x x x = x e . ; = 0; = − 1; = 2. = . ln x y ; = 0; = 1; = e .
4)
3)
x 2 −= 5
x
y e y e x y y x y = ; = ; = 1. ; = 0; = 0; = − 3 x .
6)
5)
5 1) ;
2
π
y y e x y x y x x e x ( = + = ; = 1. = = = = ln , 0, , 1 e
8)
7)
y x x x y x y x = sin + cos x y , = 0, = 0, = x = + sin ; = x x ; = 0; = 2 .π
Page 17
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
9)
10)
2 sin
2 sin
π y x x y x x y x x x = + x y ; = π ; = 0; = π . = + sin + 1, = 0, = 0, = 2
HT 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
1)
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
3 x = −
3
y C y ( ) : x 2 x 4 + − 3, = 0
và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
2)
3)
x x C y ( ) : = − + x 3 2, = − 1
2 x = −
C y ( ) : x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C). 2
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
HT 43: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành (Ox)
3
1)
2)
2 x y ,
6
6
3)
4)
π y x y x x y x x x = sin , = 0, = 0, = = − = 0, = 0, = 3 4 1 3 π y x x x y = sin + cos x y , = 0, = 0, = = x x , = 4 2
5)
6)
3 x = −
2,= x
3
2
2
y y x x y y x 1, = 0, = − 1, = 1 =
7)
8)
0)
10)
2 2)
2 y + =
2
y y y x = − + x y 4 , x = + 2 = , = x 8 x 4 π π y x y x x x y = sin , = cos , = , = x ( − 9, = 0 2
11)
12)
y x y y x y x x = − + x 4 6, = ln , = 0, = 2 4 2 = − − + x 2 6
HT 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục tung (Oy):
1)
2)
2, x y
y x y y = = 4 = , = 1, = 4 2 y
4)
3)
2,
x e x ,
y x y y y y e = = 1, = 2 = = 0, =
Page 18
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BÀI 4: ÔN TẬP
HT 45: Tính các tích phân sau:
2
3
3
7
2
2
1)
2)
3)
4
∫ x
∫
∫ x
1
0 2
2 5
1
dx x dx dx − x 2 − + 1 x 8 x + − 1 x 2
4)
5)
2
∫
∫ x (
∫
2 − 1 2
0
1 − 1
3 − 0
2
3
2
dx dx x dx 6) + − − 2 2 ) x + x x 2 x 5 + + 2
7)
8)
9)
2
2
∫
∫
−
0
0 1
1 1
1
3
xdx dx x + x 4 + + 9 dx x 2 2 x x 1)+∫ x ( x 2 + + 4 + 4
10)
11)
12)
2
3
∫
0
0
0
xdx xdx dx x 2 x x 1+ 1 +∫ 1)+∫ x (
HT 46: Tính các tích phân sau:
2
3
9
3
3
2
2)
3)
1)
∫
∫ x
∫ x
1
0
1
3
4
2
5
3
4
x dx x dx x dx 1 + 1 − x 1 + − 1
4)
5)
6)
∫
∫
∫
2
5
−
1
0
0 2
2
0
x x + x 2 dx 2 dx dx x + + 5 4 x x + 1 1+
2
2 x dx
7)
8)
9)
∫ x
∫
∫ x
−
0
1
1
1
3
3
xdx x dx 4 − 1 + x x 2 + + − 2
3
2
3 x x dx
11)
12)
10)
2 .+
∫ x
∫
∫
−
0
1
0
7/3
3
1
x − 3 x dx dx 1 3+ x x 3 1 3 + + +
3
5
2
13)
14)
15)
3 x dx 1 .
3
∫ x
∫
∫ x
0 10
0 1
0 1
2
x + 1 dx x dx 1 − + x 3 + 1
3
2
16)
17)
18)
∫
∫
∫ x
3
2 1)
5
0
0
x x dx + dx x dx 1 − x x − 2 − 1 x ( +
HT 47: Tính các tích phân sau:
π
π
π
/4
/2
/2
1)
2)
3)
∫
∫
2 x 2 sin x sin 2
0
0
0
π
π
π
/2
/2
/2
x x sin 2 cos x x sin 2 + sin dx dx dx x 1 − +∫ 1 + 1 cos x 1 + 3 cos
5
5)
6)
4)
∫
∫
∫
2
2
0
0
0
π
π
/2
/3
π
x sin 2 dx x x x dx xdx sin sin 2 sin 3 cos x x cos + 4 sin
4
4
7)
8)
9)
∫
∫
2
π
0
0
/4
π
π
π
/4
/2
/2
2
x x tan sin x dx dx x cos 2 (sin + cos x dx ) x 2 x +∫ 1 cos x x cos 1 + cos
10)
11)
12)
∫ x
∫
0
0
0
π
π
π
/2
/2
/4
2012
3
dx dx x dx tan x x sin 2 x + cos 1 +∫ 1 x sin 3 cos
13)
14)
15)
2012
2012
∫
2 x 2 sin x sin 2
0
0
0
x sin dx dx dx x x cos − 1 +∫ 1 4 sin +∫ 1 x x + sin cos
Page 19
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
π
π
π
/2
/2
/3
2
16)
17)
18)
∫
∫
∫
2 sin
2 x 2 cos cos
0
0
0
xdx x sin sin dx x cos 3 x + sin 1 x xdx 2 x sin 2 cos x + x 2
HT 48: Tính các tích phân sau:
3
1
3
2
2
1)
2)
3)
x 2 e dx
∫ x
∫
0
2
0 π
/2
e
ln 5
x
sin
2
2
dx x dx x ln( 5)+ x ln( )− 2)−∫ x (
4)
5)
6)
∫
∫
∫ x e
0 e
1 1
ln 3 1
3
x x dx x dx e ( + x cos ) cos ln dx x −+ e 2 − 3
2
7)
9)
8)
x e dx
x
∫
∫
1
0
0
2
2
1
x
2 x e
x dx 1 xdx ln x ( 1)+ + x e 1 +∫
2
10)
11)
x 2 e dx
12)
2
∫
∫
1
0
0 π
/2
e
1
3
ln(1 dx dx x (4 x 2 − − 1) x )+ 2 x 2)+∫ x (
13)
15)
14)
2 )+
∫ xe
∫ x
∫
0
0
1
3
e
e
e
2
dx x dx x dx sin 5 ln(1 x ln 2 x
17)
18)
16)
∫
∫
∫
1
1
1
x x x 3 − 2 ln 1 + x 3 ln .ln ln dx dx dx x x x x x 1 + 2 ln ln 1+
HT 49: Tính các tích phân sau:
π
π 2
π 2
2
2
2)
2)
3)
1)
∫
∫
0
2
0 π 2
0 π 2
x x x x ( sin cos I dx I dx I dx = = = x x x cos x sin 2 x cos 2 x + 2 cos 3 x 2 + +∫ 1 1) + + + x 1 sin +
x
4)
5)
6)
2
∫
∫
0
1
e
1
π 3 π 2
x
2
2
2
x 2
2 cos cos − 3 x ( 2)(1 ) 1 + + + I dx I dx I dx = = = xe 2 x x x sin cos 2 + +∫ 1 x 2 x x xe 1 sin x 3 2 + (1 ) +
7)
8)
9)
∫
∫
4 x cos )
1
0
π 3
e
1
π 2 3
2
2
x x x x x ( + + 1 x ( + e 1) + + 1 2 + sin I dx I dx I dx = = = xe x + x ln x 1) ln 1 ln + x e + +∫ (1
x
2
10)
11)
12)
x 1 1) + + dx
∫
0
1
π 2
x ln(1 ln ) e I dx I dx x (2 x + + x ln(sin ) 2 = ∫ = ∫ + x x sin
1
π 4
π 2
2
x 2
13)
14)
15)
x
x 2
∫
∫
∫
0
0
π 2
π 2
π 4 π 3
sin dx x e x (2 cos 2 + 1) − I I I dx = = = π + x 4 x x − 2 sin . cos dx 3 x + cos 1 x sin 2 xe e +
16)
17)
18)
2
∫
∫
−
π 2
π 6
3
e
2
2
x x x x ln(sin ) x cos 2 + cos I dx I dx I dx = = = ∫ x (1 + x cos ) + x sin )sin x ( x x x + 2 cos sin 2 3 cos 4 sin +
x e dx
19)
20)
∫
π 3 π 2 1 + ∫ = + 1
2
0
e
x 2 ln + 3 I I dx = x x sin cos x x (1 x x ln − x ln ) −
Page 20
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
π 4
21)
∫
0 π 3 4
π 2
2
x x x x x ( sin ) − sin I dx = + x − 1
2 cot
22)
23)
∫
π 2
1
π 6 π 6
x
2
x x x ( + 1) cos + x sin 2 cot I dx I dx = + + x = ∫ x x x sin x 1 + sin e
24)
25)
∫
0
0
x x ( + tan x tan 2 + I dx I dx = x e ) x − = ∫ x e + x 2 x cos 2
HT 50: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
3
1)
2)
x
4
2
y x y x x y y x x = − + x 3 1, = 0, = 0, = − 1 = , = 0, = − 2, = 1 x 4 − 2
3)
4)
2
y x y y e y x = − + x 2 + , = 0 = , = 2, = 1 1 4 9 4
6)
5)
2 x = −
y x y x x y = − + 1 , = 0, = 2, = 4 x y 2 , x = − + x 4 x 1 2 1 − 1
7)
8)
2 x − + x + 1
Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:
x y y x y y = , = 0, = 0 = , = 0 x 2 x + 1 + 1
HT 51:
1)
2)
x
2
y x y x x y x x Ox = x y , = 0, = 3; = ln , = 0, = 1, = e Ox ;
3)
4)
2 x = +
y
y xe y x y x y Ox Ox = , = 0, = 1; = − 4 , 2;
5) 2 y
6)
x ye x y Oy Oy = − 4 x x , = 0; = , = 0, = 1;
Page 21
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 – 2011
3
1 + + 1) I dx I
HT 52:
(A,A1 – 2012)
Đ/s:
1
1
3
ln 3 − ln 2 x ln( 2 = ∫ 2 = + 3 2 3 x
x I dx I
HT 53:
(B – 2012)
Đ/s:
4
2
∫
0
π 4
2
= = ln 3 − ln 2 3 2 x + x 3 + 2
I x
HT 54:
(D – 2012)
∫
0
π 4
x dx Đ/s: I = (1 + sin 2 ) + = π 32 1 4
x x x I dx KQ I
HT 55:
(A – 2011)
∫
π = + 4
0
π 3
π
= : ln sin x 1) cos x x ( + + x + cos sin 2 2 π + 4 1
x x 1 + I dx KQ I
HT 56:
(B – 2011)
∫
0
4
= : = 3 + + ln(2 − 3) 2 3 sin 2 os x c
x 4 − 1 I dx KQ I
HT 57:
(D – 2011)
∫
0
1
x
2
: 10 ln = = + 34 3 3 5 x 2 2 1 + +
x e + +
x 1 I dx KQ I
HT 58:
(A – 2010)
2 x e 2 x
∫
0
e
= : ln 1 = + 3 1 2 e 2 + 3 1 + e 2
x ln I dx KQ I
HT 59:
(B – 2010)
∫
2 x ln )
1
e
2
= : = ln − 3 2 1 3 x (2 +
e 2 I x dx KQ I
HT 60:
(D – 2010)
∫
1
π 2
π
3
ln . : = − = 3 x − 2 x 2
I x KQ I
HT 61:
(A – 2009)
2 1) cos
∫
0
3
= (cos − x dx . : 8 = − 15 4
3 + ln I dx KQ I
HT 62:
(B – 2009)
∫
1
3
2
= : = ln 1 4 27 16 + 3 x ( + x 2 1)
I KQ e
HT 63:
(D – 2009)
1
π 6
4
= e : ln( + + − 1) 2 dx ∫ x e + 1
10 I dx KQ
HT 64:
(A – 2008)
∫
0
= : ln(2 + 3) − x tan x cos 2 1 2 9 3
π 4
dx sin 4 I KQ
HT 65:
(B – 2008)
∫
0
2
: = π − x 4 x sin 2(1 x sin 2 x cos ) − 3 2 4 + + +
3 − I dx KQ
HT 66:
(D – 2008)
1
: x ln 3 = ∫ 2 ln 2 16 x
Page 22
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 67:
(A – 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
x e x )
x
x
y x y KQ S e ( = + 1) , = + (1 : 1 ( dvdt )
HT 68:
e . Tính thể tích khối tròn xoay tạo
=
x y ln .
=
0,
=
3
π
e (5
−
2)
KQ V
:
=
dvtt ( )
thành khi H quay quanh Ox
27
e
4
e 5
1
3
I
x
xdx
KQ
e = − 2 y (B – 2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
HT 69:
2 ln
:
(D – 2007)
= ∫
− 32
1
π 2
x sin 2
I
dx
KQ I
HT 70:
=
:
=
(A – 2006)
∫
2
2 3
2 os
x
c
x
+
4 sin
0
ln 5
I
KQ I
HT 71:
=
:
=
ln
(B – 2006)
dx x −
3 2
∫ x e
+
−
e 2
3
ln 3
1
2
5
I
x 2 e dx
KQ
HT 72:
=
2)
:
(D – 2006)
−∫ x (
e 3 − 4
0
π 2
x
x sin 2
+
sin
I
dx
KQ I
HT 73:
=
:
=
(A – 2005)
∫
34 27
x
1
+
3 cos
0
π 2
x
I
dx
KQ I
HT 74:
=
:
=
2 ln 2
−
1
(B – 2005)
∫
x sin 2 cos x + cos 1
0
π 2
π
x
sin
I
xdx
KQ I
e
HT 75:
=
e (
+
x cos ) cos
:
= + −
1
(D – 2005)
∫
4
0
2
x
I
dx
KQ I
HT 76:
=
:
4 ln 2
(A – 2004)
∫
11 = − 3
x
1
+
−
1)
1
e
x
1
+
x 3 ln ln
I
dx
KQ I
HT 77:
=
:
=
(B – 2004)
∫
x
116 135
1
3
2
I
KQ I
HT 78:
=
x ln(
−
x dx )
:
=
3 ln 3
−
2
(D – 2004)
∫
2
2 3
dx
HT 79:
I
KQ
=
:
ln
(A – 2003)
∫
2
1 4
5 3
x x
+
4
5
π 4
2
I
dx
KQ I
HT 80:
:
ln 2
=
=
(B – 2003)
− 1 +∫ 1
x 2 sin x sin 2
1 2
0
2
2
I
x
x dx
KQ I
HT 81:
=
−
:
=
1
(D – 2003)
∫
0
HT 82:
(A – 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Page 23
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2
y
x
y
KQ S
=
x 4 − +
3 ,
x = +
3
:
=
dvdt ( )
109 6
HT 83:
(B – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường
2
2
x
x
y
y
KQ S
=
4
−
,
=
:
=
π 2
+
dvdt ( )
4
4 3
4 2
1
y
HT 84:
(D – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường
với các trục tọa độ.
=
x 3 − − x − 1
KQ S
:
= − + 1
4 ln (
dvdt )
4 3
