Chuyên đề: Phép đếm và nhị thức Newton

Chia sẻ: Sang Sang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với "Chuyên đề: Phép đếm và nhị thức Newton" các bạn sẽ được tìm hiểu một số bài tập minh họa cơ bản về các phép đếm cơ bản; nhị thức Newton. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Phép đếm và nhị thức Newton

Bài tập trọng tâm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP http://dinhtiennguyen.com CHUYÊN ĐỀ: PHÉP ĐẾM VÀ NHỊ THỨC NEWTON Biªn so¹n: ThÇy §inh TiÕn NguyÖn Phần 1: Các phép đếm cơ bản. I. Đếm cách lập các chữ số tự nhiên có điều kiện. Bài 1. Cho các số {0;1;2;4;5;6;7;8;9} . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a. Có 3 chữ số b. Có 3 chữ số khác nhau c. Chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau d. Có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5. e. Có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 4. f. Có 4 chữ số khác nhau nhất thiết phải có chữ số 5. g. Có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 5 và 9. Bài 2. Cho 9 chữ số {1;2;3;4;5;6;7} . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên: a. Có 10 chữ số mà trong đó chữ số 2 xuất hiện 3 lần, số 5 xuất hiện 2 lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần. b. Có 6 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1, 2 luôn đứng cạnh nhau. Bài 3. Cho các chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . a. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và lớn hơn 500000. b. Cũng từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 2009. II. Các bài toán về phân công, lựa chọn và sắp xếp. Bài 4. Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt ( n ³ 2 ). Biết rẳng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thỏa mãn điều kiện trên. Bài 5. Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ. Bài 6. ( ĐH khối B – 2002) Cho đa giác đều A1 A2 A3 ... A2 n ( n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh trong 2n đỉnh A1 , A2 , A3 ,..., A2 n gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , A3 ,..., A2 n . Tìm n.
Bài tập trọng tâm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP http://dinhtiennguyen.com Bài 7.( ĐH khối B- 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Bài 8. ( ĐH khối B -2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ? Bài 9. ( ĐH khối D - 2006) Đội thanh niên xung kích của một trưởng THPT có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? Bài 10. Một lớp có 30 nam và 20 nữ. Cần thành lập một đội văn nghệ 8 người có nam, có nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập. Bài 11. Một lớp có 30 học sinh gồm 18 nữ. Chon ban cán sự lớp gồm 4 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó đời sống và 1 bí thư đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho : a. Lớp trưởng là nam, lớp phó là nữ. b. Lớp trưởng là nữ, bí thư là nam. Bài 12.Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy. Bài 13. Đội tuyển học sinh giỏi có 18 em : 7 học sinh khối 12; 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Có bao nhiêu cách chon 8 em đi dự trại hè sao cho có học sinh của tất cả các khối. Bài 14. Có 9 phong bì và 6 tem khác nhau. Cần chọn ra 3 tem dán vào 3 phong bì. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 15. Một đa giác lồi có 10 đỉnh. Tính số tam giác tạo thành có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng cạnh của tam giác ko là cạnh của đa giác.
Bài tập trọng tâm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP http://dinhtiennguyen.com Phần 2: Nhị thức Newton I. Giải pt, bpt,hpt tổ hợp. CM đẳng thức tổ hợp. Bài 1. Giải các phương trình sau: 5 (n + 1)! n! a. . - = 5.(n - 2) . n + 1 (n - 3)!4! 24.(n - 3)(n - 4)! b. An5 = 30 An4-2 c. An2 + An3 = 4C3k Axy++11 .Px - y d. = 72 Px -1 e. C1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 - 14 x . f. Cn2 Cn3 + 2Cn2 Cn3 + Cn3Cnn -3 = 100 . Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a. An3 + 5 An2 - 21x £ 0 1 2 6 b. A2 x - Ax2 £ C x3 + 10 2 x c. (n - 5)Cn + 2Cn3 £ 2 An3 . 2 4 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: ìï2 Axy + 5Cxy = 90 a. í y . 5 ïî x A - 2 A y x = 80 y +1 y C x +1 C x C xy -1 b. = = . 6 5 2 Bài 4. ( ĐH khối D – 2005) An4+1 + 3 An3 Tính giá trị biểu thức M = biết rằng Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 (n + 1)! Bài 5. ( ĐH khối B – 2008) n +1 æ 1 1 ö 1 Chứng minh rằng ç k + k +1 ÷ = k với n, k là các số nguyên dương, k≤n. n + 2 è Cn +1 Cn +1 ø Cn Bài 6. ( ĐH khối D – 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ..... + 2n Cnn = 243
Bài tập trọng tâm trong thi Đại học www.cuahocduong.vn ĐẠI SỐ TỔ HỢP http://dinhtiennguyen.com Bài 7. ( ĐH khối D – 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C21n + C23n + ..... + C22nn -1 = 243 Bài 8. ( ĐH khối A – 2003) n Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newton của æç 3 + x5 ö÷ , biết rằng 1 x è ø Cnn++41 - Cnn+3 = 7(n + 3) Bài 9. ( ĐH khối D – 2004) 7 æ 1 ö Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của ç 3 x + 4 ÷ è xø với x>0. Bài 10. ( ĐH khối A – 2006) n Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của æç 4 + x 7 ö÷ , 1 èx ø biết rằng C 1 2 n +1 +C 2 2 n +1 + ..... + C n 2 n +1 =2 20 -1 Bài 11. ( ĐH khối B – 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2 + x)n , biết rằng 3n Cn0 - 3n -1 Cn1 + 3n - 2 Cn2 - 3n -3 Cn3 + ..... + (-1)n Cnn = 2048 Bài 12. ( ĐH khối A – 2008) Cho khai triển (1 + 2 x)n = a0 + a1 x + ..... + an x n trong đó n Î N * và các hệ số a0 , a1 ,..., an a1 a thỏa mãn hệ thức a0 + + ..... + nn = 4096 . Tìm hệ số lớn nhất trong các số 2 2 a0 , a1 ,..., an . Bài 13. Chứng minh rằng : a. C50 Cnk + C51Cnk -1 + ....... + C55Cnk -5 = Cnk+ 5 . (C ) + (C ) 0 2 1 2 + ...... + ( Cnn ) = C2nn . 2 b. n n 40 æ1 2 ö Bài 14. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của : ç + x ÷ è3 3 ø “Đừng xấu hổ khi không biết mà hãy xấu hổ khi không học”