Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT
Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
⬥
Phương trình logarit cơ bản:
log x
axb a b
với
01a
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho tồn tại số thực
y
thỏa
mãn
22
34
log logxy x y
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D. Vô số.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán liên quan đến giải phương trình logarit.
…………………………………………………………………………………………………….
2. HƯỚNG GIẢI:
B1:Đặt
22
34
log logxy x y t
. Điều kiện:
0
xy
.
B2:Tính tổng
Sxy
và tích
P xy
. Để tồn tại cả
,xy
thì
2
4
SP
, suy ra điều kiện
t
.
B3: Với điều kiện đó, tìm những giá trị
x
nguyên thỏa mãn.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Đặt
22
34
log logxy x y t
. Điều kiện:
0
xy
.
Suy ra
2
22
3
3
394
424 2
t
t
t
tt
tt
xy
xy
xy
xy x y xy xy
nên
3
t
S
và
94
2
tt
P
.
Để tồn tại
,xy
thì
2
2
44S P x y xy
nên
94 9
9 4 9 2.4 2
24
t
tt
t tt
.
Khi đó
9
4
log 2t
.
Ta có:
9
4
log 2
22 22
49
4
log log 2 4 3,27xy t xy
.
DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 1
Website: tailieumontoan.com
Mặt khác
x
là số nguyên nên
1; 0, 1
x xx
.
Thử lại:
Với
1x= −
ta có
22
2
31 0 5
2
14 1
t
t
yt
xy
y
y
=+≥
⇒ ⇒+≥
≥
+= ≥
. Suy ra loại
1x= −
.
Với
0x=
ta có
2
30
1
4
t
t
yt
y
y
= =
⇒
=
=
. Suy ra nhận
0x=
.
Với
1x=
ta có
2
31 0
2
41
t
t
yt
y
y
=−=
⇒
=
= −
. Suy ra nhận
1x=
.
Vậy có hai giá trị nguyên của
x
thỏa yêu cầu bài toán là
0x=
và
1x=
.
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 1. Cho
a
,
b
là hai số thực dương thỏa mãn
5
425
log 3 4
ab ab
ab
++
=+−
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22
Ta b= +
.
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
2
. D.
5
2
.
Lời giải
Chọn D
( ) ( )
5 55
425
log 3 4 log 4 2 5 log 3 4
ab ab ab abab
ab
++
=+−⇔ ++= +++−
+
( ) ( ) ( ) ( )
55
log 4 2 5 4 2 5 log 5 5a b a b ab ab⇔ +++ ++= + + +
(*).
Xét hàm
( )
5
log , 0
f x x xx= +>
.
Đạo hàm
()
11 0, 0
.ln5
fx x
x
′= +> ∀>
. Suy ra hàm số
( )
fx
đồng biến trên
( )
0;+∞
.
Phương trình (*) viết lại:
( ) ( )
( )
( )
425 5 4255 35f a b f ab a b ab a b++= + ⇔++= +⇔+=
.
Mặt khác:
()
( ) ( )
2
2 22 22 22
5
5 3 1 3. 2
ab ab Tab= + ≤ + + ⇒= + ≥
.
Dấu
""=
xảy ra
13
ab
⇔=⇒
13
;
22
ab= =
.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 2
Website: tailieumontoan.com
Câu 2. Cho
;xy
là các số thực dương thỏa mãn
321
log 2
xy xy
xy
++= +
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
12
Txy
= +
A.
33+
B.
4
C.
3 23+
D.
6
Lời giải
Chọn B
Ta có
321
log 2
xy xy
xy
++= +
+
() ( )
33
log 2 1 log 2xy xy x y⇔ ++− + =+
( ) ( )
33
log 2 1 log 3 3 2 1xy x y x y⇔ ++ = + ++ −
( ) ( )
33
log 2 1 2 1 log 3 3 3 3xy xy x y x y⇔ +++ ++= + + +
(*)
Xét hàm số
( )
3
logft t t= +
với
0t>
.
Khi đó
( )
11 0, 0
ln3
ft t
t
′= + > ∀>
, suy ra hàm số
( )
ft
liên tục và đồng biến trên
( )
0;+∞
.
Do đó
( )
* 2 13 3 2 1 12xy x y x y x y⇔ + += + ⇔ + =⇔ =−
.
Vì
1
, 00 2
xy y>⇒<<
.
Xét
1212111
12 12
Txyy
yyyy
=+= += ++
−−
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
( ) ()
3
33
12
3. 3. 3. 8 6
12 2 12
Tyy yy
≥ = ≥=
−−
.
Dấu
""=
xảy ra
1
12 2
12 1
2 12 4
xyx
yy y
yy
= −
=
⇔− = ⇔
=
= −
.
Câu 3 . Cho các số thực
,,xyz
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
16 222
log 2 2 2 .
22 21
xyz xx yy zz
xyz
++ = −+ −+ −
+++
Tổng
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
xyz
Fxyz
+−
=++
bằng
A.
2.
3
−
B.
1.
3
C.
2.
3
D.
1.
3
−
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
0xyx++>
.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 3
Website: tailieumontoan.com
Ta có:
( ) ( ) ( )
16 222
log 2 2 2
22 21
xyz xx yy zz
xyz
++ = −+ −+ −
+++
.
( ) ( ) ( )
222 222
16 16
2log 4 4 2log 2 2 2 1 2 2 2 1 1xyz xyz x y z x y z
⇔ ++ + ++ = + + + + + + +
.
Xét hàm số
( )
16
2logft t t= +
trên
( )
0;+∞
. Có:
( ) ( )
21 0; 0;
ln16
ft t
t
′= + > ∀ ∈ +∞
⋅
.
Vậy hàm số
( )
16
2logft t t= +
đồng biến trên
( )
0;+∞
.
Từ đó suy ra:
( ) ( )
2 2 2 222
1
2 2 2 14 : 2 2 2 0
2
x y z xyz Sx y z x y z
+ + += + + ⇔ + + − − − + =
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
:1 1 10
xyz
F Fx y z x y z P F x F y F z
xyz
−−
= ⇔ ++=−−⇔ − ++ ++ =
++
.
Mặt phẳng
( )
P
và mặt cầu
( )
S
có điểm chung nên:
( ) ( ) ( )
2
222
31 5
( ;( )) 3 2 13 0
2
111
F
dI P R F F
FFF
+
≤⇔ ≤ ⇔ + −≤
−++++
.
1 2 10 1 2 10 2
min max
33 3
F FF
−− −+
⇔ ≤≤ ⇒ + =−
.
Câu 4. Có tất cả bao giá trị nguyên của tham số
a
thuộc khoảng
( )
1999;2050
để
2017 2017 2017
11
22
22
a
aa
+ ≤+
.
A.
29
B.
33
. C.
34
D.
32
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2017 2017 2017
11
22
22
a
aa
+ ≤+
( ) ( )
2017 2017
2017ln 2 2 ln 2 2
aa
a
−−
⇔ +≤ +
( ) ( )
2017 2017
ln 2 2 ln 2 2
2017
aa
a
−−
++
⇔≤
.
Xét hàm số
( )
( )
ln 2 2
xx
fx x
−
+
=
. Tập xác định
{ }
\0D=
.
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 ln 2 2 2 ln 2 2
22
xx xx xx
xx
fx x
− −−
−
− −+ +
′=+
.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 4
