Chuyên đề Phương trình và bất phương trình: Lý thuyết sử dụng ẩn phụ căn thức (phần 4)

TTÀÀII LLIIỆỆUU TTHHAAMM KKHHẢẢOO TTOOÁÁNN HHỌỌCC PPHHỔỔ TTHHÔÔNNGG ____________________________________________________________________________________________________________________________

xyz

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CCHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH VVÀÀ BBẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) TTRRUUNNGG ĐĐOOÀÀNN ĐĐẶẶNNGG TTIIẾẾNN ĐĐÔÔNNGG –– QQUUÂÂNN ĐĐOOÀÀNN BBỘỘ BBIINNHH

CCHHỦỦ ĐĐẠẠOO:: SSỬỬ DDỤỤNNGG HHAAII ẨẨNN PPHHỤỤ ĐĐƯƯAA VVỀỀ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH ĐĐỒỒNNGG BBẬẬCC –– ĐĐẲẲNNGG CCẤẤPP

 ĐĐẶẶTT HHAAII ẨẨNN PPHHỤỤ –– PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH ĐĐỒỒNNGG BBẬẬCC BBẬẬCC HHAAII..  ĐĐẶẶTT HHAAII ẨẨNN PPHHỤỤ –– PPHHÂÂNN TTÍÍCCHH NNHHÂÂNN TTỬỬ..  BBÀÀII TTOOÁÁNN NNHHIIỀỀUU CCÁÁCCHH GGIIẢẢII..

CCRREEAATTEEDD BBYY GGIIAANNGG SSƠƠNN ((FFAACCEEBBOOOOKK));; GGAACCMMAA11443311998888@@GGMMAAIILL..CCOOMM ((GGMMAAIILL)) TTHHỦỦ ĐĐÔÔ HHÀÀ NNỘỘII –– MMÙÙAA TTHHUU 22001133

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

““NNoonn ssôônngg VViiệệtt NNaamm ccóó ttrrởở nnêênn ttưươơii đđẹẹpp hhaayy kkhhôônngg,, ddâânn ttộộcc VViiệệtt NNaamm ccóó bbưướớcc ttớớii đđààii vviinnhh qquuaanngg đđểể ssáánnhh vvaaii vvớớii ccáácc ccưườờnngg qquuốốcc nnăămm cchhââuu đđưượợcc hhaayy kkhhôônngg,, cchhíínnhh llàà nnhhờờ mmộộtt pphhầầnn llớớnn ởở ccôônngg hhọọcc ttậậpp ccủủaa ccáácc eemm””

((TTrríícchh tthhưư CChhủủ ttịịcchh HHồồ CChhíí MMiinnhh))..

““……TTiiếếnngg ggiiààyy ggõõ vvaanngg llêênn mmộộtt ââmm đđiiệệuu đđềềuu đđặặnn,, rrấấtt kkhhóó nnhhậậnn rraa ttrroonngg ttiiếếnngg xxee ccộộ ồồnn ààoo vvàà ddòònngg tthháácc ââmm tthhaannhh ccủủaa tthhàànnhh pphhốố.. NNhhưưnngg ởở ggiiữữaa hhaaii bbưướớcc đđii vvộộii vvãã,, nnggưườờii ttaa vvẫẫnn ccóó tthhểể nngghhee tthhấấyy nnóó.. CCũũnngg ggiiốốnngg nnhhưư vvààoo mmộộtt ggiiââyy pphhúútt íítt nnggờờ nnhhấấtt,, nnggưườờii ttaa ssẽẽ nnhhậậnn rraa nnhhữữnngg hhồồii ââmm xxaa tthhẳẳmm ccủủaa ccuuộộcc đđờờii,, ccủủaa kkhhooảảnngg tthhờờii ggiiaann ttrrùùnngg đđiiệệpp ởở pphhííaa ssaauu llưưnngg mmỗỗii nnggưườờii..””

((CChhàànngg ttrraaii ttrrêênn ssâânn tthhưượợnngg –– DDưươơnngg TThhuu HHưươơnngg))..

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 3 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CCHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH VVÀÀ BBẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) TTRRUUNNGG ĐĐOOÀÀNN ĐĐẶẶNNGG TTIIẾẾNN ĐĐÔÔNNGG –– QQUUÂÂNN ĐĐOOÀÀNN BBỘỘ BBIINNHH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể là chương trình Đại số, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường thấy trong các kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán các cấp và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức hết sức phong phú, đa dạng. Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến mức khó thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng vẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT. Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ thì phương trình chứa căn (còn gọi là phương trình vô tỷ) đang được đông đảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc. Chương trình Toán Đại số lớp 9 THCS bước đầu giới thiệu các phép toán với căn thức, kể từ đó căn thức xuất hiện hầu hết trong các vấn đề đại số, hình học, lượng giác và xuyên suốt chương trình Toán THPT. Sự đa dạng về hình thức của lớp bài toán căn thức đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống. Về cơ bản để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vô tỷ chúng ta ưu tiên khử hoặc giảm các căn thức phức tạp của bài toán. Phép sử dụng ẩn phụ là một trong những phương pháp cơ bản nhằm mục đích đó, ngoài ra bài toán còn trở nên gọn gàng, sáng sủa và giúp chúng ta định hình hướng đi một cách ổn định nhất. Đôi khi đây cũng là phương pháp tối ưu cho nhiều bài toán cồng kềnh. Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ căn thức (các phần 1 đến 3), kết thúc ý tưởng sử dụng một căn thức duy nhất, tác giả xin trình bày tới quý độc giả lý thuyết sử dụng ẩn phụ căn thức (phần 4), chủ yếu xoay quanh một lớp các bài toán chứa căn thức được giải thông ý tưởng sử dụng hai ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc – đẳng cấp bậc hai cơ bản kết hợp phân tích nhân tử – phương trình tích. Kỹ năng này đồng hành cùng việc giải hệ phương trình hữu tỷ đồng bậc – đẳng cấp, hệ phương trình chứa căn quy về đẳng cấp, ngày một nâng cao kỹ năng giải phương trình – hệ phương trình cho các bạn học sinh. Mức độ các bài toán đã nâng cao một chút, do đó độ khó đã tăng dần so với các phần 1 đến 3, đồng nghĩa đòi hỏi sự tư duy logic, nhạy bén kết hợp với vốn kiến thức nhất định của độc giả. Tài liệu nhỏ phù hợp với các bạn học sinh lớp 9 THCS ôn thi vào lớp 10 THPT đại trà, lớp 10 hệ THPT Chuyên, các bạn chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinh giỏi Toán các cấp và dự thi kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán trên toàn quốc, cao hơn là tài liệu tham khảo dành cho các thầy cô giáo và các bạn trẻ yêu Toán khác. II.. KKIIẾẾNN TTHHỨỨCC –– KKỸỸ NNĂĂNNGG CCHHUUẨẨNN BBỊỊ 1. Nắm vững các phép biến đổi đại số cơ bản (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số và căn thức).

2. Kỹ năng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích hằng đẳng thức, thêm bớt. 3. Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai. 4. Nắm vững kiến thức về đa thức đồng bậc, các thao tác cơ bản với phương trình một ẩn phụ. 5. Bước đầu thực hành giải và biện luận các bài toán phương trình bậc hai, bậc cao với tham số. 6. Sử dụng thành thạo các ký hiệu logic trong phạm vi toán phổ thông.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

2 6 

   .



3 4    2 1 x x x x x

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 4 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ IIII.. MMỘỘTT SSỐỐ BBÀÀII TTOOÁÁNN ĐĐIIỂỂNN HHÌÌNNHH VVÀÀ KKIINNHH NNGGHHIIỆỆMM TTHHAAOO TTÁÁCC BBààii ttooáánn 11.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

1 x  . 2

2



6

x



3

0,

x

Điều kiện

   . Phương trình đã cho tương đương với

 x x



3

4

2

4

3

2

2

1 2 x 12

x



30

x





36

x

 

9 16

x

2

x

  

x

20

x



46

x



36

x

 

9 0



 1

2

2

2

2

x











9

x



0





 1

 x x

 1



2

2

18



9

x

x



0

    x

x    x



18  S  Đối chiếu điều kiện thu được nghiệm

 1  9 6 2;1;9 6 2 

Nhận xét

 1   9 6 2;1;9 6 2



. 

Lời giải 2.

x  . Phương trình đã cho tương đương với

1 2

2

4



2

 x x

2

4



2

x



1



3

x



6

x

  3



3

x





 1

 x x



 1 

1

2

x

1

 x  x

2

x

3 2

x

  1

x

0

  

  1



x



3 2

x



1

  

   

0

 



x

Điều kiện

    9 6 2;9 6 2



18

x

 

9 0

 x  2  x 

. Đối chiếu điều kiện ta thu được ba nghiệm. Ta có  

Lời giải 3.

1 x  . 2

Điều kiện

2 4 

2

2

Phương trình đã cho tương đương với x x 2 x   x 0

x



4

xy



3

y

  

0



y

  

0

x

y

x



3

y

 0



3

y













   . 1   y x

Đặt 2 x   1 y y  0 thu được

2 1

 1 3 2  x x  x     

0



x

x



3

y

  

0

x

3 2

x

  1

0 0    x 1 .  x     0 y x 2 x   1 x  2 x   1 0  x  0  x  2 

    9 6 2;9 6 2



18

x

 

9 0

 x  2  x 



x  , kết luận tập nghiệm

 9 6 2;1;9 6 2



1 2

  . Đối chiếu với điều kiện S 

Lời giải 4.

x  . Phương trình đã cho tương đương với

1 2

2

Điều kiện

2

 1 4 2

   1

   





2     

0

  x 3 2 x  1 x  4 x 2 x   x 2 x 1 x 2 2 x  1  2 x 1 x  2 x  1

x



3 2

x

  1



x

    9 6 2;9 6 2



18

x

 

9 0

 x  2  x 

 Với .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 5 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 1

0 0  Với x  2 x   1    x 1 .  2 x   1 0 x x   x     

x  , kết luận tập nghiệm



Đối chiếu với điều kiện S    .  0  9 6 2;1;9 6 2  x  2  1 2

Nhận xét.

2

2

 Lời giải 1 và 4 sử dụng phép biến đổi tương đương thuần túy, trong đó lời giải 1 nâng lũy thừa trực tiếp có kèm theo điều kiện hai vế không âm thông qua nhận xét dựa trên điều kiện. Lời giải 4 thêm bớt hạng tử đưa về hiệu hai bình phương cũng cho kết quả nhanh chóng.  Lời giải 2 dựa trên phép nhẩm nghiệm, sử dụng đẳng thức liên hợp đưa phương trình đã cho về dạng tích, tác giả đã trình bày tại Lý thuyết sử dụng đại lượng liên hợp – trục căn thức – hệ tạm thời.

 Lời giải 3 là hướng trọng tâm của tài liệu, mặc dù chỉ sử dụng một ẩn phụ y nhưng thực tế đưa phương dễ dàng phân xy   4 3 y x





x

y

x

3 y

2

2

. trình đã cho về phương trình hai ẩn x và y. Các bạn có thể thấy đa thức hai ẩn  tích thành hai nhân tử, cụ thể là 

2

2

x  4 xy  3 y  . Ngoài cách giải trên, 0

y

0

x

 Sở dĩ như vậy vì đây là dạng phương trình hai ẩn đồng bậc hai các bạn có thể tham khảo thêm cách trình bày cùng bản chất sau  . 0 Biến đổi về..... xy  4 3 y x

   , không nghiệm đúng phương trình ban đầu.

2

2

2

0

Xét  1 2

y  thì ta có

Xét trường hợp x  4 xy  3 y   0  4   3 0 x y x y         

2



 1



2

3

x

4

x



4

x

4

x



3

x

1 x  2 x  1 Đặt  ta có t t  t 4     3 0 t t  3   0 3 x y x  3 2 x  1 t     t        



   .



   1

BBààii ttooáánn 22.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải 1.

x  . Phương trình đã cho tương đương với

23 x

3 4

Điều kiện  4 x   3 4 x 4 x  . 3

2

2











0

x

  

x

y

4

x

  3

  x

y Đặt 4 x   3 y y  0 thu được 3 x  4 xy  y    0 x y 3 x  y  x  3 x y    0 

  1;3

4

x

 

3 0

 x  2  x 

0

3

3

x

  

3

y

x

4

x

 .



4

x

 

3 0

 x    2 9 x 

S 

 (Hệ vô nghiệm).

x  ta thu được tập nghiệm

1;3 

3 4

So sánh điều kiện .

Lời giải 2.

x  . Phương trình đã cho tương đương với

3 4

Điều kiện

2

2

2



2

2    

  x 4 x  3 3 x  4 x   3 4 x 4 x    3 4 x 4 x 4 x   3 4 x     2 3 x x 4 x  3 x 3 x  4 x  3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 6 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

0

x



4

x

  3

  x

  1;3

4

x

 

3 0

0

 .

3

3

x



4

x



4

x

 

3 0

 x  2  x   x    2 9 x 

 (Hệ vô nghiệm).

S 

1;3 

So sánh điều kiện ta thu được tập nghiệm .

2

3

x

x



4

x



3

x

0

Lời giải 3.

x  . Nhận xét

 . Phương trình đã cho tương đương với





3 4

3

2

2

4

4

3

2

3   4  2

x

x

x

4

9

x



24

x



24

x

 

9 16

  

9

3

x

40

x



46

x



24

x

 

9 0



2

x

x



x



4

x



3

0

  

 1

 3 9



1 3

  x     x .

Điều kiện

S 

1;3 

Kết hợp điều kiện thu được hai nghiệm,

Lời giải 4.

x  . Phương trình đã cho tương đương với

3 4

2

4



4

x



3



2

2

2



4

x

  3



x



4

x

3

x

4

x



3

4

x

 

3 3

x



0

4

x

x

4

3







Điều kiện

   





 x x

 x x x



4

x



3

.

2

1  x  4 x 3

3

x



4

3

x



4

x

 

3 0

 x       3 0 x  x 0    2 9 x 

 (Hệ vô nghiệm).

S 

1;3 

22 x

Đối chiếu điều kiện ta thu được tập nghiệm .



   .

 3 x   2 x 3 x  2 x

BBààii ttooáánn 33.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.





2 x  . Đặt 3

2

2

2

x



t

  xt

2

    x t

2

0

x t

  (*). 0

 x x t

  

 t x t







x



;

t

x t

2

0

Điều kiện 3 x   2 t t  0 , ta thu được

     

x t

0

x

3

x

  2

   1

x

2

    . Do đó   0

2 3

2

x

2 3  3

x

 

2 0

   x   

Ta có .

S 

1; 2 

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm .

Lời giải 2.

x  . Bất phương trình đã cho tương đương với

2 3

2

2

2

8

x



12

x

x

3

x

  

x



4

x

 

x

2

 2 4 3



2

2

Điều kiện





  8 4 

x 9    

x 3 

 

 3 x  x  2 3 x 2 2 x 3 x  2 x  3 x  2  0

2  x 2

 2   x 3 x    0 2    1 x 2  3 x   2 0 x 3   

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 7 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

S 

1; 2 

.

Lời giải 3.

2

x



3

x



2

x

0

2

x

Điều kiện

 . Bất phương trình đã cho tương đương với





2 x  . 3 2   3

2

4

2

2

4

x



3

x



2



4

x

3

x



2



x

3

x



2











2

4

2

5

x



2



3

x





0

 







2

2

3

x



x



3

x



2



0

  1

  4 x    x

x 3  2 4

2 

2

2

2

x

4



2 4

 

  

0,





3

x

x

x

Nhận xét

  x

3

x

     . 1

2 0

2

x

 nên   1

23 16

3 8

  

   Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

Ta có

S 

1; 2 

.

Lời giải 4.

x  . Bất phương trình đã cho tương đương với

2 3

2



3

x



2



2

2



3

x



2



x



3

x

   2 0



x



3

x

 

2 0

 x x



 x x x



3

x



2

2

x



3

x



x



3

x



2









0

  2

 2 2 3



x

x



2

2

x

  

2

x

3

x

  2

0;

x



3

x

0

2

Điều kiện

  x

3

x

     . 1

2 0

2

x

  . Do đó   2

2 3

Nhận xét

S 

1; 2 

24 x

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm .



   .

1

x   .

24 x

 3 x   3 8 x x  1 x

2

2

 8 x x x 0

xy



8

4

x



3

y

  0

2

2

x

 x



3

y



2

x



3

y

2

0

x

y

2

x



3

y

 0

 y y

   . 1   y



   





0

2

x

  y

0

2

x



x



1

thu được   1 Đặt  0 x BBààii ttooáánn 44.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với  1 3   





  

1 0

x

x

4

2

x



3

y



0

2

x



3

x



1

  

2

    



9

x

 

9 0

x

4

0

2

x

  y

0

2

x



x



1

1



17

 (Hệ vô nghiệm).





    1 0

x

  x

3

4

x

2

x



3

y



0

8

2

x



3

x



1

  

2

    



9

x

 

9 0

4

x

 x  2     x  2   

1



17

 .

S

;3

8

   

  

1

x   .

Kết luận tập nghiệm .

Lời giải 2. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 8 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

24 x



 1







   



 1 2



 8 x x   1 4 x      1 2 x x 2 x  1  x 2 1 x 3 x  x  x  1  0

0

2

x



x



1

Xét hai trường hợp



  

1 0

x

x

4

2

x



3

x



1

2

    

x

4



9

x

 

9 0

0

2

x



x



1

1



17

 (Hệ vô nghiệm).



    1 0

x

  x

3

4

x

8

2

x



3

x



1

2

    

4

x



9

x

 

9 0



1

17

 .

;3

S

8

 x  2     x  2       

  

. Kết luận tập nghiệm

x   . 1 24 x x

Lời giải 3. Điều kiện Nhận xét rằng  3 x      . Bất phương trình đã cho tương đương với 3 0, x

2

2

4

2

2

4

2



 1



   1



   1



 1

 1 0

 0  0 x  x  9 x   24 x x 64 x x  40 x x 9 x   0 x     16      16  

2

2

 1 4



  x   3        4    1  

1



17

1  17 0 1  17 x      x 3 8 4 x   x x  9 x  9  0 8  x      17   x 3 8

S

;3

8

  

x

2

  

x

x

. So sánh điều kiện, kết luận tập nghiệm cần tìm



   .

     4 2 x x

2

x  .

2

BBààii ttooáánn 55.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh







  

 x

0

  x

2

  

x

2

  

0

x

   1

x

2

x  2  x x  2 2  x   x  2 x x  x Lời giải. Điều kiện 0 Bất phương trình đã cho tương đương với  2 2   0  0 x Xét hai trường hợp

2

x

2 0

  

0

  

x

2 2

  

0

x

2 2

   

x

x

  

2 2 3

  x

0

 0     2 x x 2 2 0 x .   . Khi đó  

x

 

8 0

4

x     x  2  x 

 x    0 x 2 x .   ;   0

 1; 2





2

2

3

x



2

x

 

7 3

x



x



3

x



 1



   .

Kết luận nghiệm S 2 2 3; 0  .    

BBààii ttooáánn 66.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 9 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

 1



 1





2

x

  1

a ;

x

  3

b

b



0

x   3 x  x   3 2 x  3  . 0 Phương trình đã cho tương đương với 





2

2

Đặt . Phương trình trên trở thành

 a a b



 b a b 2



 a b a





x

 

1

2

a b

    x

1

x

  3

  x

1

a  ab 3  b 2    0      0  b 2 b 2 a b      0 a

2

2

x



2

x

  1

x



3

  

x

 

1

 

1

x

2

a

   

1 2

b 2

x

x

  3



 .

2

2

2

x

2



x



12

x



2

x



 11 0

  

  3 

1 4   1x  .

2

2

2

  3







3

3

x

x

x

4

x

  

4

3

x

1

x

  1

x



3



4

x



 (Hệ vô nghiệm).

x Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Lời giải 2. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với 

 1

 1







 1





1

 x

6

x



x



2





4

x

  

x

1 2

x

3

0

x



 1



2

2



x

 

1 2

x



3

x

   1

 1 x



 1 3

       1 

  1

x

x

  1

2



x

 

1 2

x

  3

2

2

2



2

x



 11 0

x

x

x

2





 

1 4

  

  3 x  1x  .

2

2

2

2

2

2

 28 12

12







8

x

x

x

x

  3

4

x



2

x

12

x



x

 

3 9

x



3



x



3

(Hệ vô nghiệm). Với

12 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Lời giải 3. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với  1





 1



   1





2

2

1 2

x



3

2

2

   x 2

2 3

x



3



2  

3

x









2

x



3

x

  1

2



x

 

1 2

x

  3

2

2

2



x

x



2

x

 

1 4

x



12

2

x



 11 0

   x     x 1    x 1   3 

 

1

   x

2

 (Hệ vô nghiệm).

x

  1

x

  3

  x

1

2

2

x

  1





2

x

x

  

1x  .

 .

3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Lời giải 4. Điều kiện x   .

2

2

x





3

x



2

x

  7

2

x

6 0,

x

     . Phương trình đã cho tương đương với

2 1

   1 0

x

2

4

3

2

2

x



12

x



46

x



28

x



 49 9

x



x



3



  1



  9 

Nhận xét

  1

x





  x

1

2

3

2



x

x



2

x





0

x



5

x



13

x



 11 0

  1  1 3

 11

  3 

x     

.

1x  .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 10 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

7

x

  

1 7

x

  x

2

x



   .

2 x

x  . 0

BBààii ttooáánn 77.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

2

2

2

x

  

2 7

x x

      x

2 7

2

x

x

x x

  

2 6

x

x

 (1).

0

2

x

  

2

x

t

t



0

Lời giải 1. Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với 2

7 

2

2

x  t

Đặt

 t t

 x t





 x t



x x 0 6 7    xt    6  x    0 t  6 x  0

2

2

0

2

2

281

x    2 x x x x    2 x 1  281    x 70 x 0    6 2 x x x      2 x    2 36 x x

S

70

    

. Kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm , phương trình (1) trở thành    x  2        1     

x  . Phương trình đã cho tương đương với

0

2

2

2

2

7

x

x

2 7

   2

x

28

x



4

x

 

8 28

x x

  x

2

2

2

2

2

2

2

2



4

  x

x



2

28

x x

  

2 49

x

x



25

x



x

  

2 7

x

x

2



5

x





   

x x 





0

2

2

  

2

x

x

x

x

  

2

x

x

1



281



  x

Lời giải 2. Điều kiện

2

70

0



x

x

  

2

x

6

x

   

2

2

x

  

2 36

x

x

  x  2      

281

.

S

70

 1     

    

. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất, hay

x  . 0

2

2

7

x

  

2 7

x

x x

  (*).

2

x

2 0

27 x

x

x

Lời giải 3. Điều kiện

      nên

0

4

3

2

2

2



14

x



29

x



4

x

 

4 49

x

x

  x

2





 x      49 x 

0

0

1



281



  x



2

3

2

x

  x

2



0

x



70

x



69

x



4

x

 

4 0



 x  35 

 x    

281

Phương trình đã cho tương đương với Nhận xét

S

70

 1     

 2 35     

x  . 0

. Kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm

Lời giải 4. Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 11 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2





x 2 x 2 7 x   7 x x    2 x 7 x    2 x x   x

2

2

     2

2

281

 x   2 x x   2 x   2 7 x 2  x 2  0 x      1  281  x x    2 x 6 x x x x    x    2 0 x 70     x         35 

S

70

 1     

    

2

Thử lại nghiệm, kết luận .

2



  .

6 x  8  5 2 x  3 x  BBààii ttooáánn 88.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  x 4 x  1

1

x   . Phương trình đã cho tương đương với 2

2

Lời giải. Điều kiện

2

2

2

2 x  3 x x 6 4   8 5 

 1 

 1



2

2

2

 2 x 5  2 x x  2 x  3  0

 x    1 

 1

 1

   3 2 2  3 2 2

2

x

  1

u

; 2

x

  3



0

x 5 x    x 3 2 x    0      2 x 

 v v



Đặt thu được

2

2







 

1

x

 

1

v 2 u 2  uv 5  v 2    u 0 v 2  u v 2 u 2  u     0 v

u

  2 v



2

2

2

x



2

x

 

1 8

x



12

7

x



2

x



 11 0

  

 (Hệ vô nghiệm).

2

2

2



 1

14

x



x   1 x   1 14    u 2 v    x . 2 x   3 4 x  2 x    4 2 2 x  8 x   1 0    Xét các trường hợp x       

  4 2

Đối chiếu điều kiện kết luận phương trình đề bài có duy nhất nghiệm .

2 5 

 3 4 2





   .

x x 2 x   x  3  0 x

BBààii ttooáánn 99.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

3 x  . 2 y

Điều kiện





Đặt 2 x   3 y  0 thì phương trình đã cho trở thành

2

2







y x  5 xy  4 y    0 x y x  4 y 4 y x      0 x

2 1

0

0 0  x    y x 2 x   3  (Vô nghiệm). x  2 x   3 0 x    2  x  2   x     

x

  

4

x

y

4 2

x

  3

  x





 16 4 13;16 4 13



32



x

 x  2  x 

 48 0 Đối chiếu điều kiện ta thu được hai nghiệm kể trên.

 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 12 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

5

x



2

x

 

2 5

x x

  x

1

x



   .

2

2

2

BBààii ttooáánn 1100.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện x   .



    . 1

2

x

  

1

x

0

y

Bất phương trình đã cho tương đương với 3 x  5 x x    1 2 x x 0 x

   . Thu được y

 y y



2

2

2

2

2 3 xy 5

3

x





2

y

  

3

0

x

3

xy



2

xy



2

y



0



3



y



2



y

3

0

x

2

y

x



y

0

x

y

y

 x x



 y x



   





2     3

y



0;

y

0

y

x

x

Đặt

    . Xét hai trường hợp

2 3

2

2

2

Nhận xét

    1

 

0

x x x 4 9 x  4 x   4 0  o    x . y 2 3   x 2 2 6 5 x  0 x 0  5  

  y

x

  x

0

2

  x

1

x

x  . 0

o .

     x  2  x  Kết hợp hai trường hợp ta có nghiệm Nhận xét.

2

2

 Các bài toán từ 2 đến 10 đều được giải bằng khá nhiều phương pháp, bao gồm biến đổi tương đương (nâng lũy thừa trực tiếp, thêm bớt đưa về hiệu hai bình phương), sử dụng đẳng thức liên hợp và trọng tâm là đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

 Điểm đặc biệt trong các bài toán trên, khi đặt ẩn phụ hoàn toàn (hoặc không hoàn toàn) đều đưa về các  , thao tác bxy ax cy  0

phương trình (hoặc bất phương trình) bậc hai có tính chất đồng bậc bậc hai  phân tích nhân tử trở nên đơn giản. Các bạn có thể lựa chọn một trong các phương án sau



0

y  (hoặc

x  ) có là nghiệm của phương trình ban đầu hay không.

2

0

0

mx  ny  mx ny  px qy  Tính nghiệm, đưa trực tiếp về nhân tử  px  qy   0    

0 y  (tương ứng

x  ), chia hai vế cho

2

2

 Xét trường hợp Xét trường hợp y  thu được 0

c



b

  a

0

y x

y x

  

  

  

  

2

2

t

at



bt

0

c

ct



bt a

0

a  b   c 0 (tương ứng ). x y x y         

 ) quy về phương trình cơ bản

  (

  ).

ky

Đặt  (tương ứng t    y x x y

0

2

2

2

2

2

2 ak y



bky



cy

  0



bk



c

 y ak



 y 2 ak

  c

bk



   0 

0 Suy ra hai trường hợp Giải phương trình bậc hai ẩn k sẽ thu được tỷ lệ giữa x và y. Lưu ý do vai trò của x và y bình đẳng nên các bạn có thể chia cho x hoặc y mà không ảnh hưởng tới kết quả của bài toán. Nếu bài toán là bất phương trình thì trước khi chia cần xét dấu của y (tương ứng x). Tùy theo từng trường hợp có thể chọn phép chia hợp lý và tiết kiệm nhất, sử dụng các đánh giá thông thường đảm bảo cho lời giải được gọn gàng (điển hình bài toán 10).

Quan sát thấy tính chất đồng bậc, đặt trực tiếp x đưa về

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 13 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.. GGiiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc  . 3

2



4

x

 

2 5

x

1

x

  .

  9 7 1. 12  4 x x x

24 x 2 x

2

2

2.

x 4 5 4

 x 10   x

4  x   x x 5 4  2    x x 4 6 2 4

 . 2   x

2

2

7

x



4

x



x



2

x

3. 4. 4  x

 . 1

2

5.



10 7   2 1

 

2

2

6

x



6

x

 

5 5

2

x



2

x

x



6. x 1   x  x  x

 . 1

2

7.

  1   3 2007

8. x 4 x  . 3

2

2

2

6

x

  x

21



x



3

x

6

x

4 x  5 9.  3 x  1 . 2008  x 2 4  x x 2  x 2

  .





2012

x

2011 5

x

10.

  . 4 5

4   x 

11.

 42 2 x . 

2 11  x x 24  x 12

x 1 12. 13. x 27   x 42   . 1

24 x x 3

x 1 x

2

x x 8   . 1 x

2

6

x

  

3

6

x



3

x

14. 15.  16. x 11 x    . x    1   x 2 x  2 x .   1 5  1 3     7 3 1 x 

 . 2

3

x

  

4

7

x

17.

 . 1

2 x 4 x

2

2

18.

x

  . 5 0

4 2

x

   47

x 5 23 x

19.

 7 5  x . 20.

x

6

2

x



4

x

x

x x  5   x 22 3 x  2 3   x   2   x 5 6 



7

2

x

   . 4

3  . x 2   x x 2 . 21. 22.

 1

 1



22 x  x 2 

2

2

23.

5

x



x

x

1

1

24.

3

x





8 3





x

x x 3 x

5  5 1  

    .   

2

2

25. .

9

x



8

x

 

9 9

x



2

x

 . 1



 1

2

2

26.

 12 5

x



2

3

x

  x

5

x



20

x



2

3

x

  

2 3

x



4

x

27. .

 . 2

 1 x

28.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 14 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

x



5

x

 

7 7

x



1

x



   .

x   .

1

2

2

BBààii ttooáánn 1111.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện

x

  

1 7

x

x



1.

x

  

1 6

x

x

  . 6 0

Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

x

  

1

x

u

;

x

  1



0;

v



0

 u v u





 v u



x

 

1

u

2      x

1

v

x

x

  1



v Đặt ta thu được u  uv 7  u 6    0  v 6 v 6  u     0 u

2

0 2

x

    1

x

x

1

x     x 

  

1

x

37







u

2      x

1 6

v 6

x

x

  1

  x

;

  2

1509 37 2

1509 2

x



37

x



 35 0

  

    

    

37





 .

S

0; 2;

;

1509 37 2

1509 2

     

    

7 0

1 x

x

     .

4

3

4

3

2

3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

39

10





x

x



70

x



 49 49

  

x

39

x



39

x



70

x



0

x



37





2

2

x



37

x



35

0

x

0; 2;

;

   x x





1509 37 2

1509 2

 1        

    

37





Lời giải 2. Điều kiện x   . 2 5 Nhận xét  x Phương trình đã cho tương đương với 2 x

S

0; 2;

;

1509 37 2

1509 2

     

    

3

2

3

2

2

3

3

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

 ab b

 ab b

















b

a

a

b





 a b a





2

3

x



 

3 2

x



1

x

 1



   .

và . Nhận xét. Lời giải 1 đặt ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc bậc hai với hai ẩn u và v. Đối với các căn thức có thể khai phương theo hằng đẳn thức, các bạn chú ý  a b a

1x  .

2

3

2

BBààii ttooáánn 1122.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  Lời giải 1. Điều kiện

x



2

x

 

4 2

x

2     

1 2

1

x

x

x

  x

1.

x

 

1 3

x

0



   . 1

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

x

  

1

x

u

;

x

  1



0;

v



0

 v u

2

2

2

u



uv 2



v 3

  

0



v 3

      

1 3

v 3

u

0

x

x

x



1



 

 u v u  x

1

x



1

  4

6

  

4

x

6





2

2

x

  

1 9

x

x



9

x



8

x



 10 0

  

Đặt thu được

    



x

     . Bất phương trình đã cho tương đương với

3 0

x

Kết luận tập nghiệm S  4  6; 4  6   .

1x  . 21

Lời giải 2. Điều kiện Nhận xét 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 15 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

4

2

3

4

3

2

2

2

x x 4  12 x x  x    4 x 8 x  12 x  16 x   20 0

8 x  10 x  2    0 4 6    4 x 6  16 4 

    x  4 Kết luận tập nghiệm S  6; 4     16    . 6

1x  .  Xét trường hợp  Xét trường hợp

1x  không thỏa mãn bất phương trình ban đầu. 1x  , bất phương trình đã cho tương đương với

3

2

Lời giải 3. Điều kiện





2

3

3

2

2     x

3





2 x  x  2 x  2 x   2 2 x   2 2 x 2 2 1 x       1 1 2 x x x    1 x 1

2

2   

  





3

2

3

2 x  2 2 x  1 x  1  1 2 2 x x  2   1  x    1 x 1 x    1 x x  1 x x 1

2

2

1

2

2

 

2

x

  1

x

  

1

x

x

    3

1

1

x

x

   1

x

  

4

x

6; 4



6

1    2 x  2 Nhận xét: x    1 x x   1    0 x 1 . Do đó x    1 x x  1

 

 

8

x



 10 0

 x  2  x 

.  

Kết luận tập nghiệm S  4  6; 4  6     . Nhận xét.

 Bài toán 12 thuộc lớp bất phương trình giải được thông qua phép đặt ẩn phụ, đưa về phương trình đồng bậc bậc hai, kết quả phân tích nhân tử rất đẹp mắt. Trong thao tác giải bất phương trình, các bạn cần chú ý điều kiện xác định (hoặc điều kiện có nghiệm), điều kiện của ẩn phụ để giảm thiểu các trường hợp xảy ra, giảm nhẹ tính toán và làm cho lời giải trở nên súc tích.

2

3

x



 13 3

x



2

x

 

3 9

x

x



   .

3

2

 Lời giải 2 sử dụng phép nâng lũy thừa trực tiếp (sau khi nhận xét hai vế không âm).  Lời giải 3 sử dụng đẳng thức liên hợp, nhóm hạng tử phân tích thành thừa số, giản ước đưa về bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. Tuy nhiên, sử dụng linh hoạt đẳng thức liên hợp "thêm một lần", hệ quả thu được đã trở nên đơn giản.

   

3 0



2

x

x

x

  x

3

   . x

1

0



 1

2

2

BBààii ttooáánn 1133.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x

x

x



1.

x

  

3 10

x

x

   

x

3 3



   0 1

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

x

  

3

x

a ;

x

  1

b

a





0;

0

2

2

Đặt

   

 b 5





 b a 2



b  a a

 b 5    a 0  b 5    0 a b 2  0 a  ab 3  b 10 0 

2

1     3 x x 2 x   1   x 1   7 0 3

2

3

   

3 0



2

x

x

x

  x

3

0

1

x   . thu được   b a 2  x  2 x    S  1;

   . x



 1

3

2

 x

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm Lời giải 2. Điều kiện x





x

2 9 x



13 0

Bất phương trình đã cho tương đương với 3  2 x    3  9 x  13 (1). x

 , bất phương trình (1) nghiệm đúng.

 Xét

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 16 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x

2 9 x

2

2

 Xét

  1

4

3

2

3

3

2

4

 , ta có 13 0    x x 13 0 9 

2

    9  2 

 9

 9 x   13 0 x   x  18 x  107 x  234 x  169   3 2 x x   27 x  107 x  252 x  196 0  x    

  

2

2

2

2

2

x   9 x   13 0 x   x  3 x  7 x  24 x  28  0  x   28 0

 x

9



x

    0

x

24

x



28 0

 .

x

9

x



1

   x 2 9 x

13 0

x

Ta có  x     2   13 0   13 0; x      13 15 x  24  1

 .

1x  .

2

3

Vậy (*) nghiệm đúng với

 Kết hợp hai trường hợp, (1) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định, hay Lời giải 3. Điều kiện x

   

   . x

  x

3 0



3

2

1

0

x

x

x



 1



3

2

3

x



4

x



10

x



7

2

3

2

x



3

x

 

7 3

x



2

x

 

3 2

x



2

  

0

x

3

x

  7



0

3



 x

 2



2

x

x

2

3

x



x



3

x



7



3

x



2

2

  x

3

x

  7

0

x

3

x







0

  2

   

3

3

x



 

3 2

x



 1 x 2

  2

  3 2  x

  1   3 2

2



x

x



2

  7 1  

  

Bất phương trình đã cho tương đương với

2

1x  .

3

 x

 1   3 2

3 x  Nhận xét x  3 x     7 0 x  ; x    1 1  0 . Vậy (2) nghiệm đúng với x  2 x  2

S 

  .

 1;

Kết luận tập nghiệm

Nhận xét.  Lời giải 1 sử dụng phép đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình đồng bậc (đẳng cấp) bậc hai. Khi đó với điều kiện mới của ẩn, chúng ta dễ dàng lập luận loại bỏ một trường hợp.

2

3

3

x



 27 7

x

  x

10

x



   .

3

2

  

10 0

  x

2

x

x



2

x

5

2

0

 Lời giải 2 nâng lũy thừa trực tiếp, thu được bất phương trình đa thức bậc 4, sử dụng hệ số bất định đưa về nhân tử. Các bạn chú ý kết hợp điều kiện xác định để tránh được các phép biến đổi căn thức phức tạp.







2

2

BBààii ttooáánn 1144.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x





Bất phương trình đã cho tương đương với 3 x x  2  7 x  2 x  5. x  2 x 6 5 2   

x

2 2 

x

  5

u

;

x

  2

v



u

  

0

2

2

Đặt

   0

 v 3

13; v  u u 3

 v u









u 3  7 uv  v 6  v 3   2    u 0 v 3 u 3  v 2    0 u v 3

2

   . x  , quy về   x  2  x 

S 

2;

  .



3

2

10 0

  x

  

x

2

x



5

0

2

x

x

2



2   x 2 x   5 3 x   2   x 2  7 x  23 0

   . Bất phương trình đã cho tương đương với

4

2

3

4

3

2

 162

Kết luận tập hợp nghiệm Lời giải 2. Điều kiện x

 49

2

2

9 x x  x x  x 490 49 x  162 x  49 x  1219 0 

  729 49  23 9

7 x  x  14 x  53  0     x    9    1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

2

2



LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 17 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ta có

 nên (1) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định.       53 0 23 0     7 x x x x x x

S 

2;

3

2

Kết luận tập hợp nghiệm 14   . ;9 

  x

10 0

  

x

2



2

x



5

   . x

2

0

x







x  không là nghiệm của bất phương trình ban đầu.

Lời giải 3. Điều kiện x

x  , bất phương trình đã cho tương đương với

2

3

2

 Nhận xét 2  Xét trường hợp





2

3

2





3





2

7 x  9 x  37 x  46 3 x  x 21   69 7 x   x  10 3 x   6 3 x  7 x  23  x  6 x





2

2



   x





3

3

   x

7 x  x 2  7 x  23 7  2 x  3 x  7 x  23  7 x  23  3  0 x  10 3 x  6 x   x    x  10 3   10 3 x  6      

2

2

 

 5











2

2

7 x  2 7 x  2    3  3 x  2 x   5 3 x  2 2 x  x  2 x  3 x  2

  2

x 7    2   2     3 2 3 2 5 2 x x x x x x 0

S 

2;

  .



    5 9 2 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định. Do đó ta có tập nghiệm

Nhận xét.

3

2

 Lời giải 2 sử dụng phép bình phương trực tiếp và hệ số bất định, phân tích phương trình bậc bốn hệ quả về hai phương trình bậc hai, hết sức may mắn khi hai tam thức bậc hai luôn luôn dương với mọi giá trị của biến, suy ra tập nghiệm chính là tập xác định của phương trình ban đầu. Lời giải 3 sử dụng đẳng thức liên hợp kết hợp điều kiện xác định, tránh được việc biện luận dấu mẫu thức của phương trình hệ quả, và cho kết quả hoàn toàn tương tự.

  x

10

2.







2

5

x

x

x

27

23 x 

 . Có thể thấy phía ngoài x , dễ dàng đặt ẩn phụ và phân tích nhân tử. Trong một số trường hợp, điều này không

 Lời giải 1 ngắn gọn, súc tích dựa trên quan sát

2

4

2

5

x

  

5 5

x

x



x



1

x



   .

2

căn thức là đơn giản, mời các bạn theo dõi các thí dụ tiếp theo.

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

BBààii ttooáánn 1155.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   . 2 Nhận xét x  x   1 x  2 x   1 x  x x x  x   x x

 x

   . 1   x

 1     1

2

2

Phương trình đã cho tương đương với 2 3 x x 5 x 1. x   x 1

  1       1 thu được

x

  

1

x

u

;

x

  

1

x



  x 0;

v



0

 v u



Đặt

2

2

 u u v 2



 v u v 3

   



 v u v 3



2

u

2     

1

v

x

x

x

1

0

x

x

v u 2  v 3   uv 5   u 2   u  u 2 v 3    0 

    .

69

2

2

2



u 2

  

v 3

4

x

4

x

 

4 9

x



9

x

  

9

5

x

13

x

5 0

x

69 13 ;

 10

 10

 13        

    

13

69

 .

S

0;

69 13 ;

 10

 10

     

    

Kết luận tập nghiệm .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

25 x

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 18 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Lời giải 2. Điều kiện x   . Nhận xét x

2

2

2

4

5 0 4  x 25

 25 10

x 50

25









x

x

x

x

      . Phương trình đã cho tương đương với   2 x x 1

   1



13

69

3

2

2



10

x



26

x



10

x

  0

x

5

x



13

x



5

0

x

0;

69 13 ;





 10

 10

       

    

13

69

S

0;

69 13 ;

 10

 10

     

    

Kết luận tập nghiệm .

4

2

2

2

1.

1

x

x

x

2

2

2

  

5 2

x x

x

x

x

  .   x    là một vấn đề không đơn

Nhận xét.

x  x



2;3 , các cặp số khác cũng





  1  Tuy nhiên để có được biểu thị đẹp mắt 1 5 x giản, nguyên do cả hai nhân tử đều có dạng tam thức bậc hai. Ngoài cặp hệ số    khá khả thi, chẳng hạn 

  4;1 , 1; 4 , 3; 2 , 6; 1 ,

 2; 7 ,...

 

 

 Lời giải 1 đặt ẩn đưa về phương trình đồng bậc dựa trên quan sát     3 1

2

2

x

  

1

x

u

;

x

x

0;



0

 Các bạn có thể sử dụng đồng nhất thức để tìm được các hệ số 2 và 3.

2

2

2

2

2

2

5

x

  

5

x

mu



nv



x

   x





m n x m n

  .





  m n x





1     m x

 v u      1

v  n x

Đặt ẩn phụ

5

 

m n

1

, giả định  1

 m 2   n 3

    5

  m n     m n 

Đồng nhất

4

4

2

2

2

2

x

  1

x



2

x

 

1 2

x



x



2

x



2

x





4

4

2

2

2

2

4

x

 

1 4

x



4

x

 

1 4

x

 

2



2

x



2

x



4

4

2

2

2

2

x



x



64



x



16

x



 64 16

x



x



4

x



4

x

x 

 x 1   x 1 2   8

 1   1  8 ...

4

2

  



2

4

1

1

x

x

x

x



   .

 Lưu ý một số phép biến đổi đồng nhất quen thuộc sau đây

0

4

3

2

2

4

3

2

2

4

x



4

x



x



x



x

 

1 4

x

   4

1

x

5

x



2

x

  0

x

4

x



5

x



2

 2 2







 x 2 4 x



5

x

 

2 0

   0 

24 x

x 5

2 0

BBààii ttooáánn 1166.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với

  vô nghiệm do

0  . Kết luận tập nghiệm

S 

 0

Phương trình .

2

2

2

2

2

2

2

8

x



4

x

 

4 4

2

x



2

x



x



2

x

  

2

x

2

x

 

x



2

x

4 2

x



2

x



1. 2

x



2

x

 1



 1 2

 1

 1 3 2

   1

2

2

Lời giải 2. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với

2

x



2

x

  1

u

; 2

x



2

x

  1



0;

v



0

 v u



Đặt ta thu được

2

23 v

 u v u





2

2

u

  

2

v

x

2

x

 

1 2

x



2

x

0

1

v u     uv 4  v 3 v 3 u      0 u

   . x



----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 19 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

2

 1 9 2

   1

 u   3 v 2 x  2 x   1 3 2 x  2 x 2 x   x  2 x 16 x  20 x   (Vô nghiệm) 8 0

S 

2

4

8

x



20

x

  1

64

x



1

x



   .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm . x    2 1  0

2

4

2

2

2

2

BBààii ttooáánn 1177.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   .



2

2

2

2

Nhận xét 64 x   1 8 x   16 x x 8    x x 4  . Phương trình đã cho tương đương với

 1 8  4

 1 x

2

2

x  4 x x x 8  4 x  1. 8 x  4 x  1

8

x



4

x

  1

a ; 8

x

x

  1

 1  3 8  4



b

b



2

2







0

a 3



b 2

  ab

  

a b

a 3



b 2



0

 x    1  a  a a b 3

Đặt

 0  b a b 2







2

2

2

2

x

8



   a b



4

x

   8

1

x

4

x

 

1 8

x



4

x

  

1

x

0

8 x .

1   S 

 0

2

2

1 0

 

20



x

x



20

x

 

1 0

x



4

2

2

2

4

3

2

 

16

64



x

x

x

x

400

x



64

x



1

x



416

x



40

x



0

 1 40 8

 8   320 

4  2 8 0;      1 ta thu được 

x 4 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm Lời giải 2. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với  8   

0

2



20

x

 

1 0

2



  x

0



x



20

x

 

1 0

2

x

40

x



52

x



5



0

x 



2

 8    

40

x



52

x

 

5 0

   1  x   8     .

S 

 0

4

2

x 3 81

  4

27

x



42

x



6

x



   .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

2

2

4

4

2

2

2

2

2

BBààii ttooáánn 1188.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   .









 2 9





Nhận xét x 81   x 4 81  36 x   4 36 x  9 x  2  6 x  9 x  6 x  x  6 x  2 .

2

2

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với



 2 9



2

2

u



v



9

x



6

x

  2

u

; 9

x



6

x

  2

3 9 x  6 x  2. 9 x  6 x   2  6 x  2  x  6 x  2 . x

2



v 2



v 2



uv 3



u 5

2   v 2

  

u v

0

u 5



v 2

  

0

u

v

 v  u u 5

0; 

 0  v u 5

 5 9 quy về 







2

2

2

2

x

  2

9

x



6

x

  

2

9

x

6

x

 

2 9

x



6

x

  

2

x

0

 

 x 6 9 ; 0 S   .

2

2

Đặt

6 0 6 0

27 27

42 42

 

x x

  , bất phương trình đã cho nghiệm đúng.   , bất phương trình đã cho trở thành

Kết luận nghiệm Lời giải 2. Điều kiện x   . Xét hai trường hợp x x  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 20 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

4

4

2

2

3

2





2

2

 42 6 0 x 27 x  42 x   6 0   4 729 x  324 x   36 84 x 27 x  6  2268 x  324 x  504 x  0    

2



  x  42 x x     42 x   6 0   x 63 14   9 x x  0 0 27   27    9 81 x     

 27 x   x ; 0 S   .

2

4

x



4

x

  2

x



4

x



   .

6 0  Kết hợp hai trường hợp thu được nghiệm

2

2

4

4

2

2

2

2

2

BBààii ttooáánn 1199.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   .















Nhận xét x   4 x  4 x   4 4 x  x  2  2 x  x  2 x  2 x  2 x  2 .

2

4

2

2

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với





2

2

x



2

x

  2

a ;

x



2

x

  2

a

b

 



b

0

2 x  8 x   4 2 x   4 3 x x x 2 2 2     x  2  2 x  2 x  2. x  2 x  . 2

2

2

   ab

2

a 3



b







  

a b

0

 a b 3



0

  0; ta thu được    a a b 3

 b a b 3







2

2

   

a b

x

2

x

  2

x



2

x



2

2

2

  x

2

x

  2

x



2

x

   

2 0 x ; 0 S   .

2

2

 

2 0

Đặt

 

2 0



4

x

x

x

x

4

x

 

2 0



  x

0



4

2

2

4

2

2



5

x



4



0

x



4

x

 

4 8



2



16

x



x



4

x



 x x



  4 x   x 0

    

Kết luận: Bất phương trình ban đầu có tập nghiệm Lời giải 2. Điều kiện x   . Bất phương trình đã cho tương đương với 2  .

    2 x   ; 0  S   .

2

4

3

x



4

x



 23 3

x



8

x



63

x



   .



2

2

Kết luận: Bất phương trình ban đầu có tập nghiệm

 . 63 0 4

2

2

2

2

2



 1

 16

   1











BBààii ttooáánn 2200.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. 4 8 Điều kiện x x 4 Nhận xét x  8 x  63  x  16 x  64  x  8 x x  8  4 x   x  4 x  9 x  4 x  7 .

2

2

2

2

Phương trình đã cho tương đương với

2

2

 4 x   x  4 x   9 3 x  4 x  7. x  4 x  9 2 x 7

x



4

x

  7

u

;

x



4

x

v

u

0;

v



0

   9

 





2

2

Đặt ta thu được

2

2







2

2

  1   2

2

2

x  4 x   7 x  4 x  9 v u 2  v    uv 3 u v  u v 2   0  v  u   2 u  2 x  4 x   7 x  4 x  9    

  x

4

x

  7

x



4

x

9

    . x

  1

1 4

43

2

2

2





4

x



4

x



7



x



4

x

  

9

3

x

20

x



19 0

x

43 10 ;

  2





 3

 3

 10       

    

 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 21 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

43

S

43 10 ;

1 10 ; 4

 3

 3

     

    

3

4

2

3

2

So sánh điều kiện, kết luận nghiệm .

x 2 x











9

8

4

x

x

x

x

x



154

x



112

x



 38 0

   63

 46 3





10

43

3

2

2



12

x



77

x



56

x



19 0

4

x

x



20

x



19

0

x

0;

43 10 ;

   

 1 3



 3

 3

       

    

43

Lời giải 2. 4 8  . Điều kiện 63 0 x x  23     . Phương trình đã cho tương đương với Nhận xét   x x 23 0 4 2 4   x x 24 23 16 24 9

S

43 10 ;

1 10 ; 4

 3

 3

     

    

2

3

x



5

x

 

2 4

x



8

x



   .

So sánh điều kiện, kết luận nghiệm .

BBààii ttooáánn 2211.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

x  . 2 2 2

x  không thỏa mãn phương trình ban đầu. x  , phương trình đã cho tương đương với

2

2

o Xét o Xét

2

2





x 4 x 4 x  2 x   4 3 x  2  4 x  2 x  4. x   2   3 4  x  x 2  2  x  x 2  2

2







 1



2 2   x  2 x 2

2

2

2

t t

1 3

x 2 x 2

x x

       (Vô nghiệm). 6 0 4 x    x 7 4 9

2 x x   

22 0

18

x

1 4 x Đặt  t t  0 thu được t  t 4     3 0 t t  3 3  t     0 t

 (Vô nghiệm).

Với Với

      x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2

3

2

x



5

x

 

1 7

x



1

x



  

2

2

BBààii ttooáánn 2222.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

1x  . Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 

   1

    1

2

x

  1

a ;

x

  

1

x

b

a



0;

b



0

 thu được

2 7 3 x x x x  1. x   . 1 x





2

2

2

2

2

Đặt

   

 a b a 3



2

2

2

2

2

a 3  7 ab  b 2 0  b 2   0  0

2 b a . a 3









2

 9 a  b a  b 4   0 8 x  19 x   x  a 9  a b 3  2  x 6 8 3

2

 1





19

105

1

  x

19 105 19 b 4   b 2   0 105  8 x  19 x  8 x    0   x  16  16

 16

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 22 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.. GGiiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc

2

3

5

x



6

x

 

4 6

x

 . 1

2

3

1.

4

x



7

x

 

1 7

x

 . 1

3

2

2.

x

 . 1

 2

  5 5  x 8

x 5

3.

x 3  2 3



1

x x 11

 8  14

10 2  x 2

4

x  8 . 4. x 1  3 . 5.

3

x



2

x

 

3 3

x

 . 1

2

4

x 11



6

x



 22 11

x

6.

 . 4

4



1

7.

5 4 x 2  x 6

 x

1 

10

5

2

4

8. .

72

x



4

x

 

9 9 64

x

 . 1

2

3

9.

5

x



6

x



 28 9

x

 . 8

2

3

10.

4

x



15

x



 45 7

x



27

3

2

11. .

x



27

2

x x

21 5  36

. 12.

x     x 3

2

x



64



3

x



10

x



56

2

4

2

13.  6 .  64 x 3 14. .

x



4

x

  1

x



x

 . 1

2

4

2

15.

7

x



5

x

 

7 7

x



x

 . 1

4

2



16.

3

 x  5 x

 

1 3

1 3

x 2 x 2

4

2

17. .

4

x



4

x

 

1 2 16

x



4

x

 . 1

2

3

18.

x



3

x



14

x 6

 2 x

  1 5  x 35

19. .

x 6  14 3

3

2

4

x



17

x



99



x



4

x



24

2

4

20.  5 .  5 x  26 x 2 2 21. .

x



2 2

x

  1

1



x

2

4

22. .

4

x



4

x



8

x



63



x 4

 31 4 2

23. .

1



x 2 

 x 7 5

 x

4 

6

3

x

2

4

2

. 24.

4

x



7

x

 

1 2 4

x



3

x

 . 1

2

4

2

25.

20

x

3

x

x



x

 . 1

2

7

x

2



1

26.

x 2

5

x

  

5 5 16      1 

8

x

12

27. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

4

1 2 2

  x

 





2

2

3

x

x

x

x

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 23 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttooáánn 2233.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh



   .

 1 2





2

Lời giải.

x  .

1 2

Điều kiện

4 3 2

4 1. 2

Phương trình đã cho tương đương với 2 x   1 2 2   x x   . x

2

4

4 ; 2

22 v





 u v u





u

       . 1 2

1

2

v

x

x

x

4

4

u

  2 v

2

x

 

1 2 2

    2

x

x

x

v Đặt 2 x   1 u   x v u  0; v  0 ta có u     uv 3  v 2 v 2  u     0 u 

  .

 1 16 2



11 6

2



x  ta thu được tập nghiệm

S

1 2

11    6 

 ;1  

2

3 3

x

 

2 4 4

x

  3

4 7 12

x



17

x



6

x



   .

So sánh điều kiện .

BBààii ttooáánn 2244.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

3 x  . 4

Điều kiện

4 7 3

4 2. 4

4

Phương trình đã cho tương đương với x   2 4 4 x   3 x  x  (*) 3

4 ; 4



Đặt 3 x   2 u x   3 v u  0; v thì (*) trở thành 0  3 3 

2

2







4

v u 3  v 4    u v uv 7 u 3  v 4  u  3 u v 4    0 

4     3

 u 2 x v 4 x     3 2 4 3 x x    . x 3 1

u 3

  4 v

4 3 3

x

  2

4 4 4

x

  3

x



2



x

  

3

x

 27 3



 256 4



714 943

 .

x  ta có tập hợp nghiệm

S

3 4

714 943

   

 ;1  

2

2 5

x

  2

4 3 30

x



17

x

  2

6

x



1

x



   .

Đối chiếu điều kiện .

BBààii ttooáánn 2255.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

2 x  . 5

Điều kiện

4 3 5

4 2. 6

4

2 5 x   2 x  x   1 6 x  . 1

4 a ; 6

2

Đặt   2   1 0;   0 b 5 x x

 b a ab b 3

2  



2

a

 a b

2



b

2

 a b

  

a b

0

2

 a b

 (1)

0











4

4

x

  

0 5

x

 

2 6

x

  1

5

x

  2

6

x

a b

1

Bất phương trình đã cho tương đương với  a thu được  

   .

2 5

4

   a b

2

4 2 5

x

  2

6

x

  1

x



2



6

x

  

1

x

Ta có

 16 5



31 74

Do đó   1

x  , kết luận tập nghiệm

S

2 5

2 31 ; 5 74

   

  

3

3

Đối chiếu với điều kiện .



  .

 3 x  4 x x  BBààii ttooáánn 2266.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x x  8  2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 24 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Lời giải 1. Điều kiện 0

x  .

2

2

3

2

2

x



2

x

 

4 3

x

    x

4 2

4

x

x



3

x

.

x

 . 4

2 4  

0;







u

0

x

v

x

;

 v u

Đặt ta thu được Phương trình đã cho tương đương với 

2

22 v

 u u v



 v u v



 u v u





2

2

2

v u     uv 3  2     0  2 v v 2  u     0 u

u

           (Vô nghiệm). x

4

4

x

x

v

x

x

x

2

2

u

   

v 2

4

x

2

x

     4 4

x

x

x

0

2

2



   . x

4 0 2





x  .

2

2

3

So sánh điều kiện, kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải 2. Điều kiện 0

x



2

x

 

4 3

x



4

x

Phương trình đã cho tương đương với (1).

x

x

x



3 0

  4

     nên x

4

3

2

2

3

3

4

2

16





4

x

x

x

x

x

x

5

36

12



x



x



 16 0

2 2    1

2

2

2

2

2

2

















4

4

4

4

4

x

x

x

x

x



4

4

0

x

x

4

x



2

  

0

x

2



   x 

 16 9  

 8  x x

   

x      x

20 

2 1  x 4  So sánh điều kiện, kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

2

2

4

2 1

  x

2 1



x



5

x



x



x

Nhận xét



 1

 1



   .

1x

BBààii ttooáánn 2277.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

   .

2

2

Lời giải. Điều kiện 1

2 1

  x

2 1



x



4 5 1

4 . 1





2

2

2

4 a ; 1

4 1

0;







0

b

a

b

x

.

2

a



b 2

  ab 5

2



b 2



  

b 2

2



b 2

 . 0

x  a a

x 

 b a

 a b a









   x Đặt Xét hai trường hợp

ta có Bất phương trình đã cho tương đương với 

2

2

4

4 2 1

2  

2

4

4 2 1

2

15   x    1 x 1  16 x   15 0 x x  1 x 1  2 a b   0     x 1 x x   x 15 0    a  b 2  0     x 1 x         1 x 1 15 16     1   x  x   16           x 1

4

2

  x 1    1 x 1 x x   16  15 0

4 2 1

2  

2

4

4 2 1

 .    x 1 x 15 16        1 1 x 15 0   x 1 2 a   a b   2 b 0 0 15 16    15 1   x  x   16   x x      1 x 1         1 1       15  16      1         x    x

 S  

1;1

.

2

2

3

2

3

3

x



2



3

x



2



4

x



4

x

Kết luận tập nghiệm của bất phương trình là Nhận xét. Ngoài cách xử lý "thủ công" phần cuối bài toán 24, các bạn có thể thử sức với cách sử dụng đẳng thức liên hợp.











   .

BBààii ttooáánn 2288.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

  2

a ;

2

b

x

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 25 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Lời giải. Điều kiện x   . 3 Đặt 3 x

  , phương trình đã cho trở thành

2

23 b

 a a b



 b a b 3





 b a b 3



a

       (Vô nghiệm).

0

b

4

2

2

x

x

x

3

a

3    

b 3

2

x

3

x

    x

2 27

2

x

  

2

x

a     ab 4      0 a  b 3 a b      0 a 





28 13

 .

S

28 13

   

  

2

2

2

3

3

4

2

x







x



3 8 4

x



1

x

Kết luận phương trình có tập nghiệm .



 1

 3 1 2





   .

  1

u

2

x

1

v

BBààii ttooáánn 2299.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

  , phương trình đã cho trở thành

Lời giải. Điều kiện x   . 3 Đặt 3 x ; 2

2

2









   





3

u 2  v u 4  v 3   uv 8 u 2 u 2  v 3  v u 2  v 3 u v 2 0 u 2  v 3 u 2  v 3     0 

u 2

  v

3 2 2

x

  1

2

x

  1

x

2

x

   

1

x

 8 2

   1

9 14

3

 .

u 2

  3 v

3 2 2

x

 

1 3 2

x

  1

x

x

  

x

 8 2

   1

 27 2

 1

35 38

x  

x 

 .

9 14

35 38

3

3

3

2

2

2

x



6

x

 

9 4 6

x



x

 

9 5 9



x



0

x



   .

Phương trình đã cho có hai nghiệm hoặc .

2

2

3

2

3

3

BBààii ttooáánn 3300.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện x   .

x



3



4

x



3



5

x

 . 9









3

x

  3

u

;

x

3

Bất phương trình đã cho tương đương với

v 2

  ta thu được 24 v



u

  

uv 5



4



  

0



v 4

 (1).

0

 v u v



 u v u





3

3

Đặt 3

  u u v    . u v

3

  u

v 4

3    

0

3

x

4

x

    x

3 64

3

x

  

3

x

Nhận xét x       3 3 3 x x 3 x





65 21

. Do đó   1

S

65 21

   ; 

  

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm .

Nhận xét. Các bài toán từ 23 30 về hình thức gợi ý chúng ta đặt ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc (bậc hai), ngoài ra có thể nâng lũy thừa trực tiếp cũng cho kết quả tương tự. Đối với lớp bất phương trình, các bạn chú ý chia các trường hợp chính xác hoặc linh hoạt sử dụng tập xác định (điều kiện có nghiệm) để lập luận, đánh giá nhân tử, giảm thiểu các nghiệm ngoại lai và một số tính toán cồng kềnh, không cần thiết.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 26 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.. GGiiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc

2

3

x



5

x

 

7 6

x



7

x

2

3

1. .

6

x



7

x

 

8 9 3

x



4

x

2

3

x

x

 

4 11 4

x

 . x

3

2. .

x



 

3 2

x



4

x

 7 2 1

2

4

. 3. 16 4. 

7

x



10

x



 14 5

x

 . 4

2

2

3

2

3

3

5.





5

x





6

x

 . 1

x

 1



 1

2

3

2

6.

2

3

5  2 x  3 x 5 x  3 x  . 2 7. 2 x

 6

  7 1

6

2

3

3

.  2 x 8.  x   

2

x

  1

x

x

 . 1

2

4

2

9.

3

3

x



9

x

  3

x



x



 . 0

 1

2

3

5

x



4

x

 

3 5 5

x



3

x

10.     1 

2

2

11. .

1

  x

2 1



x





x



x

 3 1 4

  1



4

2

12. .

3

x

 

2 8

x

 

3 11

5

x

 . 6

x

4

13.

5

x

 

5 6

x



11



 x x

 2 1

2

2

3

2

3

14. .

x







x



4

x

 . 1



 1

 3 1 3



2

2

3

2

3

3

15.

2

x



5



2

x



5



5

x



25









4

4

x



11

3



x



7 3

x

16. .

 . x





2

2

2

3

3

17.

10

3

x



2



7

3

x



2



3 3 9

x

 . 4









2

2

3

2

3

3

18.

x





2

x





2

x



3

x

 . 1



 1



 1

2

2

2

3

3

19.

2

3

x





3

4

x





3 5 12

x



7

x

 . 1



 1



 1

2

3

4

20.

3

x



2

x

x

  2

x



2

x

 . 4

2

2

3

3

3

3

2

x



2



x



2

x





x

4

21.

 . 8





2

2

3

3

3

3

5

x





8

x

  x



3

x

22.

 . 1

 1



2 2    

5 2 2 1

2

2

3

3

3

3

17

x



3



4

x



3

x



9



13

x



27

23.







2

2

2

2

3

4

2

3

3

x

  x



5

x

  x



x



x

6

 . 1

24. .

4

25.

 2 3

 1 2

 3

x

  2

  x

3

x



x



2

2





2  1 

4

2

2

26. .

5

x



3

x

 

3 8

x

x



x





 1

 1

2

4

3

2

27. .

x

 

1 4

x

 

1 5

x



x

  .

1

x

28.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 27 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

2

x



7

x

 

3 3

x



4

x



5

x



   .

2

3

2

   

5 0



4

x

x

x

x



5

x



   . x

1

0

5



2

2

 1 Phương trình đã cho tương đương với

   5 2

x



5

x

x

3

x



1.

x



5

x

 (1).

5



   1

2

x

  1

u

;

x



5

x

  5



0;

v



0

BBààii ttooáánn 3311.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

 v u



Đặt ta có

2

2

  1







1

2

u

   

1

v

x

x



5

x

5

v   u 2 v    uv 3 u v  u v 2 u 2  u     0 v

 x 2  x

4

x

 

5 0

   

x



1

x



1

2

u 2

  v

2

x

  1

x



5

x

  5



 (Hệ vô nghiệm).

2

2

x



5

x

 

5 4

x



4

x

  

9 0

x

  

  

 (Hệ vô nghiệm).

2

3

2

x



3

x

 

4 3

x



6

x



x 11



6

x



   .

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

BBààii ttooáánn 3322.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

 1





2

2

x  x  2 x  3 Điều kiện  2



 

6 2

x

3

x



1.

x



5

x

6

 (1).



   1

2

 x 3      0 1 x  x x 5 Phương trình đã cho tương đương với

x

  1

a ;

x



5

x

  6

b

a



0;

b



0





2

2

Đặt ta có

  1

 a b a





  a b 2    ab 3  b 2 b 2 a b      0 a

2

2

21

41

2

2

   x 3 2  a b     x 1 x  5 x    6 x 6 x 7 0 x   3 2     

a

   

1 4

b 2

x



5

x

  

6

4

x

x 21



25 0

x

x

41 21 ;





 8

 8

       

    

21

41

 .

S





2;3



2;

41 21 ;

 8

 8

  3   

    

Đối chiếu điều kiện ta thu được bốn nghiệm .

Lời giải 2.

 1





1x  không là nghiệm của phương trình đã cho. Do đó phương trình đã cho tương đương với

2

2

x  x  2 x  3 Điều kiện  2  x 3      0 1 x  Nhận xét

2

2



   1



  

 1

   6

x 6 x 6 x  5 x   6 2 x 3 x  x  5 x   2 3  x 5  x  1  x 5  x  1

2







 1



2 5   x  1 x

1 6 x Đặt  t t  0       t 2 3 t t t  2 ta có   2  t     0 t

2

2

   x 3 2  t     x 1 1 x  5 x    6 x 6 x 7 0 x   3 2     

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 28 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21

41

2

2

t

    x

1 4

2



5

x

  

6

4

x

x 21



25 0

x

x

41 21 ;





 8

 8

       

    

21

41

 .

S





2;3



2;

41 21 ;

 8

 8

  3   

    

2

3

2

2

x



5

x

 

1 3

x



6

x



x 11



6

x



   .

Đối chiếu điều kiện ta thu được bốn nghiệm .

BBààii ttooáánn 3333.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

 1





2

2

x  x  2 x  3 Điều kiện  2 3  x      0 1 x 

2



3

x



2

x



x



3



3

x



3

x



2

x



3















Phương trình đã cho tương đương với (*)

2 3 

2

a b

 

0

  1

0

a b

 a b

2

a b

 

0

a b

3

ab







      2

2

2

 a b

4

 a b



0

4

a



4

 ab b



9

ab

2

a b

 

0

  



  

2      

  2

4

 a b

       

2

2

2



5

x

 

1 0



5

x

 

1 0

2

Đặt x x   2 a x ;   thì b 3





  1

x 2

x 2

x



3

x

  

2

x



4

x

 

5 0

x

3

    

2

2

x

5

2



2

x



5

x

 

1 0



 (Hệ vô nghiệm).

  2

    1

2

2

3



2

  x



3

4

x

x

4

x



13

x



 11 0

       1 0 

x 

   

(Hệ vô nghiệm). 

    Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải 2.

 1





3

x  không thỏa mãn phương trình ban đầu.

x  x  2 x  3 Điều kiện  2  x 3      0 1 x 

2

2

Nhận xét Do đó phương trình đã cho tương đương với

2

2





  









x 2 2 x 2 x  3 x  2  x  3  3 x  3 x  2 x 3 2.   1 3 (*)  x 3  x  3

2

t 2

     1 0

t 3

t

  

0



 t 1 2

 1





2 3   x  3 x

2 x  t t  0 thì (*) trở thành: Đặt

1 2

2

2

3  x  x  3  t 1    t 

2

2

  3 x      3 2 x 4 x       , phương trình vô nghiệm. 5 0; 1 0 t x

x



3

x



   

4

3

x

x

13

x



11 0;

7 0

2

4

t

     , phương trình vô nghiệm.

 x  Xét hai trường hợp     1 1   2

Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 29 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nhận xét.

33 đều được giải được bằng phép sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc và tìm tỷ lệ giữa hai ẩn thông qua phương trình bậc hai. Ngoài ra các bạn có thể sử dụng nâng lũy thừa trực tiếp kết hợp hệ số bất định cũng cho lời giải "khỏe mạnh, chớp nhoáng, bất ngờ".

 Các bài toán 31

2

x



x



2

x



3



x



x



5

x



6

 Quan sát và thực hành các thí dụ phía trước một cách có hệ thống, dạng toán này có thể đã trở nên quen thuộc với một số bạn học sinh, hai bài toán 32 và 33 về hình thức vẫn chưa có điều gì mới lạ, tuy nhiên có một sự khác biệt nho nhỏ trong lập luận, điểm nhấn trọng tâm của hai thí dụ này là: Đa thức trong căn thức khó có thể phân tích thành các nhân tử độc lập (nếu không chia trường hợp theo điều kiện xác định).







   1 

 

3

2

2

Cụ thể trong hai bài toán 32 và 33 ta đều có phân tích 

x



6

x



x 11

  6

x



x



2

x



3



x



2

x



x



3



x



2

x



4

x



3



 1







 1



 1 

 

   

 

2

x



x



2

x



3



x



3

x



2

x



3



 1





 



 

   

      

.

2

2

0 Xin nhắc lại kiến thức cơ bản: ABC ...  A B C . . ... ...   0

x



3

x

  4

x



5

x

 

6 2

 nên hướng xây dựng ẩn phụ đồng bậc

 1

3

2

2

 Đối với bài toán 32 ta có quan sát  A  B  x





  1  

sẽ là x  6 x  x 11   6 x  x x 3 2    x  1. x  5 x  6 (*).

 1





   3  x      0 1 x 

2

2

x  x  2 x  3 Lưu ý điều kiện  2

1 2

 







5

3

2

x

x

x

x

x

  nên hướng xây dựng ẩn phụ đồng bậc

3

2

2

 Đối với bài toán 33 ta có quan sát Dễ thấy (*) xảy ra hiển nhiên. Kết quả thu được lời giải 1 bài toán 32. 3 2

  x



 1

 

sẽ là x  6 x  x 11   6 x  x x 3 2    x  3 2. x  3 (**).  

 1





     x 3      0 1 x 

3x  .

x  x  2 x  3 Lưu ý điều kiện  2

Trong trường hợp này (**) không đúng, nói khác nó chỉ xảy ra khi Điều này đặt ra một nghi vấn: Phải chăng chúng ta đang gặp một chướng ngại vật ?

Bởi vì hai nhân tử này luôn dính với nhau như "hình với bóng", nếu tách ra sẽ rất phức tạp. Vậy có nên dừng lại hay không ? Không, trường kỳ kháng chiến nhất định thắng lợi ! Đoàn kết, đoàn kết, đại đoàn kết ! Thành công, thành công, đại thành công ! Có một số phương án lựa chọn như sau

2

2

x



3

x

  2

u

;

x

  3



0;

v

  

u 2

0

v



uv 3

 v u



2

Trường hợp 1:  Dùng vũ lực, tách biệt hoàn toàn hai nhân tử bằng cách chia trường hợp 3x  , (**) xảy ra, chúng ta "mãn nguyện" với hai ẩn phụ 2

3

2

2

Trường hợp 2: 1

x  , (**) không xảy ra nhưng lại có mũi vu hồi bất ngờ  1





   

  6   x 11        6 2 3 3 x x x x x x x 2. 3  x  

2 3 

x

a ; 3

  x



0;

b



0

 b a



2

2

Chúng ta không được "hài lòng" lắm với hai ẩn phụ .

a

2



  

a b

 a b

ab 3



2

b

    a b 0

0

x  

  2 

a

0

b 0;

  . Và tất nhiên trường hợp này sẽ vô nghiệm.

Phương trình khi đó có dạng

Sở dĩ như vậy vì Phương án 1 rất khả thi, song chưa phải tối ưu vì phải chia hai trường hợp, hai lần đặt ẩn phụ, mặt khác một trường hợp mang tính chất "thủ tục" vì lý do vô nghiệm, song nếu không có nó thì bài toán coi như không trọn vẹn về "tư tưởng".

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 30 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 Thỏa hiệp, tâm lý chiến, gián tiếp: Không tách biệt riêng biệt hai nhân tử, vẫn để chúng "dính kép" vào nhau. Sử dụng phép đặt ẩn phụ phía trong căn, sau phép bình phương trực tiếp (kéo theo điều kiện) chúng ta đã có quyền sinh quyền sát, thực hiện đưa về nhân tử, lúc này có "dính kép" cũng không quan trọng nữa. Kết quả chúng ta đã thu được lời giải 1 bài toán 32. Tuy nhiên việc giải các hệ hỗn tạp cũng gây không ít trở ngại.

B



 Chiến tranh du kích, mềm dẻo, linh hoạt: Không tách riêng hai nhân tử, nhưng mục tiêu trung gian là tìm tỷ lệ giữa hai nhân tử, vậy tại sao không để chúng "dính kép" với nhau theo "tỷ lệ" ấy, không ảnh hưởng nhiều đến việc độc lập hay ly khai phức tạp. Chúng ta hãy tác thành cho họ !



0

A B

3

x  không là nghiệm, đây sẽ là "cái cớ" để chia hai vế cho biểu thức

3x  , hệ quả dẫn đến

2 3 x

2 0

  , nhưng không nên, vì như vậy sẽ phải xét hai

x

x 1;

x  có là nghiệm của phương trình hay không.

cũng xác định. Các bạn lưu ý : AB xác định thì

2

3

3

x



4

x

 

5 5

x



7

x



6

x



   .

Kết quả ý tưởng thu được lời giải 2 bài toán 32. Nhận xét ẩn phụ rất gọn gàng. Có thể nói với dạng toán này, phương án 3 là tối ưu. Các bạn hoàn toàn có thể chia hai vế cho trường hợp 2 Giả định có một chú kiến "phải" bò từ đỉnh này sang đỉnh kia (hai đỉnh của hai góc nhọn) của một tam giác vuông thực, kiến sẽ chọn bò theo cạnh huyền hay theo hai cạnh góc vuông, hay là theo đường gấp khúc hoặc một đường cong nào đó ? Với điều kiện trên các con đường của ta không có một giọt mật nào. Hy vọng các bạn thông minh hơn kiến nhé ! Sự linh hoạt này các bạn có thể áp dụng trong việc giải bất phương trình chứa căn, loại bỏ đi khá nhiều tiểu tiết không cần thiết. Mời quý độc giả theo dõi các thí dụ tiếp theo.

3



 1





2

2

BBààii ttooáánn 3344.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. 3 Điều kiện x  7 x     6 0 x x  3 x  2 x



2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với 5 x  2 x  3. x  2   3 x  x 3

  

u v

u 3



v 2

 0

uv 5

u 3

v 2

x

x

;

x

  2



0;

v



 v u

  0







2 2    u 3 Đặt Xét hai trường hợp

3



29

2

2

2



2

x

3

x

0

 



3

x

 

5 0

x

2

ta có  x       0 2 1      x 2 2 2 







2

2



v 2



0

x







3

x

2

4

x



2

x



22

x



 35 0





3



29

u v   3 u 

   x 



   9  

   9 

  x    x 

2

2

2

x

2



2

x

3



3

x

 

5 0

x











  x



2

2

0 

0

11 2 109 9

11 2 109 9

x







3

x

2

4

x



2

x



22

x



 35 0





u v     3  2 v u 



   x 

   9  

   9 

3



29



3



29

 .



2;

;



S

2

11 2 109 9

2

   

    

 ; 1    

   

   

   

2

3

x

x

x

x

2









13

32

24

 36 7

x



   .

x



32 0

 .

3 24  4

x x  không là nghiệm của phương trình ban đầu.

. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm

BBààii ttooáánn 3355.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện Nhận xét Phương trình đã cho tương đương với ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 31 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2





  









1

x 8 x 8 2 x  4 x  8  5 x  4  7 x  4 x  8 x 4 2. (1)   5 7  x 4   x 4  x 4   x 4

2

  t 2

t 7

   

5 0

t



5

  0



 t 1 2







2 4   x

 t    t 

2

2

8 x Đặt  t t  0 thì   1  x 4

t

  

1

x

4

x

     4

8

x

x

3

x

   

4 0

x

x



4

0



 1



     x

5 2  4;1

2

2

t

4

x



4

x



8



25

x

  

4

4

x

9

x



68 0;

   

1007 0

 .

 . Phương trình vô nghiệm.









5   2



 S  

4;1

.

2

3

4

x



25

x



 14 3

x



x 31



30

x



   .

So sánh điều kiện, ta thu được tập nghiệm

3



 1





2

2

4

x



6

x



5

6



3

x



6

x



5

x



6

x

















2

2



x



6

x



x



6



3

x



6

x



5.

x



6

4



5





BBààii ttooáánn 3366.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. 5 Điều kiện x  x 31  30 0    x x  5 x  6 1  x      0 6 x  Bất phương trình đã cho tương đương với

  ta có

x

2 6 

x

  5

a ;

x

  6

b

a

0;

b



0

 





Đặt

2

2

  1







1

2

 

5 0

4

a b

     

a b

0

0

a b   0   4 a b    ab 3 a b 4  a b 4      0 a b

x x

 x 6   6 0

  

 x     x 5     x 6 

7



53

7



53

2

2

  x

a b

  

x

6

x

     6

5

x

x

7

x

   1 0

 (Hệ vô nghiệm).

2

2

7



53

7



53

. 



5;

S



2

2

  

 ;1  

  

  

2

3

2

3

x



14

x



 14 2

x



x



26

x



24

x



   .

. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm

3

2



 1





2

2

BBààii ttooáánn 3377.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. 4 Điều kiện x  x  26 x  24 0    x x  6 x  4 1







4

2

x

x

3



5

x



6

x



5

x



6

x



4









Bất phương trình đã cho tương đương với  x      0 6 x    

2 5 

0

 

0

 

0

u v 3

 

2

uv







2

2

2

2

 u v

 u v 9



0



uv 6



v



uv 4



10

uv



v



0

  



3 u v   9 u 

3 u v   9 u 

u v 3      

Đặt x x   6 u x ;   ta thu được 4 v

Xét hai trường hợp

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 32 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2



22

934

x



14

x



 14 0

0

 

2

 9

x

4

x

 

2 0





22

934



x

x



44

x



 50 0

3 u v       u v 0   9   u v 0 2 

 3    9 

 9

  x    

2

x



14

x



 14 0

0

 

2

x

4

x

 

2 0



2

x



44

x



 50 0

3 u v       u v 0   9   u v 0 



22

934

 (Hệ vô nghiệm).

S

6;



   4;

 9

 3    9      

  

2

3

2

3

x



5

x

 

5 2

x



2

x



x 11



12

x



   .

Vậy ta có nghiệm .

 1





BBààii ttooáánn 3388.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. 4    4 3 x x x Điều kiện  1

2

2

 x      0 3 x  Phương trình đã cho tương đương với

2

2





  









x 3 x 3 3 x  2 x  3  x  4  2 x  2 x  3 x 4 3.   1 2 (1)  x 2   x 4  x 2   x 4





2

2

2

      t

0

1

x

2

x

       (Vô nghiệm).

1 0

4

3

x

x

x

x 3 Đặt t t  ta có  0

t 3

t

 1

2 2   x   1



 t 1 3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2

3

5

x



x 11

 

2 2

x



4

x

x



   .

 x 4      t 1 2

2

 x x



BBààii ttooáánn 3399.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. 2 Điều kiện  4

2

2

 x      0 0 2 x  Phương trình đã cho tương đương với

2

2









 x x

  

x x x x 5 x  2 x  x  2  6 4   1 6 5.   2 2 x x  

2







 t 1 5

2

2

x x t t   Đặt 0 ta thu được t 5     t 1 6 t 1 2 2 1  t       1 0 t 5

2 2   x 2 Xét hai khả năng xảy ra 1

  

2

x

x

t

2 0

2

x

x

x

      . Phương trình vô nghiệm.



49

2201



49

2201

2

2



t 5

  1

25

x



2

x

   2

x

25

x



49

x

2 0

x

;





 50

 50

        

    



49

2201



49

2201



S

;

 50

 50

     

    

Kết hợp với điều kiện ta thu được nghiệm .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 33 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.. GGiiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 2

3

2

4

x



15

x



x



6

x



2

2

1.

4

x

  x

 19 5

4

x



5

x



x

5



6  . 

10 5  

11 x  1

2

3

2

2. .

x



6

x

  7

4

x

x



7

x



2

2

. 3.

5

x



22

x



 12 3

x



4

x



2

x

  . 1

20 

 

2

3

2

4.

7

x



24

x



x



x

 . 4



2

2

5.

x



2

x



3



x

4

x



3



 . 5

x

13 

19 4  

2

2

6.

5

x



6

x

 

1 6

7 x  1   . 1

 x x

2

3

7.

3

x



13

x



7

x



x



12

2

2

. 8.

3

x



17

x



 22 2

x



6

x



5

x



7





5 

3

2

2

. 9.

3

x



10

x

 

5 5

x



6

x



x 11

 . 6

3

2

10.

3

x



8

x



 13 5

x



7

x

 . 6

3

2

2

11.

3

x



10

x

x



9

x

 

x



2

2

12. .

x



2

x

 

4 2

2

x

  x

x



3

24 

2 8 

 26  1

2

2

13. .

2

x



3

x

 

5 2 2



4

x



5

 x x



2

2

14. .

x



5

x



 12 4

x



x



3

x



 3 2



2

3

2

15. .

2

x



7

x

 

3 5 5



22

x



x

 . 6

2

2

16.

6

x



7

x

 

2 7



3

x



2

x  x x

23 

2

3

2

17. .

12

x



17

x



 10 5 3

x



22

x



20

x



24

3

2

2

18. .

2

x



9

x



x

x

  x

12

3

2

2

19. .

2

x

  

1 2

x

x

x





2

x

  x

2

22 9  

3   1



2

3

20. .

x



10

x



 10 6

x



2

x

 . 1

2

3

2

21.

18

x



13

x



46 11 6



x



29

x



33

x



10

2

3

2

22. .

x



4

x



 19 4

x



7

x



7

x



15

2

3

2

23. .

x



9

x

 



3



2

2

24.

3

x



4

2 4

 

x

x



x



2

x 11  . 6 

2 4 2 x 

x  1

3

2

2

25. .

4

x



7

x



 17 7

x



4

x



5

x

 . 6

3

2

2

26.

4

x



12

x



5 6

x



7

x

 . 1

2

3

2

27.

5

x



5

x



 16 11 5

x



x 31



50

x



24

2

3

2

4

x



22

x



6 4

x



5

x



47

x



 12 11

28. .

3

2

5

4

3

2

29. .

x



2

x



3

x

 

2 2 2

x



3

x



x



2

x



3

x

 . 1

30.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 34 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

x

  1

2

x

  1

3

x



8

x



4

x



   .

1 0

 

2

x

2

 

4 0



8

x

x

2

Điều kiện BBààii ttooáánn 4400.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.   3 

x

  1

2

x

  1

3

x



2

x

2

x

 . 1



   1

Phương trình đã cho tương đương với

 b a



2

2

2

2

2

2

a b

 

a 3

  

b

a

2

 ab b



a 3

  

b

   (Do a b

0

a  ). 0

 a a b



x

  1

x

  1

2

x

  1

  x

0

Đặt x   1 a ; 2 x   1  0; b  0 ta thu được

2

x

x

2



1 2

  

1  x x  . 0

Do đó

23 x

2

2

4 0; 2    8 x

  Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm Lời giải 2. Điều kiện   . 1 0 x Phương trình đã cho tương đương với 2 

1 2

 



2

x

x

x

2

x

 

1 2

x

 

1 3

x



8

x

  

4

x

2

x

 

1 2

x



4

x



2

2

 1



 1

   1

x

x

 

1 0

x

 

1

x

2

x

  1

x





  

 1



2    1

x x

  1  0

2

x

  

1

x

1

  

2

  

2

x

  1

x



2

x



1

      

x  . 0

2

x

  1

2

x

  3

5

x



12

x



8

x



   .

So sánh điều kiện ta thu được nghiệm

2

3 2 

8 0

 

12

x

x

Điều kiện

2

BBààii ttooáánn 4411.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.   x   5 

x

  1

2

x

  3

5

x



2

x

2

x



3







   1

Phương trình đã cho tương đương với (1)

 v u



2

2

2

2

2

2

2

2

   u v

u 5

  

u

v

uv 2



v



u 5

  

u 2

v

 uv v

  

u v

0

 u v 2



0

  1







x



1

x



1

    

1

u

v

x

2

x

  3



  x

2

2

2

x



2

x

 

1 2

x



4

x

 

4 0

3

  

  

 x x  . 2

Đặt x   1 u ; 2 x   3  0; v  0 thì

2

5

x



12

x

 

8 0;

x

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất Lời giải 2.

3  . 2

2

2

2

3 2

 

1 2

 

x

x

x



2

x

  3

5

x



12

x

x

8

x

  3

4

x



12

x



10

Điều kiện

 1

 1



2

2

x

2

x

  3

2

x



6

x

  

5

x

2

x



2

2

x

  3

x

2

x



3

  

 1



 1





   2 

2    1

2

3

x

2

x

  3

2

x





2

x

  2

  

 1



 1



   3

  2

2 x

x   1

x  3 2  1 x

Phương trình đã cho tương đương với   x 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 35 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

2



t

t



0



 1







2 x

x   1

x  . 2

Đặt      t 2 t t t  2     t 0 1 2 x      . 1 2 3 x x thì   2

2

2

x



2

x

   1 1

4

x



2

x



4

x



   .

Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

BBààii ttooáánn 4422.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

x   . Phương trình đã cho tương đương với

1 2

2

2

Điều kiện

 3 2

 1



 1

 3 2

 1



   1

0

2

2 x   1 2 x   1 4 x  4 x x     2 1 x 2 x   1 2 x   x  (*).

   

u v

u

2   v 3



 v v



2

2

2



0



uv 2



v



u



v 3

0 

u v     2 u 

u v        v v u  

Đặt 2 x   1 u ; 2 x   1  0 ta có  

0

2

x

  1

2

x

 

1 0





v

0

2

x

 

1 0

u v   

    

Xét hai trường hợp xảy ra    (Hệ vô nghiệm).

0v  nên

2





x  x  0    Do      u 2 1 x v 2 x   1    x . v 3 2 u v    u 1 2 x x 2  3  0 4 x 1 2  4 x   1 2 x  1          

S

3      2  

Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm .

Lời giải 2.

x   . Phương trình đã cho tương đương với

1 2

2

Điều kiện

2 x   1 2 x   1 4 x  2 x  4

2

2

 1 2 2

 1

 1 1 x 2

 2

 1

      2 2 

2 x   2 x   1 2  0 2 x   1 2 x    1 2 0   4 x  4 x   1 2 x   x  2 x   1 4 x  2 x  4 x    1 4 x      

2

x  0 2 x x       x 3 2 2 x   1 2 x  1 2 x  2 x   1 2 x  1   1 1  1           4 x 1 2  4 x   1 2 x  1     

S

3      2  

2

x

  1

2

x

  1

2.

x





2

x



x

Đối chiếu điều kiện ta thu được tập nghiệm .



 1



 1



   .

BBààii ttooáánn 4433.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải 1.

x   .

1 2 x a ; 2

Điều kiện

 b b



Đặt x   1   1  0 phương trình đã cho trở thành

2

2  

2

2

2

2

2

0 a b   0 a b   0 a b   2. a b     a b .  a b a  b  2 ab  2 a  b 2  a b  0          a b      

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 36 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1

x

1

x

   x

1

2

x

  1



  x

4

 2



4



0

x



2

x

 

1 2

1

  x x



  

    

.

S 

x   4

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm .

  a

 b ;

Lời giải 2.

x   . Để ý rằng

 ta có

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 2  a b

   2

ab a

0

  

b

a

2

 ab b



2

a

a b

b



2

a



b

Điều kiện











   





(*).

2

2

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có



 1



 1





2

x   1 2 x  1  2 x   2 x     



 1



 1

2

   x 1 2 x   1 2 x   2 x     

 1



 1

  1

 Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi tại (1) xảy ra dấu đẳng thức

   x   1 2.   1 2 2 x x x 



2

2 x   1 0 1 1 x   1 2 x   1 0     x 4 .  4  0 x   1 2 x  1  x    x x        x   1 2 x  1 2

2

1

  x

x



x



x

x

. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    x    1 x    S  x   4



   .

  2 1 3



0x  .

BBààii ttooáánn 4444.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

Lời giải 1. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với

 2 1

2

  2 1 2



1   x x  x  x     1 2 x x x   x  2 x (1).





2

2

2

2

2

2

2

Đặt 1   x u ; x  v u  1; v  thì (1) trở thành





   



   

2

2

2

2 u u v   u v uv 2  v  2 u u v v  0 0 



  

0x  .

      x 1 0 1 x x x x x x u 2 0 u v         1



2

2

2

2

  x

2 1











x

x

x

x

x

   

1

x

x



x



x

 ;x x ta có



  1;1 , 1 

  2 1 3

  2 1 3



 1



 

0

0

2





(2) v Kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải 2. Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai cặp số dương   2 1

x

 



x



1 2

3 4

   1  Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (2) xảy ra đẳng thức  x   1  

x 1

 1

  

 x       

(Hệ vô nghiệm).

0x  .

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải 3. Điều kiện

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 37 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nhận xét

x  không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

0



x

  1

2

  3

x

x  , bất phương trình ban đầu trở thành

0

1 x

1 x

  

  

2

Xét





2

2

2

Đặt  x  t t      ; ta được x 0 2 t 1 x 1 x

t

  1

2

t

  

t

t 2

 

t 1 2

  

2

t

  

0

t

1



2 1



 1



x



2

.

x

2

t    1 x  (3) 1 1 x

 . Dẫn đến (3) vô nghiệm.

1 x

1 x

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét.

x

3



1

x



 Các bài toán từ 40 đến 44 đều giải được bằng cách sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc (bậc hai), điểm nhấn trọng tâm là không thể đưa về dạng đồng bậc trực tiếp mà trước tiên phải thực hiện phép biến đổi tương đương và nâng lũy thừa hợp lý. Mặc dù cùng một phương hướng nhưng mỗi lời giải đều có những nét riêng đáng lưu ý (hai lời giải của bài toán 43). Ngoài ra các bạn có thể sử dụng biến đổi tương đương, nâng lũy thừa trực tiếp hay đưa về phương trình tích, vẫn rất khả thi đối với lớp bài toán dạng này.  Hai bài toán 43 và 44 tác giả trình bày phương pháp sử dụng đánh giá – hàm số – bất đẳng thức để các bạn có cách nhìn toàn diện, đầy đủ và bao quát hơn trong quá trình lựa chọn lời giải. Hai lời giải 2 tương ứng của bài 43 và 44 có cùng bản chất sử dụng hình thức bất đẳng thức Bunyakovsky, tuy nhiên lời giải 2 bài 40 có lập luận theo hằng đẳng thức mang tính chất "cơ bản", vì lẽ đó phần nào được ưa chuộng hơn.



  .

2

2

x



3

x



4

1



  x 



BBààii ttooáánn 4455.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

3

  x

x

  1

2

x

   

2

x

x





3

x

   

2

4

x

x



2

x

2

x



4

x

  4

x

x

4

3











Lời giải 1. Điều kiện

 0

 ta thu được

 v u



 

0

0

2

u v

 

2

u

v



2

2

2

2

2



 2  



v





2



v

 u v



0

  





u v      

u v    u  

       x

2

u

x

v

x

x



2

     x

0

1

x

1



uv 2  1

u 

1x  .

Đặt 2   x u ; x  

2

2

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm duy nhất Lời giải 2.

0x  . Biến đổi về

3

  x

x

  1



3

x

   

2

4

x

x



2

x

2

x



3

x



4









0

2

4

2

Điều kiện .

2

  

t

t

2

t



t 3

4

t

2 0



0





4

2

4

2

2   t

t 4

 

t 4 2

t



2



2

t



t 3



4









  t  2 t        t 

Đặt x  t t  ta có



  

4

2

3





4

3

2

 1 t 2

0 0   t 2 t t  2  0  .   4 2  t 2  t 3  0 t    t     t 3  t 4   4 0   t       t 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 38 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nhận xét

0

2

2

  t 2 0   t 2   t 0

   

2

t  không là nghiệm của hệ. Do vậy ta có 0  2       

  3 0      2 t t   2 t    1 0 t 1  0 4 2 t 2 t 2 t 2 t 2   t          t                      

2



1x  .

0   t 2 2 0   t 2       1 x t 1 t  t  2  0    1 0    2 0 t   t  1   t  0       2 t    t 

2

2

So sánh điều kiện, kết luận nghiệm Lời giải 3.

0x  . Phương trình đã cho quy về

3

  x

x

  1



3

x

   

2

4

x

x



2

x

2

x



3

x



4









Điều kiện .

x  không thỏa mãn phương trình trên.

0

2



x

  1

2

x

  3

0

Nhận xét

x  thu được

4 x

2 x

  

  

Xét trường hợp . Đặt  x x t t  . Suy ra 4 4     x 2 x

2

2



   1

2

2

    1 t   1 2 t     1 t x  1   t 2   t 1 2  2  0 t  2 x 1  1 t   t  t      



 1



1x  .

x   2      x 2 x x x  2   0   x 1 x  1   

2

2

Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm Lời giải 4.

0x  . Đưa phương trình về dạng

3

  x

x

  1



3

x

   

4

2

x

x



2

x

2

x



3

x



4









2

2

2

Điều kiện .

2 1











   

2

2

  x  2 x  2  x  x  2  3 x  4 x Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có  2 1  









   2 x x   3 x     4 2 x x  2 x 2 x  3 x  4

Phương trình đề bài có nghiệm khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là



 1



2     x x x x  2    . x 0 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Nhận xét.

0



  x t t

 Bài toán 45 sau khi biến đổi có dạng tương tự bài toán 44. Lời giải 1 sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc quen thuộc, lời giải 2 về bản chất nâng lũy thừa trực tiếp có kéo theo điều kiện, việc đặt đặt ẩn chỉ làm cho bài toán gọn gàng về hình thức. Hệ quả đưa về hương trình đa thức bậc bốn, phụ tuy nhiên đã có một sự may mắn xuất hiện, bởi đây là phương trình đối xứng hồi quy, phương pháp giải có lẽ đã rất quen thuộc với một số bạn. Kết quả thu được hoàn toàn trùng hợp với lời giải 1.

 Ngoài ra hình thức bài toán 45 cũng có sự đặc biệt do đây là trường hợp xảy ra đẳng thức của bài toán áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, các bạn có thể giải tương tự theo lời giải 2 bài toán số 43. Phương pháp đặt ẩn phụ trong lời giải 3 các bài toán 44 và 45 thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học môn Toán những năm gần đây, cụ thể là Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010 môn Toán chính thức và Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2012 môn Toán chính thức. Về dạng toán này, tác giả chỉ xin nhắc lại, hiện tại đã được trình bày cặn kẽ tại Lý thuyết đặt ẩn phụ các phần 2 và 3.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 39 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

  x

x



1

x





  .

2

2

x



5

x



9



1





BBààii ttooáánn 4466.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0

2

Lời giải 1.

  x

0

x



5

x

 

2

2

x





9

5

x



1



9 0 

  x    

2



10

x



2

  1





5

2

9

x

x

  

0,

x

Điều kiện .

 .





2

2

x



5

x





1

9

17 

x 2  Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

Nhận xét rằng:

2

  x

x





5

x



9

    3

1

x

x





5

x

   

9

3

x

x



2

x

2

x



6

x

  9

x

2

x













2

2

.

a b

 

2

a



b





  a

 b b  ; b

Đặt 3   x a ; x  0  ta thu được (1)

2

2

2

2

2

2

2

 a b

  

ab a

0

2

  

b

a

2

 ab b



2

a



b

  ta có 







2

2

2

2

2

a b



2

b

a

      a b

a b



b

a

2







     a

  ; b

0

 . Kết luận nghiệm của bất phương trình là

0x  .

2

2

Chú ý rằng

0;





5

x

x

 

9 0; 2



5

x



9

   . x

1

0

x





2

2

2

2



2



5

x



9

 

1 2

x



10

x



17



2

x



     x

0

x

2

x



5

x



9

 

1 0

Do đó (1) nghiệm đúng với Lời giải 2. Điều kiện x









5 2

9 2

  

  

Nhận xét .

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

2

  x

x





5

x



9

    3

1

x

x





5

x



9

2

x

2

x









x

  1

2

x

  5

0

0

(1)

x  . Xét trường hợp

x  ta có   1

9 x

3   x

  

  

2

Dễ thấy (1) thỏa mãn với

t

 

1

t

  1

2

 

  1

t

  1

2

t





  t

 .



   1

t t

  1   1

2

  

2

2

 

t 1 2



2



t 2

t





0

1  1

  t       

  t     t  0x  .

2

2

2

2

3

2

Đặt  x x t t  ta thu được 6 9     x 3 x

 ; 0

cg

af

bf

af











x

x

 . 0

    bf x g x

  cf x g

  x

  x







  x

2

2

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm Nhận xét. Xin nhắc lại hai dạng tổng quát đồng bậc hai và dạng đồng bậc ba như các bài toán trước dg

  af x

   bg x

    x g x  

  x

Áp dụng cho dạng tổng quát chứa căn:   c df eg  x .

Các bạn thực hiện bình phương hai vế kèm theo điều kiện để quy về dạng phương trình đồng bậc bậc hai có hình thức rõ ràng hơn.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 40 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x



2



x





  .

2

1 2

6

x



2

x



4



2

x





BBààii ttooáánn 4477.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

0

2

Điều kiện 2 x   4 0   x 0



2

2

2

6



2

x



4

4

x

2

x



3



2

x

  0



2

x



4



2

x



6

x





0

6 x  2 x  4  2 x Lời giải 1.   x   x    





2

2

x



2

x





2

x

 4

 6

6

x



2

x

 

4



2

x

 

x 



 6 

2

2

Nhận xét .







2









x

u

;

x

v

   1

    2 4 2 2 6 x x x     2 4 2 2 x x x  6 x  2 x    2 4 x 2  2 x  6 x  2  12 x Bất phương trình đã cho tương đương với 

 thu được

Đặt

2

2

2

2

2

2

2

2

    0 0   u 2  v 2  u 6  v 12     v 2 u 4  uv 8  v 4  u 6  v 12 u v 2  0 0  u v   u  u v    u v      

 v u 2

   0

      x . 4 2 3

v 2 x   3   2 2 x   1   x 3 1     x 4 2 3   u  0; v   0 2  u   u   x    x  2

x  

2

0

2

Điều kiện   x   4 0 0 . 2 x



2

2

2

2

2

   4 2 2 6 x x x Kết luận bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Lời giải 2.   x   x    











2

2

x x x 6 4 2      0 Nhận xét  2 4 x x  3   6 4 x  2 x   2 x 6 x  2 x  4  2 x  . 0









4

6

2

2

2

x

x

x

    2

4 2

2

x

x

x





2

x



4

6

x







 Bất phương trình đã cho tương đương với 



0

 x  không thỏa mãn bất phương trình (1).

(1).

0



2

x



  2

6

x

  2

Xét

x  ta có   1

4 x

2 x

  

  

  

  

2

Xét trường hợp (2).

Đặt x       ; (2) trở thành 4 x t t 4 x 2 x

2

2

2



   2

2

2





0

x



2



   x

4 2 3





2

2

x

  

4 4



4

x



8

x

 

4 0

t   t 

  

2 4 x

 x   

  t 2   2 0 t 2   2 6 t     t 2 t 4  t 8   t 4 6  12 2  t 2  0 t  2  0   1  1     t      t      

So sánh điều kiện ta thu được nghiệm x   4 2 3 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 41 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

x

  1

x



7

x



17

x



7

x



   .

2

2

BBààii ttooáánn 4488.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện 0; 7 17   x x x   . 7 0

x

  1

x



x

7

x



2

x

3







0

0

2

u v

 

7

u

2   v 3





2

2

2

2

 u v

u 3



v 2



0



uv 2



v



7

u



v 3

uv



v 2



0



  0 



  u v   2 u 

   1   u v   2 3 u 

u v      

x



1

1

x

Phương trình đã cho tương đương với . Đặt x   1 u ; x  v v  0 ta thu được

0

0;

v



0

5

3







  x

 2



v



v

 2

x



3

x

 

1 0

x

  1

x

u v   u 

u   u 

  

    



0;

v



0

0

  x

0

 



Xét hai trường hợp xảy ra     .





  x

1 2



v 2



0

11 2 10 9

4

x



9

x



18

x



9

2

x

 

3 3

x

u v   3 u 

  

u     



5

 .

;

S

9

 2

 11 2 10 3     

    

2



x



x



4

x



19

x



16

x

 2 2





   .

. So sánh điều kiện ta có nghiệm

19



105

  x

0

0

8

BBààii ttooáánn 4499.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

4

x



19

x



 16 0

19



105

 x  2 

8

     x 

Điều kiện



x



x



4

x



2



3

x

 b b

 2 2





2

 a b

0

2

2

a b

 

0

2

2

a b

 

4

a

2   b 3



2

2

2

2



0

4

a



4

 ab b



4

a



b 3

  

  

a b     b b a   

 2     b 0     b a

Bất phương trình biến đổi về .Đặt x   2 a ; x  ta thu được 0 

 a b 2 2 x  x  4     x 0 .  0 x  0   b  Xét hai trường hợp    



19



105

x  4 0 2  a b 2 x  x   4 0 17 33 0  x         1 x .  33 1 4  8 x  x  2  0 x   2 x   b a     x  1       2      1     x

S



  0

8

   1; 

  

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm .

Nhận xét. Để tìm các hệ số ẩn phụ trong căn thức các bạn nên sử dụng đồng nhất thức như các bài toán trước. Trong trường hợp bất phương trình, cần có nhận xét, đánh giá, lập luận để giảm bớt một số trường hợp, thành thử nếu không thì lời giải sẽ rườm rà, tốn kém thời gian, công sức. Ngoài ra các bạn cần tìm điều kiện và kết hợp nghiệm chính xác, bởi nghiệm thông thường là một khoảng, đoạn hoặc hợp các khoảng và điểm, thao tác thử nghiệm tỏ ta khá khó khắn, do đó rất dễ dẫn đến sai lầm và ngộ nhận.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 42 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

 6 3

x



x



2 3

x



14

x



12

x



   .

0

BBààii ttooáánn 5500.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 12 0





x

 x  2 3 x 

14 Phương trình đã cho tương đương với

2

Điều kiện

 3 2



 2 3 2

2





 x  x  2 3  4 x  4 x    2 x x  x   x  2 x

 3 2 

 

Đặt 2   x u ; x  v  0 thu được v

2

2

2

2

2

2

  0 u v 3   u 2 3 v 2  uv 6  v  u 12  v 8 3 u v     9 u 

2

2



  x

  x

2

0

0

v



0







  x

1

  0 0   0   u v   v 3  0  uv 2  v 3  0    u v u u v 3   u  u v 3       u   v 3 u v 3        

x



x



2



0

 

0; v

  x

x

2

u v 3     u  v 

u   u 



 .

      v

0      0

2  1  0

2

x





2

x



3

x



1



0   v 10   0 0 v  x      (Hệ vô nghiệm).     v 3 v 3  0 x  2 3 u v   u    u    u     3   v 1x  .   u  Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm



  .

x 2

4

x



2

x



3

BBààii ttooáánn 5511.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

x



2

x

 

3 0

Lời giải.



2

3

4

x



2

x

 

3 0

1  x    x 

    

2

2

2

Điều kiện

x



x



2

x

  3

5

x



x



2

x



3





Phương trình đã cho tương đương với .

x

2 2 

x

  3

y

y



0





Đặt ta thu được

2

2

2

2

2

2

x   y 0 x   y 5 x y x  y  2 xy  5 x  y     

2

2



0

x



0

x

  y

0

  y 0 x x   y 0   x y  y x 2 x  y  0 2 x  xy  y  0   y 0     x       2   y 0        x 



  x



2

2

x

 

3 0

x



y

3 2



2

x



3

  

  

 x   

x 0



0

x

x

  y

0

 .





2

2

2

x

  y

0

x



2

x

 

3 0

x



x



2

x



3



2

  

  3 

x   x    

 (Hệ vô nghiệm).

S

3      2  

Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 43 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

x

  1

x



x



3

x



x



   .

 2 4

 1

BBààii ttooáánn 5522.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

2

Lời giải. Điều kiện

 2 2

 1

  1

 1

  1   4 2 2 2 x x x x      1 x x x  x   2 x

0x  . Bất phương trình đã cho tương đương với  2 4 thu được

 b b



 a b

2

a b

 

2

a

2   b 2





 a b

2

  

2

2

2

2



a

2

 ab b



2

a



b 2

 a b

0



 a b   a b     

 a b   a b      

S 

0;

  .

 

Đặt 2 x   1 a ;   0 x

2

x



3

x

  2

x



7

x



4

x



   .

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định, tức là

0x  .

2

BBààii ttooáánn 5533.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

x

 

2 3

x



x



4

x

    

4 3

2 3

x

x

x



x



2



3

x



2

Bất phương trình đã cho tương đương với .

 b a



a



b 3

a



b 3

2

b 3

a

a



b 3

a



b 3



a

2   b 3

2

2

2

2





0

a



6

ab



b 9



a



b 3



  

    

        b a b   

Đặt x   2 a ; x   0; b  0 ta thu được

Xét các trường hợp



 1



b 3

3

x

 

2 0

 a    b 3 x 3 x     2 0 x x  2    0 1 x     . 1 4 2 x



  x

0

0

0

 a  b  

 x     x 

 .

2

2

x

  1

x



4

x



7

x



1

x



   .

a  b 3 x  3 x   2 0 x  2 x  4     a b   0 x  1 x  x   x  1               2 0 0x  . Kết hợp điều kiện ta có nghiệm

7



33

  x

0

8

BBààii ttooáánn 5544.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

4

x



7

x

 

1 0

7



33

 x  2 

0

  x

8

   

2

Điều kiện

2

x

  1

x



4

x



4

x

    

1 3

1

2

x

x

x







3

x

x

2

2 1

  a b

 a b

2

 a b

Bất phương trình đã cho tương đương với .

a b

 

a

2   b 3

 b b



2

2

2

2





0

a



2

 ab b



a



b 3



  

    

   a b      b a b   

Đặt 2 x   1 a ; x   0 thu được

Xét hai trường hợp

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 44 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



 1 2

 1

 a b    2 x x     1 0 x x       . x 1 1 0 x



 0 

 a b   b a b 

7



33

8

 (Nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định).

7



33

0

  x

8

  x    

2

x

  1

x

  2

x



5

x



   .

Kết luận bất phương trình đã cho có nghiệm

2

x

  1

x

  2

  

0

x

2

BBààii ttooáánn 5555.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x  . Nhận xét

2

x   1

  x x

3 

x

2

2

2

x

Điều kiện .



2

1

x

x

2 2

x



  2

x

    3

6 2

5

x

x



x



2





 1

2

2





  x

2

3

x

  2

2

4

x

  x

 22 0

 1  x  2 

 x   

 1 .

 x   2 S 

Bất phương trình đã cho tương đương với     x

2

2

x

  2

x

  1

3

x



4

x



5

x



   .

Bất phương trình đã cho có nghiệm

1x  .

BBààii ttooáánn 5566.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

  

  2

  1

2

1

x

x

x

x



  

0

x

1

11 4

  

21   2  Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

x

  2

x

  1

3

x



4

x

  

4

5

x

8

x

    x

1 4

4

x



x

 

1 3

x



4

x



5

 1

2

2

  x

5

x

 

2 4

x



x

   

1 0

x

2

x

 

1 4

x

 

1 3

x

0

x





 1



   1

  1



2

x



x



4

x



x

 

1 3

x

    0

1 4.



0



3.

  

 1



 1



 1

2

 1 x  1 x



x

1  1

2

1



1



t

t



0

 1 4 t



t 3

  

0

t

      

0

t

Nhận xét .







 t 1 3

 1

x  1  1 x

x  1  1 x

2

2

 1 3    2 0

Đặt ta có

2

2

1 3     

x x x    1 x 1   1 x  2 x  1 x    2 x 5 .    x   9 x  2 x  1  7 x   10 0 x    1 x 1    3  

S 

.    9 x   2;5 

2

x

 

1 2 2

x

  1

2

x



12

x



2

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm

BBààii ttooáánn 5577.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

1 x  . 2

Điều kiện

Bất phương trình đã cho tương đương với

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 45 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

 1



 1

 4 2

  1

 4 2

x   1 2 2 x   1 x     1 2 2 x x   1 2 x   x  x 2 2 x

   1 ta thu được

 

 v u

u



v 2

u



v 2

 v 2

u





0

v 2

2

v 2



v 2



0



v 2

u



v 2



u 2

2   v 4







v 2

 u   u 

2

2

2

2

2



v 4



0



uv 4



v 4



u 2



v 4



uv 4



0



u   u 

u   u 

u      u u  

    

    

    

Đặt x   1 u ; 2 x   1  0; v 0

1 x  . 2

2

2

x

3

x

  1

4

x



9

x



3

x



   1



   .

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

1x  .

2

BBààii ttooáánn 5588.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện

2

x

3

x

  1

4

x



2

x

x

1

   1

  1



    1

Phương trình đã cho tương đương

 b a

 



b 3

a

2

2

a



b 3

2



b 3

2

2

a



b 3

  2

a

b 3



4

a

2  

b

  1

2

2

2

2

b 2



a 3



0

4

a



12

ab



b 9



4

a



b

a 



  

    

      b   

2

2

Đặt x   1 a ; x   1  0; b  0 ta có

a



b 3

2

 

2 3

x



1

    4 1 x 8 x   4 9 x     x 4 9 x 13 0  (Vô nghiệm). Xét các trường hợp xảy ra sau x b 3     2 2 3 2 a

  x

1





0

1

  b 

2

2

 .

2

2

2 x x 4 2 a  b 3   2 3 x  1  8 x   4 9 x  9   x  13 0 4 x      x  .  b 2  a 3 x  18 x   9 4 x  4  14 x   13 0 x x   3 2  x       9   x  2 x    x     3      9   1x  .

1x  .

2

1 Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm Lời giải 2. Điều kiện

2

x

3

x

  1

4

x



2

x

x

1



   1

  1



    1

2

x

3

x

  1

  

0

x

1

Phương trình đã cho tương đương



   1

13 x

2

1

Nhận xét .

24   x x    1 x 3 0; 2

 b

 b a

 

Đặt x   1 a ; x   1  0; b 3 thì (1) trở thành   a

2

2

2

2

2

2   b

  1





0   2 a b 3  4 a    4 b a 12 ab  b 9  4 a b b 2  a 3  b  3 a b 2    0 



b 3



b 2

Xét các khả năng b 1 x x

S 

 1 0 0       .  Trường hợp 3 b 2 a .

hiển nhiên do 3 a 2  a    . 1;

2

2

x

    1

x

x

2

x



3

x



3

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm

BBààii ttooáánn 5599.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 46 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Điều kiện x   .

2

2

2

x

    1

x

x

2 3

x

x

2

x



    1

2

x

  

1

x

y

y



0

Bất phương trình đã cho tương đương với .





0

y

x

0

2

y

  x

2 3

y

2   x

2





  x 2 2

2

2

2

  y 2



y

x

9

x



11

y



0

y



x



2

xy



12

y



8

x

x



2

xy



11

y



0

  y 0 



  

  9 

x      

Đặt ta có

  y

0

x

2

0



  x

0

Xét hai trường hợp x

y    11 x

0 y



0

y



0

  y   x    x 9 11 

  x   9 

2

. 

2

2

2

1

x   .

  y 0     1 x x x x x   y 0 x   1 0 x     1 x x  x   y 0 x    1 x     1 x x x x      1 x 0 . x  0 x  0         20 x  11 y  0 x  0 x  0     9                 

2

2

x

    

2

2

x

x

4

x

  x

2

x



   .

Kết hợp hai trường hợp và điều kiện ta thu được nghiệm

2

x

  

2 0

x

2

BBààii ttooáánn 6600.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

     x

2 0

x

2

2 0

4

x

1  x    x 2 

    

   x Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

2

Điều kiện



2













2

x      2 2 x x 3 x   x 2  x  4 x        x 4 2 2 x x 3 x   x 2  x  2

x

  

2

x

u x ;

  2



0

 v u



 

0

2

   u v

u 3

2  

v



  1

2

2

2

2





0



uv 2



v



u 3



v

0 

u v   u 

u v       u u v  

Đặt , khi đó

2

Xét hai trường hợp

2

2

2

0

 



0;

v



0

     2 0 2 x x x 0   x      2 0 2 x x    (Hệ vô nghiệm).  0 u v   u  x    2 0 x      1   2     x  x 





2



v



v

x

    2

x

x

2

u v   u 

u   u 

 x   

2







2



x

x

  

2

x

x



4

x



4

 x  2 

2 6 5

 x   

(Hệ vô nghiệm).

2

2

x

x

2

1

3

3



    x

23

19





9

x

x

x



   .

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

BBààii ttooáánn 6611.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 47 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

2



2 1





   1





x

2 3 

x

  3

a x ;

  1



0

2 x  3 x     x 1 3  3 x  3  4 x  2 x 2 x  3 x     x 3 1 5 x  3 x  3  4 x  x 5

  b a



0

2

 

a b

2

a b

 

0

2

a b

 

0

2

2

a b

 

a 5

2   b 4



2

2

2

2

2

2

4

a



4

 ab b



a 5



b 4

a



4

ab



b 3



0

  

  

    a b     a b 3

x

 

1

b



0

Đặt ta thu được phương trình







2

2

x x

  1   2

 a 0;  a b

x



3

x

  3

x



2

x



1

  

  

  

 (Hệ vô nghiệm). Xét hai trường hợp   a b 0 2  a b

2

2

2

 1

      

x   1   1 x 2 a b   0 a  0; b  0     x .   x  3 x   3 9 x  2 x  a  b 3 a  b 3  33 15 16 x  15 x   6 0         8 

S

 33 15 16

     

     

1

1

So sánh điều kiện ta thu được nghiệm .

x   không thỏa mãn phương trình ban đầu. Xét trường hợp

2

2

Lời giải 2. Điều kiện x   . Nhận xét

x   , phương trình trở thành 



2

2



2    1





t 2

 

1 0

t 2

 

1 0



3

x

2

t 2

  1

t 5

  4







t

 3 3 5  3 x 2 x  3 x     x 1 3 5 x  3 x  3  4 x 2   1  4  2 3  x  x 1 x  x  x  1

2

2

2

1 3

2 3  x  x 1

t 4



t 4

 

t 1 5



4



t 4

 

3 0

 t    t 

  

  t 

x

 

1

2

Đặt ta thu được

t

  

1

x

3

x

    x

3

1



2

2

x x

1     2

x



3

x

  3

x



2

x



1

  

  

 (Hệ vô nghiệm).

2



   1

2

2

2



 1

x   1   1 x     x . t    3 x 3 x   3 3 x x  3 x   3 9 x  2 x   33 15 16 x  15 x   6 0   8 

S

 33 15 16

    

2

2

1



x

 

1 2

x



2 14

x



12

x



1

x



   .

2

. So sánh điều kiện ta thu được nghiệm          

2

2

2

2

2

2

  . Phương trình đã cho tương đương với BBààii ttooáánn 6622.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện    1; 4 12  1 x x x

 2 3 1 2



   1

 2 1



 2 1



2

1  x   1 2 x  x  4 x    1 x x   1 2 x   x   x

1



x



 ;1 2 a

 x b



0

a



Đặt ta có 1 0  2 3 4 

2

2   b 2

2

2

2

2

2

2

a b   0 a b   0 a b   a 2 3  a  2  ab b  12 a  b 8  2 ab  b 9  0      11 a 



0   a b a b   0 a b   0      a b a 11  b 9  0  a b  b 9  0   0       11 a  a b        b 9  0    a b    11 a 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 48 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Xét hai trường hợp xảy ra

2

2



0

a

0



a



0

2

a



0

x



0

   1 x    1 x a b   0 a  0; b  0 o   x 0 .     a b  a b       x 5 x  4 0  x   4 x  1 1 2 x 4 1 2       1      





a



0



0

x



0

  b 

  1  1 2  

b 9



0



0

0 

  a b   0   11  9 b a 

    a   11 a 



b 9



0

 a  2     9  a 11 

x  . 0

o (Hệ vô nghiệm).

2

2

4

2

x



2

x

 

1 3 3

x



2

x



2

x



   .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

x  . 1

2

2

4

2

BBààii ttooáánn 6633.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

x



2

x

 

1 3 3

x



2

x



  1

2

2

x



a ;

x

  1



1;

b



0

Phương trình đã cho biến đổi về



Đặt ta thu được

 b a b

2

2

2

2

2

2

2

2

 a 9 3





1;

0

2

2

4

2

a  1; b  0 1;  0 a  1; b  0 a    a  4 ab  b 4   b 2  2 ab  b 11  0 a  b 2  a 3 3  b 2   a 13           



   

a b

x

x

  

1

x

x

 

1 0

 a b

a 13



b 11



0

 b 



a    

(Vô nghiệm).

2

2

x

  

6

x

x



3

x



4

x



18

x



   .

2

  

6 0

x

x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.



0

x

  x

2

2

 18 0





4

x

x

Điều kiện .

2

2

BBààii ttooáánn 6644.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.     3 

x

  

6

x

x



3

x

  x

6

 . x





2

Phương trình đã cho quy về

x

  

6

x

u

;

x





0;

v



0



 v u v

0;



0



v

0;

0



0;

v



0

u



0







2

2

2

2

2

2





0

u



v

uv 2





v

u 3

v

 

v



 

  

u      u u v  

2

Đặt thu được

u    u v   x

0

      

6 0

0

3

x

x

x

u

u   u   2

u 3 





2

2

 .

6

x

x

v

x

x

6; 6

u

  x                 x

  3; 2 

 .

6 0 



2

x

  

6 0;

x

x



0

2; 6 . Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm S 

  x

2

2

x



4

x



 18 0

Điều kiện . Lời giải 2.    3 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 49 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

x

6

3

x



x



18

  1

1 1

x

1



1

3

x

  x x

4 x

6      x

6   x

  

   0

2

2

2

x

  

1

t

t



0

Phương trình đã cho tương đương với

 t t





6 x

2

Đặt thu được t   1 t 3    1 t t 2   t 1 3 0 1 t          1 1 t

2

 t 6 x 2  x         0 x x 3 

t

x

1

6

0

x

x

6

6

6 x

 .

        

x    

2

2

x



2

x

  

2

x

5

x



9

x



10

x



   .

Quan sát điều kiện, kết luận nghiệm S  . 2; 6

0

  x

1

BBààii ttooáánn 6655.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

  

2 0

x

 x  2 x 

2

2

Điều kiện .

x



2

x

  

2

x

5

x

  x

2



4

x





2

Phương trình đã cho tương đương với

x



a ;

x

  

2

x



0;

b



0

 b a



2

2

2

2

2

2





0



a 5



b 4



b 4





 

a b

a a

ab   b 4 4   0 0; b

 a a b 

0;

a

b

 

0

 

 b 2  b 0;

a 5 0

a a

  

    

    

2

2



x

  x

2

x

x



2





  x

2

x



1

x



1

  

  

Đặt ta quy về



2

. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S 

0

  x

1

Lời giải 2.

  

2 0

x

 x  2 x 

2

2

Điều kiện .

2

2





2

x 2 x 2 Biến đổi về dạng x  2 x    2 x 5 x   x 2    1 2 4 x  5.  4   x x   x x





x 2 Đặt  t t  0 ta thu được   x x

2

2

2

 t t

 1

 2       



0  1 2 t  t 5    t 4 4 t 4   t 1 5      4 0 2 1 x x t 2; 2 . 1  t   t



2

2

x

6



1

x



Quan sát và kết hợp điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S  .



  .

  x 2

3



3

x



14

x



27

BBààii ttooáánn 6666.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0

Lời giải.

2

3

x



14

x



27



0

 x  3  

Điều kiện

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 50 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

3



3

x



14

x



27

  3

3

x



  3



0



7 3

32 3

32 3

  

  

Nhận xét .

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

6

  x

2

x

  3

3

x



14

x

   

27

3

x

2

x



x



6

x



9



4

x

3



 0

2

(1).



   u v

u 3

2  

v

 v v



2

2





0



v



uv 2



u 3



v

0 

  u v   2 2 u 

  u v     u u v  

Đặt 3   x u ; 2 x   0 ta có   1

Xét các khả năng xảy ra

  0 x  0 x   3 0   x 2 2 x  x  3

  0 x 0 3 x      1 3 x x 3 .

 v   x 2 x 2 x  x   3 0 x  1 u v   u   u 

  x 2   0 x  0 2  x x   3 0 x  3

  0 x 0 3 x x 3 (Hệ vô nghiệm).

 v   x 2 x x   3 0 x  1 u v   u   u   3  3      3   3  3      3             

x

1



1

x



              S  . Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm  x 2 1;3 



  .

 2

x

x



  x

1

BBààii ttooáánn 6677.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0x  .

2

Lời giải. Điều kiện

1



x

  x

x

    

1

1

x

x

x





x



3

x

 1

2

Bất phương trình đã cho tương đương với .

  0

2

0 u v   u v   0 v 0 

2   v 3





2

2

Đặt 1   x u ; x  v v  0 thì u v   u  0 0 2  0 v 3   u  uv 2  v   0 0  u v     2 u         u v        v v u    v u  u v        u v  u v     Xét các trường hợp

x

 

1 0

5

1

5

3

0   x x  0     x 0 . x  0 u v      v 0 

u v

   0

 

x

  x

 2

 2

0

 .

3

5

3

5

0     x x  0 x  x   1 0 5 3      x    0 x .  v u  5 1 2  2   x x x  x   1 0 u v     1     x     x  1   1       

S



0;



;

 2

 2

  

  

  

    

2

2

x

  1

x

  

5

x

2

x



4

x



8

x



   .

Kết hợp tất cả các trường hợp ta có nghiệm .

BBààii ttooáánn 6688.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 51 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Điều kiện

1x  .

2

2

x

  1

x

  

5

x

2

x

2

x

  x

5



   1





2

x

  1

a ;

x

  

5

x



0;

b



0

Bất phương trình đã cho tương đương với .

 b a



2

2

2

2

2

2

a b

 

2

a

  

b 2

a

2

 ab b



2

a

  

a b

b 2

0



2

Đặt ta được

S 

 (Hằng bất đẳng thức).   .

 1;

1x  .

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định, tức là

2

2

x

  1

x

  

5

x

2

x

2

x

x

  1

2.



2



   1

2

2



    5

1  x   x

5

x

1  x   x

5

x

2

2

2

2



t

t



0

t

  1

t 2

  

2

t

t 2

 

t 1 2

  

2

t



0

Lời giải 2. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với







 1

  

2

 x 1   x

5

x

S 

  .

 1;

1x  .

ta thu được Đặt

2

2

2

2

2

x



x

  x

5



2

x



4

x

  8

2

x



x

  x

5



x



2

x

 (1)

4

x

x

x





 1



 1



2

2

2

2

Nhận thấy (*) nghiệm đúng với mọi giá trị thực t nên suy ra tập nghiệm Lời giải 3. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với





 1



5 2    

1    Do đó (1) nghiệm đúng với mọi

1x  . Kết luận

S 

 1   .

  1;

1x  .

  a   0 0 : 0;   b a b 2 ab    a b 2 x  x   x 5  x  x   x 5  x  2 x  4

2

2

2

2

2

2

x

  1

x

  x

5



1.

x

 

1 1.

x

  x

5





2 1

x

  1

x

  x

5



2

x



4

x



8

 2 1













2

2

2

   x

1

x

  

5

x

x

  1

x

  

5

x

2

x



4

x



8

S 

  .

 1;

Lời giải 4. Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

2

4

x

  1

x



2

x





x

x

 2 1





   .

Như vậy bất phương trình đã cho hiển nhiên đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định. Kết luận tập hợp nghiệm

4

  

x

0

BBààii ttooáánn 6699.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.



2



0

x  x x

  1 0 

   

2

1   4   x

Điều kiện

2

2

2

4

x

  1

x



2

x



2

x

  1

x



2

x



2

x





 1

2

2



4

x

  1

x



2

x



2

x



x





x

2

 2 4

 1

  1

  1 

x 4 

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

4

a

  1

a ;

x



2

x





0;

b



0

 b a



Đặt ta có

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 52 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

2

2

2

   a b

2

a

b

a

2

 ab b

2

a

b

   

a b

0

0

  1







   



2

2

   x

1

4

x

x

    

1 0

x

10



10;3

x

x

2

    a b 

  3 

6     3

. S  Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm  10;3  10

4

  

x

0

Lời giải 2.



2



0

x  x x

  1 0 

   

2

1   4   x

Điều kiện

x   .

1 4

Nhận xét bất phương trình không thỏa mãn với

2

2

2

4

x

  1

x



2

x



2

x

  1

4

x

  1

x



2

x



2

x





 1

2

2

2

2



4

x

  1

x



2

x



2

x



2

x



x

  

1



2.



2

 2 4

 1





x 4

2  x  x 1

x 4

2  x  x 1

Ngoài trường hợp trên ta có 4 x   , bất phương trình đã cho tương đương với 1 0





2 2  x x  x 1 4

2

2

2

1

  t

t 2

  

2

t

t 2

 

t 2 2

t

2

0



2

2

Đặt  t t  0 thu được

    3

   t 1 

   x 4 1 x x 6 x x x 2 10;3 10  .

2 1 1 0      

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S  . 10 10;3       3

4

  

x

0

Lời giải 3.



2



0

x  x x

  1 0 

   

2

1   4   x

Điều kiện

2

2

2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

2 1



 1

 2 1







   1





2

2

4 x   1 x  2 x   4 x   1 x  2 x  2 x  2 x 2 x 

  

 4 x   1 x  2 x  2 x   1 4 x   1 x  2 x  2 x  1    x 1 4      

4



1

x

2

x

2

2

6

x

    

1 0

x

10;3



10





1

x

x

2

 3



 1

x 1

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi (*) xảy ra dấu đẳng thức 2 .

4 x     3

x    

2

2

2

x

  1

x



3

x

  1

x



9

x



4

x



   .

S   10  . 10;3 Quan sát điều kiện ta thu được nghiệm

BBààii ttooáánn 7700.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

1 x  . 2

2

2

Điều kiện

 3 2

   1

2

Phương trình đã cho tương đương với 2 x   1 x  3 x   1 x x  3 x  . 1

2

x

  1

a ;

x



3

x

  1



0;

b



0

 b a



Đặt ta thu được

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 53 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

2

2

 a a b



a

0

2

x

x

0 a b   a 3    b a 2  ab b  a 3    b  a     0 a b Xét hai trường hợp

      . 1 0

1 2

2

2

2



 a b   2 x   1 x  3 x     2 1 1 x x  3 x 0 x  x 0         1 x 1 x 

S

1      2  

2

2

2 2

x

  3

x



3

x

  4

x



19

x



28

x



   .

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm .

BBààii ttooáánn 7711.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

3 x  . 2

2

2

Điều kiện

 8 2



2

2

x

  3

a ;

x



3

x

  4



0;

b



0

Phương trình đã cho tương đương với 2 2 x   3 x  3 x   4 x  3  x  3 x  . 4

 b a



Đặt thu được

2

2

2

2

2

2

 a a b



a

0

0 2 a b   8 a    a 4 b 4  ab b  8 a    b  a     0 a b

   . x

3 2

5

5

2

2



a b

 

2

x

  3

x



3

x

4

1 0

x

x

x

;

  1 2

  1 2

           

    

 .

S

3      2  

So sánh điều kiện ta thu được nghiệm .

Lời giải 2.

Điều kiện

x  là một nghiệm của phương trình ban đầu. Phương trình đã cho tương đương với

3 x  . 2 3 2

2

2

Nhận xét

2

2

 8 2



x 4 x 4 2 2 x   3 x  3 x   4 x  3  x  3 x    2 4  8  . 3  x  2 x  3 3  x  2 x  3

2

2

2

2

  t

8

  

t

t

t 4

  4

t

1

8

1

x

t

2       (1). x

 t t



2 3  x  2 x

4 x Đặt   0 ta thu được  3

x  . So sánh điều kiện và kết luận nghiệm

S

3 2

3      2  

2

x

  x

7

2

x



1

x



Phương trình (1) vô nghiệm với .



  .

  2 2

10

x



9

x

 

2 7

BBààii ttooáánn 7722.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . 2

2

2

Lời giải. Điều kiện

x

  2

10

x



9

x

 

2 60 49

 

10

x



9

x

  .

7

2

Nhận xét

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 54 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

x

  2

x

  

7

x

10

x



9

x

 

2 7

2

2



2

x

  2

x

  x

10

x



x



x

2

2

  1

10





  





x 2 x

2   x

x 2 x

2   x

2

2

2

2





0

t 2

  1

10

  

t 4

t

t 4

 

1 10

  

t 5

t

t 4

  9 0

 t t



x 2 x

 2  x

2

2

9



    t

    x

    x

2 0

1

2

1

0

x

x

ta thu được Đặt



 t 1 5

   t

x 2 x

2   x Bất phương trình (1) vô nghiệm. Do đó bất phương trình đã cho vô nghiệm.

2

x

 

1 5

3 2

x



1

x



(1)



  .

  1 2

2 5

x



2

x

 

6 5

BBààii ttooáánn 7733.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

1 2

  x

Lời giải.

1 2

2

2 5

x



2

x

  6

5

  x   

2

2

2

   

2

x

x

x



  0

10

x



8

x

   1 0

x



2

x



6

  25

2 5

x



2

x

5

6

Điều kiện .

  .



 1 10

 1

 4 5



1 2

Do đó

2

2

2

2

3 2

x

  1

x

  

1 5 2 5

x



2

x

   6 5

3 2

x

  1

x

 

1 2 5

x

2

x



  . 1



   1

2

2

x

  1

v ;

x

  1



0;

v



0

Bất phương trình đã cho tương đương với

 u u



2

2

2

2

2

2

2

Đặt ta thu được

 u 4 5

 2  

2

2

u  v 3  u 2 5    u v uv 6  v 9  v u 19  uv 6  v 13  0

  





u v u 19  v 13       v u 1 0 x 2 x    1 x 2 x      2 0 x

S



;



1 2

  

  

2

3

x

x

  

3 6

x



1

x



Kết hợp tất cả các trường hợp ta thu được nghiệm .



  .

  1 2 2

x 11



5

x



 35 6

BBààii ttooáánn 7744.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải.

1 x  . 3

2

2

x 11



5

x



35 36

 

x 11



5

x



35 6 0

Điều kiện

    . Bất phương trình đã cho tương đương với

1 3

2

2

2

2

Nhận xét

3

x

 

1 2

x

   

3 6

x

x 11



5

x



35 6

    3

1 2

x

x

  

3

x

11

x

  x

3



x



 2 3

 1





2

.

3

x

  1

a ;

x

  

3

x

b

a



0;

b



0





2

2

2

2

2

2

2

2

  

2

a

4

ab



b 4



b 11

  

a 3

2

a

4

ab



b 7

 0



a

2

2



b 7

     

a b

3

0

1

x

x

   

3

x

x

2

x

  (*)

4 0

a b

a 3

 b 2   

b 11 

a 

Đặt ta thu được

S



;

1 3

 

   

Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định. Vậy .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 55 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

  

1 2



x

x

x

2

x

  3

9

x



13

x



17

x



   .

2

2

2

2

x

  

1 2

x

x



2

x

  3

5

x

x

4

x



2

x



3



    1





2

2

x

  

1

x

a ;

x



2

x

  3



0;

b

BBààii ttooáánn 7755.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện x   . Phương trình đã cho tương đương với

 ta thu được

 b a

 1

2

2

2

2

2

2

a



b 2



5

a

  

b 4

a

4

 ab b



5

a

  

b 4



0

 a a b



2

2

a b

     

1

x

x

    2

3

x



x  2  S    . ; 2

x Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

2

2

2

x



2

x

  3

x

  

2

x

4

x



6

x



10

x



   .

Đặt

BBààii ttooáánn 7766.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1.

2

2

2

2

x



2

x

  3

x

  

2

x

2

x



2

x



3



2

  x

2

x









2

2

Điều kiện  x 1    x 3  Bất phương trình đã cho tương đương với

x



2

x

  3

a ;

x

  

2

x

b

a



0;

b



0





2

2

2

2

2

2

Đặt ta thu được



2

2

2

2

2

a b   2 a    b 2 a 2  ab b  2 a    a b b 2    a 0 b

  x x     2 x x 2 x   3 x     2 x x 1

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm 2 x 3   x  1    x 3  Lời giải 2.

2

2

2

2

Điều kiện x  1    x 3 

x



2

x

  3

x

  

2

x

2

x



2

x



3



2

  x

2

x









Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

2 1

 2 1





 2 2







2

2

2

x  2 x   3 x   x 2   x  2 x   3 x   x 2  x  3 x  5

  1

    10    2 2 4 6 x x x x x x

2

2

2

x

  3

x

   

2

x

x

2

x

  3

x

    .

2

1

x

x

  x

  3 Bất phương trình đã cho là trường hợp (*) không xảy ra đẳng thức 2

2 Kết luận nghiệm tương tự lời giải 1. Lời giải 3.

x



x



3



x



x



2



2

x



x



5

Điều kiện x  1    x 3 



 1





 1





 1 2



  1

Bất phương trình đã cho tương đương với .

1x  không thỏa mãn (1).

1x  thì

Nhận xét  Xét trường hợp

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 56 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

 2 2



2

2

2

x   3 x   2 x x  5 x   6 4 x  10 5 2 x 5



 

x



3

 

x



2

 

x



5

  5 4 x x 6  2 x  5 x   6 2 x   5  4 x  20 x  25 (Hiển nhiên).     2 

x   thì 3 







 2 2



2

2

5 2

 



5

2

x

x

x

  10

2

x



5

x

   6 2

x



5

  2

  Bất phương trình (*) nghiệm đúng với

 Xét trường hợp   1

6 4    x x   . 3  x 1    3 x 

2

2

2

x



3

x



x



5

x

  4

4

x



16

x



8

x



   .

Kết luận nghiệm của bất phương trình đề bài là

2

2

2

2

BBààii ttooáánn 7777.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải 1. 4 Điều kiện 0 x    x Bất phương trình đã cho tương đương với

 x x



 1



 x x



 1



2

2

2

2

2

2

2

x  3 x  x  5 x   4 2  3 x  x  4  4 x  16 x   8 2  3 x  x  4  2 x  8 x  4

  

   x















 4

3 x  x  5 x  4  2 x  3 x x  5 x  4   0 x  3 x  x  5 x  4  0

2

2

2

2

Bất phương trình (*) hiển nhiên. Do đó ta có nghiệm 0 x    x Lời giải 2. 4 Điều kiện 0 x    x

x



3

x



x



5

x

  4

2

x



3

x



2

x



5

x



4









2

2

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

x



3

x



u

;

x



5

x

  4



0;

v



0

u v

 



v 2

 v u



2

2

2

2

2

2

2

2

  a

0;

b



0 :

 a b

   2

0

b



2

a

   

a b



a

2

b

b







u 2 

Đặt ta thu được





; 0

4;

 a b 

ab a 

   

 S     .

(1) 

Do đó (1) hiển nhiên. Vậy ta có tập nghiệm Lời giải 3. 4 Điều kiện 0

2

2

 x   x x  thỏa mãn bất phương trình đã cho. 0 Nhận xét Ngoài trường hợp trên, bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2







   

2

x 4 x 4 x  3 x  x  5 x   4 x  3 x  2 x  5 x 2 1 4   2 2.  2 x 5  x  3 x  2 x 5  x  3 x

2

2

2

1

  t

t 2

  

2

t

t 2

 

t 1 2

  

2

t

0

 (Hiển nhiên).



2 1





x

0

4

   . x

x 4 Đặt  t t  0 ta được  2 x  x 5  3 x

2

2

x

  x

x

  2

5

x



6

x



2

x

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm



   .

BBààii ttooáánn 7788.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 57 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Lời giải 1. Điều kiện

x  . 2

2

2

x

  x

x

  2

5

x



x



x

  

2

1



5











x 2 x

 2  x

x 2 x

 2  x



t

t



0

Bất phương trình đã cho tương đương với





x 2 x

2   x

2

2

2

2

t

2

1 5       1

2 0 t        2 x x

2 t t

t x

2

x

    (Hiển nhiên).

2 0

2

1   t    t

Đặt ta thu được

5  1 S 

t     0 t   . 2;

t  

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

2

x  . Bất phương trình đã cho tương đương với 2

2

2

3

2

2

3

x

 

2 2

x



3

x



2

x



5

x



6

x

  

3

x



2

x



2

x



3

x



2

3

2

4

2

2

2

  x

3

x



2

x



4

x



8

x

 

4 12

9

x

4

3

2

3

2

4

  4 x

13

x



20

x



14

x

   

4 0

x



20

x



14

x

  

4

x

0

2  x x 4

x    1 14

x

  

2

2

2

2

4

3

2

4

0 2

    x





2

x

x



3



2

  x

2

x



2

x



3

x



2

0,

2

x

x

Lời giải 2. Điều kiện



x



20

x



14

x

    .







  1

 x  . Kết luận nghiệm

2

2;

x   .

 1 2 x  S 

Nhận thấy x 14 4

3

2

3

2

x



x



x

  2

3

x



4

x



6

x



   .

Do đó (*) nghiệm đúng với

2

x

 

2 0

BBààii ttooáánn 7799.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

2

x



4

x

 

6 0

3   x   3 3 

3

2

3

2

2

Điều kiện

x



x



x

  2

x



x



2



x

3



x

 0

x

  y

3

2

Phương trình đã cho tương đương với

x



x

2 2  



0

x

  y

3

y

2   x



 y y



2

2

2

2



y



0

x



2

xy



y



3

y



x

  y  y x

0 

  

    

3

2

3

2

x

  

2

x

x

  y

0

x



x

  

2

x

0

Đặt ta thu được





  x

1

2

3

2

y



0

x



x



2

x



2



0

  

x



x

 

2 0

 x  1

0 

    

     

3

2

x



0

x

  y

0

x



x

  

2

x

0

3

 .





  x

2

3

2

3

x



y

x



2

  

  

x



2

   

 .

x   x 31; 2 

3

2

3

2

4

x



x



4

x

  5

x



2

x



5

2

x

. Thử lại nghiệm, kết luận S 



   .





BBààii ttooáánn 8800.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

4

x

 

5 0

Lời giải.

2

2

x



4

x



 10 0

3   x   3 

3

2

3

2

2

Điều kiện

2.2

x



x



4

x

  5

x



4

x



5



4

x

2

x



   .





Phương trình đã cho tương đương với

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 58 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

2

2

 x u

;

x



4

x

  5



0

 v v



Đặt ta thu được

2

2  

2

2

2

2

0 0 u v 2   v 2 u    u v 2 2   u v 2 2 u 4  uv 4  v  2 v  u   uv v 4  0      5 u 

v  u 2



0 v     u v  u v 5  0 u v 2   0    u v 2    

x



0

v

3

  0    u     5 u v 



  x

5

2

3

2

4

x



x



4

x



5

u  2   u  v 

  

0

 

u v 2

0

0

7

u





0;

v



0

 .





    v

u

0

3

2

 

0

 

0

x



4

x

  5

0

  5 u v 

  5 u v 

u   5 u v 

 x   

 (Vô nghiệm).

  

0 3 5

3

3

x

  2

x

  

2

x

3

x



4

x



4

x



   .

S  . Thử lại, vậy phương trình đã cho có nghiệm

 

2 0

x

2

3

BBààii ttooáánn 8811.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

    

2 0

x

x

  x

2

  

0

x

1

x

x



3

3

x



4

x

 

4 0



x

 

4 0

    3 

   x 2     1   3 x 4 

3

3

Điều kiện .

x

  2

x

  

2

x

3

x

  x

2

  2

x





3

Bất phương trình đã cho tương đương với

x

  2

a ;

x

  

2

x



0;

b



0

 b a



2

2

2

2

2

2

Đặt ta thu được

 a a b



3

3

a b   a 3    a b 2  ab b  a 3    b    a b 0

3       x

x 4 2 x x 4

3

3

2 2

x

  1

x



2

x

  7

3

x



18

x



27

x



   .

Kết luận nghiệm S  . 2    x  3 4;  

3

18

x



 27 0

x

BBààii ttooáánn 8822.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x

 

7 0

 3   1   x 2  3   x 2 

Điều kiện

3

3

Phương trình đã cho tương đương với

2 2

x

  1

x



2

x

  7

x

3

x



2

x



7

 6 2

   1





3

2

x

  1

a ;

x



2

x

  7



0;

b



0

.

 b a



2

2

2

2

2

2

Đặt thu được



2

3

3

3

2 a b   6 a    b 3 a 4 4  ab b  6 a    a b b 3 2  0

     a b 2 1 x x  2 x      6 7 x x 6

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 59 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thử lại thấy giá trị này thỏa mãn phương trình ban đầu. Kết luận nghiệm



3 6

S  .

2

3

2

3

2

2

x

  

1

x

x



x

  

3

x

6

x



9

x



9

x



16

x



   .

BBààii ttooáánn 8833.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

x

  

1 0

x

2

x



2

x



0

3



3

2

x



x

  

3 0

x



  x

1

Lời giải.

3

2

6

x

 1 x 9





9

x



  16 0

3

2

   x   

6

x



9

x



9

x



 16 0

    

Điều kiện .

2

3

2

2

3

2

2

x

  

1

x

x



x

  

3

x

3

x

x

6

x



x

  x

3



    1





2

3

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

x

  

1

x

u

;

x



x

  

3

x



0;

v



0

 v u



2

2

2

2

2

2

2

2

Đặt ta thu được

2

3

2

u v 2   u 3    u 4 v 6 uv 4  v  u 3    v 6 u uv 4  v 5  0

  

 u v u



2

3

2

3

 v 5        u 0 1 v x x x  x   x 3

3       x x 3 4;

    1 x x x 3 4 x 4



 . Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S x   

2

3

2

3

2

2

x



2

x



3 3

x



x



2

x

  2

9

x



25

x



50

x



18

x



   .

BBààii ttooáánn 8844.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh



0



2



0





2

2

3

Lời giải.



x



2

x

   

2 0

x

x



4

x



  

0

x

2

 x x x

3

2

3

2

x



25

x



50

x



18

9

x

 2  1 3  25

 

x



50

x

 18 0

  3   9 

2 

  x x       

Điều kiện .

2

3

2

2

3

2

2

x



2

x



3 3

x



x



2

x

  2

16

x



2

x



9

x



x



2

x



2









2

3

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

x



2

x



a ; 3

x



x



2

x

  2



0;

b



0

 b a



2

2

2

2

2

Đặt ta thu được

2   b 9

 a a b x

   

2 a  b 3  16 a    b 9 4 a 12 ab  b 9  16 a 12 0  

2



2

3

2

3

3

 x x x

x  . 2

3

2

3

2

0 x 2  2  0 x  2 x  0 a  0      a b x  x  2 x  3 x  x  2 x  2 3  2           2 3    

3 2

x

  x

5

x



13

x



4

x



10



x



3

x

  x

2

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm BBààii ttooáánn 8855.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2

2

x

  x

0

2

3

2



3

x

  

2 0

x

x

Lời giải.

3

2

x



13

x



4

x



 10 0

    5 

Điều kiện

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 60 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

2

3

2

2

3 2

x

  x

x



3

x

  

2

x

x



3

x

  x

2



2

x



x

5









2

3

2

2

x

  x

a ;

x



3

x

  

2

x

b

a



0;

b



0

Phương trình đã cho tương đương với





2

2

2

2

2

2

2

2

a b 3

 

b 5

  

a

9

a

6

 ab b



b 5

  

5

a

a

ab 3



b 2



0

a b

5

a



b 2

  





 a b  5 a

b 2



0

2

3

2

2

3

a b

    x 2

x



2

x



2

0

1

   0  2 x

x

x

x

x

x

x

   

2 0

2

3



   

Đặt ta có

   . x

 1



2



2

3

3

   x 0     x      3 x  1x  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

0  b 2   x  0 2 0 a x     (Hệ vô nghiệm).    0 0 b a  0;    2 0  3 x x x   b  5 a         1 2 2 x    2 0 x

2

3

2

x

x



2

x

 

3 4



1

x



Thử lại thấy



  .

  4 2

3



8

x

x



2

x



 27 4

BBààii ttooáánn 8866.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

x



x



2







4

x

2

3

Lời giải.



2

x

 

3 0

x

  x

  

0

x

2

x

x

3

3

2

3

2

x



8

x



2

x



 27 0



x

 2  1 x 8



2

x



0   27 0

    

          

Điều kiện .

3

2

3

2

x



8

x



2

x



27





2

x



10



22

x



 27 22.3 27 17

  



x

x



2



27



17

 . 4

 x x





2

3

3

2

Nhận xét

2

x

  4

x



2

x

  3

x



2

x

 

3 8

x



4

8 

x 

2

3

x

  4

u

;

x



2

x

  3



0;

v



0

Do đó bất phương trình đã cho trở thành

 v u



Đặt ta thu được

2

2

2

2

2

2   v

 u u v 4



2

0 u v 2   u 8    u 4 v uv 4  v  u 8  v  u     0 u Xét hai trường hợp

2

3

3

2

2

 u x 2 

 x x



x  . 2

 u 2  x        0 4 x      x v 4 x 2 x    3 x x  2 x    1 0   x 2   (*) 1 0

S 

2;

  .



3

2

3

2

 đều đồng biến trên miền

D 

27;

2;















2

8

2

1

x

x

x

x

x

x

Dễ thấy (*) nghiệm đúng với mọi So sánh và thử lại, kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm

  .

  g x



3

3

2

3

2

x

  x

10



x



x

  2

4

x



3

x

  x

16

x



   .

Nhận xét. Đối với bài toán 83, trong thao tác nhận xét và phần lập luận (*), các bạn THPT có thể dùng kiến thức liên quan đến đạo hàm – tính đơn điệu của hàm số của chương trình Giải tích lớp 12, chú ý rằng các hàm số liên quan   f x

BBààii ttooáánn 8877.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 61 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

x



2

x

0

5



x

x

 10 0

3

2

2

  

0

x

2

x

x

2 0

x





2

x

 3

  2

3

2



4

3

x

x

  x

 16 0

4

x

 2  x 1 x 3



   2  16 0

  x

    2   

   x        

3

3

2

3

2

3

Điều kiện .

x

  x

10



x



x

  2

x



x



2



x

  x

10

3





3

3

2

x

  x

10



a ;

x



x

  2



0;

b



0

Bất phương trình đã cho tương đương với (1)

 b a



2

2

2

2

2

2

   a b

b 3

  

a

a

2

 ab b



b 3

  

a



0

  1



3

2

3

2

  x

x

  2

x

      x

8 0

10

x

x

S 

2;

 b b a      .



Đặt thì

3

3

3

2

x

  

2

x

x



2

x

  2

x



5

x



14

x



   .

Nhận thấy (*) hiển nhiên. Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm

3

2 0

x

3

   

2 0

x

1

2

x

BBààii ttooáánn 8888.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

3



5

x

 14 0

    x  x     x 

3

3

3

3

Điều kiện .

2

x

  

2

x

x



2

x

  2

4

x



2

x



2



3

  x

2

x









3

3

x

  

2

x

a ;

x



2

x

  2



0;

b



0

Phương trình đã cho tương đương với (1)

 b a



 

0

2

a b

0

2

2

a b

 

0

2

2

a b

 

4

a

2   b 3



2

2

2

2





0

4

a



4

 ab b



4

a



b 3

a b  a a b

  

  

    

    a 0     a b

3

2

Đặt thì (1) trở thành

a

      

2 0

0

x

x

x

x

2

  x

0

1

   . x



3



 1     x x

 2 2

a b

3      x



2

2

2

2

4

x

x

x



    . x So sánh và thử lại nghiệm, kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. BBààii ttooáánn 8899.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

3

3

2

x



2

x

 

3 2

x

5

x



4

x



18

x



11

x



   1



   .

2

x

 

3 0

Lời giải.

  x

1

2

x



4

x



18

x



 11 0

3   x   3 5 

3

3

2

Điều kiện .

x



2

x

 

3 2

x

5

x



2

x



3



4

x



2

x



   1







  1

Bất phương trình đã cho tương đương với

x

3 2 

x

  3

u x ;

  1



0;

v



0

 v u



2

2

2

2

2

2

u



v 2



u 5

  

v 4

u

uv 4



v 4



u 5

  

v 4

 0

 u u v



3

Đặt thu được

u

2

x

0

x

3 0

1

x

   3

    . 3

2

3

2

2









2;

 u    v x x x 2 x   3 x  2 x    1 x x     4 0 x 2   x 2    x 2 0 x

2 x   1      3 1   S    .

Kết luận nghiệm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 62 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6

2

3

3

2

x

  1

x

  1

x



1

x



   .

x  . 1

BBààii ttooáánn 9900.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

1x  .

2

2

2

6

2

6

6

6

6

2

x





x





x

  1

2

  1

Nhận xét phương trình đã cho không có nghiệm



 1



 1

x x

 

1 1

x x

 

1 1

  

  

1

2

6

t 2

    t

1

t

  

0

      x

1

1

x

t

1



t

t



0

Phương trình đã cho tương đương với



 t 1 2

 1





x x

 

1 1

 t     t 

1 2

Đặt ta thu được (Vô nghiệm).

6

2

3

3

2

x

 

1 2

x

 

1 5

x



1

x



   .

Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

x  . 1

BBààii ttooáánn 9911.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

1x  .

2

2

2

6

2

6

6

6

6

2

x





2

x





5

x

  1

2

 

2 5

Nhận xét phương trình đã cho không có nghiệm



 1



 1

x x

 

1 1

x x

 

1 1

  

  

1

2

6



t

t



0

t 2



t 5

   

2 0

t

  

0

Phương trình đã cho tương đương với



 t 2 2

 1





x x

 

1 1

 t    t 

1 2

Đặt ta có

x

x

t

       (Vô nghiệm). 0



t

   

x

1 1   2

x x x

1  1  1

1 1 64

2 65 63

 .

S

65 63

   

  

So sánh điều kiện ta thu được nghiệm .

2

BBààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.. GGiiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc

2

x

x

 

1 3

x





7

x



2

1. .

x

2

x

  3

x





5

x



9

 1 

2

2. .

2

x

  1

x



x



3

x



   2 4

 1

3. .

3

  x

2

x



8

x

   1

2

2

4. .

3

x

  2

10

x



34

x



40

 . x

5.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 63 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2



x



x



x



5

x

 . 1

2



x



x

  1

2

x



6

x



51

6.

 2 1  3 5

 

2

x

  

2 6 2

x



2

x



15

x



29

7. .

2

8. .

2

x

 

1 3

x



15

x



2

x

 . 1

x

9.



1

2

1



x

2

  x

 x 

 1

2

10. .

2 2

x

  

1

x

3

x



4

x



2





x

x

5 3



1

11. .

  2

2

x



 

9 2

2

x

  x



5

x



24

x



20

12. .

 2 1

3 x    x

1

2



1

13. .

x 2

2



6

x



33

x



54

2

14. .

3



2

x

  

1

x

5

x



32

x



44

2

15. .

x

 

2 2 2

  x

8

x



x 31



34

3

x

4

x



3



1

16. .

  5 2

9

x



6

x

 

8 4

2

17. .

x

    x

1 2 3

1

x



4

x

 . 5

2

2

18.

x

  2

  

1 2

x

x



10

x



10

x

2

x

x



2

x



3



1

19. .

  2 2

2

x



 

4 1

x 4 2

x

x

  x

2



1

20. .

  1 2

4

x



3

x

  6 1 2

2

21. .

x

  1

3



x



6

x



10

x



25

2

2

22. .

2

x

 

3 2

x

  x

15

x



17

x



18



2 3

x



1



1

23. .

x 2

x



26

x

 

7 1

2

24. .

x

 

1 3 2

13

x



23

x



19

  x 2

x



2

x



3



2

x





1

25. .

10 2

9

x

22

x



 2

 33 4 2

26. .

4

x

x



x



6

x

  . 3 3

  2 2

x



3

x



4

x

27.



1

  5 2

4

x



15

x

 23 2

 2

2

28. .

x

  2

x

  

1 2 4

x

x

  x

10

2

2

29. .

2

x



2

x

  5

5

x



18

x



21



2

x

 . 1

2

2

30.

x

  1

x

  x

5

x



4

x

 . 1

31.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 64 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2 2

x

  3

x

  x

2

x



12

x



21

2

2

32. .

2

x



2

x



x

  1

7

x



12

x

 . 2

2

2

3

x



3

x



2

  x

5

x



14

x

33.

 . 2

2

2

34.

3



3

x

  2

x

  1

6

x



20

x



10

x 2

x

4

x

 

2 2



1

35. .

  x 2



25

x



x 2

 48 2 2

2

. 36.

x



3

x



4

x



18

x

  6

x

 . 3

2

2

2

37.

x

  

2

x

x



3

x



4

x



6

x

 . 6

2

2

2

38.

7

x



x 11

  3

x



2

x



2

x



3

x

 . 1

2

2

2

39.

2

x

 

1 3

x



2

x

  8

25

x



18

x



56

2

2

2

40. .

3

x

  x

x

  

1

x

4

x



6

x

 . 5

2

2

41.

2

x

  4

x

  1

4

x



3

x



13

2

2

2

42. .

3 4

x

  1

x

  

2

x

x 61

  x

13

2

2

2

43. .

x



2

x



2

x



3

x

  1

9

x



13

x

 . 5

2

2

2

44.

3

x

  x

1



x



2

x

  .

5

x

3

2

3

2

45.

x



x



x

  2

x



4

x

 . 2

3

2

3

2

46.

x

  1

x



x



2

x



x



4

x



8

x

 . 3

3

2

3

2

47.

x

  1

2

x



x



2

x



2

x



x



5

x

 . 3

3

3

2

48.

x

 

1 2

x

  1

4

x



5

x



10

x

 . 9

3

3

49.

2

x



x



4

x

   1 1



2

x

 . 2

x

3

3

50.

x

  1

x

  

2

x

x



2

x

2

  . 1



3

3

51.

2

  x

x

10



x



4

x



16

  x 3

2 2

x

x



2

x

 

3 2



1

52. .

  1 3

x



18

 11 2

 x 3

3

53. .

x

2

x

 

2 3

  

6

x

9

x



25

x



86

3

3

54. .

4

x

  1

  2

x



12

x

 . 1

x

3

3

55.

2

x

  1



2

x

  9

x



8

x



12

x

3

3

56. .

x

  3

x

  x

11



3

x



4

x



36

2

3

2

3

2

57. .

x

  

1

x

x



x

  

3

x

x



4

x



4

x

2

3

2

3

2

58. .

x

 

3 2

x



x

  2

x



4

x

 . 7

2

3

2

3

2

59.

3

x

 

1 2

x



x



12



4

x



25

x



69

2

2

3

2

3

60. .

x



2

x



x



2

x

  5

2

x



4

x



8

x

 . 4

2

2

  3 3

x 2

x

x

x

 

2 5



1

61.

 2

  3 3 3

16

x

 

3 5

9

x

 3

3

2

62. .

x

  3

x



6

x

  9

x



3

x



24

x



36

63. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 65 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

3

x



x

  x

30



2

x



2

x



30





3

3

2

2

64. .

3

x



3

x

  1

x



  8

x





9

x



9

x

 . 5



 1



 1

3

3

x



x

  8

3

x

  x

24

65.

2

3

2

3

2

66. .

2

x

  

2

x

x



2

x

  

4

x

x



8

x



4

x

 . 2

2

3

2

3

2

67.

3

x

  

2

x

2

x



3

x

  

4

x

2

x



12

x



4

x

 . 2

2

3

2

3

2

68.

2

x

  

1

x

3

x



x

  

5

x

3

x



9

x



9

x



13

3

2

3

2

69. .

3

x



x



9

x



6

x

  1

x



x



24

x

2

3

3

2

70.

x



3

x

  2

x



3

x

  2

x



x



2

6

x

36 

3  . 

2

3

2

3

2

71. .

2

x



3

x

  5

x



x



3

x

  4

x



9

x



27

x



36

2

3

2

3

2

72. .

4

x

  x

x



x

  x

10



x



16

x



16

x



10

2

3

2

3

2

73. .

3 2

x



2

x

  5

x



2

x



2

x

  5

x



32

x



32

x



70

2

3

2

3

2

74. .

3

x

  

1

x

x



3

x

x



12

x

4

x

 . 2

x

5

3

3

3

75.

x



2

x

  1

x



2

x

x



4

x



3

  2

    2 2

 

3

3

3

76. .

x

  2

x

  

2

x

x



x

 2 2



3

2

3

2

3

2

77. .

x



3

x

  2

x



x

2

x

x

 . 3



3

3

3

78.

x

  1

x

  

2

x

  x

x

4    2 2

2  1

3

2

3

2

3

79. .

2

  1

x



  3

4

x



2

x

 . 6

x 3

x 2 3

x

x

  

x

  x

 10 6



1

80.

2 2 3



9

x

x



 50 6

3

3

9 3

81. .

3

x

  x



3

x

  5

16

x



30

x



35

x

3

3

3

82. .

x

  x

x



3

x



14



4

x



14

3

2

3

2

3

2

. 83.

x



x

  

3

x

x



2

x

  

4

x

4

x



5

x



4

x



13

3

3

3

84. .

2

x

  8

x

  

2

x

9

x



3

x



54

3

3

3

85. .

2

x



2

x





4

x

  5

9

x



24

x



15

x

3

3

2

x







5

x

 

6 5

x



1

86. .

x 4 3

9

x



39



 18 5 2

3

3

2

x 3

87. .

2

x



6

x





x



3

x

  5

9

x



3

x



45

x



15

x

3

3

3

88. .

x



5

x





7

x

  6

2

x



6

x

x

3

3

3

89.

2

x

  x

  

6

x

6

x

  x

x

3  . 

 3 3

2

3

2

3

2

90. .

2 5

x

  

1

x

x



5

x

  

7

x

x

20

x



4

x

 . 4

2

3

2

3

2

91.

3

x



2

x

  5

x



3

x



2

x

  6

2

x



6

x



4

x



 1

 

3

2

3

2

92. .

x



2

x



x



2

x

  4

x



3

x



8

x



12

93. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 66 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

5

x



24

x



28



5

x

  2

x

  x

20

x



   .

2

x



24

x



 28 0

BBààii ttooáánn 9922.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x

 

2

  x

4

2

x

  x

 20 0

 5    

Điều kiện .

2

2

5

x



24

x



 28 25

x





x

  x

x



2

x

4

x



5











2

2

2

2

2

8

   

1 5

2

x

x

x



5

x



2

x

x



2

x



8



3

x



5



5

x



5.

x



2

x



8







 2 

 20 10    

 

2

x

  5

a ;

x



2

x

  8



0;

b



0

Phương trình đã cho tương đương với

 b a



2

2

Đặt ta thu được







3





61

2

2

a 3  b 2    a b ab 5 a 3  b 2  a b  3 a b 2    0 

a b

   

5

x

x



2

x

  

8

x

3

x



13 0

x

61 3 ;

2

2

       

    

2

2

 .

a 3

    3

b 2

5

x

2

x



2

x

  

8

4

x

17

x



77 0

;7

11 4

     x 

  

3



61

 .

S

7;

2

     

    

2

2

5

x



14

x

  9

x

  x

20



5

x



1

x



   .

So sánh điều kiện ta thu được nghiệm .

2

x



x



0



x



14

x

 

9 0

2

20 0

  

x

x



5

0

x

5

BBààii ttooáánn 9933.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 9    

x x

  x   1 0

 1 5  4   1

 5    

      x 

Điều kiện .

2

2

Phương trình đã cho tương đương với

2

2

5 x  14 x   9 x   x  20 5 x  1



   1







 1

2

2

2

2

  5 x 14 x   9 x   x  20 25 x x  4  5 x 





  1

2

  2 x 5 x   2 5 x  4. x  4 x   5 x  4 x  5  3 x  4  5 x  4. x  4 x  5 2 10  x 

x

  4

b ;

x



4

x

  5



0;

b



0

 a a



2

2

Đặt ta có

  1







  2 a b 3    ab 5 a b 2 a  b 3  a b  2 a b 3



5

5



61

2

2

a b

    x

4

x



4

x

  

5

x

5

x

   

9 0

x

  x

2

2

2

2

   0  61  .

2

a

  3 b

4



4

x



5

x



9

x

  

4

4

x

25

x



56 0

8

x

x

      .









7 4



S

61 5 2

  8;    

    

Đối chiếu điều kiện ta thu được tập nghiệm .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 67 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttooáánn 9944.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

2

x

  

6 3

x

x

  1

3

x



6

x



19



0

x



   .

x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

x

  

6 3

x

3

x



6

x

19

2

2

6

x



2

x



3

x





3

x



6

x



19

x

x

6 9

 





 1

x 

2

2

2



x



8

x



17





3

2

x

x

3





x



2

2

2



x



2

x



3



10

x



2





2

3

x





3

x

x







  





     

Lời giải. Điều kiện

  1    x 1   x  . 2 2

2

Nhận xét (*) không thỏa mãn nghiệm

2

x  thì  

x 3 x 3 Trong trường hợp   3   10  x 2   x 2  x 2   x 2

2





2 2   x

2

23



341

23



341

x

3

2

t

  5

  

25

x

23

x



47 0

  

x

  x

2  3 x Đặt  t t  0    t 3 t 10 ta được   5 t  x 2 t      

t    . Với 2 0

2

2

 x

2 

 x 2

23





341

Loại nghiệm .

341 23 ;

S

2

2

     

    

. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm

2

2

2

x



3

x

  2

18

x



16

x



 39 5

x



1

x



   .

2

BBààii ttooáánn 9955.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

Lời giải. Điều kiện

2

2

5 x x  3 x   2 18 x  16 x 39

 1



2

 25 x 2 x  3 x   2 10 x  1. 2 x  x  2  18 x  16 x  39   1  2    1  



 1 2

 1



2

 10 x  x  x  2  16 x  6 x  12



 1 2

 1 .

2

2

 5 x  x  x 6 3 x x 8 

 5 2 x   x 1. x   2 x x 2 x       1

22 x

  

1

x

u

;

x

  2



0;

v



0

 v u



  2  4 2 ta thu được Đặt

2

2







x



2

x



2

u

  v



v uv 5  u 4    u v v  u v 4 v 4 u      0 u

2

2

2

x

    1

x

x

2

2

x



2

x

 

1 0

  

  

x



2

x



2

 (Vô nghiệm).

u

  4 v

  x



2

2

 17 4 3 4

2

x

  

1 16

x

x



32

2

x



17

x



 31 0

  

  

x



 .

 17 4 3 4

Vậy phương trình đề bài có nghiệm duy nhất .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

2





0

x

x

9 0

 

14



x

x

2

  

20 0



5

0

5

x

x

x

 Về điều kiện các bạn cần tìm chính xác .

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 68 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nhận xét. Trọng tâm nội dung của tài liệu là đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp – đồng bậc, do vậy các bài toán từ 92 đến 95 cũng không nằm ngoài phạm vi đó. Độ khó của bài toán đã tăng dần so với các bài toán trước, nguyên do tính chất đồng bậc tiềm ẩn, các ẩn phụ chỉ xuất hiện sau khi nâng lũy thừa và ghép nhóm thích hợp. Lời giải bài toán 94 vẫn giữ bản chất cùng hai bài toán 92, 93 mặc dù hình thức trình bày có hơi khác một chút. Để cụ thể hơn nữa, tác giả xin lấy thí dụ điển hình bài toán 93, mặc dù đã khá cũ nhưng vẫn còn giữ nguyên giá trị, lần đầu tiên bài toán xuất hiện trong Đề ra kỳ này (Các lớp THCS) Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Số 267 – Tháng 9 năm 1999. Tác giả bài toán là nhà giáo Huỳnh Tấn Châu, trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh, tỉnh Phú Yên, một cộng tác viên trung thành lâu năm của Tạp chí THTT và Toán tuổi thơ.   9    

x x

x     1 0

 1 5  4   1

 5    

      x 

2

2

Điều này đôi khi ảnh hưởng mạnh mẽ tới lập luận hoặc chính là chìa khóa mở ra cánh cửa lời giải.

5

x



14

x

  9

x

  x

 20 5

x

 . 1

2

2

 Biến đổi tương đương phương án 1:

2

2

2

k ma  nb   pa qb . Chúng ta cùng thử nghiệm

  x

14

20









5

x

x

  9

x

  x

 20 5

x

 . 1

 b x

 1

 a x

Giả định

a  , tuy nhiên b không tồn tại. Thất bại.

5

2

2

Có thể một số bạn tư duy theo hướng đồng bậc dạng  Chưa cần sử dụng đồng nhất thức có thể thấy ngay

5

x



14

x

x

  1

x

 

2

2

2

 Biến đổi tương đương phương án 2: .

5

x



14

x

 

9 5

x

  1

5

x



14

x



9

x

  x

20

a







20  b x

 1

9 5 

  x 

Theo đường lối cũ, giả định .

a  , b cũng không tồn tại. Phải chăng phương pháp này không còn phù hợp ?

1 5

Và tương tự, thấy ngay rằng

2

2

5

x



14

x

  9

x

  x

 20 5



1

2

2

x

  5 x

14

x

  9

x

  x

 20 25

10

x



4

x



5

x



x 

   1







 1

2

  2 x

 

2 5







5

4

5

x

x

x

x

  

 1





2

 Vế phải phương trình (*) có hình thức đa chiều, từ đây xảy ra nhiều phương án nhỏ khi đưa về dạng đồng bậc, để tạo ra các sự lựa chọn này cũng chính là yếu điểm, là điểm nhấn của bài toán:

 Biến đổi tương đương và nâng lũy thừa theo các căn thức đơn giản nhất

  x

20







4

5

x

x

x







5x  nên có thể ghép hai trong ba thừa số trong căn thức với nhau, giảm bớt xuống còn hai Do điều kiện nhân tử, và thực hiện thử nghiệm theo "chiêu bài" đồng bậc thông qua đồng nhất thức. Trong trường hợp điều kiện không cho phép "ly khai" nhân tử chúng ta vẫn có thể lập luận được, bằng cách để chúng "dính kép" vào nhau theo kiểu phân thức như lời giải bài toán 94, điều này đã trình bày trong các phần phía trước của tài liệu.

.

x



4

x



x

 đã xét ở trên. Các khả năng còn lại gồm

1





 5 .

2

Lưu ý khả năng





2

2





5

x



4





5



2

x



5

x

2

 (Không tồn tại a và b).

 1  b x



x x  5. x  5 x  4  x  4  

5.  a x x 

2

x

x



5





x



4.

x



4

x



5



2

2





4

x



5





4



2

x



5

x

  

2

a

2;

b



3

 1  b x



 4.  a x

 x 

Hoặc là

Đây chính là trường hợp các hệ số "đẹp" nhất. Như vậy lời giải bài toán 93 là tổng hợp của cả một quá trình thử chọn, thực tế cũng chông gai lắm, và để tạo lập được một đề bài "hội tụ" yếu tố như thế này chắc chắn cũng không phải một công việc đơn giản.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 69 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Mời quý bạn theo dõi các ví dụ tiếp theo, bài toán 96, một lần nữa dạng toán này lại xuất hiện trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ thân yêu, tọa lạc tại Đề ra kỳ này (Các lớp THCS) số 410 – Tháng 8 năm 2011, chào mừng đội tuyển Việt Nam trở về từ Hà Lan sau kỳ thi IMO lần thứ 52. Tác giả bài toán cũng là một cộng tác viên thân thiết của THTT, nhà giáo Thới Ngọc Ánh, trường THCS Phổ Minh, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi. Một chặng đường lịch sử 12 năm tư duy kế thừa !

2

2

7

x



25

x



19



x



2

x



35



7

x



2

x



   .

2

7

x



25

x



 19 0

BBààii ttooáánn 9966.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x

 

2 0

  x

7

2

 35 0



2

x

    

 x Phương trình đã cho tương đương với

2

2

Điều kiện .

2

2

7 x  25 x  19  7 x  2 x  35









2

 x 2   x 7 25 x   19 49  x  2 x   35 14 x  2. x  5 x  7   x 2 





 7 .

2

2

x 11  x  2 x  x  5





 3 x  5 x  14  4 x  5  7 x  5 x  14. x  5

x

b

a

b



x

2 5 

x



14



a ;



0





2

2

Đặt thì thu được   x 3    5  22 7  0;







x



7

x



7

a 3  7 ab  b 4    a b 0 a 3  b 4  a b  a 3 b 4    0 

   x

3 2 7

a b

 



2

2

x



5

x



14

  x

5

x



6

x



 19 0

  

  

 .

2







61



x

 

3 2 7;

x



7 7 61   a 3   4 b    x . x  5 x  14  16 x  5 11137 18 x  x 61  206 0   x  2 9   x    9 

11137 18

2

2

3

x



x 11



27



x

 

1 3

x



2

x



   .

Vậy phương trình đề bài có hai nghiệm .

2



1

x

BBààii ttooáánn 9977.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.



2

x

  x

2

2

 27 0





x

    3 

x 11 Phương trình đã cho tương đương với

2

2

Điều kiện .







 1

 1



2

3 x  x 11  27  x   1 9 x  2  6 x  x  x  2



 1



 1

2

  2 x 2 x   8 6 x  x  2 x 



 1

 2 .

2

2

    4 3 x x x  x  x  1

   1

  1

2

    2 2 x x x 3 x   x 2. x  1

x

  

2

x

a ;

x

  1

b

a



0;

b



0



 

Đặt thì (1) trở thành

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 70 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

22 b

 a b a





2

a     ab 3  b 2 b 2

a b

2      x

2

x

x

  

1

x

2

x

    

1 0

x



2

2;1

 1

5





17

2

 a b      0 a  .

a

2      x

b 2

2

x

2

x

2     

2 4

1

x

x

x

  

x

5

x

2 0

x

17 5 ;



 1

2

2

        

    

17

 .

S



;1



2

2

  5   

    

2

2

x 11



3

x



19



3

x

  1

x



2

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm .

x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

x 11



3

x



 19 9

x

    x

2 6

x



x



x



2



 1

 1





 1

2

2

  2 x

2

x

 

8 6

x



x



x

2      x

4 3

2

x

x



1.

x

  x

2



 1

 1



2

2

   

2 2

x

x

x

3

x



1.

x

  x

2



   1

  1

2

x

  

2

x

a ;

x

  1

b

a



0;

b



0

BBààii ttooáánn 9988.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện





2

Đặt thì (1) trở thành

22 b

 a b a





2

a     ab 3  b 2 b 2

a b

2      x

2

x

x

  

1

x

2

x

    

1 0

x



2

2;1

 1

5





17

2

 a b      0 a  .

a

2      x

b 2

2

x

2

x

2     

2 4

1

x

x

x

  

x

5

x

2 0

x

17 5 ;



 1

2

2

        

    

17

 .

S



;1



2

2

  5   

    

2

2

3

x

  1

x

  4

3

x



19

x



1

x



   .

2

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm .

2

2

BBààii ttooáánn 9999.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

x  . Phương trình đã cho tương đương với  1







2

2

    9 4 6  9 x x x x  2 x  2  3 x  19 x  1

2

2

 3 x  3 x  2. x   2  5 x  2 x





 3 x  3 x  2. x   2  3 x   2 2 x  2 x

x

2 3 

x

  2

a ;

x

  2



0;

b



0

 b a



2

2

Đặt ta thu được

 a b a





2

2

ab 3  a    b 2  b 2 b 2 a b      0 a

a b

  

x

3

x

  2

x

  

2

x

2

x

  (Vô nghiệm).

4 0

2

2

o

  

2

x

3

x

 

2 4

x

2     x

8

x

10 0

a

b 2

  

  2

3

2

x

x

 (Vô nghiệm).

x Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

o

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 71 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

5

x



x 21



 27 5

x

  2

x



2

x



3

x



   .

x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

BBààii ttooáánn 110000.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

2

2

5 x  x 21  27  5 x  2 x  3







 1



2

2

2

 x 2   5 x x 21  27  25  x  2 x   3 10 x  2 x  x  3   2 x 





 1 .

2

2

6 x  x  2 x  x    3 2 x 3 x   13 5 x  3 x  2. x  3





 2 x  3 x   3 2 x  3  5 x  3 x  2. x  3   4 x   26 10 

2

2

x

2 3 

x

  2

u

;

x

  3



0;

v



0







 v u



2

2

v Đặt ta được u 2  v 3    uv 5 u v u 2  v 3  u  2 u v 3    0 

u

  

v

x

3

x

  2

x

  

3

x

4

x

    

1 0

x

5; 2



5

 2



21





745

2

2

 .

u 2

  3 v

2

x



3

x

  2

3

x

  

3

4

x

x 21



19 0

x

745 21 ;

8

8

       

    

21



745

 .

S



; 2



5

8

    

    

2

2

5

x



8

x



15



x

  

6

x

x



1

x



   .

2

Kết hợp điều kiện ta thu được các nghiệm .

2

2

    

1 2

15







6

8

5

x

x

x

x

x

x



2

x



3

x



x  . Phương trình đã cho tương đương với 





 1

2

2

2

2

6

x

x



2.

x



2

x

  

2

3

x

3

x

 

4 2

x



2.

x



2

x



3

2

2





2

x

2

x



3



x



2



x



2.

x



2

x



3





  

  4 x    x 2

;

  8 2  

x

2 2 

x

  3

u

0;

v



0

BBààii ttooáánn 110011.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện

 v u



Đặt thì (*) trở thành

2

2







2

v u 2  v    u v uv  u v 2   0   u v   0  u  2 u v 

2         

  x 2 x 1 0 3 2 x x x x    x  5 1 2  5 1 2

2

2

x

  1

x



5

x

  6

4

x



x 11



6

x



   .

Kết hợp điều kiện, kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

1

BBààii ttooáánn 110022.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x



5

x

   

6 1

x

1

2

6 0

 



4

x

 x  2   

x 11 Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

Điều kiện .



 1





2

2

2

x   1 x  5 x   6 2 x  x  2 x  3  4 x  x 11  6



 1

 3 .





  





 2 x  x  x   2 3 x  5 x   11 2 x  2 x  3. x   2 3 x  2 x  3  x  2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 72 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x

2 2 

x

  3

a ;

x

  2



0;

b



0

 b a



1



21

2

2

2

2

2

2

ab



a 3

  

a b

b

 a b 3

    

a b

0

x

2

x

  3

x

      x

5 0

2

x







1



21

  x    x 

2

Đặt thì (*) trở thành

S



;

 21 1 2

  

    

2

2

x

  x

6



2

x

  

1

x

2

x



3

x

Kết hợp điều kiện ta thu được tập hợp nghiệm .



   .

 2 4



BBààii ttooáánn 110033.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

x

 12 0

x

2



Lời giải.



x

  x

3 2

2

x

2

 3 2   

x

1 0

 8      

Điều kiện .

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với



 1



2

2

2

2

  x 8 2 x   12 2 x    1 2 x x   3 2  x  x  3



   1

 1 2 

2

  x 6 5 x   8 2 2 x  1. 2 x x   x 2 x 2 2 x  1. 2 x   x 3    3 x  3

2

x

  1

u

; 2

x

  

3

x



0;

v



0

 v u



2

2

2

2



2

x

  

3

x

2

x

   2

1

x

3

x

2 0

2

x

      .

v 3



u

  

uv 2

v u

 v u 3

  

v u

0







1 2

Đặt x 2  3 2 ta thu được

S

; 2

3 2

   

  

2

2

2

x

  1

3

x



5

x

  2

18

x



18

x



5

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm .

 

1

x

2

BBààii ttooáánn 110044.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x



5

x

   

2 0

x

1 3

2

5 0

 

18



x

  3   18 

x Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

Điều kiện .



 1 3

 1



2

2

2

4 x   4 3 x  5 x   2 4 x  x  x  2  18 x  18 x  5



 1 3

 1 .





  

 5 3

   1

 4 x  x  x   2 15 x  9 x   7 4 3 x  2 x  1. x   2 x  2 x x  2

23 x



2

x

  1

u

;

x

  2





0;

0

2

2

 v u   

 u v

Đặt

v 

v  u v 5    0 u v uv 4  u 5 thì (*) trở thành  

2

2

  x

1  37  3 x  2 x   1 x        x 3 0 2 3 x   x 6  37 1 6

1 3

 37 1 6

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 73 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

x



6

x

  5

x

  2

x



13

x



x



   .

 3 3

 11

BBààii ttooáánn 110055.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2



6

x

 

5 0

x

Lời giải.

x

 

2 0

  x

5

2

 11 0

13



x

    3 

 x Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

Điều kiện .



 1





 3 3

 11

2

 

4  5 x  6 x    2 4 x x  x  5 x  2  x  13 x 

  x 1



 2 .

2

2

4 x   15 x x 5  16 x





  1

 4 x  3 x  2.   5  5 3 x x  2 x  x  5  

x

2 3 

x

  2

u

;

x

  5



0;

v



0

 v u



2

2

2

2

v



u 5

uv 4

 u v 5

u v

     v

u

0

x

3

x

  2

x

  

5

x

4

x

7 0

  (Vô nghiệm).







   Kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.

2

2

x



8

x

 

7 4

x

  3

2

x



19

x



143

x



   .

Đặt   5  thì (1) trở thành

2

x



8

x

 

7 0

BBààii ttooáánn 110066.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x

 

3 0

  x

7

2

 143 0

19





2

x

    

x Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

x



8

x

 

7 16

x



 48 8

x



x



7

x



3



2

x



19

x



143



 1





2



8

x



x



x

  7

x



x 11



102



 1

 3 .

2

2



8

x



4

x



3.

x

  7

x



4

x

 

3 15

x



7





  

x

2 4 

x

  3

u

;

x

  7



0;

v



0

Điều kiện .

 v u



2

2

2

2

2

 uv u 8



v 15



v 5

  0



0

   u

 v u 3



25  v  u v 5

u u

 

2

2

13

x



x

x



66

29



178



0

2 v u 3 . v 3   1



2

2

Đặt , khi đó (*) trở thành

   x  ; x

S 

7;

    178 0,    .

Do x  13 x  66 0,    x  nên (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.  29 x  x

2

2

10

x



50

x

  3

2

x



5

x

 

2 3

x



5

x



   .

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

2



50

x

 

3 0

x

25

745

2

5

x

   

2 0

x

BBààii ttooáánn 110077.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 10

 5

 10  x 2    x 

2

Điều kiện .

2

x  14 x  47 Nhận xét 2 x  5 x   2 3 x   5  0 . 2 2 2 x  5 x   2 3 x  5

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 74 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

10

x



50

x

 

3 2

x



5

x

 

2 9

x



 45 6

2

x



x



2

x



5



 1





2

27

x



2

x



x



x

  2

0



 1

 5 .

2

2



x 11



x





5

5

x



2



3 2

x



x 11



5.

x

  2

0





  4 x  2 2   2

x

 20 3   0

22 x



x 11

  5

u

;



0;

2

2

Đặt

 v u   

 u v

v 



u 2  v 5  uv 3 0 u 2 v 5     u 0 v ta thu được 

2

2

6  22 6  22  2 x  x 11   5 x    2 2 x 12 x     7 0 x   x 2 2

S



3



;

22 2

  

    

2

2

x



20

x



9



2 6

x



x 11

  3

x



2

x

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm .



   .

 3 9



BBààii ttooáánn 110088.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . 2

2

2

Lời giải. Điều kiện





2

2

   3

 4 6 2 6 Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

27

x



60

x



27

x



x 11



  

2 4

x

2

x



x



x



2



3



 3 3

 1



2

  x 3

17

x



3

x



x

x

  3

0

 4 6  17 4

 



 1

 2 . 2

2

2

  x 3

7

x

 

2 4 3

x



7

x



2. 2

x

 

x



3



0

 3 5 2



23 x



7

x

  2

a ; 2

x

  3





0;

0

x  x 11   3 x  2 x  45 x  14 Nhận xét   2   2   3 2 6 x 11  x x x   0 . 24 2 x  x 11 x  2 2 6 x  x 11   3 x  2

2

2

Đặt

 b a   

 thu được  a b a

b 



a  4 ab  b 5 b 5  0    a b 0

2

2

9



21

9  21 9  21  3 x  7 x   2 2 x    3 3 x 9 x     5 0 x   x 6 6

S



;



6

   

   

2

Kết hợp điều kiện ta có tập hợp nghiệm .







   .

x 8 x  15  4 x  5 x   1 2 x  2 x BBààii ttooáánn 110099.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . 2

2

Lời giải. Điều kiện

2

2

2

2

8

x



15

x



4

x



5

x

 

1 4

x



2



4

x



x



x



2







 1 4

 1



2

  4 x

14

x

 

7 4

4

x



x



x

 

1 0



 1

 2 .

2

2

  4 x

9

x

 

2 4 4

x



9

x



2.

x

 

1 5

x

0



   . 1

4 x  9 x  9 Nhận xét 4 x  5 x   1 2 x   2    0, x 2 .  4 x   1 2 x  2 x 5 Do đó bất phương trình đã cho tương đương

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 75 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24 x



9

x

  2

u

;

x

  1



0;

v

0



2

2

 v u uv 4

u





v 5

   

0



v 5

  

u

0

v



 u v u



5



13

2

2

4



4

x



9

x

  2

x

   4

1

x

10

x

   3 0

5



13

  x    x 

4

5



13

Đặt ta thu được

S



;

4

  

    

2

2

4

x



13

x



173 6



x

  5

2

x

  x

1

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm .

2

4

x



13

x



 173 0



BBààii ttooáánn 111100.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x



5

  x

2937 13 8

2

2

x

  

1 0

x

    

2

2

4

x



13

x



173



2

x

  

1 6

x

x



5

Điều kiện .

  1

2

Bất phương trình đã cho tương đương với .

2

2

2

  x 4

13

x



 173 2

x

  

1 36

x

x



5



12

2

x



x



x



5

  1







 1

 1



2

  2 x

22

x

 

8 12

2

x



x



x

 

1 0



 1

 5 .

2

2

  2 x

9

x

 

5 12 2

x



9

x



5.

x

 

1 13

x

0



   1

  2

22 x



9

x

  5

  1



0;

b



0

 37 x  179 Nhận xét 2 x    1 6 x x   5   0, x thuộc tập xác định. x 2 2 2 x    1 6 x x  5 Do đó

2

2

 b a 12

Đặt thì

   

; x a   2



 a b a



  a ab  b 13 0  b 13    a b 0

2

2

5



33

5  33 5  33  2 x  9 x   5 x    1 x 5 x     2 0 x   x 2 2

S



;

2

  

    

2

2

3

x

  4

2 3

x



5

x

  2

27

x



98

x



29

x



   .

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm .

2

x



98

x



 29 0

27

2

BBààii ttooáánn 111111.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

5

x

 

2 0

  x

4

 4

  3 x    x 

2

2

Điều kiện .

27

x



98

x



29



2 3

x



5

x

 

2 3

x



4

  1

2

Bất phương trình đã cho tương đương với .

2

x  29 x  44 Nhận xét: x   4 2 3 x  5 x   2 3 x   4  0 . Khi đó 12 2 2 3 x  5 x   2 3 x  4

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 76 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

  1





 1



2

 27 x  98 x  x  5 x   9 x   36 12 3 x  2 x  x  4 2

  29 4 3 3



  4 .



2

2

 x x  87 x   2 x  x   1 0



   1

  2

23 x



14

x

  8

u

;

x

  1



0

 x  14 x  12 3 x  14 x  8. x   1 17 x 0  8 15  5 3

0;

v



 v u

2

2

2

u 5



12

uv



17

v

  

u v

0

u 5



17

v

    u

0

v

3

x



14

x

  8

x



1







5



13

5



13

2

2

  3 x

15

x

   

9 0

x

5

x

   

3 0

x

  x

2

2

5



13

 57 12   Đặt thì (2) trở thành

S



;

2

  

    

2

2

5

x

 

5 3 2

x

  x

17



4

x



1

x



   .

Kết hợp điều kiện ta có tập hợp nghiệm .

5

2

BBààii ttooáánn 111122.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.



9

x



153 0

  

x

5

x

2

x

 

1 0

 x  18   

2

2

Điều kiện

18

x



9

x



153



4

x

 

1 5

x



5

  1

2

Bất phương trình đã cho tương đương với .

2

2

2

16  25 x  109 Nhận xét 4 x   1 5 x   5    0 x 5 . Vì thế x 2 4   1 5 x  5 x

  1



 1

 1



2

 18 x  9 x   153 16 x   16 25 x   125 20 x  x  x  5



 1



2

2

  x 2 34 x   12 20 x  1. x  x  5  0

2

2

  x 17 x   6 10 x  1. x  6 x   5 0

  2



   1

2

  x 6 x   5 10 x  1. x  6 x   5 11 x 0

x

  1

a ;

x



  5



0;

b



0

2

 b a 2   b 10

Đặt ta có

   

6 x   2



 b a b



ab  a 11 0  a 11    b a 0

2

2

x



7  33 7  33    x 1 x  6 x    5 x 7 x     4 0 x   x 2

26 x



14

x



24



x

  

3

x

1

x



   .

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình ban đầu là . 2  33 7 2

14

x



 24 0

7



  x

BBààii ttooáánn 111133.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

  

193 6

 3

26  x   x

Điều kiện .

26 x



14

x



24

  

1

x

x



3

  1

2

x

  1

x

  3

  0, x

Bất phương trình đã cho tương đương với .

x   1

  x x

4 

3

x

Nhận xét thỏa mãn điều kiện (*). Bởi vậy

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 77 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

  1



2

  6 x 14 x  24  x  2 x     x 3 2 1 x  3 x



 1



  1  1 5



  x 5 17 x   22 2 x  x     0 3 x x   22 2 x  3   0 2 x   3  22 5 x

x  x 

2

   x 4   x x  x  22 5 22 5

x  . 4

4 x 22 5 22 5 2  x 25 x  220 x  484 224 x   496 0 22 5 22 5  12 25  4 x                           124 25   x         

2

2

x

  5

10

x



34

x



 21 2

x



2

x



   .

So sánh với điều kiện, kết luận nghiệm

17

79

x



BBààii ttooáánn 111144.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 10

2

Điều kiện (*).

10

x



34

x



 21 2

x

  2

2

x



5

  1

10

2

x

  2

2

x

  5

  x 0,

Bất phương trình đã cho tương đương với .

2

Nhận xét thỏa mãn (*). Do đó

2 2 x

24  x x 2    x 8

 x 2 x   4 2

9  x

5  

  1



 1

2

2

 10 x  34 x  5 4 x  2 x 

 1

 1

  x 6 28 x   22 4  x 2 x     3 5 0 x 14 x   11 2 x  2 x   5 0  21 4  5 

  

 1 3



2

x x   11 2 2 x  5   0 2 2 x   5 11 3   x    x 3  x 11 3 11 3

S 

3;



  .

x 11 3 11 3  20 9  x x  66 x  121   x     x   8  47 9   x         3 

2

2

2

4

x



24

x



35



x



3

x

  2

x



7

x



12

x



   .

Kết luận nghiệm

BBààii ttooáánn 111155.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x D

     

; 4

1;





     ; 2



5 2

  

  

Điều kiện .

2

2

4

x



24

x



 35 2

x



10

x



 14 2

x



x



2

x



3

x



4



 1







2

x



14

x



2



4



x







 1

2

2

2

2









3

6

8

x

x

x

8

x



4

x



3



2



6

x



x



4

x



3

  2 x 

x 

 x 

 3 



2

2

 21 2     thu được

Bất phương trình đã cho tương đương với

0

 

0

 

0

a b 3

 

2

ab







2

2

2

2

 a b

9

 a b



0



a

6

 ab b



4

ab



a

10

 ab b



0

  



3 a b   9 

3 a b   9 

a b 3      

b 3 Đặt x  6 x   8 a x ;  4 x

Xét các trường hợp ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 78 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

x



x



 21 0

x



6

x



8



x



4

x



3

0

 







  x

2

2

a b

 

0

 7 7 2

x

 

3 a b   



6

x

  8



4

x



3

x

 x

 3    

    

14 5 2

2

2

2

x



6

x





x



4

x



3

8

 

0

2

x



14

x



 21 0

 .







2

2

2

a b

 

0

x



50

x



 69 0

x



6

x





x



4

x



3

 7 7 2 25

73

3 a b   9 

   8  

 

  8

 3   9 

x

 

 8

  x    

25

73





 ; 2

S

  

;

 8

 7 7 2

   

  

  

  

2

2

2



x 21



20



x



4

x

  3

x



7

x



10

x

4

x



   .

x   hoặc 1

x   .

5

2

. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm



 1







2

BBààii ttooáánn 111166.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với 2  x 11  30 2 22   4 x x x   13 2 x  x  3 x  2 x  5



 1







2

2

2

2

  2 x x 11   17 2 x  x  2 x  3 x  5

2

2

2

2

2

  x 3 x   2 x  8 x   15 2 x  3 x  2. x  8 x  15  0





 x  3 x   2 x  8 x  15    0 x 3 x   2 x  8 x     15 x 13 5

2

2

2

x



x 11



12



x



6

x

  5

x



5

x



6

x

So sánh điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.



   .

 2 2



BBààii ttooáánn 111177.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải.

2

2

x 11

12







x

2

x



x 11



 11 2

x



x



5

x



2

x



3



 1







2

Điều kiện x   1     x 5 

 2 2   x 2

x 11



x



x



3

x



5

x



2



 1







2

2

2

2

  x

4

x

  3

x



7

x



 10 2

x



4

x



3.

x



7

x



10

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với   13 2

2



; 5

1;





 S       .



 x  4 x   3 x  7 x  10  (Hiển nhiên). 0

3

2

3

x



2

x



9

x

  2

x

  1

x



2

x



   .

Kết luận bất phương trình đã cho có tập nghiệm

2

2

x



9

x

 

2 0

2

2

x



4

x

0



   1

BBààii ttooáánn 111188.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

  x

2



2

   x    x 

3   x  x  1    x 2

Điều kiện .

Bất phương trình đã cho tương đương với

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 79 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

2

3

2





 1

 1

2

2

x  2 x  9 x   2 x     x 2 2 1 x  x   x x  2



 1

 2 .

2

2

2

2

10 x x   x   x 1

  1

2

2

 3 x  3 x  2  x x 2 x  3 x  2. x   x 1 x     1

x



u



0

x



3

x

  2

u

;

x

v





2

2

2

2

2

2

u 3



v

  

uv 2

u v

 u v 3

     v

u

0

x

3

x

  2

x

   

1

x

x

3

x

  2

x

1

x

x

    .







1 4

  2 x     1   5 2   v 0; thì (1) trở thành Đặt

3

2

3

x



2

x



27

x



12



2

  x

1



x

x



   .

Kết hợp điều kiện, suy ra bất phương trình đã cho vô nghiệm.



27

x



 12 0

BBààii ttooáánn 111199.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

22 x 1

3   x    x 

Điều kiện

3

2

3

Bất phương trình đã cho tương đương với

3

2

3

2

x  2 x  27 x  12  1  x  2  x





 1

 1

2

2

  x 2 x  27 x  12  x    3 2 x x  x   x x  2



 1

 2 .

2

2

2

2

x x  x   x 1 26 x



2

2

 2  5 x x 2 x  3 x  2. x   x 1  7 x  3 x   9 2       1   2 x 

x



3

x

  2

u

;

x

  

1

x



0;

v



0

 v u



2

2

2

2

7

u



v 5

  

uv 2

u v

7

u



v 5

    

u

0

v

x

3

x

  2

x

1

x

     . x







1 4

Đặt ta thu được

S

1 4

   

  

3

2

3

4

x



4

x



4

x



19



2

x

  8

x



1

x



   .

Thử lại, kết luận nghiệm duy nhất .

3

2

4

x



4

x



 19 0

BBààii ttooáánn 112200.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

  x

2

 2

 x 4   x

Điều kiện .

3

2

3

2

Bất phương trình đã cho tương đương với



 1





2

2

4 x  4 x  4 x   19 4 x  32    1 4 x x  2 x  2 x  4 x 



 1 .

2

2

2

2

  x 4 3 x  x  2 x  2 x  4 

  1

2

2

 x  ta có

  x 3 x   2 3  2 x  x  3 x  2. x  2 x  4 x  4 4

x



3

x

  2

a ;

x



2

x

  4

0;

b



0

 b a



2

2

2

2

2

  a

b 3

  

ab

4



b 3

  0



0

 a b a





  1

 

b 9 b 3

2

2

2

2

2

b 9





5

0

b

a

x

x

2 b a . a 0

   

  2

   a

 2 8



2

 x  . Kết luận tập hợp nghiệm Nhận thấy [2] nghiệm đúng với mọi

S 

2;

    .

 a a b   34 x 21 

Đặt  20 4  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 80 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

2

3

x



2

x



7

x

  6

x



x



1

x



   .



7

x

 

6 0

BBààii ttooáánn 112211.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

22 3   x x   x 0

3

2

3

Điều kiện

x



2



7

x

x

2

3

2

3

2

2

2

x



x

  x

2

x



7

x

  6

x

  

1 2

x

    x

2

x

x

8

x

 

5 2

x

  x

1.

x



x

x 

x   6  1

  1  1

2

2

2

2

2

2



5

x

x

3

x



x



2

x

  x

1.

x

  

5 3.

x



2

  

x 2

x 2



    1





 x   x

x

1

 x   x

x

1

2

t

 

2

2

2

Phương trình đã cho tương đương với

  

t 5 3

  2 t

      x

1

1

x

t

x

  

x

x

5 3





1 2

1

Đặt  t t  0 . thì   x 2 x    x x 1

    t 1 x  . 2

3

2

3

x



4

x



10

x



20



x



27



2

x

x



   .

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thu được nghiệm

2



10

x



 20 0

x

4

  x

3

BBààii ttooáánn 112222.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

3   x  3 x  27    0 x 

Điều kiện .

3

2

3

2

Bất phương trình đã cho tương đương với







2

2

x  4 x  10 x  20  x  4 x   27 4 x  3 x  3 x  9 x

 x x

 3 .

2

2

2

2

2

2

  x 4 6 x   47 4  x  3 x  9

  1





2

2







 1



2

  x 3 x  3  3 x  9  4 x  x 3 . x  3 x   9 x   3 4 x 2   x 3  3 x x 9  x 3  3 x 9 x x 2  2  t t  0      t 3 4 t t t  3       t 1 0 1 3  3 Đặt thì   1 x 2  3  x  3 x x 9

x

x



3

x

x

 

9 0

6

3x  ).





  2

2

2

2



9

x

x



3

x



3

x



9

x



30

x



 81 0



  8 

   

x 2  3 x 2  (Hệ vô nghiệm do 3  x  3 x 9   9 x 

3

3

2

x

  1

x



2

x



17

x

  8

x



0

x



   .

Kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.

0

BBààii ttooáánn 112233.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

  x

1

3

2

8 0

 

17

2

x

x

  x   x 1    x 

 Bất phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 81 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

3

2

x

  1

x



x





17

x



2

3

2

3

2

2

2

   

1 2

x

x

x



x

  x

x



x



2

x



17

x

  8

2



x

  

1 2

x

x



16

x



9



 x x

 1 .

x  1

8  1

2

2

2

2

2

2



2

x



x

.

x

  

1 9

x

x

x

7

x

2

 

9 7.

  



    1



   x

x  x 2   x

x

1

x  x 2   x

x

1

2

2

2

2

      t 9 7

t 2

t



9

      1

0

x

x

t

x

1

x

     . x







 t 1 7



1 2

 t t  0 Đặt thì   x  x 2   x x 1

2

3

2

3

x



12

x

  5

x

  1

x



2

x

x



   .

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.



12

x

 

5 0

BBààii ttooáánn 112244.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

1

  x

2



2

0

23  x   x    x x 

  Bất phương trình đã cho tương đương với

2

3

2

2

Điều kiện .



 x x



3

2

2

3 x  12 x   5 x  x  2 x   1 2 x  x   x  2



 2 .

 1 

 1  1

3

2

2

2

3

2

  x 2 x  10 x   6 2 x  x  x   x x  0

   x





 1 

2

2

x  x  3 x  3 x  2 2 x  3 x  2. x  x   x 0 

  

3

3

2

  1 3.  2  0 x 2 x 2 x x   3 x   2 x x x   3 x   2 x





3

2

2

3

2

3

t 1 3



t 2

         1

1

0

x

t

t

3

x

  2

x



x

  

x

x

4

x

 

2 0

Đặt  t t  0 thì x 2 x x   3 x   2 x

    

  1

1 3

2

x  . Kết luận nghiệm

S 

2;

  .



.

3

2

3

x



5

x



7

x

  2

x

  

2

x

2

x



1

x



   .

Nhận thấy [1] nghiệm đúng với

2

5

x



7

x

 

2 0

3

2

x



7

x

 

2 0

2 0



BBààii ttooáánn 112255.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

  5 x   1 x

x 2

x

   x   1 0

3   x  3   

Điều kiện

3

2

3

2

Phương trình đã cho tương đương với



 1

 1

 2 2

2

2

  x 5 x  7 x   2 x  3 x   3 2 x  x   x x 



 1 2

 1 .

2

2

2

2

10 x x   x   x 2

  1

2

2

  x 3 x 2 x   x  2 2 x  3 x  1. x   x 2

2

x

 0;

v



0

2

x



3

x

  1

u

;

 v u



x  thì Đặt   x 5  3 2    x   1 2    1 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 82 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

  3 u

v

  

uv 2

u v

 u v 3

  

u

0

v







  1

   x

2

5

2

2

2



2

x



3

x

  1

x

   

2

x

x

4

x

1 0

x

  2

5

    





3

2

3

x



2

x



32

x



17



x



2

x

  4

x



3

x



   .

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S  2  5 .

2

x



32

x



 17 0

2

3

2

x



32

x



 17 0

x

 

4 0



BBààii ttooáánn 112266.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 x  2   3 x

3   x  3 x  2    3 x 

Điều kiện

3

2

3

x



2

x



32

x



17



x



2

x

  4

x



3

3

2

3

2

Phương trình đã cho tương đương với









2

2

  x 2 x  32 x  17  x  2 x     x 3 2 4 x  2 x  2 x  2 x  3





 3 .

2

2

2

2

x 31  x  2 x x  2 x  2

2

2

x



5

x

  6

a ;

x



2

x

  2



0;

b



0

 5 x  5 x   3 6 x  2 x  2  2 x  5 x  6. x  2 x  2   2 x   24 2    

 b a



2

2

2

2

5

a



b 3

  

a b

ab

2

5

a



b 3

    

a b

0

x

5

x

  6

x



2

x

2

   . x







3 7

Đặt ta có phương trình

3

3

2

x

  8

x



2

x

  9

x



1

x



   .

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

3

8 0

x

2

3

   9 0

  x

3

BBààii ttooáánn 112277.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

2

x



3

x

  x

3



0





 x     

 x 2   1 0

x x

    2   

Điều kiện .

3

3

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với



 1





2

2    x

x   8 x  2 x     x 1 2 9 x  3 x   x 3 x 





 1 .

2

2

2

2

2 x 2 x  3 x  x   x 3

2

2

2

2

2

  x 2 x   3 2 x  2 x  3. x    3 x x    3 0 x





2

2

 x  2 x   3 x   x 3    0 x 2 x   3 x   x 3

       x   3 2 3 x x x x

3

x

4

x

x

 

4 10



1

x



2 Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.



  .

 3

  5 2 2

x



4

x



6

x

 

4 10

BBààii ttooáánn 112288.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải 1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 83 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

  x

5



x

 

5 0

4

1

2

2

x



6

x

   

4 10

x

x



8

x



 26

0

x

4

 x 1  4

0 

x x

 4  4

4 4



4

 x       x    x 

3   x  3   

3



f



23 x



8

x

6 0,

4;

4;







6

x

x

x

24 x

   x      x     ta có



  x

      . x

  f x





f

  100



10

Điều kiện ban đầu .

   4



  f x

 4; Xét hàm số Suy ra hàm số liên tục, đồng biến trên miền 

 4;  . Do đó

   f x Min f x 

   4; x

.

4

x  , bất phương trình đã cho tương đương với 3

3

2

Với điều kiện

3

3

2

x  4 x   5 2 x   4 10  x  4 x  6 x   4 10

3

2

3

2

  x 4 x   5 2 x   4 x x  6 x 





2

2

  x 4 x   5 4 x   16 4 x  x   x 5 x  4  x  4 x  6 x  4



 1

2

2

2

2

2

2

4   4 x 2 x   17 4 x  x  x   x 5  4  1  4  

2

2





2

2

2

 3 x  5 x  4  x    5 4 x x  5 x  4. x    5 x 3.   1 4 x x   4 5 x   5 x x x 5  4  x   5 x







 t 1 3

 1

2

2

23



297

2

2

2

x

  

5 9

x

x



5

x



4

x



46

x



 29 0



8







2

2

6

x

 

1

23



297

x

 x



5

x

  4

  x

5

 8  

   

8

  x    x 

23



297

Đặt  t t  0 thu được t 3     t 1 4 t        1 0 t  1 x x  4  x 5   x 5 1 3 x x  4  x 5   x 5 1 3

S



;

8

  

    

Kết hợp điều kiện ta thu được tập hợp nghiệm .

2

  x

5



x

 

5 0

4

1

2

2

Lời giải 2.

x



6

x

   

4 10

x



8

x



 26

x

0

x

4

 x 1  4

0 

x x

 4  4

4 4



4

 x       x    x 

3   x  3   

3

2

2

3

2

   x      x  26

Điều kiện ban đầu .





 Bất phương trình đã cho trở thành

3

3

2

x



4

x

 

5 2

x

 

4 10



x



4

x



6

x

 

4 10

3

3

2

  x

4

x

 

5 2

x

  4

x

x



6

x



3

2

3

2

  x

4

x

 

5 4

x



 16 4

x



x

  x

5

x



4



x



4

x



6

x



4





2

2

4

  4 x

2

x



 17 4

x



x



x

  x

5



 1

 4  1 

4  

2

2

2

2



3

x

x

5



4





x

  

5 4

x

x



5

x



4.

x

  x

5

2

2

x x Khi đó   4    4 4 6 x x x x  8 x    4 26.4 4 100     x 4 x  6 x   4 10 0  .

x



5

x

  4

u

;

x



0;

v



0

   

5

x



  v u

Đặt ta có

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 84 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

2

2

u 3



v

  

uv 4

u v

 u v 3

  0

.



0







 u v  u v

 v u 9  u v 3

23



297

2

2

2

2

2

v

u 9



v

0

6

x

x



46

x



29

  

0

x

   

   u





 1 8



8

23



297

S



;

8

  

    

4

Kết luận nghiệm .



Nhận xét. Bài toán 128 về hình thức có lẽ đã trở nên quen thuộc, bao gồm cả nhận xét mẫu thức luôn lớn hơn 10, dựa theo điều kiện xác định (ban đầu). Theo tác lập luận chứng minh mẫu thức lớn hơn 10 "nhất cử lưỡng tiện", không những giảm thiểu một trường hợp, đồng thời đây cũng là hướng xử lý điều kiện xác định một cách chặt chẽ (lưu ý bài toán là giải bất phương trình). Với điều kiện x  , lời giải 1 trình bày phương án xử lý bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số (dành cho các bạn sau khi đã học kiến thức đạo hàm – tính đơn điệu hàm số, chương trình Giải tích lớp 11 – 12 THPT); lời giải 2 có hướng đi bằng việc tách nhân tử và đánh giá thông thường, phù hợp với các bạn học sinh THCS và lớp 10 THPT.

  f x

  f x 1 x 1

 f x 2 x 2

Ngoài ra các bạn có thể chứng minh tính đơn điệu theo định nghĩa:   0 đồng biến. Tùy  

3

2

3

2

x



5

x



x 11

  3

x



x



3

x

 

6 2

x



3

x



   .

theo hoàn cảnh và khả năng của bản thân, các bạn có thể lựa chọn cho mình cách giải hợp lý nhất. Nội dung, cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng của Bộ giáo dục hiện hành luôn theo phương châm cơ bản, bám sát chương trình sách giáo khoa, theo đúng chuẩn kỹ năng và khung kiến thức, phù hợp, vừa sức với mọi đối tượng dự thi đồng thời phải có tính phân loại thí sinh rất cao. Học, tìm hiểu, thực hành, vận dụng và đánh giá các kiến thức cấp cao hơn là một điều hết sức đáng quý nếu các bạn có khả năng, nhưng đôi khi điều này sẽ làm chúng ta mất đi những tư duy đột phá đáng có !

2



x 11

 

3 0

x

5

2

2

3

3

x



8

x



13

x

 

3 0

x



x 11

 

3 0

2







3

x

  

6 0



  x

3

BBààii ttooáánn 112299.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x x

 5  3



3

  

   x   x  

x x

 x  3

3   x  3   

Điều kiện .

3

2

3

2

Bất phương trình đã cho tương đương với

3

2

3

2

2

x



5

x



x 11

  3

x



x



3

x

 

6 4

x



 12 4

x



2

x



3

x



3

x



3









2

2

x  5 x  x 11   3 x  x  3 x   6 2 x  3





 3 .

2

2

2

2

12 x  x  2 x  x  3 x  3

  1

2

2

 3 x  5 x   x 6  3 x   3 4 x  5 x  6. x  3 x  3   4 x   21 4 

x



5

x

  6

a ;

x



3

x

  3



0;

b



0

 b a



2

2

2

2

2

2

a 3



b

  

a b

ab

4

 a b 3

  0

.



0







 a b  a b

 b a 9  a b 3

12

42

  x

2

2

2

2

2

3 8

 4

b

9

a



b

  

3 8

0

x

8

x



48

x



  0



   a







 51

12

42

     x 

 4

Đặt thì [1] trở thành

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 85 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12

42

x



 4

3

2

3

2

4

x



8

x



32

x



19



2

x



x

  

1

x

x



2

x



   .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm .

2

3

2

BBààii ttooáánn 113300.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.





3

2

2

x x   19 0 2  4 x  8 x  32 x   19 0

2

2

3

4

x



2

x

x

3

4

x



3

x



2

x

3

2

2

x



x

  

1

x

x

  2



  

0

x

2

Điều kiện  x    1 0 x x x x 0   x 2 .  x  1 32    1 x  2  2       4        x 

4 3

 2

3

2

2



x

  

1

x

x



2

2

x



 x

   1    x

1

x



2

x Bất phương trình đã cho tương đương với

3

2

3

2

Nhận xét .

3

2

3

2

2

4 x  8 x  32 x  19  x  2 x x x 1 





 1

 1

2

2

4 x  8 x  32 x   19 4 x  x x x 2 4 x  x  x  2          1

 1

 2 .

2

2

2

2

x  x   13 4 x  x    1 0 2  



2

2

 5 x 4 x  3 x  2. x   1 9 x  3 x  2  0   4  27    1 x 

2

x 2 x 2   5 4  9.  0 3   x 2  1 x 3   x 2  1 x

2

2

2

 5 4 t



t 9

  

0

t



5

     1

0

x

t

3

x

  2

x

1

   . x







 t 1 9



1 3

x 2  t t  0 thu được Đặt 3   x 2  1 x

3

2

3

9

x



6

x



3

x



32



x

 

1 3

x



3

x



2

x



   .

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

1

3

2

x

x

x

3

6







 32 0

1





1

  x

2

BBààii ttooáánn 113311.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

2







0

2

x

x

 1



2

 9   x     

x



13

x



23

x



 32 0



  x   x      x 2      x 2 9  Phương trình đã cho tương đương với

3

2

3

Điều kiện

3

9 x  6 x  3 x  32  3 x  3 x   2 x  1

3

3

2

2

x  3 x   2 x



 1



 1



3

x x  6 x  3 x   32 9  3 x  2    1 6 x x  2 x  2 x  x    1 0 

2

2

x  3 x   2 x  1



 1

  

2

2

2

x



2

x

2

2

2

 6 x  23 x   13 6 x  x  3 x   2 0  3    9   3    

x



6

x



x



3

x

 

2 7

x



3

x



2

  

1 6

0



7.



0

   

 1



 1





 x 3  x 1

 x

3  x  1

. Ta có  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 86 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

1



2

x

2

2



t

t



0





2 3  x  x 1

 t 7  0 Đặt quy về     1 x t 2 x   1 x  3 x    2 x . t   1 5 0 1 7   t 1 6   t  0   t        t

3

3

3

4

x

  x

12



x

  1

x

  x

6

x



   .

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

2

3

BBààii ttooáánn 113322.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 3 2



x  x  3 x  4  0 2 4 x   x  12 0  3 x 2

3

2

Điều kiện x  1 1     1 x 2 .





      x    

2 x    6 0 x  2 x  2 x  3  0 x   x    x      

3

2

2







2

2

3    x

Bất phương trình đã cho tương đương với 3 3 4 x   x 12  x   1 x    6 2 x x    x x  2 x  2 x  3 x





 1

 3 .

 1 

 1  1

3

2

3

2

3

2

3

2

5 2 2 x  x  2 x  x  x   x 2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

  x x    3 2 x x  x   x 3. x  x    2 x x  x    2 0 x





3

2

2

3

2

x  x    3 x x  x   x 2    0 x x    3 x x  x   x 2 

x x     1 0    2 2 x x x x   x x

  1 x  . 2

3

2

3

2

3

2

4

x



4

x



8

x

  9

x



2

x



2

x

  4

x



x

  x

1

x



   .

   3 2 x  . Kết luận bất phương trình đã cho có nghiệm 2 Hệ thức [1] nghiệm đúng do

2

3

2



16

x

 

9 0

x



x

4

x



4

x



8

x

 

9 0

3

2

2

BBààii ttooáánn 113333.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

x



2

x



2

x

   

4 0

x

  x

2

x



  0

3

2

2

x



x

  

1 0

x



x

0

    

 2 4  2  x 1

4  2    1

   x       

Điều kiện .

3

2

3

2

3

2

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với







 1

 1

3

2

2

2

4 x  4 x  8 x   9 x  2 x  2 x   4 x  x    1 2 x x  2 x  2 x  x 







 1 .

 1



3

3

2

2

3

2

3

2

  x 2 x  5 x   4 2 x  2 x  x  x  2

  



3

2

3

2

x x 2    3  x  2 x  2 x   x  2 x  2 x   x 2. x  x  2 x  2 2

x



x



2

x

u

;

x



2

x

   2

    x

2



0



2

2

u 3



v

  

uv 2

  u v 3

  

0

u

v

 v u  u v

Đặt

 0; v 

3

2

3

2

2

  x

x



2

x

  2

x



2

x

    

2

x

x

x

0

2

x  . Kết luận bất phương trình có nghiệm

S 

  1   . 2;



thì [*] trở thành 

3

2

3

3

16

x



8

x



15

x



 43 3

x

  1

x



8

x



   .

Dễ thấy [1] nghiệm đúng với mọi

BBààii ttooáánn 113344.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 87 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1

2

  x

2

3

2

x

8





15

 43 0



x

  x   x   16 

2

3

3

3

2

2

Điều kiện .



x Bất phương trình đã cho tương đương với 

   1

 1

 1





3

2

2

2

 43 9 15 16    8 x x x x x   8 6 x  x   x x  2 x  2 x  4





 1

 4 .



 1

3

3

2

2

3

2

3

2

  6 x 8 x  15 x   26 6 x  x  2 x  x  2 x   x

3

2

3

2

 7  x 4  2 x  x  2 x  x   x  6 x  x  2 x  4. x  x   x 2

x



x



2

x

u

;

x



x



0;

v

   4

     x 2

  0

 v u



2

2

3

2

3

2

7

u



v

  

uv 6

u v

7

 u v

     v

0

u

x

x



2

x

  4

x



x

  x

2







3

2

3

2

2

  x

x



2

x

  4

x



x

   

2

2

x

x

3

x

   2 0

1 2   2

  x  x 

S 

2;

  .



Đặt ta thu được

2

Kết luận bất phương trình đã cho có tập nghiệm



   .

x 1 x 1   x BBààii ttooáánn 113355.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  2  6 x 6

2

2

2

2

2

2

Lời giải. Điều kiện

0x  . Phương trình đã cho tương đương với  1

 x x

 x x

 1

2

2

2

2

  1 1 x x x 1 x 1       2   x 6  2   x 6 3         

 x x

 1

2

  x 4 x   1 4     x 1 4   4 x  0 3  1     x x

2

2

2





x

  2

3;

x

  2

3

   x 2 3  x x   1 2     1 2 0 x x x x x   2 3      1 4 

.

0x  . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ gồm ba cặp số ta có

2

2

2

2

2

2

2

Đối chiếu điều kiện ta thu được hai nghiệm Lời giải 2. Điều kiện

2   1

2 1

 2 1



2

2

2

2

  

2

x 1 x 1 x 1 x 1 1 x         6 x 6 1 2  6 1 2  6  24  24 x 6 x 6                       2 x 1 2 x x  2 x 1 x 1 x 1         6 x 6  4 8  2  6 x 6  2               Phương trình đề bài có nghiệm khi và chỉ khi (*) xảy ra dấu đẳng thức, nghĩa là

2

2

   x 2 3 x 1     1 2 x x x x 1 2  6 x 6 x   2 3      1 4 





2

2

3



6

x



12



2



7

x



12

x

x

Đối chiếu điều kiện đi đến tập nghiệm S  2  3; 2  3 .



   .

 x x







BBààii ttooáánn 113366.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 88 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Lời giải.

x

x





3

  

0

x

0

23



 

 

2

2

3

x

.

x



6

x



12



2

x



6

x



12



x

Điều kiện .





 

  .

x

2 6 

x



12



u

;

x



0;

v



Phương trình đã cho tương đương với

 v u ,



2

2



2

u



v

u



v 2

 u v 2



0



0 



  u

v 2

 



0;

v

0

  

0;

v

0



    u  

 uv 3   u  

2

2

  x

6

x



12 4

  

x

x

10

x



12 0

    x

5

13;

x

  5

13

x

  5

13;

x

  5

13

Đặt thu được

.

22 x



6

x

  8

x

  x

2

x



   .

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm

6

x

 

8 0

  x

0

BBààii ttooáánn 113377.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.

 0

22  x   x

2

Điều kiện .



2





x



u x ;

2

v

Bất phương trình đã cho tương đương  4 x  4  2 x  x    2 x 2 x 2 x  2  2 x  x   . 2 x

  thì ta có

0

 

0

2

2

u 2



v 2

   u v



2

2

2

2

2

u 2



v 2



u



uv 2



v

 u v



0

  

u v   

u v      

2

      x

2

u

x

v

  x

4

 

4 0

 x  2 x 5  x  x  . Kết luận bất phương trình đã cho có duy nhất nghiệm 4

8

4

4

2

x



14

x

  1

x



12

x



1

x



   .

Đặt

2

2

8

4

4

2

4

2

4

2

BBààii ttooáánn 113388.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh Lời giải.



 1

4

2

4

2

4

2

 x



 x 4

x



4

x

x

4

x

  . 1 0

Nhận xét x  14 x   1 x  4 x   4 x  x 4   nên ta có điều kiện

 x   1

  x 1 1      0 1

4

2

4

2

4

2

x



4

x



x



4

x





x



12

x



1

 

 1

 1

4

2

4

2

4

2

4

2

  x

4

x



1.

x



4

x



x

 

1 2

4

x

x



4

x



   1



 1

4

2

4

2

Phương trình đã cho trở thành 

 ta thu được

x



4

x

  1

u

;

x



4

x

  1

0;

v

0

 v u ,

2

2

Đặt

  u v 2



   v

     u  

4

2

4

2

4

2

4

2

 u v  0  u 2  v    u v  0; v  0  0; 0  uv  u 

x x x x 4 4    1   1   x        4 0 1 x x x x 1 x  . 0

4 Kết luận phương trình đề bài có duy nhất nghiệm ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 89 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Bài tập tương tự. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực

2

2

3



4

x

x

  3

x 11



25

x

 . 2

2

1.

x 

  5 

2

2

 x 2 x  5 x  3 x   2 x  . 3 2.

4

x



15

x

  7

x



3

x

  2

x

 . 3

2

2

3.

x

x



x

  3

2

x



3

x

 . 2

2

4.

5 

13  1 3

  2 

2

2

x  x 10   x  3 x   2 2 x  . 4 5.

5

x



15

x

  3

2

x



4

x

  3

x

 . 2

2

2

6.

7

x



23

x



13



x

 

2 2

x



4

x

 . 3

2

2

7.

4

x



7

x

x

  x

  .

2

0

2

2

8.

x



2

x



x



6

x



3



2

x

 . 3

  1  2 2

x 

2

9.



 1 5



2

2

10. x  x  14  x  2 x  2 x  . 3

6

x

  x

19



x

  x

3

x

 . 2

2

2

11.

3

x



8

x



 22 3

x

  2

x

 . x

2

2

12.

6

x



x 11



14



x

  x

3

x

 . 1

2

2

13.

x

  x

3

x

  1

3

x



14

x



11 0

 .

2

2

14.

5

x



x 11



12



2

x

  x

3

x

 . 1

2

2

15.

x

x

x

 

1 2

x



2

x

 . 6

2

16.



6 3    

2

2

x 13   x 4 x   5 2 x  . x 17.

5

x



17

x

  5

2

x



2

x



x

 . 5

2

2

18.

x



57

x



29

3

x

5

x



x

 . 6

2

19.

x



14

x



3



3

2

x

x

 . 2

x

   1

 

 

10  2 10 25 x

20.







2

 8 x  42  2 x  2 x  3  x  . 3 21.

 x x



2

2

22. 10 x  37 x   2 3  3  x  . 1

4

x

  x

17

x



26

x



 40 3

x

 . 5

2

2

2

23.

9

x



x 31



20



2

x

  x

x



3

x

 . 2

2

2

2

24.

4

x



12

x

  5

x



3

x

  2

x



3

x

2

2

2

25. .

4

x



24

x



26



x



3

x

  2

x



3

x

2

2

2

26. .

9

x



29

x



 11 2

x



3

x



x



3

x

 . 2

2

2

2

27.

25

x



55

x



12



2

x



3

x

 

2 3

x



4

x

3

2

3

. 28.

x



2

x



7

x

  2

x

  1

x

 . 2

3

2

3

29.

x



2

x

  

3

x

x

  1

x

 . 2

3

2

3

30.

4

x



4

x



4

x



19



2

x

  8

x

 . 1

3

2

3

72

x



24

x



36

x

  4

3 8

x

  1

2

x

 . 3

31.

32.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 90 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

2

3

4

x



4

x



14

x



85



2

x



27



x

 . 1

3

2

3

33.

x



4

x



2

x



x

 

1 2

x

3

2

3

9

x



12

x



14

x

  4

3

x

 

1 4

x

. 34.

2

2

. 35.

2

x



3

x

  4

x



3

x

 

2 2

x

3

2

3

3

. 36.

4

x



4

x



3

x

  7

x

  1

x



2

x

3

2

3

3

. 37.

4

x



8

x



29

x



18



x

x

2

x

4

x

3

2

3

2

38. .

4

x



12

x



3

x

  4

x

  1



    x x

  1

2

39. .

x

  2

x



2

x

x

 . 1

2

2

40.

x

 

1 2 3

x



3

x



6

x



2 2   

 1

2

2

41. .

2

x

  

3

x

x

  6

x

  x

12

 3 2



2

2

42. .

x



2

x

 

3 2

x

  1

3

x



5





2

2

x

  1

x



7

x



12



5

x



42

x



61

43. .

1 2 2

44. .

3 3

x

  4

x

  1

5

x



x



51

2

2

45. .

2 3

x

  5

x

  

3

x

x

3



7

x



13

36 



2

2

46. .

2

x

  x

3

x

  1

x

x

 3 2

   . 1

2

2

47.

2 3

x

  

1

x

4

x

  3

x



2

x



5

 3 6

3

2

2

48. .

4

x



5

x



x 11

  6

2

x

 

1 2

x



2

x



 

  . 1

3

2

3

49.

4

x



x



18

x

  1

2

x

 

1 2

x

 . 1

2

2

9

x



17

x

3

x

7

x

 

6 2

x





50.

 . 1

2

2

51.

2

x

  1

  x



3

x

  .

3

x

x

24  3 3

  1

2

2

52.

2

x

  1

2

x



x

x

 3 2

   . 1

2

2

53.

5

x

  

2

x

x



8

x



2



14

x

 3 5



2

2

54. .

x

  

3

x

6

x



2

x



7

x



3





3

2

3

2

55. .

x

  

1 3

x

x

  1

x



3

x

  x

4

4





2

2

2

56. .

3 2

x

  

2

x

3

x

  2

2 9

x



3

x

 . 8

2

2

57.

x



3

x



3

x

  3

2

x



4

x

 . 1

2

2

58.

2 8

x



6

x

  1

x

  1

28

x



8

x

 . 3

2

2

59.

37

x



196

x



157



5

x



5

x

  4

x

 . 5

2

2

60.

x



5

x



3

x

  6

2

x

x



18

2

2

2

61. .

x



2

x



3

2

x

  

1

x

 1 3

x



8   3 5



. 62.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 91 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

x





x





  .

3 x

x  2

7    x 1

BBààii ttooáánn 113399.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . Phương trình đã cho tương đương với

0

2

Lời giải 1. Điều kiện



 1

2 x  x   x    7 x    x 3 x 1 x 3 x 7 x  2 1     

2

2

   x  x    1 1 1 x 3   x 1 2 x 1 2 x 2   x 2 x 3 x  2 1     

 1 x 2 x  0    1 x  1 x 3 x 3   x 2 x 1 x 3 x                          

x





x



  2

2

1 3

3 x

x



4

x

 

3 0

    0 

2



    x  3 

0 0   x    x 1 . x  x   x 4  0 2   x 3 x x  3 x   4 0

 1 1;3 

x  . 0

2

2

. Kết luận phương trình đã cho có nghiệm      x    x   x     S 







2 x  2 x   3 x  7 x . Lời giải 2. Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với 

2

2

x

2 3  

u

;

x





0;

v



0





 2 2

 v u







   v

3

3

2

uv  2 Đặt v 2  2 u  u 4 uv  v u 2  ta thu được  2  v u      v u 



 1



 uv    2 x 3 x    2 x 3 x     4 0 x x   x 4    . x 0 1

2

1  2 x x 3

0

. Kết luận tập nghiệm x         v u 3 4 x 1;3  S 

x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

Lời giải 3. Điều kiện

3

2

  1   2





x  4 x   3 0 x  4 x  3 3 x x    2   2   3 x 2 x  2  7   x 1  x 4   x   1 x  3 x  2 x   3 2 x x    



 1

   x

2

3

x

  x

4

   . x

1

0

x

x

3

4 0

  x

   

1 x 3     1



x  . 0

4

2

2

2

4

2



x

4

x



3

x



2

x



14

x



49





   1

 x x



14  2  x

x 2

x 4

2

4

3

5

3

5

4

3

2

  2





6

4

4

x

x

x

x



3



x



14

x

  

49

x

x

4

x



6

x



16

x



25

x



 12 0

   2



 x     0 3 x   1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Lời giải 4. Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với 49 3     x  x 1  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 92 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

3

2



  1

   x









1 4 x  3 x  3 x  4    0 x x  3 x   x 4 3 x      0 x

S 

1;3 

.



3

x



x



Kết luận phương trình đã cho có tập hợp nghiệm



  .

2 1  x  x 2

1 3

1 x

x  . 0

2

2

BBààii ttooáánn 114400.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh





2

x  x  2 3 x  . 1 x 3 3 

a ; 3





x

x

b



2

2

2

2

b

  

a b

 a

a

2







  



2



0

 thì thu được 



 ab a b

 a b ab







 b a  b

2

2

2

3



  0

3

x

  x

x

  x

4



0



 1 3



  

0

x

1

0;   a  a b     1 3 x

 .

Lời giải 1. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với    1 Đặt

S 

0   2 2  4 b a b .  2 ab 2 4 x 3  x  0;1 

x  . 0

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm

2

Lời giải 2. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với





3 x   3 x  2 3 x     3 x 1  3 x     3 x 3 x   3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1   x 2 x 1 x 2 x 3 x      

2

3

  3 x 1  3 x    1 3 x 3 x 1 3 x  0 1 x 1   x 2 x 1   x 1   x 2 x 1 x                            

  1







2

2

2

 3 x   1 3 x   x 2  0 x

2

3

3

 3 x x ,   x 0 . x x x x 3 1 1 0, x ,

S 



0;1

x  . 0

 4 x  3 x    . Kết luận nghiệm 0 1 x . 3          x 4 0 2 3 x x x x x    1              3  1 3

2

2

2

Nhận xét Do đó   1 Lời giải 3. Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

3 x  1 3 x      1 x 2  1 1    3 x 1 3 1 x 1 3 1 3 x x 3  3 x   1   x 2        

  

2





0

3 x 1 3 x 3 x x 1 3 x   x 1       x  2 x   x  2 x   1 x x 3 x   1 x

23 x

x  nên (*) trở thành

2

3

3

x

3

x

  1

x

   2

x

3

x

    

2

x

x

x

3

x

  x

2





3

2

     

4 0

3

x

x

x



3

x



4

  

0

x

1



Dễ thấy       và 1 0, x x

 S 

 1 3 x 0;1  .

Đối chiếu với điều kiện đi đến tập nghiệm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 93 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

x



3



x





x





  .

2 x

 x



3

BBààii ttooáánn 114411.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . 0 2

x



u

; 3

x

  6



0;

v



0

Lời giải 1. Điều kiện

 v u ,



Đặt thì phương trình đã cho trở thành

2

2

2

2 v u u v



















v v  3 u  u    3 v  3  u v    u v 0 vu  3  u  uv 3    0 

0

0

o v u 6 0,        , trường hợp này vô nghiệm. 0

uv

  3





  x

1

2

2

x



x

  x

3



0





3

3

6

x

x



2

x

 

3 0

x

 1



 x  3 



 x     

1x  .

0

o .

23 x x  x 0      Đối chiếu điều kiện đi đến nghiệm Lời giải 2. Điều kiện

2

2

2

2

2

x  . Phương trình đã cho tương đương với 2 x



3

3

3

x



3

3

x

3

x

6

x

3

x

  x

6

3

x

6















  1



  1

2

x



3

x



3

  x  3 x

 x

  6 x

3

x

  6

x

x

.





23 x

Nhận xét       . 6 0, x x

2

2





 1



1x  .

x  . 0

0 0  x 3 x  6     x 3 x    x 1 . Do đó   1 x  x   x 3  0 x  2 x   3 0  x  3   x    

2

4

2

2

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm Lời giải 3. Điều kiện Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với







2

4

3

5

 3 3 x 3 x  6 x  9 x 2  x   

 x  3 2  11 x

4

3

5

2

2 x   x 6 x  12 x   x  18 3 x x  18  x 6 x 3   9 27 x

2

3

3

3

x  12 x  15 x 

2

3

2

 x x  2 3    6 3 x 2 0 2 x 3    x 3   

   x 3



 3 x   x 6 x x 11  x x x 2   3 x x 0    0 x 1 3   x   18 0    x     1  

5



2

x

1

x



  1x  . Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất



  .

22   x x  2 x

3   x

BBààii ttooáánn 114422.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x  . 0

2

2

Lời giải 1. Điều kiện





2

Phương trình đã cho tương đương với x  2  x 2 x   . 3 x x 5 2   x

  ta thu được

x



u

; 2

x

  

3

x



0;

v



0

 v u ,



Đặt

2

2

2

2 v u

 u v uv





 u v







2

2

v  2  v    uv u 2  u 2  v 2    0  2  u  uv 2    0 

 u    x v 2 x     3 2 x x 2 x     . 3 0, 0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 94 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

0

0

uv

  2





  x

1

2

2

2

x



x

  x

4



0

x

2

x

  x

3



2

2

x



x



3

x

 

4 0

 1 2



 x  3 



 x     

 x 0     

1x  .

 .

x  . Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2

0 2

2

2

Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Lời giải 2. Điều kiện

2

2

2

2

2 x 5 2 x 3 2 x 5 2 x 3     1  1   x  2 x   x  2 x   x x   x x

2



2 x  3 2 x x 3 2 x x  3 2 x  2 x  3      x 2  x 2  x 2  x 2    x x    3 x x x 2

2

2





2

 1 2



  x    

1x  .

0

0 0    x 1 x x 2 2    x   x   x 3 x  x   x 4  0  x  3 x   4 0

x  . Khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

2

 x  3 2 x  Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất Lời giải 3. Điều kiện

2





2

2

2

2

2 x 5 2 x 3  2 x       x 2 1 5 x x  2   x  2 x 3 x   x x

2

2

2

2 x 5 2 x 3 2 x 3 2 x 3   1  1     x x 2 x   x x   x x 2   x 2 x   x x            

2

2

2

2 x 3 2 x 3 2 x 3   1   1   x x   x x   x x 2 x                

  1

2

  2



2

2    3 x x 2 x 3 2 x 3   1    0   x x   x x 2 x x 2 x   x 3  2             x     

  2 x

2

x

    , trường hợp này vô nghiệm.

3 0,

0

  1



  2

2

2



 1 2 1x  .

0 0      x 1 . x  x   x 4  0 2 x  x  3 x   4 0  x  3   x    

3



2



x



x



x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

 x x





 1



   .

BBààii ttooáánn 114433.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

2

2

3

0x  . Bất phương trình đã cho tương đương với   2

Lời giải. Điều kiện

2

2

3

2

  x x x    3 2 2 x x x x



 2 1

5

5

3

2

2

2  2 x x   2 x  2 x   1 x x   2 x x     2 1 0 x x    0 x 3   1 



 1

 1

  1 2

  1 2

        0  

    

x



 x x     2 1 x 2 x     1 0 x x x x 1; ;

 5 1 2

. So sánh với điều kiện đi đến nghiệm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 95 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2







   .

 2 2



x  13 x  x  5 4 x  21 x BBààii ttooáánn 114444.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0x  . 2

Lời giải 1. Điều kiện

x



a ; 4

x



21





0;

b



0

 b a



2

2

Đặt thì phương trình đã cho trở thành

 a b ab













2

x 2 x

25

4

x



4

x



25

0

1

b  5 a  a    b 5  5  a b  ab 5    0 

   . x



 

24  (Vô nghiệm).     a b 21 0 x           x x ab 1 4 21 5  1 S  Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm

.

0x  . x  không thỏa mãn hệ phương trình ban đầu. Phương trình đã cho tương đương với 0

2

2

2

2

Lời giải 2. Điều kiện Nhận xét

 2 2



 2 2



2

3

2

x  13 x  13 4 x 21 4 x 21     1  1 x  5 x 5  x  x  2 4 x 21 4 x   x 21      x 5 4 x  x 21  x x    x 5 4 x  21  x x





3

2



 1 4



  4 x x 21     x x  4 x  25    0 x 1

S 

. 5 0  1

2

3



x

2

x





2

x



5

x

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm





   .





7 x

x  . 0

2

2

BBààii ttooáánn 114455.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 







x  3 2 x   7 2 x  5 x . Lời giải 1. Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với 

2

2

22 x

  7

u

;

x





0;

v



0

 u v uv





 v u









3

2

v Đặt v  3 u  u    3 v  3 ta có   u  uv 3    0 

u uv

9 0

22 x x 2

x

x



2

x



9

   . x

0

1



 So sánh điều kiện ta thu được nghiệm

o o

     (Vô nghiệm). 7 0 x v         x 1 2 7 3  1 S 

0

.

2

2

2

2

2

2

Lời giải 2. Điều kiện

x  . Phương trình đã cho tương đương với   x 5





2





3

3

2

 2 2 x  5 2 7 7 2 x x 2 x   x 7 2 x 7    1   1   x  3 x  3 x    x 3  x  x 2 x   7 x x



 1 2



1x  .

0

 2 x  7 x      3 2 x x x 7 x    9 x  2 x  9    0 x 1 x

x  . Phương trình đã cho tương đương với

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm Lời giải 3. Điều kiện

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 96 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

1  2 x   2 x     2 x 1  2 x 1  1  3 x 7 x 7 x 3 x 7   x 6   x 6   x 3 x 10 x             1 9   2 x 4     1 9   2 x 4    

2     

1  2 x 1 2 x  0 x 2   3 x 2 1 2 7   x 7   x 3 x 7   x       1 3   x 2                    

2

3

1x  .

  1 2 x 2 x    7 0 x 7 x 1x  2 x  7 x   9 0       2 x 3 x 7 x

x

2

2

3

x





x



1

x

         Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm



   .

 3

1 x

x  . 0

2

2

BBààii ttooáánn 114466.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh







3 x  3 x  x  2 3 x  . 1 Lời giải 1. Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với 

2

2

2

x



u

; 3

x



1

u



0;

v



0

 u v uv















v Đặt v  2 u  u    2 v  2 quy về   u  uv 2    0 

u

v

     (Vô nghiệm). 1 0



x 0

2



23 x  x  3 3 

 1 3 1x  .

0

0  uv   2    x 1 . x  x  3 x  4  0 x    4 0 x  x    

x  . Phương trình đã cho tương đương với 2

2

2

2

2

2

Kết luận phương trình đã cho có nghiệm Lời giải 2. Điều kiện

2





3

3

2

3 x  1 3 x  1 3 x 1 3 x   x 1     1   1  3 x x  3  2 3 x x  3  2   x  2 x x x 3 x   1 x x



 1 3



1x  .

0

   x 2 3 x         x 4 0 3 x x x x  3 x  4    0 x 1 x

x  . Phương trình đã cho tương đương với

3

3

3

3

2

2

x



2

3

x

  x

3

    3

x

x

x

x



2

3

x

  x

x



4

x



4





4

x



4



2

x

x

x





















1 4

1 4

3

2

2

3

x

  x

2

x

2

x

2

3



3

x

  x





3

 2

 2

  

  

  

  

   x

x

x

  1   2

3

2

     

4 0

3

x

x

x

x



3

x

1

     4

0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Lời giải 3. Điều kiện

   . x



  1

 1 3

3  x  . 0



S 

2

2

.  Phương trình [2] vô nghiệm do điều kiện  1







   .



5 x  4 x  3 x  x  3 5 x  4 x x

Vậy ta có tập nghiệm BBààii ttooáánn 114477.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  Lời giải 1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 97 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Điều kiện Nhận xét

0x  . x  là một nghiệm. Với 0

0

x  phương trình đã cho tương đương với 2

2

2

2

2

2

2

2

5 x 4 x 5 x  3 5 x 4 x 5 x  3     1  1  x x 4  3  x x 4  3  x

2

2





 x x 5 x  3 x 5 5 x  3 x 5 x     x x  3  3 x x  3  3 5 x  4 x  x 5 x  4 x  x x x





3

2

3

2

2



 1 5



x  hoặc 0

1x  .

 5 x  4 x    5 3 x 4 x     9 0 x  9 x  9    0 x 1 x

0x  . 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Lời giải 2. Điều kiện

a ; 5

x

x





4

x





0;

b



0

 b a



2

2

Đặt thì phương trình đã cho trở thành

 a b ab













0

2

b  3 a  a    b 3  3  a b  ab 3    0 

a b

  

5

x

4

x

  x

x

5

x



3

  0





 x     x 

3

2

3

2

2



 1 5



3 5  1x  .

x  hoặc 0

 ab   3 5 x  4 x    5 3 x 4 x     9 0 x  9 x  9    . x 1 0 x

0x  .

0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Lời giải 3. Điều kiện

5

x



4

x

  3



3

5

x

4



 x  2 

3

2

3

3

2

3

2

Phương trình đã cho tương đương với

2   x

     5







 x  4 5

 

2

2

3

2

3

2

2

2

3

2

x 4 x  3 x  x  3 5 x 4 x  4 x  12 x  4  3 5 x  4 x x









 4 5



 x  4 x  4 x  3 5 x  4 x  x  6 x   9 x  6 x     3 2 5 9 x  4 x  x  3 x



    

2

3

2

3

2





  0;1

2

2

3

2



 1 5  x





x  9 x  9  0 x  x 5  4 x 9 0 x x 4 5   3      x x 5 x  3  0    x 5 3  0  5 4 x x  x    

S 

2

2

    Kết luận tập hợp nghiệm .     0;1 







   .



7 x  5 x  7 x  2 x  3 x

0x  . 2

BBààii ttooáánn 114488.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  Lời giải 1. Điều kiện

; 7

x

x



u

  2



0;

v



0

 v u



2

2

Đặt thì phương trình đã cho trở thành

 a b ab









  a b a



3

2

b  3    3  3 a b   ab 3    0 

9 0

a b ab 3



9

0

1

x

x

   . x





 

7   1

.

27      (Vô nghiệm). 2 0 x x         x x x 1 7 2 7 S  Đối chiếu điều kiện và kết luận tập nghiệm Lời giải 2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 98 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Điều kiện Nhận xét

0x  . x  không thỏa mãn phương trình đã cho. Do đó biến đổi 0 2

2

2

2

2

2

7

7

x

2

7

7

x

2

7

x

2

7

x

  x

2





  1

  1



  

2

x x

 5  3

x x

 5  3

  x  3 x

 x

 x

7

x

  2

x

x





27 x

x

x

2 0

      nên 3

2

3

Dễ thấy

      x



 1 7



3 7 x  2 x    x 2 x     9 0 x  7 x  9    . x 0 1 x

S 

Đối chiếu điều kiện và kết luận tập nghiệm . 7 x  1

0x  . x  không thỏa mãn phương trình đã cho. Ta biến đổi 0

2

Lời giải 3. Điều kiện Nhận xét





2

x  3 7 x   7 x     x 7 5 1  7 x    0 x    7 x   0 5 x 3 x 2 x 5 x 2 x 2 x        4 7       4 1      3 x 2

2

2

 x    7 x     1 1 1 2 7 x   1  3 x 2 x 6 x 9 2 x 9       2 x 3 x 6 x 2 x 3 x 2 x  4 7       4 1                   

2

3

2



1x  .

2

2

27  7 7 x   1   x  0 7 x    2 0 x 2 x x 4     x 1 7 x  2 x   9 0    x  7 x  9  0 x 7   1   2   1 7         x  3 x      







   .



14  x x   3 2 x x  8 x

0x  .

2

x



u

;

x

0;

v



0

2 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất BBààii ttooáánn 114499.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  Lời giải. Điều kiện

2

2

2

u 2

  

uv

3

v

2 u v 2



v 3

  u 6



u 2



3

v



u 2



v

u

6



 uv v







  8 

 , v u 

 

 

2

2

x

2

x



8

4

x

  x

 32 0

v 2

2



3

  0



   u

 v uv



3

2

3

x



8

x

 

9 0



8



3

 u  uv  

  1   2

    

  x x



    

Đặt thì phương trình đã cho trở thành

1

2

Xét hai trường hợp

x

  x

9

  2

   x

 x 2

 1



x

  

9 0

x

  3

   0 



0  .

1x  .

 Các phương trình (1) và (3) đều vô nghiệm vì



x



x



Kết luận phương trình đã cho có duy nhất nghiệm



  .

24 x x 6

 1  1

1  x  x 2 1

BBààii ttooáánn 115500.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh



0

Lời giải.

22  1 x x  1 2  1 x 6

    

Điều kiện

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 99 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dễ thấy phương trình ban đầu có nghiệm khi 6

2

2

x   . Khi đó ta có biến đổi 2

1 0 2

2







x 4 x 6

 1  1

x 2 x 2

 1  1

x 4 x 6

 1  1

x 2 x 2

 1  1

  

  

2

2

.

2

2 u v 4

 3; 6 x   v 1 3  . Ta thu được phương trình 2 Đặt 2 x   1 u x ; 2 v 1 x u 1 2      4 2

2 v u

2

2

 12 uv  v 9  9  12 uv  u 4 u 2 v 3   3 2 u   v u 4 v 9   u 12 v 12   9 4 u   v      

 9 2

 1



 v uv 9

 1





2

   1

 4 2  2

   1  1 2

2

2

x x   uv u 4  v 9  u 4    u 4 v 9    0 x  x 1    

2

3

2

41

9





 18 x x  18 x   5 0 9   41     x 41 9 ; ; 0;1;  8 8 1 2 x 2 x x 0 4 x  2 x  2 x  0 x    5 0     1          8    8   

x   và 1 0

41 9 ;

;0;



S



22 x x 2

8

8

1 2

    

  ;1   

2

2

.  0 suy ra tập nghiệm Kết hợp điều kiện 6  1  1



  .

8 x 5  3 x  BBààii ttooáánn 115511.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  x x 4 x 3  3  2 Lời giải.

24  3 x  2 x 3 5

Điều kiện  0; x  0 .

28  x x

2

2

2

2

2

2

x

8

5

5

8



9.





Với  thì phương trình đã cho có nghiệm. Lúc này phương trình ban đầu biến đổi về 0

  

 x

x 4 x 3

 3  2

 x

x 3

x 4 x 3

 3  2

2

2

.

           5 2

     . Khi đó

   2

2

2

2

4

a



4

a



b



b



b 4



4

a

   



 1





a   b

 1 a 2    2 b

  

ab



1



4

2 a b



4

ab



4

a b

 

ab

4

 a b



4

a b

ab

 a b





   

 1 4



4

 a b

    0 

2

3

2

Đặt 4 x   3 a x ;3 b 8 2 x x b a  1;3

  1

ab



4

x

x



2

  1

12

x



8

x



9

x

   

5 0

x

x



x



5

0





 1 2

 1 6





5 1 ; 6 2

     x 

 ;1  

3



649

3



649

2

2

 . Xét hai trường hợp xảy ra  3 3

4

a b

 

x



3



3

x

  2

16

x



3

x



10 0

  

x

;

x



 4 4



32

32

3



329

3



329

x



1;

x



;

x



 .

32

32

2

2

Đối chiếu với các điều kiện ta thu được nghiệm .



  .

 x  BBààii ttooáánn 115522.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x 6 x 5  2  1 x 2 x 5  1  4 Lời giải.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 100 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22  1 x  4 x 5

2

2

2



Điều kiện  0; x  . 1 5

x 6 x 5

 1  4

x 2 x 5

26 x x 5

2

2

Với  0 , phương trình đã cho trở thành .  2  1

  2    1      ta thu được 3 1

2

2

9

2 a b



6

ab b

 

ab



6

ab



9

a

a   b

a   1 6   9 6 b

a   b

9 a 2 b 2

a  1 3    3 b  2 a b





ab

  b

9

ab

 a b



0

   

 1

 1 9



3

2

2

Đặt 2 x   1 a x ;5      6 a 2 3 4 b  1;5 x b x 2

x





4

  1

10

x



8

x

 a ab 

5

    b ab 1   3 0

x

ab

  1

2

x

9 a 

    9  1 5



31

1

  1

31

2

x

x



2

x



3

  

0

x

1;

x

 

;

x



o

  



 1 10

 10

10 

5

385

5



385

2

2

.

9

a b

 

  4

18



5

5

x

x

x

x

   

5 0

x

;

x



 9 2

36

36

   1 Kết hợp điều kiện ta thu được các nghiệm của bài toán.

2

2

o .



  .

 x  BBààii ttooáánn 115533.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  1 x 2  8 3 x x 1 5 2 5  4  x Lời giải.

25  4 x  x 2

2

2

Điều kiện  0 .

2

2

10 Phương trình đã cho tương đương với  .



0

2

2

2 a b 3

 

3 2







2

a

3

2

Đặt 5 x   4 a ; 2    x b 10 x   5 2  5 x  8 3 x  3;8 3  a x 2

 a b 3





  

 a     b  b 

 4 x 5  x 2 b 3  . Ta thu được   a 3 2  b 2 3 

2

2

2

Chú ý rằng

2 a b

   





 a b 9

   4

b 4 a  12 a  9   b 12 4  9 ab  4 a  b 9



 b ab 9





  9

2801

  9

2801

2

2

4 a  b 9  ab 4 a  b 9  4 a    b 9 4 a ab  1       0 1 

x

;

4

a

  b 9

x



4



20

x



9

x



34 0

 9 2

   x

 4 5



40

40

       

    

2

3

2

 .

ab

  1

5

x





x

   5

1

x

10

x



4

x

  9 0





 4 2

5



205

5



205

2

x

x

  

1;







5

9

0

x

x

x

;

x





  

 1 5

10

10

.

 Đối chiếu các điều kiện ta thu được nghiệm của bài toán.

2

2



  .

x 6 x 2  2 x  BBààii ttooáánn 115544.. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x    2 x   x  x 1 Lời giải.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 101 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

x

   x

1

   x   x 1     2 x 

2

2

Điều kiện .







2

  

0;

u

2

v

x

x

  x x 6 x   1 2 x  2 x   . 2 x

2

2

ta thu được

 v u , 

2 u v

2 v u

 uv u







  1 

  1

 



2

2

2

2

Bất phương trình đã cho tương đương với   x 0 ; Đặt     u 4 2 u v v 2  u 2   v 4  v 2  2 u  v 2

2 2 u v

   uv











2

2 2 u v uv 2

  0  4 u  v 4  0 2 u  v 2   0 .  4  2 u u  

   1

 1

2

2

2

 3    x

  x x  x 4 x   x    x  



 2  x



x 2  5 x  2    0 x x   x 2 x  5 x  2  0    0      

2

  

 1



5



33

5



33

v 4 v 2  2 4  1 33 5  5  33 x x  5 x  2    0 x    x 1 2



;

S



2

2

 ;1  

  

    

2

2

. Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 2   



  .

2

2

5  x  BBààii ttooáánn 115555.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x 2 x 5  1  2 x 2 4 x   13 1 Lời giải.

x  . Phương trình đã cho tương đương với

2 5

2

2

2

2

Điều kiện  . x 2 x 5  1  2 x 2 20 13   x 5

2

x

  1

u

; 5

x

  2



0;

v

  

2

0

x

13



u



12;5

x

  1

v

 . Ta thu được

3



2

2

2



uv 4



u 3



2 u v

  v 12

uv 4



2 u v



u 3



v 12



0



 v u , u v 4

u v

12  2  3

uv



3





uv

4

 v u



3

u



v 4

uv

0

3

u



v 4

0









   





u

   

2

3

2

2

Đặt

uv

  3

2

x



x



2

  1

10

x



4

x



5

x

   

3 0

x

x



6

x



3

   . x

1

0





4 v 



 1 5

 1 10

10

82

10

82

2

2



u

    2

1 20

v 4

x

x

  

2

8

x

20

x

   

9 0

x

;

x



 2

 2

10

82

10

82

x



1;

x



;

x



 .

 2

 2

2

2



x





2

x



Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm .



  .

 3 1 5

x



2

x 3 x 5

 1  3

BBààii ttooáánn 115566.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải.

23  1 x  3 x 5

2

2



0

Điều kiện  0 .

u v

 

4 1

Đặt 3 x   1 u x ;5       x 3 u 3 3 v 4;5 x    . Với 1 2 v , phương trình đã cho trở thành

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 102 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2 u v



   u

 u v 4

 1

 2 u 8  16 v   v 2    uv 4  u 4  v 16 u v   4 1 u v



 uv u











2

3

2

2

4   v 4  4 u    uv v 4 4 u  v 4 v 4

uv

  4

3

x



x



3

  4

15

x



9

x



5

x

   

1 0



6

x



   . x

1

0

x

x





 1 5



10

10

 1 67

2

2

;

x



u

    3

v 4

x

x

  

3

3

x

20

x



11 0

  

x

 1 4 5



 3

 3

10

67

10

67

;

x



x



1;

x



uv       0 u   1 15 67  .

 3

 3

3

3

. Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình đã cho có các nghiệm



  .

4

x



0

x 4  2  3 x  BBààii ttooáánn 115577.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x 2   14 x  1 3   x x Lời giải.

3 3    x  1  x     2 x 

3

3

3

3

Điều kiện

  

3

3



0

x  4 x 8 x 4 Phương trình đã cho tương đương với   3 2   2 . x 2   14 x  1 3  x x  2  x 3  x  1 3   x x

4 1

u v

2

2

2

Đặt x  3 x   4 u ;1     v x x 3 x    8 u 4; 2    . Với 1 x v thì (*) trở thành

2 u v



   u

 u v 4

   1

 2 u 8  16 v   v 2    uv 4  u 4  v 16 u v u v   4 1



 uv u











3

4

3

2

4   v 4  4 u    uv v 4 4 u  v 4 v 4 uv       0 u

4

uv

3

x



x

4



  

x

x



3

x

0

x

  .



2



x



2

x

x

0;

x



1;

x

   1

2;

x

   1

2

   x x

3

3

.

    x  1    x

 4 1      0 1  4 4 1



 v 4 u x 3 x      x 7 x 0; x   7; x  7 . x 0



x





x



Kết hợp các điều kiện ta thu được tập nghiệm S  2; 1   2;  7; 7   .     0;1; 1



  .

2

1 2

x 

 15  2 x

2

x

3

x





11

21 2  1



x  

15

BBààii ttooáánn 115588.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh



Lời giải. Điều kiện .

2

2

2

Phương trình đã cho tương đương với .

2 6

15 x

15 x  21 x  1 14  3  2  x 2 6  x x x 2  .    x 6;3   v 8 14 3 u 21   . Khi đó ta có biến đổi 8 0

2





9

2 v u



48

uv



u 64



2 u v 4



48

uv



v 144

2

1 2 

u v 2 v u 9

6  u  v 3 8 2  u v 4

u   4 v v 144





u 4



  

u 4

uv



u 4



0

12   u u 36   v 48 v 9 64    u v 9 uv 64



 v 16 9





 v 16 9



 2 15       x Đặt v x u x ; 2 x Chú ý rằng      v 6 0;3 u x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 103 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

3

2

uv

x

16

15

x

x

2

2



  

16

x

13

x



28

x



 14 0



2





x

  x

14

14

    x

0

x

1;

x

  

7 3 7;

x

  

7 3 7

  

    1

 

11



499

11



499

2

2

.

v 9

  u 4

9



2

x



2

x



4

x

  

15

9

x

22

x



42 0

  

x

;

x











9

9

11



499

11



499

x



1;

x

  

7 3 7;

x

  

7 3 7;

x



;

x



 .

9

9

2

2

Đối chiếu điều kiện ta thu được các nghiệm .



  .

2

2

2

x



2



9

3



3  x  BBààii ttooáánn 115599.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x 4 x   2 1 x 2 8 x   13 1 Lời giải.

x  . Phương trình đã cho tương đương

1 4

x 4

x

 

2 1

x

1

  2 4

    1

Điều kiện .

x

2 2

 

u x ; 4

  1



0;

v



0

 v u ,



2

2



3

  9.



36

uv



36

uv



u 9



2 u v 4



36

uv



v 81

 2

u v 36

u v v 81

81 1 9

 v u



v u

uv 4



 v u



0

36  u u 4 4   4 v v    uv 4 u 9

  



 9 9



2

3

2

Đặt ta thu được

x

x



4

  

9

16

x



4

x



32

x

 

uv 4

  9

 9 9  17 0

  1

 9 u 2 v  1 2 2 2  4 u v uv  2 4

 

o

2

   2

2

 1 8



2

2

2

x  x x  2 x  17   x .   0 1 2  7 x   16 x  1  1 2 

 9 4

   1

o 9 v u   x x 36 x  11 0    x 18  313; x  18  313 .       2 x

S



;18



313;18



313

1 2

  

  

2

2

Kết hợp điều kiện đi đến đáp số .



  .

2

4 2 6 x 22  x  BBààii ttooáánn 116600.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   x x  9 4 x  x 3  33 8  x

x

2





0;

 . 0  ;9 4 a

b

  

0

6

x

3

x



 22 3 a



10;33 8



x



b 2



15



2

2



4



ab



60

ab



a 225



9

2 a b



60

ab



b 100

2

 10 a 3 b  15 2 2 2  9 a b ab



4



9

a



a



b 4

ab

0

a



b 4



0

   

 25 9



2

3

2

.

  25

  x

ab



2

x

 ab b 4   

25

8

x

x

 

 25 9 

x

25

22

x

  11 0

  a 60 100 225   60 b 100   0 b 



1

2

x

x



14

x



  0

  x

1

 Lời giải. Điều kiện 9 4 x  2    x b a x , 4 Đặt Phương trình đã cho trở thành a a a 9   4 b b b 225   a  4 9 4

  

 1 8

 11



14

x



 11 0

 x  2 8 x 

2

2

.

9

a

  4 b

x

  x

4



18

x



7

x

  

0

x

0;

x

 

 4 9 4

   x

 9 2



7 18

 .

S

7 18

   

 ;0;1  

Kết hợp các điều kiện đi đến đáp số .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 104 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

x



2



11



x

  5



x





  .

12  x 1

 

3

5

x

BBààii ttooáánn 116611.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

1x  . Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

2

x

7

4

x



5

x

7

2

x

19

x

7









Lời giải. Điều kiện

 x

 x 4  1

 x

 x 8  1

x

 2

5

 x

 x 4  1

 

    1

x

2 4 

x

  7

u

;

x

  1



0;

v



0

.



2

2

2

2

2





uv 5



u 2



2

vu

  v 5

uv 5



v 5



2

vu



u 2

 v u , u 2 2 v 5

u v

 

5 2

v 5



u 2



v 5

 v uv 5

   1

 u uv 2

   

 1

 u uv 2

uv



1

      1 0 

2

2

Đặt ta thu được

25

x



4

7

x

4



25

x



96

x



179 0

 (Vô nghiệm).



   1

2

3

2

3

 Xét các trường hợp v 5

1

x

4

x



7

x

x

uv

3

x



3

x

  

8

x

  

9

x

9 1

 .

      1 1



3 1

   u 2    

x  



3 9 1

x





x



x   . Kết luận phương trình ban đầu có duy nhất nghiệm



  .

2 2

 

2

x

 1 

5

x

5

2 x 2 

5   5 x

8

2

x

BBààii ttooáánn 116622.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x   .

1

Lời giải. Điều kiện

 

 1 

 

   1 



2

x  x Phương trình đã cho tương đương với  . 2 2 2 2 5 x 5 x 5 5 2 x  3 3 

x

  1

u x ; 2



5

x

  5



0;

v



0

2

2

2

2

Đặt ta thu được 2 x 

 u v 2





   9

 v u , u  3 2  3 v

   v 6  9  v u 4  u 12 uv 2  4 vu  v 9  u 18 2 u v

 uv v 2





   







2

2

u 2   u 2  9 v u 2 v u 2 uv 2  9  v 2 uv  9    0  Xét các trường hợp

v

  

u 2

2

x

5

x

 

5 2

x

  

2

x

7

x

3 0

x



 1

1 2

      

 ;3  

2

3

2

 .

uv 2

  9

x



5

x



5

x



  

9

4

x

6

x

  1 0

 1

 2 2



3

2



x

x



2

x

x

3 1 ;

   2

 1 2

 1

1 1 ; 2

 2

 2

       0  

    

1

3

.

S

;3;

3 1 ;

1 2

 2

 2

     

    

x



2

2

x

 

1 1

 2 3



x



Kết luận phương trình ban đầu có tập nghiệm .



  .

3

x 3 x 2

 

2 1

2



2

x



 1

 

BBààii ttooáánn 116633.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 105 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 x  . 3 u

Điều kiện

 v u ,



Đặt 3 x   2 ; 2 x   1  0; v  0 , phương trình đã cho trở thành

3

2

3

2 2 u v 2

2 u v  2 3  v 2

1    2 u uv     u 2 v uv 2   v uv u v

2

2

2

   u v 2

 u 2 1



 1



 1



2

u 2  v   uv  v  uv  uv uv  1     0  Xét các trường hợp sau

u 2

  v

x



2



2

x

     x

10

1

7

x

 4 3



2

2

3

2

 .

uv

  1

2 4 u v

1

3

x

x



4

x



12

x



20

x



x 11

  3 0

7 10   1

   

 2 4

 1

1

2

x

x



8

x



3

  0

  x

1



  

 1 12



2



8

x

 

3 0

 x  12 x 

x



;

x

.

 . 1

7 10

2

Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt







  .

 1 

x  x  2 x 3  x  BBààii ttooáánn 116644.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 1 3  x  x 3  2 x 11

x  . 2

2

2

x

3

2

Lời giải. Điều kiện



 x

3  x  11

x 3

Phương trình đã cho tương đương với .

x

2 3 

x

  3

u

;

x

  2



0;

v



0

3   x x  2 

2

2

2



  uv

u 9



2 u v 3

  

uv

v 3

2 u v 3



v 3



u 9



0

 v u , u 2 v

 

1 9

u v 3

 

3





u 3



3

v



u 3

uv

0

3

v



u 3

 uv v







   





u 3

uv      0 v

Đặt ta thu được

u

3

uv   (Vô nghiệm vì

 ). 0 2

2

Xét các trường hợp xảy ra 

x

v

   

2 9

u 3

x



3

x

  

9

3

x

28

x



29 0

 (Vô nghiệm).

v 0; 





3

1



2

x



2

1



x



Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm.



  .

 x x

1



2

x

 x

 1 1



BBààii ttooáánn 116655.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải.

1 x  . 2

1



2

x



2

1

Điều kiện



1



2

x

 x

3 1 1



Phương trình đã cho tương đương với .

 x x ta thu được

 v u ,



Đặt 2 x   1 u ; x   0; v  0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 106 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

2 2 u u v

3 u v

2 u v u v v u





         v  0 u v u  1  1 2 uv

2 u v

  

 1



v u v   u 2 u v  1    0 

2

      . 1

1

x

1

2

2

2 u v

  1

4 2 u v

  1

4

x



4

x



x

1

x

x

  

0

  x

1

 Xét các trường hợp x u v

   

x 

 1

 1 4

 1

4

x

  1

 x  2 

1x  .

 .

Kết luận phương trình đã cho có duy nhất nghiệm



  .

 x  BBààii ttooáánn 116666.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x  x 4 3  x x x  x 1 3 4  3   3

Lời giải.

3 x  . 4

Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với  . x  x 4 3  x x x  x 1 3 4  3   3

 v u ,

3

Đặt x  u ; 4 x   3  0, ta thu được v 0 

2 2 u v 3

3 u v

2 2 u v 3

3 u v

  u 3 2  1 3 v u

   u     v 3 u v 3    0 u v

2  v u v 3

2 u v







 1



v 3   u  v u 3    0 u v 3   u 2 u v  1    0  Xét các trường hợp xảy ra

u

  

v 3

x

x

  

3

x

 9 4



27 35

1

2

2

 .

2 u v

  1

x

4

x

   3 1

x

4

x



3

1

x

x

0

x

  x

1





   

 1 4

     1

  

1 0

x

 x  2 4 x 

1x  .

 .



x



Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất



  .

x 2

3 2

2

x



1

x



x x    3 2 x

 1

BBààii ttooáánn 116677.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải.

2

x



u

; 2

x

  1



0;

v



0

Điều kiện x  . 1 2

 v u ,

3

2

2

2

2

Đặt , phương trình đã cho trở thành

3 u v

 v uv u 3



  3 2 3 v

2

   u uv 3     v 3 u   v 3 u v u  u

2

   u

 v uv 3

u  v 3

uv  1       1 0  Xét các trường hợp xảy ra

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 107 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

 9 2

 1

2

2

3

0 0  u    v 3 x 3 2 x   1    x . x  x   9 3 17  x   2 

x



2

x

    .

1

0

x

uv

  1



2

2

1

x

x

x

       x

1 0

x



 1

 1

1x  .

 Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm

2

x







x



  x  17 x   1 2



  .

2 x 2 x 3

1   2

2

x



2

x

 x 2 1    1 3 3

  1 3  2

BBààii ttooáánn 116688.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

x 

Lời giải.

2 3

2

2

x

  1

u

; 3

x

  2



0;

v



0

Điều kiện .



3

2

2

2

2

Đặt , phương trình đã cho trở thành

3 u v

 v uv u 3



 v u , u v

2

   u uv 3     v 3 u   v 3 u  u  3 2 3 v

2

   u

 v uv 3

u  v 3

uv  1       1 0  Xét các trường hợp xảy ra

2

2

2

2

2

 1 9 3



2

3

2

2 x  1 2 x  1  u     2 1 3 3 v 3 x x   2    x . 4 x  4 x   x  2 19 23 23 x  4 x   19 0       

uv

  1

2

x



x



2

   6

1

x

3

x



4

x

  1 0



 1 3



  3

33

  3

33

2



x

x



3

x

x

;

  

 1 6

 1

12

12

       0 1;  

    

x

x 1;



.

19 23

2

2

x

x



2



x



Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm .



  .

x x 3

 

1 1

3

x



3

   x

 1 1 3

4 3 

  1 3  1

BBààii ttooáánn 116699.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

Lời giải.

1 x  . 3

2

Điều kiện

3

x

  1

u

,

x

  1



0;

v



0

 v u ,



2

3

2

Đặt . Phương trình đã cho trở thành

2 v u 3

 2 u uv 2



 v uv 3



2

  2 vu  v 6  u 4    2   2 2 v u 4 u u 3  v 3  3

2





 v uv 3



1

x

x



1

2

2

u 2  v 3  u 2   2 uv  2     0  Xét các trường hợp xảy ra

u 2

  3 v

x

3

x

  1



  x

 2 3

   1

2

2

2

 12 3 31 27

x



24

x

 

4 9

x



9

27

x



24

x

5 0

3   36 

2

3

2

2

 .

uv

  2

x



x



  

2

3

x

x



3

x

   

5 0

x



2

x



5

   . x

1

0

x

 1





 1 3

3     1 3

  



----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 108 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x



1;

x



 12 3 31 27

2

Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm .



  .

2

2 x  1 2 x  1  x  BBààii ttooáánn 117700.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 2 x 2 x 2 2  x



2

  x

2

2

Lời giải. Điều kiện .

2

2 x  4 x  2 Phương trình đã cho tương đương với  . 1 2 4  x 2  3 x 2  x

2

2

2   

uv

u

2 u v

  

uv

v

u v u v

  

0



2

u v

 

1 1

Đặt 2 x   1 u ; 2  x  v v ,  ta thu được 2

uv



1







     0

u v

uv

 u v

0

 uv v u





 1



u

v

   

x



1

2

2

x



1

0 u v

  x

1

u

    2

1

v

x

2

2  

x



2

2

2



4

x

   1 2

x

x



4

x

 

1 0

4

  5 

  

 .

2

   

 1

2

2

 1



x 2      

x



2

x



1





4

3

2

3

4

x



4

x



7

x



8

x

 

1 0

  

x



7

x

0

   1

1   2      x 1 4 

34 x

x 7

1 0

x  1  1 uv 1 2 x 2  x 4 x  4 x  x  2   1 0

 .

  có duy nhất một nghiệm thỏa mãn

1 2

1;



x

 . x 

Chú ý rằng phương trình

 

6 2

x



5

x

x



Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm Lưu ý: Quá trình tìm nghiệm trong bài toán 170 cần sử dụng công thức nghiệm rất phức tạp, nó vượt qua khuôn khổ của bài toán nhỏ này, tác giả xin trình bày tại chuyên mục phương trình đại số bậc cao.



  .

23 x 

3

x

BBààii ttooáánn 117711.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0x  .

2

2

x

3

x

Lời giải. Điều kiện





x

  x

5

  2

2

 2 3



3 x 

3

x

5 

3

x

3



x



x

2

t 3

     2 0

t 5

t



2

  0

Phương trình đã cho tương đương với .



 t 1 3



3

x

 

6 2

x

  1   2

    3 x   

3

x



7



13





  x

Đặt  t t ,  0 thu được x  3 x

2

x x

 3  2 7

x

 

9 0

2

x



6

x

  9

x

  

2





  x

.    1

20 2 19 9



36

x



 36 4

x

    x  2 9 x 

.    2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 109 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



7



13

x



;

x



20 2 19 9

2

2

 

8 3

x



2

x

x



Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm .



  .





x  4 3

x

BBààii ttooáánn 117722.. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh

0

x 

Lời giải.

16 9

2

2

x

Điều kiện .



3

x





x







2

2

 2 4 3



x  4 3

x

x 3  4 3

x

 4 3

x



Phương trình đã cho tương đương với .

2



 1



  1   2



    x 4 3     x 2 4 3 

x Đặt  t ta thu được t  t 3    2 t t  2   0 x  4 3 x  x  t 1   2 t 

0

  x

4

Xét các trường hợp

   4

x

3

x



  x

1

  1

2

x



8

x



 16 9

x

0

  x

8

o .

   8

x

6

x



  x

26 6 17



  2

2

x



16

x



 64 36

x

     

x

x 1;



26 6 17



o .

.

Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 110 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ BBààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.. GGiiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc



2

2

 2

4  x

5

x 

x

4



2

. 1.

 3 2  x x 2 

3

2



. 2.

x x 2

2

x

x x   1  2 1   3



. 3.

2

 3

x 2 x 4 x 2 2 x 5 x



1



2



. 4.

2

2

1 2 2 x 2 

x

6

x

 3 x  3 x x  x

8

x  3

1  x 2 2   x  3 x 2

2 4  2

. 5.



 . 6. 3 2   2

2

2

9

4

x

x

. 7.



x x x   x 2 13 8  x  x 6 x  5   x 2  . 8.

x

2

1

x

2

5



. 9.

2

2

8



. 10.

2





x

. 11.

x x

2

2

. 12.  4 3 x 5 4 x  x  1 2   x 1 x  x  5  x  x 7 6 2  x 7 6 5 x  17 12 x x  9 4 5  x 2   x 1 x    5 x x 6  18 x 35 2 21  2 x  9  4

4

x

  

3

13.  .

. 14. 57 25  x  x 47 15 2 3   x x  2 x

2

2

x 15. 2     x 1 1 . 8  x 1 9 5  x  x 9 5 2 x 2 7  x 2 2 2 x  3 2 x  6 16. 3  .  x 4 x  3

2

x

  

1



1

2 x  x

3

17. . 4  x  x 2 6 x

x

  3

  

2

x

2 

x

3

x

2

1 

2

2

18. .

 19. 2 . x 5 x 5  1  1 x 2 x   5 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 111 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________





x

 1



x

  1



2 

x

3

 x  x

3 5

2

2

20. .



4 4 1 3 21.  . x 2   x  x 1 2 x   x  3 x 2 2 1 3 10 x 3 22. 6 . 

2

2

3

x

1

3



23. .



24. .

x

2

2

x

2

2

25. .   x x x 2 1  1 2  x   x 3  5 x 2 2  x 4 7  x 1 2   x   x x 1  1 4  x x   x 3  5 x 7 2 3  x 7  x 2 1    x 2 1

3



26. 3  . x 7 x 7 x 7 x 7

2

x

3



5

2



27. .  5  3 2 2

5  x   x 1 2  x   x

2

8



28. .

8 10

3



29. .

x 15 2 2 x  x 3 4 2 5  x 2 13  2 x 2   x x

2

2

4

30. .  4  4 x  3  3 x 5 x  2 2 2 x   x  x 41 2 39  x x  2 2   x

x 2 25 x x 5

3



. 31. 3   x 4 x 5

2

2

2

6

 x 9   x

8

x 2

2 2 x 2

32. .  1 1  x   x

2



x 2 x 3  3 33. 3  .

3

3

3

9

x 2



34. .   x 5  1 2 x 1 3  x 2   2 x x 10  3  2 x 11 x  9 2   2 x x 2 1 3 x  5 x 35. 10  .  x 12 x  1

x x

x 4 2 x 5

36. .



2

2

1

x

x

37. .



x

8 25 3 2 3 4 3



x

4



 3 2  7 5  x   3 x 4  1 x 5  x 1 3



 1

2

2

38. . 4   x 5  1 x  41 2 24  1 2  x   x 3 1 4  x 2   4 x

5 x 1 25  4  39. 3 .   x 3 x x 3  x 5  x 5

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 112 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

x

x 3 7 x  17 40. 2  .  x 4  x  1 28  x  x 8 2 3  31 x 21 5 x 41. 6 .  4  x  1

7

2

x

  

5



5

28 x  2  10 42. .

2

1

3

x



. 43.

2

6

x



0





. 44.  3 x 2 x 2 3  x   7 x 4  x 2   x

2

2 2 x

x



. 45.

10

3

3

x

2



. 46.

20

7

23

x

4



. 47.

15

1

7

x

3



3

. 48.

2

2

3



8

22

x



3

. 49.

2

3

x

6

16

x



. 50.

2

13

5

7

x



. 51.

2

21

x

3

 x 6   x 5 5  x 1 2   x 5 3 7  x 2   7 x 7 3  x 2 2 x    x 4 10 x  x 5 2    x 8 3 x x    x 3 4 1 2  x x 4 4 3

2

. 52.  x  x 35  7 x x 29 6  2 x   x 7  33 2 x   5 1 6 x x  x 37 7 x   15 x  17 2  x  25 x 11 21  x 2   35 x x 41 9  x 2  10  x x x  35 2 30 x  x  37 4   x 2   x 24 9 2  x 2  3  x x 21  x 4 3   x 4

2

2



2

6 x  1 53.  . 18 1  6 x  4  x 2  x 2 5 1  5 x 23 x 2 54.  . x x 3 x x  6  6 2  25  27 2 13  . 55. 2 x 15  x

2

x

1

2

23 x



1

56. .



2

2 5



3

57. .  13 x 7  2  12  5 x 10



2

2

. 58.

x x x 2  31  x  17 2 x 2

 2 x 5 5  x 2  1 x 7 6  x  x  1 5 2  x x 5 7  x 2  x 7 2 59.  .  5 x  5 x  37 5 x  35 3 x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 113 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2

2

2

6 x 60.  .   x x  6 2 x 42 5   5 x  38 6 x



2

2

3 x  29  5 x  27 . 61.  x x  3  3

2

 

7 12

x

3

x

  x

3

x 22 5 x 2 62. .   x 5  23   x  3 x 1 2  9 x 2 x 3 5 x 3 63.  . 6   x  3 7 x  x 11



3 2 x

3



0



. 64. 



1

3

4



0



. 65.

5

4 x 16 2 x

1





0

. 66. 30   21 x 2  x x   1  x 2 2  2 x x x 5 4  2   x 3



67. .

2

 9 x 2 2 2 x    21 x  x 3  3 6  x 1 2  x 3 6 7 2  x 2  x 7 2

x 57 x x

x 3  17 2  x 7 56 6   64 14 2

2

68. .



7 x  43  3 x  47 . 69. 



x



18



 2 7



41 2

 2 3 x  3 2 x 2

2

 4  4 9 x x 2 x 70. .

2



x x 5

 

1 3

3 x  x

3

5

20 x x 5

9    3 3

 



3



2

1



71. .



x  2 3  x 2

 

x

   x

2 1

2

3

x 3 



3

72. .

2

 x

 2





5

x





x

2  1 x 73.  . 2   2 x 2 x 2    x 1  

 3 1



22 x 

x

1

3

74. .

2

  4 3

  4 3



x  1 75.  .  4 3 x 2  4 3 x x x  1  4 3 

 

3 7

x



3

x



1

1



1



9

x





x

76. .

 7 3



24 x x  22 x 

x

3

77. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 114 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

4 2

x



5

x

24 x  4 2

x



 4 3

x



3



78. .

x 2

4 3  x 2  x 5 4

x

 4 3

x



2

 2 4 3   3 5 4

 

 

3 2

x



7

x

79. .

26 x  3 2

x

2

2

80. .



3

2

2

  3 2

2  x  3 2 x  1 . 81.   x 2  3 2 x 2 x 1 

  3 2



3

 3 2   



2

2

x x  1 . 82.  3 2  x  x 3 2  1 2  3 2 x

2



x

 1 2 10 5 x .  83.  2 x 2  x  1



2

2

2

2   7 6

x x

 7 6

x



x

. 84.

3

x

3

x

2





 2

 2  2

3

x



3

x

   2

2 2

8

x



1

4

x

  

1

x 6   3 2 2   2 3 7 6   2 1 . 85. 4 x   1 x   x  x 3 2 x 3

3

 x

x 2

2 x

2

2

. 86.

3

2

2

2   1   1

 2



 1



2

3

x





 2 x 2 x 2 x  1 . 87.  1 x 2  1 x 2 x  2 x    1  1

2 x

2

x





88. .

1 2

 1 x 3  1 x 3 2  x  x 3

1 x

1 1

2

2

2

x

  x

x

  

1 4

x

89. .



2

2

x 2 x

  x 1   x 3 4

2

x



3

x

 1 4



x

  

1 3

x



2

2

x



3

x

  

3

90. .

3 x

2



x

 

2 4



91. .

3 2 x

x  2   x

2

2

   x

2

3

x

 

2 3

x

3  2

x

1 4



92. .

 2

2 2 x

x  1   x

3

3



x

 1   x

3

2

x



1

 3  4 2  x 6  3 x 2  x 3 3  2 x 4 2  3 2  3 4 3

  

93. .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 115 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ IIIIII.. MMỘỘTT SSỐỐ TTÀÀII LLIIỆỆUU TTHHAAMM KKHHẢẢOO

1. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8. Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004. 2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9. Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005. 3. Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1 – tập 2. Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004. 4. Nâng cao và phát triển toán 9, tập 1 – tập 2. Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005. 5. Toán nâng cao Đại số 10. Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999. 6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10. Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006. 7. Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10.

Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010. 8. Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT.

Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến và một số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009. 9. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số 9.

Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002. 10. Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, tập 1 – tập 3.

Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997. 11. Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10. Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011. 12. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình. Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994. 13. Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – quyển 1; Đại số.

Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991. 14. Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực. Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996. 15. Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số. Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997. 16. Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học). Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995. 17. Những dạng toán điển hình trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng; Tập 3. Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002. 18. Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số và lượng giác. Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011. 19. Phương pháp giải toán trọng tâm. Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011. 20. Các bài giảng luyện thi môn Toán; Tập 2. Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993. 21. Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức.

Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 116 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học và THPT Chuyên các tỉnh thành. 23. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà các địa phương trên toàn quốc. 24. Đề thi học sinh giỏi môn toán khối 8 đến khối 12 các cấp. 25. Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua các thời kỳ. 26. Đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán học khối 10, khối 11 các tỉnh miền Trung và Nam bộ (1995 – 2013). 27. Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học và tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ 2 THCS; Tạp chí Kvant... 28. Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro;... 29. Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter;...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 117 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TTHHÂÂNN TTHHỂỂ TTẠẠII NNGGỤỤCC TTRRUUNNGG TTIINNHH TTHHẦẦNN TTẠẠII NNGGỤỤCC NNGGOOẠẠII DDỤỤCC TTHHÀÀNNHH ĐĐẠẠII SSỰỰ NNGGHHIIỆỆPP TTIINNHH TTHHẦẦNN CCÁÁNNHH YYẾẾUU ĐĐẠẠII ----------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH

LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) 118 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN ĐẶNG TIẾN ĐÔNG – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH