GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Đt : 0919.008.716 Email : ngvuminh249@yahoo.com
1
Chuyên Đề
SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
f(x) = g(m) (1)
có nghiệm thực .
xD∈
Các bước giải tổng quát:
i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2: .
minf(x)g(m)maxf(x≤≤ )
Chú ý:
+ Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem
f(x)
XD=
(miền xác định của f(x)).
+ Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay
bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x).
+ Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở
lên thì ta phải dùng BBT.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t).
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2
x2xm2x+−=−1
(1)
1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
222
11
xx
22
x2xm(2x1) m 3x6x1.
⎧⎧
⎪⎪
⎪⎪
≥≥
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
+−= − =− +−
⎪⎪
⎩⎩
1
(1)
Đặt , với
2
y3x6x=− + − 1
x2
≥ ta có:
Bảng biến thiên
x −∞ 1
2 1
+∞
y 2
5
4
−∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Đt : 0919.008.716 Email : ngvuminh249@yahoo.com
2
1) , 2)
m≤25
m<∨ , 3)
m2
4=5m2
4≤<
.
Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình 11
xx x
24
++++=m
(2) có
nghiệm thực.
+∞ HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 2
11
tx 0xt
44
=+≥⇔=−
, (2) trở thành:
22 2
11 1
tttmttm
44 4
− + ++ = ⇔ ++ = .
1
y' 2t 1 0 t 2
=+=⇔=−
Bảng biến thiên :
+∞
Suy ra : 1
m4
≥
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2
2
m
16 x 4 0
16 x
−− −=
−
(3) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 2
t16xt(0; 4]=−⇒∈ ,
(3) trở thành 2
m
t40t4t
t
−−=⇔−=m
0
.
Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t , ta có .
4m−≤ ≤
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình x1 x2
m2
x2 x1
−+
−+
+−
0=
(4)
có nghiệm thực.
x
y’ 0
−
+
+
−∞ 1/2
−
0+∞
y
1
4
GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Đt : 0919.008.716 Email : ngvuminh249@yahoo.com
3
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt x1
tt(0;)\{1}
x2
−
=⇒∈+∞
+,
(4) trở thành 2
m
t20t2tm
t
−+=⇔+=
3
.
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có .
0m<≠
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
42
x1mx12x 1+− −+ −=0
(5) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện: .
x1≥
+ x = 1: (5) vô nghiệm.
+ x > 1: 44
x1 x1
(5) m 2 0
x1 x1
+−
⇔− +
−+
=
.
Đặt 44
x1 2
t1t
x1 x1
+
==+⇒∈+
−−
(1;)∞
,
(5) trở thành 2
m
t20t2t
t
−+=⇔+=m
.
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình 2
x2x3x−−=+m
(6)
1) có nghiệm thực,
2) có 2 nghiệm phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
x2x3xm.⇔−−−=
Ta có (6)
Đặt 2
yx2x3=−−−x
3
Với :
x1x≤− ∨ ≥
2
2
2
x1
y' 1
x2x3
x1 x 2x3
x2x3
−
⇒= −
−−
−− − −
=−−
.
GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Đt : 0919.008.716 Email : ngvuminh249@yahoo.com
4
Bảng biến thiên
x −∞ –1 3
+∞
y’ – +
y
+∞ 1−
1 –3
Dựa vào bảng biến thiên:
1) , 2) không có m.
3m 1m−≤ <−∨ ≥1
Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x1 1x m++ − = (7).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số
/
2
1x 1x
f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x) 21 x
−− +
=++− ∈− ⇒ = −.
Bảng biến thiên
f’(x) + 0 –
2− 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
+ m2m<∨>2
: (7) vô nghiệm.
+ m = 2 : (7) có 1 nghiệm.
+ 2m≤<2
: (7) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình
2
x9x x9x+−=−++m
(8) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
22
22
0x9
x9x0
(8) (9x x ) 2 9x x 9 m.
929xx 9xx m
⎧⎧
⎪≤≤
⎪
+−≥
⎪⎪
⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
−− + −+=
+−=−+
⎪⎪
⎩
⎪
⎩
Đặt 2x(9x) 9
t9xx0t ,x[0;
22
+−
=−⇒≤≤ =∀∈ 9]
m
ta có (8) trở thành:−+ .
2
t2t9+=
X
−∞ 1
−
1
0+∞
2
f
(
x
)
GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Đt : 0919.008.716 Email : ngvuminh249@yahoo.com
5
Lập BBT của hàm số trên [0 ; 9/2] ta có
2
yt2t=− + +99m1
4
−≤ ≤0
.
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x4x4x x4 m+−++−=
(9) có
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 2
tx40xt4.=−≥⇒=+
Ta có (9) trở thành:
22 2
t4t4t4tmt2t6m+++++= ⇔++=.
0
Lập BBT của hàm số ta có .
2
yt 2t6, t=++ ≥ m6≥
Bài 10. Tìm m để phương trình x1 3x (x1)(3x) m−+ − − − − = (10) có
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
tx13x0=−+−≥⇒
Đặt 2
t22x1.3x2t 2.=+ − −≥⇒≥
Mặt khác
2
t22x1.3x2[(x1)(3x)]4 2t2.=+ − −≤+ −+ − =⇒ ≤≤
Ta có (10) trở thành:
2
2
t2 1
tmtt1m.
22
−
−=⇔−++=
Lập BBT của hàm số 2
1
ytt1, t2;
22
⎡
⎤
=− + + ∈
⎢
⎥
⎣
⎦ ta có 1m .
2≤≤
Chú ý: Nên lập BBT của tx13=−+−x
để tìm miền giá trị t.
Bài 11. Tìm m để phương trình 1 x 8 x (1 x)(8 x) m++ −+ + − =
có nghiệm thực. Đáp số: 962
3m 2
+
≤≤ .
Bài 12. Tìm m để phương trình 4
44
x4xm x4xm+++ ++=6
(12) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
44
tx4xm0.=++≥
Ta có: Đặt
4
24
4
(12) t t 6 0 t 2 x 4x m 2
x4x16m
⇔+−=⇔=⇔ + +=
⇔− − + = .