Trang 78
1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )
F x f x
=
, "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )
f x dx F x C=
+
ò , C Î R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· '( ) ( )
f x dx f x C=
+
ò ·
[
]
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
ò ò ò
·
( ) ( ) ( 0)
kf x dx k f x dx k
= ¹
ò ò
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ( ) ( )
f u du F u C=
+
ò và
( )
u u x=
có đạo hàm liên tục thì:
[
]
[
]
( ) . '( ) ( )
f u x u x dx F u x C
= +
ò
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
= -
ò ò
CH
ƯƠ
NG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
· 0
dx C=
ò
·
dx x C= +
ò
·
1
, ( 1)
1
x
x dx C
+
= + ¹ -
+
ò
a
a a
a
· 1 ln
dx x C
x
= +
ò
· x x
e dx e C= +
ò
·
(0 1)
ln
x
x a
a dx C a
a
= + < ¹
ò
· cos sin
xdx x C=
+
ò
· sin cos
xdx x C= -
+
ò
· 2
1 tan
cos
dx x C
x
= +
ò
· 2
1 cot
sin
dx x C
x
= - +
ò
· 1
cos( ) sin( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = + + ¹
ò
· 1
sin( ) cos( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = - + + ¹
ò
· 1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ¹
ò
· 1 1 ln
dx ax b C
ax b a
= + +
+
ò
＠ｈｏ￀ｎｇ＠ｔｈ￁ｉ＠ｖｉ󰹧ｔ＠＠＠＠Ｍ＠＠＠＠Đ󰹁ｉ＠ｈ󰹭ｃ＠ｂ￁ｃｈ＠ｋｈｏａ＠Đ￀＠ｎ󰹕ｎｇ＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＱＳ
ｳđｴ＠Ｚ＠ＰＱＶＹＵＳＱＶＸＷＵ＠＠＠＠ｹｭ｡ｩｬＺ＠ｮｧｵｹ･ｮｶ｡ｮｶｩ･ｴ｢ｫ､ｮ｀ｧｭ｡ｩｬＮ｣ｯｭ
Trang 79
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụ n g b ảng nguyên hàm
Biến đổi b i ểu thức hàm số để sử dụng được b ảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phả i:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) 2
1
( ) –3f x x x
x
= +
b )
4
2
2 3
( ) x
f x
x
+
= c)
2
1
( )
x
f x
x
-
=
d)
2 2
2
( 1 )
( ) x
f x
x
-
= e)
3 4
( )
f x x x x
= + + f ) 3
1 2
( )f x
x x
= -
g) 2
( ) 2sin
2
x
f x = h )
2
( ) tan
f x x
= i )
2
( ) cos
f x x
=
k)
2 2
1
( )
si n .cos
f x
x x
= l )
2 2
cos 2
( )
si n .cos
x
f x
x x
= m )
( ) 2sin3 cos2
f x x x
=
n )
(
)
( ) – 1
x x
f x e e= o) 2
( ) 2
c o s
x
x e
f x e
x
-
æ ö
= +
ççç ÷÷÷
è ø
p)
3 1
( )
x
f x e
+
=
Baøi 2. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f(x) thoả đi ều kiện c h o t r ước:
a) 3
( ) 4 5 ; ( 1 ) 3
f x x x F
= - + =
b )
( ) 3 5cos ; ( ) 2
f x x F
= - =
p
c)
2
3 5
( ) ; ( ) 1
x
f x Fe
x
-
= =
d)
2
1 3
( ) ; ( 1 )
2
x
f x F
x
+
= =
e)
3
2
1
( )= ; ( 2) 0
x
f x F
x
-
- =
f ) 1
( ) ; ( 1 ) 2
f x x x F
x
= + =-
g)
( ) sin 2 .cos ; ' 0
3
f x x x F æ ö
= =
ç ÷
è ø
p
h )
4 3
2
3 2 5
( ) ; ( 1 ) 2
x x
f x F
x
- +
= =
i ) x x x
f x F
x
3 2
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1 )
+ + -
= =
+
k) x
f x F
2
( ) sin ;
2 2 4
p p
æ ö
= =
ç ÷
è ø
Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả đi ều kiện c h o t r ước:
a) 2
( ) cos ; ( ) sin ; 3
2
g x x x x f x x x F
æ ö
= + = =
ç ÷
è ø
p
b ) 2
( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0
g x x x x f x x x F
= + = =
p
c) 2
( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2
g x x x x f x x F
= + = =-
Baøi 4. Chứn g m i n h F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
( ) (4 5)
( ) (4 1 )
x
x
F x x e
f x x e
ì ï = -
í = -
ï î b)
4
5 3
( ) tan 3 5
( ) 4 tan 4 tan 3
F x x x
f x x x
ì ï = + -
í
= + +
ï î
c)
2
2
2 2
4
( ) ln
3
2
( )
( 4)( 3)
x
Fx
x
x
f x
x x
ì æ ö
+
ï = ççç ÷÷÷
ï +
è ø
í -
ï =
ï
+ +
î
d)
2
2
2
4
2 1
( ) ln
2 1
2 2(
1 )
( )
1
x x
Fx
x x
x
f x
x
ì
- +
=
ï ï
+ +
í -
ï =
ï +
î
＠ｈｏ￀ｎｇ＠ｔｈ￁ｉ＠ｖｉ󰹧ｔ＠＠＠＠Ｍ＠＠＠＠Đ󰹁ｉ＠ｈ󰹭ｃ＠ｂ￁ｃｈ＠ｋｈｏａ＠Đ￀＠ｎ󰹕ｎｇ＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＱＳ
ｳđｴ＠Ｚ＠ＰＱＶＹＵＳＱＶＸＷＵ＠＠＠＠ｹｭ｡ｩｬＺ＠ｮｧｵｹ･ｮｶ｡ｮｶｩ･ｴ｢ｫ､ｮ｀ｧｭ｡ｩｬＮ｣ｯｭ
Trang 80
Baøi 5. Tìm đi ều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tìm m
f x x x
ì ï = + + - +
í = + -
ï îb )
2
2
( ) ln 5
. .
2 3
( )
3 5
F x x mx
Tìm m
x
f x
x x
ì = - +
ï +
í =
ï + +
î
c)
2 2
2
( ) ( ) 4
. , , .
( ) ( 2) 4
F x ax bx c x x
Tìm a b c
f x x x x
ì ï = + + -
í= - -ï î
d)
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 )
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x e
ì ï = + +
í = -
ï î
e)
2 2
2 2
( ) ( )
. , , .
( ) (2 8 7)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
-
-
ì ï = + +
í = - - +
ï îf )
2
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 2)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
-
-
ì ï = + +
í = - +
ï î
g)
b c
F x a x x x
f x x
Tìm a b c
( ) ( 1 ) s i n sin 2 si n 3
2 3
( ) c o s
, , .
ì ï = + + +
í ï =
î
h )
F x ax bx c x
x x
f x
x
Tìm a b c
2
2
( ) ( ) 2 3
20 30 7
( )
2 3
, , .
ì
= + + -
ï - +í =
ï -
î
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
( )f x dx
ò
bằng phương pháp đổi b i ến số
·
Dạng 1: N ếu f(x) có dạng: f(x) =
[
]
( ) . '( )
g u x u x
thì ta đặt
( ) '( )
t u x dt u x dx
= Þ =
.
Khi đó:
( )f x dx
ò
=
()g t dt
ò , t ro n g đó
()g t dt
ò dễ dàng tìm được .
Chú ý: Sau khi tính
()g t dt
ò
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
·
Dạng 2: T h ường gặp ở các trường hợp sau:
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau ( đổi biến số dạng 1):
a)
x dx
10
(5 1 )-
ò
b )
5
(3 2 )
dx
x
-
ò
c)
x dx
5 2-
ò
d) 2 7
(2 1 )
x xdx
+
ò
e) 3 4 2
( 5 )
x x dx
+
ò
f ) 2
5
x
dx
ò
g) 2
1 .
x xdx
+
ò
h )
2
3
3
5 2
x
dx
x+
ò
i )
2
( 1 )
dx
x x
+
ò
k) 4
sin cos
x xdx
ò
l ) 5
sin
cos
x
dx
x
ò
m ) 2
tan
cos
xdx
ò
n )
3
x
x
e dx
e
-
ò
o) 2 1
. x
x e dx
+
ò
p)
x
e
dx
x
ò
f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
a x
-
si n ,
2 2
x a t t
= - £ £
p p
hoặc cos , 0x a t t
= £ £
p
2 2
a x
+
hoặc
a x
2 2
1
tan ,
2 2
x a t t
= - < <
p p
hoặc cot , 0x a t t
= < <
p
＠ｈｏ￀ｎｇ＠ｔｈ￁ｉ＠ｖｉ󰹧ｔ＠＠＠＠Ｍ＠＠＠＠Đ󰹁ｉ＠ｈ󰹭ｃ＠ｂ￁ｃｈ＠ｋｈｏａ＠Đ￀＠ｎ󰹕ｎｇ＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＱＳ
ｳđｴ＠Ｚ＠ＰＱＶＹＵＳＱＶＸＷＵ＠＠＠＠ｹｭ｡ｩｬＺ＠ｮｧｵｹ･ｮｶ｡ｮｶｩ･ｴ｢ｫ､ｮ｀ｧｭ｡ｩｬＮ｣ｯｭ
Trang 81
q)
3
ln
x
dx
x
ò
r)
1
x
dx
ò
s)
tan
2
cos
x
e
dx
x
ò
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau ( đổi biến số dạng 2):
a)
2 3
( 1 )
dx
x-
ò
b )
2 3
( 1 )
dx
x+
ò
c) 2
1 .
x dx
-
ò
d)
2
4
dx
x
-
ò
e) 2 2
1 .
x x dx
-
ò
f )
2
1
dx
ò
g)
2
2
1
x dx
-
ò
h ) 2
1
dx
x x
+ +
ò
i ) 3 2
1 .
x x dx
+
ò
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từ ng phầ n
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) .sin
x xdx
ò
b ) cos
x xdx
ò
c) 2
( 5)sin
x x d x
+
ò
d) 2
( 2 3 ) c o s
x x xdx
+ +
ò
e) s i n 2
x x d x
ò
f ) cos 2
x xdx
ò
g) . x
x e dx
ò
h ) 2
3 x
x e dx
ò
i ) ln
xdx
ò
k) ln
x xd x
ò
l ) 2
ln
x d x
ò
m ) 2
ln( 1 )
x dx
+
ò
n ) 2
tan
x xdx
ò
o) 2 2
cos
x x d x
ò
p) 2 cos 2
x xdx
ò
q) 2
ln(1 )
x x dx
+
ò
r) .2x
x dx
ò
s) lg
x xdx
ò
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) x
e dx
ò
b ) ln
xdx
ò
c) sin
x dx
ò
d) cos
x dx
ò
e) .sin
x x dx
ò
f ) 3
sin
xdx
ò
g)
ln(ln )x
dx
x
ò
h )
sin(ln )
x dx
ò
i )
cos(ln )
x dx
ò
Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) .cos
x
e x d x
ò
b ) 2
( 1 t a n tan )
x
e x x dx
+ +
ò
c) .sin2
x
e xdx
ò
d) 2
ln(cos )
x
dx
x
ò
e) 2
ln(1 )
x
dx
x
+
ò
f ) 2
cos
x
dx
x
ò
g)
(
)
2
2
ln 1
1
x x x
dx
x
+ +
+
ò
h )
3
2
1
x
dx
x+
ò
i )
2
ln x
dx
x
æ ö
ç ÷
è ø
ò
( ). x
P x e dx
ò
( ).cos
P x x d x
ò
( ).sin
P x x d x
ò ( ).ln
P x x d x
ò
u P ( x ) P ( x ) P ( x ) lnx
dv x
e dx
cos
x d x
sin
x d x
P ( x ) d x
＠ｈｏ￀ｎｇ＠ｔｈ￁ｉ＠ｖｉ󰹧ｔ＠＠＠＠Ｍ＠＠＠＠Đ󰹁ｉ＠ｈ󰹭ｃ＠ｂ￁ｃｈ＠ｋｈｏａ＠Đ￀＠ｎ󰹕ｎｇ＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＱＳ
Trang 82
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x)
±
g (x ) dễ xác định hơn s o v ới f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f ( x ) .
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đ ị nh nguyên hàm của các hàm số f ( x )
±
g (x ) , t ức là:
1
2
( ) ( ) ( )
( * )
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
ì + = +
í - = +
î
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
[ ]
1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
= + +
là nguyên hàm của f ( x ) .
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) sin
sin cos
x
dx
x x
-
ò
b ) c o s
sin cos
x
dx
x x
-
ò
c) sin
sin cos
x
dx
x x
+
ò
d) cos
sin cos
x
dx
x x
+
ò
e)
4
4 4
si n
sin cos
x
dx
x
+
ò
f )
4
4 4
cos
sin cos
x
dx
x
+
ò
g) 2
2sin .sin2
x x d x
ò
h ) 2
2 cos .sin2
x x d x
ò
i )
x
x x
e
dx
e
-
-
ò
k)
x
x x
e
dx
e
-
-
-
ò
l )
x
x x
e
dx
e
-
+
ò
m )
x
x x
e
dx
e
-
-
+
ò
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số h à m s ố thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
( )
( )
( )
Px
f x
Qx
=
– Nếu bậc của P(x)
³
bậc của Q ( x ) t h ì t a t h ực hiệ n phép chia đa t h ức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích
f(x) thành tổng của n h i ều phân thức (bằng phương pháp hệ số bấ t định).
Chẳng hạn: 1
( ) ( )
A B
x a x b x a x b
= +
- - - -
2
2 2
1
, 4 0
( ) ( )
A Bx C v ô ù i b ac
x m
x m ax bx c ax bx c
+
= + = - <
-
- + + + +
D
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
= + + +
- -
- - - -
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = ,
m
ax b
R x
cx d
æ ö
+
ç ÷
+
è ø
®
đặt m
ax b
t
c x d
+
=
+
+ f(x) = 1
( ) ( )
R
x a x b
æ ö
ççç ÷÷÷
+ +
è ø
®
đặt
t x a x b
= + + +
·
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Chẳng hạn:
＠ｈｏ￀ｎｇ＠ｔｈ￁ｉ＠ｖｉ󰹧ｔ＠＠＠＠Ｍ＠＠＠＠Đ󰹁ｉ＠ｈ󰹭ｃ＠ｂ￁ｃｈ＠ｋｈｏａ＠Đ￀＠ｎ󰹕ｎｇ＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＱＳ
ｳđｴ＠Ｚ＠ＰＱＶＹＵＳＱＶＸＷＵ＠＠＠＠ｹｭ｡ｩｬＺ＠ｮｧｵｹ･ｮｶ｡ｮｶｩ･ｴ｢ｫ､ｮ｀ｧｭ｡ｩｬＮ｣ｯｭ