intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Tích phân ôn thi đại học - Hoàng Thái Việt

Chia sẻ: Nguyễn Văn Cường | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST
Báo xấu
105
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Tích phân ôn thi đại học do Hoàng Thái Việt thực hiện trình bày về các kiến thức lý thuyết và bài tập trong nguyên hàm, tích phân và ứng dụng; ôn tập tích phân. Với các bạn yêu thích và muốn nâng cao kiến thức về Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Tích phân ôn thi đại học - Hoàng Thái Việt

  1. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: F '( x ) = f ( x ) , "x Î K · Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R. · Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất · ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp · ò 0dx = C ax · ò a x dx = + C (0 < a ¹ 1) · ò dx = x + C ln a · ò cos xdx = sin x + C xa +1 · ò xa dx = + C, (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C a +1 1 1 · ò x dx = ln x + C · ò dx = tan x + C cos2 x · ò e x dx = e x + C 1 · ò dx = - cot x + C sin 2 x 1 1 · ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) · ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0) a a 1 1 1 · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) · ò dx = ln ax + b + C a ax + b a 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ò f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: ò udv = uv - ò vdu Trang 78 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  2. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2x4 + 3 x -1 a) f ( x ) = x 2 – 3 x + b) f ( x ) = c) f ( x ) = x x2 x2 ( x 2 - 1)2 1 2 d) f ( x ) = e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x f) f ( x ) = - x2 x 3 x x g) f ( x ) = 2 sin 2 h) f ( x ) = tan 2 x i) f ( x ) = cos2 x 2 1 cos 2 x k) f ( x ) = l) f ( x ) = m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x 2 2 sin x.cos x sin x.cos2 x 2 æ e- x ö n) f ( x ) = e x ( e x – 1) o) f ( x ) = e x ç 2 + ÷ p) f ( x ) = e3 x +1 2 è cos x ø Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5; F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 - 5 cos x; F (p ) = 2 2 2 3 - 5x x +1 3 c) f ( x ) = ; F (e ) = 1 d) f ( x ) = ; F(1) = x x 2 x3 - 1 1 e) f (x )= ; F(-2) = 0 f) f ( x ) = x x + ; F (1) = -2 x2 x æp ö 3x 4 - 2 x3 + 5 g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; F 'ç ÷ = 0 h) f ( x ) = ; F (1) = 2 è3ø x2 x3 + 3 x2 + 3x - 7 x æp ö p i) f ( x ) = ; F(0) = 8 k) f ( x ) = sin 2 ; F ç ÷ = ( x + 1)2 2 è2ø 4 Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: æp ö a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; Fç ÷ =3 è2ø b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F(2) = -2 Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): ìïF ( x ) = (4 x - 5)e x ìïF ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5 a) í x b) í 5 3 ïî f ( x ) = (4 x - 1)e ïî f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3 ì æ x2 + 4 ö ì x2 - x 2 + 1 ïF ( x ) = ln ç ÷ ïF ( x ) = ln 2 ï è x2 + 3 ø ï x + x 2 +1 c) í d) í -2 x 2 ï f ( x) = ï f ( x ) = 2 2( x - 1) ïî ( x 2 + 4)( x 2 + 3) ïî x4 + 1 Trang 79 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  3. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): ìF ( x ) = ln x 2 - mx + 5 ìïF ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 ï a) í 2 . Tìm m. b) í 2x + 3 . Tìm m. ïî f ( x ) = 3 x + 10 x - 4 ï f ( x) = 2 î x + 3x + 5 ìïF ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x ìïF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x c) í . Tìm a, b, c. d) í x . Tìm a, b, c. 2 ïî f ( x ) = ( x - 2) x - 4 x ï î f ( x ) = ( x - 3) e ïìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x ìïF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x e) í 2 -2 x . Tìm a, b, c. f) í 2 -x . Tìm a, b, c. ïî f ( x ) = -(2 x - 8 x + 7)e ïî f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e ì b c ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3 ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin 2 x + sin 3 x ï 2 g) í 2 3 h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + 7 ïî f ( x ) = cos x ï î 2x - 3 Tìm a, b, c. Tìm a, b, c. VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g [u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx . Khi đó: ò f ( x )dx = ò g(t )dt , trong đó ò g(t )dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). · Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến p p x = a sin t , - £t£ a2 - x 2 2 2 hoặc x = a cos t , 0£t £p a2 + x 2 p p x = a tan t , -
  4. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 ln3 x dx e tan x q) ò x dx r) ò s) ò dx x e +1 cos2 x Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx a) ò b) ò c) ò 1 - x 2 .dx (1 - x 2 )3 (1 + x 2 )3 dx dx d) ò e) ò x 2 1 - x 2 .dx f) ò 4 - x2 1 + x2 x 2 dx dx 3 g) ò h) ò i) òx x 2 + 1.dx 2 1 - x2 x + x +1 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: ò P( x ).e x dx ò P( x ).cos xdx ò P( x ).sin xdx ò P( x ). ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x)dx Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) ò x .sin xdx b) ò x cos xdx c) ò ( x 2 + 5)sin xdx d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx e) ò x sin 2 xdx f) ò x cos 2 xdx 3 x2 g) ò x.e x dx h) ò x e dx i) ò ln xdx k) ò x ln xdx l) ò ln 2 xdx m) ò ln( x 2 + 1)dx 2 n) ò x tan xdx o) ò x 2 cos2 xdx p) ò x 2 cos 2 xdx 2 q) ò x ln(1 + x )dx r) ò x.2 x dx s) ò x lg xdx Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: x ln xdx a) ò e dx b) ò c) ò sin x dx x d) ò cos x dx e) ò x .sin x dx f) ò sin 3 xdx ln(ln x ) g) ò dx h) ò sin(ln x )dx i) ò cos(ln x )dx x Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) ò e x .cos xdx b) ò e x (1 + tan x + tan2 x )dx c) ò e x .sin 2 xdx ln(cos x ) ln(1 + x ) x d) ò 2 dx e) ò 2 dx f) ò dx cos x x cos2 x ( x ln x + x 2 + 1 )dx x3 æ ln x ö 2 g) ò 2 h) ò 2 dx i) ò ç è x ø ÷ dx x +1 1+ x Trang 81
  5. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C (*) î 2 1 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) = [ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x). 2 Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: sin x cos x sin x a) ò sin x - cos x dx b) ò sin x - cos x dx c) ò sin x + cos x dx cos x sin 4 x cos4 x d) ò dx e) ò dx f) ò dx sin x + cos x sin 4 x + cos 4 x sin 4 x + cos 4 x ex g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx i) ò dx e x - e- x e- x ex e- x k) ò dx l) ò dx m) ò dx e x - e- x e x + e- x e x + e- x VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp P( x ) 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) = Q( x ) – Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B Chẳng hạn: = + ( x - a)( x - b) x - a x - b 1 A Bx + C = + , vôùi D = b2 - 4 ac < 0 2 ( x - m )(ax + bx + c ) x - m ax + bx + c 2 1 A B C D = + + + 2 ( x - a) ( x - b) 2 x - a ( x - a) 2 x - b ( x - b )2 2. f(x) là hàm vô tỉ æ ax + b ö ax + b + f(x) = R ç x , m ÷ ® đặt t=m è cx + d ø cx + d æ 1 ö + f(x) = R ç ÷ ® đặt t = x+a + x+b è ( x + a )( x + b ) ø · f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: Trang 82 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  6. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 1 1 sin [( x + a) - ( x + b)] æ sin(a - b) ö + = . , ç söû duïng 1 = ÷ sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b) è sin(a - b) ø 1 1 sin [( x + a) - ( x + b)] æ sin(a - b) ö + = . , ç söû duïng 1 = ÷ cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b) è sin(a - b) ø 1 1 cos [( x + a) - ( x + b)] æ cos(a - b) ö + = . , ç söû duïng 1 = ÷ sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b) sin( x + a).cos( x + b) è cos(a - b) ø + Nếu R(- sin x , cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx + Nếu R(sin x, - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx + Nếu R(- sin x , - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: dx dx x2 + 1 a) ò b) ò c) ò dx x( x + 1) ( x + 1)(2 x - 3) x2 - 1 dx dx dx d) ò e) ò f) ò x 2 - 7 x + 10 x2 - 6x + 9 x2 - 4 x x x3 g) ò dx h) ò dx i) ò dx ( x + 1)(2 x + 1) 2 2 x - 3x - 2 x2 - 3x + 2 dx dx x k) ò l) ò m) ò dx x ( x 2 + 1) 1 + x3 x3 - 1 Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: 1 x +1 1 a) ò dx b) ò dx c) ò dx 1+ x +1 x x -2 1+ 3 x +1 1 x x d) ò 4 dx e) ò 3 dx f) ò x( x + 1)dx x+ x x- x dx 1 - x dx 1 - x dx g) ò h) ò 1+ x x i) ò 3 1+ x x x + 3 x + 24 x dx dx dx k) ò3 l) ò m) ò (2 x + 1)2 - 2 x + 1 x2 - 5x + 6 x2 + 6x + 8 Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) ò sin 2 x sin 5 xdx b) ò cos x sin 3 xdx c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx cos 2 x dx dx d) ò 1 + sin x cos x dx e) ò 2 sin x + 1 f) ò cos x 1 - sin x sin3 x dx g) ò cos x dx h) ò cos x dx i) ò æ pö cos x cos ç x + ÷ è 4ø k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx l) ò cos3 xdx m) ò sin 4 xdx Trang 83 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  7. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 II. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ò f ( x )dx . a b ò f ( x )dx = F( b) - F (a) a · Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a) a a a · Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng b x = a, x = b là: S = ò f ( x )dx a 2. Tính chất của tích phân a b a b b · ò f ( x )dx = 0 · ò f ( x )dx = - ò f ( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const) a a b a a b b b b c b · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx a a a a a c b · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì ò f ( x )dx ³ 0 a b b · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx a a 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u( b ) ò f [u( x )] .u '( x )dx = ò f (u)du a u( a ) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Î K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì: b b b ò udv = uv - ò vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. b b – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv . a a Trang 84 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  8. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ò f ( x )dx = F( b) - F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 æ 3 ö 2 2 x -1 a) ò (x 3 + 2 x + 1)dx b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx c) ò dx 1 1è x ø 1 x2 2 x -1 (x 4 +4 ) 2 e æ 1 1 ö + x 2 ÷ dx d) ò 2 +2 dx e) ò x2 dx f) ò ç x + + x x2 -1 x -2 1è ø 2 2 ò(x + x ) ò( ) 4 ò( x + 1)( x - x + 1) dx 2 g) h) x + 3 x dx i) x + 23 x - 4 4 x dx 1 1 1 2 2 8æ ö x2 - 2 x e 2 x + 5 - 7x 1 k) ò dx l) ò dx m) ò ç 4 x - ÷dx x3 x ç 3 ÷ 1 1 1è 3 x2 ø Baøi 2. Tính các tích phân sau: 2 5 2 dx x a) ò x + 1dx b) ò c) ò dx 1 2 x +2 + x -2 0 2 x +2 2 2 4 x 3x2 d) ò dx e) ò3 dx f) òx x 2 + 9.dx 2 3 01+ x 0 1+ x 0 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p p p 2 6 æ pö a) ò sin ç 2 x + ÷ dx è 6ø b) ò (2sin x + 3 cos x + x )dx c) ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx 0 p 0 3 p p p 4 tan x .dx 3 4 2 2 d) ò cos x 2 e) ò 3tan x dx f) ò (2 cot x + 5) dx 0 p p 4 6 p p p 2 dx 2 1 - cos x 2 2 g) ò 1 + sin x h) ò 1 + cos x dx i) ò sin x .cos2 xdx 0 0 0 p p æp ö p 3 2 sin ç - x ÷ 4 (tan x - cot x )2 dx è4 ø dx 4 k) ò l) ò æp ö m) ò cos x dx p -p sin ç + x ÷ 0 - 6 2 è4 ø Baøi 4. Tính các tích phân sau: 1 x 2 1 2x e - e- x ( x + 1).dx e -4 a) ò dx b) ò c) ò dx x -x 2 0e +e 1 x + x ln x 0 ex + 2 Trang 85
  9. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 ln 2 2 æ e- x ö 1 x ex x e d) ò dx e) ò e ç 1 - ÷dx f) ò dx 0 x e +1 1 è x ø 02 x p 2 4 x e cos x e 1 + ln x g) òe .sin xdx h) ò dx i) ò dx 0 1 x 1 x e 1 1 ln x x 2 1 k) ò x dx l) ò xe dx m) ò x dx 1 0 0 1+ e VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính ò g( x )dx . a b u(b ) Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thì ò g( x )dx = ò f (u)du a u(a ) b Dạng 2: Giả sử ta cần tính ò f ( x )dx . a Đặt x = x(t) (t Î K) và a, b Î K thoả mãn a = x(a), b = x(b) b b b thì ò f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt ( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) ) a a a Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến p p x = a sin t , - £t£ a2 - x 2 2 2 hoặc x = a cos t , 0£t £p a2 + x 2 x = a tan t , - p
  10. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 ln 3 e x dx e e 2 + ln x dx 1 + 3 ln x ln x k) ò l) ò 2x m) ò x dx 0 ( e x + 1)3 1 1 p p p 2 2 3 6 sin 2 x cos x. sin x sin 2 x n) ò 0 cos x + 4 sin x2 2 dx o) ò 0 1 + sin 2 x dx p) ò 2 sin 0 2 x + cos 2 x dx Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 1 2 1 2 dx x 2 dx ò ò òx 4 - x 2 dx 2 a) b) c) 0 1- x 2 0 4-x 2 1 3 1 1 dx dx xdx d) òx 0 2 +3 e) ò (x 0 2 + 1)( x 2 + 2) f) òx 0 4 + x2 +1 0 dx 2 1 x -12 dx g) ò h) ò dx i) ò -1 x2 + 2 x + 2 1 x3 0 (1 + x ) 2 5 2 2 2 3 dx 2 x2 k) ò l) ò dx m) òx 2 x - x 2 dx 2 2 2 x x -1 0 1- x 0 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b x ò P( x ).e dx ò P( x ).cos xdx ò P( x ).sin xdx ò P( x ). ln xdx a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x)dx Baøi 1. Tính các tích phân sau: p p 4 2 2p ò x sin 2 xdx ò ( x + sin òx 2 2 a) b) x) cos xdx c) cos xdx 0 0 0 p2 p 4 3 1 2 ò x co s x dx ò x tan xdx ò ( x - 2)e 2x d) e) f) dx 0 p 0 4 ln 2 e 3 ò xe dx ò x ln xdx i) ò ln( x 2 - x)dx x g) h) 0 1 2 p p 2 2 e k) ò e 3 x sin 5 xdx l) ò e sin 2 xdx cos x m) ò ln 3 xdx 0 0 1 e e 0 ln x òx ò ò x (e + 3 x + 1)dx 3 o) ln 2 xdx p) 2 dx q) 2x 1 1 x -1 e Trang 87 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  11. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 2 2 a) ò x - 2 dx b) ò x 2 - x dx c) òx 2 + 2 x - 3 dx 0 0 0 3 5 3 x 2 - 1 dx ò ( x + 2 - x - 2 ) dx x d) ò e) f) ò2 - 4 dx -3 -2 0 4 3 1 g) ò x 2 - 6 x + 9dx h) ò x 3 - 4 x 2 + 4 x dx i) ò 4 - x dx 1 0 -1 Baøi 2. Tính các tích phân sau: p 2p p 2 a) ò 1 - cos 2 x dx b) ò 1 - sin 2 x .dx c) ò sin x dx 0 0 p - 2 p 2p p d) ò 1 - sin xdx e) ò 1 + cos xdx f) ò 1 + cos 2xdx -p 0 0 p p 3 3 2p g) ò tan 2 x + cot 2 x - 2 dx h) ò cos x cos x - cos3 xdx i) ò 1 + sin xdx p p 0 - 6 2 VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 3 1 3 dx dx x 3 dx a) ò b) ò 2 c) ò 2 1 x+ x 3 0 x - 5x + 6 0 x + 2x + 1 1 3 4 x x 2 dx dx d) ò0 (1 + 2 x )3 dx e) ò2 (1 - x )9 f) òx 1 2 (1 + x) 4 dx 1 (4 x + 11)dx 1 x3 + x + 1 g) ò2 x(x - 1) h) òx 2 + 5x + 6 i) ò x + 1 dx 0 0 0 3 1 2 x3 - 6 x 2 + 9 x + 9 3 x2 + 3x + 3 x2 k) ò dx l) ò dx m) ò dx -1 x2 - 3x + 2 2 x3 - 3x + 2 0 (3 x + 1) 3 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 2 dx 3 (3x +2 2 ) 2 x3 + 2x 2 + 4 x + 9 a) ò0 x 2 - 2x + 2 b) ò 0 x +1 2 dx c) ò0 x2 + 4 dx 1 1 1 1 x3 + x + 1 x d) ò dx e) ò 2 dx f) ò dx 2 2 4 0 ( x + 2) ( x + 3) 0 x + 1 0 1+ x Trang 88
  12. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 2 2 3 1 1 - x 2008 x4 g) ò dx h) ò dx i) ò dx 1 x (1 + x 4 ) 1 x (1 + x 2008 ) 2 (x 2 - 1)2 2 2 1 1 1 - x2 2 - x4 k) ò dx l) ò dx m) ò dx 0 4 + x2 1 1+ x4 0 1+ x2 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 7 2 10 1+ x 3 x +1 dx a) ò 1- x dx b) ò 3 3x + 1 dx c) ò x - 2 x -1 0 0 5 6 dx 1 2 4x - 3 x d) ò dx e) ò f) ò 1+ dx 0 2+ 3x + 1 2 2x +1+ 4x +1 1 x -1 1 1 2 dx x3 x4 g) ò 0 x +1 + x h) ò x+ 0 x2 +1 dx i) ò 0 x5 + 1 dx 3 x5 + x3 2 2 1 ò x x 2 + 1dx ò x x + 1dx ò dx 3 2 k) l) m) 2 0 0 0 1+ x 2 2 3 3 2 dx dx dx n) ò o) ò p) ò x x2 + 4 5 2 x x2 - 1 1 x x3 + 1 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 1 3 1 2 2 x2 + 1 dx a) ò x 1 + x dx b) ò dx c) ò 0 1 x2 x2 + 1 0 (1 + x 2 )3 2 3 1 2 3 2 d) ò x + 2008dx e) ò x 10 - x dx f) ò 1 + x 2 dx 1 0 0 1 2 1 dx dx x 3dx g) ò h) ò i) ò -1 1 + x + x2 + 1 1 x 2 + 2008 0 x + x2 + 1 2 2 5 2 2 2 4 dx x dx k) ò l) ò m) ò 12 x - 4 x 2 - 8dx (1 - x 2 )3 0 0 1 - x2 1 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p p p 2 cos xdx 2 2 cos xdx a) ò b) ò sin x cos x - cos2 xdx c) ò 0 7 + cos 2 x 0 0 2 + cos2 x p p p 2 2 sin 2 x + sin x 3 cos xdx 6 d) ò 1 - cos3 x sin x cos5 xdx e) ò dx f) ò 0 0 1 + 3 cos x 0 2 + cos 2 x Trang 89 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  13. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 p p p 2 cos xdx 3 tan x 2 sin 2 x + sin x g) ò 2 h) ò 2 dx i) ò 1 + 3cos x dx 0 1 + cos x p cos x 1 + cos x 0 4 Baøi 4. Tính các tích phân sau: ln 3 ln 2 e dx e2 x dx 1 + 3ln x ln x a) ò b) ò c) ò dx 0 ex + 1 0 ex + 1 1 x ln 3 0 ln 2 ln 2 x e x dx d) ò dx e) ò x (e2 x + 3 x + 1)dx f) ò ln 2 x ln x + 1 -1 0 (e x + 1)3 ln 3 1 ln 2 ex ex g) ò dx h) ò dx i) ò e x - 1dx 0 (e x + 1) e x - 1 0 e x + e- x 0 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Baøi 1. Tính các tích phân sau: p p 4 4 p a) ò sin 2 x. cos xdx b) ò tan xdx c) ò sin 2 xdx 0 0 0 p p 2 2 p 3 3 2 d) ò sin xdx 3 e) ò (sin x + cos x )dx f) ò cos 3 xdx 0 0 0 p p p 2 2 2 2 g) ò sin x cos4 xdx h) ò sin 2 x cos 3 xdx i) ò sin 4 x cos5 xdx 0 0 0 p p p 2 sin x 2 1 2 sin 2 x cos x k) ò 1 + 3 cos x dx l) ò cos x + 1 dx m) ò 1 + cos x dx 0 0 0 p p p 2 3 3 3 cos x dx dx n) ò 1 + cos x dx o) ò sin 4 x.cos x p) ò sin x.cos3 x 0 p p 6 4 p p p 2 3 4 3 sin x 3 4 q) ò 2 dx r) ò tan xdx s) ò tan xdx 1 + cos x 0 0 0 Baøi 2. Tính các tích phân sau: p p p 2 2 1 + sin 2 x + cos 2 x 3 tan x a) ò 0 1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx b) ò p sin x + cos x dx c) ò cos x p 1 + cos 2 x dx 6 4 p p 2 p ò (1 + sin x ) sin 2 xdx 2 4 x + cos 4 x )dx 3 ò cos 2 x(sin ò (tan x + e sin x cos x )dx 2 d) e) 4 f) 0 0 0 Trang 90 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  14. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 p p p 3 4 3 3 sin x 1 g) ò sin x. ln(cos x )dx h) ò (tan2 x + 1)2 .cos5 x dx i) ò 2 2 dx 0 0 p sin x + 9 cos x - 3 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p p p 2 1 2 dx 2 cos x a) ò sin x dx b) ò 2 - cos x c) ò 2 - cos x dx p 0 0 3 p p p 2 cos x 2 1 2 sin x d) ò 1 + cos x dx e) ò 2 + sin x dx f) ò 2 + sin x dx 0 0 0 p p p 2 1 2 sin x - cos x + 1 4 dx g) ò sin x + cos x + 1 dx h) ò sin x + 2 cos x + 3 dx i) ò æ pö 0 p 0 cos x cos ç x + ÷ - 2 è 4ø p p p 2 (1 - sin x ) cos x 3 dx 3 dx k) ò (1 + sin x)(2 - cos2 x ) dx l) ò æ pö m) ò æ pö 0 p sin x cos ç x + ÷ p sin x sin ç x + ÷ 4 è 4ø 6 è 6ø Baøi 4. Tính các tích phân sau: p p p 2 4 3 xdx x a) ò (2 x - 1) cos xdx b) ò 1 + cos 2 x c) ò cos 2 dx 0 0 0 x p p p 2 2 2 3 2 2 x +1 d) ò sin xdx e) òx cos xdx f) ò sin 2 x.e dx 0 0 0 p p 2 3 2 ln(sin x ) 2 g) ò cos(ln x )dx h) ò dx i) ò (2 x - 1) cos xdx 2 1 p cos x 0 6 p p 4 p 2x 2 k) ò e sin xdx l) ò x tan 2 xdx m) ò x sin x cos 2 xdx 0 0 0 p p p 2 4 4 dx sin 2 x n) òe sin x cos3 xdx o) ò ln(1 + tan x )dx p) ò cos 4 0 0 0 x VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 1 1 1 ln 2 e x dx dx a) ò b) ò c) ò dx 1+ ex e +5 x x 0 0 0e +4 Trang 91 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  15. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 ln 8 ln 8 ln 2 ex 1- ex d) ò ex +1 dx e) ò e x + 1.e 2 x dx f) ò 1+ ex dx ln 3 ln 3 0 2 2 2x 1 1 e e- x g) ò dx h) ò dx i) ò dx -x x -x 1 1- e 0 e +1 0e +1 e 1 -2 x ln 3 ln x e 1 k) ò dx l) ò dx m) ò dx 2 -x 1 x (ln x + 1) 0e +1 x 0 e +1 Baøi 2. Tính các tích phân sau: p 2 2 1 a) ò e x sin xdx b) ò xe dx 2x c) ò xe -x dx 0 0 0 p e 1 + ln 2 x 2 1 d) ò (e + cos x ) cos xdx ò x ln (1 + x )dx ò dx x e) f) 0 0 1 x 2 e e3 ln x + ln(ln x ) ln(ln x ) e æ ln x ö g) ò dx h) ò ç + ln 2 x ÷ dx i) ò dx e x 1 è x ln x + 1 ø e2 x p 2 3 1 ln x ln(sin x ) ln( x + 1) k) ò 2 dx l) ò 2 dx m) ò dx 1 x p cos x 0 x +1 6 VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ a · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì ò f ( x )dx = 0 -a a a · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì ò f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx -a 0 Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: a 0 a æ 0 a ö Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷ -a -a 0 è -a 0 ø 0 Bước 2: Tính tích phân J = ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. -a – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ÞI=J+K=0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: a a f ( x) ò x dx = ò f ( x )dx (với a Î R+ và a > 0) -a a + 1 0 Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên. 0 æ f ( x) ö a a 0 a f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) I= ò dx = ò dx + ò dx çJ = ò dx; K = ò dx ÷ x x x x x -a a + 1 -a a + 1 0 a + 1 è -a a + 1 0 a + 1 ø Để tính J ta cũng đặt: t = –x. Trang 92 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  16. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 p p é pù 2 2 Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì ò f (sin x )dx = ò f (cos x )dx ë 2û 0 0 p Để chứng minh tính chất này ta đặt: -x t= 2 Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x ) thì đặt: t = a + b – x Đặc biệt, nếu a + b = p thì đặt t=p–x nếu a + b = 2p thì đặt t = 2p – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C (*) î 2 1 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) = [ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x). 2 Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1): p p 1 ( ) 4 7 5 3 2 2 x - x + x - x +1 æ1- x ö a) ò dx b) ò cos x ln x + 1 + x 2 dx c) ò cos x.ln çè 1 + x ÷ødx p cos 4 x p 1 - - - 4 2 2 ò ln ( x + ) dx 1 1 1 2 x dx x 4 + sin x d) 1+ x e) ò f) ò dx 4 -1 -1 x - x2 + 1 -1 x2 +1 p p p 2 sin 5 x 2 xdx 2 x + cos x g) ò 1 + cos x dx h) ò 4 - sin x 2 i) ò 4 - sin 2 x dx p p p - - - 2 2 2 Baøi 2. Tính các tích phân sau (dạng 2): 1 1 x4 1 1 - x2 dx a) ò x dx b) ò dx c) ò -1 2 + 1 -1 1+ 2x -1 (e x + 1)( x 2 + 1) p 1 sin 2 x dx 3 x2 +1 d) ò x 3 +1 dx e) ò-31 + 2 x dx f) ò x 2 -p -1 (4 + 1)( x + 1) p p p 2 sin x sin 3 x cos 5 x 4 sin 6 x + cos6 x 2 x 2 sin 2 x g) ò 1 + ex dx h) ò 6x + 1 dx i) ò 1+ 2x dx p p p - - - 2 4 2 Baøi 3. Tính các tích phân sau (dạng 3): p p p 2 n 2 7 2 cos x sin x sin x a) ò dx (n Î N*) b) ò sin7 x + cos7 x dx c) ò dx 0 cos n x + sin n x 0 0 sin x + cos x Trang 93 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  17. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 p p p 2009 4 2 sin x 2 cos x 2 sin 4 x d) ò sin2009 x + cos2009 x dx e) ò cos4 x + sin 4 x dx f) ò cos4 x + sin 4 x dx 0 0 0 Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4): p p p 2 x.sin x x + cos x æ 1 + sin x ö a) ò 2 dx b) ò dx c) ò ln çè 1 + cos x ÷ødx 0 4 - cos x 0 4 - sin 2 x 0 p 4 2p p d) ò ln(1 + tan x )dx e) ò x .cos3 xdx f) ò x.sin 3 xdx 0 0 0 p p p x x sin x x sin x g) ò 1 + sin x dx h) ò 2 + cos x dx i) ò 2 dx 0 0 0 1 + cos x p 4 p p x sin x 4 k) ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx l) ò 2 dx m) ò x sin x cos xdx 0 0 9 + 4 cos x 0 Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5): p p p 2 sin x 2 cos x 2 sin x a) ò sin x - cos x dx b) ò sin x - cos x dx c) ò sin x + cos x dx 0 0 0 p p p 2 cos x 2 sin 4 x 2 cos 4 x d) ò sin x + cos x dx e) ò sin 4 x + cos4 x dx f) ò sin 4 x + cos4 x dx 0 0 0 p p p 2 6 2 6 2 sin x cos x 2 g) ò sin6 x + cos6 x dx h) ò sin6 x + cos6 x dx i) ò 2sin x.sin 2 xdx 0 0 0 p 1 1 2 2 ex e- x k) ò 2 cos x.sin 2 xdx l) ò x -x dx m) ò x -x dx 0 -1 e - e -1 e - e 1 1 ex e- x n) ò dx o) ò dx x -x x -x -1 e + e -1 e + e VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x, n)dx (n Î N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta a thường gặp một số yêu cầu sau: · Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n). · Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. · Tính một giá trị I n cụ thể nào đó. 0 Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau: Trang 94 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  18. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 p 2 ì n -1 a) I n = ò sin n xdx · Đặt íu = sin x 0 îdv = sin x .dx p 2 ì n -1 b) I n = ò cos n xdx · Đặt íu = cos x 0 îdv = cos x.dx p 4 c) I n = ò tan n xdx · Phân tích: tan n x = tan n-2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x 0 p 2 ì n d) I n = òx n cos x .dx · Đặt íu = x 0 îdv = cos x.dx p 2 ì n Jn = òx n sin x.dx · Đặt íu = x 0 îdv = sin x .dx 1 ìïu = x n e) I n = ò x n e x dx · Đặt í x 0 ïîdv = e .dx e ì n f) I n = ò ln n x.dx · Đặt íu = ln x 1 îdv = dx 1 ì 2n g) I n = ò (1 - x 2 )n dx · Đặt x = cos t ® Đặt íu = sin t 0 îdv = sin t.dt 1 dx 1 1 + x2 x2 h) I n = ò · Phân tích = - 0 (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n 1 ìu = x x2 ï Tính J n = ò dx . Đặt í x 2 n dv = dx 0 (1 + x ) ï (1 + x 2 )n î 1 ìïu = x n i) I n = ò x n 1 - x .dx · Đặt í 0 ïîdv = 1 - x .dx p 4 dx 1 cos x 1 k) I n = ò cosn x dx · Phân tích cos n x = cos n+1 x ® Đặt t = cosn +1 x 0 Trang 95 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  19. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b là: S = ò f ( x ) dx (1) a · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b là: S = ò f ( x ) - g( x ) dx (2) a Chú ý: b b · Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ò f ( x ) dx = ò f ( x )dx a a · Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx a a c d c d b = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx + ò f ( x )dx a c d (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. d S = ò g( y ) - h( y) dy c 2. Thể tích vật thể · Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b Thể tích của B là: V = ò S( x )dx a · Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: Trang 96 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  20. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 b V = p ò f 2 ( x )dx a Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d là: V = p ò g2 ( y )dy c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ln x 1 a) y = x 2 - 4 x - 5, y = 0, x = -2, x = 4 b) y = , y = 0, x = , x = e x e 1 + ln x ln x c) y = , y = 0, x = 1, x = e d) y = , y = 0, x = e, x = 1 x 2 x 1 e) y = ln x, y = 0, x = , x = e f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1 e x 1 1 g) y = , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 1- x4 2 10 Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: -3 x - 1 a) y = , y = 0, x = 0 b) y = x , y = 2 - x , y = 0 x -1 c) y = e x , y = 2, x = 1 d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0 e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2 f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11 x2 27 g) y = x 2 , y = , y= h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8 27 x i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0 k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15 Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 a) y = x, y = , y = 0, x = e b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p x c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x , x = 0 d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4 e) y = x, y = 0, y = 4 - x f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1 1 g) y = x , y = 2 - x , y = 0 h) y = , y = e- x , x = 1 -2 x e Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 1 2 1 1 x2 c) y = x , y = - x2 + 3 d) y = ,y = 4 2 1+ x2 2 e) y = x , y = 2 - x 2 f) y = x 2 - 2 x , y = - x 2 + 4 x Trang 97 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
236=>2