Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
(CHƯA CÓ PHẦN KIẾN THỨC CẦN NHỚ)
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét các số thục dương
,,,
abxy
thỏa mãn
1, 1ab
>>
và
.
xy
a b ab= =
Giá trị nhỏ nhất của biều thức
2Px y= +
thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.
(1; 2)
B.
5
2; 2
C.
[3;4)
D.
5;3
2
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1:Tính giới hạn của hàm số tại
+∞
và
−∞
B2:Kết quả giới hạn là
1
, suy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
1y=
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Tập xác định
{ }
\1D= −
.
Ta có
2
lim 1
x
x
x
→±∞
−
+
2
1
lim 1
1
x
xx
xx
→±∞
−
=
+
2
1
lim 1
1
1
xx
x
→±∞
−
= =
+
1y⇒=
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3
Câu 1. Cho
,xy
là các số thực lớn hơn
1
sao cho
( ) ( )
yx
ee
xx yy
ye xe=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2
4Px y=−+
.
A.
0
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
DẠNG TOÁN 47: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang1
Website: tailieumontoan.com
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
ln ln
yx y x
ee e e
xx yy xx yy
ye xe ye xe
=⇔=
ln ln ln ln
yx
xy
xy
x y xe y x ye xe ye
⇔ += +⇔ =
++
(*) (vì
ln
x
ye x= +
có
1
' 0; 1
x
ye x
x
= + > ∀>
nên
( )
10yy e≥=>
)
Xét hàm số:
( )
ln
t
t
ft te
=+
trên
( )
1; +∞
ta có
( )
( )
2
ln 1
'ln
tt
t
t e te
ft te
+ −−
=+
. Với hàm số
( )
ln 1
tt
g t t e te= + −−
có
( )
( )
1
' ln 1 ' 0, 1
tt t
g t t e te te t
t
= + −− = − < ∀>
Nên
( ) ( ) ( )
1 1 ' 0; 1gt g f t t< =−⇒ < ∀>
( )
y ft⇒=
là hàm nghịch biến trên
( )
1; +∞
nên với (*)
( ) ( )
1fx fy y x= ⇒=>
Khi đó
22
4 4 4, 1Px yx x x=−+ =−+ ≤∀>
Dấu “=” xảy ra khi:
2.x=
Vậy:
min 4P=
khi:
2.xy= =
Câu 2. Cho
,xy
là hai số thực dương thỏa mãn
( )
3
log log20 1 log 16x y xy+ ≥+ +
. Giá trị nhỏ nhất của
22
log log 2Px y= −
là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Theo bài ra ta có
( )
3
log log20 1 log 16
x y xy+ ≥+ +
( )
( )
( )
3
3
3
3
3
log 1 log2 1 log 16
log2 log 16
2 16
16
2116 0210 21
x y xy
xy x y
xy x y
y
xy y y x y
⇔ ++ ≥+ +
⇔ ≥+
⇔ ≥+
⇔ − ≥ ≥⇒ −≥⇒≥ −
( )
2
8 22 2
42 42 4 242 48
2 21 21 21 21
cauchy
xyyy y
yy y y y
⇒ ≥ = ++ = −+ + ≥ − +=
−−− −
22 2 2
log log 2 log log 8 3
2x
Px y y
⇒= − = ≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2 1 1 1, 16y yx−=⇔ = =
Câu 3. Cho
,xy
là hai số dương thỏa mãn
( )
( )
2
ln 1 ln ln 2 1 .x y x xy++ ≥ + ++
Giá trị nhỏ nhất của
xy+
là:
A.
22+
. B.
22
. C.
2
. D.
32+
.
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang2
Website: tailieumontoan.com
Chọn A
Theo bài ra ta có
( ) ( )
2
ln 1 ln 1 .xy x y
+ ≥ ++
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
ln 1 ln 1 .
11
1
1
xy x y
x yx y
xy x
x
yx
+ ≥ ++
⇔+ ≥+ +
⇔≥+
+
⇔≥
Do đó
( )
2
111
2 2 2. 2 2 2
cauchy
x
xyx x x
xx x
+
+=+ = ++ ≥ +=+
Dấu đẳng thức xảy ra khi
( )
2
1
21 32
0;
2
2
1
xx
x xy
x
yx
=
> ⇔= =
+
=
Câu 4. Cho hai số thực dương
;ab
thỏa mãn
22
2
ab+>
và
22
log (2 4 ) 1
ba ab
++≥
. Giá trị lớn nhất của biểu
thức
3Pab=+−
là
A.
10
. B.
10
2
. C.
2 10
. D.
1
10
.
Lời giải
Chọn A
Do
22
2ab+>
nên từ .
22 22
log (24)124 2
a b ab abab
++ ≥⇒ + ≥ + >
Suy ra:
( ) ( )
22
22
2
1 25
ab
ab
+>
− +− ≤
Khi đó
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
22
3 1 1 1 2 1 1 1 2 2.5 10Pab a b a b
=+−= − + − ≤ + − + − ≤ =
(Áp dụng BĐT Bu-nhi-a- Cốp -xki)
Đẳng thức xảy ra khi
( ) ( )
22
22
12 10
11 12
1 25 10
2
22
ab
a
ab
b
ab
−−
=
= +
− +− =⇔
= +
+>
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang3
Website: tailieumontoan.com
Vậy
max
10P=
khi
10
12
10
22
a
b
= +
= +
.
Câu 5. Cho
3
log
a
m ab=
với
1, 1
ab>>
và
log 16log
ab
Pb a= +
. Tính giá trị nhỏ nhất của
P
.
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Ta có
11
log log log 3 1
33
a aa
m ab b b m= =+ ⇒=−
Lại có
( )
21
log 16log 3 1 16.31
ab
P b am m
= + = −+ −
Đặt
( )
31 0tmt=−≠
khảo sát hàm
2
16
Pt t
= +
thấy
min 12P=
.
Dấu bằng xảy ra khi
21tm=⇒=
Câu 6. Cho các số thực
,1ab>
và các số dương
,xy
thay đổi thỏa mãn
xy
a b ab= =
. Giá trị lớn nhất của
biểu thức
2
16
Py
x
= −
bằng
A.
40
. B.
16
. C.
4
. D.
0
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
1
log
log 1 11
log log 1.
log 1
t
a
xy bt
t
ax
xt
a b ab t y t b y xy
ab t ab
=
=
= = =⇔ = ⇔ = ⇔+=
=
=
.
Khi đó ta có
2 22
16 1 16
16 1 16 .Py y y
x yy
=−= − −=−−
Có:
22 2
3
16 8 8 8 8
16 16 16 3. . . 16 3.4 4
cauchy
yy y
y y y yy
− − = − ++ ≤ − = − =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2, 2yx= =
. Vậy
max
4P=
đạt được khi
2, 2xy= =
.
Câu 7. Cho
,
xy
là các số thực dương, thỏa mãn
( )
2
22
1
211
log log log 3x y xy+≤ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
4P xy= +
.
A.
min 27 12 5P= +
B.
min 2657P= +
C.
min 251P=
D.
min
12 6 5P= +
.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang4
