Thuyí khê kyî thuáût æïng duûng Huyình Vàn Hoaìng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x
v⋅
ρ
(
)
dx
x
v
vx
x⋅
∂
⋅
∂
+⋅
ρ
ρ
Hçnh 9 - 1
vaì
(
)
dtdzdydx
x
v
mmdm x
xxx ...
.
12
∂
−=−=
ρ
Tæång tæû âäúi våïi truûc y,truûc z :
(
)
(
)
dtdzdydx
z
v
dmdtdzdydx
y
v
dm z
z
y
y...
.
;...
.
∂
∂
−=
∂
∂
−=
ρ
ρ
Khäúi læåüng cháút loíng coìn laûi trong khäúi häüp laì : dm = dmx + dmy + dmz
()
(
)
()
dtdzdydx
z
v
y
v
x
v
dm z
y
x...
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
ρ
ρ
ρ
Sæû thay âäøi thãø têch cháút loíng trong khäúi häüp laì do sæû thay âäøi khäúi læåüng riãng cuía cháút
loíng theo thåìi gian båíi vç caïc caûnh cuía khäúi häüp cäú âënh (theo âënh luáût baío toaìn khäúi læåüng).
Khäúi læåüng cháút loíng trong häüp :
m=ρ.V=ρ.dx.dy.dz
Sau thåìi gian dt seî coï sæû thay âäøi :
(
)
dtdzdydx
t
dt
t
V
dm ...
∂
∂
=
∂
=
ρ
ρ
Sau khi âån giaín caïc säú haûng giäúng nhau chuïng ta coï phæång trçnh liãn tuûc:
Thuyí khê kyî thuáût æïng duûng Huyình Vàn Hoaìng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
()
(
)
(
)
()
0
0
=+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
vdiv
t
z
v
y
v
x
v
t
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
(9.9)
Nãúu cháút loíng chuyãøn âäüng dæìng ( 0=
∂
∂
t
ρ
) thç :
()
(
)
()
()
0
0
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
vdiv
z
v
y
v
x
vz
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
(9.11)
Nãúu cháút loíng khäng neïn âæåüc (ρ = const) vaì chuyãøn âäüng äøn âënh :
0
0
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
vdiv
z
v
y
v
x
vz
y
x
(9.12)
Phæång trçng liãn tuûc viãút trong hãû toaû âäü truû (r, ,z) :
()()
(
)
0
... =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
r
v
r
v
r
v
t
rrr
ρ
ρ
ρ
ρ
(9.13)
trong âoï :
dt
r
d
v
dt
dr
v
dt
dz
vrz .
;;
ε
ε
===
Phæång trçnh liãn tuûc cho doìng nguyãn täú chuyãøn âäüng khäng dæìng chát loíng neïn âæåüc :
()()
0
... =
∂
∂
+
∂
∂
l
Sv
t
S
ρ
ρ
(9.14)
- Nãúu chuyãøn âäüng dæìng :
()
constSvhay
l
Sv ==
∂
∂..0
..
ρ
ρ
(9.15)
- Nãúu chuyãøn âäüng dæìng vaì chát loíng khäng neïn âæåüc
Thuyí khê kyî thuáût æïng duûng Huyình Vàn Hoaìng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
()
constSvhay
l
Sv ==
∂
∂.0
..
ρ
(9.16)
Nãúu cháút loíng laì cháút loíng thæûc thç váûn täúc trong doìng mäüt chiãöu hæîu haûn seî laì váûn täúc
trung bçnh trãn tiãút diãûn æåït.
9.3 - Phæång trçnh Åle thuyí âäüng
Trong cháút loíng lyï tæåíng chuyãøn âäüng chuïng ta trêch mäüt phán täú loíng coï daûng khäúi häüp
våïi caïc caûnh laì dx , dy , dz (hçnh 9 - 2).Caïc læûc taïc duûng lãn phán täú loíng chuyãøn âäüng gäöm coï læûc
aïp, læûc khäúi vaì læûc quaïn tênh.
Ra
p
dz dx
x
p
p
∂
+
A
dx dy
Hçnh 9  2
AÏp suáút taïc duûng lãn caïc màt khäúi häüp taûi âiãøm A laì : px = py = pz = p ; åí caïc màût âäúi diãûn aïp suáút
thay âäøi mäüt âaûi læåüng bàòng :
dz
z
p
pdy
y
p
pdx
x
p
p∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+;;
Thaình pháön læûc aïp theo caïc truûc toaû âäü laì :
Thuyí khê kyî thuáût æïng duûng Huyình Vàn Hoaìng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dydxdz
z
p
pdydxpdF
dxdzdy
y
p
pdxdzpdF
dzdydx
x
p
pdzdypdF
pz
py
px
...
...
...
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=
Caïc thaình pháön læûc khäúi cuía gia täúc khäúi R laì :
dzdydxRdFdzdydxRdFdzdydxRdF zRzyRyxRx ....;....;....
ρ
ρ
ρ
=
=
=
Læûc quaïn tênh :
dzdydxadFdzdydxadFdzdydxadF zRayayxax ....;....;....
ρ
ρ
ρ
=
=
=
Phán täú loíng cán bàòng theo nguyãn lyï Âalàmbe . Phæång trçnh cán bàòng phán täú loíng viãút theo
caïc truûc toaû âäü laì:
0...........
0...........
0...........
=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
=−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
dzdydxadzdydxRdydxdz
z
p
pdydxp
dzdydxadzdydxRdxdzdy
y
p
pdxdzp
dzdydxadzdydxRdzdydx
x
p
pdzdyp
zz
yy
xx
ρρ
ρρ
ρρ
hay :
zz
yy
xx
aR
x
p
aR
y
p
aR
x
p
=+
∂
∂
−
=+
∂
∂
−
=+
∂
∂
−
.
1
.
1
..
1
ρ
ρ
ρ
Caïc gia täúc ax , ay , az âæåüc tênh nhæ sau :
Thuyí khê kyî thuáût æïng duûng Huyình Vàn Hoaìng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dt
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
dt
dv
a
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dt
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
dt
dv
a
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dt
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
dt
dv
a
z
z
z
y
z
x
zzzzzz
z
y
z
y
y
y
x
yyyyyy
y
x
z
x
y
x
x
xxxxxx
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
+
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
Cuäúi cuìng chuïng ta coï phæång trçnh vi phán chuyãøn âäüng cuía cháút loíng lyï tæåíng do Åle chæïng
minh nàm 1775:
z
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
y
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
x
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
z
z
z
z
y
z
x
z
y
y
z
y
y
y
x
y
x
x
z
x
y
x
x
x
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
1
1
1
(9.16)
hay viãút dæåïi daûng veïctå:
grappRvgradv
t
v
ρ
1
−=+
∂
∂ (9.17)
Nãúu chuyãøn âäüng dæìng thç ta coï phæång trçnh :
grappRvgradv
t
v
ρ
1
−=+
∂
∂ (9.18)
Nãúu cháút loíng chuyãøn âäüng âãöu thç chuïng ta coï phæång trçnh Åle thuíy ténh. Trong træåìng
håüp naìy aïp suáút cuîng phán bäú theo theo qui luáût thuyí ténh . Phæång trçnh (9.16) coï thãø aïp
duûng cho baìi toaïn chuyãøn âäüng tæång âäúi. Chè cáön læu yï ràòng gia täúc khäúi luïc naìy gäöm coï gia täúc
khäúi coï thãú , gia täúc quaïn tênh cuía chuyãøn âäüng theo, gia täúc Cäriälêt . (9.18) seî laì :
grappaaRvgradv corw
ρ
1
−++= (9.19)
Phæång trçnh Åle thuíy âäüng viãút trong hãû toaû âäü truû :