Giáo trình thuỷ khí _ Lớp biên

Chia sẻ: Hoàng Văn Nhật | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

135
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vấn đề quan trọng trong cơ học chất lỏng ứng dụng là tính lực cản của vật chuyển động trong chất lỏng (hoặc vật đứng yên còn chất lỏng chuyển động bao quanh). Ví dụ: Khảo sát tàu thuỷ chuyển động trên mặt nước, máy bay chuyển động trong chất lỏng với vận tốc không đổi. Khi đó công suất động cơ dùng để khắc phục lực cản.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình thuỷ khí _ Lớp biên

Giáo trình thuỷ khí Lớp biên
lớp biên Chương Đặt vấn đề Vấn đề quan trọng trong cơ học chất lỏng ứng dụng là tính lực cản của vật chuyển động trong chất lỏng (hoặc vật đứng yên còn chất lỏng chuyển động bao quanh). Ví dụ: Khảo sát tàu thuỷ chuyển động trên mặt nước, máy bay chuyển động trong chất lỏng với vận tốc không đổi. Khi đó công suất động cơ dùng để khắc phục lực cản. muốn biết lực cản phải biết phân bố lực ma sát (ứng suất tiếp) trên bề mặt của vật tiếp xúc với chất lỏng, do đó phải nghiên cứu lớp chất lỏng sát vật: lớp biên. Trong lớp chất lỏng này tính nhớt đóng vai trò rất quan trọng, ở sát bề mặt vật vận tốc của chất lỏng bằng 0 và vận tốc này sẽ tăng rất nhanh để đạt giá trị bằng vận tốc ở vùng ngoài lớp biên, vì vậy trong vùng lớp biên, gradient vận tốc có giá trị rất lớn. 1. Khái niệm về lớp biên. các chiều dày đặc trưng của lớp biên I. Lớp biên y x Khảo sát 1 bản phẳng đứng yên, trên bản phẳng có dòng chất lỏng chuyển động với vận tốc u. Trên bề mặt bản
phẳng do tính bám của chất lỏng nên vận tốc lớp chất lỏng trên bề mặt là u=0, các lớp chất lỏng tiếp đó có vận tốc tăng dần cho đến lúc vận tốc đạt giá trị u của dòng, nghĩa là có sự chuyển hoá từ u=0 u= u. Định nghĩa: Lớp chất lỏng từ bề mặt vật có vận tốc u=0 cho đến vị trí có vận tốc bằng 99% u gọi là lớp biên. Gọi  là khoảng cách từ từ bề mặt vật đến vị trí có vận tốc bằng 99% u: chiều dày lớp biên, gia trị const trong lớp biên: =(x) Nhận xét: Trong chiều dày lớp biên, sự thay đổi vận tốc diễn  du du  ra rất nhanh: lớn do đó ứng suất tiếp là dy dy rất lớn: ta khảo sát với giả thuyết chất lỏng là thực. du 0  =0, ảnh hưởng của tính nhớt Ngoài lớp biên  dy không đáng kể, ta có thể coi chất lỏng là lý tưởng. II. Các chiều dày đặc trưng của lớp biên: Khái niệm về chiều dày lớp biên không có ý nghĩa định lượng chính xác, khi y tăng vận tốc của lớp biên tiến dần đến giá trị của dòng ngoài u. Đại lượng  phụ thuộc vào việc chọn ở đâu điểm quy ước rõ biên giới lớp biên. Do đó người ta đưa ra những chiều dày đặc trưng khác của lớp biên. 1) Chiều dày bị ép: * y u
A' thực * lý AB  Xét ảnh hưởng động học của tính nhớt lên vị trí đường dòng. Vì đường dòng là đường lưu lượng bằng nhau nên đường dòng AB trong chất lỏng lý tưởng phải tương ứng với đường dòng A’B’ trong chất lỏng thực nhưng ở xa bề mặt vật hơn. Gọi * là khoảng cách dịch chuyển của đường dòng do ảnh hưởng của tính nhớt, ta tính lưu lượng Qt của chất lỏng thực qua mặt cắt giữa bề mặt vật và đường dòng cách thành rắn một khoảng y (xét trên bề rộng vật bằng 1 đơn vị):  Q t   u  dy 0 Đường dòng tương ứng của chất lỏng lý tưởng sẽ gần bề mặt vật hơn 1 đoạn *, tính từ điều kiện cân bằng lưu lượng:    Q l    u    *  Q t   u  dy 0    u  dy  u  dy     u * 0 0   1  dy     dy   u  u  u  0   0 Đối với chất lỏng không nén thì ==const    u *    1  dy (1) u  0   u y Đặt     y      dy    d  u
  1   u dy   1  dy   1  d *   1  Vậy u  0   0 0 1    1  d * (1') 0 * là chiều dày bị ép, đặc trưng cho sự lệch dòng do có lớp biên, ngoài ra * còn đặc trưng cho sự giảm lưu lượng của dòng chảy qua mặt cắt với thành rắn của vật. Sự giảm lưu lượng đó do lớp biên ép chất lỏng làm chất lỏng chuyển động trong lớp biên có vận tốc nhỏ hơn vận tốc u của dòng ngoài. Với lớp biên trên tấm phẳng, chất lỏng không nén: * = 0,375. 2) Chiều dày mất xung lực ** Xét ảnh hưởng động lực của tính nhớt lên dòng chảy bao quanh vật. Xét động lượng tiêu hao trong lớp biên có bề rộng bằng 1 đơn vị trong 1 đơn vị thời gian    dK   dQu   u    u  dyu   u    u u   u   dy 0 0 0 Gọi **: chiều dày mất xung lực, là đại lượng thoả mãn biểu thức:    u    u    u u   u   dy  dK **    0
Khi =const   u u  u dy    1  u u2  u  u dy   1  d ** 0  dy   1      2 u  2 u u u  u 0  0    0 1 Vậy     1  d ** (2) 0 Với lớp biên trên tấm phẳng, chất lỏng không nén: ** = 0,146. ** là chiều dày mất xung lực, trong ** động lượng của chất lỏng lý tưởng (vận tốc u ) bằng động lượng tiêu hao trong lớp biên . Định nghĩa một cách khác, ** là chiều dày lớp chất lỏng chuyển động ở ngoài lớp biên mà động lượng của nó bằng xung lực của lực ma sát nhớt trong lớp biên. 3) Chiều dày tổn thất năng lượng *** Xét năng lượng tiêu hao (tổn thất động năng) trong lớp biên có bề rộng bằng 1 đơn vị trong 1 đơn vị thời gian    u2 2  dE 1 1 1     2 2 2 2 dQ u   u   u  dy u   u   uu  1  2   dy  dt  2 u  20 20    0 Gọi ***: chiều dày tổn thất năng lượng, là đại lượng thoả mãn biểu thức:   u2  1 1      u    u      u  u 2 1  2   dy *** 2   2 20  u   u  u2  *** 1  2   dy   Khi =const u  u  0  
1   ***     1   2 d  Vậy (3) 0 *** là chiều dày lớp chất lỏng chuyển động với vận tốc u mà động năng của nó bằng động năng bị tổn thất trong lớp biên. Vậy với chất lỏng không nén Chất lỏng bị nén 1    u    1  d * *    1  dy  u  0   0 1    u u     1  d ** **   1  dy u  u   0  0 1   u2  u    1   d *** 2 ***  1  2 dy   u  u   0  0 2. Hệ phương trình vi phân lớp biên. Hệ pt Prandtl (chuyển động phẳng, dừng, chất lỏng không nén) Xuất phát từ hệ pt Navier Stokes trong bài toán phẳng: Vận tốc vx=u vy=v   2 u  2 u  u 1 p u u   2  2   Rx   t  u x  v y  x  x y     2 v  2 v  v 1 p v v   2  2   Ry   t  u x  v y  x  y y   u v div v  0   0 x y Nhận xét: Do lớp biên rất mỏng nên: v
Biến thiên vận tốc u theo y rất lớn so với theo x:  u u  y x Lực nhớt trong lớp biên rất lớn nên bỏ qua lực khối  Hệ phương trình còn lại:  2u u u u 1 p u v   2 t x y  x y p 0 y u v  0 x y Nhận xét: áp suất p trong lớp biên chỉ phụ thuộc theo phương  p x vì 0 y Prandtl giả thiết chuyển động trong lớp biên là  u dừng nên 0 t Xét cho lớp chất lỏng ngay ngoài lớp biên:  u  y=  u = u, khi đó  0 vì ngoài lớp biên u không y thay đổi theo y nữa. Phương trình viết theo phương x sẽ trở thành: u  1 p  u x  x Hệ phương trình lớp biên trở thành:  2u u u u  u    2 v u x y x y (Hệ pt Prandtl 1904) u v  0 x y Với các điều kiện biên y=0 u=v=0 y= u=u(x)
Giải hệ pt Prandtl ta tìm được u(x,y) và v(x,y) trong toàn lớp biên, do đó có thể tính được ứng suất tiếp nhớt trên bề mặt vật và tìm ra lực cản. Người ta áp dụng rộng rãi phương pháp gần đúng để giải bài toán lớp biên dựa trên việc đánh giá sự biến thiên động lượng trong lớp biên: Phương pháp hệ thức tích phân Cacman
3. Giải hệ pt Prandtl - Phương pháp hệ thức tích phân Cacman Ta thấy từ chiều dày bị ép *: tất cả khôí lượng chất lỏng chảy trong lớp biên chính bằng khối lượng nằm giữa đường AB và bản phẳng CD với vận tốc bằng 0 (khối lượng bị ép) và khối lượng chảy trên AB đến y p+dp b p  a  * xc d dx giới hạn lớp biên với vận tốc u(x) (sự thay đổi vận tốc theo phương x bé nhưng vẫn có) Lực tác dụng vào lớp bị ép bao gồm: Lực ma sát do thành bản phẳng (tường CD) tác dụng  lên khối lượng bị ép áp lực theo phương dòng chảy  Phương trình biến thiên động lượng áp dụng cho đoạn dx trong lớp biên (coi khối chất lỏng có bề rộng là 1 đơn vị, do dx rất bé nên chiều dày lớp bị ép * trên đoạn dx là không đổi): dK   w  dx  *  dp (12)
Với : w.dx: xung lực của lực ma sát tác dụng lên khối lượng bị ép *.dp: xung lực của lực áp suất tác dụng lên khối lượng bị ép Mặt khác, động lượng tiêu hao trong lớp biên tính trong 1 đơn vị thời gian dK tính theo chiều dày tổn thất xung lực:  dK   u u   u   dy    u  ** 2 (13) 0    u u ** 1  dy   Với: u  0  u     Vì chuyển động ngoài lớp biên là chuyển động có thế dp nên có thể biểu diễn theo pt Bernoulli đối với dx chất lỏng không nén, chất lỏng lý tưởng (không có hw): u2 u2   const  p  C    p   2 2 dp du      u  u '     u  Đạo hàm theo x: (14) dx dx dK dp du  w  *   w  * u    (12) dx dx dx (13)    dK d  u 2 ** d** d du du   u 2  u  **    ** 2u     w  * u   2    dx dx dx dx dx dx d** ** d 2** du  * du   2  w2    Chia cho  u  : dx  dx u  dx u  dx  u  ** d  d** du     2**  *  w 2   Hay   dx  u  dx u  dx          (2) (1) ( 3)
(1) biểu diễn ứng suất mất mát đối với chuyển động của chất lỏng nén được ( thay đổi theo x), đối với chất lỏng không nén được thì (1) = 0 Vậy pt đối với chất lỏng không nén: d **  1 du    2 **   *  w 2  (15) dx u  dx u  Khi u =const, số hạng thứ hai trong vế trái của pt (15) bằng 0 (15) gọi là hệ thức tích phân Cacman vì chứa các đại lượng *, ** Từ hệ thức (15), nếu biết được profil vận tốc trong lớp biên ta biết được *, ** và giải pt (15) ta được w Ví dụ : Profil Ponhawden: du  u  A 0  A 2   2  A 3  3 ;  0 u dx Lớp biên chảy tầng trên tấm phẳng du  dp Điều kiện: áp suất p, u không đổi: 0 ; 0 dx dx d **   w2 Pt (15) trở thành: (16) dx  u  u  A 0  A1    A 2   2  ....  A n   n Cho dạng profil vận tốc:   u Các hệ số A0, A1, A2 được xác định từ các điều kiện biên. Giả sử có 3 điều kiện biên: =0 =0 (y=0); (u=0) =1 (y=); =1 (u=u)  u   và   y  0  0    
 profil vận tốc có dạng: u  A 0  A1    A 2   2  u Từ các điều kiện biên ta xác định được: A0 = 0 A1 = 2 A2 = -1 u  2   2  Dạng profil vận tốc sẽ là: u 1 1 *    1  2  2 d   Từ đó tính được: 3 0 1 2     2  2 1  2  2 d  **  15 0 Xác định biểu thức w trên bản phẳng: y y2  y y2  u  2  2  u  u2  2      u du  2 2y  du  2 2y   u    2   w    u    2        dy dy u nên  w  2 Tại bản phẳng : y=0 ; thay giá trị  ** và w vào pt (15): u 2 ** w d 2 d     2 2 u  u  dx 15 dx 15u  x    d  dx    30 2 u  u x 2  5,48   30  30 x  Từ đó ta có u ux x Re x Như vậy  tỷ lệ với x ; biết  sẽ tính được w và tính được hệ số lực cản.
w 4 d 4 d x Cf    5,48 1 15 dx 15 dx u   u2  2 0,722 Hệ số lực cản cục bộ: C f  Re x Lực ma sát trên toàn tấm phẳng: l u u l l X  2b 0 w dx  2b 02 dx  4b   dx  x 0 30 u 4 u 2 2bl 4 u 2 S l 4b 4b u 3  x  0, 5 dx  2 lu 3    X    30 30 30 Re l 30 Re l 0 Với S=2 b l: diện tích hai phía của tấm phẳng hình chữ nhật dài l rộng b X 1,444 Hệ số lực cản toàn bộ: C x   12 Re l u  S 2
Lực cản Lực cản do ma sát trong lớp biên: F=w. w 1 2 F    Cf    u   w    Cf  Ta lại có: 1 2 2   u  2  : diện tich bề mặt tiếp xúc với chất Trong đó: lỏng Cf: hệ số lực cản cục bộ, phụ thuộc hình dạng vật (thiết kế, chế tạo) Ví dụ: Ô tô tải: Cf = 0,8 - 0,9 Ô tô con: Cf = 0,48 Lực cản toàn phần tác dụng lên vật chuyển động trong chất lỏng: Dòng chất lỏng chuyển động với vận tốc u bao quanh vật rắn cố định sẽ gây lực tiếp tuyến và lực pháp tuyến tác dụng lên vật. Tổng hợp các lực thành phần dPn và dPt sẽ cho hợp lực P  Pn  P và momen M. Pn u: lực nâng (đã khảo sát trong chương dòng thế) Pt cùng phương nhưng ngược chiều với u: lực cản. 2 u  Ta có Cx : hệ số lực cản P  C x  S 2 u 2  Cy: hệ số lực nâng Pn  C y  S 2 S gọi là tiết diện cản chính: diện tích hình chiếu của vật lên mặt phẳng u P  Pms  Pap  C x  C x ms  C x ap Ptms: do ma sát trong lớp biên
Ptap: do phân bố áp suất trên bề mặt vật cản Với vận tốc dòng chảy nhỏ, ảnh hưởng chính của hệ số lực cản là hình dạng vật cản, góc tới và số Re. Vật có dạng khí động xấu nghiã là dòng bao quanh nó có điểm rời , không bao kín (thuyền thúng, hình trụ) thì Ptap>Ptms Với cánh máy bay, cánh tuabin: P = Pms(1+K) K=0,1  0,25 Thường hệ số lực cản được cho theo bảng Từ lực cản có thể tính ra công suất cản. 3. Giải gần đúng. Phương pháp giải của Falkner – Skan 1. Lớp biên trên bản phẳng không có gradient áp suất: phương pháp giai của Blasius y U x Với chất lỏng ở ngoài lớp biên (ký hiệu e), ta có: u(x,y) = ue(x) = u v(x,y) = 0 p(x,y) = pe(x) = p (3.1) Phương trình Prandtl viết dưới dạng hàm dòng:
3            2 (3.2)  y x x y  y y      x ,0    x ,0   0 (3.3) y  x, y   u e x y y   (3.4) (x,y) là biến duy nhất trong hệ pt Bằng phép phân tích thứ nguyên có thể đưa ra mối quan hệ về chiều dày lớp biên với chiều dài bản phẳng L và số ReL: 1  L  2 L      0, 5 u  Re L   1   x 2 x Như vậy chiều dày lớp biên ở 1 toạ độ x:  x  0, 5   u   Re x  