S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ K L KỞ Ụ Ạ Ắ Ắ
TR NG THPT NGUY N HUƯỜ Ễ Ệ Đ THI TH Đ I H C Ề Ử Ạ Ọ
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Th i gian làm bài: 180 phútờ.
Ph n b t bu cầ ắ ộ (7 đi m)ể
Câu 1. (2đi m)ể Cho hàm s ố
2 1
1
x
yx
−
=−
, (1) và đi m ể
(0;3)A
.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1)ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm các giá tr c a ị ủ
m
đ đ ng th ng ể ườ ẳ
:y x m∆ = − +
c t đ th (C) t i hai đi m B, C saoắ ồ ị ạ ể
cho
tam giác ABC có di n tích b ng ệ ằ
5
2
.
Câu 2. (2 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
1 1
2.cos 2 sin cos
xx x
= +
2. Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
2
12
1
xx
x x x
−
− − −
Câu 3. (1 đi m)ể Tính
Câu 4. (1 đi m)ể Cho hình h p ộ
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy là hình thoi c nh ạ
a
,
AC a=
,
2
'3
a
AA =
.
Hình chi u c a ế ủ
'A
trên đáy
ABCD
trùng v i tr ng tâm c a tam giác ớ ọ ủ
ABC
. L y đi m ấ ể
I
trên đo n ạ
'B D
và đi m ể
J
trên đo n ạ
AC
sao cho
IJ
//
'BC
. Tính theo
a
th tích c a kh iể ủ ố
h p ộ
. ' ' ' 'ABCD A B C D
và kh i t di n ố ứ ệ
' 'IBB C
Câu 5. (1 đi m)ể Tìm các giá tr c a ị ủ
m
đ ph ng trình: ể ươ
có nghi m th c.ệ ự
Ph n t ch n.ầ ự ọ (3 đi m).ể Thí sinh ch n và ch làm m t trong hai ph n: A ho c Bọ ỉ ộ ầ ặ
A. Theo ch ng trình chu n:ươ ẩ
Câu 6. (2 đi m)ể
1. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
cho tam giác
ABC
vuông t i ạ
A
, bi t ế
B
và
C
đ i x ngố ứ
nhau qua g c t a đ . Đ ng phân giác trong c a góc ố ọ ộ ườ ủ
ﾷ
ABC
có ph ng trình làươ
2 5 0x y+ − =
. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác bi t đ ng th ng ọ ộ ỉ ủ ế ườ ẳ
AC
đi qua đi mể
(6;2)K
2. Trong không gian t a đ ọ ộ
Oxyz
cho các đi m ể
(1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1)A B C− −
và m t ph ngặ ẳ
( ) : 2 2 1 0x y z
α
+ + − =
. L p ph ng trình m t c u ậ ươ ặ ầ
( )S
có tâm n m trên m t ph ng ằ ặ ẳ
( )
α
và đi qua ba đi m ể
, ,A B C
. Tìm di n tích hình chi u c a tam giác ệ ế ủ
ABC
trên m t ph ngặ ẳ
( )
α
.
Câu 7. (1 đi m)ể Gi i ph ng trình: ả ươ
1
1 2 1
2
2 9.2 2 0
x x
x x
+ −
+ + −
− + =
B. Theo ch ng trình nâng cao:ươ
Câu 6. (2 đi m)ể
1.Trong m t ph ng t a đặ ẳ ọ ộ
Oxy
cho hai đ ng th ngườ ẳ
: 4 3 3 0x y∆ − + =
và
' : 3 4 31 0x y∆ − − =
.
L p ph ng trình đ ng tròn ậ ươ ườ
( )C
ti p xúc v i đ ng th ng ế ớ ườ ẳ
∆
t i đi m có tung đ b ng 9ạ ể ộ ằ
và
ti p xúc v i ế ớ
'.
∆
Tìm t a đ ti p đi m c a ọ ộ ế ể ủ
( )C
và
'∆
.
2. Trong không gian t a đ ọ ộ
Oxyz
cho m t ph ng ặ ẳ
( ) : 3 2 29 0x y z
α
− + − =
và hai đi mể
(4;4;6)A
, (2;9;3)B
. G i ọ
,E F
là hình chi u c a ế ủ
A
và
B
trên
( )
α
. Tính đ dài đo n ộ ạ
EF
.
Tìm ph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ
∆
n m trong m t ph ng ằ ặ ẳ
( )
α
đ ng th i ồ ờ
∆
đi qua giao đi mể
c a ủ
AB
v i ớ
( )
α
và
∆
vuông góc v i ớ
.AB
Câu 7. (1 đi m)ể Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 3
log ( ) log 2
2 2
4 2 ( )
3( ) 12
xy
xy
x y x y
= +
+ − + =
_________________H t________________ế
Câu 1a: (1,0 đ) Hàm s : ố
2 1
1
x
yx
−
=−
T p xác đ nh ậ ị
{ }
\ 1D R=
Gi i h n ti m c n ớ ạ ệ ậ
1 1
lim ; lim
x x
y y
− +
= − = +
1x
=
là ti m c n đ ngệ ậ ứ
lim 2
x
y
=
2y=�
là ti m c n ngangệ ậ
S bi n thiên: ự ế
2
1
' 0
( 1)
yx
= − <
−
hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế
( )
;1−
và
( )
1;+
B ng bi n thiên:ả ế
Đ th ồ ị
-Nh n giao đi m hai ti m c n là ậ ể ệ ậ
(1;2)I
làm tâm đ i x ngố ứ
- Đi qua các đi m ể
( )
0;1
,
3
1; 2
� �
−
� �
� �
( )
5
2;3 , 3; 2
� �
� �
� �
4
2
-2
5
O
1
I
C
A
Câu 1b: (1,0 đ)
Pthđgđ c a (C) vàủ
∆
:
2
2 1 (1 ) 1 0,( 1),(*)
1
xx m x m x m x
x
−= − + + − + − =� �
−
(*) có 2 nghi m phân bi t khi ệ ệ
1
05
m
m
<
∆ > >
,
B C
x x
là 2 nghi m c a (*)ệ ủ
2 2 2 2 2
( ) ( ) 2( ) 2( ) 8 2( 1) 8( 1)
C B C B C B C B C B
BC x x y y x x x x x x m m= − + − = − = + − = − − −
( )
3
,2
m
d A −
∆ =
( )
2
3
1 1 5
. , 2( 1) 8( 1).
2 2 2
2
ABC
m
S BC d A m m −
= ∆ = − − − =
( ) ( )
2
2 2 2
2
6 5 1 3 5
3 ( 1) 4( 1) 5 6 9 6 5 5 6 5 5 3 5
m m m
m m m m m m m m m m
− + = = +
− − − − = − + − + =� � � �
− + = − = −
Đ i chi u đi u ki n có ố ế ề ệ
3 5m=
6
4
2
-2
5
O
1
I
Câu 2a (1,0 đ) Gi i ph ng trìnhả ươ :
1 1
2.cos 2 sin cos
xx x
= +
,(1) Đi u ki n: ề ệ
2
x k
π
cos sin
(1) 2.cos 2 0
sin .cos
x x
xx x
+
− =�
2(cos sin )(cos sin )sin 2 (cos sin ) 0
2x x x x x x x− + − + =�
(cos sin ) (cos sin )sin 2 2 0x x x x x
� �
+ − − =�� �
cos sin 0
(cos sin )sin 2 2 0
x x
x x x
+ =
− − =
( )
2
2 sin 0
4
(cos sin ) 1 (cos sin ) 2 0
x
x x x x
π
� �
+ =
� �
� �
− − − − =
3
sin 0
4
(cos sin ) (cos sin ) 2 0
x
x x x x
π
� �
+ =
� �
� �
− − − + =
2
sin 0; (cos sin ) 2 . (cos sin ) 2(cos sin ) 1 0
4
x x x x x x x
π
� � � �� �
+ = − + − − − + =
� � � �� �
� �
sin 0
sin 0 44
432
sin 1
cos sin 2 4
4
xx k
x
x k
x
x x
ππ
ππ
π
ππ
� � −
+ =
� � = +
� �
+ =
� � � �
� � �
� �
� �
= +
− = −
− = − � �
� �
ĐS:
4
x k
ππ
−
= +
,
k Z
Câu 2b (1,đ) Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
2
12
1
xx
x x x
−
− − −
(2)
Đi u ki n: ề ệ
2
2
00 1 0
1 1
1 0
x x x x x
x x
x x x
− �ڳ�
� �
� �
� �
>
− − − ���
()
2
2 2
2
2
2 2 2
( 1) 1
12 2 1 2 1 3
1
1
1 0
01
1 3 0 0
3
(3 1) 8 5 1 0
x x x x
xx x x x x x x x x
x
x x x
x x
x x
x x x
x x x x x
− − + −
−−−− − −�۳� �� �
− +
− − −
ڣ�
−
− � �
� �
� �
− −
− +
Câu 3(1,0 đi m)ể
1 2
4 4 4
0 0 0
cos sin 2 sin 2 cos
1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2
M M
x x x x
M dx dx dx
x x x
π π π
+
= = +
+ + +
� � �
1 442 4 43 1 442 4 43
( )
4
4
10
0
1 cos2
1 1 1
ln 1 cos2 ln 2
2 1 cos 2 2 2
|
d x
M x
x
π
π
+
= − = − + =
+
4 4
22
0 0
cos 1 cos
1 cos2 2 1 sin
x x
M dx dx
x x
π π
= = =
+ −
� �
Đ t ặ
sinu t=
1 1
2 2 1
2
220
0 0
1 1 1 1 1 1 1
ln ln(1 2)
2 1 4 1 1 4 1 2
|
du u
M du
u u u u
+
� �
= = + = = +
� �
− − + −
� �
� �
V y ậ
1ln(2 2 2)
2
M= +