Đ THI TH Đ I H C S 181Ề Ử Ạ Ọ Ố
Câu I: (2,0 đi mể) Cho hàm s ố
2 4
1
x
yx
−
=+
.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Vi t ph ng trình đ ng th ng c t đ th (C) t i hai đi m A, B phân bi t sao choế ươ ườ ẳ ắ ồ ị ạ ể ệ
A và B đ i x ng nhau qua đ ng th ng có ph ng trình: x + 2y +3= 0.ố ứ ườ ẳ ươ
Câu II: (2,0 đi mể)
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
sin 2 1 2 os
sin cos 2.tan
xc x
x x x
+ =
+
.
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
+ − − =
+ + − − =
Câu III: (1,0 đi mể) Tính tích phân:
2cos
0
( sinx).sin 2 .
x
e x dx
π
+
Câu IV: (1,0 đi mể) Cho lăng tr ABC.A’B’C’ n i ti p trong hình tr có bán kính đáy r; gócụ ộ ế ụ
gi a BC’ và tr c c a hình tr b ng 30ữ ụ ủ ụ ằ 0; đáy ABC là tam giác cân đ nh B có ỉ
ﾷ
0
120ABC =
. G iọ
E, F, K l n l t là trung đi m c a BC, A’C và AB. Tính theo r th tích kh i chóp A’.KEF vàầ ượ ể ủ ể ố
bán kính m t c u ngo i ti p t di n FKBE.ặ ầ ạ ế ứ ệ
Câu V: (1,0 đi mể) Cho a, b, c là ba s d ng tho mãn : ố ươ ả a + b + c =
3
4
.
Ch ng minh r ng: ứ ằ
3 3 3
1 1 1 3
3 3 3a b b c c a
+ +
+ + +
Câu VI: (2,0 đi mể)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ặ ẳ ớ ệ ọ ộ đi m M (2; 1) và đ ng th ng ể ườ ẳ ∆ : x – y + 1 = 0.
Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua M c t ế ươ ườ ắ ∆ 2 đi m A, B phân bi t sao cho ở ể ệ ∆MAB vuông
t i M và có di n tích b ng 2.ạ ệ ằ
2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đ ng th ngớ ệ ọ ộ ườ ẳ d:
và m t ph ng ặ ẳ
(P) : ax + by + cz – 1 = 0
2 2
( 0)a b+
. Vi t ph ng trình m t ph ng (P) bi t (P) đi quaế ươ ặ ẳ ế
đ ng th ng d và t o v i các tr c Oy, Oz các góc b ng nhau.ườ ẳ ạ ớ ụ ằ
Câu VII: (1,0 đi mể)
Xét s ph c z th a mãn đi u ki nố ứ ỏ ề ệ :
3 1z i− =
, tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
z
.
------------------------H t----------------------ế
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêmượ ử ụ ệ ộ ả
H và tên:………………………………………………..SBD:……………………ọ
H NG D N ƯỚ Ẫ
Câu 1: 1,(1,0 đi mể) TXĐ: D = R\{-1}
Chi u bi n thiên: ề ế
2
6
' 0 x D
( 1)
yx
= > ∀
+
Hs đ ng bi n trên m i kho ng ồ ế ỗ ả
( ; 1)− −
và
( 1; )− +
, hs không có c c tr .ự ị
Gi i h n: ớ ạ
1 1
lim 2, lim , lim
xx x
y y y
− +
− −
= = + = −
=> Đ th hs có ti m c n đ ng x = -1, ti m c n ngang y = 2 ồ ị ệ ậ ứ ệ ậ
BBT
x -
-1 +
y’ + +
y
+
2
2 -
+ Đ th (C): ồ ị
Đ th c t tr c hoành t i đi m ồ ị ắ ụ ạ ể
( )
2;0
, tr c tung t i đi m (0;-4)ụ ạ ể
Đ th nh n giao đi m 2 đ ng ti m c n làm tâm đ i x ngồ ị ậ ể ườ ệ ậ ố ứ
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
O
Câu 1:2,(1,0 đi m)ể Đ ng th ngườ ẳ d c n tìm vuông góc v i ầ ớ
∆
: x + 2y +3= 0 nên có ph ng trìnhươ
y = 2x +m, D c t (C) 2 đi m A, B phân bi t ắ ở ể ệ
2 4 2
1
xx m
x
−= +�+
có 2 nghi m phân bi tệ ệ
2
2 4 0x mx m+ + + =�
có 2 nghi m phân bi t khác - 1ệ ệ
2
8 32 0 (1)m m− − >�
G i I là trung đi m AB có ọ ể
2 4
22
A B
I
I I
x x m
x
m
y x m
+ −
= =
= + =
Do AB vuông góc v i ớ
∆
nên A, B đ i x ng nhau qua đ ng th ng ố ứ ườ ẳ
∆
: x + 2y +3= 0
4I m∆ = −� � �
.V i m = - 4 th a mãn (1) v y đ ng th ng d có ph ng trình y = 2x – 4ớ ỏ ậ ườ ẳ ươ
Câu 2: 1, (1,0 đi m)ể §iÒu kiÖn:
sin 0, cos 0,sin cos 0.x x x x +
Pt ®· cho trë thµnh
0cos2
cossin
cossin2
sin2
cos =−
+
+x
xx
xx
x
x
2
cos 2cos 0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 4
2 sin
x x x x x
x x
x
π
� �
− = + − =� � � �
+� �
+)
.,
2
0cos ﾷ∈+=⇔= kkxx
π
π
+)
2
2 2 4
4
sin 2 sin( ) , Z
2
42 2 4 3
4
x m
x x m
x x m n
n
x
xxn
π
ππ
π
π
π π
π
π π
= +
= + +
= + ���
= +
= − − +
.,
3
2
4ﾷ∈+=⇔ t
t
x
ππ
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ
π
π
kx += 2
;
.,,
3
2
4ﾷ∈+= tk
t
x
ππ
Câu 2 : 2,(1,0 đi m)ể Đi u ki n: ề ệ x+y
0, x-y
0
Đ t: ặ
u x y
v x y
= +
= −
ta có h : ệ
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
� �
− = > + = +
� �
� �
+ + + +
− = − =
� �
� �
2
2 4 (1)
( ) 2 2 3 (2)
2
u v uv
u v uv uv
+ = +
+ − + − =
. Th (1) vào (2) ta có:ế
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = + + = + =� �
.
K t h p (1) ta có: ế ợ
04, 0
4
uv u v
u v
=
= =�
+ =
(vì u>v). T đó ta có: ừx =2; y =2.(Th a đ/k)ỏ
KL: V y nghi m c a h là: (ậ ệ ủ ệ x; y)=(2; 2).
Câu 3(1,0 đi m) ể
2 2 2
cos cos
0 0 0
( sinx).sin 2 . 2 .cos .sin . sinx.sin 2 .
x x
e x dx e x x dx x dx
π π π
+ = +
� � �
2cos
0
.cos .sin .
x
I e x x dx
π
=
Đ t t = cosx có I = ặ
1 1
1
0
0 0
. . . . 1
t t t
t e dt t e e dt= − =
� �
2 2 2
0
0 0
1 1 1 2
sinx.sin 2 . (cos os3 ). (sinx sin 3 )
2 2 3 3
K x dx x c x dx x
π π π
= = − = − =
� �
2cos
0
2 8
( sinx).sin 2 . 2 3 3
x
e x dx
π
+ = + =
Câu 4(1,0 đi m)ể T gi thi t suy ra ừ ả ế
ﾷ
0
' 30BC C =
, BA = BC = r,
0
' cot 30 3CC BC r= =
J
F
E
K
H
C
B
A'
C'
B'
A
3
0
'. EF . EF . EC '.
1 1 1 1
. .AA '. . .sin120
8 3 8 2 32
A K C K F K A ABC
r
V V V V BA BC= = = = =
G i H là trung đi m c a AC ta có FH // AA’ suy ra FHọ ể ủ
⊥
(ABC) và
2
r
HK HB HE= = =
G i J là trung đi m KF, trong mp (FKH) đ ng trung tr c c a FK c t FH t i I, I chính làọ ể ườ ự ủ ắ ạ
tâm m t c u ặ ầ ngo i ti p t di n FKBEạ ế ứ ệ ,
2 2 2 2
FK FH KH r= + =
Bán kính m t c u ngo i ti p t di n FKBEặ ầ ạ ế ứ ệ
2 2
. 3
2 3
3
FJ FK FK r r
R FI FH FH r
= = = = =
Câu 5(1,0 đi m)ể Áp d ng B t đ ng th c Trung bình c ng – trung bình nhân cho 2 b ba s d ngụ ấ ẳ ứ ộ ộ ố ươ
ta có
zyx
9
z
1
y
1
x
1
9
xyz
3
xyz3
z
1
y
1
x
1
)zyx( 3
3++
≥++⇒=≥
++++
(*)
áp d ng (*) ta có ụ
333333 a3cc3bb3a
9
a3c
1
c3b
1
b3a
1
P+++++
≥
+
+
+
+
+
=
áp d ng B t đ ng th c Trung bình c ng – trung bình nhân cho 3 b ba s d ng ta có ụ ấ ẳ ứ ộ ộ ố ươ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + +
+ = + + + = + +
+ + +
+ = + +
3 3
3
a 3b 1 1 1 b 3c 1 1 1
a 3b 1.1 a 3b 2 ; b 3c 1.1 b 3c 2
3 3 3 3
c 3a 1 1 1
c 3a 1.1 c 3a 2
3 3
Suy ra
( )
3 3 3
1
a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6
3
+ + + + + + + +
� �
� �
1 3
4. 6 3
3 4
� �
+ =
� �
� �
Do đó
3P≥
; D u = x y ra ấ ả
3
a b c 1
a b c
44
a 3b b 3c c 3a 1
+ + =
= = =� �
+ = + = + =
I
M
A
B
H
Câu 6: 1, (1,0 đi m)ể Đ ng tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có ph ng trình ườ ươ
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
∆MAB vuông t i M nên AB là đ ng kính suy ra ạ ườ
∆
qua I do đó: a - b + 1 = 0 (1)
H MH ạ
⊥
AB có
( , )
2 1 1 2
2
M
MH d
∆
− +
= = =
1 1
. 2 .2 . 2 2
2 2
MAB
S MH AB R R
∆
= = =� �
Vì đ ng tròn qua M nên ườ
2 2
(2 ) (1 ) 2 (2)a b− + − =
Ta có h ệ
2 2
1 0 (1)
(2 ) (1 ) 2 (2)
a b
a b
− + =
− + − =
Gi i h đ c a = 1; b = 2. V y (C) có ph ng trình ả ệ ượ ậ ươ
2 2
( 1) ( 2) 2x y− + − =
Câu 6(1,0 đi m)ể 2, Đ ng th ngườ ẳ d qua M (0, 2, 1) có VTCP
(1, 1, 1)u− −
r
. (P) có VTPT
( , , )n a b c
r
( ) . 0 0d P n v a b c a b c= − − = = +� � � �
r r
ﾷ
ﾷ
0
( ,( )) ( ,( )) os( , ) os( , ) 0
b c
Oy P Oz P c j n c k n b c b c
=
= = =� � � = −
r r r r
N u b = c = 1 thì a = 2 suy ra ế
1
( )P
: 2x + y + z - 1 = 0 (lo i vì Mạ
1
( )P
N u b = - c = - 1 thì a = 0 suy ra ế
2
( )P
: y - z - 1 = 0 (th a mãn)ỏ
V y (P) có ph ng trình y - z - 1 = 0ậ ươ
Câu 7(1,0 đi m)ể Đ t z = x + iy ta có ặ
2 2
3 1 ( 3) 1z i x y− = + − =�
T ừ
2 2
( 3) 1x y+ − =
ta có
2
( 3) 1 2 4y y− � �
. Do đó
2 2 2
0 2 2z x y= + + =
V y giá tr nh nh t c a ậ ị ỏ ấ ủ
z
b ng 2 đ t khi z = 2iằ ạ