Đ THI TH Đ I H C S 182Ề Ử Ạ Ọ Ố
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7.0 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I. (2.0 đi m)ể
Cho hàm s : ố
3 2
y x 3x mx 1= − + +
(1)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
m 0
=
.
2. Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u. G i ể ố ự ạ ự ể ọ
( )∆
là đ ng th ng đi qua hai đi m c c đ i, c cườ ẳ ể ự ạ ự
ti u.Tìm giá tr l n nh t kho ng cách t đi m ể ị ớ ấ ả ừ ể
1 11
I ;
2 4
� �
� �
� �
đ n đ ng th ng ế ườ ẳ
( )∆
.
Câu II. (2.0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình : ả ươ
1 2(sinx cos x)
tanx cot 2x cot x 1
−
=
+ −
.
2. Gi i b t ph ng trình : ả ấ ươ
2 2
x 91 x 2 x+ > − +
Câu III. (1.0 đi m) ể Tính tích phân:
e
1
(x 2) ln x x dx
x(1 ln x)
− +
+
Câu IV. (1.0 đi m)ể
Cho kh i chóp ố
có đáy là hình thang cân, đáy l n AB b ng b n l n đáy nh CD, chi uớ ằ ố ầ ỏ ề
cao c a đáy b ng a. B n đ ng cao c a b n m t bên ng v i đ nh S có đ dài b ng nhau và b ngủ ằ ố ườ ủ ố ặ ứ ớ ỉ ộ ằ ằ
b. Tính th tích c a kh i chóp theo a, b.ể ủ ố
Câu V. (1.0 đi m) ể
Cho các s th c không âm ố ự
a, b, c
th a mãn ỏ
a b c 1+ + =
.
Ch ng minh r ng: ứ ằ
( ) ( ) ( )
3
a b b c c a 18
− − −
.
PH N RIÊNG ( 3.0 đi m) (Ầ ể Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n A ho c B ).ỉ ượ ộ ầ ặ
A.Theo ch ng trình chu n: ươ ẩ
Câu VI.a (2 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho hình vuông ABCD bi t M(2;1), N(4;-2); P(2;0), Q(1;2)ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ế
l n l t thu c các c nh AB, BC, CD, AD. ầ ượ ộ ạ Hãy l p ph ng trình các c nh c a hình vuông. ậ ươ ạ ủ
2. Trong h tr c t a đ Oxyz cho đi m M(13;-1;0), N(12;0;4).L p ph ng trình m t ph ng điệ ụ ọ ộ ể ậ ươ ặ ẳ
qua hai đi m M, N và ti p xúc v i m t c u ( S) : ể ế ớ ặ ầ
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 67 0+ + − − − − =
.
CâuVII.a (1đi mể)
Gi i ph ng trình: ả ươ
( ) ( )
3 3
log x log x
2x
10 1 10 1 3
+ − − =
.
B. Theo ch ng trình nâng cao:ươ
Câu VI.b (2 đi m)ể
1.Trong m t ph ng v i h to đ ặ ẳ ớ ệ ạ ộ
Oxy
, cho đi m ể
( )
I 1; 1−
là tâm c a m t hình vuông, m t trongủ ộ ộ
các c nh c a nó có ph ng trình ạ ủ ươ
x 2y 12 0− + =
.Vi t ph ng trình các c nh còn l i c a hình vuông. ế ươ ạ ạ ủ
2. Trong h tr c t a đ Oxyz cho đi m M(0;-1;2), N(-1;1;3).Vi t ph ng trình m t ph ng (R) điệ ụ ọ ộ ể ế ươ ặ ẳ
qua M, N và t o v i m t ph ng (P): ạ ớ ặ ẳ
2x y 2z 2 0− − − =
m t góc nh nh t.ộ ỏ ấ
CâuVII.b (1 đi m)ể
Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
2
1 x 2 y
1 x 2 y
2log ( xy 2x y 2) log (x 2x 1) 6
log (y 5) log (x 4) = 1
− +
− +
− − + + + − + =
+ − +
.................H T..............Ế
1
H ng d nướ ẫ
Câu 1: 1, Cho hàm s : ố
3 2
y x 3x 1= − +
(1)
Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
3 2
y x 3x 1= − +
* T p xác đ nh: ậ ị
.R
* S bi n thiên:ự ế
+ Gi i h n: ớ ạ
( )
3 2
x x x
lim y lim x 3x 1 , lim y
− − +
= − + = − = +
.
+ B ng bi n thiênả ế :
2
x 0
y 3x 6x 3x(x 2), y 0 x 2
=
= − = − = =
B ng bi n thiên:ả ế
x
∞−
0 2
∞+
y′
+
0
-
0
+
y
1
∞+
∞−
-3
+ Hàm s đ ng bi n trên kho ng ố ồ ế ả
( )
;0−
và
( )
2;+
.+ Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ố ị ế ả
( )
0;2
.
+ Hàm s đ t c c đ i t i ố ạ ự ạ ạ
CÐ
x 0, y y(0) 1= = =
, đ t c c ti u t i ạ ự ể ạ
CT
x 2, y y(2) 3= = = −
* Đ thồ ị:Đ th c t tr c tung t i đi m (0;1), c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t.ồ ị ắ ụ ạ ể ắ ụ ạ ể ệ
Ta có
y 6x 6; y 0 x 1
= − = =�
,
y′′
đ i d u khi x qua x = 1.ổ ấ
Đ th nh n đi m u n I (1;-1) làm tâm đ i x ng.ồ ị ậ ể ố ố ứ
f(x)=x^3-3x^2+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Câu 1: 2, Tìm m đ hàm s có c c đ i,c c ti u..........................................ể ố ự ạ ự ể
Ta có
2
y 3x 6x m
= − +
.
Hàm s có c c đ i, c c ti u khi ph ng trình ố ự ạ ự ể ươ
y 0
=
có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
T c là c n có: ứ ầ
9 3m 0 m 3.
∆ = − > <�
Chia đa th c y cho ứ
y
, ta đ c: ượ
x 1 2m m
y y . 2 x 1
3 3 3 3
� � � �
= − + − + +
� � � �
� � � �
.
Gi s hàm s có c c đ i, c c ti u t i các đi m ả ử ố ự ạ ự ể ạ ể
( ) ( )
1 1 2 2
x ; y , x ; y
.
Vì
1 2
y (x ) 0; y (x ) 0
= =
nên ph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ
( )
∆
qua hai đi m c c đ i, c c ti u là:ể ự ạ ự ể
2m m
y 2 x 1
3 3
� �
= − + +
� �
� �
hay
( )
m
y 2x 1 2x 1
3
= + − +
2
Ta th y đ ng th ng ấ ườ ẳ
( )
∆
luôn đi qua đi m c đ nh ể ố ị
1
A ;2
2
� �
−
� �
� �
. H s góc c a đ ng th ng IA làệ ố ủ ườ ẳ
3
k4
=
. K ẻ
( )
IH ⊥ ∆
ta th y ấ
( )
5
d I; IH IA 4
∆ = =
.
Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả
( )
2m 1 4
IA 2 m 1
3 k 3
⊥ ∆ − = − = − =� �
(TM). V y ậ
( )
5
max d I; 4
∆ =
khi
m 1=
.
Câu 2: 1, Gi i ph ng trình:ả ươ
1 2(sinx cos x)
t anx cot 2x cot x 1
−
=
+ −
.Đi u ki n : sinx.cosx ề ệ
sinx.cos x 0
cot x 1
Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ph ng trình: ươ ươ ươ ớ ươ
( )
2 sinx cosx
1
sinx cos2x cos x s inx
cos x sin2x sinx
−
=−
+
Gi i đ c ả ượ
2 3 3
cos x x k2 , x k2 (k Z)
2 4 4
π π
= − = − + π = + π� �
Đ i chi u đi u ki n ta đ c nghi m c a ph ng trình là: ố ế ề ệ ượ ệ ủ ươ
3
x k2 , (k Z)
4
π
= + π
Câu 2: 2, Gi i b t ph ng trình : ả ấ ươ
2 2
x 91 x 2 x+ > − +
Đi u ki n ề ệ
x 2
Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ
()
( )
( )
2 2
x 91 10 x 2 1 x 9 0+ − − − − − − >
2
2
x 9 x 3 (x 3)(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
− −
− − + − >�− +
+ +
( )
x 3−�
2
x 3 1 (x 3) 0
x 2 1
x 91 10
� �
+− − + >
� �
− +
+ +
� �
(*)
Ta có
2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
+− + − <
− +
+ +
v i m i x ớ ọ
2
. Do đó (*)
x < 3.
T đó suy ra nghi m c a b t ph ng trình là : 3> x ừ ệ ủ ấ ươ
2
Câu 3: Tính tích phân:
e
1
(x 2) ln x x dx
x(1 ln x)
− +
+
=
∫ ∫
=
+
−+
e e
dxdx
xx
xxx
1 1
)ln1(
ln2)ln1(
-2
dx
xx
x
e
∫+
1)ln1(
ln
Ta có :
∫−=
e
edx
1
1
Tính J =
dx
xx
x
e
∫+
1)ln1(
ln
Đ t t = 1 + lnx, Ta có: J = ặ
dt
t
t
∫−
2
1
1
=
dt
t)
1
1(
2
1
∫−
= (t - ln
t
) = 1 - ln2
V y ậI = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2
Câu 4: Tính th tích c a kh i chóp theo a, bể ủ ố
a
b
H
N
C
M
A
B
D
S
E
G i H là chân đ ng cao c a chóp thì H ph i cách đ u các c nh c a đáy và trong tr ng h p này taọ ườ ủ ả ề ạ ủ ườ ợ
ch ng minh đ c H n m trong đáy.ứ ượ ằ
3