Đề án Thạc sĩ: Bất đẳng thức kiểu Hermite - Hadamard - Fejér cho hàm có trị tuyệt đối của đạo hàm cấp là (α, m) -lồi

Giải tích lồi là một lĩnh vực trọng yếu trong toán học, cung cấp các công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán lý thuyết và ứng dụng. Trong số các kết quả kinh điển, bất đẳng thức Hermite-Hadamard và mở rộng của nó là bất đẳng thức Fejér đóng vai trò nền tảng. Nghiên cứu về các bất đẳng thức này đã không ngừng phát triển, đặc biệt là việc mở rộng chúng cho các lớp hàm lồi khác nhau, bao gồm cả các hàm có trị tuyệt đối của đạo hàm thỏa mãn các điều kiện lồi. Đề tài này nhằm mục đích tổng hợp và phát triển các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard-Fejér cho lớp hàm phức tạp hơn: các hàm có trị tuyệt đối của đạo hàm cấp n là (a,m)-lồi. Công trình này sẽ góp phần mở rộng lý thuyết bất đẳng thức tích phân và tìm kiếm các ứng dụng mới trong toán học.

Các nhà nghiên cứu và học viên cao học trong lĩnh vực toán giải tích, đặc biệt quan tâm đến lý thuyết hàm lồi, bất đẳng thức tích phân và các ứng dụng của chúng.

Nghiên cứu này tập trung vào việc thiết lập và phân tích các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard-Fejér cho một lớp hàm đặc biệt trong toán giải tích. Cụ thể, công trình này khảo sát các hàm mà trị tuyệt đối của đạo hàm cấp n của chúng là (a,m)-lồi. Bắt đầu với việc tổng quan các kiến thức nền tảng về hàm lồi, m-lồi và (a,m)-lồi, cũng như các bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejér cổ điển, nghiên cứu xây dựng một cơ sở vững chắc. Phương pháp tiếp cận bao gồm việc sử dụng các định lý và kỹ thuật giải tích để mở rộng các kết quả đã biết từ đạo hàm cấp thấp lên đạo hàm cấp n, đồng thời áp dụng tính chất (a,m)-lồi của đạo hàm để thiết lập các bất đẳng thức tích phân mới. Giá trị ứng dụng của nghiên cứu được thể hiện rõ ràng thông qua việc áp dụng các bất đẳng thức đã chứng minh để tìm ra mối liên hệ và cận mới cho một số đại lượng trung bình. Điều này không chỉ làm sâu sắc thêm sự hiểu biết về lý thuyết bất đẳng thức Hermite-Hadamard-Fejér mà còn mở ra những hướng nghiên cứu tiềm năng trong việc phân tích các lớp hàm lồi tổng quát hơn, góp phần vào sự phát triển của lý thuyết bất đẳng thức tích phân và các ứng dụng của chúng.