ĐÊ THAM KHAO 12 Đ THI TUYÊN SINH Đ I H C - NĂM H C 2009 - 2010Ề Ạ Ọ Ọ
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đờ ể ờ ề
A. PH N B T BU C (7 đi m)Ầ Ắ Ộ ể
Câu I (2 đi m)ể Cho hàm s ố
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
= − + + + +
có đ th (Cồ ị m).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 0.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên kho ng ể ố ồ ế ả
( )
+∞;2
Câu II (2 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình:ả ươ
1)12cos2(3cos2 =+xx
2. Gi i ph ng trình : ả ươ
8
21
x
2
3
x51x2)1x3(
22
−+=−+
Câu III (1 đi m)ể
Tính tích phân
∫+
=
2ln3
02
3)2( x
e
dx
I
Câu IV (1 đi m) ể
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nhề ạ a, hình chi u vuông góc c a A’ế ủ lên măt
ph ngẳ (ABC) trùng v i tâm ớ O c a tam giácủ ABC. Tính th tích kh i lăng trể ố ụ ABC.A’B’C’ bi tế
kho ng cách gi a AA’ ả ữ và BC là
a 3
4
Câu V (1 đi m) ể
Cho x,y,z tho mãn là các s th c: ả ố ự
1
22
=+− yxyx
.Tìm giá tr l n nh t ,nh nh t c a bi u th cị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ
B. PH N T CH N (3 đi m)Ầ Ự Ọ ể
Thí sinh ch ch n làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)ỉ ọ ộ ầ ầ ặ ầ
Ph n A. Theo ch ng trình chu nầ ươ ẩ
Câu VIa (2 đi m)ể
1. Cho hình tam giác ABC có di n tích b ng 2. Bi t A(1;0), B(0;2) và trung đi m I c a AC n mệ ằ ế ể ủ ằ
trên đ ng th ng y = x. Tìm to đ đ nh C.ườ ẳ ạ ộ ỉ
2. Trong không gian Oxyz, cho các đi m A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm t a đ đi m O’ đ i x ngể ọ ộ ể ố ứ
v i O qua (ABC).ớ
Câu VIIa(1 đi m) ểGi i ph ng trình:ả ươ
10)2)(3)((
2
=++−
zzzz
,
∈z
C.
Ph n B. Theo ch ng trình nâng caoầ ươ
Câu VIb (2 đi m)ể
1. Trong mp(Oxy) cho 4 đi m A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm to đ đi m M thu c đ ngể ạ ộ ể ộ ườ
th ng ẳ
( ) : 3 5 0x y∆ − − =
sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích b ng nhauệ ằ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ ng th ng:ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
2
5
1
1
3
4
:
1
−
+
=
−
−
=
−
zyx
d
13
3
1
2
:
2
zyx
d
=
+
=
−
Vi t ph ng trình m t c u có bán kính nh nh t ti p xúc v i c hai đ ng th ng dế ươ ặ ầ ỏ ấ ế ớ ả ườ ẳ 1 và d2
Câu VIIb (1 đi m)ể
Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
2log9)2log3( 22 −>− xxx
ĐÁP ÁN
Câu I
a) Đ ồH c sinh t làmọ ự
0,25
b)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
= − + + + +
)1(6)12(66' 2+++−=⇒ mmxmxy
y’ có
01)(4)12( 22 >=+−+=∆ mmm
0,5
+=
=
⇔= 1
0' mx
mx
y
Hàm s đ ng bi n trên ố ồ ế
( )
+∞;2
⇔
0' >y
2>∀x
⇔
21 ≤+m
⇔
1≤m
0,25
0,25
Câu II a) Gi i ph ng trình:ả ươ
1)12cos2(3cos2 =+xx
1 đi mể
PT
⇔
1)1cos4(3cos2 2=−xx
⇔
1)sin43(3cos2 2=− xx
0,25
Nh n xét ậ
Zkkx ∈= ,
π
không là nghi m c a ph ng trình đã cho nên ta có:ệ ủ ươ
1)sin43(3cos2 2=− xx
⇔
xxxx sin)sin4sin3(3cos2
3
=−
⇔
xxx sin3sin3cos2
=
⇔
xx sin6sin
=
0,25
⇔
+−=
+=
ππ
π
26
26
mxx
mxx
⇔
+=
=
7
2
7
5
2
ππ
π
m
x
m
x
;
Zm
∈
0,25
Xét khi
=
5
2
π
m
π
k
⇔
2m=5k
⇔
m
t5=
,
Zt ∈
Xét khi
7
2
7
ππ
m
+
=
π
k
⇔
1+2m=7k
⇔
k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3,
Zl
∈
V y ph ng trình có nghi m: ậ ươ ệ
5
2
π
m
x=
(
tm 5≠
);
7
2
7
ππ
m
x+=
(
37 +≠ lm
) trong đó
Zltm ∈,,
0,25
b) Gi i ph ng trình : ả ươ
3
2
3
512)13( 22 −+=−+ xxxx
1 đi mể
PT
⇔
631012)13(2 22 −+=−+ xxxx
232)12(412)13(2 222 −++−=−+ xxxxx
. Đ t ặ
)0(12 2≥−= txt
Pt tr thành ở
0232)13(24 22 =−+++− xxtxt
Ta có:
222 )3()232(4)13(' −=−+−+=∆ xxxx
0,25
Pt tr thành ở
0232)13(24 22 =−+++− xxtxt
Ta có:
222 )3()232(4)13(' −=−+−+=∆ xxxx
0,25
T đó ta có ph ng trình có nghi m :ừ ươ ệ
2
2
;
2
12 +
=
−
=x
t
x
t
Thay vào cách đăt gi i ra ta đ c ph ng trình có các nghi m:ả ượ ươ ệ
+
+−
∈7
602
;
2
61
x
0,5
Câu III
Tính tích phân
∫+
=
2ln3
02
3)2( x
e
dx
I
1 đi mể
Ta c ó
∫+
=
2ln3
02
33
3
)2(
xx
x
ee
dxe
I
=
Đ t u=ặ
3
x
e
⇒
dxedu
x
3
3=
;
22ln3;10 =⇒==⇒= uxux
0,25
Ta đ c: ượ
∫+
=
2
1
2
)2(
3
uu
du
I
=3
du
u
uu
∫
+
−
+
−
2
1
2
)2(2
1
)2(4
1
4
1
0,25
=3
2
1
)2(2
1
2ln
4
1
ln
4
1
+
++− u
uu
0,25
8
1
)
2
3
ln(
4
3−=
V y ậ I
8
1
)
2
3
ln(
4
3−=
0,25
Câu IV
G i M là trung ọđi m BC ta th y: ể ấ
⊥
⊥
BCOA
BCAM
'
)'( AMABC ⊥⇒
K ẻ
,'AAMH ⊥
(do
A∠
nh n nên H thu c trong đo n AA’.)ọ ộ ạ
Do
BCHM
AMAHM
AMABC ⊥⇒
∈
⊥
)'(
)'(
.V y HM là đ an vông góc chung c aậ ọ ủ
AA’và BC, do đó
4
3
)BC,A'( aHMAd ==
.
0,5
Xét 2 tam giác đ ng d ng AA’O và AMH, ta có: ồ ạ
AH
HM
AO
OA
=
'
⇔
suy ra
3
a
a3
4
4
3a
3
3a
AH
HM.AO
O'A
===
Th tích kh i lăng tr : ể ố ụ
12
3a
a
2
3a
3
a
2
1
BC.AM.O'A
2
1
S.O'AV
3
ABC ====
0,5
Câu V 1.Cho a, b, c là các s th c d ng tho mãn ố ự ươ ả
3
=++
cba
.Ch ng minhứ
r ng:ằ
134)(3 222 ≥+++ abccba
1 đi mể
A
B
C
C
’
B
’
A
’
H
OM
Đ t ặ
2
;134)(3),,( 222 cb
tabccbacbaf +
=−+++=
*Tr c h t ta ch ng minh:ướ ế ư
),,(),,( ttafcbaf ≥
:Th t v y ậ ậ
Do vai trò c a a,b,c nh nhau nên ta có th gi thi t ủ ư ể ả ế
cba ≤≤
33 =++≤⇒ cbaa
hay a
1≤
=− ),,(),,( ttafcbaf
134)(3134)(3
2222222
+−++−−+++
atttaabccba
=
)(4)2(3 2222 tbcatcb −+−+
=
+
−+
+
−+
22
22
4
)(
4
4
)(2
3cb
bca
cb
cb
=
2
2
)(
2
)(3 cba
cb −−
−
=
0
2
))(23( 2≥
−− cba
do a
1≤
0,5
*Bây gi ta ch c n ch ng minh:ờ ỉ ầ ứ
0),,( ≥ttaf
v i ớa+2t=3
Ta có
134)(3),,( 2222 −+++= atttattaf
=
13)23(4))23((3 2222 −−+++− ttttt
=
0)47()1(2 2≥−− tt
do 2t=b+c < 3
D u “=” x y ra ấ ả
10&1 ===⇔=−=⇔ cbacbt
(ĐPCM)
0,5
2. Cho x,y,z tho mãn là các s th c: ả ố ự
1
22 =+− yxyx
.Tìm giá tr l nị ớ
nh t ,nh nh t c a bi u th cấ ỏ ấ ủ ể ứ
1
1
22
44
++
++
=yx
yx
P
Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
xyxyyx
xyxyxyyxyx
33)(1
21
2
22
−≥−+=
=−≥+−=
Tõ ®ã ta cã
1
3
1≤≤− xy
.
0,25
M¨t kh¸c
xyyxyxyx +=+⇔=+− 11 2222
nªn
12
2244 ++−=+ xyyxyx
.®¨t t=xy
Vëy bµi to¸n trë thµnh t×m GTLN,GTNN cña
1
3
1
;
2
22
)(
2≤≤−
+
++−
== t
t
tt
tfP
0.25
TÝnh
−−=
−=
⇔=
+
+−⇔= )(26
26
0
)2(
6
10)(' 2lt
t
t
tf
0.25
Do hµm sè liªn tôc trªn
[ ]
1;
3
1
−
nªn so s¸nh gi¸
trÞ cña
)
3
1
(−
f
,
)26( −f
,
)1(f
cho ra kÕt qu¶:
626)26( −=−= fMaxP
,
15
11
)
3
1
(min =−= fP
0.25
Câu VIa 1 đi mể
a) (H c sinh t v hình)ọ ự ẽ
Ta có:
( )
1; 2 5AB AB= − =�
uuur
. Ph ng trình c a AB là: ươ ủ
2 2 0x y+ − =
.
( ) ( )
: ;I d y x I t t=� �
. I là trung đi m c a AC:ể ủ
)2;12( ttC −
0,5
Theo bài ra:
2),(.
2
1==
∆ABCdABS ABC
⇔
446. =−t
⇔
=
=
3
4
0
t
t
T đó ta có 2 đi m C(-1;0) ho c C(ừ ể ặ
3
8
;
3
5
) tho mãn .ả
0,5
b) 1 đi mể
*T ph ng trình đo n ch n suy ra pt t ng quát c a mpừ ươ ạ ắ ổ ủ (ABC) là:2x+y-z-2=0 0.25
*G i ọH là hình chi u vuông góc c a ế ủ O l ên (ABC), OH vuông góc v i ớ
(ABC) nên
)1;1;2(// −nOH
;
( )
H ABCH
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào ph ng trìnhươ ( ABC) có t=
3
1
suy ra
)
3
1
;
3
1
;
3
2
(−H
0,25
*O’ đ i x ng v i ỗ ứ ớ O qua (ABC)
⇔
H là trung đi m c a ể ủ OO’
⇔
)
3
2
;
3
2
;
3
4
(' −O
0,5
CâuVIIa Gi i ph ng trình:ả ươ
10)2)(3)((
2
=++−
zzzz
,
∈z
C. 1 đi mể
PT
⇔
⇔=+−+
10)3)(1)(2( zzzz
10)3z2z)(z2z(
22
=−++
Đ t ặ
zzt 2
2
+=
. Khi đó ph ng trình (8) tr thành:ươ ở
0,25
Đ t ặ
zzt 2
2
+=
. Khi đó ph ng trình (8) tr thànhươ ở
0103
2=−− tt
0,25
±−=
±−=
⇒
=
−=
⇔
61
1
5
2
z
iz
t
t
V y ph ng trình có các nghi m:ậ ươ ệ
61±−=z
;
iz ±−= 1
0,5
Câu VIb
a)
1 đi mể
Vi t ph ng trình đ ng AB: ế ươ ườ
4 3 4 0x y+ − =
và
5AB
=
Vi t ph ng trình đ ng CD: ế ươ ườ
4 17 0x y− + =
và
17CD =
0,25
Đi m M thu cể ộ
∆
có to đ d ng: ạ ộ ạ
( ;3 5)M t t= −
Ta tính đ c:ượ
13 19 11 37
( , ) ; ( , )
517
t t
d M AB d M CD
− −
= =
0,25
T đó: ừ
( , ). ( , ).
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD= =�
7
93
t t= − =� �
Có 2 đi m c n tìm là: ể ầ
7
( 9; 32), ( ; 2)
3
M M− −
0,5
b) 1 đi mể