1
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số
4 2
2 4
y x mx
= − + −
có đồ thị
(
)
m
C
. (
là tham số thực)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị
(
)
m
C
nằm trên các trục tọa độ.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình:
(
)
sin tan2 3 sin 3 tan2 3 3
x x x x+ − = .
2. Giải bất phương trình:
1
3
3<
−
+
+
x
x
x
.
Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
2 3 8 1 0
8 3 13 0
x y y x
x x y y
+ − + − =
+ + + − =
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên
kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC' và B'D'.
Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thay đổ
i. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 2 2
2 2 2
3 3 3
x y z
P x y z
yz zx xy
= + + + + +
.
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) có ph
ươ
ng trình
0
x y
− =
và
đ
i
ể
m M(2;1). L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
∆
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i A, c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) t
ạ
i B sao cho tam giác AMB vuông cân t
ạ
i M.
Câu VII.a (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng tròn (C1) có ph
ươ
ng trình
2 2
25
x y
+ =
,
đ
i
ể
m M(1; -2).
Đườ
ng tròn (C2) có bán kính b
ằ
ng
2 10
. Tìm t
ọ
a
độ
tâm c
ủ
a (C2) sao
cho (C2) c
ắ
t (C1) theo m
ộ
t dây cung qua M có
độ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.
Câu VIII.a (1,0 điểm).
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 2 2
2
12 1
3 81.
2
x x x
C A A
x
− ≥ − (
*
x N
∈
)
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy,
cho
đ
i
ể
m
P(-7;8)
và hai
đườ
ng
th
ẳ
ng
(
)
1
:2 5 3 0,
d x y
+ + =
(
)
2
:5 2 7 0
d x y
− − =
c
ắ
t nhau t
ạ
i A. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
đ
i
qua P và t
ạ
o v
ớ
i
1 2
( ),( )
d d
m
ộ
t tam giác cân t
ạ
i A và có di
ệ
n tích b
ằ
ng
29
2
.
Câu VII.b (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ
độ
Oxy
, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
(d)
có ph
ươ
ng trình
2 0
x y
+ + =
và đường tròn
(C
1
)
có phương trình:
2 2
4 2 4 0
x y x y
+ − + + =
. Đường tròn
(C
2
)
có tâm
thuộc (
d), (C
2
)
tiếp xúc ngoài với
(C
1
)
và có bán kính gấp đôi bán kính của
(C
1
).
Viết phương trình của
đường tròn
(C
2
).
Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=+.Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i,
c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
đồ
th
ị
n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d): 2x+y-
1=0.
--------------------- Hết --------------------
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: ……………………
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN 1
MÔN TOÁN -KHỐI D
( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 )
Câu Đáp án Điểm
1. Khảo sát hàm số với m = 2. 1,00
Với m = 2, hàm số trở thành:
4 2
y x 4x 4
= − + −
* TXĐ:
R
0,25
* Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = −∞
0,25
- Bảng biến thiên:
+ Ta có:
=
= − + = ⇔
= ±
3
0
' 4 8 ; ' 0
2
x
y x x y
x
+ Bảng biến thiên:
x - ∞
−
2
0
2
+ ∞
y’ + 0 - 0 + 0 -
y
0
-∞
0
-4 -∞
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
(
)
−∞
; - 2
và
(
)
0; 2
- Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
−
2;0
và
(
)
+∞
2;
- Điểm cực đại của đồ thị là
(
)
−
2;0
,
(
)
2;0
điểm cực tiểu của đồ thị B(0;-4)
* Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại
(
)
0; 4
−
và cắt trục hoành tại điểm
(
)
2;0
−
và
(
)
2;0
+ Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng.
2
-
2
-
4
-
6
-
8
-
5
5 10
f x
( ) = -x
4
+4⋅x
2
( )
-4
0,25
0,25
2. Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số
(
)
m
C
nằm trên các trục tọa độ. 1,00
I
Ta có:
( )
3 2
2
0
' 4 4 4 ; ' 0 x
y x mx x x m y
x m
=
= − + = − + = ⇔ =
Nếu
0
m
≤
thì
(
)
m
C
chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục
tung.
Nếu
0
m
>
thì
(
)
m
C
có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai
điểm cực đại có tọa độ
2
( ; 4)
m m
− −
,
2
( ; 4)
m m
−
.
Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì
2
4 0 2
m m
− = ⇔ = ±
. Vì
0
m
>
nên chọn m = 2.
Vậy
{
}
( ;0] 2
m∈ −∞ ∪
là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
3
1. Giải phương trình lượng giác 1,00
- Đk.
cos2x 0 x m ,m Z.
4 2
π π
≠ ⇔ ≠ + ∈
Ta có:
sin tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3
+ − =x x x x
(sin tan 2 3sin ) (3tan 2 3 3) 0
⇔ + − + =
x x x x
sin (tan 2 3) 3(tan 2 3) 0 (tan 2 3)(sin 3) 0
x x x x x
⇔ + − + = ⇔ + − =
tan 2 3 2 ( ).
3 6 2
k
x x k x k Z
π π π
π
− −
⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈
(thỏa mãn)
Vậy pt có một họ nghiệm :
, .
6 2
= − + ∈
π π
x k k Z
0,25
0,25
0,25
0,25
2. Giải bất phương trình 1,00
II
+ Đk:
x 0; x 3.
≥ ≠
Bất phương trình
3 x
x 1
3 x
+
⇔ < −
−
2
2
2x
0
3 x
2x 4x
x x
3 x (3 x)
x 0
−
>
−
−
⇔ < ⇔ <
− −
≥
2
x (3; )
x 10x 9 0
∈ +∞
⇔
− + <
x (3; )
x (3;9)
x (1;9)
∈ +∞
⇔ ⇔ ∈
∈
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9)
0,25
0,25
0,25
0,25
Giải hệ phương trình... 1,00
III + Điều kiện:
2 2
3 0, 8 0
x y y x
+ ≥ + ≥
Đặt
( )
2 2
3 , 8 , 0
u x y v y x u v
= + = + ≥
+ Ta được:
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
13 13 (2 1) 13
− = = − = −
⇔ ⇔
+ = + = + − =
u v v u v u
u v u v u u
2
2 1
2 1
2
2
3
5 4 12 0 6( )
5
= −
= −
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
− − = −
=
v u
v u u
u
v
u u u loai
+ Khi đó
2
22
2
2
2
2
4
3
3 2 3 4
4
8 9
8 3
8 9
3
−
=
+ = + =
⇔ ⇔
−
+ =
+ =
+ =
x
y
x y x y
x
y x
y x x
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4
2
4 2
4
3
8 72 65 0
−
=
⇔
− + − =
x
y
x x x
2
2
2
1
4
4
1
3
31
5
( 1)( 5)( 4 13) 0 5
7
x
x
y
xy
y
xx
x x x x xy
=
−
=
−=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
= −
− + − + =
= −
= −
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình
là:
{
}
(1;1),( 5; 7)
S
= − −
0,25
Tính thể tích …. 1,00
IV
B C
A D
M K
N
B' C'
I
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A'
1
MN B'D' B'D' 2a A'B' a 2
2
⇒=⇒=⇒=
''''''''
'.
DCBADCBABCDA
SAAV
=
(
)
3
2
2222 aaa == (đvtt)
+ Gọi I là giao của B'D' và A'C'
Trong (AA'C') kẻ
'
;
'
AC
K
AC
IK
∈
⊥
Vì '''')'(
''''
''' DBIKDBCAA
DBCA
DBAA ⊥⇒⊥⇒
⊥
⊥
Vậy:
IK
D
B
AC
d
=
)
'
'
,
'
(
IK
C
'
∆
đồng dạng với
C'AA'
∆
.
IK C'I AA'.C'I a 2.a a
IK
AA' C'A C'A
a 2. 3 3
⇒=⇒= = =
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng 3
a.
0,25
0,25
0,25
0,25
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c…. 1,00
V
Ta có:
xyz
zyxzyx
P222333 2
3
++
+
++
=
Áp d
ụ
ng b
đ
t:
zxyzxyzyxbaabba ++≥++⇒∀≥+
22222
,,2 .
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi
x = y = z.
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
5
++
++
+≥⇒
++
+
++
≥⇒z
z
y
y
x
x
P
xyz
zxyzxyzyx
P2
3
2
3
2
3
2
3
333333
+ Xét hàm s
ố
t
t
tf 2
3
)(
3
+= với
0
>
t
;
2
4
2
2
22
)('
t
t
t
ttf −
=−= ;
4
20)(' =⇔= ttf
+ BBT
t
0
4
2
+∞
( )
/
f t
−
0
+
(
)
f t
+∞
+∞
4
8
3 2
V
ậ
y
4
84≥PĐẳng thức xảy ra khi
4
2=== zyx . Hay
4
min
84=P
0,25
0,25
0,25
Chương trình chuẩn
a. Viết phương trình đường thẳng…. 1,00 VI
Ox ( ;0), ( ; )
A A a B d B b b
∈⇒∈⇒
,
(2;1) ( 2; 1), ( 2; 1)
M MA a MB b b
⇒= − − = − −
.
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
2 2 2
( 2)( 2) ( 1) 0
. 0
( 2) 1 ( 2) ( 1)
a b b
MA MB
MA MB a b b
− − − − =
=
⇔
=− + = − + −
Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này.
Ta có :
2
2 2 2
2 2
1
2
1
22
21
( 2) 1 ( 2) ( 1)
1 ( 2) ( 1)
2
−
− =
−
− = −
⇔
−
−
− + = − + −
+ = − + −
−
b
a
b
ab
bb
a b b b b
b
2 2
2
2
1
2
1
2
1
4
( 2) ( 1) . 1 0
( 2)
3
=
−
− =
=
−
⇔ ⇔
=
− + − − =
−
=
a
b
ab
b
a
b b bb
Với
2
1
a
b
=
=
đường thẳng
∆
qua A,B có phương trình
2 0
x y
+ − =
Với
4
3
a
b
=
=
đường thẳng
∆
qua A,B có phương trình
3 12 0
x y
+ − =
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn:
2 0
x y
+ − =
và
3 12 0
x y
+ − =
.
0,25
0,25
0,25
0,25
a. Tìm tọa độ tâm đường tròn… 1,00 VII
(C
1
) A (C
2
)
O M I
B
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com