SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009
ĐỒNG THÁP Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 07/5/2009
(Đề thi gồm có 1 trang)
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 2x 1
yx2
+
=−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− .
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình:
() () ()
()
11 1
22 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈
2. Tính tích phân:
()
2
4
0
I2sinx1cosxdx
π
=+
∫
3. Cho tập hợp
{}
2
Dx |2x3x90=∈ +−≤\. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số 3
yx 3x3=−+
trên D.
Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB a 3, AC 2a==, góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 0
60 . Gọi M là trung
điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
()
1
x1 y2 z5
d: 234
−+−
==
,
()
2
x7 y2 z1
d: 32 2
−−−
==
− và điểm A(1; 1; 1)−
1. Chứng minh rằng
()
1
d và
(
)
2
d cắt nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
()
1
d và
()
2
d. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức
()
3
12i 1i
z1i
+−−
=+
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (2.0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
()
1
xy1z6
d:
12 3
−−
== và
()
2
x1 y2 z3
d: 11 1
−+−
==
−
1. Chứng minh rằng
()
1
d và
(
)
2
d chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
()
1
d và song song với
()
2
d. Tính khoảng cách giữa
(
)
1
d
và
()
2
d.
Câu 5.b (1.0 điểm) Tính và viết kết quả dưới dạng đại số số phức
8
1i3
z1i3
⎛⎞
+⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎜−
⎝⎠
. Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009
(Đáp án gồm 5 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
1 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2x 1
yx2
+
=− 1.5
1) Tập xác định:
{}
D\2=\
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn và tiệm cận:
Do x2
x2
lim y
lim y
−
+
→
→
⎧=−∞
⎪
⎪
⎪⇒
⎨
⎪=+∞
⎪
⎪
⎩
đường thẳng x2= là tiệm cận đứng của (C)
và x
x
lim y 2
lim y 2
→−∞
→+∞
⎧=
⎪
⎪
⎪⇒
⎨=⎪
⎪
⎪
⎩
đường thẳng y2= là tiệm cận ngang của (C)
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
()
'
2
5
y0 xD
x2
−
=<∀∈
−
x −∞ 2 +∞
y' − −
y 2 +∞
−∞ 2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
()
;2−∞ và
()
2; +∞ .
3) Đồ thị:
Giao điểm với Oy: 1
x0 y 2
=⇒=−
. Suy ra (C) cắt Oy tại 1
0; 2
⎛⎞
⎟
⎜−⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
Giao điểm với Ox: 1
y0 x 2
=⇔=−
. Suy ra (C) cắt Ox tại 1;0
2
⎛⎞
⎟
⎜−⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
-18-16-14-12-10-8-6-4-2 24681012141618
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
0.25
0,25
0.25
0.5
0,25
2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ y3=− . 0.75
x2 x2
2x 1
y3 3 x1
2x 1 3x 6 x 1
x2
⎧⎧
≠≠
⎪⎪
+⎪⎪
=− ⇔ =− ⇔ ⇔ ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
+=− + =
−⎪⎪
⎩⎩
.
Suy ra:
()
M1; 3 (C)−∈ .
0.25
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là :
() ()
2
5
ky'1 5
12
−
== =−
−
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là :
()
y3 5x1 y 5x8+=− + ⇔ =− −
0.25
0.25
3
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và trục tung. 0.75
Dựa vào đồ thị (C), suy ra diện tích hình phẳng là:
[]
000
111
222
0
1
2
2x 1 2x 1 5
Sdx dx2dx
x2 x2 x2
2x 5ln x 2
55 5
5 ln 2 1 5 ln 5 ln 5ln2 1 5ln 1
22 4
−−−
−
++
⎛⎞
⎟
⎜
==−=−+
⎟
⎜⎟
⎝⎠
−− −
=− − −
⎛⎞
⎟
⎜
=− − − = − − = −
⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
Vậy 5
S5ln 1
4
=−
đvdt.
0.25
0.25
0.25
2 1
Giải phương trình:
() () ()
()
11 1
22 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 x R−+ +− − = ∈ 1.0
Điều kiện:
x10 x 1
x10 x 1 1x7
7x0 x7
⎧⎧
⎪⎪
−> >
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
+> ⇔ >−⇔< <
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
−> <
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎩
Khi đó:
() () ()
()()
[]
()
()()
()
2
11 1
22 2
2
11
22
2
22
2
(1) log x 1 log x 1 1 log 7 x
1
log x 1 x 1 log 7 x
2
1
x 1 x 1 7 x
2
2x 2 49 14x x
x 14x 51 0
x3
x17
⇔−++=+−
⎡⎤
⇔−+= −
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⇔− += −
⇔−=−+
⇔+ −=
⎡=
⎢
⇔⎢=−
⎢
⎣
So điều kiện ban đầu ta suy ra nghiệm của phương trình (1) là x3=.
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Tính tích phân:
()
2
4
0
I2sinx1cosxdx
π
=+
∫
1.0
Đặt t2sinx1 dt2cosxdx=+⇒=
Đổi cận: x0 t1; x x3
2
π
=⇒= = ⇒=
Khi đó:
3
35
4
1
1
11t
Itdt
225
242 121
10 25
⎡
⎤
⎢
⎥
==
⎢
⎥
⎣
⎦
==
∫
0.25
0.25
0.25
0.25
3
Cho tập hợp
{}
2
Dx |2x3x90=∈ +−≤\. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số 3
yx 3x3=−+
trên D.
1.0
{}
23
Dx |2x3x90 3;
2
⎡
⎤
=∈ +−≤=−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
\
2x1D
y' 3x 3 0 x1D
⎡=− ∈
⎢
=−=⇔
⎢=∈
⎢
⎣
Do 315
y( 3) 15; y( 1) 5; y(1) 1; y 28
⎛⎞
⎟
⎜
−=− −= = =
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
nên ta suy ra được: xD xD
max y 5; min y 15
∈∈
==−
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). 1.0
A
C
B
S
M
Do
n
()
()
n
0
SA (ABC) BC SB SBA SBC ; ABC 60
BC AB
⎧⊥
⎪
⎪
⎪⎡⎤
⇒⊥⇒ = =
⎨⎣⎦
⎪⊥
⎪
⎪
⎩
Xét tam giác vuông SAB và SBC ta có:
0
22
22
2
2
SA AB.t an60 a 3. 3 3a
SB SA AB 2a 3
BC AC AB a
11a3
dt( MBC) dt( ABC) AB.BC
244
1
dt( SBC) SB.BC a 3
2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪===
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪=+=
⎪
⎪
⎪
⎪=−=
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪Δ=Δ= =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪Δ= =
⎪
⎪
⎩
Suy ra:
23
S.BCM
3
S.BCM
2
11a3a3
Vdt(MBC).SA..3a
3344
a3
3
3V 3a
4
d(M,(SBC)) dt( SBC) a 3 4
=Δ = =
===
Δ
0.25
0.25
0.25
0.25
4a
CTC
1 Chứng minh rằng
()
1
d và
(
)
2
d cắt nhau. 1.0
Cách 1:
()
1
d đi qua điểm
()
1
M1;2;5− và có VTCP
()
1
u 2;3;4=
JJG
0.25
()
2
d đi qua điểm
()
2
M7;2;1
và có VTCP
()
1
u3;2;2=−
JJG
()
12
MM 6;4; 4=−
JJJJJG
và
[]
()
12
34 4223
u,u ; ; 14;16; 5
222332
⎛⎞
⎟
⎜⎟
⎜
==−−
⎟
⎜⎟
⎜−− ⎟
⎜
⎝⎠
JJGJJG
Do
[
]
[]
12
12 12
u;u 0
u ;u .M M 84 64 20 0
⎧
⎪≠
⎪
⎪⇒
⎨
⎪=− + + =
⎪
⎪
⎩
G
JJGJJG
JJJJJG
JJGJJG
()
1
d và
()
2
d cắt nhau.
Cách 2:
Phương trình tham số của
()
1
d và
(
)
2
d là:
() () ( )
12
112212
12
x12t x73t
d : y 2 3t ; d : y 2 2t t ,t
z54t z12t
⎧⎧
⎪⎪
=+ =+
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
=− + = + ∈
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
=+ =−
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎩
\
Xét hệ phương trình:
12
12
12
1 2t 7 3t (1)
2 3t 2 2t (2) (*)
5 4t 1 2t (3)
⎧
⎪+=+
⎪
⎪
⎪
⎪−+ = +
⎨
⎪
⎪
⎪+=−
⎪
⎪
⎩
Từ (1) và (2) suy ra : 1
2
t0
t2
=
⎧
⎪
⎪
⎨=−
⎪
⎪
⎩
. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thỏa mãn.
Suy ra hệ (*) có nghiệm là 1
2
t0
t2
=
⎧
⎪
⎪
⎨=−
⎪
⎪
⎩
.
Vậy
(
)
1
d và
(
)
2
d cắt nhau tại M(1; 2; 5)−.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
(
)
1
d và
(
)
2
d. Tính khoảng cách từ A đến (P). 1.0
Do mặt phẳng (P) chứa
(
)
1
d và
(
)
2
d nên (P) đi qua điểm
()
(
)
11
M1;2;5 d−∈ và có
VTPT là
[
]
()
12
u,u 14;16; 5=− −
JJGJJG
Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là:
()
()
()
14 x 1 16 y 2 5 z 5 0
14x 16y 5z 71 0
−−+ +−−=
⇔−++=
và khoảng cách từ A đến (P) là:
()
222
14 16 5 71 106
dA,(P) 477
14 16 5
+++
==
++
0.25
0.25
0.25
0.25
5a
Tìm môđun của số phức
()
3
12i 1i
z1i
+−−
=+ 1.0
Ta có:
()( )()()
()()
()()
34
2
22
2
2
12i 1i 12i1i 1i
z1i 1i1i
1i2i 12ii
1i
3i4i 7i 7 1
i
2222
+−− + −−−
==
++−
+− − − +
=+
+− +
===+
Do đó:
22
7152
z22 2
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
=+=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
0.25
0.25
0.25
0.25