Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 11 - Trường THPT Chuyên Quốc Học

www.MATHVN.com

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC TỔ TOÁN

KIỂM TRA KỌC KÌ I Môn TOÁN - lớp 11 (Thời gian làm bài: 90 phút)

Bài 1 (3 điểm). Giải các phương trình sau

+ =

cos

3sin

3 0

a)

osx

sin 2

= 0

c− x 1-sinx

= +

1 sin 2

− +

1 t anx 1 t anx

X =

Bài 2 (2 điểm). Cho tập hợp

{ } 1;2;3;4;5;6;7;8;9

a) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau được lấy trong tập X.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau được lấy trong tập X, trong đó

có đúng 2 chữ số chẳn và hai chữ số chẳn này không đứng liền kề nhau.

Bài 3 (2 điểm). Trong một lớp học có 8 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,025. Lớp học đó có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 6 bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp học đó không có đủ ánh sáng.

1 0

: d x

y− 2

Bài 4 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

+ = . Gọi

(cid:1) v =

ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ

. Viết phương trình của đường thẳng

(

)2;0

1d là 1d .

Bài 5 ( 2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, điểm M thay đổi trên cạnh SD, M không trùng S.

a) Dựng giao điểm N của SC với mặt phẳng (ABM); Tứ giác ABNM là hình gì? Có

thể là hình bình hành không?

b) Gọi I là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: khi M chạy trên cạnh SD

thì I chạy trên một đường thẳng cố định. Hãy chỉ ra đường thẳng cố định đó.

-------------------- Hết -------------------

www.MATHVN.com

ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ I

MÔN TOÁN LỚP 11 (NC) – N

câu

Điểm 0.25

Bài Bài 1 a)

⇔

−

− =

sin

3sin

Bài giải gợi ý 4 0

(

)

0.5

= − =

x x

sin sin

1 l 4( )

 ⇔  

sin

= − ⇔ = − + x

π 2

0.25

π 2

b)

−

≠ ⇔ ≠

≠ ⇔ 0

sinx 1

π 2

Điều kiện:1 s inx

0,25

π 2

osx=0

⇔

−

⇔

sin 2

cosx(2sinx-1) = 0

osx = 0 c

(Pt

sinx=

0.25

c ⇔  

1 2

osx=0

⇔ = x

π k

0.25

π 2 ,

  ⇔ 

sinx=

1 2

π 2

 = x 

π 2 π 6 π 5 6

trình có 3 họ nghiệm:

= −

π 2 ;

π 2

0,25

Đối chiếu với điều kiện, phương π 6

π 5 6

π 2

c)

≠

π k

≠

cos

⇔

∈

, ,

k k

ĐKXĐ:

0 ≠ −

x t anx

  

π '

     ≠ x 

π 2 π − 4

⇔

−

+ sinx cos

cos

sinx

+ sinx cos

(

)

0,25 0.25

− +

cos cos

sinx sinx

x x

3os c

0.25

+ t anx 1 t an x

+ 1 t an x

x ≠ , có 0 ( =

−

) )3 t anx 1 )3 t anx 1

0.25

⇔

Chia 2 vế của pt cho ( ) ( − )( ( ) ⇔ + 1 t an x 1 t anx + t anx t an x t anx 2

( = 0

( = ⇔ = t anx 0

= ) ∈ (Thỏa đ/k) k Zπ k

⇔

www.DeThiThuDaiHoc.com

abcdef

f ∈

www.MATHVN.com { } 1;3;5;7;9

Bài2

a)

0.25

0.5

6720

cách

Số lẻ có 6 chữ số có dạng Chọn f có 5 cách Chọn abcde có

5 A = 8

0.25

(số)

Vậy, số các số lẻ cần tìm có

b)

5 A = 85. abcdef

f ∈

33600 { } 1;3;5;7;9

0.25

cách

Số lẻ có 6 chữ số có dạng Chọn f có 5 cách Chọn 3 chữ số lẻ trong 4 chữ số lẻ còn lại của tập X rồi xếp thứ tự cho chúng, có

3 A = 4

0.25

C = cách 6

Chọn 2 chữ số chẵn trong 4 chữ số chẵn của tập X, có

2 4

0.25

cách

2 A = 4

0.25

Đưa 2 chữ số chẳn đó vào 2 trong 4 vị trí (giữa hai chữ số lẻ hoặc chữ số ở hàng cao nhất của số cần tìm), có (Minh họa: C C C C 2 Vậy, có 5.

4A =8640 (số)

2 4C .

L L L L ) 3 4A .

Bài 3

−

Xác suất để mỗi bóng sáng là:

0,25

1 40

39 40

0.25

≈

0.015

( P B

)

2 C 8

39 40

1 40

  

  

Biến cố A: “Lớp học có đủ ánh sáng”, A : “Lớp học không có đủ ánh sáng” B: “6 bóng đèn sáng, 2 bóng đèn bị cháy”. C: “7 bóng đèn sáng, 1 bóng đèn bị cháy”. D: “8 bóng đèn sang”. 6    7

0,5

≈

0.8167

≈

0.1675;

( P D

)

( P C

)

1 C 8

39 40

1 40

  

  

  

  

= ∪ ∪

;

(Đúng P(B) và P(D) hoặc P(C) và P(D) thì cho tối đa) A B C D B C D

đôi một xung khắc.

0,25

( P A

)

≈

0.9992

2 C 8

1 C 8

0,25 0.25

39 40

1 40

39 40

1 40

39 40

( P B   

( P C 6   

  

  

  

  

8   

   

   

( ) P D 2        

0,25

≈

= − 1

0,0008

( P A

)

) ( P A

Bài 4

−

+ y m

= . 0

0.25

Phương trình 1 :

(1;1)

Lấy

d∈ và gọi

thì

)

( ) ' 3;1

0,25

( = (cid:1) T A v

− +

Vì

d∈ nên 3 2

= ⇔ = − 1 m

( ) ' 3;1

0.25

y− 2

0,25

Vậy 1 : d x

− = 1 0 www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

Bài 5 a)

S

d

I

(Vẽ đúng thiết diện là cho điểm)

N

M

B

A

D

C

0.25

(

/ / CD AB ⊂ ) CD Mp SCD

Có

0.25

(

)

∈

(

    ⊂ AB Mp ABM   ∈ ); ( M Mp SCD M Mp ABM 

0.25

⇒

/ / MN AB

nên ABNM là hình thang.

Có

) nên giao tuyến của hai mp (SBC) và (ABM) đi qua M và song song với CD. Trong mp(SCD), vẽ MN//CD, N ở trên SC. Suy ra N là giao điểm của SC với mp(ABM) / / MN CD / / AB CD

  

0.25

Khi M trùng D thì ABNM là hình bình hành.

b)

∈

(

∩

(

)

⇒ ∈ I

) SAD

ABC

= d

Có

0.25

⊂ ) I AM SAD ⊂ )

(

∈ I BN

SBC

  

0.25

Do hai mp (SAD) và (SBC) cố định nên giao tuyến d của chúng cố định. Vậy, I chạy trên đường thẳng cố định.

)

/ / CB AD ⊂ ( CB mp SCB

Có

⊂

(

0.25

) AD mp SAD chung S

     

nên nên giao tuyến d của hai mp (SBC) và (SAD) đi qua S và song song với CB, AD.

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

Thời gian 90’(không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI HỌC KỲ I Trường QH Huế MÔN TOÁN LỚP 11 N Tổ Toán Đề chính thức I . Phần chung (Gồm 5 bài, bắt buộc cho mọi học sinh): Bài 1: (2 điểm)

= a. Giải phương trình : cos 2x sin x 1

−

b. Giải phương trình : (

(

...,

Bài 2: (1,5 điểm) Cho tập .Chọn tùy ý ba số khác nhau , không kể thứ tự từ X

) − = 2sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0 { ,3,2,1X =

) }10

a. Tính xác suất để tổng 3 số được chọn là 12. b. Tính xác suất để tổng 3 số được chọn là số lẻ.

Bài 3: (2 điểm)

 + x 

121    x

−

≤

; x 0≠ . a. Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển nhị thức

+ C 10

2 2x

2 x

3 x

1 2

6 x

. b. Giải bất phương trình

A ; C lần lượt là số chỉnh hợp , tổ hợp chập k của n ).

k n

−

− = qua phép vị tự tâm S (-1; 4) và tỉ số k = -2 .

(Ở đây

Bài 4:( 1 điểm) . Trong mặt phẳng oxy, tìm ảnh của đường thẳng (d) có phương trình 3x 2y 4 0

≠

DNCNBMAM ;

;

)

(

Bài 5 : (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là tứ giác lồi . Lấy M, N là hai điểm lần lượt

trên các cạnh AB, CD .

Gọi ( P ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA

1.Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( P ) . 2. Chứng minh thiết diện này là hình thang khi và chỉ khi MN song song với BC II. Phần tự chọn (Học sinh chọn một trong hai phần sau):

• Phần dành cho ban cơ bản ( 6A)

Bài 6A: (2 điểm)

≠

C B;C A

)

Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 27, còn tích của chúng bằng 693. Tìm các số hạng đó. • Phần dành cho ban nâng cao (6B) Bài 6B: (2 điểm).

Cho đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên đoạn AB( . Một đường kính PQ thay đổi của đường tròn không trùng với AB. Đường thẳng CQ cắt các đường thẳng PA và PB theo thứ tự tại M và N. Tìm quỹ tích các điểm M và N khi PQ thay đổi./.

==========================================================

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC KỲ I Môn Toán lớp 11

Bài Ý

Nội dung

Điểm

1,0

= + cos 2x sin x 1

0,25

⇔ −

2sin x sin x

= 0

⇔

sin x

0,sin x

0,25

1 2

0,25

= ⇔ = π x

∈ Ζ )

= ⇔ =

* sin x

sin x

π k2 , x

∈ Ζ . )

0,25

π 6

1 2

π 5 6

b. Điều kiện: cos 2x −

0≠ )

(

0,5

( ⇔ −

) − = 0 2 sin x 1 tan 2x 3 2 cos x 1 2 tan 2x

= 3

0,5

= ± ⇔ = ± +

⇔

k , k Z

tan 2x

∈ (thỏa điều kiện)

cos 2x tan 2x 3cos 2x π 6

= ⇔ 0 π 2

1.5

Các khả năng có thể

120

10C

0,25

Xác xuất để tổng 3 số được chọn là

( P A

)

0,5

3 số được chọn là lẻ khi và chỉ khi tổng 3 số lẻ

hoặc

5 =

0,5

tổng gồm 2 số chẳn và 1 số lẻ:

7 120 C3 .

5 . 10 50

5C C

1 5

( P B

+ ) 10 50 = 120

1 = . 2

0,25

a. Viết đúng công thức khai triển

0,25

Tìm được hạng tử không chứa x

0,5

⇒ =

k 12 k

− ⇔ = . k

k k C x . 12

1 x − 12 k

0,25

924

12C

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

0,25

Điều kiện

0,5

Biến đổi đưa về bpt : x ≤ 4.

0,25

Kết luận : x = 3, x = 4.

M ' x ';y' là ảnh của M qua phép vị tự tâm

( M x;y

) ∈

(

0,5

−

S tỉ số k , ta có

, trong đó k = -2 ,

−

− y' y

) ( k x x ( k y y

) )

d , gọi  − x ' x   

= −

1;y

4 .

0,25

⇔

− = −

−

y' 4

) ( 2 x 1 ) ( 2 y 4

 + = − x ' 1    

 = x     

+ x ' 3 − 2 − y ' 12 − 2

−

− = ⇔ −

+ 3x ' 2y ' 41 0

+ x ' 3 − 2

− y ' 12 − 2

0,25

−

= .

Pt cần tìm 3x 2y 41 0

Vẽ hình đúng

0,25

Xác định được thiết diện là MPQN

0,5

0,25

Chỉ được hai khả năng MP QN hoặc MN QP

⇒

suy ra SA song song với mp

0,25

Nếu MP QN do MP SA SA QN (SCD) vô lý .

0,25

Nếu MN QP thì MN song song với BC. Đảo lại và kết luận

∈ ≥ ≥ x N, 2x 2, x 2, x 3 ≥ ⇒  ∈ x N ≥ x 3

Phần dành riêng cho từng ban

6.A.

0,5

Gọi ba số đã cho là a, b, c ta được:

+ + =

a b c 27 (1) a.b.c 693 (2)

0,5

b d .b. b d

+ = Do a c Từ (2) suy ra (

nên 3b ) −

   = ⇒ = . b 9 ) = 693

27 ( +

0,5

= ⇔ =

⇒ − 9

− 81 77

= ⇔ = ± 2 d

693 9

0,5

Vậy ba số cần tìm là: 7; 9; 11 hoặc 11; 9; 7.

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

≠

)

6.B.

0,5

⇒

Vì C nằm trên AB nên : (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = CM kCQ

0,5

BQ // AP Q chạy trên (O) nên quỹ tích của M là đường tròn (

)

CV do )

M là ảnh của Q qua phép vị tự ( k V O C

O 1

0,5

⇒

AQ // BP

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = CQ kCN

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CN

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CQ

hay

. Vậy quỹ tích của N là

1 k

0,5

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( CA kCB; k

)

1 ( V O k C

Chú ý : Do Q khác A và B nên tập hợp điểm M không phải toàn bộ đường tròn ( 10 ) . Tương tự tập hợp điểm N không phải toàn bộ đường tròn

)0( 2

đường tròn (

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

SỞ GD & ĐT THỪA THIÊN HUẾ

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC

MÔN: TOÁN LỚP 11 - N Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH

Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình lượng giác sau:

5sin

a) cos 2

+ = . 2 0

cos

+ x x sin (2sin − x 1 2 cos

A =

, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số

+ + x x x 1 3sin (tan − = 1) x sin (sin x cos )

Câu 2 (1 điểm). Từ tập hợp

{ } 0;1; 2;3; 4;5; 6

khác nhau và lớn hơn 3000.

Câu 3 (2 điểm). Một hộp có chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu

nhiên cùng lúc 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho:

a) 4 quả cầu chọn được không cùng màu. b) 4 quả cầu chọn được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

: 2

Câu 4 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng

y+ = và đường tròn

−

C x ( ) :

20 0.

= Tìm trên đường thẳng d điểm M và trên đường tròn (

)C điểm N sao cho N là

(cid:1) v =

− (3; 1).

ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ

Câu 5 (2 điểm). Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và G là điểm trên đoạn

thẳng DN sao cho

. Trên đoạn thẳng BG lấy điểm I (I khác với B và G). a) Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IMN), thiết diện là hình gì?

b) Xác định vị trí điểm I trên đoạn thẳng BG để thiết diện là hình bình hành. Khi đó hãy tính tỉ số

BI BG

B. PHẦN RIÊNG (Học sinh chỉ được làm một trong hai phần)

Câu 6a (1 điểm) (Theo chương trình chuẩn).

= −

n 3

Cho dãy số (

với

n ≥ 1.

)nu biết 1 u

+ 1

Lập công thức số hạng tổng quát

nu của dãy số trên.

n u

Câu 6b (1 điểm) (Theo chương trình nâng cao).

−

1).

biết rằng :

Tìm hệ số của số hạng chứa

9x trong khai triển

3 A n

2 C − n 1

  

 1 −  x

-----------------------------------------------------HẾT-----------------------------------------------------

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

SỞ GD & ĐT THỪA THIÊN HUẾ

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1

MÔN: TOÁN LỚP 11 - N

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CÂU

NỘI DUNG

ĐIỂM

0,25 đ

+ + = ⇔ − + − − = x x x x x x cos 2 5sin 2 0 1 2sin 5sin + = ⇔ 2 0 2sin 5sin 3 0

= x sin

0,25đ

= x sin (lo¹i) 3 − 1 2

1a)

0,5 đ

x k π 2 (cid:2) ⇔ ∈ k ( ).

0,25 đ

≠ ⇔ ≠ ±

cos

π 2

(

Điều kiện:

∈ (cid:2) ).

1 2

π 3

Với điều kiện đó, phương trình tương đương với

+ k π 2  ⇔       = x  π = − + 6 π 7 6

0,25đ

+ = − ⇔ + = x x x x x x x 2sin 3 sin 2cos cos cos 3 sin 2 cos 2

⇔ + = ⇔ − = x x x x x cos sin cos 2 cos cos 2       π 3

1b)

0,25đ

+ (lo¹i) x = − x k k x 2 π 2 π 2 ⇔ ⇔

, (

Vậy phương trình có nghiệm là

∈ Z ).

0,25đ

π 9

π 2 3

≠

π k

(

Điều kiện:

∈ Z Với điều kiện đó, phương trình tương đương với

π 2

+ + = (tháa ®iÒu kiÖn). x = − + x k x k 2 π 2 1 2             3 2 π 3 π 3 π = − + 3 π 9 π 2 3

0,25đ

x sin − + − − + − = x x x x x 3sin 1 1 sin x sin cos = ⇔ 0 3sin x cos (cos x sin ) 0          cos x x x − x cos sin cos    2 ⇔ − − = ⇔ − − = x x x x x x x x 3sin (sin − cos ) cos (sin x cos ) 0 (3sin cos )(sin x cos ) 0

= x n ta 1

1c)

0,25đ

− = = x x x sin cos 0 tan 1 ⇔ ⇔ ⇔ = ± x tan − = = x x x 3sin cos 0 3 tan 1           1 3

= + x π k Z ⇔ ∈ k ).

0,25đ

Gọi abcd là số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000 được lập từ A, khi

+ ( π k  π  4   = ± x  π 6

Câu 2

a ∈

d ∈

{3; 4;5; 6}

{0; 2; 4;6}

đó

và

. Có 2 trường hợp:

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com 2

a ∈

{3;5}

• Nếu

: Có 2 cách chọn a, 4 cách chọn d và

5A cách chọn bc . Do đó trường

0,5đ

2.4.

160

hợp này có

số.

2 A = 5

a ∈

{4; 6}

• Nếu

: Có 2 cách chọn a, 3 cách chọn d và

5A cách chọn bc . Do đó trường

0,25đ

2.3.

120

hợp này có

số.

2 A = 5

Tóm lại có 160+120=280 số thỏa yêu cầu.

0,25đ

CΩ =

0,25đ

= 1820

Câu 3 Số phần tử của không gian mẫu là

4 16

Gọi A là biến cố “4 quả chọn được không cùng màu”. Khi đó A là biến cố “4 quả lấy

0,25đ

được có cùng màu”.

0,25đ

Ω =

41.

Ta có:

4 4

4 C 5

4 C 7

A C

3a)

P A ( )

Do đó xác suất của biến cố A là:

0,25đ

A Ω

= −

≈

P A (

) 1

P A (

) 1

0,98.

Vậy xác suất của biến cố A là

0,25đ

41 1820

1779 1820

Gọi B là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá 2 quả cầu

màu vàng”. Khi đó

0,5đ

Ω = = 41 1820

Ω = + = . . . . 740.

3b)

3 5

1 7

1 4

2 5

2 1 C C C . 7 5

1 4

Ω

≈

P B (

)

0, 41.

Xác suất của biến cố B là

0,25đ

B Ω

740 1820

37 91

+ −

−

0,25đ

M x

− x ( ; 2 )

(

)

N x (

3; 2

1).

Gọi

∈ . Vì

nên tọa độ của N là

N T M= (cid:1) v

+ B C C C C C

C (

0,25đ

∈ ⇔ + − − + − − = ) ( 3) + − ( 2 1) 2( + − 3) 4( 2 1) 20 0

⇔ = ⇔ = ± 20 5 2.

Câu 4

0,25đ

N −

(5; 5).

Với

x = ta có 2

M − và (2; 4)

0,25đ

M −

( 2; 4)

(1;3).

Với

x = − ta có 2

và

0,25đ

Vẽ hình thiết diện đúng: 0,25đ

Gọi Q là giao điểm của NI và BD.

∈

∩

BCD

Q MNI (

)

(

)

Ta có

⊂

MN MNI BC

BCD

(

)

và

//MN BC nên giao

0,25đ

tuyến của (MNI) và (BCD) là đường thẳng d đi

5a

qua Q song song với BC, cắt CD tại P.

Khi đó tứ giác MNPQ là thiết diện của hình

0,25đ

chóp cắt bởi (IMN).

0,25đ

Vì MN//PQ nên thiết diện là hình thang.

www.DeThiThuDaiHoc.com

CÂU

www.MATHVN.com NỘI DUNG Thiết diện MNPQ là hình bình hành khi

MN PQ=

. Do đó, gọi Q là trung điểm BD

BC 2

5b

H BD∈

)

. Ta có:

và I là giao điểm của BG và NQ. Khi đó với điểm I xác định như vậy thì thiết diện thu được khi cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (MNI) là hình bình hành. Trong (BDN), kẻ GH//NQ (

HQ .

HQ HQ NG QD QB ND

ĐIỂM 0,25đ 0,25đ 0,25đ

= = = ⇒ = 4 1 4

BQ +

BI = BG BH BQ QH

QH 4 + QH QH 4

= = = . 4 5

n 3

với mọi

1n ≥ , do đó:

Ta có

n =

+ − 3

−

u 1 u

= − 6

u 3 u

2 u 3

= − 9

= − ............. − u u 3( 1)

6a)

trong đó

1n − số hạng liên tiếp

− n 1 Suy ra

u 1

S − n 1

1nS − là tổng của

của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d=3. Do đó

− = + + + + 3 6 9 ... 3( − = 1)

− 1

n 2)( 2

− − 1).3 3( ) ( = + + + + − + = 3 6 9 ... 3( − = 1) ( 1).3 . − 2

n 3

Vậy

u 1

S − n 1

≥

n N

Điều kiện:

∈ .

−

+ ⇔ 1)

3 A n

2 − n 1

− n ( 1)! − n 2!( 3)!

n ! − 3)! −

−

n ( 3(

−

⇔ − n (

2)(

+ ⇔ 3

n 3

− 2 ) 16

n 3

−

= ⇔ −

− + =

2)( 2 n (

n 13

12 0

12)(2

1) 0

⇔ − n 2 ⇔ = n

12.

− 4 = + = = − + 2 . − 2 − n 3 2

6b)

−

Khi đó

Số hạng tổng quát

12   

  

  

  

1 x

−

2 x .( 2 )

− .( 2)

T k

+ 1

k 12

−

12   

1 x

x 12 x

−

) 9

(12

k 3

9x khi 2

= ⇔ = ⇔ = 7. 21

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

= −

7 C −

101376.

   1kT + chứa Vậy số hệ số của số hạng chứa

9x là:

12.( 2)

Ghi chú: Các cách giải khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa và điểm thành phần cũng được cho một cách tương ứng. www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1

MÔN: TOÁN LỚP 11 - N

Tổ Toán

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình lượng giác sau:

− =

4 sin

4 cos

1 0.

−

(2 cos

( 3 2 cos

) − . 1

1)(cos x

+ sin

−

tan

sin 2

cos 2

tan

(

)

Câu 2 (1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số trong đó chữ số 9 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại

có mặt một lần.

Câu 3 (2 điểm).

a) Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 20 nữ để tham gia đồng diễn. Tính

xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam. b) Một đồng xu do chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt ngửa chỉ bằng 80% xác suất xuất

hiện mặt sấp. Tính xác suất để khi gieo 4 lần độc lập thì được ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa.

−

Câu 4 (1 điểm). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

biết rằng:

  

  

1 2 x

−

(

) 5 .

−

P n

A − n n

+ − y x + − y C x ( ) : 2 10 0.

Câu 5 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

đường tròn (

)C các điểm

,M N sao cho N là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỷ số

k = − (với O là gốc

tọa độ).

AD BC Gọi E, F lần lượt là

= Tìm trên

Câu 6 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và

trung điểm của AB, CD; H, K lần lượt là trung điểm của SE và SF; G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên

IG= 3

đoạn SG lấy điểm I sao cho

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (HIK). Thiết diện là hình gì?

= SD AD

a 2 .

b) Biết rằng SA BC a

= và

Hãy tính theo a chu vi của thiết diện vừa tìm được.

-----------------------------------------------------HẾT-----------------------------------------------------

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1

MÔN: TOÁN LỚP 11 - N

ĐIỂM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Tổ Toán ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NỘI DUNG CÂU +

− = ⇔ − − = + − x x x x x x − = ⇔ 1 0 4 4 cos 3 0 4 cos 4 cos 4 cos 4 cos 1 0 4 sin

= (lo¹i) x cos

= x cos

1a)

3 2 − 1 2

0,25 đ 0,25đ 0,5 đ

+ = x k π 2 (cid:1) ⇔ ∈ k ( ) .

+ k π 2   ⇔     π 2  3  π 2  = − x  3

Điều kiện: sin Với điều kiện đó, phương trình tương đương với

≠ ⇔ ≠ ∈ (cid:1) x x kπ k ( ). 0

− − ⇔ − = − x x x x x x x 2 cos cos − = 1 3(2 cos 1) sin cos 2 cos 3(sin 2 x sin )

⇔ − = − x x x x 3 sin cos 3 sin 2 cos 2

⇔ − = − ⇔ − = − x x x x x x sin cos sin 2 cos 2 sin        sin 2      3 2 1 2 3 2 1 2 π 6 π 6

1b)

0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

= − x − = − + x x k 2 π 2 π 6 ⇔ ⇔ = + háa ®iÒu kiÖn). (t x k + + = − π x k 2 π 2     π k 2 π 4 9 (lo¹i) π 2 3     − x  π 6 π 6 π 6

Vậy phương trình có nghiệm là

π 4 9

π 2 3

= + x k k , ( ∈ Z ).

π k

Điều kiện:

π 2

≠ + x k ( ∈ Z ).

+ − = − x x x x x 2sin cos cos tan 6 sin

Với điều kiện đó, phương trình tương đương với ( − ) 2 tan

⇔ + + x x x x tan (1 tan 6

1c)

) )

) ( . tan ) ( x . tan x tan

+ ⇔ − = − − + − − = x x x x x x x x ( = − 1 tan 6 tan tan tan tan + ⇔ 6 2 tan 6 tan 2 tan 6 0

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Có 2 trường hợp: • Chữ số ở hàng đầu tiên (hàng trăm ngàn) bằng 9: Xếp 2 chữ số 9 vào 5 vị trí: có

5040

số.

= ± + x π k Z ⇔ ⇔ ∈ k ). π 4 = ± = − x x tan tan 1 3    = − + x ( π k arctan( 3)    

Câu 2

C A = 9.

2 5

5C cách. Chọn 3 chữ số trong 9 chữ số (khác với 9) và 9A cách. Do đó trường hợp này có

sắp chúng vào 3 vị trí còn lại: có • Chữ số ở hàng đầu tiên (hàng trăm ngàn) khác 9:

Chọn chữ số cho hàng đầu tiên: có 8 cách. Xếp 3 chữ số 9 vào 5 vị trí: có

5C cách.

Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số (khác với chữ số đã chọn ở hàng đầu tiên và khác 9) và

0,25đ 0,5đ

www.DeThiThuDaiHoc.com

sắp thứ tự chúng vào 2 vị trí còn lại: có

www.MATHVN.com 8A cách.

4480

Vậy trường hợp này có

số

2 C A = . 8

3 5

0,25đ

CΩ = |

324632.

Tóm lại có 5040+4480=9520 số thỏa yêu cầu. Số phần tử của không gian mẫu là

3a)

113750.

Ω = |

5 35 Gọi A là biến cố “5 học sinh chọn được có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam”. Khi đó có các trường hợp xảy ra là: 1 nữ và 4 nam; 2 nữ và 3 nam. 4 Số kết quả thuận lợi cho A là 15

3 15

1 20 |

Vậy xác suất của biến cố A là:

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

A C C Ω A Ω |

2 C C . 20 113750 324632

| ≈ = = 0,35. P A ) ( |

ngửa là 0,8x . Ta có

Gọi x là xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu khi gieo. Khi đó xác suất xuất hiện mặt 5 9

= ⇔ = = + x x x 0,8 1 . 1 1,8

{1, 2,3, 4})

i ∈ (

, trong đó

Gọi A là biến cố “gieo đồng xu 4 lần độc lập thì được ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”. Lúc đó A là biến cố “gieo đồng xu 4 lần độc lập thì được không xuất hiện mặt ngửa lần nào”. Ta có

iA là biến cố lần gieo thứ

= A A A A A 1 4

3b)

xuất hiện mặt sấp.

P A ( )

). (

(

)

Vì

P A P A P A P A 2 4

5 9

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

= −

≈

P A (

) 1

P A (

) 1

0, 905.

Vậy

, , , A A A A độc lập với nhau nên 1  =     

45    9

2,≥

Điều kiện:

n N . ∈

−

  

−

n A n

− + = ⇔ − + − n n n n 2 (4 5) 3 2. ! (4 5).( = 2)! 3. P n P n n ! 2! − 1) ⇔ + = − n n n ⇔ − n n 2 ( − − 1) (4 5) 9 = 10 0 n n 3 ( 2

. = n n 10 = − (lo¹i) 1 ⇔  

Câu 4

−

Số hạng tổng quát

Khi đó

10   

1 2 x

− 30 3

−

− ( 1)

T k

+ 1

k 10

(

)

1 2

        

−   x

−

= ⇔ = ⇔ = 6. 30

−

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

17010.

1kT + không chứa x khi 30 3 k Vậy số hạng không chứa x của khai triển là:

10.3 .( 1)

  

M x y ( ;

)

C∈ (

)

Gọi

⇔

. Khi đó x (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) ⇔ = − ON

⇒ − N

)

2 2 − (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) OM 2

− ( 2 ; 2 ).

(

Ta có:

= N V (

− , 2)

= − 2 = −

N y

  

+ = + − y 10 0 (1).

Câu 5

+ −

− −

+ −

∈ ⇔ − )

C (

x 2( 2 )

− ( 2 ) 10 0

x ( 2 ) 2

y ( 2 ) 2

−

⇔ + x 4

= 10 0

(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ

0,25đ 0,25đ

www.DeThiThuDaiHoc.com

−

+ − y

www.MATHVN.com = x 10 0 8 4

= 40 0

⇔

2 2

−

= 10 0

    

−

= 30 0

⇔

6 2

−

+ −

+ − y

= 10 0

5 10 0

  

      12  2 

⇔

= − 2 =

x y

= 20 0

  

  5 

0,25đ 0,25đ

M −

( 2;1)

− (4; 2).

và

Vậy

∩

J HI ED .

Khi đó

∩

∈

HIK

ABCD

Trong (SED) gọi J )

(

)

= .

⊂

HIK

ABCD HK

(

)

∩

Lúc đó

∩

∈

(

Ta có mà ), //EF HK nên giao tuyến của (HIK) và (ABCD) là đường thẳng qua J song song với EF, cắt AB tại M, cắt CD tại N. Trong (SCD), gọi = P NK SC Vì SBC P HIK ( ). )

6a

⊂

SBC

)

(

HIK BC ),

và

A M E

//MN PQ (do cùng song song với

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

//BC HK HK ( nên giao tuyến của (HIK) và (SBC) là đường thẳng qua P song song với BC, cắt SB tại Q. Khi đó tứ giác MNPQ là thiết diện cần tìm. Vì BC) nên thiết diện là hình thang.

⇒ = EJ

= ⇒ 3

LI EJ //

+ Gọi L là trung điểm HE, ta có

SI IG

= ⇒ =

EG .

Mặt khác,

Do đó

do đó J là trung điểm ED.

SL LE 3 4 3 1 . 2 3

1 2