Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Cụm THCS huyện Nga Sơn, Thanh Hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

‘Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Cụm THCS huyện Nga Sơn, Thanh Hóa" là tài liệu tham khảo được TaiLieu.VN sưu tầm để gửi tới các em học sinh đang trong quá trình ôn thi, giúp học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và nâng cao kĩ năng giải đề thi. Chúc các em học tập và ôn thi hiệu quả!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Cụm THCS huyện Nga Sơn, Thanh Hóa

PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN 3 CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH MÔN: TOÁN 7 ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi: 23 tháng 02 năm 2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I. (4,0 điểm). 1) Thực hiện phép tính: 1 −2 1 5 −1 −4 1 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 a) A = − + + − + + =b) B − ( 2 .3) (125.7 ) 6 3 2 5 3 7 6 35 41 2 + 84.35 + 59.143 1 1 1 1 c) C = 2 − 1).( ( 2 − 1).( 2 − 1)...( − 1) 2 3 4 20232 2. Cho a = b = c . Tính giá trị biểu thức : P = a + b + b + c + c + a . b+c c+a a +b c a b Câu II. (4,0 điểm). 1. Tìm x,y,z thỏa mãn: 4x 3y;4y 3z và 2x + y − z = 14 = = − 2. Tìm số nguyên tố p sao cho p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố 3. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x + y)4 = 40x + 41. Câu III. (4,0 điểm). a c a.c 2022a 2 + 2023c 2 1. Cho = . Chứng minh rằng = b d b.d 2022b 2 + 2023d 2 2. Cho A= x100 − 100x 99 + 100x 98 − 100x 97 + ... − 100x + 2122 . Tính A khi x=99 Câu IV. (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. a) Chứng minh: MD = ME. b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I, đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh: I là trung điểm của DK và SC vuông góc với AK. c) Chứng minh: MD + ME ≥ AD + AE. Câu V. (2,0 điểm). 1 1 1 1 2023 Cho A  1     ...  , chứng minh rằng: A  . 2 3 4 2 2023 1 2 ……………………HẾT……………………
PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN THI: Toán 7 Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Câu Phần Nội dung Điểm I a 1 −2 1 5 −1 −4 1 A= − + + − + + 4đ 2 5 3 7 6 35 41 1đ 1 2 1 5 1 4 1 = + + + + − + 2 5 3 7 6 35 41 1 1 1 2 5 4 1 = ( + + )+( + − )+ 2 3 6 5 7 35 41 0.25 3 2 1 14 25 4 1 = ( + + )+( + − )+ 6 6 6 35 35 35 41 0.25 1 1 1 =+ 1 + 1 =+ 2 =2 0.25 41 41 41 1 Vậy A = 2 0.25 41 b 2 .3 − 46.92 12 5 510.73 − 255.492 = 1đ b. B − ( ) 22.3 + 84.35 (125.7 ) + 5 .14 6 3 9 3 212.35 − (22 )6 .(32 ) 2 510.73 − (52 )5 .(7 2 ) 2 212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 4 0.25 = − = 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3 ( 22.3) + (23 )4 .35 (53 ).7  + 59.(2.7)3 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7 6 3   212.34 (3 − 1) 510.73 (1 − 7) 0.25 = 12 5 − 2 .3 (3 + 1) 59.73 (1 + 23 ) 212.34.2 510.73 (−6) 1 −10 1 20 7 0.25 = 12 5 − 9 3 = − = + = 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 6 6 2 7 0.25 Vậy B= = 2 c 1 1 1 1 C = 2 − 1).( 2 − 1).( 2 − 1)...( ( − 1) 1đ 2 3 4 20232 1 − 22 1 − 32 1 − 42 1 − 20232 −3 −9 −15 −4092528 = 2 . 2 . 2 ... = 2 . 2 . 2 ... 0.25 2 3 4 20232 2 3 4 20232 3 9 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 = = 2 . 2 . 2 ... . . ... 0.25 22 32 42 20232 2 3 4 20232 1.3 2.4 3.5 2022.2024 1.3.2.4.3.5....2022.2024 = 2 . 2 . 2 ... = 0.25 2 3 4 20232 22.32.42...20232 (1.2.3.4.5....2022)(3.4.5....99.2024) 1.2024 1012 = = = (2.3.4.5....99.2023)(2.3.4.5....2023) 2023.2 2023 0.25 1012 Vậy C = 2023 d + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 1đ Khi đó P =(−1) + (−1) + (−1) =−3 0.25 + Nếu a + b + c ≠ 0 thì : a b c a +b+c 1 = = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2 0.25 Suy ra b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c
a + b b + c c + a 2c 2a 2b 0.25 Khi đó P = + + = + + =6 c a b c a b 0.25 Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. II a Ta có: 4đ x y x y y z y z 1,5đ 4x = 3y ⇒ = ⇒ = ;4y = 3z ⇒ = ⇒ = 3 4 9 12 3 4 12 16 x y z ⇒ = = 0.5 9 12 16 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: 0.5 x y z 2x 2x + y − z −14 = = = = = = −1 9 12 16 18 18 + 12 − 16 14 0.25 Suy ra: x = = = −9;y −12;z −16 Vậy x = = = −9;y −12;z −16 0.25 b p + 2 = 2 là hợp số=> p = 2 ( l ) a, Giả sử với p = 2 là số nguyên tố => 4 0.25 +Với p = 3 là số nguyên tố =p + 6 = 3 là hợp số=> p = 3 ( l ) > 9 1,5đ 0.25 +Với p = 5 là số nguyên tố => p + 2 7, p + 6 11, p + 8 13, p + 14 19 đều là số nguyên tố = = = = 0.25 +Với p > 5 = > p = 5k + 1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k + 4, ( k ∈ N ) -Nếu = 5k + 1 => p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 155 và lớn hơn 5 p =p + 14 là hợp số =p = + 1( l ) > > 5k -Nếu = 5k + 2 = p + 8 =k + 105 và lớn hơn 5 =p + 8 là hợp số p > 5 > 0.25 =p = + 1( l ) > 5k -Nếu = 5k + 3 =p + 2 = + 55 và lớn hơn 5 =p + 2 là hợp số p > 5k > =p = + 3 ( l ) > 5k -Nếu = 5k + 4 = > p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 105 và lớn hơn 5 p =p + 6 là hợp số =p = + 4 ( l ) > > 5k 0.25 0.25 Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm c Do x, y nguyên dương nên 40x < 41x, 41 ≤ 41y. Khi đó, ta có: 1đ (x + y)4 = 40x + 41 < 41x + 41y < 41x + 41y = 41(x + y) ⇔ (x + y)3 < 41 < 64 = 43 ⇒ x + y < 4 (1) 0.25 Do x nguyên dương nên 40x + 41 ≥ 40.1 + 41 = 81 ⇒ (x + y)4 ≥ 81 ⇒ x + y ≥ 3 (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra x + y = 3 mà x, y ∈ N* nên (x; y) = (1; 2), (2; 1) 0.25 Qua thử lại được x = 1, y = 2. 0.25 III a a c a c a 2 c 2 a.c a 2 c 2 4đ 2đ Ta có = ⇒ . =   =   ⇒ = = 1 b d b d b d  b.d b 2 d 2 a.c 2022a 2 2023c 2 2022a 2 + 2023c 2 ⇒ = = = 0,75 b.d 2022b 2 2023d 2 2022b 2 + 2023d 2 a.c 2022a 2 + 2023c 2 0,25 Vậy = b.d 2022b 2 + 2023d 2 b Thay x=99 vào biểu thức A ta được:
2đ A 99100 − 100.9999 + 100.9998 − 100.9997 + ... − 100.99 + 2122 = 0,25 = 99100 − (99 + 1).9999 + (99 + 1).9998 − (99 + 1).9997 + ... − (99 + 1).99 + 2122 0,5 = 99100 − 99100 − 9999 + 9999 + 9998 − 9998 − 9997 + ... − 992 − 99 + 99 + 2023 0,5 = 2023 0,5 Vậy Khi x=99 thì A = 2023 0,25 IV 6đ Vẽ hình ghi GT,KL 0.5 đ A E D H Q C I M P B K F S a   900 (MD   900 (AM -Ta có: AMD + AME = ⊥ ME) và AME + CME = ⊥ 1,5đ  CME  BC) ⇒ AMD = 0,5   -c/m: BAM ACM 450 ; AM = MC = = 0,25 -Xét ∆ AMD và ∆ CME có:     0,5 AM = CM ; AMD = CME ; MAD ACM 450 = = ⇒ ∆ AMD = ∆ CME (g.c.g) ⇒ MD = ME 0.25 b Hạ DP, KQ vuông góc với BC tại P và Q 2đ Chứng minh: I là trung điểm của DK 0,25 Chứng minh: ∆ BDP = ∆ CKQ suy ra DP = KQ 0,25 Chứng minh: ∆ PID = ∆ QIK suy ra DI = IK, hay I là trung điểm của DK 0,5 Chứng minh: SC ⊥ AK   Chứng minh: ∆ ABS = ∆ ACS suy ra ABS = ACS (1) 0,25   Chứng minh: ∆ SBD = ∆ SCK suy ra SBD = SCK (2) 0,25   Từ (1) và (2) suy ra: ACS = SCK 0,25   1800  Mà ACS + SCK = ⇒ ACS = 900 ⇒ SC ⊥ AK 0,25 c Gọi giao điểm của DM với SC là F. chứng minh ∆ MDB= ∆ MFC ⇒ MD=MS ⇒ M là trung điểm của DF 2đ 0,5 Từ F kẻ FH ⊥ AB tại H. Chứng minh ∆ FAH= ∆ AFC ⇒ FH = AC 0,5
Do ∆ AMD = ∆ CME ⇒ AD = CE ⇒ AD + AE = AC. 0,5 Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,5 Mặt khác DF ≥ HF ⇒ DF ≥ AC hay MD + ME ≥ AD + AE - Dấu “=” khi MD ⊥ AB. V Ta có : 2đ 1 1 1  1 1 1 1  1 1  1 0.25 A  1             ...   2022        ...  2023   2023  2  3 4  5 6 7 8     2 1  2  2  1 1 1 1 1 1 1  1 1  1 A  1    2  2    3  3  3  3   ...   2022  ...  2023   2023       0.5 2 2  2  2   2 2 2   2 2  2  1 1 1 1 1 A  1   2. 2  22. 3  ...  22022. 2023  2023 2 2 2 2 2 0.5 1 1 1 1 1 1 A  1    ...   2006  1  2016.  2016 0.25 2 2 2 2 2 2 2023  1  2023   1 2023   0.25 2  2      2 Vậy A  1  1  1  1  ...  1  2023 2 3 4 2 2023 1 2 0.25 ...............Hết...............