SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 03/11/2009
Câu 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2
2
4
4
4 .
y x x
z y y
x z z
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho hai dãy số
n
a
và
n
b
được xác định như sau:
1 n
+ ...
1 2
n
n n
an n
và
1n n n
b a a
với
( trong đó
x
là phần
nguyên của số thực
x
). Chứng minh rằng dãy số
n
b
có vô số số hạng dương và
vô số số hạng âm.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho đa thức với hệ số thực
1
1 1 0
( ) ...
n n
n n
P x a x a x a x a
có
n
nghiệm
thực phân biệt. Chứng minh rằng
2
1 1 2 1
. . , 1;2;...; 1 .
2 2
k k k
k
a a a k n
k
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác nhọn
( )ABC AB AC
có các đường cao
,AD BE
và
CF
. Gọi
P
giao điểm của hai đường thẳng
EF
và
BC
. Kẻ đường thẳng
d
đi qua điểm
D
và
song song với đường thẳng
.EF
Đường thẳng
d
cắt hai đường thẳng
AB
và
AC
lần lượt tại hai điểm
Q
và
R
. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
PQR
đi qua trung điểm của cạnh
.BC
Câu 5. (4,0 điểm)
Gọi
n
S
là tập hợp tất cả các hoán vị
1 2
( , ,..., )
n
a a a
của tập hợp
1,2,...,n
sao cho
trong mỗi hoán vị có đúng một phần tử lớn hơn tất cả các phần tử đứng trước nó.
Tìm số phần tử của tập hợp
n
S
và tính giá trị trung bình cộng của các số
1
a
trong
các hoán vị thuộc tập hợp
.
n
S
-----------Hết-----------
Họ và tên: ..........................................................................................................Số báo danh:.......................
§Ò chÝnh thøc
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 04/11/2009
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho dãy số
n
p
là dãy tất cả các số nguyên tố thoả mãn
12p
và
*
1, .
n n
p p n
Đặt
1 2 ... .
n n
S p p p
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên
1n
luôn tồn tại số tự nhiên
m
sao cho
21.
n n
S m S
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho ba số thực dương thay đổi
,x y
và
z
thoả mãn
1.xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
3 3 3 3 3 3 6( ).P x y y z z x x y z
Câu 3. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số
:f
sao cho
( ( ) ( )) 2 ( ) , , .f xf y f x f x xy x y
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho hình thang
ABCD
có
AB
không song song với
CD
.Đường tròn
1
( )O
đi qua
hai điểm
,A B
và tiếp xúc với đường thẳng
CD
tại
M
,đường tròn
2
( )O
đi qua hai
điểm
,C D
và tiếp xúc với đường thẳng
AB
tại
N
. Hai đường tròn
1
( )O
và
2
( )O
cắt
nhau tại
E
và
F
. Gọi
I
là trung điểm
MN
. Chứng minh rằng ba điểm
,E F
và
I
thẳng hàng.
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho hai số tự nhiên
k
và
n
thoả mãn
1 .k n
Lấy tất cả các tập con có
k
phần tử
của tập hợp
1;2;...; .n
Mỗi tập con này đều có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
Gọi
a
là trung bình cộng của các phần tử nhỏnhất và
b
là trung bình cộng của các
phần tử lớn nhất. Chứng minh rằng
.b ka
----------Hết----------
Họ và tên: ..........................................................................................................Số báo danh:.......................
§Ò chÝnh thøc