1
SÔÛ GD – ÑT BEÁN TRE KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG
BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG
TRÖÔØNG THPT BEÁN TRE NAÊM HOÏC 2005 – 2006
ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN
THÔØI GIAN: 180 PHUÙT
Baøi 1 : ( Soá hoïc )
Cho 17 soá töï nhieân maø moãi soá nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 13 soá khaùc .
Chöùng toû raèng coù theå choïn ra trong ñoù 5 soá maø chuùng ñoâi moät nguyeân toá cuøng
nhau .
Baøi 2 : ( Ñaïi soá )
Cho 2006 soá thöïc :
1 2 2006
; ;........;a a a
thoaû ñieàu kieän :
1 2 2006
cos cos 2 ......... .cos 2006 1f x a x a x a x
vôùi moïi giaù trò cuûa x .
Chöùng minh :
1 2 2006
.......... 2006a a a
.
Baøi 3 : ( Giaûi tích )
Tìm haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau
ñaây :
(1)
f(2006) = 2006
(2)
f(x+y) = f(x) + f(y) , x,y R
2
(3)
21
Neáu x 0 thì f(x) = x . f ( )
x
Baøi 4 : ( Hình hoïc phaúng )
Cho ñöôøng troøn (c) coù taâm laø O vaø ñöôøng thaúng (
) khoâng caét (C ) . Töø
moät ñieåm M thay ñoåi treân (
) keû tieáp tuyeán MT vaø MH tôùi (C) . Goïi A laø hình
chieáu vuoâng goùc cuûa O leân (
) vaø E,F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A
leân MT,MH. Chöùng minh EF luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh .
Baøi 5 : ( Hình hoïc khoâng gian )
Cho töù dieän ABCD coù AB =CD , AC =BD, AD = BC . Goïi
,,
laø caùc goùc
do caùc maët ABD,ABC,ACD taïo vôùi maët BCD vaø hình chieáu cuûa A treân
(BCD) thuoäc mieàn tam giaùc BCD .
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa
ÑAÙP AÙN
Baøi 1 : ( Soá hoïc )
Cho 17 soá töï nhieân maø moãi soá nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 13 soá khaùc .
Chöùng toû raèng coù theå choïn ra trong ñoù 5 soá maø chuùng ñoâi moät nguyeân toá cuøng
nhau .
Xeùt soá a tuøy yù trong 17 soá ñaõ cho .
a nguyeân toá cuøng nhau vôùi iùt nhaát 13 soá khaùc laø b1 ,b2 ,b3 , …..b13 .
3
Do moãi soá khoâng nguyeân toá cuøng nhau vôùi nhieàu nhaát laø 3 soá khaùc neân b1
seõ nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 9 soá khaùc trong caùc soá b2 , b3 ,…..b13 .
Giaû söû b1 nguyeân toá cuøng nhau vôùi 9 trong 12 soá ñoù laø c1 , c2 ,….c9 .
c1 seõ nguyeân toá cuøng nhau vôùi 5 soá khaùc trong caùc soá c2 , c3 ,……c9 .
Giaû söû laø d1 , d2 , ……d5 .
d1 seõ nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 1 trong 4 soá d2 , d3 ,d4 , d5 .
Giaû söû laø d1 nguyeân toá cuøng nhau vôùi soá e trong 4 soá treân .
Ta coù : 5 soá a,b1 ,c1 ,d1 , e laø 5 soá ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau trong 17
soá ñaõ cho .
Baøi 2 : ( Ñaïi soá )
Cho 2006 soá thöïc :
1 2 2006
; ;........;a a a
thoaû ñieàu kieän :
1 2 2006
cos cos 2 ......... .cos 2006 1f x a x a x a x
vôùi moïi giaù trò cuûa x .
Chöùng minh :
1 2 2006
.......... 2006a a a
.
Ta coù :
2007
sin1003 .cos 2
cos cos 2 .......... cos 2006
sin 2

= A (1,0 ñ )
Maët khaùc khi
2
2007
k

( Trong ñoù k = 1 ; 2 ; ……..; 2006 ) thì A = -1 (1,0
ñ )
Thay
1 2 2006
2 4 4012
; ; ............;
2007 2007 2007
x x x
, vaøo bieåu thöùc ; f (x)
ta coù :
1 2 2006
2 4 4012
cos cos ........... cos 1
2007 2007 2007
a a a
1 2 2006
4 8 8024
cos cos ........... cos 1
2007 2007 2007
a a a
…………………………………………………………………………………………….
4
1 2 2006
4012 8024 4012.2006
cos cos .......... cos 1
2007 2007 2007
a a a
Coäng caùc ñaúngthöùc treân ta ñöôïc :
1 2 2006
............. 2006a a a
Vaäy ta ñöôïc :
1 2 2006
.......... 2006a a a
. ( 2 ñ )
Baøi 3 : ( Giaûi tích )
Tìm haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau
ñaây :
(4)
f(2006) = 2006
(5)
f(x+y) = f(x) + f(y) , x,y R
(6)
21
Neáu x 0 thì f(x) = x . f ( )
x
(2) cho
x = y = 0 f 0 0 (4)
(0,25 ñ )
0 f 1+ (-1) f(1)+ f(-1) f(-1)=-f(1)


(0,25 ñ )
(1) vaø (2) : 2006 =
f(1) + f(2005)=2f(1)+f(2004)
=
... 2006 f(1)
Vaäy
f(1) = 1 vaø f(-1) = -1 (5)
(0,25 ñ )
Xeùt tröôøng hôïp
x 0 ,x 1,ta coù .
x 1 x 1
f( ) f( ) f( ) f(1) 1 (6)
x 1 x 1 x 1
(1,00 ñ )
2
2
x x x 1
f( ) . f( ) Do(3)
x 1 x
(x 1)
22
22
x x 1 x 1
hay f( ) f(1 ) f(1) f( )
x 1 x x
(x 1) (x 1)




2
22
x x 1
f( ) 1 f(x) (7)
x1 (x 1) x




(1,00 ñ )
22
1 1 1
f( ) f(x 1) f(x) 1 (8)
x1 (x 1) (x 1)



(0,50 ñ )
5
2
2 2 2
x 1 1
(6),(7),(8) 1 f(x) f(x) 1 1
(x 1) x (x 1)






Suy ra :
f(x) x
(0,25 ñ )
Vaäy f(x) =
0 neáu x 0
1 neáu x 1
x neáu x 0 ,x 1
Hay
f(x) x , x R
(0,25 ñ )
Baøi 4 : ( Hình hoïc phaúng )
Cho ñöôøng troøn (c) coù taâm laø O vaø ñöôøng thaúng (
) khoâng caét (C ) . Töø
moät ñieåm M thay ñoåi treân (
) keû tieáp tuyeán MT vaø MH tôùi (C) . Goïi A laø hình
chieáu vuoâng goùc cuûa O leân (
) vaø E,F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A
leân MT,MH. Chöùng minh EF luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh .
ÑAÙP AÙN
Goïi I,J laàn löôït laø giao ñieåm cuûa OA , OM vôùi TH
Haï AK vuoâng goùc TH taïi K (0,50
ñ)
Do A thuoäc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
THM
neân E,F,K thaúng haøng
(ñöôøng thaúng Simson) (0,50
ñ)
Ta coù :
222
OT R
OI.OA OJ.OM OT OI I coá ñònh
OA OA
(1,00 ñ)
Goïi L laø giao ñieåm cuûa OA vaø EF
฀
LAK
=
฀
AOM
(so le trong)
=
฀
AHM
(cuøng chaén AM)
K
T
E
M
A
F
I
J
O
L
H