SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022
Môn thi:TOÁN-Bảng A
Ngày thi:02/12/2022
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1.(4,5 điểm)Cho hàm số có đồ thị và điểm .
a) Tìm các giá trị của tham số để hàm sốđồng biến trên khoảng .
b) Tìm các giá trị của tham số sao cho có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của cùng
với điểm tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng .
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Cho tam giác đều . Trên mỗi cạnh lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với
các đỉnh . Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp15 điểm đã cho (tính cả
các điểm)?
b)Một người chọn ngẫu nhiên mộtsố điện thoại, trong đómỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu
cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi
một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này chia hết cho 3.Tính xác suất để người
đó nhận được số điện thoại may mắn.
Câu 3.(5,5 điểm) Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật,, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
Điểm thuộc đoạn sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .
a) Cho , tính thể tích khối chóp.
b) Tính để khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng .
c) Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và . Chứng minh hình chóp nội tiếp một
mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó.
Câu 4.(1,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều có góc . Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng
cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng biết diện tích thiết diện
bằng một nửa diện tích đáy .
Câu 5.(3,0 điểm)Giải hệ phương trình .
Câu 6. (1,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
------------------------- HẾT --------------------------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chữ ký của giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký của giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THPT NĂM 2022
Môn thi:TOÁN - Bảng A
Ngày thi:02/12/2022
(Hướng dẫn này có 05 trang)
I. HƯỚNG DẪN CHUNG
1. Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn của Sở Giáo dục và Đào tạo.
2. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải lập luận chặt
chẽ, tính toán chính xác mới được cho điểm tối đa.
3. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết, phù hợp
với khung điểm của câu/ý đó.Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ
chấm và chỉ được cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ sau khi đã được Chủ tịch HĐCT phê duyệt.
4. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.
II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Câu Sơ lược lời giải/Một số gợi ý
chính Điểm
1a)
Cho hàm số có đồ thị và điểm .
a) Tìm các giá trị của tham số
để hàm số đồng biến trên
khoảng .
2.0
Tập xác định: .
.0.25
0.25
0.25
Tìm được nghiệm của là và 0.5
Bảng biến thiên
m
1
0
+
∞
y'
y
∞
+
m
+1
0
+
x
0.25
Hàm số đồng biến trên khoảng. 0.5
1b)
b) Tìm các giá trị của tham số
sao cho có hai điểm cực trị,
đồng thời hai điểm cực trị của
cùng với điểm tạo thành một
tam giác có bán kính đường tròn
ngoại tiếp bằng .
2.5
Từ phần a) suy ra đồ thị luôn có
hai điểm cực trị với mọi . 0.25
Tính được ; . 0.5
, là các điểm cực trị của đồ thị
hàm số. Dễ thấy . 0.25
Ta có nên là đường kính của
đường tròn. 0.5
Suy ra hay 0.25
0.25
.0.5
2a)
Cho tam giác đều . Trên mỗi
cạnh , , lần lượt lấy 4 điểm phân
biệt và không điểm nào trùng
với các đỉnh , , . Hỏi có thể lập
được bao nhiêu tam giác mà các
đỉnh của nó thuộc tập hợp15
điểm đã cho (tính cả các
điểm, , )?
2,0
Để lập được một tam giác ta cần 0.25
chọn ra 3 điểm không thẳng
hàng. Do đó số tam giác lập
được chính là số cách chọn ra 3
điểm không thẳng hàng.
Chọn 3 điểm bất kì trong
15điểm đã cho (tính cả các
đỉnh , , ) có cách.
0.5
Chọn 3 điểm thẳng hàng trong 6
điểm trên một cạnh có cách. 0.25
Do có ba cạnh nên ta sẽ có số
cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng
là cách.
0.5
Do đó, số cách chọn ra 3 điểm
không thẳng hàng là cách. 0.5
2b)
Một người chọn ngẫu nhiên
mộtsố điện thoại, trong đómỗi
số có mười chữ số và ba chữ số
đầu cố định là 099. Số điện
thoại này được gọi là may mắn
nếu bốn chữ số tiếp theo là các
chữ số chẵn đôi một khác nhau,
ba chữ số cuối là các số lẻ và
tổng ba chữ số này chia hết cho
3.Tính xác suất để người đó
nhận được số điện thoại may
mắn.
2.0
Số phần tử của không gian mẫu
là . 0.5
Gọi số điện thoại may mắn có
dạng .
Số cách chọn các số là: .
0.25
Các số được tạo thành từ các bộ
3 số sau:
, ,
0.25
+ Loại 1 có 5 số
+ Loại 2 có 4.3 = 12 số.
+ Loại 3 có là 4.6 = 24 số.
0.25
Suy ra số các số điện thoại may
mắn là: . 0.25
Gọi là biến cố: “Người đó nhận
được số điện thoại may mắn”
Có .
0.25
Xác suất của biến cố là:. 0.25
3
Cho hình chóp có đáy là hình
chữ nhật, , đường thẳng vuông
góc với đáy. Điểm thuộc cạnh
sao cho . Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng bằng .
3a) a) Cho , tính thể tích khối chóp . 2.0
Chỉ ra .
0.25
Chỉ ra góc giữa và là góc giữa
và nên
0.5
Do đó . 0.25
Tính được . 0.5
Suy ra thể tích khối chóp là . 0.5
3b) Tính để khoảng cách giữa hai
đường thẳng và bằng . 2.0
Kẻ (thuộc ) thì . 0.25
Gọi là hình chiếu của trên và
là hình chiếu của trên, chỉ ra
suy ra
0.25
Tính được . 0.5
Áp dụng hệ thức , tính được
suy ra 0.5
Từ đó tính được nên hay . 0.5
3c)
c) Gọi và lần lượt là hình chiếu
vuông góc của trên và . Chứng
minh hình chóp nội tiếp một
mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu
đó.
1.5
Gọi là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác Kẻ đường kính
của .
Chỉ ra nên .
Suy ra được vuông góc nên
vuông góc nên thuộc mặt cầu
đường kính.
0.25
Tương tự chỉ ra thuộc mặt cầu
đường kính.
Suy ra các điểm cùng thuộc mặt
cầu đường kính.
0.25
Tính được . 0.5
Bán kính mặt cầu bằng bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác
nên .
0.5
* Lưu ý:Nếu học sinh chứng
minh được tứ giác nội tiếp
đường tròn, từ đó suy ra hình
chóp nội tiếp một mặt cầu cho
0.5đ.
4Cho hình chóp tứ giác đều có
góc . Mặt phẳng qua và vuông
góc với đường thẳng cắt hình
1.5
N
B
A
D
S
M
I
J
O
C
A
B
A '
D
S
M
H
K
chóp theo một thiết diện. Tính
góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng biết diện tích thiết diện
bằng một nửa diện tích đáy .
P
M
I
O
C
B
A
D
S
N
I
N
O
A
C
S
Gọi góc giữa cạnh bên và đáy là
.
Gọi là tâm hình vuông .
Trong gọi là hình chiếu của
trên nên , gọi là giao điểm của
và.
0.25
Trong , kẻ đường thẳng qua
song song với cắt lần lượt tại
và .
Chỉ ra suy ra được vuông góc.
Do đó.
0.25
Thiết diện là tứ giác có hai
đường chéo vuông góc nên .
Do đó .
0.25
Mặt khác . 0.25
Do đó . 0.25
Từ giả thiết suy ra nên tính
được . 0.25
5Giải hệ phương trình. 3.0
Điêyu kiêzn . 0.25
(1) 0.25
Xe{t haym sô{ trên . Có. Suy ra
haym sô{ đôyng biê{n trên .
0.25