CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Dành cho học sinh THPT Chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm).
1
x
3
y
3
x
y
1 x
2
y
1. Giải hệ phương trình
x y ,
(cid:0)
1
2
2
2
y
x
1 x
2
y
3
2
2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình
x
ax
bx
3
a
có các
0
nghiệm đều là các số nguyên dương.
,
Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử
là số nguyên lẻ và
2
2
2
b
c
n
n
n
chia hết a a b c d
chia hết
a b c d là các số nguyên sao cho a b c d , , 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có d n b
a
d
c
.
CB CE BF
Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho , đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G.
1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn. 2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG AF
đồng
thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG.
Chứng minh rằng
EHG CAB . 1 · 2
Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu (cid:0) å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f
xác định trên (cid:0) å , nhận giá trị thực và thỏa mãn
xf
x
yf y ( )
yf
y
xf x ( )
x y ,
0
y x
1 x
x y
1 y
Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập
phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số chính phương.
1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số. 2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số?
Trang | 1
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
ĐÁP ÁN
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Nội dung trình bày
Câu
Điể m
1.1 (1,5 điểm)
1(3đ )
Điều kiện
x y , 0
0,25
x
a
0,
y
0;
b
Đặt
viết hệ đã cho về dạng
2
2
2
2
a
b 3
a 3
b
(1)
0,25
4
4
2
b
a
(2)
1 b 2 1 b 2
1 a 1 a
4
4
5
4
2 2 a b
3 2 a b
(1)+(2) thu được
a 10 b 5 a 10 5 ab 2 (3)
0,25
4
5
2 2 a b
4 b
4 a b
2 3 a b
(2)-(1) thu được
5 a 10 5 10 b 1 (4) 2 a 1 b
0,25
5
5
(
a b
)
(
a b
)
Từ (3) và (4) thu được
và 3
. 1
0,25
a
b
Từ đó, tìm được
và
.
5 3 1 2
5 3 1 2
0,25
2
2
x
,
y
Và do đó, tìm được
5 ( 3 1) 4
5 ( 3 1) 4
.
1.2 (1,5 điểm) Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương
Khi đó, theo
,a
3a
định lý Vietta,
và b
và do đó
0,25
(1)
3
3
3
3
3
3
2 3
9
(2).
3
Nếu
3 thì
3 và
, mâu thuẫn với (1). Vậy
3
3
0,25
1
3
Trang | 2
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
3 :
9
3
Với
khi đó
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 2 1 3.3
3 3
Từ đó 1 4.
0,25
b
a
3
2
2 :
3
3.2
21.
3
9
2
Với
Giải phương
2
;
9, 2, 2 trình này với chú ý
. Với
0,5
12,
2
a
16,
52
10,
5,
31.
2 3.1
3
2
9
3
12,
Với
1:
1, 2
3, 3 27. 3 2 ta được . Với
b 3 2
b
vô lí
.
3 2 12; 2 , 5;3 a 3 3 2 16;52 ,
9;27 ,
0,25
a b ;
10;31
0,25
2(2đ )
yt
Vậy tất cả các cặp số + Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a b là ước của x a b xz |
y và là ước của z
”
t thì
2
2
(
a c
)
b d (
)
(
a b c d a b c d )(
) (
a b c d
)
nên suy
+ Mặt khác, do ra
2
2
2
2
c
b
a b c d a
2(
d
)
.
0,25
a b c d ac bd
|
ac bd
0,25
1, 2 :
n
| Từ đó, do giả thiết nên thu được (1) + Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. Với
thì kết luận hiển nhiên đúng.
n
n
n
n
n
(cid:0) n ,
2
a b c d a
|
b
c
d
Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là
với
n
n
n
1
1
1
n
1
0,25
|
c
d
b
a b c d a
| (
a c
a b c d
b d (
)
)
và nhận xét ở trên suy ra a b c d
là
0,25
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
1
n
1
n
1
n
1
b d b ( )(
)(
d
a
b
d
c
c
)
)
ac a (
c
)
bd b (
d
)
0,25
1
1
1
n
n
n
n
1
Ta cần chứng minh (2) Thật vậy, do ước của n ( a c a Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra d a b c d ac a
bd b (
c
(
)
(
|
)
n
n
n
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
)
)(
ac a (
bd b (
là ước của 1 n d )
c
)
bd b (
d
)
a
b
c
d
0,25
n
n
n
n
a b c d a
|
b
c
d
với mọi số
0,25
Vậy suy ra a b c d n ( c a c a (2) được chứng minh. Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra nguyên dương n. 3.1 (2,0 điểm)
3(3đ )
Trang | 3
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
H
F
G
A
E
N
M
I
C
B
AB BC CA ,
Không mất tính tổng quát, xét trường hợp các trường hợp khác xét tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB, … (hình vẽ)
. Do đó
Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc ABC
0
0
090
và
. Suy
BCA CAB CFA CFB AIC 180 90
0,5
ra tứ giác AFCI nội tiếp.
ABC 2 2 ABC 2
Từ đó
và
AFI ACI IAC IFC ICF
0,5
BCA 2
0
Do
EBA BEC CAB (90 ) CAB IBE
0,5
suy
IEB
IBE
090
MGC
MCG
ICG
CAB 2 BCA 2 CAB 2 CAB 2
0,5
Hơn nữa, do tính đối xứng nên ra tứ giác CIEG nội tiếp. 3.2 (1,0 điểm)
Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên
EGI ECI AFI
0,25
IAB
IEB
FAI
suy ra GEI
Hơn nữa, do
đồng dạng FAI
BCA 2
0,25
Suy ra
EG EG AF AI EI BI
AI BI
HGE
AEB
090
AIB
Nhưng
suy ra HGE
0,25
đồng dạng AIB
nên GEI HG AF GE GE BCA 2
EHG
BAI
Từ đó
0,25
CAB 2
Chú ý. Nếu không có sự giả sử AB BC CA để có được thứ tự các điểm như trên hình vẽ, thì yêu cầu phải sử dụng góc định hướng trong chứng minh ở cả hai phần (với cách giải như trên); trong trường hợp thí sinh không sử dụng góc định hướng, cũng không có sự giả sử về thứ tự của các cạnh, đề nghị giám khảo trừ đi 0,5 điểm cho cả hai phần.
f x ( )
x
g x ( )
4(1đ Đặt
, phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng
0,25
Trang | 4
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
)
xg x (
)
yg y ( )
yg y (
)
xg x ( )
x y ,
0
(1)
1 y
1 x
Cho
1y thu được
Trong (2), thay x bởi
, ta được
xg x ( 1) g (1) g (1 ) xg x ( ) x 0 (2) 1 x
0,25
1 x
g ( 1) g (1) g (1 x ) g ( ) g (1 ) xg x ( 1) g ( ) xg (1) x 0 (3) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
Từ (2) và (3) suy ra
1
Trong (1), cho
y , bằng lập luận tương tự, cũng được
) xg x ( ) g ( ( x g 1) (1) 0 x (4) 1 x 1 x
0,25
( ) xg x ( ) g g ( 1)( x 1) n 0 (5)
xg x ( )
g
( 1))
x
g ( (1)
g
0
x
Từ (4) và (5) suy ra 2
hay ( 1)
1 x g ( (1)
g x ( ) 0 a x f x ( ) a x , ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra x 0
0,25
b x b x
Thử lại ta thấy
thỏa mãn phương trình đã cho.
f x ( ) a x x 0 b x
5.1 (0,5 điểm)
5(1đ )
ab
,1
a b ,
9
Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là
. Theo giả thiết ta có
2
2
2
là số chính phương. Nếu
,a b đều không chia hết cho 3 thì
a
b
c
2
2
2
2
0,25
a
b
ab
, vô lý vì
là số chính phương suy ra
.
a
b
2 mod 3
0 mod 3
2
2
2
2
không có nghiệm nguyên dương với
81
9
b
c
c
b
81
+) Nếu 1
a 9b
a
b 3
8
b
+) Nếu
, thử trực tiếp ta thấy
6b thỏa mãn. Vậy số dễ
3;6;9
0,25
2
2
2
2
2 2025 45
. Khi đó
suy ra
2 2 2 2
thương lớn nhất có 2 chữ số là 86. 5.2 (0,5 điểm) Xét số A 222211...1 so 1
2009
2 2 ...1 1 2009 so
2 1
0,5
A
là số dễ thương.
222211...1 so 1 2009
------------------Hết------------------
Trang | 5
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên
môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt
giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập.
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung
thời gian tốt nhất để học.
- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ
động thời gian học tập của mình.
- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời
gian ngắn nhất.
- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề
nhanh hơn - hiệu quả hơn.
- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán
trên toàn quốc.
- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá
trình học.
Trang | 6
![Đề thi Tiếng Anh có đáp án [kèm lời giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250810/duykpmg/135x160/64731754886819.jpg)
