Đề thi khảo sát chất lượng làn IV năm 2012-2013 môn Toán - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Lê Bật Thành Công | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Đề thi khảo sát chất lượng làn IV năm 2012-2013 môn Toán - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc sau đây. Tài liệu gồm có phần đề thi và phần hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong việc ôn luyện cũng như thử sức mình trước kì thi THPT sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi khảo sát chất lượng làn IV năm 2012-2013 môn Toán - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

S GD- T V NH PHÚC THI KH O SÁT CH T L NG L N IV N M H C 2012 – 2013 TR NG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN 12 – Kh i A,A1 V NH PHÚC Th i gian: 180 phút (Không k giao ) I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu 1. Cho hàm s y = − x3 + (2m + 1) x 2 − m − 1 (m là tham s ). 1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi m = 1. 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s th c m th c a hàm s ã chi ti p xúc v i ng th ng y = 2mx − m − 1. Câu 2. Gi i ph ng trình 3 ( 2 cos 2 x + cos x − 2 ) + ( 3 − 2 cos x ) sin x = 0 . 2x + y +1 − x + y = 1 Câu 3. Gi i h ph ng trình ( x, y ∈ ) 3x + 2 y = 4 Câu 4. Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i th hàm s y = e x + 1, tr c hoành và hai ng th ng x = ln 3, x = ln 8. Câu 5. Cho hình l ng tr ABC. A′B′C ′ có áy là tam giác u c nh a, hình chi u c a nh A′ trên m t ph ng ( ABC ) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. Bi t r ng kho ng cách gi a hai ng th ng a 3 BC và AA′ b ng , hãy tính th tích c a hình l ng tr và di n tích c a thi t di n khi c t l ng 4 tr b i m t ph ng i qua BC vuông góc v i AA′ . Câu 6. Cho các s th c a, b, c b t k . Ch ng minh r ng (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 II. PH N RIÊNG (Thí sinh ch c m t trong hai ph n riêng, ph n A ho c ph n B ) A. Theo ch ng trình chu n Câu 7a. Trong m t ph ng v i h t!a " Oxy, cho ng tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 27 = 0 và i m M (1; −2). Hãy vi t ph ng trình c a ng th ng ∆ i qua M, c t ng tròn ã cho t i hai i m A và B sao cho các ti p tuy n c a (C ) t i A và B vuông góc v i nhau. Câu 8a. Trong không gian v i h tr c t!a " Oxyz cho m t ph ng ( P ) : 3 x − 2 y + z − 4 = 0 và hai i m A(1;3; 2), B (2;3;1). G!i I là trung i m c a o n th ng AB. Tìm t!a " i m J sao cho IJ vuông góc v i m t ph ng ( P ) ng th i J cách u g c t!a " O và m t ph ng ( P). Câu 9a. Tìm h s c a x trong khai tri n (1 + x − 3 x 2 ) n , bi t r ng n là s nguyên d 4 ng th#a mãn A + A + A = 156. 1 n 2 n 3 n B. Theo ch ng trình nâng cao Câu 7b. Trong m t ph ng v i h t!a " Oxy, cho tam giác ABC v i các ng th ng ch a ng cao k$ t% B, phân giác trong k$ t% A l&n l 't có ph ng trình x + 3 y − 4 = 0, 3 x + y − 12 = 0. Bi t r ng i m M (0; 2) là m" i m n m trên ng th ng AB và cách nh C m"t kho ng b ng 2 10, tìm t!a " các nh c a tam giác. Câu 8b. Trong không gian v i h t!a " Oxyz cho i m A(3; 2;1), m t ph ng ( P ) : x + y + z + 2 = 0 y −1 và ng th ng ∆ : 1x = 2 = z−+11 . Vi t ph ng trình c a ng th ng d i qua A, c t ∆ và ( P ) theo th t t i B và C sao cho A là trung i m BC. 3 Câu 9b. Gi i ph ng trình log 2 ( x + 5) + log 2 2 | x − 1|= 1 + log16 ( x 2 − 3 x + 2)4 2 Cán b coi thi không gi i thích gì thêm!
S GD- T V NH PHÚC THI KH O SÁT CH T L NG L N IV N M H C 2012 – 2013 TR NG THPT CHUYÊN HD ch m môn TOÁN 12 – Kh i A,A1 V NH PHÚC H ng d n chung: - M(i m"t bài toán có th có nhi u cách gi i, trong HDC này ch trình bày s l 'c m"t cách gi i. H!c sinh có th gi i theo nhi u cách khác nhau, n u ý và cho k t qu úng, giám kh o v)n cho i m t i a c a ph&n ó. - Câu (Hình h!c không gian), n u h!c sinh v hình sai ho c không v hình chính c a bài toán, thì không cho i m; câu (Hình h!c gi i tích) không nh t thi t ph i v hình. - i m toàn bài ch m chi ti t n 0.25, không làm tròn. - HDC này có 04 trang. Câu N i dung trình bày i m 1 1.m = 1: y = − x + 3 x − 2 . TX : 3 2 0.25 Chi u bi n thiên: y′ = 3x (2 − x ), y ′ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 Xét d u y′ và k t lu*n: 0.25 hàm s ng bi n trên (0;2), ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞;0), (2; +∞) ; hàm s tc c i t i x = 2, ycd = y (2) = 2; hàm s t c c ti u t i x = 0, yct = y (0) = −2 Nhánh vô c c: lim y = = −∞; lim y = = +∞ , l*p b ng bi n thiên 0.25 x →+∞ x →−∞ V th 2 0.25 2 2. th hàm s ti p xúc v i ng th ng y = 2mx − m − 1 khi và ch khi h sau có nghi m − x 3 + ( 2m + 1) x 2 − m − 1 = 2mx − m − 1 (1) 0.25 −3 x + 2 ( 2m + 1) x = 2m 2 (2) Ph ng trình (1) t ng ng v i x ( x 2 − (2m + 1) x + 2m ) = 0 do ó luôn có nghi m x = 0, x = 1 0.25 và x = 2m Do ó, h (1)-(2) có nghi m khi và ch khi ít nh t m"t trong ba nghi m c a (1) là nghi m c a (2). 1 x = 0 th#a mãn (2): m = 0 ; x = 1 th#a mãn (2): m = ; x = 2m th#a mãn (2): tìm 'c m = 0 và 2 0.25 1 m= 2 K t lu*n 0.25 2 Ph ng trình ã cho t ng ( ng v i 2 3 cos2 x − 2 3 − 2sin x cos x + ) ( ) 3 cos x + 3sin x = 0 0.25 ý r ng sin 2 x + cos 2 x = 1, nhân t+ hóa, thu ( 'c cos x + 3 sin x )( ) 3 − 2 sin x = 0
π 2π Gi i ph ng trình 3 − 2sin x = 0 thu 'c x = + 2k ·π (k ∈ ) và x = + 2m·π (m ∈ ) 0.25 3 3 π Gi i ph ng trình cos x + 3 sin x = 0 thu 'c x = − + n·π ( n ∈ ) 0.25 6 K t lu*n nghi m 0.25 3 i u ki n: 2 x + y + 1 ≥ 0, x + y ≥ 0 0.25 t 2 x + y + 1 = a, x + y = b, (a, b ≥ 0), ý r ng 3 x + 2 y = (2 x + y + y + 1) + ( x + y ) − 1, ta a−b =1 (1) 0.25 'c h a 2 + b2 = 5 (2) Gi i h , v i chú ý a , b ≥ 0, thu 'c a = 2, b = 1. 0.25 2x + y = 3 T% ó, thu 'c . Gi i h , thu 'c ( x; y ) = (2; −1) x + y =1 0.25 i chi u i u ki n và k t lu*n 4 ln 8 Di n tích c&n tính b ng S = e x + 1dx 0.25 ln 3 2tdt t e x + 1 = t , khi ó e x + 1 = t 2 e x dx = 2tdt dx = . H n n a, ln 3 ≤ x ≤ ln 8 ~ 2 ≤ t ≤ 3 0.25 t2 − 1 3 3 3 2tdt dt 3 Suy ra S = t· 2 =2 dt + = = 2 + ln ( .v.d.t) 0.5 2 t −1 2 2 t −1 2 2 5 (Hình v trang cu i) a2 3 Do tam giác ABC là tam giác u c nh a nên S ABC = . Ngoài ra, v i I là trung i m BC, thì 4 0.25 a 3 2 a AI = và AO = AI = . 2 3 3 a 3 1 Do gi thi t, BC ⊥ ( AIA′ ) . Suy ra IH = = AI (H là hình chi u c a I trên AA′ ), suy ra 4 2 0.25 AO 2a a3 3 ∠A′AI = 30 . Do ó A′O = 0 = . V * y V ABC . A′B ′C ′ = = ( .v.t.t) cos 300 3 6 3a a Tính 'c AH = > AA′ nên A′ n m gi a A, H và A′H = . G!i J là giao i m c a IH v i 4 12 m t ph ng ( A′B′C ′ ) , ( P ) là m t ph ng qua BC, vuông góc v i AA′. Khi ó, do BC ( A′B′C ′ ) , 0.25 nên giao tuy n c a ( P ) v i ( A′B′C ′ ) là ng th ng qua J song song v i BC, hay thi t di n là hình thang BCMN (hình v ). HJ A′H 1 8 2a 1 Do = = (K là trung i m B′C ′ ) nên IJ = IH = và MN = BC. Suy ra JI IK 8 9 3 3 8 0.25 1 S BCMN = ( BC + MN ) ⋅ IJ = a 2 3 ( .v.d.t) 2 6 B t ng th c c&n ch ng minh t ng ng v i 0.25 2(a b + b c + c a ) + a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2 c 2 + 8 ≥ 6(ab + bc + ca ) 2 2 2 2 2 2
Do (ab − 1)2 + (bc − 1)2 + (ca − 1) 2 ≥ 0 nên 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 6 ≥ 4(ab + bc + ca ) 0.25 Do ó, ta ch c&n ch ng minh a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2c 2 + 2 ≥ 2(ab + bc + ca ) là Do trong ba s a 2 − 1, b 2 − 1, c 2 luôn có hai s cùng d u, nên 0.25 c 2 (a 2 − 1)(b 2 − 1) ≥ 0 a 2b 2 c 2 + c 2 ≥ b 2 c 2 + c 2 a 2 B i v*y, ta c&n ch ng minh a 2 + b 2 + 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2(ab + bc + ca ) (1) 0.25 ý r ng (1) ⇔ (a − b) + (bc − 1) + (ca − 1) ≥ 0 , luôn úng nên ta có 2 2 2 'c i u ph i ch ng minh. 7a + (C ) có tâm I (−1; 2), bán kính R = 4 2 0.25 R + Kh ng nh: ng th ng c&n tìm cách tâm I m"t kho ng b ng =4 0.25 2 + ∆ : a ( x − 1) + b( y + 2) = 0, v i a 2 + b 2 ≠ 0. | −2a + 4b | 0.25 d ( I ; ∆) = 4 ⇔ =4⇔ ⇔ a = 0 ∨ 3a = −4b. a +b 2 2 + V i a = 0 thì b ≠ 0, tùy ý, do ó ∆ : y + 2 = 0. 0.25 V i 3a = −4b thì ch!n a = 4, b = −3 , do ó ∆ : 4 x − 3 y − 10 = 0. 8a 3 3 3 3 + I ;3; , J ( x; y; z ) IJ = x − ; y − 3; z − 0.25 2 2 2 2 3 3 + IJ p = (3; −2;1) x= + 3t , y = 3 − 2t , z = + t. 0.25 2 2 27 (3 x − 2 y + z − 4) 2 (14t − 4) 2 + OJ 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 14t 2 + , d ( J ; ( P )) 2 = = 0.25 2 14 14 27 (14t − 4) 2 173 Do OJ = d ( J ;( P )) nên thu 'c ph ng trình 14t 2 + = ⇔t=− . 2 14 112 0.25 519 285 5 T% ó J − ; ;− 112 56 112 9a + An1 + An2 + An3 = 156 ⇔ ⇔n=6 0.25 + Khi n = 6 : (1 + x − 3 x 2 )6 = C60 + C61 x(1 − 3 x) + C62 x 2 (1 − 3 x) 2 + C63 x3 (1 − 3 x)3 + C64 x 4 (1 − 3 x)4 + + C65 x5 (1 − 3 x)5 + C66 x 6 (1 − 3 x)6 0.25 Trong khai tri n trên, x ch xu t hi n trong các s h ng C x (1 − 3 x) , v i k = 2, 3, 4. 4 k 6 k k Do ó h s c a x 4 ph i tìm là t,ng các h s c a x 4 trong các khai tri n trên + V i k = 2 : h s c a x 4 b ng 9C62 ; V i k = 3 : h s c a x 4 b ng −9C63 ; V i k = 4 : h s c a 0.25 x 4 b ng C64 . + H s c&n tìm b ng 9C62 − 9C63 + C64 = −30 0.25 7b G!i h, theo th t là ng cao k$ t% B, phân giác trong k$ t% A; N ( x; y ) là i m i x ng v i x−0 = y−2 3 0.25 M qua . Khi ó, x, y là nghi m c a h . T% ó, tìm 'c N (6; 4) x y+2 3⋅ + − 12 = 0 2 2
x−6 y−4 = Do AC ⊥ h, AC AN nên t!a " c a A là nghi m c a h 1 3 . T% ó, tìm 'c 3 x + y − 12 = 0 0.25 13 A( ; −1) 3 13 5 Do B là giao i m c a các ng th ng h và AM, nên …. tìm 'c B ( ; ) 0.25 7 7 3 x − y − 14 = 0 Do MC = 2 10 cà C n m trên AC, nên C có t!a " là nghi m c a h x 2 + ( y − 2 ) = 40 2 0.25 18 16 gi i h , thu 'c C1 ( ; − ), C2 (6; 4) . T% ó, do AB AM nên AN AC , do ó C ≡ C2 (6; 4) 5 5 8b + a ph ng trình ∆ v d ng tham s x = t , y = 1 + 2t , z = −1 − t , do ó m!i i m c a ∆ u có 0.25 t!a " d ng (t ;1 + 2t ; −1 − t ) + Xét i m B (t ;1 + 2t ; −1 − t ) ∈ ∆ , l y C i x ng v i B qua A. Khi ó C (6 − t ;3 − 2t ;3 + t ) 0.25 + C ∈ ( P) ⇔ ⇔ t = 4. 0.25 + Do ó … AB = (1;7; −6) , suy ra ng th ng c&n tìm có ph ng trình x − 3 y − 2 z −1 0.25 = = 1 7 −6 9b + i u ki n x > −5, x ≠ 1, x ≠ 2 0.25 + a ph ng trình v d ng log 2 ( x + 5) + log 2 | x − 1|= 1 + log 2 | x 2 − 3 x + 2 | 0.25 + T% ó, k t h'p v i x ≠ 1, thu 'c ( x + 5) = 2 | x − 2 | 0.25 1 + Gi i ph ng trình này, thu 'c x = 9 ∨ x = − . i chi u i u ki n và k t lu*n. 0.25 3 Hình v cho câu 5. C' H K A' H M A' J K N A O I Hình 1 B' C A I O B Hình 2