SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
KÌ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
ĐỀ THI MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2017 - 2018
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi gồm: 01Trang.
Câu 1 (2,0 điểm).
1. Cho hàm số
1
1
x
yx
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những
điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng
: 3 0xy
bằng
2
.
2. Cho hàm số
4 2 4
22y x mx m m
(C). Tìm
m
để đồ thị (C) của hàm số có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
3
2
2 2 1 3 1
2 1 4 4
y y x x x
y y x
Câu 3 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. G i là t p h p các tam giác có ba đ nh là ba
đ nh của (H). Ch n ng u nhi n 2 tam giác trong . T nh ác suất để ch n đư c 1 tam giác có 1 cạnh
là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của đa giác (H).
Câu 4 (1,0 điểm).
d
d
A
B
B1
A1
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị của
m
để bất phương trình sau đúng với m i
4;6x
:
22
2 24 2x x x x m
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn
I
có hai đường kính
AB
và
MN
với
(1;3), (3; 1)AB
. Tiếp tuyến của
I
tại
B
cắt các đường thẳng
AM
và
AN
lần lư t tại
E
và
F
.
Tìm t a độ trực tâm
H
của
MEF
sao cho
H
nằm tr n đường thẳng
: 6 0d x y
và có hoành độ
dương.
Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vu ng tại
A
và
B
;
4AB BC a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vu ng góc với mặt phẳng
ABCD
.
G i
H
là trung điểm của
AB
, biết khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
SHD
bằng
10a
. T nh thể
t ch khối chóp
.S HBCD
và cosin của góc giữa hai đường thẳng
SC
và
HD
.
Câu 8 (1,0 điểm). ét các số thực
,,abc
thỏa m n
3 abc
và
2 2 2 27
abc
Tìm giá trị lớn nhất của biểu th c:
4 4 4 2 2 2 2 2 2
P a b c ab a b ac a c bc b c
.
..................HẾT...................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm
H và t n th sinh:............................................................ Số báo danh:............................................
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
KHỐI 12
ĐỀ THI MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2017 - 2018.
Câu
Nội dung
Điểm
1.1
(1,0đ)
Cho hàm số
1
1
x
yx
đ h (C). Vi ph ng nh i p u n đ h
(C) i nh ng điểm huộ (C) mà ho ng h điểm đ đ n đ ng h ng
: 3 0xy
ng
2
.
T Đ:
\1D
. G i điểm
1
( ; ) ( ); 1
1
a
M a C a
a

Từ giả thiết ta có
13
1
( , ) 2 2
2
a
aa
dM

0,25
23 4 2 1a a a
2
2
5 6 0
20
aa
aa
2
3
a
a
0,25
Với
2 (2;3)aM
. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại là
27yx
0,25
Với
3 (3;2)aM
. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại là
17
22
yx
V y các phương trình tiếp tuyến của (C) cần tìm là:
2 7;yx
17
22
yx
0,25
1.2
(1,0đ)
Cho hàm số
4 2 4
22y x mx m m
(C). Tìm
m
để đ th (C) c a hàm số có ba
điểm cực tr t o thành một tam giác nội ti p đ ng tròn có bán kính nhỏ
nhất.
T p ác định
D
Ta có:
3
' 4 4y x mx
,
2
0
'0

x
yxm
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và ch khi
0m
0,25
T a độ các điểm cực trị là:
4 4 2 4 2
0; 2 , ; 2 , ; 2 A m m B m m m m C m m m m
Tam giác
ABC
cân tại
A
. G i
H
là trung điểm của
BC
ta có
42
0; 2H m m m
Suy ra
2
ABC
S m m
0,25
G i
R
là bán k nh đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
ta có:
2
2
.
2 sin 4 sin cos 4 . 2
2 2 2
A A BH AH BC AH AB
BC R A R R R R
AB AB AH
AB
0,25
Suy ra
422 3
2
1 1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 4
2
mm
R m m
m m m
m
Dấu bằng ảy ra khi
2
3
11
22
mm
m
V y
3
1
2
m
0,25
Câu 2
(1,0đ)
Gi i hệ ph ng nh s u:
3
2
2 2 1 3 1 1
2 1 4 4 2
y y x x x
y y x
Điều kiện Đ:
4 1, xy
Phương trình
3
33
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3 y y x x x x y y x x
0,25
ét hàm số
3
2f t t t
là hàm đồng biến tr n do đó từ (3) ta có
1yx
Thay vào (2) ta có
3 2 1 4 4 x x x
0,25
ét hàm số
3 2 1 4 g x x x x
là hàm li n tục và nghịch biến tr n
4;1


và có
34g
0,25
Do v y hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
; 3;2xy
0,25
Câu 3
(1,0đ)
Cho đ gi i (H) 22 nh. G i à p h p m gi đ nh à
đ nh (H). Ch n ng u nhi n 2 m gi ong , nh suấ để h n
đ 1 m gi 1 nh à nh đ gi (H) à 1 m gi h ng
nh nào à nh đ gi (H).
Đa giác lồi (H) có 22 cạnh n n có 22 đ nh.
Số tam giác có 3 đ nh là ba đ nh của đa giác (H) là
3
22
C 1540.
Số phần t của kh ng gian m u
là
2
1540
n( ) C 1185030
0,25
Số tam giác có một cạnh là cạnh của đa (H) là 22.18 396
Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa (H) là 22
Số tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122
0,25
G i A là biến cố hai tam giác đư c ch n có một tam giác có 1 cạnh là cạnh của
(H) và 1 tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của (H)
Số phần t của A là
11
396 1122
n(A) C .C
0,25
ác suất của biến cố A là
11
396 1122
C .C
n(A) 748
p(A) n( ) 1185030 1995
0,25
Câu 4
(1,0đ)
Hai ô tô ở hai vị trí A và B cách nhau 5km, xuất
phát cùng một lúc, e đi từ A đi theo hướng AA1
vuông góc với AB với v n tốc 6 km/h, e đi từ B
đi đến A với v n tốc 7 km/h. ác định thời điểm
d
A
B
B1
A1
mà khoảng cách
d
giữa hai xe là lớn nhất?
Tại thời điểm
t
(
5
07
t
) sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai xe là
d
.
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
5 5 7 6 d AB AA BB AA t t
0,25
Xét hàm
22
5 7 6 f t t t
với
5
07
t
Ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất khi
0t
0,25
V y khoảng cách giữa hai e lớn nhất tại thời điểm uất phát
0th
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Tìm giá trị của
m
để bất phương trình sau đúng với m i
4;6x
:
22
2 24 2x x x x m
Điều kiện ác định
4;6D
Bất phương trình
22
2 2 24 x x x x m
0,25
Đặt
22 24 t x x
do
4;6x
nên
0;5


t
Bất phương trình có dạng:
224 t t m
ét hàm số
224 f t t t
trên
0;5


ta có
0;5 56


Max f t f
0,25
V y để bất phương trình sau đúng với m i
4;6x
khi và ch khi
6m
0,25
Câu 6.1
(2,0 đ)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vu ng tại A và B;
4AB BC a
. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vu ng góc với mặt
phẳng (ABCD). G i H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt
phẳng (SHD) bằng
10a
. T nh thể t ch khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa
hai đường thẳng SC và HD.
N
M
E
H
B
C
A
S
D
K
Tam giác SAB cân n n
SH AB
) ( )
( ) ( ) ( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH AB
0,25
,CK HD K HD
mà
()SH ABCD SH CK
Do đó
( ) ( ,( )) 10CK SHD d C SHD CK a
T nh đư c
20 10CH a HK a CK
. Do đó tam giác CH vu ng cân tại
K
Nên
45 45 tan 1KHC DHC DHC

Tam giác ABH vu ng tại B nên
tan 2BHC
tan tan
tan tan( ) 3
1 tan .tan
BHC CHD
BHD BHC CHD
BHC CHD
0,25
à
180BHD AHD

. Do đó
tan 3 3 6
AD
AHD AD a
AH
0,25
Ta có
2
( ). 20
2
ABCD
AD BC AB
Sa

2 2 2
20 6 14
HBCD ABCD AHD
S S S a a a
V y
3
.
1 28 3
.
33
S HBCD HBCD
a
V SH S
0,25
Tam giác SHC vu ng tại H n n
32SC a
G i
;M AC HD E BC HD
hi đó AEBD là hình bình hành n n
4 10EB AD a EC a
AD//EC nên
6 3 3 3 3 3 2
. 32
10 5 5 8 8 2
AD AM a a
AM MC AC a
EC MC a
0,25
Trong mặt phẳng (ABCD), k CN//HD với N thuộc đường AB
Do đó góc giữa SC và HD là góc giữa CN và SC
Ta có:
3 10 4 .
5 3 3
AH HN HN a BN a
Ta có:
2 2 2 2
208 4 10
;.
33
SN SH HN a CN BN BC a
p dụng định l C sin trong tam giác SCN , ta có
2 2 2 5
cos .
2 . 4
SC CN SN
SCN SC CN


cos( , ) cos( , ) cosSC HD CN SC SCN
V y
5
cos( , ) cos .
4
SC HD SCN
0,25
Câu 7
(1,0 đ)
Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn
I
có hai đường kính
AB
và
MN
với
(1;3), (3; 1)AB
. Tiếp tuyến của
I
tại
B
cắt các đường thẳng
AM
và
AN
lần
lư t tại
E
và
F
. Tìm t a độ trực tâm
H
của
MEF
sao cho
H
nằm tr n đường
thẳng
: 6 0d x y
và có hoành độ dương.