Đề thi thi học sinh giỏi THPT - Kèm đáp án

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi THPT môn Lý, Toán...kèm đáp án.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thi học sinh giỏi THPT - Kèm đáp án

SÔÛ GD – ÑT BEÁN TRE KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG TRÖÔØNG THPT BEÁN TRE NAÊM HOÏC 2005 – 2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN THÔØI GIAN: 180 PHUÙT Baøi 1 : ( Soá hoïc ) Cho 17 soá töï nhieân maø moãi soá nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 13 soá khaùc . Chöùng toû raèng coù theå choïn ra trong ñoù 5 soá maø chuùng ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau . Baøi 2 : ( Ñaïi soá ) Cho 2006 soá thöïc : a1 ; a2 ;........; a2006 thoaû ñieàu kieän : f  x   a1 cos x  a2 cos 2 x  .........  a2006 .cos 2006x  1 vôùi moïi giaù trò cuûa x . Chöùng minh : a1  a2  ..........  a2006  2006 . Baøi 3 : ( Giaûi tích ) Tìm haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau ñaây : (1) f(2006) = 2006 (2) f(x + y) = f(x) + f(y) ,  x, y  R 1
2 1 (3) Neáu x  0 thì f(x) = x . f ( ) x Baøi 4 : ( Hình hoïc phaúng ) Cho ñöôøng troøn (c) coù taâm laø O vaø ñöôøng thaúng (  ) khoâng caét (C ) . Töø moät ñieåm M thay ñoåi treân (  ) keû tieáp tuyeán MT vaø MH tôùi (C) . Goïi A laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân (  ) vaø E,F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân MT,MH. Chöùng minh EF luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh . Baøi 5 : ( Hình hoïc khoâng gian ) Cho töù dieän ABCD coù AB =CD , AC =BD, AD = BC . Goïi , ,  laø caùc goùc do caùc maët ABD,ABC,ACD taïo vôùi maët BCD vaø hình chieáu cuûa A treân (BCD) thuoäc mieàn tam giaùc BCD . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa T  cos   cos  . cos   3 cos . cos . cos  ÑAÙP AÙN Baøi 1 : ( Soá hoïc ) Cho 17 soá töï nhieân maø moãi soá nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 13 soá khaùc . Chöùng toû raèng coù theå choïn ra trong ñoù 5 soá maø chuùng ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau . Xeùt soá a tuøy yù trong 17 soá ñaõ cho . a nguyeân toá cuøng nhau vôùi iùt nhaát 13 soá khaùc laø b1 ,b2 ,b3 , …..b13 . 2
Do moãi soá khoâng nguyeân toá cuøng nhau vôùi nhieàu nhaát laø 3 soá khaùc neân b 1 seõ nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 9 soá khaùc trong caùc soá b 2 , b3 ,…..b13 . Giaû söû b1 nguyeân toá cuøng nhau vôùi 9 trong 12 soá ñoù laø c1 , c2 ,….c9 . c1 seõ nguyeân toá cuøng nhau vôùi 5 soá khaùc trong caùc soá c 2 , c3 ,……c9 . Giaû söû laø d1 , d2 , ……d5 . d1 seõ nguyeân toá cuøng nhau vôùi ít nhaát 1 trong 4 soá d 2 , d3 ,d4 , d5 . Giaû söû laø d1 nguyeân toá cuøng nhau vôùi soá e trong 4 soá treân . Ta coù : 5 soá a,b1 ,c1 ,d1 , e laø 5 soá ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau trong 17 soá ñaõ cho . Baøi 2 : ( Ñaïi soá ) Cho 2006 soá thöïc : a1 ; a2 ;........; a2006 thoaû ñieàu kieän : f  x   a1 cos x  a2 cos 2 x  .........  a2006 .cos 2006x  1 vôùi moïi giaù trò cuûa x . Chöùng minh : a1  a2  ..........  a2006  2006 . 2007 sin1003 .cos  Ta coù : cos   cos 2  ..........  cos 2006  2 =A (1,0 ñ )  sin 2 2k Maët khaùc khi    ( Trong ñoù k = 1 ; 2 ; ……..; 2006 ) thì A = -1 (1,0 2007 ñ) 2 4 4012 Thay x1   ; x2   ; ............; x2006   , vaøo bieåu thöùc ; f (x) 2007 2007 2007 ta coù : 2 4 4012 a1 cos   a2 cos   ...........  a2006 cos   1 2007 2007 2007 4 8 8024 a1 cos   a2 cos   ...........  a2006 cos   1 2007 2007 2007 ……………………………………………………………………………………………. 3
4012 8024 4012.2006 a1 cos   a2 cos   ..........  a2006 cos   1 2007 2007 2007 Coäng caùc ñaúngthöùc treân ta ñöôïc : a1  a2  .............  a2006  2006 Vaäy ta ñöôïc : a1  a2  ..........  a2006  2006 . (2 ñ) Baøi 3 : ( Giaûi tích ) Tìm haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän sau ñaây : (4) f(2006) = 2006 (5) f(x + y) = f(x) + f(y) ,  x, y  R 2 1 (6) Neáu x  0 thì f(x) = x . f ( ) x  (2) cho x = y = 0  f  0   0 (4) (0,25 ñ )  0  f 1+ (-1)  f(1) + f(-1)  f(-1) = - f(1)   (0,25 ñ )  (1) vaø (2) : 2006 = f(1) + f(2005) = 2f(1) + f(2004) = ...  2006 f(1)  Vaäy f(1) = 1 vaø f(-1) = -1 (5) (0,25 ñ ) Xeùt tröôøng hôïp x  0 , x   1, ta coù . x 1 x 1  f( )  f( )  f( )  f(1)  1 (6) (1,00 ñ ) x 1 x 1 x 1 x x2 x 1  f( ) . f( ) Do(3) x 1 (x  1)2 x x x2 1 x2  1   hay f( ) f(1  )  2  f(1)  f( ) x  1 (x  1)2 x (x  1)  x  x x2  1    f( )  1  2 f(x) (7) (1,00 ñ ) x  1 (x  1)  2  x   1 1 1  f( ) f(x  1)   f(x)  1   (8) (0,50 ñ ) x  1 (x  1)2 (x  1)2 4
x2  1  1  (6),(7),(8)  21  2 f(x)  f(x)  1  1   (x  1)  x  (x  1)2  Suy ra : f(x)  x (0,25 ñ )  0 neá u x  0   Vaäy f(x) = 1 neá u x   1  x neá u x  0 , x   1   Hay f(x)  x ,  x  R (0,25 ñ ) Baøi 4 : ( Hình hoïc phaúng ) Cho ñöôøng troøn (c) coù taâm laø O vaø ñöôøng thaúng (  ) khoâng caét (C ) . Töø moät ñieåm M thay ñoåi treân (  ) keû tieáp tuyeán MT vaø MH tôùi (C) . Goïi A laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân (  ) vaø E,F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân MT,MH. Chöùng minh EF luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh . ÑAÙP AÙN Goïi I,J laàn löôït laø giao ñieåm cuûa OA , OM vôùi TH Haï AK vuoâng goùc TH taïi K (0,50 ñ) Do A thuoäc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp THM neân E,F,K thaúng haøng (ñöôøng thaúng Simson) (0,50 ñ) 2 OT2 R2 Ta coù : OI .OA  OJ .OM  OT  OI    I coá ñònh (1,00 ñ) OA OA T Goïi L laø giao ñieåm cuûa OA vaø EF O LAK =   AOM (so le trong) J = AHM  (cuøng chaén AM) E I H F L K 5 M A
= AKF  ( cuøng chaén cung AF , ñöôøng troøn ñöôøng kính AH (1,00 ñ)   LAK caâ n  LA  LK    KL laø trung tuyeá n  IKA (0,50 ñ)  IKA vuoâ ng taï i K   L laø trung ñieåm cuûa IA (0,25 ñ) Vaäy EF ñi qua ñieåm coá ñònh L (0,25 ñ) Baøi 5 : ( Hình hoïc khoâng gian ) Cho töù dieän ABCD coù AB =CD , AC =BD, AD = BC . Goïi , ,  laø caùc goùc do caùc maët ABD,ABC,ACD taïo vôùi maët BCD vaø hình chieáu cuûa A treân (BCD) thuoäc mieàn tam giaùc BCD . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa T  cos   cos  . cos   3 cos . cos . cos  ÑAÙP AÙN A Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân mp(BCD). Töø H keû HI  BC , HJ  CD ,HK  BD, thì    K AKH   AIH   AJH   B  D  H I SBDC = SHBD + SHCD + SHBC J C = SABDcos  + SABCcos  + SACDcos  Do töù dieän ABCD gaàn ñeàu neân : SBDC = SABD = SABC = SACD  cos   cos   cos   1 vaø cos , cos , cos   0 6
Ñaë t x  cos  ; y  cos  ; z  cos  ta coù x, y, z  0 vaø x  y  z  1 Ta coù T  x  xy  3 xyz 1 1 x x.4y  3 x.4y.16z 2 4 Aùp duïng baát ñaúng thöùc coâ-si ta coù : x  4y x.4y  2 x  4y  16z 3 x.4y.16z  3 x  4y x  4y  16z 4 4 Do ñoù T  x    (x  y  z)  4 12 3 3  16  x  4y  x  21    4y  16z  4 Daáu baèng xaõy ra    y  x  y  z  1  21 x  0 , y  0, z  0   1  z  21  4 16 4 1 Vaäy max T  khi cos   cos   cos   3 21 21 21 7
SÔÛ GIAÙO DUÏC – ÑAØO TAÏO CAÀN THÔ KYØ THI HSG ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LYÙ TÖÏ TROÏNG NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 *********** ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN TOAÙN Thôøi gian laøm baøi : 180 phuùt. Baøi 1.(Ñaïi soá – 4 ñieåm) Cho hai ña thöùc P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an, vôùi a i   ,a i {1,  2,...,  2006},i  1,n vaø Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006. Chöùng minh raèng P(x) khoâng chia heát cho Q(x). Baøi 2.(Löôïng giaùc – 4 ñieåm) Tam giaùc nhoïn ABC thoûa heä thöùc: 1 1 1 1  3  3  tg B.tg C  tg B.tg C tg C.tg A  tg C.tg A tg A.tg B  tg A.tg B 6 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 Chöùng minh tam giaùc ABC ñeàu. Baøi 3.(Giaûi tích – 4 ñieåm) Daõy soá (an) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: a 1  0   an 1 a n 1    , n   *  4 Chöùng minh daõy (an) hoäi tuï vaø tìm lim a n . n  Baøi 4.(Hình hoïc phaúng – 4 ñieåm) Cho tam giaùc nhoïn ABC coù M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, AC vaø H laø hình chieáu cuûa C  treân caïnh AB. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc goùc HNM caét AB keùo daøi taïi P. Cho bieát AC + BC = 2HP vaø HNM = 30o. Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ABC.  Baøi 5.(Hình hoïc khoâng gian – 4 ñieåm) Tính theå tích khoái töù dieän ABCD theo baùn kính r cuûa maët caàu noäi tieáp töù dieän aáy bieát raèng tam giaùc ABC ñeàu vaø caùc baùn kính Ra, Rb, Rc, Rd cuûa caùc maët caàu baøng tieáp töù dieän theo thöù töï thuoäc caùc goùc tam dieän ñænh A, B, C, D thoûa heä thöùc: R a  R 2  R c  R d  16r 2 . 2 b 2 2 ---------------------------HEÁT-----------------------------
SÔÛ GIAÙO DUÏC – ÑAØO TAÏO CAÀN THÔ KYØ THI HSG ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LYÙ TÖÏ TROÏNG NAÊM HOÏC : 2005 – 2006 *********** ÑAÙP AÙN MOÂN TOAÙN Baøi 1.(Ñaïi soá – 4 ñieåm) Cho hai ña thöùc P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an, vôùi a i   ,a i {1,  2,...,  2006},i  1,n vaø Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006. Chöùng minh raèng P(x) khoâng chia heát cho Q(x). Ñaùp aùn: Tröôùc heát ta chöùng minh neáu ña thöùc f(x)= aoxn+a1xn-1+…+an (ao 0) coù nghieäm xo thì : a x o  1  max k , k  1, n a0 Thaät vaäy: ak + Neáu x o  1 thì hieån nhieân x o  1  max (0,5 ñ) a0 n a a  a1 1 a 2 1 a 1 + Neáu x o  1 thì f (x o )  a 0 x o 1  1  ...  n n 0  1  .  . 2  ...  n . n  a0xo a0xo  a0 xo a0 xo a0 xo  1 ak 1 1   1  max .   ...    xo a0 xo 2 xo  n   1 1 max k a (1,5ñ) n a 1 xo a0 a  1  max k . .   x o  1  max k a0 xo 1  1 xo 1 a0 xo Aùp duïng vaøo baøi toaùn ñaõ cho ta coù: neáu xo laø nghieäm cuûa P(x) thì x 0  1  2006  2007 (0,5ñ) Maët khaùc : Q(x)  x 2006  2007x 2005  2006 coù Q(2007).Q(2008) < 0 neân Q(x) coù nghieäm x(2007;2008) (1ñ) Vaäy P(x) khoâng chia heát cho Q(x) (ñpcm) (0,5ñ)
Baøi 2.(Löôïng giaùc – 4 ñieåm) Tam giaùc nhoïn ABC thoûa heä thöùc: 1 1 1 1  3  3  tg B.tg C  tg B.tg C tg C.tg A  tg C.tg A tg A.tg B  tg A.tg B 6 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 Chöùng minh tam giaùc ABC ñeàu. Ñaùp aùn: Trong moïi tam giaùc nhoïn ta luoân coù : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 1 1 1     1 (1) (1ñ) tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB 1 1 1 Ñaët x  ,y  ,z  thì töø (1) ta coù: x + y + z = 1 (2) tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB 1 1 tg B.tg 3C 3 x3 x3 Maët khaùc: 3    tg B.tg 3C  tg 2 B.tg 2C 1  1 1 x y  z tgB.tgC 3 1 y 1 z3 Töông töï: 3  vaø 3  tg C.tg3A  tg 2C.tg 2 A z  x tg A.tg3B  tg 2 A.tg 2 B x  y x3 y3 z3 1 Giaû thieát baøi toaùn trôû thaønh P     (1ñ) yz zx xy 6 Theo baát ñaúng thöùc Cauchy: x3 yz 1 1    x yz 12 18 2 y3 zx 1 1    y (1ñ) zx 12 18 2 z3 xy 1 1    z xy 12 18 2 Coäng veá theo veá caùc baát ñaúng thöùc treân ta ñöôïc: do(2) 1 1 1 1 P  (x  y  z)   (x  y  z)  P  6 6 2 6 1 Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi x  y  z  3 Khi ñoù tgA = tgB = tgC hay ABC ñeàu (ñpcm). (1ñ)
Baøi 3.(Giaûi tích – 4 ñieåm) Daõy soá (an) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: a 1  0   an 1 a n 1    , n   *  4 Chöùng minh daõy (an) hoäi tuï vaø tìm lim a n . n  Ñaùp aùn: x 1 1 1 + Nhaän thaáy x  laø moät nghieäm cuûa phöông trình:    x  0 . Ta c/m daõy (an) hoäi tuï veà 2 4 2 Thaät vaäy: 1 + Töø caùch cho daõy ta coù  a n  1 n   , n  2 (1) (1ñ) 4 x 1 1  + Xeùt haøm soá f (x)    vôùi x   ,1 ta coù: 4 4  x 1 1 2ln 2 2ln 2 2ln 2 1  f '(x)    .ln   x  f '(x)  x  1  2.ln 2 x   ,1 (2) 4 4 4 4 4  (1ñ) 44  1  1  x 1 + Maët khaùc vôùi i  2, n haøm soá f (x)    lieân tuïc treân caùc ñoaïn a i ,   hay  ,a i   vaø coù ñaïo 4  2  2   1   1   1   1  haøm trong caùc khoaûng  a i ,   hay  ,a i   , neân toàn taïi ci   a i ,   hay ci   ,a i   sao cho:  2   2   2   2  1 f (a i )  f   f '(ci )   2   f (a )  f  1   f '(c ) . a  1 (3) i   i i ai  1 2 2 2 1 1 Do (1) vaø (2) neân töø (3) ta suy ra f (a i )  f    2 ln 2. a i  (i  2, n) (4) (1ñ) 2 2 1 1 + Vôùi caùch cho daõy ta laïi coù a i 1   f (a i )  f   (i  2, n) (5) 2 2 1 1 1 + Töø (4) vaø (5) suy ra a n 1   ( 2.ln 2) n 1. a 2   ( 2.ln 2) n 1 2 2 2  1 1 + Vì 0  2.ln 2  1 neân lim ( 2.ln 2)n 1  0  lim  a n 1    0 hay lim a n  n  n   2 n  2 1 Vaäy daõy (an) hoäi tuï vaø coù giôùi haïn baèng (1ñ) 2
Baøi 4.(Hình hoïc phaúng – 4 ñieåm) Cho tam giaùc nhoïn ABC coù M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, AC vaø H laø hình chieáu cuûa C  treân caïnh AB. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc goùc HNM caét AB keùo daøi taïi P. Cho bieát AC + BC = 2HP vaø HNM = 30o. Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ABC.  Ñaùp aùn: Coù hai tröôøng hôïp +Tröôøng hôïp 1: M ôû giöõa H vaø P P  Ñaët   MHN vaø keùo daøi HN moät ñoaïn NK=MN A 1 Khi ñoù ta coù : HN = NA = NC = AC 2 1 NK = MN = BC K 2 1 M N  HK  HN  NK  (AC  BC)  HP  2 H Vaäy tam giaùc HKP caân taïi H   B C  PKN  90o  (1ñ) 2     Töø gt ta coù PN laø phaân giaùc MNK  PNM = PNK (c.g.c)  PMN  PKN  90o  2   Maø AMN    30o  90o     30o    40o 2    AMN  70 vaø MAN    40o  MNA  70o o  B  C  70o   MAN caân ABC caân vaø  (1ñ)   A  40o  + Tröôøng hôïp 2: H ôû giöõa M vaø P P Laäp luaän töông töï ta coù :     PMN  PKN      30o  180o    100o 2 2 (1,5ñ)      AHN  HAN  180    80  ANM  180   80  50 o o o o o 2 A  80o   MAN caân taïi A ABC caân taïi A vaø  (0,5ñ) A    B  C  50o  H M  N K B C
Baøi 5.(Hình hoïc khoâng gian – 4 ñieåm) Tính theå tích khoái töù dieän ABCD theo baùn kính r cuûa maët caàu noäi tieáp töù dieän aáy bieát raèng tam giaùc ABC ñeàu vaø caùc baùn kính Ra, Rb, Rc, Rd cuûa caùc maët caàu baøng tieáp töù dieän theo thöù töï thuoäc caùc goùc tam dieän ñænh A, B, C, D thoûa heä thöùc: R a  R 2  R c  R d  16r 2 . 2 b 2 2 Ñaùp aùn: Goïi: V laø theå tích khoái töù dieän ABCD; Sa, Sb, Sc, Sd laàn löôït laø dieän tích A caùc tam giaùc BCD, ACD, ABD, ABC vaø Oa laø taâm cuûa maët caàu baøng tieáp töù dieän thuoäc goùc tam dieän ñænh A. Ta coù: VABCDOa  VABCD  VOa BCD  VOa ACD  VOa ABD  VOa ABC B D 1 1 1  r(Sa  Sb  Sc  Sd )  R a .Sa  R a (Sb  Sc  Sd ) C 3 3 3 Oa 3V  3V  R a (Sb  Sc  Sd  Sa )  Sb  Sc  Sd  Sa  Ra 3V 3V 3V Töông töï: Sc  Sd  Sa  Sb  , Sd  Sa  Sb  Sc  , Sa  Sb  Sc  Sd  (1ñ) Sb Sc Sd Coäng veá theo veá caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc:  1 1 1 1  2(Sa  Sb  Sc  Sd )  3V       Ra Rb Rc Rd  3V (1ñ) 2. 1 1 1 1 r 2      Ra Rb Rc Rd 3V r Maët khaùc theo baát ñaúng thöùc Cauchy:  1 1 1 1   (R a  R b  R c  R d )       16  Ra Rb Rc Rd   R a  R b  R c  R d  8r 1  R a  R b  R c  R d  (R a  R b  R c  R d ) 2 2 2 2 2 4 1  R a  R b  R c  R d  (8r) 2  16r 2 2 2 2 2 4 Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi R a = Rb = Rc = Rd = 2r  Sa = Sb = Sc = Sd hay töù dieän ABCD laø moät töù dieän gaàn ñeàu. (1ñ) Keát hôïp vôùi giaû thieát tam giaùc ABC ñeàu ta ñöôïc töù dieän ABCD laø moät töù dieän ñeàu. Töø ñoù: V  8r 3 3 (ñvtt) (1ñ)