Trường THPT Nguyễn Huệ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
Môn: TOÁN ; Khối: A,B
(Thời gian làm bài: 180 phút)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
1 1 4
6 4 6
x y
x y
2. Giải phương trình:
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
Câu III (1 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R.Trên đường
thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R
3
. I là điểm thuộc đoạn OS với SI
=
2
3
R
. M là một điểm thuộc (C). H là hình chiếu của I trên SM. Tìm vị trí của M trên (C) để
tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu IV (1 điểm)
Tính tích phân: I = 1
2
11 1
dx
x x
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
1 1 1
1
1 1 1
x y y z z x
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có
diện tích bằng
3
2
và trọng tâm thuộc đường thẳng
: 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7.
Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: 2
1 1
3 3
log 1 log ( )
x ax a
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2
1
4 3
x y
và đường thẳng
:3x + 4y
=12. Từ điểm M bất kì trên
kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đường
thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số 2
4 3
2
x x
y
x
có đồ thị (C).Giả sử đường thẳng y = kx + 1
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.
Câu VIII.b (1 điểm) Giải phương trình:
2
2 2
log log
3 1 . 3 1 1
x x
x x
------------ -------------
Trờng THPT Nguyễn Huệ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
Môn: TOÁN ; Khối: A,B
Lu ý:Mọi cách giải đúng và ngắn gọn đều cho điểm tối đa
Câu Đáp án Điểm
I
1.(1,0 điểm) Khảo sát . . .
(2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1}
* Sự biến thiên
- Giới hạn và tiệm cận:
lim lim 2
x x
y y
 
; tiệm cận ngang: y = 2
( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
 
; tiệm cận đứng: x = -
1
0,25
- Bảng biến thiên
Ta có 2
1
' 0
( 1)
yx
với mọi x
- 1
x -
-1 +
y’ + +
y +
2
2 -
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-
; -1) và ( -1; +
)
0,5
* Đồ thị
0,25
2. (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm. . .
Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0
- 1) thì 0
0
0
2 1
1
x
yx
Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
0,25
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0
0
2 1
1
x
x
- 2| = |
0
1
1
x
|
Theo Cauchy thì MA + MB
2 0
0
1
x 1.
1
x
=2
MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2.Nh vậy ta có
hai điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3)
0,25
0,25
0,25
II 1.(1,0 điểm) Giải hệ . . .
(2,0 điểm)
Điều kiện: x
-1, y
1
Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ
1 6 1 4 10
6 1 4 1 2
x x y y
x x y y
Đặt u=
1 6
x x
, v =
1 4
y y
. Ta có hệ
10
5 5
2
u v
u v
5
5
u
v
3
5
x
y
là nghiệm của hệ
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1,0 điểm) Giải phơng trình . . .
Điều kiện:sinx.cosx
0 và cotx
1
Phơng trình tơng đơng
1 2(cos sin )
sin cos2 cos 1
cos sin 2 sin
x x
x x x
x x x
cosx =
2
2
x =
2
4
k
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x =
2
4
k
0,25
0,25
0,25
0,25
III Tìm vị trí . . .
(1,0 điểm)
S
H
I
OB
M
A
Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R
3
, SI =
2
3
R
,
SM = 2 2
2
SO OM R
SH = R hay H là trung điểm của SM
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK =
1
2
SO=
3
2
R , (không đổi)
VBAHM lớn nhất khi dt(
MAB) lớn nhất
M là điểm giữa của
cung AB
Khi đó VBAHM=
3
3
6
R
(đvtt)
0,25
0,25
0,5
IV Tính tích phân . . .
(1,0 điểm) Đặt u = x+
2
1
x
thì u - x=
2
1
x
2 2 2
2 1
x ux u x
2
2
1 1 1
1
2 2
u
x dx du
u u
Đổi cận x= - 1 thì u =
2
-1
x = 1 thì u =
2
+1
2 1 2 1 2 1
2
2
2 1 2 1 2 1
1 1
11 1
2
1 2 1 2 (1 )
du
du du
u
I
u u u u
=2 1 2 1
2
2 1 2 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1
du
du
u u u u
=1
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu V
(1,0 điểm) Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)
(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab
ab
a3 + b3+1
(a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
0,25
3 3
1 1
a b 1 ab a b c
Tơng tự ta có
3 3
1 1
c 1 bc a b c
b
,
3 3
1 1
a 1 ca a b c
c
Cộng theo vế ta có
1 1 1
1 1 1
x y y z z x
=3 3
1
a b 1
+3 3
1
c 1
b
+3 3
1
a 1
c
1 1 1 1
a b c
ab bc ca
=
1
1
a b c c a b
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0,5
0,25
VI. a Tìm tọa độ . . .
(1,0 điểm) Ta có: AB =
2
, M = (
5 5
;
2 2
), pt AB: x – y – 5 = 0
S
ABC
=
1
2
d(C, AB).AB =
3
2
d(C, AB)=
3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)=
1
2
d(G, AB)=
(3 8) 5
2
t t
=
1
2
t = 1 hoặc t = 2
G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà 3
CM GM
C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
0,25
0,5
0,25
VII. a Từ các chữ số . . .
(1,0 điểm) Gọi số có 6 chữ số là
abcdef
Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách
chọn e, 3 cách chọn f. Ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số
Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách
chọn e, 3 cách chọn f. Ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số
Tơng tự với c, d, e, f
Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số
0,25
0,5
0,25
VIII. a Tìm a để . . .
(1,0 điểm) Điều kiện: ax + a > 0
Bpt tơng đơng 2
1 ( 1)
x a x
Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có 21
1
x
a
x
Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có 21
1
x
a
x
0,25