S GD&ĐT THÁI NGUYÊNỞ
TR NG THPT L NG NG C QUY NƯỜ ƯƠ Ọ Ế
http://ductam_tp.violet.vn/
Đ THI TH Đ I H C L N TH NH T NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ Ầ Ứ Ấ
MÔN: TOÁN - KH I BỐ
(Th i gian làm bài 180 phút không k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả (7,0 đi m).ể
Câu I: (2,0 đi m). ểCho hàm s y = xố3 – 3mx2 + (m-1)x + 2.
1. Ch ng minh r ng hàm s có c c tr v i m i giá tr c a m.ứ ằ ố ự ị ớ ọ ị ủ
2. Xác đ nh m đ hàm s có c c ti u t i x = 2. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm sị ể ố ự ể ạ ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
trong tr ng h p đó.ườ ợ
Câu II: (2,0 đi m). ể1. Gi i ph ng trình sau:ả ươ (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx.
2. Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
2
51 2x x 1
1 x
− − <
−
.
Câu III: (1,0 đi m).ể Tính:
22
2
2
0
x
A dx
1 x
=−
∫
.
Câu IV: (1,0 đi m).ể Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, tâm O. C nh bên SAạ ạ
vuông góc v i mp (ABCD) và SA = a; M là trung đi m c nh SD.ớ ể ạ
a) M t ph ng (ặ ẳ α) đi qua OM và vuông góc v i m t ph ng (ABCD) c t hình chóp SABCD theoớ ặ ẳ ắ
thi t di n là hình gì? Tính di n tích thi t di n theo a.ế ệ ệ ế ệ
b) G i H là trung đi m c a CM; I là đi m thay đ i trên SD. Ch ng minh OH ọ ể ủ ể ổ ứ ⊥ (SCD); và hình
chi u c a O trên CI thu c đ ng tròn c đ nh.ế ủ ộ ườ ố ị
Câu V:
(1,0 đi m). ểTrong mp (Oxy) cho đ ng th ng (ườ ẳ ∆) có ph ng trình: x – 2y – 2 = 0 vàươ
hai đi m A (-1;2); B (3;4). Tìm đi m Mể ể
∈
(∆) sao cho 2MA2 + MB2 có giá tr nh nh t.ị ỏ ấ
PH N RIÊNGẦ (3,0 đi m): Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B).ể ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
A. Theo ch ng trình chu n.ươ ẩ
Câu VIa: (2,0 đi m).ể Cho đ ng tròn (C): xườ 2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và đi m M (2;4)ể
a) Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M c t đ ng tròn t i 2 đi m A và B, sao cho M là trungế ươ ườ ẳ ắ ườ ạ ể
đi m c a AB.ể ủ
b) Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a đ ng tròn, bi t ti p tuy n có h s góc k = -1.ế ươ ế ế ủ ườ ế ế ế ệ ố
Câu VIIa : (1,0 đi m).ể Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c sau:ầ ự ầ ả ủ ố ứ
1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
B. Theo ch ng trình nâng cao.ươ
Câu VI
b
:
(2,0 đi m).ể Trong không gian cho đi m A(-4;-2;4) và đ ng th ng (d) có ph ng trình:ể ườ ẳ ươ
x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t ∈ R. Vi t ph ng trình đ ng th ng (ế ươ ườ ẳ ∆) đi qua A; c t và vuông góc v i (d).ắ ớ
Câu VIIb: (1,0 đi m). ểTính th tích kh i tròn xoay t o thành khi quay quanh tr c hoành hình ph ngể ố ạ ụ ẳ
đ c gi i h n b i các đ ng: y = lnx; y = 0; x = 2.ượ ớ ạ ở ườ
Thí sinh không đ c dùng tài li u, cán b coi thi không gi i thích gì thêm!ượ ệ ộ ả
H tênọ............................................................S báo danhố..................................
---------- H t ----------ế
1
ĐÁP ÁN, THANG ĐI M THI TH Đ I H C NĂM 2010 – MÔN TOÁN – KH I BỂ Ử Ạ Ọ Ố
Câu N i dungộĐiể
m
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SẦ Ấ Ả INH(7,0 đi m)ể
CâuI 2.0
1. y’= 3x2 – 6mx + m -1,
2
' 3(3 1) 0 m m m∆ = − + > ∀
=> hs luôn có c c trự ị
0.5
2. y’’ = 6x - 6m => hs đ t c c ti u t i x = 2 ạ ự ể ạ
'(2) 0 1
''(2) 0
ym
y
=
⇔ ⇔ =
>
0.5
+) V i m =1 => y = xớ3 -3x + 2 (C)
TXĐ: D = R
Chi u bi n thiên: ề ế
20
' 3 6 , y' = 0 2
x
y x x x
=
= − ⇔ =
=> hs đ ng bi n trên m i kho ng ồ ế ỗ ả
và
(2; )+∞
, ngh ch bi n trên kho ng (0ị ế ả ;2)
0.25
Gi i h n: ớ ạ
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Đi m u n: y’’ =6x – 6, y’’ đ i d u khi x đi qua x = 1 => Đi m u n U(1; 0)ể ố ổ ấ ể ố
BBT
x -
∞
0 2 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
2 +
∞
-
∞
-2
0,25
0.25
+ Đ th (C): ồ ị Đ th c t tr c hoành t i đi m (1; 0),ồ ị ắ ụ ạ ể
( )
1 3;0±
, tr c tung t i đi m (0; 2)ụ ạ ể
f(x)=x^3 -3x^2+2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Đ th nh n đi m u n làm tâm đ i x ngồ ị ậ ể ố ố ứ 0.25
CâuII 2.0
1. TXĐ: x
( )
2l l Z
ππ
≠ + ∈
0,25
Đ t t=ặ tanx =>
2
2
sin 2 1
t
xt
=+
, đc pt:
2
0
2
(1 ) 1 1 1
1
t
t
t t t
t
=
− + = + ⇔
÷ = −
+
0,25
V i t = 0 => x = kớ
, ( )k Z
π
∈
(tho mãn TXĐ)ả0,25
V i t = ớ-1 =>
4
x k
ππ
= − +
(tho mãn TXĐ)ả0,25
2
2. 1,0
2
2
2
2 2
1 0
51 2 0
51 2 11 0
151 2 0
51 2 (1 )
x
x x
x x x
xx x
x x x
− <
− − ≥
− −
< ⇔ − >
−
− − ≥
− − < −
0,5
1
1 52; 1 52
1
( ; 5) (5; )
1 52; 1 52
x
x
x
x
x
>
∈ − − − +
⇔<
∈ −∞ − ∪ +∞
∈ − − − +
0,25
) (
1 52; 5 1; 1 52x
∈ − − − ∪ − +
0.25
Câu III 1,0
Đ t t =ặ sinx =>
2
1 cos , cosx t dx tdt− = =
0,25
( )
4
2
0
sinA t dt
π
=
∫
0,25
2
8
A
π
−
=
0,5
Câu IV 1,0
O
Q
H
P
A
D
B
C
S
I
M
N
I
a. K MQ//SA => ẻ
( ) ( ) ( )MQ ABCD MQO
α
⊥ ⇒ ≡
Thi t di n là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ)ế ệ 0,25
2
( ). 3
2 8
td
MN PQ MQ a
S+
= =
(đvdt)
0.25
b.
: / / , , ( ) ( )AMC OH AM AM SD AM CD AM SCD OH SCD∆ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0.25
G i K là hình chi u c a O trên CI ọ ế ủ
, ( )OK CI OH CI CI OKH CI HK⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Trong mp(SCD) : H, K c đ nh, góc HKC vuông => K thu c đ ng tròn đg kính HCố ị ộ ườ 0.25
3
CâuV M
(2 2; ), (2 3; 2), (2 1; 4)M t t AM t t BM t t∈∆ ⇒ + = + − = − −
uuuur uuuur
0.25
2 2 2
2 15 4 43 ( )AM BM t t f t+ = + + =
0.25
Min f(t) =
2
15
f
−
÷
=> M
26 2
;
15 15
−
÷
0,5
II. PH N RIÊNG(3,0 đi m)Ầ ể
A. Ch ng trình chu nươ ẩ
CâuVI.a 2.0
a. (C) : I(1; 3), R= 2, A, B
( )C∈
, M là trung đi m AB => ể
IM AB⊥ =>
Đ ng th ng dườ ẳ
c n tìm là đg th ng ABầ ẳ 0,5
d đi qua M có vect pháp tuy n là ơ ế
IM
uuur
=> d: x + y - 6 =0 0,5
2. Đg th ng ti p tuy n có d ngẳ ế ế ạ : y = - x + m x + y – m =0 (d’) 0.25
d’ ti p xúc v i (C)ế ớ
( ; ') 2d I d R⇔ = =
0.25
4 2 2
4 2 2
m
m
= +
⇔= −
0,25
Pt ti p tuy nế ế :
(4 2 2) 0
(4 2 2) 0
x y
x y
+ − + =
+ − − =
0,25
CâuVII.a 1.0
21
20 (1 ) 1
1 (1 ) ... (1 ) i
P i i i
+ −
= + + + + + =
0,25
10
21 2 10 10
(1 ) (1 ) .(1 ) (2 ) (1 ) 2 (1 )i i i i i i
+ = + + = + = − +
0,25
( )
10
10 10
2 (1 ) 1 2 2 1
i
P i
i
− + −
= = − + +
0,25
V y: ph n th c ậ ầ ự
10
2−
, ph n o: ầ ả
10
2 1+
0,25
B. Ch ng trình nâng caoươ
Câu
VI.b
2.0
1.
( 3 2 ;1 ; 1 4 )d B B t t t∆ ∩ = ⇒ − + − − +
, Vt ch ph ng ỉ ươ
(2; 1; 4)
d
u= −
uur
0,5
. 0 1
d
AB u t= ⇔ =
uuur uur
0,5
=> B(-1;0;3) 0,5
Pt đg th ng ẳ
1 3
: 2
3
x t
AB y t
z t
= − +
∆ ≡ =
= −
0,5
Câu VII.b
2
2
1
lnV xdx
π
=∫
0.25
Đ t ặ
21
ln 2ln . ; u x du x dx dv dx v x
x
= ⇒ = = ⇒ =
0.25
( )
2
2 ln 2 2 ln 2 1V
π
⇒ = − +
0.5
(H c sinh gi i đúng nh ng không theo cách nh trong đáp án, gv v n cho đi m t i đa t ng ngọ ả ư ư ẫ ể ố ươ ứ
nh trong đáp án ).ư
4
5