Câu1: (2 điểm)
Xét hàm số với tham số a: y =
1
3
2
xaxx
1) Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị của hàm số trên có tiếp
tuyến vuông góc với đường phân giác của góc thứ nhất của hệ trục toạ độ? Chứng
minh rằng khi đó đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 3.
Câu2: (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
y
x
xy
x
y
yx
43
43
2) Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số a:
4
axx axloga
Câu3: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: cosx.sinx + 1 xsinxcos
2) Tính giới hạn sau: xxx
lim
x
3
0
812
Câu4: (2 điểm)
AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x, y chéo nhau, A thuộc
x, B thuộc y. Đặt độ dài AB = d. M là một điểm thay đổi thuộc x, N là một điểm
thay đổi thuộc y. Đặt AM = m, BN = n (m 0, n 0). Giả sử ta luôn có m2 + n2 =
k > 0, k không đổi.
1) Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2) Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với nhau và nm 0,
hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất và
tính giá trị đó.
Câu5: (2 điểm)
1) Tính tích phân sau:
2
0
2
3
1dx
xcosxsin
2) Tìm diện tích của miền trong mặt phẳng toạ độ xOy giới hạn bởi parabol
có phương trình: y = x2 + x + 2 và đường thẳng có phương trình: y = 2x + 4.