intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Đề thi thử Đại học lần 1 môn Toán năm 2011-2012

Chia sẻ: Tong Quoc Dinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

72
lượt xem
4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi thử Đại học lần 1 môn Toán năm 2011-2012" gồm 2 phần: phần chung có 5 câu hỏi bài tập ứng với thang điểm 7, phần riêng được chọn giữa chương trình chuẩn hoặc chương trình nâng cao ứng với thang điểm 3. Ngoài ra tài liệu này còn kèm theo đáp án giúp các bạn dễ dàng tham khảo và so sánh kết quả. Mời các bạn cùng thử sức với đề thi này nhé.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học lần 1 môn Toán năm 2011-2012

TRUNG TÂM NAGAI VIỆT NAM<br /> 213 XUÂN THỦY, CẦU GIẤY, HÀ NỘI Tel: 04.37959475. Website: www.nagai.vn<br /> <br /> ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011 - 2012<br /> <br /> −−⋆⋆⋆−−<br /> PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)<br /> <br /> Môn thi: Toán. Ngày thi: 18/3/2012 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề ————————————–<br /> <br /> Câu I. (2 điểm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y =<br /> <br /> (C). x −1 2. Giả sử A, B là hai điểm phân biệt trên đồ thị (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB. Câu II. (2 điểm) π 2π 1 1. Giải phương trình sin2 x + + sin2 x + = 1 − cos x. 3 3 2 3 2 x − 2x + 2x + 3 = 4 y 2. Giải hệ phương trình y 3 − 2 y 2 + 2 y + 3 = 4x. . ex − 3 Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều các . đỉnh của tam giác ABC và góc giữa cạnh bên AA′ với mặt đáy (ABC) là 60◦ . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC. Câu V (1 điểm) Cho x, y là hai số thực không âm thoả mãn x 3 + y 3 − x y = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ . nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + x y.<br /> ln 4<br /> <br /> 2x − 1<br /> <br /> Câu III. (1 điểm) Tính I =<br /> <br /> ln 12<br /> <br /> dx<br /> <br /> PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)<br /> <br /> A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và d2 : x + 3 y = 0. Tìm tọa độ hai điểm A trên d1 , B trên d2 sao cho tam giác OAB cân ở B và tam giác này có diện tích bằng 3, biết rằng điểm B có tung độ dương. x −1 y z−2 2. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A(1; −2; 2), đường thẳng d : = = 1 2 1 và mặt phẳng (P) : 2x + y − z + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng △ qua A, cắt d tại B và cắt (P) tại C sao cho B là trung điểm của đoạn AC. Câu VII.a. (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn (1 + 2i)2 z + (2 − i)z + 19 + 3i = 0. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho đường thẳng d : x − 2 y + 5 = 0. Viết phương trình đường tròn (C), biết rằng (C) tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(1; 3) và cắt trục hoành tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + ( y + 3)2 + (z − 2)2 = 12. Viết x y y −1 phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng △ : = = sao cho (P) cắt (S) theo một đường 1 1 2 tròn có bán kính bằng 3. z + 1 + 3i = 1. Câu VII.b. (1 điểm) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn z+5−i —–Hết—– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ghi chú: Đáp án được đưa lên website của trung tâm một tuần sau ngày thi.<br /> <br /> TRUNG TÂM NAGAI VIỆT NAM<br /> 213 XUÂN THỦY, CẦU GIẤY, HÀ NỘI Tel: 04.37959475. Website: www.nagai.vn<br /> <br /> ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011 - 2012<br /> <br /> −−⋆⋆⋆−− Câu I. 1. (1 điểm) • Tập xác định: D = \{1}. • Sự biến thiên: 1 y′ = − < 0 với mọi x = 1. (x − 1)2 lim y = lim y = 2; tiệm cận ngang y = 2.<br /> x→−∞ x→1<br /> <br /> Môn thi: Toán ————————————–<br /> <br /> lim− y = −∞, lim+ y = +∞; tiệm cận đứng x = 1.<br /> x→1<br /> <br /> x→+∞<br /> <br /> Bảng biến thiên: x f ′ (x) +∞ f (x) • Đồ thị: 2. (1 điểm) Giả sử A(x 1 ; y1 ), B(x 2 ; y2 ) (x 1 = x 2 ). Gọi E trung điểm của AB. Do tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên 1 1 y ′ (x 1 ) = y ′ (x 2 ) ⇒ − =− 2 (x 1 − 1) (x 2 − 1)2 ⇒  − 1 = −(x 2 − 1) (do x 1 − 1 = (x 2 − 1)) x1 ⇒  x1 + x2 = 2 1 Câu II. 1. (1 điểm) sin2 x + ⇔ 2 1 − cos 2x + 2π 3  y1 + y2 = 2 + 1 x1 − 1 +2+ π 3 + 1 x2 − 1 =4 ⇒ E(1; 2). + sin2 x + 1 2 2π 3 1 2 −∞ − −∞ 1 − −∞ +∞<br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> +∞<br /> <br /> 1 O<br /> <br /> x<br /> <br /> cos x 2 4π 2π 2π + cos 2x + = cos x ⇔ 2 cos 2x. cos = cos x ⇔ cos 2x + cos x = 0 ⇔ ⇔ cos 2x + 3 3 3 1 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = −1 hoặc cos x = 2 π ⇔ x = π + k2π hoặc x = ± + k2π (k ∈ ). 3 2. (1 điểm) Xét hàm số f (t) = t 3 − 2t 2 + 2t + 3 (t ∈ ). f ′ (t) = 3t 2 − 4t + 2 > 0, ∀t ∈ ⇒ f (t) đồng biến trên . f (x) = 4 y Hệ phương trình đã cho tương đương với f ( y) = 4x. 3 Nếu x < y thì f (x) < f ( y) ⇒ 4 y < 4x ⇒ y < x (Vô lí!). Tương tự, cũng không xảy ra x > y. Vậy x = y. Thay y = x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x 3 − 2x 2 + 2x + 3 = 4x ⇔ x 3 − 2x 2 − 2x + 3 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − 3) = 0 ⇔ x = 1, x = 1± 13 2 .<br /> <br /> 1 − cos 2x +<br /> <br /> 4π<br /> <br /> =1−<br /> <br /> cos x 1<br /> <br /> =1−<br /> <br /> Vậy hệ có 3 nghiệm: (1; 1), ( 1+2 13 ; 1+2 13 ), ( 1− 2 13 ; 1− 2 13 ). Nhận xét. Hệ phương trình đã cho là đối xứng loại 2. Trừ vế với vế hai phương trình nhận được<br /> <br /> (x − y)(x 2 + y 2 + x y − 2x − 2 y + 6) = 0 ⇔ x = y (Vì x 2 + y 2 + x y − 2x − 2 y + 6 = 2)2 + ( y − 2)2 + 4) > 0 với mọi x, y). Đến đây tiếp tục như trên. Câu III. (1 điểm) Đặt t =<br /> 3<br /> <br /> 1 2<br /> <br /> ((x + y)2 + (x −<br /> <br /> e x − 3. Ta có e x = t 2 + 3 ⇒ e x d x = 2t d t ⇒ d x = dt t2 + 3 . 3du cos u<br /> 2 1<br /> <br /> 2t d t t2 + 3<br /> <br /> ; x = ln 4 ⇒ t = 1;<br /> <br /> x = ln 12 ⇒ t = 3. Từ đó I = 2 Đặt t = Từ đó I =<br /> <br /> 3 tan u, u ∈ (− π ; π ). Ta có d t = 2 2 2 3<br /> π 3<br /> <br /> =<br /> <br /> 3(tan2 u + 1)du; t = 1 ⇒ u =<br /> <br /> π 6<br /> <br /> ; t=3⇒u=<br /> <br /> π 3<br /> <br /> .<br /> <br /> du =<br /> π 6<br /> <br /> π 3 3<br /> <br /> .<br /> <br /> Câu IV (1 điểm) .<br /> A’ C’ Gọi M là trung điểm của BC, H là trọng tâm của tam giác ABC. ′ ′ Do A .ABC là hình chóp đều nên A H ⊥ (ABC), do đó, góc giữa đường thẳng AA′ với mặt phẳng (ABC) bằng A′ AH ⇒ A′ AH = K B’ 60◦ . a 3 2 a 3 Ta có AM = , AH = AM = , C 2 3 3 A a 3 A′ H = AH. tan 60◦ = . 3 = a. H 3 M • Thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ là B 1 1 a 3 a3 3 V = S△ABC .A′ H = BC.AM .A′ H = .a. .a = . 2 2 2 4 • Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên AA′ . Ta có A′ H ⊥ (ABC) ⇒ A′ H ⊥ BC. Mà BC ⊥ AM nên BC ⊥ (A′ AM ) ⇒ BC ⊥ M K. Mà M K ⊥ AA′ nên M K là đoạn vuông góc chung của BC và AA′ 3a a 3 3 . = . ⇒ d(AA′ , BC) = M K = AM . sin 60◦ = 2 2 4 t3 − 1 Câu V (1 điểm) Đặt t = x + y (t 0). Từ x 3 + y 3 − x y = 1 suy ra x y = . . 3t + 1 x + y 2 t2 t3 − 1 t2 1 t Do 0 x y nên 0 ⇒ = ⇒ 1 t 2. 2 4 3t + 1 4 (t − 2)(t 2 + t + 2) 0 2t 3 + t 2 + 1 2 = f (t). Ta có P = (x + y) − x y = 3t + 1 3 2 12t + 9t + 2t − 3 f ′ (t) = > 0, ∀t ∈ [1, 2] ⇒ f (t) đồng biến trên [1, 2] ⇒ 1 = f (1) P f (2) = 3. (3t + 1)2 Thấy rằng P = 1 khi x = 1, y = 0 và P = 3 khi x = y = 1. Vậy min P = 1 và max P = 3. Câu VI.a. 1. (1 điểm)<br /> 60º<br /> <br /> B Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại gốc tọa độ O. Gọi ϕ là góc giữa d1 và d2 . Ta có d1 O 30° 3 π | 3.1 + 1. 3| = ⇒ϕ= . cos ϕ = H A 2 2 2 6 d2 3 + 12 3 + 12 Gọi H là trung điểm của OA. Tam giác OAB cân tại B nên BH ⊥ OA, OB OB 3 , BH = OB. sin 30◦ = . OH = OB. cos 30◦ = 2 2 1 OB 2 3 S△OAB = OA.BH = OH.BH = = 3 ⇒ OB 2 = 4. 2 4 Gọi B(− 3a; a) ∈ d2 (a > 0). OB 2 = 4 ⇒ 3a2 + a2 = 4 ⇒ a2 = 1 ⇒ a = 1 ⇒ B(− 3; 1). Đường thẳng BH qua B và vuông góc d1 nên BH : 1(x + 3)− 3( y −1) = 0 ⇒ BH : x − 3 y +2 3 = 0. 3 Từ đó tìm được H(− 23 ; 2 ) và A(− 3; 3).<br /> <br /> 2. (1 điểm) Gọi B(1 + t; 2t; 2 + t) ∈ △ là giao điểm của △ và d. Do B là trung điểm của AC nên C(2t + 1; 4t + 2; 2t + 2). Lại có C ∈ (P) nên 2(2t + 1) + 4t + 2 − 2t − 2 + 4 = 0 ⇒ t = −1 ⇒ B(0; −2; 1) − → ⇒ BA = (1; 0; 1).  x =1+ t  − → Đường thẳng △ qua A và có vectơ chỉ phương BA nên △ : y = −2  z = 2 + t. Câu VII.a. Đặt z = x + y i (x, y ∈ ). Từ hệ thức đã cho có −x − 5 y + 19 + (3x − 5 y + 3)i = 0 −x − 5 y + 19 = 0 ⇔ ⇔ x = 4, y = 3 ⇒ z = 4 + 3i. 3x − 5 y + 3 = 0 Câu VI.b. 1. (1 điểm) Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của (C), H là trung điểm của BC. Do (C) tiếp xúc với d tại A nên I ∈ △, với △ là qua A và vuông góc với d. x =1+ t △ có phương trình tham số y = 3 − 2t.<br /> A d I H Ox B C<br /> <br /> Gọi I(1+t; 3−2t) ∈ d là tâm của (C). Khi đó AI = t 2 + (−2t)2 = |t| 5, I H = d(I, Ox) = |3 − 2t|. 3 1 Ta có d(A, Ox) = 3, S△ABC = BC.d(A, Ox) = BC. Mà S△ABC = 6 ⇒ BC = 4 ⇒ BH = 2. 2 2 Ta có IA2 = I B 2 = I H 2 + HB 2 = R2 ⇒ 5t 2 = (3 − 2t)2 + 22 ⇒ t 2 + 12t − 13 = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = −13. 2 • Với t = 1, ta có I(2; 1), R = AI = 5 ⇒ (C) : (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 5 . • Với t = −13, ta có I(−12; 29), R = 13 5 ⇒ (C) : (x + 12)2 + ( y − 29)2 = (13 5)2 . 2. (1 điểm) (S) có tâm I(1; −3; 2), bán kính R = 2 3. Ta thấy đường thẳng △ đi qua hai điểm A(0; 0; 1) và B(1; 1; 3). Mặt phẳng (P) qua A có phương trình dạng (P) : a(x − 0) + b( y − 0) + c(z − 1) = 0 hay (P) : ax + b y + cz − c = 0 (a2 + b2 + c 2 = 0). Do B ∈ (P) nên (P) : a + b + 3c − c = 0 ⇒ a = −(b + 2c) ⇒ (P) : −(b + 2c)x + b y + cz − c = 0. (S) cắt (P) theo đường tròn (C) bán kính r = 3 nên ta có | − b − 2c − 3b + 2c − c| = 3 d(I, (P)) = R2 − r 2 = 12 − 9 = 3 ⇒ (b + 2c)2 + b2 + c 2 ⇒ |4b + c| = 3 2b2 + 4bc + 5c 2 ⇒ 5b2 − 2bc − 7c 2 = 0 b 2 b b 7 b ⇒5 − 7 = 0 (thấy b = 0) ⇒ = −1 hoặc = . −2 c c c c 5 b • Với = −1, chọn b = 1, c = −1, ta được (P) : x + y − z + 1 = 0. c b 7 • Với = , chọn b = 7, c = 5, ta được (P) : −17x + 7 y + 5z − 5 = 0. c 5 Câu VII.b. (1 điểm) Đặt z = x + y i (x, y ∈ ). Hệ thức đã cho ⇔ |x + 1 + i( y + 3)| = |x + 5 − i( y + 1)| ⇔ (x + 1)2 + ( y + 3)2 = (x + 5)2 + ( y + 1)2 ⇔ 2x − y + 4 = 0 ⇔ y = 2x + 4. 8 16 16 Ta có |z|2 = x 2 + y 2 = x 2 + (2x + 4)2 = 5x 2 + 16x + 16 = 5(x + )2 + . 5 5 5 4 8 4 8 Dấu bằng xảy ra khi x = − , khi đó y = . Từ đó số phức cần tìm là z = − + i. 5 5 5 5<br /> <br />
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2