SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Khối A
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
( )
Cxxy 43
23
+−=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho
tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
21 1
21 1
x y y
y x x
+ = − +
+ = − +
Câu III.
(1
đ
i
ể
m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 2
3
3 5 8 36 53 25x x x x− = − + −
Câu IV.
(1
đ
i
ể
m) Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh b
ằ
ng a, SA vuông góc
v
ớ
i
đ
áy. Góc t
ạ
o b
ở
i SC và m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) b
ằ
ng 30
0
. G
ọ
i E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC. Tính th
ể
tích
kh
ố
i chóp S.ABCD và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng DE, SC theo a.
Câu V.
(1
đ
i
ể
m) Cho các s
ố
d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn
3xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng:
( )( )( )
1 4 3
2xyz x y y z z x
+ ≥
+ + +
Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa.(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) và AC = 2BD.
Điểm
1
0; 3
M
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB,
đ
i
ể
m N(0; 7) thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Tìm t
ọ
a
độ
đỉ
nh B
bi
ế
t B có hoành
độ
d
ươ
ng.
2. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho Elip có ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c
( )
2 2
: 1
25 9
x y
E
+ =
.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i Oy và c
ắ
t (E) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B sao cho AB = 4.
CâuVIIa.
(1
đ
i
ể
m) Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a x
5
trong khai tri
ể
n bi
ể
u th
ứ
c
( ) ( )
2
2
1 2 1 3
n n
P x x x x
= − + + , bi
ế
t
r
ằ
ng
2 1
1
5
n
n n
A C
−
+
− =
.
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb.(
2
đ
i
ể
m)
1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có di
ệ
n tích b
ằ
ng 22, bi
ế
t r
ằ
ng
các
đườ
ng th
ẳ
ng AB, BD l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình là 3 4 1 0x y+ + = và 2 3 0x y− − = . Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh A, B, C, D.
2. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, l
ậ
p ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c c
ủ
a Elip (E) bi
ế
t r
ằ
ng có m
ộ
t
đỉ
nh và hai tiêu
đ
i
ể
m c
ủ
a (E) t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác
đề
u và chu vi hình ch
ữ
nh
ậ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a (E) là
( )
12 2 3+
Câu VIIb.
(1
đ
i
ể
m) Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng n sao cho:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . ... 2 1 2 . 2013
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
…………………..Hết………………….
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI A
Câu
Nội dung Điểm
( )
Cxxy 43
23
+−=
+ Tập xác định: D =
ℝ
+ Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 0.25
+
Đ
a
ọ
hàm
2
0
' 3 6 ; ' 0 2
x
y x x y x
=
= − = ⇔
=
BBT:
x -
∞
0 2 +
∞
y’ + - +
y
-
∞
4
0
+
∞
0.25
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên các kho
ả
ng
( ) ( )
;0 , 2;−∞ +∞ , ngh
ị
ch bi
ế
n trên kho
ả
ng
( )
0;2
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 0, 4
CD
y=
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2, 0
CT
y=
0.25
I.1
+
Đồ
th
ị
:
Đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
i qua
đ
i
ể
m (-1; 0) và nh
ậ
n
đ
i
ể
m I(1; 2) làm tâm
đố
i x
ứ
ng
8
6
4
2
2
4
6
15 10 5 5 10 15
-1 1 2
0.25
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
đ
i qua
đ
i
ể
m M(2; 0) và có h
ệ
s
ố
góc k là:
( )
2−= xky
+ Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và (d) là:
( )
432
23
+−=− xxxk
( )
( )
( )
=−−−=
==
⇔=−−−−⇔ 02
2
022
2
2
kxxxg
xx
kxxx
A
0.25
I.2
+ (d) c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M, N, P
( )
0=⇔ xgpt
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t 0.25
khác 2
( )
(*)0
4
9
02
0≠<−⇔
≠
>∆
⇔k
g
+ Theo định lí viet ta có:
−−=
=+
2.
1
kxx
xx
NM
NM
+ Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau
( ) ( )
1'.' −=⇔
NM
xyxy
( )( )
3
223
0118916363 222 ±−
=⇔=++⇔−=−−⇔ kkkxxxx NNMM (th
ỏ
a(*))
0.5
( ) ( )
2 cos sin 2 cos sin
1 1
sin cos 2 cos cos cos sin
1
cos sin 2 sin cos .sin 2 sin
pt
x x x x x x
x x x x x x
− −
⇔ = ⇔ = −
+ −
0.25
Điều kiện: sin 2 0 2
cos sin 0
4
k
x
x
x x
x k
π
ππ
≠
≠
⇔
− ≠
≠ +
0.25
Khi đó pt
( )
2
sin 2 2 sin cos 2
2 4
x x x x k k
ππ
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℤ
0.25
II.1
Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là
( )
2
4
x k k
ππ
= − + ∈ℤ 0.25
( )
( )
2 2
2 2
21 1 1
21 1 2
x y y
y x x
+ = − +
+ = − +
Đ
i
ề
u ki
ệ
n: 1
1
x
y
≥
≥
Tr
ừ
hai v
ế
c
ủ
a pt (1) và (2) cho nhau ta
đượ
c:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
21 21 1 1
0
1 1
21 21
10
1 1
21 21
x y y x y x
x y x y x y x y x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
+ − + = − − − + −
− + −
⇔ + + − + =
− + −
+ + +
+
⇔ − + + + =
− + −
+ + +
⇔ =
0.5
II.2
Thay x = y vào pt (1) ta
đượ
c:
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2
2
21 1 21 5 1 1 4
4 2 2 2
1 1
21 5
1 1
2 2 1 0 2
1 1 21 5
x x x x x x
x x x x
x
x
x x x
xx
+ = − + ⇔ + − = − − + −
− −
⇔ = + + −
− +
+ +
⇔ − + + − = ⇔ =
− + + +
V
ậ
y pt có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 2
0.5
III
( ) ( )
3
3
3 5 2 3 2 *pt x x x⇔ − = − − +
Đặ
t
( )
3
3
2 3 3 5 2 3 3 5y x y x− = − ⇔ − = − 0.5
Ta có hệ phương trình:
( ) ( )
( )
3
3
2 3 2 5 **
2 3 3 5
x y x
y x
− = + −
− = −
Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a hê ta
đươ
c:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0
x y x x y y x y
x y x x y y
x y
− − + − − + − = − −
⇔ − − + − − + − + =
⇔ =
0.5
Thay x=y vào (**) ta
đượ
c:
( )
33 2
1 2 3
2 3 3 5 8 36 51 22 0
5 3 5 3
2, ,
4 4
x x x x x
x x x
− = − ⇔ − + − =
+ −
⇔ = = =
M
H
I
E
C
A
D
B
S
K
T
Vì
( )
CB AB CB SAB
CB SA
⊥
⇒⊥⇒
⊥
SB là hình chi
ế
u c
ủ
a SC lên mp(SAB)
( )
()
( )
0
, , 30SC SAB SC SB CSB⇒= = =
0
.cot 30 3 2SB BC a SA a⇒= = ⇒=
0.25
V
ậ
y th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD là:
3
2
.
1 1 2
. 2. ( )
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a dvtt= = = 0.25
+ T
ừ
C d
ự
ng CI // DE
2
a
CE DI⇒= = và
( )
/ /
DE SCI
( ) ( )
( )
, ,d DE SC d DE CSI⇒=
T
ừ
A k
ẻ
AK CI⊥
c
ắ
t ED t
ạ
i H, c
ắ
t CI t
ạ
i K
Ta có:
( ) ( ) ( )
SA CI CI SAK SCI SAK
AK CI
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
theo giao tuy
ế
n SK
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAK) k
ẻ
( )
HT AK HT SCI
⊥⇒⊥
( ) ( )
( )
, ,
d DE SC d H SCI HT
⇒
= =
0.25
IV
+ Ta có:
2
2
3
.
1 1 . 3
2
. .
2 2 5
2
ACI
a a
CD AI a
S AK CI CD AI AK CI a
a
= =
⇒
= = =
+
0.25
Kẻ KM//AD 1 1
( ) 2 3 5
HK KM a
M ED HK AK
HA AD
∈⇒= = ⇒= =
Lại c ó:
2
2
2.
. 38
5
sin 19
9
25
a
a
SA HT SA HK
SKA HT
SK HK SK a
a
= = ⇒= = =
+
V
ậ
y
( )
38
,19
d ED SC =
Áp d
ụ
ng b
đ
t Cosi cho 3 s
ố
d
ươ
ng
( )( )( )
1 1 4
, ,
2 2
xyz xyz x y y z z x
+ + +
ta
đượ
c:
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
2 2 2
3
1 4 1 1 4
2 2
3
xyz x y y z z x xyz xyz x y y z z x
x y z x y y z z x
+ = + +
+ + + + + +
≥+ + +
0.25
Ta có:
( )( )( ) ( )( )( )
2 2 2
x y z x y y z z x xyz zx yz xy zx yz xy
+ + + = + + +
Áp d
ụ
ng b
đ
t Cosi cho 3 s
ố
d
ươ
ng xy, yz, zx:
( )
3
2 2 2
. . 1 1 1 1
3
xy yz zx
xy yz zx x y z xyz
+ +
≤ = ⇒≤⇒≤
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương
, ,
zx yz xy zx yz xy
+ + +
:
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
8 2
3
zx yz xy zx yz xy
zx yz xy zx yz xy
+ + + + +
+ + + ≤ =
0.5
V
T
ừ
(1) và (2) suy ra:
( )( )( )
2 2 2
8
x y z x y y z z x+ + + ≤
V
ậ
y
( )( )( )
3
1 4 3 3
2
8
xyz x y y z z x
+ ≥ =
+ + +
.
0.25
I
A
C
B
D
M
N
L
G
ọ
i N’ là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i N qua I
( )
' 4; 5
N
⇒
−
0.25
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AB: 4x + 3y – 1 = 0
Kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n AB là:
2 2
4.2 3.1 1 2
4 3
d+ −
= =
+ 0.25
VIa
1
Vì AC = 2BD nên AI = 2 BI,
đặ
t BI = x, AI = 2x, trong tam giác vuông ABI có: 0.25