Trần Sĩ Tùng
Trung tâm BDVH & LTĐH
THÀNH ĐẠT
Đề số 6
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
yxxmx
32
31
=+++
có đồ thị (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm)
tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: xxx
2cos33sincos0
++=
2) Giải hệ phương trình: xyy
xyxy
333
22
8277(1)
46(2)
ì+=
ï
í
ï+=
î
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =
22
6
1
2
p
p
×+
ò
xxdx
Câu IV (1 điểm): Tính thể tích của khối chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông
góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xyz
111
2010
++= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =
xyzxyzxyz
111
222
++
++++++
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh của một tam giác là
xy
5–260
+=
và
xy
47–210
+=
. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm trên trục Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) :
xyz
12
122
-+
== và
mặt phẳng (P):
xyz
2––20
=
.
Câu VII.a (1 điểm): Cho tập hợp X =
{
}
0,1,2,3,4,5,6,7
. Từ X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau đôi một, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung
sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):
xt
yt
z
2
4
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
và (d2) :
xt
yt
z
3
0
ì
=-
ï=
í
ï=
î
. Chứng minh (d1)
và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).
Câu VII.b (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: zzzz
432
–6–8–160
+=
.
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm): xxmx
32
30
++=
(1) Û x
xxm
2
0
30(2)
é
=
ê
++=
ë
(2) có 2 nghiệm phân biệt, khác 0 Û m
m
9
4
0
ì
ï
<
í
ï
¹
î
(*). Khi đó: DEDE
xxxxm
3;.
+=-=
DE
yy
''
.1
=-
Û
mm
2
4910
-+=
Û m
965
8
±
= (thoả (*))
Câu II: 1) PT Û xx
cos3cos0
3
p
æö
+-=
ç÷
èø
Û
xx
2
cos3cos 3
p
æö
=+
ç÷
èø
Û
xk
xk
3
62
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=-+
ë
.
2) Từ (1) Þ y ¹ 0. Khi đó Hệ PT Û
xyy
xyxyy
333
223
8277
46
ì
ï
+=
í
+=
ï
î Þ
txy
ttt
32
82746
ì
=
í
+=+
î Û
txy
ttt
319
;;
222
ì
=
ï
í
=-==
ï
î
· Với t
3
2
=-
: Từ (1) Þ y = 0 (loại).
· Với t
1
2
=
: Từ (1) Þ xy
3
3
1
;4
24
æö
==
ç÷
èø
· Với t
9
2
=
: Từ (1) Þ xy
3
3
3
;34
24
æö
==
ç÷
èø
Câu III: Đặt xtt
3
cossin,0
22
p
æö
=££
ç÷
èø
Þ I =
tdt
4
2
0
3
cos
2
p
ò =
31
242
p
æö
+
ç÷
èø
.
Câu IV: Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm của AB, AC, AM Þ SH ^ (ABC),
·
SIH
a
=
. SH = a
IH 3
.tantan
4
aa
=.
Þ SABCABC
a
VSHS
3
.
1
.tan
316
D
a
==.
Câu V: · Chú ý: Với a, b > 0, ta có:
abab
411
£+
+.
Þ P £
xyxzyxyzzxzy
1111111
4
æö
+++++
ç÷
++++++
èø
=
xyyzzx
1111
2
æö
++
ç÷
+++
èø
£
xyz
1111
4
æö
++
ç÷
èø
=
1005
2
.
Dấu "=" xảy ra Û xyz
1
670
=== . Vậy MinP =
1005
2
.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Giả sử: AB:
xy
5–260
+=
, AC:
xy
47–210
+=
. Suy ra: A(0; 3). BO ^ AC Þ BO:
xy
740
-=
.
Þ B(–4; –7) Þ BC:
y
70
+=
.
2) Giả sử A(a; 0; 0) Î Ox, B(1+t; 2t; –2+2t) Î d.
ABtatt
(1;2;22)
=+--+
uuur
. d
a
ABut
3
9
+
^Û=
uuur
r
Þ aaa
B
122(3)212
;;
999
æö
++-
ç÷
èø
. AB = aa
2
2
269
3
-+
.
dAPa
2
(,())
3
=.
AB = d(A, (P)) Û
aaa
2
22
269
33
-+= Û
a
3
=
Þ A(3; 0; 0).
Câu VII.a: Giả sử số thoả mãn là:
aaaaa
12345
.
Trần Sĩ Tùng
· Nếu a1 = 1 thì có: A4
7
840
= (số)
· Nếu a2 = 1 thì có: CA
13
66
.720
= (số) · Nếu a3 = 1 thì có: CA
13
66
.720
= (số)
Þ Có tất cả: 840 + 720 + 720 = 2280 (số).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 0), bán kính R = 2. Giả sử M(0; b) Î Oy.
Vì góc giữa hai tiếp tuyến kẻ từ M bằng
0
60
nên MI =
R
0
sin30
= 4 Þ
MI
2
16
=
Û b2
7
=
Û b
7
=± .
Þ
(
)
M
0;7
hoặc
(
)
M
0;7
-.
2) d1 có VTCP u1
(2;1;0)
=
r
, d2 có VTCP u2
(1;1;0)
=-
r
. Giả sử Att
11
(2;;4)
Î d1, Btt
22
(3;;0)
-Î d2.
AB là đoạn vuông góc chung Û
ABu
ABu
1
2
ì
^
ï
í
^
ï
î
uuur
r
uuur
r
Û tt
tt
12
12
56
23
ì
+=
í
+=
î Û tt
12
1
==
Þ A(2; 1; 4), B(2; 1; 0).
Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm I(2; 1; 2) của AB và bán kính R = AB
2
2
=
.
Þ (S): xyz
222
(2)(1)(2)4
-+-+-=
.
Câu VII.b: PT Û zzz
2
(1)(2)(8)0
+-+=
Û
zzzi
1;2;22.
=-==± .
=====================