Trần Sĩ Tùng
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 17
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
yxmxmx
322
29121
=+++
(m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:
CÑCT
xx
2=.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
xxx
2
1 143
++=+
2) Giải hệ phương trình: xx
5
36
pp
æöæö
+=-
ç÷ç÷
èøèø
Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
xxx
fx
x
23
2
ln(1)
()
1
++
=
+
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường
thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
6
2
3
a.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: abbaab
22
3311
2 2
4422
æöæöæöæö
++++³++
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: dxy
1
:2–30
+=
, dxy
2
:3450
++=
,
dxy
3
:4320
++=
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D):
22
132
xyz
-+
== và mặt phẳng
(P):
xyz
210
+-+=
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P).
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không
có mặt chữ số 1?
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
()
d
:
2120
xmy
++-=
và đường tròn có phương
trình 22
():2440
+-+-=
Cxyxy . Gọi I là tâm đường tròn
()
C
. Tìm m sao cho
()
d
cắt
()
C
tại hai điểm
phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi
sao cho
mn
1
+=
và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN)
tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình:
( )
x
xx
x
x
1
2
2
4–2.2–3
.log–344
+
>-
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2)
yxmxmxmxm
2222
618126(32)
¢=++=++
Hàm số có CĐ và CT Û y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
Û D =
m
2
> 0 Û
m
0
¹
Khi đó:
( ) ( )
xmmxmm
12
11
3,3
22
=--=-+ . Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy ra CÑCT
xxxx
12
,
==
Do đó:
CÑCT
xx
2= Û
mmmm
2
33
22
æö
---+
=
ç÷
èø Û
m
2
=-
Câu II: 1) Điều kiện
x
0
³
. PT Û xxx
2
41310
-+-+=
Û x
xx
xx
21
(21)(21)0
31
-
+-+=
++
Û xx
xx
1
(21)210
31
æö
-++=
ç÷
++
èø
Û
x
210
-=
Û x
1
2
=
.
2) PT Û xx
2
10sin4sin140
66
pp
æöæö
+++-=
ç÷ç÷
èøèø Û x
sin1
6
p
æö
+=
ç÷
èø
Û
xk
2
3
p
p
=+ .
Câu III: Ta có:
xxxxxxxx
fxx
xxxx
222
2222
ln(1)(1)ln(1)
()
1111
++-+
=+=+-
++++
Þ Fxfxdxxdxxdxdx
222
11
()()ln(1)(1)ln(1)
22
==+++-+
òòòò
=
xxxC
2222
111
ln(1)ln(1)
422
++-++
.
Câu IV: Do B và D cách đều S, A, C nên BD ^ (SAC). Gọi O là tâm của đáy ABCD. Các tam giác ABD, BCD, SBD là
các tam giác cân bằng nhau và có đáy BD chung nên OA = OC = OS. Do đó DASC vuông tại S.
Ta có: SABCDSABC
VVBOSASCaxABOA
22
..
11
22....
63
===- = ax
ax
axaax
22
22
213
46
1
3
+--=
Do đó: SABCD
aa
axaxV
33
22
.
212
3
666
=Û-= Û
xa
xa
2
é=
ê=
ë.
Câu V: Ta có: aabababaaba
2
22
1111
2222
31
44
æö
=-+++³++
ç÷
èø
++=-++++
Tương tự: baab
2
1
2
3
4
++³++
.
Ta sẽ chứng minh abab
2
111
2(2
222
æöæöæö
++³++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
(*)
Thật vậy, (*) Û ababababab
22
11
4
44
2³
++++++++
Û ab
2
0
()
³
-.
Dấu "=" xảy ra Û ab
1
2
==
.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn là
Itt
(;32)
-
Î d1.
Khi đó:
dId
dId
23
)(,)
(,
= Û tttt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+
Û
t
t
2
4
é
ê
ë
=
=
Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: xy
22
49
25
(2)(1)
=
-++ và xy
22
9
(4)(5)
25
-++=
.
2) (D) :
2
22
3
132
22
xt
xyz yt
zt
=+
ì
-+
ï
==Û=
í
ï
=-+
î
. (P) có VTPT
n
(2;1;1)
=-
r
.
Trần Sĩ Tùng
Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm
Þ
Ittt
(2;3;22)
+-+
(1,32,12)
AIttt
Þ=+--+
uur
là VTCP của d.
Do d song song mặt phẳng (P)
.0
AIn
Û=
uurr
( )
ttAI
1
31032;9;5
3
Û+=Û=-Þ=--
uur
.
Vậy phương trình đường thẳng d là:
121
295
xyz
--+
==
--
.
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x=
123456
=
xaaaaaa
.
Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm.
Vì phải có mặt chữ số 0 và 1
0
a
¹
nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách.
Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là :
5
8
A
.
Vậy số các số cần tìm là: 5.
5
8
A
= 33.600 (số)
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1)
()
C
có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt
()
C
tại 2 điểm phân biệt A, B (,)
Û<
dIdR
2
221232Û-+-<+
mm
222
14418954170
Û-+<+Û++>ÛÎ
mmmmmmR
Ta có:
·
119
.sin.
222
=£=
SIAIBAIBIAIB
IAB
Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi
·
0
90
=AIB
Û
AB =
232
=R
Û
32
(,)
2
=dId
Û
32
2
122
2
mm
-=+
222
161643618216320
Û-+=+Û++=
mmmmm
4
Û=-
m
2) Ta có:
(;0;1),(0;;1)
=-=-
SMmSNn
uuuruuur
Þ VTPT của (SMN) là
(;;)
=
nnmmn
r
Phương trình mặt phẳng (SMN):
0
nxmymnzmn
++-=
Ta có: d(A,(SMN))
2222
nmmn
nmmn
+-
=
++
1. 1
1
1
22
12
mn mn
mn
mnmn
--
===
-
-+
Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định.
Câu VII.b: BPT Û
xxxx
x1
2
(42.23).log324
+
--->-
Û xx x
2
(42.23).(log1)0
--+>
Û
xx
xx
x
x
2
2
2
2
2
2
2.230
log10
2.230
log10
é
ì
ê
í
î
ê
ê
ì
ê
í
ê
î
ë
-->
+>
--<
+<
Û
x
x
x
x
2
2
23
log1
23
log1
éì>
êí
>-
î
ê
êì<
êí
<-
êî
ë
Û
x
x
x
x
2
2
log3
1
2
log3
1
0
2
éì>
ï
êí
ê>
ï
êî
êì<
ï
êí
ê
<<
ï
êî
ë
Û
x
x
2
log3
1
0
2
é>
ê
ê
<<
ë
=====================