Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ Đ THI TH Đ I H C – CAO Đ NG 2011Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KH I AỐ
------------- Th i gian làm bài: 180 phútờ ( không k th i gian giao đ )ể ờ ề
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m )Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2,0 đi m) ểCho hàm s : ố
2 1
1
x
yx
−
=−
(C).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).ả ự ế ẽ ồ ị
2. G i I là giao đi m c a hai ti m c n, M là m t đi m b t kì trên (C), ti p tuy n c a (C) t i M c t các ti mọ ể ủ ệ ậ ộ ể ấ ế ế ủ ạ ắ ệ
c n t i A, B. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).ậ ạ ứ ằ ệ ổ ổ
Câu II: (2,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình ả ươ
3 3
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
π π
+= −
− +
÷ ÷
2. Gi i ph ng trình ả ươ
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 1x x x x
+ − + − − = + −
.
Câu III. (1,0 đi m) ểTính tích phân
( )
1
2
0
ln 1I x x x dx= + +
∫
.
Câu IV. (1,0 đi m) ểCho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có ộ ứ
AB AD a= =
,
3
AA ' 2
a
=
, góc
BAD
b ng ằ
.
G i M, N l n l t là trung đi m c a c nh A’D’ và A’B’. Ch ng minh AC’ vuông góc v i m t ph ng (BDMN) vàọ ầ ượ ể ủ ạ ứ ớ ặ ẳ
tính th tích kh i đa di n AA’BDMN theo ể ố ệ
a
.
Câu V. (1,0 đi m) ểCh ng minh r ng v i m i s th c d ng ứ ằ ớ ọ ố ự ươ
, ,abc
th a mãn ỏ
2 2 2
1abc+ + =
, ta có:
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
− + − + − +
+ + ≤
+++
.
B. PH N RIÊNG (3,0 ĐI M):Ầ Ể Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ
I. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12, tâm I là giao đi mặ ẳ ớ ệ ọ ộ ữ ậ ệ ằ ể
c a hai đ ng th ng: dủ ườ ẳ 1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0. Trung đi m m t c nh là giao đi m c a dể ộ ạ ể ủ 1 và tia
Ox. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t.ọ ộ ỉ ủ ữ ậ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1;1;1)ớ ệ ọ ộ ể và đ ng th ng d: ườ ẳ
14 5
4 1 2
x y z− +
= = −
. Vi tế
ph ng trình m t c u (S) tâm I và c t d t i hai đi m A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 16.ươ ặ ầ ắ ạ ể ộ ạ ẳ ằ
Câu VII.a (1,0 đi m)ể Tìm h s ch a xệ ố ứ 2 trong khai tri n: ể
4
1
2
n
xx
+
÷
, bi t n là s nguyên d ng th a mãn:ế ố ươ ỏ
2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2 ...
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
+ + + + =
+ +
.
II. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông có đ nh là (-4; 8) và m t đ ng chéo có ph ng trình ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ỉ ộ ườ ươ
7x – y + 8 = 0. Vi t ph ng trình các c nh c a hình vuông.ế ươ ạ ủ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): ớ ệ ọ ộ ặ ẳ
1 0x y z+ + − =
và hai đi m A(1;-3;0), B(5;-1;-2). ể
Tìm t a đ đi m M trên m t ph ng (P) sao cho ọ ộ ể ặ ẳ
MA MB−
đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ
Câu VII.b (1.0 đi m) ểCho h ph ng trình ệ ươ
2
3 3
32
1log log 0
2,( )
0
x y m R
x y my
− =
∈
+ − =
. Tìm m đ h có nghi m.ể ệ ệ
.........H t.........ế
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêmượ ử ụ ệ ộ ả .
H và tên thí sinh:............................................................; S báo danh:...................ọ ố
ĐÁP ÁN – THANG ĐI MỂ
Đ THI TH Đ I H C NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ
Môn thi: TOÁN
.
Câu Ý Đáp án Đi mể
I11,0
•TXĐ : D = R\
{ }
1
.
•S bi n thiên: ự ế
y’ =
( )
2
10,
1x D
x
−< ∀ ∈
−
.
Hàm s ngh ch bi n trên: ố ị ế
( ) ( )
;1 à 1;v−∞ +∞
0,25
Gi i h n: ớ ạ
lim lim 2
x x→+∞ →−∞
= =
; ti m c n ngang: y = 2ệ ậ
1 1
lim , lim
x x
+ −
→ →
= +∞ = −∞
; ti m c n đ ng: x = 1ệ ậ ứ 0,25
B ng bi n thiên: ả ế 0,25
•Đ th :ồ ị 0,25
21,0
G i M(m; ọ
2 1
1
m
m
−
−
)
Ti p tuy n c a (C) t i M: ế ế ủ ạ
( ) ( )
2
1 2 1
1
1
m
y x m m
m
− −
= − + −
−
0,25
A(1;
2
1
m
m−
), B(2m-1; 2) 0,25
IA =
2 1
2 2
1 1
m
m m
− =
− −
, IB =
2 2 2 1m m− = −
0,25
1. 2
2
IAB
S IA IB
∆
= =
.
V y ậdi n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C).ệ ổ ổ
0,25
II 11,0
Đi u ki n: ề ệ
6 2
k
x
π π
≠ +
Ta có
tan .tan tan .cot 1
6 3 6 6
x x x x
π π π π
− + = − − = −
÷ ÷ ÷ ÷
0,25
Ph ng trình t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ
3 3
sin .sin 3 os .cos3x x c x x+
=
1
8
( )
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
. .
2 2 2 2 8
1
2 os2 os2 . os4 2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
− − + +
⇔ + =
⇔ − =
0,25
3
1 1
os os2
8 2
c x c x⇔ = ⇔ =
0,25
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ
Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ
===========================================================================
( )
ai
6,
6
x k lo
k Z
x k
ππ
ππ
= +
⇔ ∈
= − +
. V y :ậ
6
x k
ππ
= − +
0,25
21,0
Đk: -1
1x≤ ≤
Đ t u = ặ
( )
3
1x+
, v =
3
(1 )x−
; u,v
H thành: ệ
2 2
3 3
2
1 ( ) 2
u v
uv u v uv
+ =
+ − = +
0,25
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
3 3 2 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
+ = + = + + = +
+ = − + + = − +
0,25
2 2
2
2 2
22
12
2
u v u
u v
+ =
⇒ ⇒ = +
− =
0,25
2
2
x⇒ =
0,25
III 1,0
Đ t ặ
( )
22
2
2 1
ln 1 1
2
x
du dx
u x x x x
x
dv xdx v
+
=
= + +
+ +
⇒
=
=
( )
1
2 3 2
2
0
11 2
2
ln 1
2 2 1
0
x x x
I x x dx
x x
+
= + + − + +
∫
0,25
( )
1
1
2 2 1
02
0
0
1 1 1 3
ln 3 ln( 1)
2 2 4 4 1
3 3
ln 3
4 4
dx
x x x x x x
J
− − + + + − + +
= −
∫
0,25
1
2
2
0
1 3
2 2
dx
J
x
=
+ + ÷
÷
∫
. Đ t ặ
1 3 tan , ;
2 2 2 2
x t t
π π
+ = ∈ −
÷
3
6
2 3 3
3 9
J dx
π
π
π
= =
∫
0,25
V y I = ậ
3ln 3
4
-
3
12
π
0,25
IV 1,0
G i O là tâm c a ABCD, S là đi m đ i x ng v i A qua A’ọ ủ ể ố ứ ớ
⇒
M, N l n l t là trungầ ượ
đi m c a SD và SBể ủ
AB = AD = a, góc BAD = 600
⇒
∆
ABD đ u ề
⇒
OA =
3, 3
2
aAC a=
SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA ' 2
a
CC = =
0,25
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ
Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ
===========================================================================
~ '
'
AO SA SAO ACC
AC CC
⇒ = ⇒ ∆ ∆
' ~ACC AIO
⇒ ∆ ∆
(I là giao đi m c a AC’ và SO)ể ủ
'SO AC⇒ ⊥
(1)
M t khác ặ
( ' ') 'BD ACC A BD AC⊥ ⇒ ⊥
(2)
T (1) và (2) ừ
⇒
đpcm
0,25
2
2
22
'
1 3 3
3 2 4
1 3 3
3 2 4 2 32
SABD
SA MN
a
V a a
a a a
V
= =
= =
÷
0,25
2
AA ' '
7
32
BDMN SABD SA MN
a
V V V= − =
0,25
V 1,0
Do a, b, c > 0 và
2 2 2
1abc+ + =
nên a, b, c
( )
0;1∈
Ta có:
( )
2
2
5 3
3
2 2 2
1
2
1
a a
a a a a a
b c a
−
− + = = − +
+ −
BĐT thành:
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 3
3
a a b b c c− + + − + + − + ≤
0,25
Xét hàm s ố
( ) ( )
3
, 0;1f x x x x= − + ∈
Ta có:
( )
ax
0;1
M
( )
f x
=
2 3
9
0,25
0,25
( ) ( ) ( )
2 3
3
f a f b f c⇒ + + ≤
⇒
đpcm
Đ ng th c x y ra ẳ ứ ả
1
3
abc⇔ = = =
0,25
VI.a 11,0
I
9 3
;
2 3
÷
, M
( )
3;0
0,25
Gi s M là trung đi m c nh AD. Ta có: AB = 2IM = ả ử ể ạ
3 2
. 12 2 2
ABCD
S AB AD AD= = ⇒ =
AD qua M và vuông góc v i dớ1
⇒
AD: x + y – 3 = 0
0,25
L i có MA = MB =ạ
T a đ A, D là nghi m c a h : ọ ộ ệ ủ ệ
( )
22
3 0 2
1
3 2
x y x
y
x y
+ − =
=
⇔
=
− + =
ho c ặ
4
1
x
y
=
= −
0,25
Ch n A(2 ; 1) ọ
( ) ( ) ( )
4; 1 7;2 à 5;4D C v B⇒ − ⇒
0,25
21,0
G i H là trung đi m đo n AB ọ ể ạ
8HA
⇒ =
0,25
IH2 = 17 0,25
IA2 = 81
9R
⇒ =
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 81C x y z− + − + − =
0,25
VII.a 1,0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ
Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ
===========================================================================
Ta có:
( )
2
2 3 1
012
0
2 2 2
2 ... 1
2 3 1
nn
n
n n n n
C C C C x dx
n
+
+ + + + = +
+∫
0,25
1
1
3 1 6560 3 6561 7
1 1
n
n
n
n n
++
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ +
0,25
714 3
7
4
7
40
1 1
2
2
k
k
k
x C x
x
−
+ =
÷
∑
0,25
S h ng ch a xố ạ ứ 2 ng v i k th a: ứ ớ ỏ
14 3 2 7
4
kk
−= ⇔ =
V y h s c n tìm là: ậ ệ ố ầ
21
4
0,25
VI.b 11,0
G i A(-4; 8) ọ
⇒
BD: 7x – y + 8 = 0
⇒
AC: x + 7y – 31 = 0 0,25
G i D là đ ng th ng qua A có vtpt (a ; b)ọ ườ ẳ
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D h p v i AC m t góc 45ợ ớ ộ 0
⇒
a = 3, b = -4 ho c a = 4, b = 3 ặ
⇒
AB:
3 4 32 0; : 4 3 1 0x y AD x y− + = + + =
0,25
G i I là tâm hình vuông ọ
⇒
I(
1 9
; )
2 2
−
( )
3;4C⇒
: 4 3 24 0; : 3 4 7 0BC x y CD x y⇒ + − = − + =
0,25
KL: 0,25
21,0
Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P)ằ ớ ọ ể ố ứ ớ
⇒
B’(-1; -3; 4) 0,25
' 'MA MB MA MB AB− = − ≤
Đ ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng ẳ ứ ả ẳ
⇒
M là giao đi m c a (P) và AB’ể ủ 0,25
AB’:
1
3
2
x t
y
z t
= +
= −
= −
0,25
M(-2; -3; 6) 0,25
VII.b 1,0
Đk: x
≠
0, y > 0
( )
( )
2
3 3
3 3
32
32
2
3 2
1log log
log log 0
2
0
0
, 1
, 2
0
x y
x y
x y ay
x y my
y x
y x
y y a
y y ay
=
− =
⇔
+ − =
+ − =
=
=
⇔ ⇔
+ =
+ − =
0,25
H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0ệ ệ ệ
Ta có : f(y) =
2
y y+
>0 ,
∀
y > 0 0,25
Do đó pt f(y) = a có nghi m d ng khi a>0ệ ươ 0,25
V y h có nghi m khi a > 0ậ ệ ệ 0,25
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952ầ ậ
Đ I H C S PH M HÀ N IẠ Ọ Ư Ạ Ộ
===========================================================================