Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2010Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN (Đ 128 )Ề
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả ( 07 đi m )ể
Câu I ( 2,0đi mể) Cho hàm s ố
( ) ( )
4 2 2
2 2 5 5y f x x m x m m= = + − + − +
1/ Kh o sát s bi n thiên và v đ thả ự ế ẽ ồ ị (C ) hàm s v i m = 1ố ớ
2/ Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành 1 tam giác vuôngị ủ ể ồ ị ố ể ự ạ ự ể ạ
cân.
Câu II(2.0đi m) 1/ Gi i ph ng trình: ể ả ươ
2 3
2 cos( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( )
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
π π π π
− − − = + − +
2/ . Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2
2 2
2 3 5
2 3 2
x y x y
x y x y
+ + + + + =
+ + + − − =
Câu III(1.0 đi m) ểTính tích phân :
210 10 4 4
0
I (cos sin cos .sin )x x x x dx
π
= + −
Câu IV(1.0 đi m) Cho hình chóp ểS.ABC có AB = AC = a, BC =
2
a
,
3aSA =
,
ﾷ
ﾷ
0
SAB SAC 30= =
.
G i M là trung đi m SA , ch ng minh ọ ể ứ
( )SA MBC⊥
. Tính
Câu V. (1,0 đi m)ể
Cho 2 s d ng x, y tho mãn : ố ươ ả
2222 11 xyyxyx −+−=+
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ A =
2
2
2
211
y
y
x
x+++
PH N RIÊNG CHO T NG CH NG TRÌNHẦ Ừ ƯƠ ( 03 đi m )ể
(Thí sinh ch ch n m t trong hai ch ng trình Chu n ho c Nâng cao đ làm bài.)ỉ ọ ộ ươ ẩ ặ ể
A/ Ph n đ bài theo ch ng trình chu nầ ề ươ ẩ
Câu VI.a: (2.0đi m) ể
1, Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i A có đ nh A(-1;4) và các đ nh B, Cặ ẳ ớ ệ ạ ộ ạ ỉ ỉ
thu c ộ
đ ng th ng ườ ẳ ∆ : x – y – 4 = 0. Xác đ nh to đ các đi m B và C , bi t di n tích tam giác ABC b ng 18ị ạ ộ ể ế ệ ằ
2.Trong không gian to đ Oxyz, hãy vi t ph ng trình m t c u ti p xúc v i đ ng th ng (dạ ộ ế ươ ặ ầ ế ớ ườ ẳ 1) :
z
yx =
+
=
−
2
1
2
1
t i A (1; - 1; 0) và ti p xúc v i đ ng th ng (dạ ế ớ ườ ẳ 2):
1
3 ( )
1 4
x
y t t R
x t
=
=
= −
t i đi m B(1; 0; 1)ạ ể
Câu VI b. (1,0 đi m)ể
Xét ph ng trình: zươ 2 + 2bz + c = 0 , ( z
∈
C) trong đó b, c
∈
R, c ≠ 0. G i A, B là các đi m bi u di n ọ ể ể ễ
hai nghi m c a ph ng trình đó trong m t ph ng Oxy. Tìm đi u ki n c a b, c đ ệ ủ ươ ặ ẳ ề ệ ủ ể
∆
OAB là tam giác
vuông
B/ Ph n đ bài theo ch ng trình nâng caoầ ề ươ
Câu VI.b: (2 đi m)ể
1, Trong m t ph ng to đ Oxy cho hypebol (H) : ặ ẳ ạ ộ
1
916
22 =− yx
. Vi t ph ng trình chính t c c a (E)ế ươ ắ ủ
có
tiêu đi m trùng v i tiêu đi m c a hypebol (H) và ngo i ti p hình ch nh t c s c a (H).ể ớ ể ủ ạ ế ữ ấ ơ ở ủ
2.Trong không gian to đ Oxyz. Cho m t c u (S) có ph ng trình : xạ ộ ặ ầ ươ 2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z – 2 = 0,
và các đi m A(1; - 1; 0) , B(0; 2; - 2). ểVi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A, B và c t (S) theo m t ế ươ ặ ẳ ắ ộ
đ ng ườ tròn (C) có chu vi nh nh t.ỏ ấ
Câu VII.b: (1.0 đi m) ể Cho hàm s y = ố
− +
−
22 2
1
x x
x
(C) và d1: y = −x + m, d2: y = x + 3.
Tìm t t c các giá tr c a m đ (C) c t dấ ả ị ủ ể ắ 1 t i 2 đi m phân bi tạ ể ệ A,B đ i x ng nhau qua dố ứ 2.
******* H t *******ế
ĐÁP ÁN Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2010Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN (Đ 128 )Ề
Câu ý H ng d n gi i chi ti tướ ẫ ả ế Đi mể
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINHẦ Ấ Ả 7.00
Câu I 2
* Do tam giác ABC luôn cân t i A, nên bài toán tho mãn khi vuông t i A:ạ ả ạ
( )
1120. 3=⇔−=−⇔= mmACAB
vì đk (1)
Trong đó
( ) ( )
44;2,44;2 22 −+−−−=−+−−= mmmACmmmAB
V y giá tr c n tìm c a m là m = 1.ậ ị ầ ủ
0.25
0.25
Câu V Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC =
2
a
,
3aSA =
,
ﾷ
ﾷ
0
SAB SAC 30= =
.
Gäi M lµ trung ®iÓm SA , chøng minh
( )SA MBC⊥
. TÝnh
1
Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã:
ﾷ
2 2 2 2 2 0 2
SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a= + − = + − =
Suy ra
aSB=
. T¬ng tù ta còng cã SC = a.
0.25
Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA , do hai tam gi¸c SAB vµ SAC lµ hai tam gi¸c
c©n nªn MB ⊥ SA, MC ⊥ SA. Suy ra SA ⊥ (MBC). 0.25
Hai tam giác SAB và SAC có ba c p c nh t ng ng b ng nhau nênặ ạ ươ ứ ằ
chúng b ng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân t i M. G i N là trungằ ạ ọ
đi m c a BC suy ra MN ể ủ ⊥ BC. T ng t ta cũng có MN ươ ự ⊥ SA.
16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANMN
2
2
2
2222222
=
−
−=−−=−=
4
3a
MN =⇒
.
0.25
Do ®ã
3
.
1 1 1 3 3
. . . .
3 2 6 2 4 2 32
S MBC
a a a a
V SM MN BC= = =
(®vtt) 0.25
PH N RIÊNG CHO M I CH NG TRÌNHẦ Ỗ ƯƠ 3.00
Ph n l i gi i bài theo chầ ờ ả ng trình Chu nươ ẩ
Câu VIa 2
Ph n l i gi i bài theo chầ ờ ả ng trình Nâng caoươ
S
A
B
C
M
N
CâuVII.
bCho hàm s y = ố
− +
−
22 2
1
x x
x
(C) vµ d1: y = −x + m, d2: y = x + 3. Tìm t t c cácấ ả
giá tr c a m đ (C) c t dị ủ ể ắ 1 t i 2 đi m phân bi tạ ể ệ A,B đ i x ng nhau qua dố ứ 2.1
* Hoành đ giao đi m c a (C) và dộ ể ủ 1 là nghi m c a ph ng trình :ệ ủ ươ
− + = − +
−
22 2
1
x x x m
x
⇔ 2x2 -(3+m)x +2+m=0 ( x≠1) (1)
d1 c t (C) t i hai đi m phân bi t ắ ạ ể ệ ⇔ p trình (1) có hai nghi m phân bi t khác 1 ệ ệ
⇔
− − + +
− − >
2
2 3 2 1
2 7 0
m m
m m
⇔ m2-2m-7>0 (*)
0.5
Khi ®ã(C) c¾t (d1)t¹i A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) ( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña
(1) )
* d1⊥ d2 theo gi¶ thiÕt ⇒ §Ó A, B ®èi xøng nhau qua d2 ⇔ P lµ trung ®iÓm
cña AB
Th× P thuéc d2 Mµ P(
+ +
− +
1 2 1 2
;
2 2
x x x x m
) ⇒ P(
+ −3 3 3
;
4 4
m m
)
VËy ta cã
− +
= + =�
3 3 3 3 9
4 4
m m m
( tho¶ m·n (*))
VËy m =9 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
0.5
Câu V +) Nh n xét: ậ
∀
a, b, c, d ta có: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2).(b2 + d2), có “=” khi ad = bc (1)
+) Áp d ng (1) ta có (xụ2 + y2)2 ≤ (x2 + y2) (2 – (x2 + y2) ( Có th s d ng vec t ch ng minh k t quể ử ụ ơ ứ ế ả
này)
⇒
0 < x2 + y2 ≤ 1
+) Áp d ng bđt Cô si có A ≥ xụ2 + y2 +
y x
4
22 +
; đ t t = xặ2 + y2 , 0 < t ≤ 1, xét hàm s :ố
f(t) = t +
t
4
v i 0 < t ≤ 1, l p b ng bi n thiên c a hàm s . ớ ậ ả ế ủ ố K t lu n: Min A = 5 đ t khi x = y = ế ậ ạ
2
1
Câu VI a.
1)
1 4 4 9
AH 2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2
− − −
= =
= = = = =�
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4 7 1
H : H ;
x y 3 2 2
− =
� �
−�
� �
+ = � �
B(m;m – 4)
2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2
7 11
m 2
72 2
m 4 7 3
2m 2
2 2
� � � �
= = = − + − +�� � � �
� � � �
= + =
� �
− =� �
� �
� � = − =
V y ậ
1 1 2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
B ; C ; hay B ; C ;
2 2 2 2 2 2 2 2
� � � � � � � �
− −� �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
2)
784
197
)
14
5
()
7
6
()
28
19
(222 =−+++− zyx
Câu VI b. c = 2b2 > 0
Câu VIIa. 1) (H) :
( ) ( )
0;5F;0;5F 21 −
. Hình ch nh t c a (H) có m t đ nhữ ậ ủ ộ ỉ M( 4; 3), PT (E) có d ngạ:
1
b
y
a
x
2
2
2
2=+
( víi a > b)
(E) :
( ) ( ) ( )
15ba0;5F;0;5F 222
21 =−⇒−
.
( ) ( ) ( )
2bab16a9E3;4M 2222 =+⇔∈
T (1) và (2)ừ:
=
=
⇔
=+
+=
15b
40a
bab16a9
b5a
2
2
2222
222
. Vây :
1
15
y
40
x22 =+
2) PT m t ph ng c n tìm : x + 11y + 16z – 12 = 0.ặ ẳ ầ
II2)C ng và tr t ng v hai ph ng trình c a h ta đ c h t ng đ ng:ộ ừ ừ ế ươ ủ ệ ượ ệ ươ ươ
=+
=+++
2
3
2
7
32 22
yx
yx
⇔
=+−++
−=
2
7
3)
2
3
(2
2
3
22 xx
xy
⇔
…
⇔
=
=
)
20
13
;
20
17
();(
)1;
2
1
();(
yx
yx
Chú ý : - H c sinh làm cách khác đúng cho đi m t i đa t ng ph nọ ể ố ừ ầ
= = = = = == = = H t = = = = = = = = ế