Së gi¸o dôc - ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò
thi thö ®¹i häc
Trêng thpt trÇn nguyªn h∙n M«n to¸n líp 12-lÇn 2 -
n¨m häc 2009-2010
Thêi gian lµm bµi : 180’
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả ( 07 đi m )ể
Câu I ( 2,0đi mể) Cho hàm s ố
( ) ( )
4 2 2
2 2 5 5y f x x m x m m= = + − + − +
1/ Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C ) hàm s v i m = 1ả ự ế ẽ ồ ị ố ớ
2/ Tìm các giá tr c a m đ ị ủ ể ® å thÞ hµm sè có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành 1 tam giácể ự ạ ự ể ạ
vuông cân.
Câu II(2.0đi m) 1/ Gi i h ph ng trình: ể ả ệ ươ
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
y+ + − =
+
+− =
−
−
2/ G ii bÊt ph¬ng tr×nh :
)3(log53loglog 2
4
2
2
2
2−>−− xxx
Câu III (1.0 đi mể) T×m
);0(
π
∈x
tho m ∙n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 =
xx
x
x2sin
2
1
sin
tan1
2cos
2
−+
+
.
Câu IV(1.0 đi m) ểTính tích phân :
22
0
I cos cos 2x xdx
π
==
Câu V(1.0 đi m) ểCho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC =
2
a
,
3aSA =
,
.
Gäi M lµ trung ®iÓm SA , chøng minh
( )SA MBC⊥
.
TÝnh
SMBC
V
PH N RIÊNG CHO T NG CH NG TRÌNHẦ Ừ ƯƠ ( 03 đi m )ể
(Thí sinh ch ch n m t trong hai ch ng trình Chu n ho c Nâng cao đ làm bài.)ỉ ọ ộ ươ ẩ ặ ể
A/ Ph n đ bài theo ch ng trình chu nầ ề ươ ẩ
Câu VI.a: (2.0đi m) ể
1, Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho
∆
ABC có đ nh A(1;2), đ ng trung tuy n BM:ỉ ườ ế
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong CD:
1 0x y+ − =
. Vi t ph ng trình đ ng th ng BC.ế ươ ườ ẳ
2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15
a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15
b) Tìm h s aệ ố 10.
Câu VII.a: (1,0đi m)ể Trong không gian Oxyz cho hai đi m A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và m t ph ngể ặ ẳ
(P): 2x - y + z + 1 = 0 . Vi t ph ng trình m t ph ng ch a AB và vuông góc v i mp (P).ế ươ ặ ẳ ứ ớ
B/ Ph n đ bài theo ch ng trình nâng caoầ ề ươ
Câu VI.b: (2 đi m)ể
1, Cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(1;0), B(0;2) và giao đi m I c a hai đ ngệ ằ ế ể ủ ườ
chéo n m trên đ ng th ng y = x. Tìm t a đ đ nh C và D..ằ ườ ẳ ọ ộ ỉ
2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15
a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15
b) Tìm h s aệ ố 10.
1
Câu VII.b: (1.0 đi m) ể Cho hàm s y = ố
− +
−
22 2
1
x x
x
(C) vµ d1: y = −x + m, d2: y = x + 3.
Tìm t t c các giá tr c a m đ (C) c t dấ ả ị ủ ể ắ 1 t i 2 đi m phân bi tạ ể ệ A,B đ i x ng nhau qua dố ứ 2.
******* HÕt *******
®¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Thi thö ®¹i häc lÇn ii
M «n to¸n líp 12- 2009-2010
Câu ý Híng dÉn gi¶i chi tiÕt §iÓm
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINHẦ Ấ Ả 7.00
Câu I 2
1Cho hàm s ố
( ) ( )
5522 224 +−+−+= mmxmxxf
( C )
Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s v i m = 1ả ự ế ẽ ồ ị ố ớ 1
1* TXĐ: D =
R
2* Sù biÕn thiªn của hàm số:
* Giíi h¹n tại v« cực:
( )
+∞=
−∞→ xf
x
lim
:
( )
+∞=
+∞→ xf
x
lim
0.25
* B¶ng biÕn thiªn:
( )
( )
1444'' 23 −=−== xxxxyxf
1;1;00' =−==⇔= xxxy
x -∞ -1
0 1 +∞
y’ -
0 + 0 - 0 +
y +∞
1 +∞
0 0
Hµm sè ®ång biến trªn mỗi kho¶ng
( )
0;1−
vµ
( )
+∞;1
,
nghịch biến
Trªn mỗi khoảng
( )
1;−∞−
và
( )
1;0
Hàm số đạt cực tiểu tại
0;1 =±= CT
yx
, đạt cực đại tại
1;0 ==
CD
yx
0.5
3* §å thÞ:
* Đi m u n: ể ố
412'' 2−= xy
, các đi m u n là: ể ố
−9
4
;
3
3
,
9
4
;
3
3
21 UU
* Giao đi m v i các tr c to đ : A(0; 1), B(-1;0) và C(1; 0)ể ớ ụ ạ ộ
* Hàm s là ch n trên R nên đ th nh n tr c Oy làm tr c đ i x ngố ẵ ồ ị ậ ụ ụ ố ứ
* Đ th : ồ ị
8
6
4
2
-2
-4
-5
5
0.25
2
2
Tìm các giá tr c a m đ (ị ủ ể C) có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành 1 tam giácể ự ạ ự ể ạ
vuông cân. 1
* Ta có
( ) ( )
3
2
0
' 4 4 2 0 2
x
f x x m x x m
=
=
= + − =x== −
=
0.25
* Hàm s có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghi m phân bi t và đ i d u :ố ệ ệ ổ ấ
m < 2 (1) . To đ các đi m c c tr là: ạ ộ ể ự ị
( )
( ) ( )
mmCmmBmmA −−−−−+− 1;2,1;2,55;0 2
0.5
* Do tam giác ABC luôn cân t i A, nên bài toán tho mãn khi vuông t i A:ạ ả ạ
( )
1120. 3=⇔−=−⇔= mmACAB
vì đk (1)
Trong đó
( ) ( )
44;2,44;2 22 −+−−−=−+−−= mmmACmmmAB
V y giá tr c n tìm c a m là m = 1.ậ ị ầ ủ
0.25
Câu II 2
1
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
y+ + − =
+
+− =
−
−
1
* Đi u ki n: ề ệ
| | | |x yx
Đ t ặ
2 2
; 0u x y u
v x y
v= −y
=
== +
=
=
;
x y= −
không th a h nên xét ỏ ệ
x yx −
ta có
2
1
2
u
y v v
� �
= −
� �
� �
. H ph ng trình đã cho có d ng:ệ ươ ạ
2
12
12
2
u v
u u
vv
+ =
+
+� �
�− =
� �
�� �
�
0.25
4
8
u
v
=
=
===
=
ho c ặ
3
9
u
v
=
=
==
=
+
2 2
44
88
ux y
vx y
x
=
=− =
−
−
� �
=+ =
++
+
(I) +
2 2
33
99
ux y
vx y
x
=
=− =
−
−
� �
=+ =
++
+
(II)
0.25
Gi i h (I), (II).ả ệ 0.25
Sau đó h p các k t qu l i, ta đ c t p nghi m c a h ph ng trình banợ ế ả ạ ượ ậ ệ ủ ệ ươ
đ u là ầ
( ) ( )
{ }
5; 3 , 5; 4S=
0.25
2Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :
)3(log53loglog 2
4
2
2
2
2−>−− xxx
1
§K:
≥−−
>
03loglog
0
2
2
2
2xx
x
BÊt ph¬ng tr×nh ®∙ cho t¬ng ®¬ng víi
)1()3(log53loglog 2
2
2
2
2−>−− xxx
®Æt t = log2x,
BPT (1)
B
)3(5)1)(3()3(532
2−>+−⇔−>−− tttttt
0.25
<<
−≤
⇔
<<
−≤
⇔
−>−+
>
−≤
⇔4log3
1log
43
1
)3(5)3)(1(
3
1
2
2
2x
x
t
t
ttt
t
t
0.5
3
<<
≤<
⇔
168
2
1
0
x
x
VËy BPT ®∙ cho cã tËp nghiÖm lµ:
)16;8(]
2
1
;0( ∪
0.25
Câu III T×m
);0(
π
∈x
tho m ∙n ph¬ng tr×nh:
Cot x - 1 =
xx
x
x2sin
2
1
sin
tan1
2cos
2
−+
+
.1
§K:
−≠
≠
⇔
≠+
≠
1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
Khi ®ã pt
xxx
xx
xx
x
xx cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos 2−+
+
=
−
⇔
xxxxxx
x
xx cossinsincossincos
sin
sincos 22 −+−=
−
⇔
0.25
⇔
)2sin1(sinsincos xxxx −=−
⇔
0)1sincos)(sinsin(cos 2=−−− xxxxx
0.25
⇔
0)32cos2)(sinsin(cos =−+− xxxx
⇔
0sincos =− xx
⇔
tanx = 1
)(
4Zkkx ∈+=⇔
π
π
(tm)
( )
4
0;0
π
π
=⇒=⇒∈ xkx
KL:
0. 5
Câu IV
Tính tích phân :
22
0
I cos cos 2x xdx
π
==
1
2 2 2
2
0 0 0
1 1
I cos cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 2cos 2 cos 4 )
2 4
x xdx x xdx x x dx
π π π
= = + = + +
� � �
0.5
/2
0
1 1
( sin 2 sin 4 ) |
4 4 8
x x x
ππ
= + + =
0.5
Câu V Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC =
2
a
,
3aSA =
,
0
SAB SAC 30= =
.
Gäi M lµ trung ®iÓm SA , chøng minh
( )SA MBC⊥
. TÝnh
SMBC
V
1
4
Theo ®Þnh lÝ c«sin ta cã:
2 2 2 2 2 0 2
SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a= + − = + − =
Suy ra
aSB=
. T¬ng tù ta còng cã SC = a.
0.25
Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA , do hai tam gi¸c SAB vµ SAC
lµ hai tam gi¸c c©n nªn MB ⊥ SA, MC ⊥ SA. Suy ra SA ⊥
(MBC).
0.25
Hai tam gi¸c SAB vµ SAC cã ba cÆp c¹nh t¬ng øng
b»ng nhau nªn chóng b»ng nhau. Do ®ã MB = MC hay tam
gi¸c MBC c©n t¹i M. Gäi N lµ trung ®iÓm cña BC suy ra
MN ⊥ BC. T¬ng tù ta còng cã MN ⊥ SA.
16
a3
2
3a
4
a
aAMBNABAMANM N
2
2
2
2222222
=
−
−=−−=−=
4
3a
M N =⇒
.
0.25
Do ®ã
3
.
1 1 1 3 3
. . . .
3 2 6 2 4 2 32
S MBC
a a a a
V SM MN BC= = =
(®vtt) 0.25
PH N RIÊNG CHO M I CH NG TRÌNHẦ Ỗ ƯƠ 3.00
Ph n l i gi i bài theo ch ng trình Chu nầ ờ ả ươ ẩ
Câu VIa 2
1Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho
∆
ABC có đ nh A(1;2), đ ng trungỉ ườ
tuy n BM: ế
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong CD:
1 0x y+ − =
. Vi t ph ng trìnhế ươ
đ ng th ng BC.ườ ẳ 1
Đi m ể
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t+ − = −� �
.
Suy ra trung đi m M c a AC là ể ủ
1 3
;
2 2
t t
M+ −
� �
� �
� �
.
( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ −
� �
+ + = + + = = − −� � � �
� �
� �
0.25
0.25
T A(1;2), k ừ ẻ
: 1 0AK CD x y⊥ + − =
t i I (đi m ạ ể
K BCK
).
Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = − + =�
.
T a đ đi m I th a h : ọ ộ ể ỏ ệ
( )
1 0 0;1
1 0
x y I
x y
+ − =
++
+− + =
−
.
Tam giác ACK cân t i C nên I là trung đi m c a AK ạ ể ủ
ủ
t a đ c a ọ ộ ủ
( )
1; 0K−
.
0.25
0.25
S
A
B
C
M
N
5